बहुभिन्नरूपी प्रक्षेप: Difference between revisions

Latest revision as of 20:46, 8 August 2023

संख्यात्मक विश्लेषण में, बहुभिन्नरूपी अंतर्वेशन एक से अधिक चर (बहुभिन्नरूपी कार्य) के फलनों पर अंतर्वेशन है; जब परिवर्तन स्थानिक निर्देशांक होते हैं, तो इसे स्थानिक अंतर्वेशन के रूप में भी जाना जाता है।

अंतर्वेशन किए जाने वाले फलन को दिए गए बिंदुओं $(x_{i},y_{i},z_{i},\dots )$ पर जाना जाता है और अंतर्वेशन समस्या में इच्छानुसार बिंदुओं $(x,y,z,\dots )$ पर मान प्राप्त होते हैं।

भू-सांख्यिकी में बहुभिन्नरूपी अंतर्वेशन विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, जहां इसका उपयोग पृथ्वी की सतह पर बिंदुओं के एक समुच्चय से डिजिटल ऊंचाई मॉडल बनाने के लिए किया जाता है (उदाहरण के लिए, स्थलाकृतिक सर्वेक्षणों में स्पॉट ऊंचाई या हाइड्रोग्राफिक सर्वेक्षणों में गहराई)।

नियमित ग्रिड

Comparison of some 1- and 2-dimensional interpolations.
Black and red/yellow/green/blue dots correspond to the interpolated point and neighbouring samples, respectively.
Their heights above the ground correspond to their values.

नियमित ग्रिड पर ज्ञात फलन मानों के लिए (पूर्व निर्धारित, आवश्यक नहीं कि एक समान, रिक्ति हो), निम्नलिखित विधियाँ उपलब्ध हैं।

कोई भी आयाम

निकटतम-नेबर अंतर्वेशन
n-रैखिक अंतर्वेशन (द्वि- और त्रिरेखीय अंतर्वेशन और बहुरेखीय बहुपद देखें)
n-घन अंतर्वेशन (द्वि- और त्रिघन अंतर्वेशन देखें)
क्रिंगिंग
व्युत्क्रम दूरी भारांकन
प्राकृतिक नेबर अंतर्वेशन
स्प्लाइन अंतर्वेशन
रेडियल आधार फलन अंतर्वेशन

2 आयाम

बार्न्स अंतर्वेशन
द्विरेखीय अंतर्वेशन
बाइक्यूबिक अंतर्वेशन
बेज़ियर सतह
लैंज़ोस पुनः नमूनाकरण
डेलाउने त्रिकोणासन

बिटमैप पुनः नमूनाकरण छवि प्रसंस्करण में 2डी बहुभिन्नरूपी अंतर्वेशन का अनुप्रयोग है।

काले बिंदुओं पर स्थित 25 मानों में से तीन विधियों को एक ही डेटासमुच्चय पर लागू किया गया था। रंग अंतर्वेशित मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

निकटतम नेबर
द्विरैखिक
द्वि घन

दो चरों में बहुपद अंतर्वेशन के लिए पडुआ (Padua) बिंदु भी देखें।

3 आयाम

त्रिरेखीय अंतर्वेशन
ट्राइक्यूबिक अंतर्वेशन

पुनः नमूनाकरण (बिटमैप) भी देखें।

एन आयामों के लिए टेंसर उत्पाद स्प्लिंस

कैटमुल-रोम स्प्लिंस को किसी भी संख्या में आयामों में आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है।

कैटमुल-रोम स्प्लिंस को किसी भी संख्या में आयामों के लिए आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है। क्यूबिक हर्मिट स्पलाइन लेख आपको इसकी याद दिलाएगा $\mathrm {CINT} _{x}(f_{-1},f_{0},f_{1},f_{2})=\mathbf {b} (x)\cdot \left(f_{-1}f_{0}f_{1}f_{2}\right)$ कुछ 4-सदिश के लिए $\mathbf {b} (x)$ जो अकेले x का एक फलन है, जहां $f_{j}$ प्रक्षेपित किए जाने वाले फलन के $j$ पर मान है। इस सन्निकटन को इस प्रकार पुनः लिखें

\mathrm {CR} (x)=\sum _{i=-1}^{2}f_{i}b_{i}(x)

इस सूत्र को सीधे N आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:^[1]

