ध्वज (रैखिक बीजगणित): Difference between revisions

Latest revision as of 10:55, 7 August 2023

गणित में, विशेष रूप से रैखिक बीजगणित में, एक ध्वज एक परिमित-आयामी सदिशस्थान V के उप-स्थानों का एक बढ़ता हुआ क्रम है। यहां बढ़ने का मतलब है कि प्रत्येक अगले का एक उचित उप-स्थान है (निस्यंदन देखें):

\{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{k}=V.

ध्वज शब्द ध्वज के सदृश एक विशेष उदाहरण से प्रेरित है: शून्य बिंदु, एक रेखा और एक तल एक कील, एक छड़ी और कपड़े की एक शीट से मेल खाता है।^[1]

यदि हम वह dimV _i =d_i लिखते हैं तो हमारे पास हैं

0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\cdots <d_{k}=n,

जहां n, V का आयाम (रैखिक बीजगणित) है (परिमित माना जाता है)। इसलिए, हमारे पास k ≤ n होना चाहिए। एक ध्वज को 'पूर्ण ध्वज' कहा जाता है यदि सभी i के लिए di = i हो, अन्यथा इसे आंशिक ध्वज कहा जाता है।

कुछ उप-स्थानों को हटाकर पूर्ण ध्वज से आंशिक ध्वज प्राप्त किया जा सकता है। इसके विपरीत, किसी भी आंशिक ध्वज को उपयुक्त उप-स्थान डालकर (कई अलग-अलग तरीकों से) पूरा किया जा सकता है।

ध्वज का 'हस्ताक्षर' (d₁, ..., d_k) अनुक्रम है।

आधार

V के लिए एक क्रमबद्ध आधार (रैखिक बीजगणित) को ध्वज V₀ ⊂ V₁ ⊂ ... ⊂ V_k के लिए 'अनुकूलित' कहा जाता है यदि पहला d_i आधार सदिश प्रत्येक 0 ≤ i ≤ k के लिए V_i के लिए आधार बनाते हैं । रैखिक बीजगणित के मानक तर्क दिखा सकते हैं कि किसी भी ध्वज का एक अनुकूलित आधार होता है।

कोई भी क्रमबद्ध आधार Vi देकर एक पूर्ण ध्वज को जन्म देता है_i पहले i आधार सदिशों का विस्तार बताकर एक पूर्ण ध्वज को जन्म देता है। उदाहरण के लिए, Rⁿ में मानक ध्वज मानक आधार (e₁, ..., e_n)से प्रेरित है जहां जहां e_i, ith प्रविष्टि में 1 और अन्यत्र 0 के साथ सदिश को दर्शाता है।वस्तुतः, मानक ध्वज उप-स्थानों का अनुक्रम है::

0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.

एक अनुकूलित आधार लगभग कभी भी अद्वितीय नहीं होता (प्रति उदाहरण क्षुद्र होते हैं); नीचे देखें।

आंतरिक उत्पाद स्थान पर एक पूर्ण ध्वज में अनिवार्य रूप से अद्वितीय प्रसामान्य लांबिक आधार होता है:यह प्रत्येक सदिश को एक इकाई (इकाई लंबाई का अदिश, उदाहरण के लिए 1, −1, i) से गुणा करने तक अद्वितीय होता है। ऐसा आधार ग्राम-श्मिट प्रक्रिया का उपयोग करके बनाया जा सकता है। इकाइयों तक की विशिष्टता आगमनात्मक से अनुसरण करती है, इसे ध्यान में रखते हुए $v_{i}$ एक आयामी स्थान $V_{i-1}^{\perp }\cap V_{i}$ में निहित है।.

