स्थानीय अस्थिरता: Difference between revisions

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[[गणितीय वित्त]] और [[वित्तीय इंजीनियरिंग]] में एक '''स्थानीय अस्थिरता''' मॉडल, एक विकल्प मूल्य निर्धारण मॉडल है जो अस्थिरता को वर्तमान परिसंपत्ति स्तर <math> S_t </math>और समय <math> t </math>  दोनों के एक फ़ंक्शन के रूप में मानता है। इस प्रकार, यह ब्लैक-स्कोल्स मॉडल का एक सामान्यीकरण है, जहां अस्थिरता एक स्थिरांक है (अर्थात <math> S_t </math>  और <math> t </math> का एक ट्रिविअल फंक्शन)।
[[गणितीय वित्त]] और [[वित्तीय इंजीनियरिंग]] में एक '''स्थानीय अस्थिरता''' मॉडल, विकल्प मूल्य निर्धारण मॉडल है जो अस्थिरता को वर्तमान परिसंपत्ति स्तर <math> S_t </math> और समय <math> t </math>  दोनों के फलन के रूप में मानता है। इस प्रकार, यह ब्लैक-स्कोल्स मॉडल का एक सामान्यीकरण है, जहां अस्थिरता स्थिरांक है (अर्थात <math> S_t </math>  और <math> t </math> का एक ट्रिविअल फलन)।


==निरूपण==
==निरूपण==
गणितीय वित्त में, परिसंपत्ति एस<sub>''t''</sub> यह माना जाता है कि किसी [[वित्तीय व्युत्पन्न]] के अंतर्निहित रूप में फॉर्म के स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण का पालन किया जाता है
गणितीय वित्त में, परिसंपत्ति <math> S_t </math>जो [[वित्तीय व्युत्पन्न]] को रेखांकित करती है, सामान्यतः फॉर्म के स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण का पालन करने के लिए माना जाता है
:<math> dS_t = (r_t-d_t) S_t\,dt + \sigma_t S_t\,dW_t </math>,
:<math> dS_t = (r_t-d_t) S_t\,dt + \sigma_t S_t\,dW_t </math>,
जोखिम तटस्थ उपाय के तहत, जहां <math>r_t</math> तात्कालिक जोखिम-मुक्त ब्याज दर है, जो गतिशीलता को एक औसत स्थानीय दिशा देती है, और <math>W_t</math> एक [[वीनर प्रक्रिया]] है, जो गतिशीलता में यादृच्छिकता के प्रवाह का प्रतिनिधित्व करती है। इस यादृच्छिकता का आयाम तात्कालिक अस्थिरता से मापा जाता है <math>\sigma_t</math>. सबसे सरल मॉडल यानी ब्लैक-स्कोल्स मॉडल में, <math>\sigma_t</math> इसे स्थिर या अधिक से अधिक समय का एक नियतात्मक कार्य माना जाता है; वास्तव में, किसी अंतर्निहित की वास्तविक अस्थिरता वास्तव में समय के साथ और अंतर्निहित के साथ बदलती रहती है।
रिस्क तटस्थ माप के तहत, जहां <math>r_t</math>तात्कालिक रिस्क फ्री दर है, जो गतिशीलता को औसत स्थानीय दिशा देता है, और <math>W_t</math> [[वीनर प्रक्रिया]] है, जो गतिशीलता में यादृच्छिकता के प्रवाह का प्रतिनिधित्व करती है। इस यादृच्छिकता के आयाम को तात्कालिक अस्थिरता <math>\sigma_t</math> द्वारा मापा जाता है। सबसे सरल मॉडल यानी ब्लैक-स्कोल्स मॉडल में, <math>\sigma_t</math> को स्थिर माना जाता है, या अधिकतम समय का नियतात्मक फलन; वास्तव में, किसी अंतर्निहित की वास्तविक अस्थिरता वास्तव में समय के साथ और स्वयं अंतर्निहित के साथ बदलती रहती है।


जब ऐसी अस्थिरता की अपनी एक यादृच्छिकता होती है - जिसे अक्सर एक अलग डब्ल्यू द्वारा संचालित एक अलग समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है - तो उपरोक्त मॉडल को [[स्टोकेस्टिक अस्थिरता]] मॉडल कहा जाता है। और जब ऐसी अस्थिरता केवल वर्तमान अंतर्निहित परिसंपत्ति स्तर एस का एक कार्य है<sub>''t''</sub> और समय t के अनुसार, हमारे पास एक स्थानीय अस्थिरता मॉडल है। स्थानीय अस्थिरता मॉडल स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल का एक उपयोगी सरलीकरण है।
जब ऐसी अस्थिरता की अपनी यादृच्छिकता होती है - जिसे प्रायः अलग ''W'' द्वारा संचालित एक अलग समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है - तो ऊपर दिए गए मॉडल को [[स्टोकेस्टिक अस्थिरता]] मॉडल कहा जाता है। और जब ऐसी अस्थिरता उपस्थित अंतर्निहित परिसंपत्ति स्तर <math> S_t </math>और समय <math> t </math> का फलन मात्र है, तो हमारे पास स्थानीय अस्थिरता मॉडल है। स्थानीय अस्थिरता मॉडल स्टोचैस्टिक अस्थिरता मॉडल का एक उपयोगी सरलीकरण है।


इस प्रकार स्थानीय अस्थिरता एक शब्द है जिसका उपयोग [[मात्रात्मक वित्त]] में प्रसार गुणांक के सेट को दर्शाने के लिए किया जाता है, <math>\sigma_t = \sigma(S_t,t)</math>, जो किसी दिए गए अंतर्निहित पर सभी विकल्पों के लिए बाजार कीमतों के अनुरूप हैं, जिससे इस प्रकार का परिसंपत्ति मूल्य मॉडल प्राप्त होता है
इस प्रकार "स्थानीय अस्थिरता" एक शब्द है जिसका उपयोग [[मात्रात्मक वित्त]] में प्रसार गुणांक, <math>\sigma_t = \sigma(S_t,t)</math> के सेट को दर्शाने के लिए किया जाता है, जो किसी दिए गए अंतर्निहित पर सभी विकल्पों के लिए बाजार कीमतों के अनुरूप होते हैं, इस प्रकार का परिसंपत्ति मूल्य मॉडल तैयार करना
:<math> dS_t = (r_t-d_t) S_t\,dt + \sigma(S_t,t) S_t\,dW_t .</math>
:<math> dS_t = (r_t-d_t) S_t\,dt + \sigma(S_t,t) S_t\,dW_t .</math>
इस मॉडल का उपयोग [[विदेशी विकल्प]] मूल्यांकन की गणना करने के लिए किया जाता है जो [[वेनिला विकल्प]]ों की देखी गई कीमतों के अनुरूप है।
इस मॉडल का उपयोग [[विदेशी विकल्प]] मूल्यांकन की गणना करने के लिए किया जाता है जो वेनिला विकल्पों की देखी गई कीमतों के अनुरूप होता है।