\mathrm {CR} (x_{1},\dots ,x_{N})=\sum _{i_{1},\dots ,i_{N}=-1}^{2}f_{i_{1}\dots i_{N}}\prod _{j=1}^{N}b_{i_{j}}(x_{j})

ध्यान दें कि इसी तरह के सामान्यीकरण अन्य प्रकार के स्पलाइन अंतर्वेशन के लिए किए जा सकते हैं, जिनमें हर्मिट स्प्लिन भी शामिल है। दक्षता के संबंध में, सामान्य सूत्र की गणना वास्तव में क्रमिक की संरचना के रूप में की जा सकती है $\mathrm {CINT}$ -किसी भी प्रकार के टेंसर उत्पाद स्प्लिन के लिए प्रकार के संचालन, जैसा कि ट्राइक्यूबिक अंतर्वेशन लेख में बताया गया है।

हालाँकि, तथ्य यह है कि अगर वहाँ हैं $n$ 1-आयामी में शर्तें $\mathrm {CR}$ -जैसे योग, तब होगा $n^{N}$ में शर्तें $N$ -आयामी योग.

अनियमित ग्रिड (अव्यवस्थित डेटा)

अनियमित ग्रिड पर अव्यवस्थित डेटा के लिए परिभाषित योजनाएँ अधिक सामान्य हैं।

उन सभी को एक नियमित ग्रिड पर काम करना चाहिए, आम तौर पर किसी अन्य ज्ञात विधि को कम करना चाहिए।

निकटतम-नेबर अंतर्वेशन
त्रिकोणीय अनियमित नेटवर्क-आधारित प्राकृतिक नेबर
त्रिकोणीय अनियमित नेटवर्क-आधारित रैखिक अंतर्वेशन (एक प्रकार का टुकड़ावार रैखिक कार्य)
- n-सिंप्लेक्स (जैसे टेट्राहेड्रोनरेखिक आंतरिक (बैरीसेंट्रिक समन्वय प्रणाली देखें)
व्युत्क्रम दूरी भारांकन
क्रिगिंग
ग्रेडिएंट-एन्हांस्ड क्रिंगिंग (जीईके)
पतली प्लेट स्प्लाइन
पॉलीहार्मोनिक स्प्लाइन (पतली-प्लेट-स्प्लाइन पॉलीहार्मोनिक स्प्लाइन का एक विशेष मामला है)
रेडियल आधार फलन (पॉलीहार्मोनिक स्प्लिन निम्न डिग्री बहुपद शर्तों के साथ रेडियल आधार फलन का एक विशेष मामला है)
न्यूनतम-वर्ग स्प्लाइन (गणित)
प्राकृतिक नेबर अंतर्वेशन

ग्रिडिंग अनियमित दूरी वाले डेटा को नियमित ग्रिड (ग्रिडयुक्त डेटा) में परिवर्तित करने की प्रक्रिया है।

यह भी देखें

समरेखण (स्मूथिंग)
सतह फिटिंग

बाहरी संबंध

[1] Two hierarchies of spline interpolations. Practical algorithms for multivariate higher order splines

[1]