अधिक संक्षेप में, यह अधिकतम टोरस की कार्रवाई तक अद्वितीय है: ध्वज बोरेल समूह से मेल खाता है, और आंतरिक उत्पाद अधिकतम संक्षिप्त उपसमूह से मेल खाता है।^[2]

स्थिरक

मानक ध्वज का स्थिरक उपसमूह उल्टे ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स का समूह है।

सामान्यतः,एक ध्वज का स्थिरक (V पर रैखिक ऑपरेटर जैसे कि $T(V_{i})<V_{i}$ सभी i के लिए) मैट्रिक्स के संदर्भ में, ब्लॉक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स (अनुकूलित आधार के संबंध में) के एक क्षेत्र पर बीजगणित है, जहां ब्लॉक आकार $d_{i}-d_{i-1}$ । पूर्ण ध्वज का स्थिरक उपसमूह ध्वज के अनुकूल किसी भी आधार के संबंध में उल्टे ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स का समुच्चय है। ऐसे आधार के संबंध में निचले त्रिकोणीय मैट्रिक्स का उपसमूह उस आधार पर निर्भर करता है, और इसलिए इसे केवल ध्वज के संदर्भ में चित्रित नहीं किया जा सकता है।

किसी भी पूर्ण ध्वज का स्थिरक उपसमूह एक बोरेल उपसमूह (सामान्य रैखिक समूह का) है, और किसी भी आंशिक झंडे का स्थिरक एक परवलयिक उपसमूह है।

ध्वज का स्थिरक उपसमूह ध्वज के लिए अनुकूलित आधारों पर बस परिवर्तनीय रूप से कार्य करता है, और इस प्रकार ये अद्वितीय नहीं होते हैं जब तक कि स्थिरक तुच्छ न हो। यह एक बहुत ही असाधारण परिस्थिति है: यह केवल आयाम 0 के सदिश समष्टि के लिए, या ऊपर के सदिश समष्टि के लिए होता है $\mathbf {F} _{2}$ आयाम 1 का (सटीक रूप से ऐसे कारक जहां केवल एक ही आधार उपस्थित है, किसी भी ध्वज से स्वतंत्र है)।

उपसमष्‍टि स्थल

अनंत-आयामी अंतरिक्ष V में, जैसा कि कार्यात्मक विश्लेषण में उपयोग किया जाता है, ध्वज विचार एक 'उपस्थान घोंसले' के लिए सामान्यीकृत होता है, अर्थात् V के उपस्थानों का एक संग्रह जो समावेशन के लिए कुल क्रम है और जो आगे मनमाने ढंग से प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) और बंद रैखिक सीमा के अधीन बंद हो जाता है। स्थल बीजगणित देखें।

सेट-सैद्धांतिक एनालॉग्स

एक तत्व वाले क्षेत्र के दृष्टिकोण से, एक सेट को एक तत्व वाले क्षेत्र पर एक सदिश स्थान के रूप में देखा जा सकता है: यह विपरीत समूहों और बीजगणितीय समूहों के बीच विभिन्न समानताओं को औपचारिक बनाता है।

इस समानता के अंतर्गत, एक सेट पर एक क्रम एक अधिकतम ध्वज से मेल खाती है: एक क्रम एक सेट के अधिकतम निस्पंदन के बराबर है। उदाहरण के लिए, निस्पंदन (ध्वज) $\{0\}\subset \{0,1\}\subset \{0,1,2\}$ , $(0,1,2)$ आदेश के अनुरूप है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Kostrikin, Alexei I. and Manin, Yuri I. (1997). Linear Algebra and Geometry, p. 13. Translated from the Russian by M. E. Alferieff. Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 2-88124-683-4.
↑ Harris, Joe (1991). Representation Theory: A First Course, p. 95. Springer. ISBN 0387974954.

Shafarevich, I. R.; A. O. Remizov (2012). Linear Algebra and Geometry. Springer. ISBN 978-3-642-30993-9.

[1] Kostrikin, Alexei I. and Manin, Yuri I. (1997). Linear Algebra and Geometry, p. 13. Translated from the Russian by M. E. Alferieff. Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 2-88124-683-4.

[2] Harris, Joe (1991). Representation Theory: A First Course, p. 95. Springer. ISBN 0387974954.