== विकास ==
== विकास ==
विकल्प बाजारों के साथ पूरी तरह से सुसंगत स्थानीय अस्थिरता की अवधारणा [[ ब्रूनो डुपिरे ]] के समय विकसित हुई थी<ref name=dupire>{{cite journal | author=Bruno Dupire | title=मुस्कान के साथ मूल्य निर्धारण| publisher=Risk |  year= 1994 }}{{cite web|url=http://www.risk.net/data/risk/pdf/technical/2007/risk20_0707_technical_volatility.pdf |title=डाउनलोड मीडिया अक्षम|access-date=2013-06-14 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20120907114056/http://www.risk.net/data/risk/pdf/technical/2007/risk20_0707_technical_volatility.pdf |archive-date=2012-09-07 }}</ref> एंड एमानुएल देरमें एंड [[िराज कनि]]<ref name=derman>{{cite journal | author=Derman, E., Iraj Kani | title="Riding on a Smile." RISK, 7(2) Feb.1994, pp. 139-145, pp. 32-39. | publisher=Risk | year=1994 | url=http://www.ederman.com/new/docs/gs-volatility_smile.pdf | access-date=2007-06-01 | archive-url=https://web.archive.org/web/20110710170610/http://www.ederman.com/new/docs/gs-volatility_smile.pdf | archive-date=2011-07-10 | url-status=dead }}</ref> नोट किया गया कि यूरोपीय विकल्पों के बाजार मूल्यों से प्राप्त जोखिम तटस्थ घनत्व के अनुरूप एक अनूठी प्रसार प्रक्रिया है।
विकल्प बाजारों के साथ पूरी तरह से संगत स्थानीय अस्थिरता की अवधारणा तब विकसित हुई जब ब्रूनो डुपाइरे<ref name=dupire>{{cite journal | author=Bruno Dupire | title=मुस्कान के साथ मूल्य निर्धारण| publisher=Risk |  year= 1994 }}{{cite web|url=http://www.risk.net/data/risk/pdf/technical/2007/risk20_0707_technical_volatility.pdf |title=डाउनलोड मीडिया अक्षम|access-date=2013-06-14 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20120907114056/http://www.risk.net/data/risk/pdf/technical/2007/risk20_0707_technical_volatility.pdf |archive-date=2012-09-07 }}</ref> और इमानुएल डर्मन और इराज कानी<ref name=derman>{{cite journal | author=Derman, E., Iraj Kani | title="Riding on a Smile." RISK, 7(2) Feb.1994, pp. 139-145, pp. 32-39. | publisher=Risk | year=1994 | url=http://www.ederman.com/new/docs/gs-volatility_smile.pdf | access-date=2007-06-01 | archive-url=https://web.archive.org/web/20110710170610/http://www.ederman.com/new/docs/gs-volatility_smile.pdf | archive-date=2011-07-10 | url-status=dead }}</ref> ने नोट किया कि यूरोपीय विकल्पों के बाजार मूल्यों से प्राप्त रिस्क तटस्थ घनत्व के अनुरूप अनूठी प्रसार प्रक्रिया है। .


डर्मन और कानी ने तात्कालिक अस्थिरता को मॉडल करने के लिए एक स्थानीय अस्थिरता फ़ंक्शन का वर्णन और कार्यान्वयन किया। उन्होंने [[द्विपद विकल्प मूल्य निर्धारण मॉडल]] में प्रत्येक नोड पर इस फ़ंक्शन का उपयोग किया। ट्री ने स्ट्राइक और एक्सपायरी के दौरान सभी बाजार कीमतों के अनुरूप सफलतापूर्वक विकल्प मूल्यांकन तैयार किया।<ref name=derman />इस प्रकार डर्मन-कानी मॉडल को अलग-अलग समय और स्टॉक-मूल्य चरणों के साथ तैयार किया गया था। (डर्मन और कानी ने एक अंतर्[[निहित द्विपद वृक्ष]] कहा जाता है; [[नील क्रिस]] के साथ उन्होंने इसे एक [[निहित त्रिपद वृक्ष]] तक विस्तारित किया। निहित द्विपद वृक्ष फिटिंग प्रक्रिया संख्यात्मक रूप से अस्थिर थी।)
डर्मन और कानी ने तात्कालिक अस्थिरता को मॉडल करने के लिए एक स्थानीय अस्थिरता फलन का वर्णन और कार्यान्वयन किया। उन्होंने [[द्विपद विकल्प मूल्य निर्धारण मॉडल]] में प्रत्येक नोड पर इस फलन का उपयोग किया। ट्री ने स्ट्राइक और एक्सपायरी के दौरान सभी बाजार कीमतों के अनुरूप विकल्प मूल्यांकन सफलतापूर्वक तैयार किया।<ref name=derman /> डर्मन-कानी मॉडल इस प्रकार '''असतत''' समय और स्टॉक-मूल्य चरणों के साथ तैयार किया गया था। (डर्मन और कानी ने "अंतर्निहित द्विपद वृक्ष" का उत्पादन किया; [[नील क्रिस]] के साथ उन्होंने इसे एक निहित त्रिपद वृक्ष तक बढ़ाया। निहित द्विपद वृक्ष फिटिंग प्रक्रिया संख्यात्मक रूप से अस्थिर थी।)
 
स्थानीय अस्थिरता मॉडल में उपयोग किए जाने वाले प्रमुख निरंतर-समय समीकरण ब्रूनो डुपायर द्वारा विकसित किए गए थे<ref name=dupire />1994 में। डुपायर का समीकरण बताता है


स्थानीय अस्थिरता मॉडल में उपयोग किए जाने वाले प्रमुख निरंतर-समय समीकरणों को 1994 में ब्रूनो डुपाइरे<ref name=dupire />द्वारा विकसित किया गया था। डुपाइरे का समीकरण बताता है
:<math>
:<math>
\frac{\partial C}{\partial T} = \frac{1}{2} \sigma^2(K,T; S_0)K^2 \frac{\partial^2C}{\partial K^2}-(r - d)K \frac{\partial C}{\partial K} - dC
\frac{\partial C}{\partial T} = \frac{1}{2} \sigma^2(K,T; S_0)K^2 \frac{\partial^2C}{\partial K^2}-(r - d)K \frac{\partial C}{\partial K} - dC
</math>
</math>
आंशिक डेरिवेटिव की गणना करने के लिए, हेस्टन मॉडल के आधार पर निहित अस्थिरता सतह के कुछ ज्ञात पैरामीटर मौजूद हैं: शॉनबुचर, एसवीआई और जीएसवीआई। अन्य तकनीकों में लॉगनॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन और स्टोकेस्टिक कोलोकेशन का मिश्रण शामिल है।<ref>{{cite journal |first=Fabien |last=LeFloch |year=2019|title= Model-free stochastic collocation for an arbitrage-free implied volatility: Part I |journal=[[Decisions in Economics and Finance]] |volume=42 |issue=2 |pages=679–714 |doi= 10.1007/s10203-019-00238-x |s2cid=126837576 |doi-access=free }}</ref>
आंशिक व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, हेस्टन मॉडल के आधार पर निहित अस्थिरता सतह के कुछ ज्ञात पैरामीटर उपस्थित हैं: शॉनबुचर, SVI और gSVI। अन्य तकनीकों में लॉगनॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन और स्टोकेस्टिक कोलोकेशन का मिश्रण सम्मिलित है।<ref>{{cite journal |first=Fabien |last=LeFloch |year=2019|title= Model-free stochastic collocation for an arbitrage-free implied volatility: Part I |journal=[[Decisions in Economics and Finance]] |volume=42 |issue=2 |pages=679–714 |doi= 10.1007/s10203-019-00238-x |s2cid=126837576 |doi-access=free }}</ref>
 
 
===व्युत्पत्ति===
===व्युत्पत्ति===


संपत्ति की कीमत को देखते हुए <math>S_t</math> जोखिम तटस्थ एसडीई द्वारा शासित
रिस्क तटस्थ SDE द्वारा प्रबंधित संपत्ति <math>S_t</math> की कीमत को देखते हुए
:<math>
:<math>
  dS_t = (r-d)S_t dt + \sigma(t,S_t)S_t dW_t
  dS_t = (r-d)S_t dt + \sigma(t,S_t)S_t dW_t
Line 34: Line 31:
:<math>
:<math>
  p_t = -[(r-d)s\,p]_s + \frac{1}{2}[(\sigma s)^2p]_{ss}
  p_t = -[(r-d)s\,p]_s + \frac{1}{2}[(\sigma s)^2p]_{ss}
</math> जहां, संक्षिप्तता के लिए, संकेतन <math>f_{x}</math> x और जहां अंकन के संबंध में फ़ंक्शन f के आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है <math>f_{xx}</math> x के संबंध में फ़ंक्शन f के दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है। <math>p_t</math> इस प्रकार घनत्व का आंशिक व्युत्पन्न है <math>p(t,S)</math> टी के संबंध में और उदाहरण के लिए
</math>  
  <math>[(\sigma s)^2p]_{ss}</math> का दूसरा व्युत्पन्न है
:जहां, संक्षिप्तता के लिए, अंकन <math>f_{x}</math> के संबंध में फलन f के आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है और जहां अंकन <math>f_{xx}</math>के संबंध में फलन f के दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है। <math>p_t</math>इस प्रकार t के संबंध में घनत्व <math>p(t,S)</math>का आंशिक व्युत्पन्न है और उदाहरण के लिए <math>[(\sigma s)^2p]_{ss}</math><math>(\sigma(t,S)S)^2 p(t,S)</math> का दूसरा व्युत्पन्न है के संबंध में। <math>p(t,s)</math>p और अभिन्न <math>p(t,S)</math> को निरूपित करेगा।  [[मार्टिंगेल मूल्य निर्धारण]] प्रमेय के कारण, परिपक्वता <math>T</math> और स्ट्राइक <math>K</math> वाले कॉल विकल्प की कीमत है
<math>(\sigma(t,S)S)^2 p(t,S)</math> एस के संबंध में पी निरूपित करेगा <math>p(t,S)</math>, और अभिन्न के अंदर <math>p(t,s)</math>.
 