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 {{short description|Interpolation on functions of more than one variable}}
-[[संख्यात्मक विश्लेषण]] में, बहुभिन्नरूपी [[प्रक्षेप]] एक से अधिक चर (''[[बहुभिन्नरूपी कार्य]]'') के कार्यों पर प्रक्षेप है; जब चर स्थानिक निर्देशांक होते हैं, तो इसे स्थानिक प्रक्षेप के रूप में भी जाना जाता है।
+[[संख्यात्मक विश्लेषण]] में, '''बहुभिन्नरूपी अंतर्वेशन''' एक से अधिक चर (''बहुभिन्नरूपी कार्य'') के फलनों पर अंतर्वेशन है; जब परिवर्तन स्थानिक निर्देशांक होते हैं, तो इसे स्थानिक अंतर्वेशन के रूप में भी जाना जाता है।
-प्रक्षेपित किए जाने वाले फ़ंक्शन को दिए गए बिंदुओं पर जाना जाता है <math>(x_i, y_i, z_i, \dots)</math> और प्रक्षेप समस्या में मनमाने बिंदुओं पर मान प्राप्त करना शामिल है <math>(x,y,z,\dots)</math>.
-भू-सांख्यिकी में बहुभिन्नरूपी प्रक्षेप विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, जहां इसका उपयोग पृथ्वी की सतह पर बिंदुओं के एक सेट से एक डिजिटल ऊंचाई मॉडल बनाने के लिए किया जाता है (उदाहरण के लिए, [[स्थलाकृतिक सर्वेक्षण]] में स्पॉट ऊंचाई या [[हाइड्रोग्राफिक सर्वेक्षण]] में गहराई)।
+अंतर्वेशन किए जाने वाले फलन को दिए गए बिंदुओं <math>(x_i, y_i, z_i, \dots)</math> पर जाना जाता है और अंतर्वेशन समस्या में इच्छानुसार बिंदुओं <math>(x,y,z,\dots)</math> पर मान प्राप्त होते हैं।
+भू-सांख्यिकी में बहुभिन्नरूपी अंतर्वेशन विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, जहां इसका उपयोग पृथ्वी की सतह पर बिंदुओं के एक समुच्चय से डिजिटल ऊंचाई मॉडल बनाने के लिए किया जाता है (उदाहरण के लिए, स्थलाकृतिक सर्वेक्षणों में स्पॉट ऊंचाई या हाइड्रोग्राफिक सर्वेक्षणों में गहराई)।
 ==नियमित ग्रिड==
 {{comparison_of_1D_and_2D_interpolation.svg|300px|}}
-[[नियमित ग्रिड]] पर ज्ञात फ़ंक्शन मानों के लिए (पूर्व निर्धारित, जरूरी नहीं कि समान, रिक्ति), निम्नलिखित विधियां उपलब्ध हैं।
+[[नियमित ग्रिड]] पर ज्ञात फलन मानों के लिए (पूर्व निर्धारित, आवश्यक नहीं कि एक समान, रिक्ति हो), निम्नलिखित विधियाँ उपलब्ध हैं।
 ===कोई भी आयाम===
-* [[निकटतम-पड़ोसी प्रक्षेप]]
+* [[निकटतम-पड़ोसी प्रक्षेप|निकटतम-नेबर अंतर्वेशन]]
-* एन-रैखिक प्रक्षेप ([[द्विरेखीय प्रक्षेप]] देखें|द्वि- और [[त्रिरेखीय प्रक्षेप]] और [[बहुरेखीय बहुपद]])
+* n-रैखिक अंतर्वेशन (द्वि- और त्रिरेखीय अंतर्वेशन और बहुरेखीय बहुपद देखें)
-* एन-क्यूबिक इंटरपोलेशन ([[बाइक्यूबिक इंटरपोलेशन]] देखें|द्वि- और [[ट्राइक्यूबिक इंटरपोलेशन]])
+* n-घन अंतर्वेशन (द्वि- और त्रिघन अंतर्वेशन देखें)
-* [[ युद्ध ]]
+* क्रिंगिंग
-* व्युत्क्रम दूरी भार
+* व्युत्क्रम दूरी भारांकन
-* [[प्राकृतिक पड़ोसी प्रक्षेप]]
+* प्राकृतिक नेबर अंतर्वेशन
-* [[तख़्ता प्रक्षेप]]
+* स्प्लाइन अंतर्वेशन
-* [[रेडियल आधार फ़ंक्शन इंटरपोलेशन]]
+* रेडियल आधार फलन अंतर्वेशन
 ===2 आयाम===
-* [[बार्न्स इंटरपोलेशन]]
+* बार्न्स अंतर्वेशन
-* द्विरेखीय प्रक्षेप
+* द्विरेखीय अंतर्वेशन
-* बाइक्यूबिक इंटरपोलेशन
+* बाइक्यूबिक अंतर्वेशन
 * बेज़ियर सतह
-* [[लैंज़ोस पुनः नमूनाकरण]]
+* लैंज़ोस पुनः नमूनाकरण
-* [[डेलाउने त्रिकोणासन]]
+* डेलाउने त्रिकोणासन