[1]

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-{{Refimprove|date=September 2014}}
+गणित में, विशेष रूप से रैखिक बीजगणित में, एक ध्वज एक परिमित-आयामी सदिशस्थान V के उप-स्थानों का एक बढ़ता हुआ क्रम है। यहां बढ़ने का मतलब है कि प्रत्येक अगले का एक उचित उप-स्थान है (निस्यंदन देखें):
-गणित में, विशेष रूप से रैखिक बीजगणित में, एक ध्वज एक आयाम ([[ सदिश स्थल ]]) | परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस ''वी'' के रैखिक उप-स्थान का एक बढ़ता हुआ क्रम है। यहां बढ़ने का मतलब है कि प्रत्येक अगले का एक उचित उप-स्थान है (फ़िल्टरेशन (अमूर्त बीजगणित) देखें):
 :<math>\{0\} = V_0 \sub V_1 \sub V_2 \sub \cdots \sub V_k = V.</math>
 ध्वज शब्द ध्वज के सदृश एक विशेष उदाहरण से प्रेरित है: शून्य बिंदु, एक रेखा और एक तल एक कील, एक छड़ी और कपड़े की एक शीट से मेल खाता है।<ref>Kostrikin, Alexei I. and Manin, Yuri I. (1997). ''Linear Algebra and Geometry'', p. 13. Translated from the Russian by M. E. Alferieff. Gordon and Breach Science Publishers. {{ISBN|2-88124-683-4}}.</ref>
-यदि हम वह dimV लिखते हैं<sub>''i''</sub> =डी<sub>''i''</sub> तो हमारे पास हैं
+यदि हम वह dimV <sub>''i''</sub> =''d<sub>i</sub>'' लिखते हैं तो हमारे पास हैं
 :<math>0 = d_0 < d_1 < d_2 < \cdots < d_k = n,</math>
-जहां n, V का [[आयाम (रैखिक बीजगणित)]] है (परिमित माना जाता है)। इसलिए, हमारे पास k ≤ n होना चाहिए। एक ध्वज को 'पूर्ण ध्वज' कहा जाता है यदि d<sub>''i''</sub> = i सबके लिए i, अन्यथा इसे 'आंशिक ध्वज' कहा जाता है।
+जहां n, V का [[आयाम (रैखिक बीजगणित)]] है (परिमित माना जाता है)। इसलिए, हमारे पास k ≤ n होना चाहिए। एक ध्वज को 'पूर्ण ध्वज' कहा जाता है यदि सभी i के लिए di = i हो, अन्यथा इसे आंशिक ध्वज कहा जाता है।
 कुछ उप-स्थानों को हटाकर पूर्ण ध्वज से आंशिक ध्वज प्राप्त किया जा सकता है। इसके विपरीत, किसी भी आंशिक ध्वज को उपयुक्त उप-स्थान डालकर (कई अलग-अलग तरीकों से) पूरा किया जा सकता है।
-ध्वज का 'हस्ताक्षर' अनुक्रम है (डी<sub>1</sub>, ..., डी<sub>''k''</sub>).
+ध्वज का 'हस्ताक्षर' (''d''<sub>1</sub>, ..., ''d<sub>k</sub>'') अनुक्रम है।
 ==आधार==
-V के लिए एक क्रमबद्ध [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] को ध्वज V के लिए 'अनुकूलित' कहा जाता है<sub>0</sub> ⊂ वी<sub>1</sub> ⊂ ... ⊂ वी<sub>''k''</sub> यदि पहला डी<sub>''i''</sub> आधार सदिश V के लिए आधार बनाते हैं<sub>''i''</sub> प्रत्येक 0 ≤ i ≤ k के लिए। रैखिक बीजगणित के मानक तर्क दिखा सकते हैं कि किसी भी ध्वज का एक अनुकूलित आधार होता है।
+V के लिए एक क्रमबद्ध [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] को ध्वज V<sub>0</sub> ⊂ V<sub>1</sub> ⊂ ... ⊂ V<sub>''k''</sub>  के लिए 'अनुकूलित' कहा जाता है यदि पहला  ''d<sub>i</sub>'' आधार सदिश प्रत्येक 0 ≤ i ≤ k के लिए V<sub>''i''</sub> के लिए आधार बनाते हैं । रैखिक बीजगणित के मानक तर्क दिखा सकते हैं कि किसी भी ध्वज का एक अनुकूलित आधार होता है।