[[मार्टिंगेल मूल्य निर्धारण]] प्रमेय के कारण, परिपक्वता के साथ कॉल विकल्प की कीमत <math>T</math> और हड़ताल <math>K</math> है
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
  C &= e^{-rT} \mathbb{E}^Q[(S_T-K)^+] \\
  C &= e^{-rT} \mathbb{E}^Q[(S_T-K)^+] \\
Line 44: Line 38:
   &= e^{-rT} \int_K^{\infty} s \,p \,ds - K\,e^{-rT} \int_K^{\infty} p\, ds
   &= e^{-rT} \int_K^{\infty} s \,p \,ds - K\,e^{-rT} \int_K^{\infty} p\, ds
\end{align}</math>
\end{align}</math>
के संबंध में कॉल ऑप्शन की कीमत में अंतर करना <math>K</math>
के संबंध में कॉल ऑप्शन की कीमत में अंतर <math>K</math>
:<math>
:<math>
  C_K = -e^{-rT} \int_K^{\infty} p \; ds  
  C_K = -e^{-rT} \int_K^{\infty} p \; ds  
Line 56: Line 50:
  C_{KK} = e^{-rT} p  
  C_{KK} = e^{-rT} p  
</math>
</math>
के संबंध में कॉल ऑप्शन की कीमत में अंतर करना <math>T</math> पैदावार
के संबंध में कॉल ऑप्शन की कीमत <math>T</math> में अंतर गुणनफल
:<math>
:<math>
  C_T = -r\,C + e^{-rT} \int_K^{\infty} (s-K) p_T ds
  C_T = -r\,C + e^{-rT} \int_K^{\infty} (s-K) p_T ds
Line 68: Line 62:
  C_T = -r\,C + (r-d) e^{-rT} \int_K^{\infty} s\,p\, ds + \frac{1}{2} e^{-rT} (\sigma K)^2\,p
  C_T = -r\,C + (r-d) e^{-rT} \int_K^{\infty} s\,p\, ds + \frac{1}{2} e^{-rT} (\sigma K)^2\,p
</math>
</math>
व्युत्पन्न फ़ार्मुलों का उपयोग करके कॉल विकल्प के मूल्य में अंतर करना <math>K</math>
व्युत्पन्न सूत्रों का उपयोग करके कॉल विकल्प के मूल्य में अंतर करना <math>K</math>
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
  C_T &= -r\,C + (r-d) (C - K\,C_K) + \frac{1}{2} \sigma^2 K^2 C_{KK} \\
  C_T &= -r\,C + (r-d) (C - K\,C_K) + \frac{1}{2} \sigma^2 K^2 C_{KK} \\
     &= - (r-d) K\,C_K -d\,C + \frac{1}{2} \sigma^2 K^2 C_{KK}
     &= - (r-d) K\,C_K -d\,C + \frac{1}{2} \sigma^2 K^2 C_{KK}
\end{align}</math>
\end{align}</math>


== पैरामीट्रिक स्थानीय अस्थिरता मॉडल ==
== पैरामीट्रिक स्थानीय अस्थिरता मॉडल ==
डुपायर का दृष्टिकोण गैर-पैरामीट्रिक है। इसमें व्यापारिक कीमतों की निरंतरता और प्रक्षेप के प्रकार का विकल्प प्राप्त करने के लिए डेटा को पूर्व-प्रक्षेपित करने की आवश्यकता होती है।<ref name=dupire />एक विकल्प के रूप में, कोई पैरामीट्रिक स्थानीय अस्थिरता मॉडल तैयार कर सकता है। कुछ उदाहरण नीचे प्रस्तुत किये गये हैं।
ड्यूपायर का दृष्टिकोण गैर-पैरामीट्रिक है। इसमें व्यापारित कीमतों की निरंतरता और प्रक्षेप के प्रकार का चयन प्राप्त करने के लिए डेटा को पूर्व-प्रक्षेपित करने की आवश्यकता होती है।<ref name=dupire /> वैकल्पिक रूप से, कोई पैरामीट्रिक स्थानीय अस्थिरता मॉडल तैयार कर सकता है। कुछ उदाहरण नीचे प्रस्तुत हैं.


=== [[बैचलर मॉडल]] ===
=== [[बैचलर मॉडल|बैचलियर मॉडल]] ===
बैचलियर मॉडल 1900 में [[लुई बैचलियर]] के काम से प्रेरित है। यह मॉडल, कम से कम शून्य बहाव वाली संपत्तियों के लिए, उदाहरण के लिए। आगे की कीमतों या उनके आगे के माप के तहत आगे की ब्याज दरों को स्थानीय अस्थिरता मॉडल के रूप में देखा जा सकता है
बैचलियर मॉडल 1900 में [[लुई बैचलियर]] के काम से प्रेरित है। यह मॉडल, कम से कम शून्य बहाव वाली संपत्तियों के लिए, उदाहरण के लिए आगे की कीमतों या उनके आगे के माप के तहत आगे की ब्याज दरों को स्थानीय अस्थिरता मॉडल के रूप में देखा जा सकता है
:<math> dF_t = v \,dW_t </math>.
:<math> dF_t = v \,dW_t </math>.
बैचलियर मॉडल में प्रसार गुणांक एक स्थिरांक है <math>v</math>, तो हमारे पास <math>\sigma(F_t,t)F_t = v</math>, तात्पर्य <math>\sigma(F_t,t) = v/F_t</math>. जैसे ही कई अर्थव्यवस्थाओं में ब्याज दरें नकारात्मक हो गईं,<ref name=Burro_et_al>जियाकोमो बुरो, पियर ग्यूसेप गिरिबोन, सिमोन लिगाटो, मार्टिना मुलास, और फ्रांसेस्का क्वेरसी (2017)। विकल्प मूल्य निर्धारण पर नकारात्मक ब्याज दरों का प्रभाव: मूल बातों पर वापस जाएँ? इंटरनेशनल जर्नल ऑफ फाइनेंशियल इंजीनियरिंग 4(2), https://doi.org/10.1142/S2424786317500347</ref> बैचलियर मॉडल दिलचस्पी का विषय बन गया, क्योंकि यह अपने गॉसियन वितरण के माध्यम से नकारात्मक फॉरवर्ड दरों एफ को मॉडल कर सकता है।
बैचलियर मॉडल में प्रसार गुणांक स्थिरांक है <math>v</math>, तो हमारे पास <math>\sigma(F_t,t)F_t = v</math>, तात्पर्य <math>\sigma(F_t,t) = v/F_t</math>. जैसे ही कई अर्थव्यवस्थाओं में ब्याज दरें ऋणात्मक हो गईं,<ref name=Burro_et_al>जियाकोमो बुरो, पियर ग्यूसेप गिरिबोन, सिमोन लिगाटो, मार्टिना मुलास, और फ्रांसेस्का क्वेरसी (2017)। विकल्प मूल्य निर्धारण पर नकारात्मक ब्याज दरों का प्रभाव: मूल बातों पर वापस जाएँ? इंटरनेशनल जर्नल ऑफ फाइनेंशियल इंजीनियरिंग 4(2), https://doi.org/10.1142/S2424786317500347</ref> बैचलियर मॉडल लाभ का विषय बन गया, क्योंकि यह अपने गॉसियन वितरण के माध्यम से ऋणात्मक फॉरवर्ड दरों एफ को मॉडल कर सकता है।


