फ्रोबेनियस सहसंयोजक

आव्यूह (गणित) में, एक वर्ग आव्यूह के फ्रोबेनियस सहसंयोजक A इसके विशेष बहुपद हैं, अर्थात् प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) आव्यूह A_i के आइगेन वैल्यू, आइगेन सदिश और आइगेनसमष्टि से संबद्ध A. इनका नाम गणितज्ञ फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस के नाम पर रखा गया है।

प्रत्येक सहसंयोजक आइगेन वैल्यू λ_i, से संबद्ध आइगेनसमष्टि पर एक प्रक्षेपण है। फ्रोबेनियस सहसंयोजक सिल्वेस्टर के सूत्र के गुणांक हैं, जो आव्यूह f(A) के एक फलन को आव्यूह बहुपद के रूप में व्यक्त करता है, अर्थात् A के आइगेनवैल्यू पर उस फलन के मानों का एक रैखिक संयोजन है।

औपचारिक परिभाषा

मान लीजिए A एक विकर्णीय आव्यूह है जिसका आइगेन वैल्यू λ₁, …, λ_k है।

फ्रोबेनियस सहसंयोजक A_i, i = 1 के लिए,…, k, आव्यूह है

$A_{i}\equiv \prod _{j=1 \atop j\neq i}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}(A-\lambda _{j}I)~.$

यह अनिवार्य रूप से आव्यूह तर्क के साथ लैग्रेंज बहुपद है। यदि आइगेन वैल्यू λ_i सरल है, फिर एक-आयामी उप-समष्टि के लिए एक निष्क्रिय प्रक्षेपण आव्यूह के रूप में, A_i की एक इकाई ट्रेस (रैखिक बीजगणित) है।

यह मूलतः आव्यूह तर्क वाला लैग्रेंज बहुपद है। यदि आइगेन वैल्यू λ_i सरल है, तो एक-आयामी उप-समष्टि के लिए एक निष्क्रिय प्रक्षेपण आव्यूह के रूप में, A_i में एक इकाई ट्रेस (रैखिक बीजगणित) होता है।

See also: समाधान औपचारिकता

सहसंयोजकों की गणना

फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस (1849-1917), जर्मन गणितज्ञ। उनकी मुख्य रुचि अण्डाकार कार्य विभेदक समीकरण और बाद में समूह सिद्धांत थे।

आव्यूह A के फ्रोबेनियस सहसंयोजकों को किसी भी आइगेन अपघटन A = SDS⁻¹ से प्राप्त किया जा सकता है, जहां S गैर-एकवचन है और D , D_i,i = λ_i के साथ विकर्ण है। यदि A में कोई एकाधिक आइगेन वैल्यू ​​नहीं है, तो मान लीजिए कि ci, A का iवां दायां आइगेन सदिश है, अर्थात, S; का i वां स्तंभ है; और मान लीजिए कि r_i , A का i वां बायां आइगेन सदिश है, अर्थात् S−1 की iवीं पंक्ति है। तब A_i = c_i r_i.।

यदि A का आइगेन वैल्यू λ_i कई बार प्रदर्शित होता है, तो A_i = Σ_j c_j r_j, जहां आइगेन वैल्यू λi से जुड़ी सभी पंक्तियों और स्तंभों का योग होता है।

उदाहरण

दो-दो आव्यूह पर विचार करें:

$A={\begin{bmatrix}1&3\\4&2\end{bmatrix}}.$

इस आव्यूह के दो आइगेन वैल्यू, 5 और −2 हैं; इस तरह (A − 5)(A + 2) = 0.

संगत आइगेन अपघटन है

$A={\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&0\\0&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&0\\0&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/7&1/7\\4&-3\end{bmatrix}}.$

इसलिए फ्रोबेनियस सहसंयोजक, स्पष्ट रूप से अनुमान हैं

${\begin{array}{rl}A_{1}&=c_{1}r_{1}={\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/7&1/7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3/7&3/7\\4/7&4/7\end{bmatrix}}=A_{1}^{2}\\A_{2}&=c_{2}r_{2}={\begin{bmatrix}1/7\\-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4/7&-3/7\\-4/7&3/7\end{bmatrix}}=A_{2}^{2}~,\end{array}}$

साथ

$A_{1}A_{2}=0,\qquad A_{1}+A_{2}=I~.$

टिप्पणी tr A₁ = tr A₂ = 1, आवश्यकता अनुसार है।