व्युत्क्रम द्विघात प्रक्षेप: Difference between revisions

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[[संख्यात्मक विश्लेषण]] में, व्युत्क्रम द्विघात प्रक्षेप एक मूल-खोज एल्गोरिथ्म है, जिसका अर्थ है कि यह ''f''(''x'') = 0 के रूप के समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म है। विचार यह है कि अनुमानित करने के लिए [[बहुपद प्रक्षेप]] का उपयोग किया जाए ''एफ'' का व्युत्क्रम फलन। इस एल्गोरिदम का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है, लेकिन यह महत्वपूर्ण है क्योंकि यह लोकप्रिय ब्रेंट विधि का हिस्सा है।
संख्यात्मक विश्लेषण में, व्युत्क्रम द्विघात प्रक्षेप एक मूल-खोज कलन विधि है, जिसका अर्थ है कि यह रूप f(x) = 0 के समीकरणों को हल करने के लिए एक कलन विधि  है। विचार यह है कि f के व्युत्क्रम का अनुमान लगाने के लिए द्विघात प्रक्षेप का उपयोग किया जाए। इस कलन विधि का उपयोग कभी कभी किया जाता है, परन्तु यह महत्वपूर्ण है क्योंकि यह लोकप्रिय ब्रेंट विधि का हिस्सा है।


==विधि==
===विधि===


व्युत्क्रम द्विघात प्रक्षेप एल्गोरिथ्म को [[पुनरावृत्ति संबंध]] द्वारा परिभाषित किया गया है
व्युत्क्रम द्विघात प्रक्षेप कलन विधि को [[पुनरावृत्ति संबंध]] द्वारा परिभाषित किया गया है


:<math> x_{n+1} = \frac{f_{n-1}f_n}{(f_{n-2}-f_{n-1})(f_{n-2}-f_n)} x_{n-2} + \frac{f_{n-2}f_n}{(f_{n-1}-f_{n-2})(f_{n-1}-f_n)} x_{n-1} </math>
:<math> x_{n+1} = \frac{f_{n-1}f_n}{(f_{n-2}-f_{n-1})(f_{n-2}-f_n)} x_{n-2} + \frac{f_{n-2}f_n}{(f_{n-1}-f_{n-2})(f_{n-1}-f_n)} x_{n-1} </math>
:::::<math> {} + \frac{f_{n-2}f_{n-1}}{(f_n-f_{n-2})(f_n-f_{n-1})} x_n, </math>
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जहाँ एफ<sub>''k''</sub> = एफ(एक्स<sub>''k''</sub>). जैसा कि पुनरावृत्ति संबंध से देखा जा सकता है, इस विधि के लिए तीन प्रारंभिक मानों, x की आवश्यकता होती है<sub>0</sub>, एक्स<sub>1</sub> और एक्स<sub>2</sub>.
.जहां fk = f(xk)। जैसा कि पुनरावृत्ति संबंध से देखा जा सकता है, इस विधि के लिए तीन प्रारंभिक मानों, x0, x1 और x2 की आवश्यकता होती है।
 
==विधि की व्याख्या==
 
हम तीन पूर्ववर्ती पुनरावृत्तों, x का उपयोग करते हैं<sub>''n''&minus;2</sub>, एक्स<sub>''n''&minus;1</sub> और एक्स<sub>''n''</sub>, उनके फ़ंक्शन मानों के साथ, एफ<sub>''n''&minus;2</sub>, एफ<sub>''n''&minus;1</sub> और एफ<sub>''n''</sub>. एफ पैदावार के व्युत्क्रम पर द्विघात प्रक्षेप करने के लिए [[लैग्रेंज बहुपद]] को लागू करना