-पुनः नमूनाकरण (बिटमैप) छवि प्रसंस्करण में 2डी बहुभिन्नरूपी प्रक्षेप का अनुप्रयोग है।
+बिटमैप पुनः नमूनाकरण छवि प्रसंस्करण में 2डी बहुभिन्नरूपी अंतर्वेशन का अनुप्रयोग है।
-काले बिंदुओं पर स्थित 25 मानों में से तीन विधियाँ एक ही डेटासेट पर लागू की गईं। रंग प्रक्षेपित मूल्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
+काले बिंदुओं पर स्थित 25 मानों में से तीन विधियों को एक ही डेटासमुच्चय पर लागू किया गया था। रंग अंतर्वेशित मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
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-   |File:Interpolation-nearest.svg|Nearest neighbor
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 }}
-दो चरों में [[बहुपद प्रक्षेप]] के लिए पडुआ बिंदु भी देखें।
+दो चरों में [[बहुपद प्रक्षेप|बहुपद अंतर्वेशन]] के लिए पडुआ (Padua) बिंदु भी देखें।
 ===3 आयाम===
-* त्रिरेखीय प्रक्षेप
+* त्रिरेखीय अंतर्वेशन
-* ट्राइक्यूबिक इंटरपोलेशन
+* ट्राइक्यूबिक अंतर्वेशन
 पुनः नमूनाकरण (बिटमैप) भी देखें।
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 कैटमुल-रोम स्प्लिंस को किसी भी संख्या में आयामों में आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है।
-[[क्यूबिक हर्माइट तख़्ता]] लेख आपको इसकी याद दिलाएगा <math>\mathrm{CINT}_x(f_{-1}, f_0, f_1, f_2) = \mathbf{b}(x) \cdot \left( f_{-1} f_0 f_1 f_2 \right)</math> कुछ 4-वेक्टर के लिए <math>\mathbf{b}(x)</math> जो अकेले x का एक फलन है, जहाँ <math>f_j</math> पर मूल्य है <math>j</math> प्रक्षेपित किए जाने वाले फ़ंक्शन का.
-इस सन्निकटन को इस प्रकार पुनः लिखें
+कैटमुल-रोम स्प्लिंस को किसी भी संख्या में आयामों के लिए आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है। क्यूबिक हर्मिट स्पलाइन लेख आपको इसकी याद दिलाएगा <math>\mathrm{CINT}_x(f_{-1}, f_0, f_1, f_2) = \mathbf{b}(x) \cdot \left( f_{-1} f_0 f_1 f_2 \right)</math> कुछ 4-सदिश के लिए <math>\mathbf{b}(x)</math> जो अकेले x का एक फलन है, जहां <math>f_j</math> प्रक्षेपित किए जाने वाले फलन के <math>j</math> पर मान है। इस सन्निकटन को इस प्रकार पुनः लिखें
 :<math>
 \mathrm{CR}(x) = \sum_{i=-1}^2 f_i b_i(x)
 </math>
-इस सूत्र को सीधे एन आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:<ref>[https://arxiv.org/abs/0905.3564 Two hierarchies of spline interpolations. Practical algorithms for multivariate higher order splines]</ref>
+इस सूत्र को सीधे N आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:<ref>[https://arxiv.org/abs/0905.3564 Two hierarchies of spline interpolations. Practical algorithms for multivariate higher order splines]</ref>
 :<math>
 \mathrm{CR}(x_1,\dots,x_N) = \sum_{i_1,\dots,i_N=-1}^2 f_{i_1\dots i_N} \prod_{j=1}^N b_{i_j}(x_j)
 </math>
-ध्यान दें कि इसी तरह के सामान्यीकरण अन्य प्रकार के स्पलाइन इंटरपोलेशन के लिए किए जा सकते हैं, जिनमें हर्मिट स्प्लिन भी शामिल है।
+ध्यान दें कि इसी तरह के सामान्यीकरण अन्य प्रकार के स्पलाइन अंतर्वेशन के लिए किए जा सकते हैं, जिनमें हर्मिट स्प्लिन भी शामिल है।