=== विस्थापित प्रसार मॉडल ===
=== विस्थापित प्रसार मॉडल ===
यह मॉडल [[मार्क रुबिनस्टीन]] द्वारा पेश किया गया था।<ref>Rubinstein, M. (1983). Displaced Diffusion Option Pricing. The Journal of Finance, 38(1), 213–217. https://doi.org/10.2307/2327648</ref>
यह मॉडल [[मार्क रुबिनस्टीन]] द्वारा पेश किया गया था।<ref>Rubinstein, M. (1983). Displaced Diffusion Option Pricing. The Journal of Finance, 38(1), 213–217. https://doi.org/10.2307/2327648</ref> स्टॉक मूल्य के लिए, यह गतिशीलता का अनुसरण करता है।
स्टॉक मूल्य के लिए, यह गतिशीलता का अनुसरण करता है
:<math> dS_t = r S_t\,dt + \sigma (S_t-\beta e^{r t})\,dW_t </math> जहाँ सरलता के लिए हम शून्य लाभांश उपज मानते हैं।
:<math> dS_t = r S_t\,dt + \sigma (S_t-\beta e^{r t})\,dW_t </math> जहाँ सरलता के लिए हम शून्य लाभांश उपज मानते हैं।
मॉडल को मानक ब्लैक-स्कोल्स मॉडल से चर के परिवर्तन के साथ निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। व्यवस्थित करके <math> Y_t = S_t -  \beta e^{r t}</math> यह देखना तत्काल है कि Y एक मानक ब्लैक-स्कोल्स मॉडल का अनुसरण करता है
मॉडल को मानक ब्लैक-स्कोल्स मॉडल से चर के परिवर्तन के साथ निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। व्यवस्थित करके <math> Y_t = S_t -  \beta e^{r t}</math> यह देखना तत्काल है कि Y मानक ब्लैक-स्कोल्स मॉडल का अनुसरण करता है।
:<math> dY_t = r Y_t\,dt + \sigma Y_t \,dW_t .</math>
:<math> dY_t = r Y_t\,dt + \sigma Y_t \,dW_t .</math>
के लिए एसडीई के रूप में <math>Y</math> यह एक [[ज्यामितीय ब्राउनियन गति]] है, इसका एक [[लॉगनॉर्मल वितरण]] है, और यह दिया गया है <math> S_t = Y_t+\beta e^{r t}</math> एस मॉडल को शिफ्टेड लॉगनॉर्मल मॉडल भी कहा जाता है, समय पर बदलाव टी होता है <math>\beta e^{r t}</math>.
के लिए SDE के रूप में <math>Y</math> यह [[ज्यामितीय ब्राउनियन गति]] है, इसका [[लॉगनॉर्मल वितरण]] है, और यह दिया गया है <math> S_t = Y_t+\beta e^{r t}</math> S मॉडल को शिफ्टेड लॉगनॉर्मल मॉडल भी कहा जाता है, <math>\beta e^{r t}</math>समय पर बदलाव ''t'' होता है।
एस पर स्ट्राइक के के साथ कॉल ऑप्शन की कीमत तय करने के लिए बस भुगतान लिखना होता है
 
S पर स्ट्राइक K के साथ कॉल ऑप्शन की कीमत तय करने के लिए बस भुगतान लिखना होता है।
 
<math>(S_T-K)^+ = (Y_T +\beta e^{r T} - K)^+ = (Y_T-H)^+</math>
<math>(S_T-K)^+ = (Y_T +\beta e^{r T} - K)^+ = (Y_T-H)^+</math>
जहां H नई स्ट्राइक है <math>H=K-\beta e^{r T}</math>. चूँकि Y ब्लैक स्कोल्स मॉडल का अनुसरण करता है, विकल्प की कीमत संशोधित स्ट्राइक के साथ ब्लैक स्कोल्स कीमत बन जाती है और इसे प्राप्त करना आसान है। मॉडल एक मोनोटोनिक अस्थिरता मुस्कान वक्र उत्पन्न करता है, जिसका पैटर्न नकारात्मक के लिए घट रहा है <math>\beta</math>.<ref name="Brigo_Mercurio_Springer">{{cite book |last1= Brigo |first1= Damiano | last2=Mercurio | first2=Fabio |date= 2006 |title= ब्याज दर मॉडल: सिद्धांत और व्यवहार|location= Heidelberg |publisher=Springer-Verlag}}</ref> इसके अलावा, नकारात्मक के लिए <math>\beta</math>, से <math> S_t = Y_t +  \beta e^{r t}</math> इसका तात्पर्य यह है कि परिसंपत्ति एस को सकारात्मक संभावना के साथ नकारात्मक मान लेने की अनुमति है। उदाहरण के लिए यह ब्याज दर मॉडलिंग में उपयोगी है, जहां नकारात्मक दरें कई अर्थव्यवस्थाओं को प्रभावित कर रही हैं।<ref name=Burro_et_al />


 
जहां H नई स्ट्राइक है <math>H=K-\beta e^{r T}</math>. चूँकि Y ब्लैक स्कोल्स मॉडल का अनुसरण करता है, विकल्प की कीमत संशोधित स्ट्राइक के साथ ब्लैक स्कोल्स कीमत बन जाती है और इसे प्राप्त करना आसान है। मॉडल मोनोटोनिक अस्थिरता मुस्कान वक्र उत्पन्न करता है, जिसका पैटर्न ऋणात्मक <math>\beta</math> के लिए घट रहा है<ref name="Brigo_Mercurio_Springer">{{cite book |last1= Brigo |first1= Damiano | last2=Mercurio | first2=Fabio |date= 2006 |title= ब्याज दर मॉडल: सिद्धांत और व्यवहार|location= Heidelberg |publisher=Springer-Verlag}}</ref> इसके अलावा, ऋणात्मक के लिए <math>\beta</math>, से <math> S_t = Y_t +  \beta e^{r t}</math> इसका तात्पर्य यह है कि परिसंपत्ति S को धनात्मक संभावना के साथ ऋणात्मक मान लेने की अनुमति है। उदाहरण के लिए यह ब्याज दर मॉडलिंग में उपयोगी है, जहां ऋणात्मक दरें कई अर्थव्यवस्थाओं को प्रभावित कर रही हैं।<ref name="Burro_et_al" />
===सीईवी मॉडल ===
===CEV मॉडल ===
[[विचरण मॉडल की निरंतर लोच]] (सीईवी) एक स्थानीय अस्थिरता मॉडल है जहां स्टॉक की गतिशीलता जोखिम तटस्थ माप के तहत होती है और कोई लाभांश नहीं मानती है,
[[विचरण मॉडल की निरंतर लोच]] (CEV) एक स्थानीय अस्थिरता मॉडल है जहां स्टॉक की गतिशीलता रिस्क तटस्थ माप के तहत होती है और कोई लाभांश नहीं मानती है।
:<math>\mathrm{d}S_t = r S_t \mathrm{d}t + \sigma S_t ^ \gamma \mathrm{d}W_t,</math>
:<math>\mathrm{d}S_t = r S_t \mathrm{d}t + \sigma S_t ^ \gamma \mathrm{d}W_t,</math>
एक स्थिर ब्याज दर r के लिए, एक सकारात्मक स्थिरांक <math>\sigma >0</math> और एक प्रतिपादक <math>\gamma \geq 0,</math> ताकि इस मामले में
स्थिर ब्याज दर r के लिए, धनात्मक स्थिरांक <math>\sigma >0</math> और प्रतिपादक <math>\gamma \geq 0,</math> ताकि इस स्थिति में
:<math>\sigma(S_t, t)=\sigma S_t^{\gamma-1}.</math>
:<math>\sigma(S_t, t)=\sigma S_t^{\gamma-1}.</math>
मॉडल को कभी-कभी स्टोकेस्टिक अस्थिरता के रूप में वर्गीकृत किया जाता है, हालांकि यहां दी गई परिभाषा के अनुसार, यह एक स्थानीय अस्थिरता मॉडल है, क्योंकि प्रसार गुणांक में कोई नई यादृच्छिकता नहीं है। यह मॉडल और संबंधित संदर्भ संबंधित कॉन्स्टेंट_इलास्टिकिटी_ऑफ_वेरिएंस_मॉडल में विस्तार से दिखाए गए हैं।
मॉडल को कई बार स्टोचैस्टिक अस्थिरता मॉडल के रूप में वर्गीकृत किया जाता है, हालांकि यहां दी गई परिभाषा के अनुसार, यह स्थानीय अस्थिरता मॉडल है, क्योंकि प्रसार गुणांक में कोई नई यादृच्छिकता नहीं है। इस मॉडल और संबंधित संदर्भों को संबंधित पृष्ठ में विस्तार से दिखाया गया है।