=== विधि का स्पष्टीकरण ===
हम तीन पूर्ववर्ती पुनरावृत्तों, xn−2, xn−1 और xn का उपयोग उनके फलन के मानों, fn−2, fn−1 और fn के साथ करते हैं। उत्पत्ति f के व्युत्क्रम पर द्विघात प्रक्षेप करने के लिए भाषीय प्रक्षेप सूत्र को लागू करने पर
:<math> f^{-1}(y) = \frac{(y-f_{n-1})(y-f_n)}{(f_{n-2}-f_{n-1})(f_{n-2}-f_n)} x_{n-2} + \frac{(y-f_{n-2})(y-f_n)}{(f_{n-1}-f_{n-2})(f_{n-1}-f_n)} x_{n-1} </math>
:<math> f^{-1}(y) = \frac{(y-f_{n-1})(y-f_n)}{(f_{n-2}-f_{n-1})(f_{n-2}-f_n)} x_{n-2} + \frac{(y-f_{n-2})(y-f_n)}{(f_{n-1}-f_{n-2})(f_{n-1}-f_n)} x_{n-1} </math>
:::::<math> {} + \frac{(y-f_{n-2})(y-f_{n-1})}{(f_n-f_{n-2})(f_n-f_{n-1})} x_n. </math>
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हम f के मूल की तलाश कर रहे हैं, इसलिए हम उपरोक्त समीकरण में y = f(x) = 0 प्रतिस्थापित करते हैं और इसका परिणाम उपरोक्त पुनरावर्तन सूत्र में होता है।
हम f के मूल की खोज कर रहे हैं, इसलिए हम उपरोक्त समीकरण में y = f(x) = 0 प्रतिस्थापित करते हैं और इसका परिणाम उपरोक्त पुनरावर्तन सूत्र में होता है।


==व्यवहार==
===व्यवहार===
स्पर्शोन्मुख व्यवहार बहुत उत्तम है: प्रायः, पुनरावृत्त xn समीप आने पर तेजी से जड़ में परिवर्तित हो जाते हैं। यद्यपि यदि प्रारंभिक मान वास्तविक स्थिति के करीब नहीं हैं, तो प्रदर्शन प्रायः अधिक खराब होता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी भी संयोग से दो फलन मान fn−2, fn−1 और fn मेल खाते हैं, तो कलन विधि पूरी तरह से विफल हो जाती  है। इस प्रकार, व्युत्क्रम द्विघात प्रक्षेप का उपयोग शायद ही कभी स्टैंड-अलोन एल्गोरिथ्म के रूप में किया जाता है।


स्पर्शोन्मुख व्यवहार बहुत अच्छा है: आम तौर पर, x पुनरावृत्त होता है<sub>''n''</sub> एक बार जब वे करीब आ जाते हैं तो तेजी से जड़ की ओर एकत्रित हो जाते हैं। हालाँकि, यदि प्रारंभिक मान वास्तविक रूट के करीब नहीं हैं, तो प्रदर्शन अक्सर काफी खराब होता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी भी संयोग से दो फ़ंक्शन मान f<sub>''n''&minus;2</sub>, एफ<sub>''n''&minus;1</sub> और एफ<sub>''n''</sub> संयोग, एल्गोरिथ्म पूरी तरह से विफल रहता है। इस प्रकार, व्युत्क्रम द्विघात प्रक्षेप का उपयोग शायद ही कभी स्टैंड-अलोन एल्गोरिदम के रूप में किया जाता है।
इस अभिसरण का क्रम लगभग 1.84 है जैसा कि सेकेंट विधि गुदा द्वारा सिद्ध किया जा सकता है


इस अभिसरण का क्रम लगभग 1.84 है जैसा कि [[सेकेंट विधि]] विश्लेषण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है।
===अन्य रूट-खोज विधियों के साथ तुलना===


==अन्य रूट-खोज विधियों के साथ तुलना==
अन्य जड़-खोज विधियों के साथ तुलना करने पर


जैसा कि परिचय में बताया गया है, ब्रेंट की विधि में व्युत्क्रम द्विघात प्रक्षेप का उपयोग किया जाता है।
जैसा कि परिचय में बताया गया है, ब्रेंट की विधि में व्युत्क्रम द्विघात प्रक्षेप का उपयोग किया जाता है।


व्युत्क्रम द्विघात प्रक्षेप भी कुछ अन्य मूल-खोज विधियों से निकटता से संबंधित है।
व्युत्क्रम द्विघात प्रक्षेप भी कुछ अन्य मूल-खोज विधियों से निकटता से संबंधित है। द्विघात प्रक्षेप के स्थान पर रैखिक प्रक्षेप का उपयोग करने से छेदक विधि प्राप्त होती है।f के व्युत्क्रम के अतिरिक्त f को  अंतर्वेशक करने से मुलर की विधि प्राप्त होती है।
द्विघात प्रक्षेप के स्थान पर रैखिक प्रक्षेप का उपयोग करने से [[छेदक विधि]] प्राप्त होती है। एफ के व्युत्क्रम के बजाय एफ को इंटरपोल करने से मुलर की विधि मिलती है।
 
==यह भी देखें==
* [[क्रमिक परवलयिक प्रक्षेप]] एक संबंधित विधि है जो जड़ों के बजाय एक्स्ट्रेमा को खोजने के लिए परवलय का उपयोग करती है।
 