-दक्षता के संबंध में, सामान्य सूत्र की गणना वास्तव में क्रमिक की संरचना के रूप में की जा सकती है <math>\mathrm{CINT}</math>-किसी भी प्रकार के टेंसर उत्पाद स्प्लिन के लिए प्रकार के संचालन, जैसा कि ट्राइक्यूबिक इंटरपोलेशन लेख में बताया गया है।
+दक्षता के संबंध में, सामान्य सूत्र की गणना वास्तव में क्रमिक की संरचना के रूप में की जा सकती है <math>\mathrm{CINT}</math>-किसी भी प्रकार के टेंसर उत्पाद स्प्लिन के लिए प्रकार के संचालन, जैसा कि ट्राइक्यूबिक अंतर्वेशन लेख में बताया गया है।
 हालाँकि, तथ्य यह है कि अगर वहाँ हैं <math>n</math> 1-आयामी में शर्तें <math>\mathrm{CR}</math>-जैसे योग, तब होगा <math>n^N</math> में शर्तें <math>N</math>-आयामी योग.
-== [[अनियमित ग्रिड]] (बिखरा हुआ डेटा) ==
+== अनियमित ग्रिड (अव्यवस्थित डेटा) ==
-अनियमित ग्रिड पर बिखरे हुए डेटा के लिए परिभाषित योजनाएँ अधिक सामान्य हैं।
+अनियमित ग्रिड पर अव्यवस्थित डेटा के लिए परिभाषित योजनाएँ अधिक सामान्य हैं।
 उन सभी को एक नियमित ग्रिड पर काम करना चाहिए, आम तौर पर किसी अन्य ज्ञात विधि को कम करना चाहिए।
-* निकटतम-पड़ोसी प्रक्षेप
+* निकटतम-नेबर अंतर्वेशन
-* [[त्रिकोणीय अनियमित नेटवर्क]]-आधारित [[प्राकृतिक पड़ोसी]]
+* [[त्रिकोणीय अनियमित नेटवर्क]]-आधारित प्राकृतिक नेबर
-* त्रिकोणीय अनियमित नेटवर्क-आधारित रैखिक प्रक्षेप (एक प्रकार का टुकड़ावार रैखिक कार्य)
+* त्रिकोणीय अनियमित नेटवर्क-आधारित रैखिक अंतर्वेशन (एक प्रकार का टुकड़ावार रैखिक कार्य)
-** एन-सिंप्लेक्स (जैसे टेट्राहेड्रोन[[रेखिक आंतरिक]] ([[बैरीसेंट्रिक समन्वय प्रणाली]] देखें)
+** n-सिंप्लेक्स (जैसे टेट्राहेड्रोन[[रेखिक आंतरिक]] ([[बैरीसेंट्रिक समन्वय प्रणाली]] देखें)
-* व्युत्क्रम दूरी भार
+* व्युत्क्रम दूरी भारांकन
 * क्रिगिंग
 * [[ग्रेडिएंट-एन्हांस्ड क्रिंगिंग]] (जीईके)
-* [[पतली प्लेट तख़्ता]]
+* पतली प्लेट स्प्लाइन
-* [[ पॉलीहार्मोनिक तख़्ता ]] (पतली-प्लेट-स्प्लाइन पॉलीहार्मोनिक स्प्लाइन का एक विशेष मामला है)
+* [[ पॉलीहार्मोनिक तख़्ता | पॉलीहार्मोनिक स्प्लाइन]]   (पतली-प्लेट-स्प्लाइन पॉलीहार्मोनिक स्प्लाइन का एक विशेष मामला है)
-* रेडियल आधार फ़ंक्शन (पॉलीहार्मोनिक स्प्लिन निम्न डिग्री बहुपद शर्तों के साथ रेडियल आधार फ़ंक्शन का एक विशेष मामला है)
+* रेडियल आधार फलन (पॉलीहार्मोनिक स्प्लिन निम्न डिग्री बहुपद शर्तों के साथ रेडियल आधार फलन का एक विशेष मामला है)
-* न्यूनतम-वर्ग [[तख़्ता (गणित)]]
+* न्यूनतम-वर्ग [[तख़्ता (गणित)|स्प्लाइन  (गणित)]]
-* [[प्राकृतिक पड़ोसी प्रक्षेप]]
+* [[प्राकृतिक पड़ोसी प्रक्षेप|प्राकृतिक नेबर अंतर्वेशन]]
 {{anchor|Gridding}}ग्रिडिंग अनियमित दूरी वाले डेटा को नियमित ग्रिड ([[ग्रिडयुक्त डेटा]]) में परिवर्तित करने की प्रक्रिया है।
 ==यह भी देखें==
-* चिकना करना
+* समरेखण (स्मूथिंग)
 *सतह फिटिंग
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 * [https://web.archive.org/web/20060915111500/http://www.ices.utexas.edu/CVC/papers/multidim.pdf Multi-dimensional Hermite Interpolation and Approximation], Prof. Chandrajit Bajaja, [[Purdue University]]
 * [https://github.com/DurhamDecLab/ARBInterp Python library containing 3D and 4D spline interpolation methods.]
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