=== लॉगनॉर्मल मिश्रण गतिशीलता मॉडल ===
=== लॉगनॉर्मल मिश्रण गतिशीलता मॉडल ===
इस मॉडल को 1998 से 2021 तक [[डेमियानो ब्रिगो]], [[फैबियो मर्करी]] और सह-लेखकों द्वारा कई संस्करणों में विकसित किया गया है। [[ कैरोल अलेक्जेंडर ]] ने लघु और दीर्घकालिक मुस्कान प्रभावों का अध्ययन किया।<ref>{{cite journal | author=Carol Alexander|title=Normal mixture diffusion with uncertain volatility: Modelling short- and long-term smile effects| journal=  Journal of Banking & Finance|volume = 28|issue =  12| year=2004}}</ref>
इस मॉडल को 1998 से 2021 तक [[डेमियानो ब्रिगो]], [[फैबियो मर्करी]] और सह-लेखकों द्वारा कई संस्करणों में विकसित किया गया है। [[ कैरोल अलेक्जेंडर ]] ने लघु और दीर्घकालिक मुस्कान प्रभावों का अध्ययन किया।<ref>{{cite journal | author=Carol Alexander|title=Normal mixture diffusion with uncertain volatility: Modelling short- and long-term smile effects| journal=  Journal of Banking & Finance|volume = 28|issue =  12| year=2004}}</ref> प्रारंभिक बिंदु मूल ब्लैक स्कोल्स फॉर्मूला है, जो रिस्क तटस्थ गतिशीलता से आता है <math>dS_t = r S_t dt + \sigma S_t dW_t,</math> निरंतर नियतिवादी अस्थिरता के साथ <math>\sigma</math> और लॉगनॉर्मल संभाव्यता घनत्व फलन <math>p^{lognormal}_{t,\sigma}</math> द्वारा निरूपित किया गया। ब्लैक स्कोल्स मॉडल में यूरोपीय गैर-पथ-निर्भर विकल्प की कीमत परिपक्वता पर इस लॉगनॉर्मल घनत्व के खिलाफ विकल्प भुगतान के एकीकरण द्वारा प्राप्त की जाती है।
प्रारंभिक बिंदु मूल ब्लैक स्कोल्स फॉर्मूला है, जो जोखिम तटस्थ गतिशीलता से आता है <math>dS_t = r S_t dt + \sigma S_t dW_t,</math> निरंतर नियतिवादी अस्थिरता के साथ <math>\sigma</math> और लॉगनॉर्मल संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा निरूपित किया गया <math>p^{lognormal}_{t,\sigma}</math>. ब्लैक स्कोल्स मॉडल में एक यूरोपीय गैर-पथ-निर्भर विकल्प की कीमत परिपक्वता पर इस लॉगनॉर्मल घनत्व के खिलाफ विकल्प भुगतान के एकीकरण द्वारा प्राप्त की जाती है।
लॉगनॉर्मल मिश्रण डायनेमिक्स मॉडल का मूल विचार<ref name=brigomercmixbachelier>{{cite conference |author1=Damiano Brigo  |author2=Fabio Mercurio |name-list-style=amp |title=विश्लेषणात्मक रूप से ट्रैक्टेबल स्माइल मॉडल के लिए विस्थापित और मिश्रण प्रसार| book-title=  Mathematical Finance - Bachelier Congress 2000. Proceedings | year=2001|publisher=Springer Verlag }}</ref> ब्लैक स्कोल्स मॉडल की तरह, लॉगनॉर्मल घनत्व पर विचार करना है, लेकिन एक संख्या के लिए <math>N</math> संभावित निरंतर नियतात्मक अस्थिरता की <math>\sigma_1,\ldots,\sigma_N</math>, जहां हम कॉल करते हैं <math>p_{i,t} = p^{lognormal}_{t,\sigma_i}</math>, अस्थिरता के साथ ब्लैक स्कोल्स मॉडल का लॉगनॉर्मल घनत्व <math>\sigma_i</math>.
लॉगनॉर्मल मिश्रण डायनेमिक्स मॉडल का मूल विचार<ref name=brigomercmixbachelier>{{cite conference |author1=Damiano Brigo  |author2=Fabio Mercurio |name-list-style=amp |title=विश्लेषणात्मक रूप से ट्रैक्टेबल स्माइल मॉडल के लिए विस्थापित और मिश्रण प्रसार| book-title=  Mathematical Finance - Bachelier Congress 2000. Proceedings | year=2001|publisher=Springer Verlag }}</ref> ब्लैक स्कोल्स मॉडल की तरह, लॉगनॉर्मल घनत्व पर विचार करना है, लेकिन एक संख्या के लिए <math>N</math> संभावित निरंतर नियतात्मक अस्थिरता की <math>\sigma_1,\ldots,\sigma_N</math>, जहां हम कॉल करते हैं <math>p_{i,t} = p^{lognormal}_{t,\sigma_i}</math>, अस्थिरता के साथ ब्लैक स्कोल्स मॉडल का लॉगनॉर्मल घनत्व <math>\sigma_i</math>.
स्टॉक मूल्य की मॉडलिंग करते समय, ब्रिगो और मर्कुरियो<ref name=brigomercmixijtaf>{{cite journal |author1=Damiano Brigo  |author2=Fabio Mercurio |name-list-style=amp |title=लॉगनॉर्मल-मिश्रण गतिशीलता और बाजार की अस्थिरता मुस्कुराहट के लिए अंशांकन| journal=  International Journal of Theoretical and Applied Finance|volume = 5|issue =  4| year=2002 | doi=10.1142/S0219024902001511}}</ref> एक स्थानीय अस्थिरता मॉडल बनाएं
स्टॉक मूल्य की मॉडलिंग करते समय, ब्रिगो और मर्कुरियो<ref name=brigomercmixijtaf>{{cite journal |author1=Damiano Brigo  |author2=Fabio Mercurio |name-list-style=amp |title=लॉगनॉर्मल-मिश्रण गतिशीलता और बाजार की अस्थिरता मुस्कुराहट के लिए अंशांकन| journal=  International Journal of Theoretical and Applied Finance|volume = 5|issue =  4| year=2002 | doi=10.1142/S0219024902001511}}</ref> एक स्थानीय अस्थिरता मॉडल बनाएं।
:<math>d S_t = r S_t dt +  \sigma_{mix}(t,S_t) S_t \ dW_t, </math> कहाँ <math>\sigma_{mix}(t,S_t)</math> इसे इस तरह से परिभाषित किया गया है कि जोखिम का तटस्थ वितरण हो सके <math>S_t</math> लॉगनॉर्मल घनत्व का आवश्यक मिश्रण <math>p_{i,t}</math>, ताकि परिणामी स्टॉक मूल्य का घनत्व हो
:<math>d S_t = r S_t dt +  \sigma_{mix}(t,S_t) S_t \ dW_t, </math> जहाँ <math>\sigma_{mix}(t,S_t)</math> इसे इस तरह से परिभाषित किया गया है कि रिस्क का तटस्थ वितरण हो सके <math>S_t</math> लॉगनॉर्मल घनत्व का आवश्यक मिश्रण <math>p_{i,t}</math>, ताकि परिणामी स्टॉक मूल्य का घनत्व हो
  <math>p_{S_t}(y) =: p_t(y) =\sum_{i=1}^N \lambda_i p_{i,t}(y) = \sum_{i=1}^N \lambda_i p^{lognormal}_{t,\sigma_i}(y)</math>
  <math>p_{S_t}(y) =: p_t(y) =\sum_{i=1}^N \lambda_i p_{i,t}(y) = \sum_{i=1}^N \lambda_i p^{lognormal}_{t,\sigma_i}(y)</math>
कहाँ <math>\lambda_i \in (0,1)</math> और <math>\sum_{i=1}^N \lambda_i =1</math>. <math>\lambda_i</math>यह विभिन्न घनत्वों का भार है <math>p_{i,t}</math> मिश्रण में शामिल है.
जहाँ <math>\lambda_i \in (0,1)</math> और <math>\sum_{i=1}^N \lambda_i =1</math>. <math>\lambda_i</math> यह विभिन्न घनत्वों <math>p_{i,t}</math> का भार मिश्रण में सम्मिलित है। तात्कालिक अस्थिरता को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
तात्कालिक अस्थिरता को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
:<math>\sigma_{mix}(t,y)^2 = \frac{1}{\sum_{j} \lambda_j  p_{j,t}(y)}\sum_{i} \lambda_i \sigma_i^2 p_{i,t}(y),</math> या अधिक विस्तार से
:<math>\sigma_{mix}(t,y)^2 = \frac{1}{\sum_{j} \lambda_j  p_{j,t}(y)}\sum_{i} \lambda_i \sigma_i^2 p_{i,t}(y),</math> या अधिक विस्तार से
:<math>
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के लिए <math>(t,y)>(0,0)</math>;  <math>\sigma_{mix}(t,y)=\sigma_0</math> के लिए
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<math>(t,y)=(0,s_0).</math> मूल मॉडल में एक छोटे प्रारंभिक समय अंतराल में प्रसार गुणांक का नियमितीकरण होता है <math>[0,\epsilon]</math>.<ref name=brigomercmixijtaf />  इस समायोजन के साथ, SDE के साथ <math>\sigma_{mix}</math> जिसका एक अनोखा मजबूत समाधान है
<math>(t,y)=(0,s_0).</math> मूल मॉडल में एक छोटे प्रारंभिक समय अंतराल में प्रसार गुणांक का नियमितीकरण होता है <math>[0,\epsilon]</math>.<ref name=brigomercmixijtaf />  इस समायोजन के साथ, SDE के साथ <math>\sigma_{mix}</math> जिसका एक अनोखा सशक्त समाधान है। सीमांत घनत्व वांछित मिश्रण है <math>p_{S_t} = \sum_i \lambda_i p_{i,t}.</math>कोई आगे भी लिख सकता है <math>\sigma_{mix}^2(t,y) = \sum_{i=1}^N \Lambda_i(t,y) \sigma_i^2,</math>
सीमांत घनत्व वांछित मिश्रण है <math>p_{S_t} = \sum_i \lambda_i p_{i,t}.</math>
 