==संदर्भ==


*[[James F. Epperson]], [https://books.google.com/books?id=Mp8-z5mHptcC&pg=PA182 An introduction to numerical methods and analysis], pages 182-185, Wiley-Interscience, 2007. {{isbn|978-0-470-04963-1}}
===यह भी देखें===
[[Category: जड़-खोज एल्गोरिदम]]
* क्रमिक परवलयिक प्रक्षेप एक संबंधित विधि है जो जड़ों केअतिरिक्त एक्स्ट्रेमा को खोजने के लिए परवलय का उपयोग करती है।


===संदर्भ===


*[[James F. Epperson]], [https://books.google.com/books?id=Mp8-z5mHptcC&pg=PA182 An introduction to numerical methods and analysis], pages 182-185, Wiley-Interscience, 2007. {{isbn|978-0-470-04963-1}}


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Latest revision as of 11:34, 7 August 2023

संख्यात्मक विश्लेषण में, व्युत्क्रम द्विघात प्रक्षेप एक मूल-खोज कलन विधि है, जिसका अर्थ है कि यह रूप f(x) = 0 के समीकरणों को हल करने के लिए एक कलन विधि  है। विचार यह है कि f के व्युत्क्रम का अनुमान लगाने के लिए द्विघात प्रक्षेप का उपयोग किया जाए। इस कलन विधि का उपयोग कभी कभी किया जाता है, परन्तु यह महत्वपूर्ण है क्योंकि यह लोकप्रिय ब्रेंट विधि का हिस्सा है।

विधि

व्युत्क्रम द्विघात प्रक्षेप कलन विधि को पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है

.जहां fk = f(xk)। जैसा कि पुनरावृत्ति संबंध से देखा जा सकता है, इस विधि के लिए तीन प्रारंभिक मानों, x0, x1 और x2 की आवश्यकता होती है।

विधि का स्पष्टीकरण

हम तीन पूर्ववर्ती पुनरावृत्तों, xn−2, xn−1 और xn का उपयोग उनके फलन के मानों, fn−2, fn−1 और fn के साथ करते हैं। उत्पत्ति f के व्युत्क्रम पर द्विघात प्रक्षेप करने के लिए भाषीय प्रक्षेप सूत्र को लागू करने पर

हम f के मूल की खोज कर रहे हैं, इसलिए हम उपरोक्त समीकरण में y = f(x) = 0 प्रतिस्थापित करते हैं और इसका परिणाम उपरोक्त पुनरावर्तन सूत्र में होता है।

व्यवहार

स्पर्शोन्मुख व्यवहार बहुत उत्तम है: प्रायः, पुनरावृत्त xn समीप आने पर तेजी से जड़ में परिवर्तित हो जाते हैं। यद्यपि यदि प्रारंभिक मान वास्तविक स्थिति के करीब नहीं हैं, तो प्रदर्शन प्रायः अधिक खराब होता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी भी संयोग से दो फलन मान fn−2, fn−1 और fn मेल खाते हैं, तो कलन विधि पूरी तरह से विफल हो जाती  है। इस प्रकार, व्युत्क्रम द्विघात प्रक्षेप का उपयोग शायद ही कभी स्टैंड-अलोन एल्गोरिथ्म के रूप में किया जाता है।

इस अभिसरण का क्रम लगभग 1.84 है जैसा कि सेकेंट विधि गुदा द्वारा सिद्ध किया जा सकता है

अन्य रूट-खोज विधियों के साथ तुलना

अन्य जड़-खोज विधियों के साथ तुलना करने पर

जैसा कि परिचय में बताया गया है, ब्रेंट की विधि में व्युत्क्रम द्विघात प्रक्षेप का उपयोग किया जाता है।

व्युत्क्रम द्विघात प्रक्षेप भी कुछ अन्य मूल-खोज विधियों से निकटता से संबंधित है। द्विघात प्रक्षेप के स्थान पर रैखिक प्रक्षेप का उपयोग करने से छेदक विधि प्राप्त होती है।f के व्युत्क्रम के अतिरिक्त f को  अंतर्वेशक करने से मुलर की विधि प्राप्त होती है।

यह भी देखें

  • क्रमिक परवलयिक प्रक्षेप एक संबंधित विधि है जो जड़ों केअतिरिक्त एक्स्ट्रेमा को खोजने के लिए परवलय का उपयोग करती है।

संदर्भ

  • James F. Epperson, An introduction to numerical methods and analysis, pages 182-185, Wiley-Interscience, 2007. ISBN 978-0-470-04963-1
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