-कोई भी आदेशित आधार वी देकर एक पूर्ण ध्वज को जन्म देता है<sub>''i''</sub> पहले i आधार सदिशों का [[रैखिक विस्तार]] हो। उदाहरण के लिए, '{{Visible anchor|standard flag}}आर में<sup>n</sup> [[मानक आधार]] से प्रेरित है (उदा<sub>1</sub>, ..., यह है<sub>''n''</sub>) जहां ई<sub>''i''</sub> वेक्टर को पहली प्रविष्टि में 1 और अन्यत्र 0 से दर्शाता है। सीधे तौर पर, मानक ध्वज उप-स्थानों का अनुक्रम है:
+कोई भी क्रमबद्ध आधार Vi देकर एक पूर्ण ध्वज को जन्म देता है<sub>''i''</sub> पहले i आधार सदिशों का विस्तार बताकर एक पूर्ण ध्वज को जन्म देता है। उदाहरण के लिए, '''R'''<sup>''n''</sup>  में मानक ध्वज [[मानक आधार]] (''e''<sub>1</sub>, ..., ''e<sub>n</sub>'')से प्रेरित है  जहां जहां e<sub>i</sub>, ith प्रविष्टि में 1 और अन्यत्र 0 के साथ सदिश को दर्शाता है।वस्तुतः, मानक ध्वज उप-स्थानों का अनुक्रम है::
 :<math>0 < \left\langle e_1\right\rangle < \left\langle e_1,e_2\right\rangle < \cdots < \left\langle e_1,\ldots,e_n \right\rangle = K^n.</math>
-एक अनुकूलित आधार लगभग कभी भी अद्वितीय नहीं होता (प्रतिउदाहरण तुच्छ होते हैं); नीचे देखें।
+एक अनुकूलित आधार लगभग कभी भी अद्वितीय नहीं होता (प्रति उदाहरण क्षुद्र होते हैं); नीचे देखें।
-[[आंतरिक उत्पाद स्थान]] पर एक पूर्ण ध्वज में अनिवार्य रूप से अद्वितीय [[ऑर्थोनॉर्मल आधार]] होता है: यह प्रत्येक वेक्टर को एक इकाई (इकाई लंबाई का स्केलर, उदाहरण के लिए 1, −1, i) से गुणा करने तक अद्वितीय होता है। ऐसा आधार [[ग्राम-श्मिट प्रक्रिया]] का उपयोग करके बनाया जा सकता है। इकाइयों तक की विशिष्टता [[गणितीय प्रेरण]] का अनुसरण करती है, इसे ध्यान में रखते हुए <math>v_i</math> एक आयामी स्थान में निहित है <math>V_{i-1}^\perp \cap V_i</math>.
+[[आंतरिक उत्पाद स्थान]] पर एक पूर्ण ध्वज में अनिवार्य रूप से अद्वितीय [[ऑर्थोनॉर्मल आधार|प्रसामान्य लांबिक आधार]] होता है:यह प्रत्येक सदिश को एक इकाई (इकाई लंबाई का अदिश, उदाहरण के लिए 1, −1, i) से गुणा करने तक अद्वितीय होता है। ऐसा आधार [[ग्राम-श्मिट प्रक्रिया]] का उपयोग करके बनाया जा सकता है। इकाइयों तक की विशिष्टता [[Index.php?title=आगमनात्मक|आगमनात्मक]] से अनुसरण करती है, इसे ध्यान में रखते हुए <math>v_i</math> एक आयामी स्थान <math>V_{i-1}^\perp \cap V_i</math> में निहित है।.
-अधिक संक्षेप में, यह [[अधिकतम टोरस]] की कार्रवाई तक अद्वितीय है: ध्वज [[बोरेल समूह]] से मेल खाता है, और आंतरिक उत्पाद अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह से मेल खाता है।<ref>Harris, Joe (1991). ''Representation Theory: A First Course'', p. 95. Springer. {{ISBN|0387974954}}.</ref>