कोई आगे भी लिख सकता है <math>\sigma_{mix}^2(t,y) = \sum_{i=1}^N \Lambda_i(t,y) \sigma_i^2,</math>
जहाँ <math>\Lambda_i(t,y)\in (0,1)</math> और <math>\sum_{i=1}^N \Lambda_i(t,y)=1</math>.
कहाँ <math>\Lambda_i(t,y)\in (0,1)</math> और <math>\sum_{i=1}^N \Lambda_i(t,y)=1</math>.
 
इससे पता चलता है कि  <math>\sigma_{mix}^2(t,y)</math> का एक ``भारित औसत है <math>\sigma_i^2</math>वजन के साथ है
इससे पता चलता है कि  <math>\sigma_{mix}^2(t,y)</math> का "भारित औसत" <math>\sigma_i^2</math> वजन के साथ है
:<math> \Lambda_i(t,y) = \frac{\lambda_i \ p_{i,t}(y)}{\sum_j \lambda_j \  p_{j,t}(y)}.</math>
:<math> \Lambda_i(t,y) = \frac{\lambda_i \ p_{i,t}(y)}{\sum_j \lambda_j \  p_{j,t}(y)}.</math>
इस मॉडल में एक विकल्प मूल्य की गणना करना बहुत सरल है। अगर <math>\mathbb{E}^Q</math> जोखिम तटस्थ अपेक्षा को दर्शाता है, मार्टिंगेल मूल्य निर्धारण प्रमेय द्वारा स्ट्राइक के और परिपक्वता टी के साथ एस पर कॉल विकल्प मूल्य दिया जाता है
 
<math>V^{Call}_{mix}(K,T)= e^{-r T}\mathbb{E}^Q\left\{(S_T-K)^+ \right\}</math>  
 
<math>= e^{-r T}\int_0^{+\infty}(y-K)^+ p_{S_T}(y) dy = e^{-r T}\int_0^{+\infty}(y-K)^+\sum_{i=1}^N\lambda_i p_{i,T}(y)dy</math>
 
<math>=\sum_{i=1}^N \lambda_i e^{-r T} \int(y-K)^+ p_{i,T}(y)dy=\sum_{{i=1}^N}
इस मॉडल में एक विकल्प मूल्य की गणना करना बहुत सरल है। यदि <math>\mathbb{E}^Q</math> जोखिम तटस्थ अपेक्षा को दर्शाता है, तो मार्टिंगेल मूल्य निर्धारण प्रमेय द्वारा स्ट्राइक K और परिपक्वता T के साथ S पर कॉल विकल्प मूल्य <math>V^{Call}_{mix}(K,T)= e^{-r T}\mathbb{E}^Q\left\{(S_T-K)^+ \right\}</math><math>=\sum_{i=1}^N \lambda_i e^{-r T} \int(y-K)^+ p_{i,T}(y)dy=\sum_{{i=1}^N}
{\lambda_i} V^{Call}_{BS}(K,T,{\sigma_i})
{\lambda_i} V^{Call}_{BS}(K,T,{\sigma_i})
</math>
</math> <math>= e^{-r T}\int_0^{+\infty}(y-K)^+ p_{S_T}(y) dy = e^{-r T}\int_0^{+\infty}(y-K)^+\sum_{i=1}^N\lambda_i p_{i,T}(y)dy</math> <math>V^{Call}_{BS}(K,T,{\sigma_i})</math> द्वारा दिया जाता है। ब्लैक स्कोल्स मॉडल में अस्थिरता <math>\sigma_i</math> के साथ संबंधित कॉल मूल्य है। विकल्प की कीमत एक बंद फॉर्म सूत्र द्वारा दी गई है और यह अस्थिरता <math>\sigma_1,\ldots,\sigma_N</math>के साथ कॉल विकल्पों के ब्लैक स्कोल्स कीमतों का एक रैखिक उत्तल <math>\lambda_1,\ldots,\lambda_N</math> संयोजन है। पुट विकल्प और अन्य सभी सरल आकस्मिक दावों के लिए भी यही बात लागू होती है। वही उत्तल संयोजन डेल्टा, गामा, आरएचओ और थीटा जैसे कई विकल्प ग्रीक पर भी लागू होता है। मिश्रण की गतिशीलता एक लचीला मॉडल है, क्योंकि कोई इसमाइल की जटिलता के अनुसार घटकों N की संख्या का चयन कर सकता है। मापदंडों को अनुकूलित करना <math>\sigma_i</math>, और <math>\lambda_i</math> एक संभावित बदलाव पैरामीटर, किसी को अधिकांश बाज़ार इसमाइल को पुन: उत्पन्न करने की अनुमति देता है। मॉडल का उपयोग इक्विटी, <ref name="mixedup">Brigo, D., Mercurio, F. (2000). A mixed up smile. Risk Magazine, September 2000, pages 123-126</ref> FX, [<ref name="Brigo_Rapisarda_Pisani">ब्रिगो, डी., पिसानी, सी. और रैपिसार्डा, एफ. (2021)। बहुभिन्नरूपी मिश्रण गतिशीलता मॉडल: स्थानांतरित गतिशीलता और सहसंबंध तिरछा। एन ऑपरेशन रेस 299, 1411-1435। https://doi.org/10.1007/s10479-019-03239-6 .</ref> और ब्याज दर बाजारों में सफलतापूर्वक किया गया है।<ref name="Brigo_Mercurio_Springer" /><ref name="mixturessartorelli">Brigo, D, Mercurio, F, Sartorelli, G, Alternative asset-price dynamics and volatility smile, QUANT FINANC, 2003, Vol: 3, Pages: 173 - 183 </ref>
कहाँ <math>V^{Call}_{BS}(K,T,{\sigma_i})</math> ब्लैक स्कोल्स मॉडल में अस्थिरता के साथ संबंधित कॉल मूल्य है <math>\sigma_i</math>.
 