+अधिक संक्षेप में, यह [[अधिकतम टोरस]] की कार्रवाई तक अद्वितीय है: ध्वज [[बोरेल समूह]] से मेल खाता है, और आंतरिक उत्पाद अधिकतम संक्षिप्त उपसमूह से मेल खाता है।<ref>Harris, Joe (1991). ''Representation Theory: A First Course'', p. 95. Springer. {{ISBN|0387974954}}.</ref>
+==स्थिरक==
+मानक ध्वज का स्थिरक उपसमूह [[Index.php?title=उल्टे मैट्रिक्स|उल्टे]] [[ऊपरी त्रिकोणीय]] [[मैट्रिक्स (गणित)|मैट्रिक्स]] का [[समूह (गणित)|समूह]]  है।
+सामान्यतः,एक ध्वज का स्थिरक (''V'' पर [[रैखिक ऑपरेटर]] जैसे कि <math>T(V_i) < V_i</math> सभी i के लिए) मैट्रिक्स के संदर्भ में, ब्लॉक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स (अनुकूलित आधार के संबंध में) के [[एक क्षेत्र पर बीजगणित]] है, जहां ब्लॉक आकार <math>d_i-d_{i-1}</math>। पूर्ण ध्वज का स्थिरक उपसमूह ध्वज के अनुकूल किसी भी आधार के संबंध में उल्टे ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स का समुच्चय है। ऐसे आधार के संबंध में निचले त्रिकोणीय मैट्रिक्स का उपसमूह उस आधार पर निर्भर करता है, और इसलिए इसे केवल ध्वज के संदर्भ में चित्रित नहीं किया जा सकता है।
-==स्टेबलाइजर==
+किसी भी पूर्ण ध्वज का स्थिरक उपसमूह एक [[बोरेल उपसमूह]] ([[सामान्य रैखिक समूह]] का) है, और किसी भी आंशिक झंडे का स्थिरक एक [[परवलयिक उपसमूह]] है।
-मानक ध्वज का स्टेबलाइज़र उपसमूह [[उलटा मैट्रिक्स]] [[ऊपरी त्रिकोणीय]] [[मैट्रिक्स (गणित)]] का [[समूह (गणित)]] है।
-अधिक आम तौर पर, एक ध्वज का स्टेबलाइज़र (वी पर [[रैखिक ऑपरेटर]] जैसे कि <math>T(V_i) < V_i</math> सभी के लिए i) मैट्रिक्स के संदर्भ में, ब्लॉक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स (अनुकूलित आधार के संबंध में) के [[एक क्षेत्र पर बीजगणित]] है, जहां ब्लॉक आकार <math>d_i-d_{i-1}</math>. पूर्ण ध्वज का स्टेबलाइज़र उपसमूह ध्वज के अनुकूल किसी भी आधार के संबंध में उल्टे ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स का सेट है। ऐसे आधार के संबंध में निचले त्रिकोणीय मैट्रिक्स का उपसमूह उस आधार पर निर्भर करता है, और इसलिए इसे केवल ध्वज के संदर्भ में चित्रित नहीं किया जा सकता है।
+ध्वज का स्थिरक उपसमूह ध्वज के लिए अनुकूलित आधारों पर बस परिवर्तनीय रूप से कार्य करता है, और इस प्रकार ये अद्वितीय नहीं होते हैं जब तक कि स्थिरक तुच्छ न हो। यह एक बहुत ही असाधारण परिस्थिति है: यह केवल आयाम 0 के सदिश समष्टि के लिए, या ऊपर के सदिश समष्टि के लिए होता है <math>\mathbf{F}_2</math> आयाम 1 का (सटीक रूप से ऐसे कारक जहां केवल एक ही आधार उपस्थित है, किसी भी ध्वज से स्वतंत्र है)।
-किसी भी पूर्ण ध्वज का स्टेबलाइजर उपसमूह एक [[बोरेल उपसमूह]] ([[सामान्य रैखिक समूह]] का) है, और किसी भी आंशिक झंडे का स्टेबलाइजर एक [[परवलयिक उपसमूह]] है।
+==उपसमष्‍टि स्थल==
+अनंत-आयामी अंतरिक्ष V में, जैसा कि [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में उपयोग किया जाता है, ध्वज विचार एक 'उपस्थान घोंसले' के लिए सामान्यीकृत होता है, अर्थात् V के उपस्थानों का एक संग्रह जो [[समावेशन (सेट सिद्धांत)|समावेशन]]  के लिए कुल क्रम है और जो आगे मनमाने ढंग से  [[प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत)]] और बंद रैखिक सीमा के अधीन बंद हो जाता है। [[Index.php?title=स्थल बीजगणित|स्थल बीजगणित]] देखें।
-ध्वज का स्टेबलाइज़र उपसमूह ध्वज के लिए अनुकूलित आधारों पर बस परिवर्तनीय रूप से कार्य करता है, और इस प्रकार ये अद्वितीय नहीं होते हैं जब तक कि स्टेबलाइज़र तुच्छ न हो। यह एक बहुत ही असाधारण परिस्थिति है: यह केवल आयाम 0 के सदिश समष्टि के लिए, या ऊपर के सदिश समष्टि के लिए होता है <math>\mathbf{F}_2</math> आयाम 1 का (सटीक रूप से ऐसे मामले जहां केवल एक ही आधार मौजूद है, किसी भी ध्वज से स्वतंत्र)।
-==सबस्पेस नेस्ट==
-अनंत-आयामी अंतरिक्ष V में, जैसा कि [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में उपयोग किया जाता है, ध्वज विचार एक 'उपस्थान घोंसला' के लिए सामान्यीकृत होता है, अर्थात् V के उपस्थानों का एक संग्रह जो [[समावेशन (सेट सिद्धांत)]] के लिए कुल क्रम है और जो आगे मनमाने ढंग से बंद हो जाता है [[प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत)]] और बंद रैखिक स्पैन। [[घोंसला बीजगणित]] देखें.
 ==सेट-सैद्धांतिक एनालॉग्स==
-{{Further|Field with one element}}
+{{Further|एक तत्व वाला क्षेत्र}}
-एक तत्व वाले क्षेत्र के दृष्टिकोण से, एक सेट को एक तत्व वाले क्षेत्र पर एक वेक्टर स्थान के रूप में देखा जा सकता है: यह [[कॉक्सेटर समूह]]ों और [[बीजगणितीय समूह]]ों के बीच विभिन्न समानताओं को औपचारिक बनाता है।
+एक तत्व वाले क्षेत्र के दृष्टिकोण से, एक सेट को एक तत्व वाले क्षेत्र पर एक सदिश स्थान के रूप में देखा जा सकता है: यह [[Index.php?title=विपरीत समूहों|विपरीत समूहों]] और [[Index.php?title=बीजगणितीय समूहों|बीजगणितीय समूहों]] के बीच विभिन्न समानताओं को औपचारिक बनाता है।
-इस पत्राचार के तहत, एक सेट पर एक ऑर्डरिंग एक अधिकतम ध्वज से मेल खाती है: एक ऑर्डरिंग एक सेट के अधिकतम निस्पंदन के बराबर है। उदाहरण के लिए, निस्पंदन (ध्वज) <math>\{0\} \subset \{0,1\} \subset \{0,1,2\}</math> आदेश के अनुरूप है <math>(0,1,2)</math>.
+इस समानता के अंतर्गत, एक सेट पर एक क्रम  एक अधिकतम ध्वज से मेल खाती है: एक क्रम एक सेट के अधिकतम निस्पंदन के बराबर है। उदाहरण के लिए, निस्पंदन (ध्वज) <math>\{0\} \subset \{0,1\} \subset \{0,1,2\}</math>, <math>(0,1,2)</math>आदेश के अनुरूप है।
 ==यह भी देखें==
@@ Line 61: / Line 59: @@
    | isbn = 978-3-642-30993-9}}
-{{DEFAULTSORT:Flag (Linear Algebra)}}[[Category: लीनियर अलजेब्रा]]
+{{DEFAULTSORT:Flag (Linear Algebra)}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Flag (Linear Algebra)]]
-[[Category:Created On 19/07/2023]]
+[[Category:Created On 19/07/2023|Flag (Linear Algebra)]]
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