विकल्प की कीमत एक बंद फॉर्म सूत्र द्वारा दी गई है और यह अस्थिरता के साथ कॉल विकल्पों के ब्लैक स्कोल्स कीमतों का एक रैखिक उत्तल संयोजन है <math>\sigma_1,\ldots,\sigma_N</math> द्वारा भारित <math>\lambda_1,\ldots,\lambda_N</math>. यही बात पुट ऑप्शन और अन्य सभी साधारण आकस्मिक दावों पर भी लागू होती है। वही उत्तल संयोजन कई विकल्पों पर भी लागू होता है
मिश्रण गतिशीलता मॉडल में, कोई यह दिखा सकता है कि परिणामी अस्थिरता मुस्कान वक्र में K के लिए न्यूनतम धन-फॉरवर्ड मूल्य <math>S_0 e^{r T}</math> के बराबर होगा। इससे बचा जा सकता है, और मिश्रण गतिशीलता और विस्थापित प्रसार विचारों को जोड़कर इसमाइल को और अधिक सामान्य बनाने की अनुमति दी जाती है, जिससे स्थानांतरित लॉगनॉर्मल मिश्रण गतिशीलता हो जाती है।<ref name="brigomercmixbachelier" />
यूनानी_(वित्त) डेल्टा, गामा, रो और थीटा को पसंद करते हैं।
 
मिश्रण की गतिशीलता एक लचीला मॉडल है, क्योंकि कोई भी घटकों की संख्या का चयन कर सकता है <math>N</math> मुस्कान की जटिलता के अनुसार. मापदंडों का अनुकूलन <math>\sigma_i</math> और <math>\lambda_i</math>, और एक संभावित बदलाव पैरामीटर, किसी को अधिकांश बाज़ार मुस्कुराहट को पुन: उत्पन्न करने की अनुमति देता है। मॉडल का इक्विटी में सफलतापूर्वक उपयोग किया गया है,<ref name=mixedup>Brigo, D., Mercurio, F. (2000). A mixed up smile. Risk Magazine, September 2000, pages 123-126</ref> एफएक्स,<ref name=Brigo_Rapisarda_Pisani>ब्रिगो, डी., पिसानी, सी. और रैपिसार्डा, एफ. (2021)। बहुभिन्नरूपी मिश्रण गतिशीलता मॉडल: स्थानांतरित गतिशीलता और सहसंबंध तिरछा। एन ऑपरेशन रेस 299, 1411-1435। https://doi.org/10.1007/s10479-019-03239-6 .</ref> और ब्याज दर बाजार।<ref name="Brigo_Mercurio_Springer" /><ref name="mixturessartorelli">Brigo, D, Mercurio, F, Sartorelli, G, Alternative asset-price dynamics and volatility smile, QUANT FINANC, 2003, Vol: 3, Pages: 173 - 183 </ref>
मॉडल को मिश्रण घटकों में अस्थिरता <math>\sigma_i</math> के साथ भी लागू किया गया है जो समय पर निर्भर हैं, ताकि मुस्कान अवधि संरचना को कैलिब्रेट किया जा सके।<ref name="mixedup" /> मॉडल के एक विस्तार का अध्ययन किया गया है जहां विभिन्न मिश्रण घनत्वों के अलग-अलग साधन हैं,<ref name="mixturessartorelli" /> गतिशीलता में अंतिम कोई मध्यस्थता बहाव को संरक्षित करते हुए। एक और विस्तार बहुभिन्नरूपी स्थिति के लिए अनुप्रयोग रहा है, जहां एक बहुभिन्नरूपी मॉडल तैयार किया गया है जो बहुभिन्नरूपी लॉगनॉर्मल घनत्वों के मिश्रण के अनुरूप है, संभवतः बदलाव के साथ, और जहां एकल संपत्तियों को मिश्रण के रूप में भी वितरित किया जाता है,<ref name="brigosridi">Brigo, D., Rapisarda, F., and Sridi, A. (2018). The multivariate mixture dynamics: Consistent no-arbitrage single-asset and index volatility smiles. IISE TRANSACTIONS, 50(1), 27-44. doi:10.1080/24725854.2017.1374581</ref> सामंजस्य मॉडलिंग इन परिसंपत्तियों के सूचकांक पर एकल परिसंपत्तियों की मुस्कान मुस्कुराती है। बहुभिन्नरूपी संस्करण का दूसरा अनुप्रयोग FX अस्थिरता इस्माईल का त्रिकोणीकरण है।<ref name="Brigo_Rapisarda_Pisani" /> अंत में, मॉडल एक अनिश्चित अस्थिरता मॉडल से जुड़ा हुआ है, जहां मोटे तौर पर बोलते हुए, अस्थिरता एक यादृच्छिक चर है जो मान <math>\sigma_1,\ldots,\sigma_N</math> संभावनाओं <math>\lambda_1,\ldots,\lambda_N</math>के साथ लेता है। तकनीकी रूप से, यह दिखाया जा सकता है कि स्थानीय अस्थिरता लॉगनॉर्मल मिश्रण गतिशीलता अनिश्चित अस्थिरता मॉडल का मार्कोवियन प्रक्षेपण है।<ref> Brigo, D., Mercurio, F., and Rapisarda, F. (2004). Smile at the uncertainty. Risk Magazine, 5, pages 97– 101</ref>
मिश्रण गतिशीलता मॉडल में, कोई यह दिखा सकता है कि परिणामी अस्थिरता मुस्कुराहट वक्र में K के लिए न्यूनतम-मनी-फॉरवर्ड कीमत के बराबर होगा <math>S_0 e^{r T}</math>. इससे बचा जा सकता है, और मिश्रण गतिशीलता और विस्थापित प्रसार विचारों को जोड़कर मुस्कुराहट को और अधिक सामान्य बनाने की अनुमति दी जाती है, जिससे स्थानांतरित लॉगनॉर्मल मिश्रण गतिशीलता हो जाती है।<ref name=brigomercmixbachelier />


मॉडल को अस्थिरता के साथ भी लागू किया गया है <math>\sigma_i</math>मिश्रण घटकों में जो समय पर निर्भर हैं, ताकि मुस्कान अवधि संरचना को जांचा जा सके।<ref name=mixedup />मॉडल के एक विस्तार का अध्ययन किया गया है जहां विभिन्न मिश्रण घनत्वों के अलग-अलग साधन हैं,<ref name="mixturessartorelli" />गतिशीलता में अंतिम नो आर्बिट्रेज बहाव को संरक्षित करते हुए। एक और विस्तार बहुभिन्नरूपी मामले के लिए अनुप्रयोग रहा है, जहां एक बहुभिन्नरूपी मॉडल तैयार किया गया है जो बहुभिन्नरूपी लॉगनॉर्मल घनत्वों के मिश्रण के अनुरूप है, संभवतः बदलाव के साथ, और जहां एकल संपत्तियों को मिश्रण के रूप में भी वितरित किया जाता है, <ref name="brigosridi">Brigo, D., Rapisarda, F., and Sridi, A. (2018). The multivariate mixture dynamics: Consistent no-arbitrage single-asset and index volatility smiles. IISE TRANSACTIONS, 50(1), 27-44. doi:10.1080/24725854.2017.1374581</ref> इन परिसंपत्तियों के सूचकांक पर मुस्कान के साथ एकल परिसंपत्तियों की मुस्कुराहट का मिलान मॉडलिंग। बहुभिन्नरूपी संस्करण का दूसरा अनुप्रयोग एफएक्स अस्थिरता मुस्कुराहट का त्रिकोणीकरण है।<ref name=Brigo_Rapisarda_Pisani />अंत में, मॉडल एक अनिश्चित अस्थिरता मॉडल से जुड़ा हुआ है, जहां मोटे तौर पर कहें तो अस्थिरता एक यादृच्छिक चर है जो मान लेता है <math>\sigma_1,\ldots,\sigma_N</math> संभावनाओं के साथ  <math>\lambda_1,\ldots,\lambda_N</math>.
तकनीकी रूप से, यह दिखाया जा सकता है कि स्थानीय अस्थिरता लॉगनॉर्मल मिश्रण गतिशीलता अनिश्चित अस्थिरता मॉडल का मार्कोवियन प्रक्षेपण है।<ref> Brigo, D., Mercurio, F., and Rapisarda, F. (2004). Smile at the uncertainty. Risk Magazine, 5, pages 97– 101</ref>




==उपयोग==
==उपयोग==
स्थानीय अस्थिरता मॉडल किसी भी विकल्प बाजार में उपयोगी होते हैं जिसमें अंतर्निहित अस्थिरता मुख्य रूप से अंतर्निहित, उदाहरण के लिए ब्याज-दर डेरिवेटिव के स्तर का एक कार्य है। समय-अपरिवर्तनीय स्थानीय अस्थिरताएं इक्विटी सूचकांक निहित अस्थिरता सतह की गतिशीलता के साथ असंगत मानी जाती हैं,<ref name=dumas>{{cite journal | author=Dumas, B., J. Fleming, R. E. Whaley | title=Implied volatility functions: Empirical tests | journal=The Journal of Finance | volume=53 | issue=6 | pages=2059–2106 | year=1998 | doi=10.1111/0022-1082.00083 | url=http://www.nber.org/papers/w5500.pdf }}</ref> लेकिन क्रेपी (2004) देखें,<ref>{{cite journal | author=Crepey, S | title=डेल्टा-हेजिंग वेगा जोखिम| journal=Quantitative Finance | volume=4 | issue=5 | pages=559–579 | year=2004| doi=10.1080/14697680400000038 }}</ref> जो दावा करते हैं कि ऐसे मॉडल इक्विटी इंडेक्स विकल्पों के लिए सर्वोत्तम औसत हेज प्रदान करते हैं, और ध्यान दें कि मिश्रण गतिशीलता जैसे मॉडल समय पर निर्भर स्थानीय अस्थिरता की अनुमति देते हैं, साथ ही मुस्कान की शब्द संरचना को भी कैलिब्रेट करते हैं। स्थानीय अस्थिरता मॉडल स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल के निर्माण में भी उपयोगी होते हैं।<ref name=gatheral>{{cite book | author=Gatheral, J. | title=The Volatility Surface: A Practitioners's Guide | publisher = Wiley Finance | year=2006 | isbn= 978-0-471-79251-2 }}</ref>
स्थानीय अस्थिरता मॉडल किसी भी विकल्प बाजार में उपयोगी होते हैं जिसमें अंतर्निहित अस्थिरता मुख्य रूप से अंतर्निहित, उदाहरण के लिए ब्याज-दर डेरिवेटिव के स्तर का एक फलन है। माना जाता है कि समय-अपरिवर्तनीय स्थानीय अस्थिरताएं इक्विटी सूचकांक की निहित अस्थिरता सतह की गतिशीलता के साथ असंगत हैं,<ref name=dumas>{{cite journal | author=Dumas, B., J. Fleming, R. E. Whaley | title=Implied volatility functions: Empirical tests | journal=The Journal of Finance | volume=53 | issue=6 | pages=2059–2106 | year=1998 | doi=10.1111/0022-1082.00083 | url=http://www.nber.org/papers/w5500.pdf }}</ref> लेकिन क्रेपी (2004) देखें,<ref>{{cite journal | author=Crepey, S | title=डेल्टा-हेजिंग वेगा जोखिम| journal=Quantitative Finance | volume=4 | issue=5 | pages=559–579 | year=2004| doi=10.1080/14697680400000038 }}</ref> जो दावा करते हैं कि ऐसे मॉडल इक्विटी सूचकांक विकल्पों के लिए सर्वोत्तम औसत बचाव प्रदान करते हैं, और ध्यान दें कि मिश्रण गतिशीलता जैसे मॉडल समय पर निर्भर स्थानीय अस्थिरता की अनुमति देते हैं, इसमाइल की शब्द संरचना को भी कैलिब्रेट करते हैं। स्थानीय अस्थिरता मॉडल स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल के निर्माण में भी उपयोगी होते हैं।<ref name=gatheral>{{cite book | author=Gatheral, J. | title=The Volatility Surface: A Practitioners's Guide | publisher = Wiley Finance | year=2006 | isbn= 978-0-471-79251-2 }}</ref>
स्थानीय अस्थिरता मॉडल में कई आकर्षक विशेषताएं हैं।<ref name="Derman et al">{{cite journal |author1=Derman, E. I Kani  |author2=J. Z. Zou  |name-list-style=amp | title=The Local Volatility Surface: Unlocking the Information in Index Options Prices | journal = Financial Analysts Journal  | volume=(July-Aug 1996) | year=1996}}</ref> क्योंकि यादृच्छिकता का एकमात्र स्रोत स्टॉक मूल्य है, स्थानीय अस्थिरता मॉडल को जांचना आसान है। मैककेन-व्लासोव प्रक्रियाओं से निपटने के लिए कई अंशांकन विधियां विकसित की गई हैं जिनमें सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला कण और बिन दृष्टिकोण शामिल है।<ref>{{Cite journal|last=van der Weijst|first=Roel|date=2017|title=स्टोकेस्टिक स्थानीय अस्थिरता मॉडल के लिए संख्यात्मक समाधान|url=http://resolver.tudelft.nl/uuid:029cbbc3-d4d4-4582-8be2-e0979e9f6bc3|language=en}}</ref> इसके अलावा, वे संपूर्ण बाज़ारों की ओर ले जाते हैं जहां हेजिंग केवल अंतर्निहित परिसंपत्ति पर आधारित हो सकती है। जैसा कि ऊपर संकेत दिया गया है, डुपायर द्वारा सामान्य गैर-पैरामीट्रिक दृष्टिकोण समस्याग्रस्त है, क्योंकि विधि को लागू करने से पहले किसी को मनमाने ढंग से इनपुट निहित [[अस्थिरता सतह]] को पूर्व-प्रक्षेपित करने की आवश्यकता होती है। उपरोक्त ट्रैक्टेबल मिश्रण गतिशील स्थानीय अस्थिरता मॉडल के रूप में, एक समृद्ध और ध्वनि पैरामीट्रिजेशन के साथ वैकल्पिक पैरामीट्रिक दृष्टिकोण एक विकल्प हो सकता है।
 
चूंकि स्थानीय अस्थिरता मॉडल में अस्थिरता यादृच्छिक स्टॉक मूल्य का एक निर्धारक कार्य है, स्थानीय अस्थिरता मॉडल क्लिक विकल्पों [[आगे शुरू करने का विकल्प]] विकल्पों की कीमत के लिए बहुत अच्छी तरह से उपयोग नहीं किए जाते हैं, जिनके मूल्य विशेष रूप से अस्थिरता की यादृच्छिक प्रकृति पर निर्भर करते हैं। ऐसे मामलों में, स्टोकेस्टिक अस्थिरता को प्राथमिकता दी जाती है।
स्थानीय अस्थिरता मॉडल में कई आकर्षक विशेषताएं हैं।<ref name="Derman et al">{{cite journal |author1=Derman, E. I Kani  |author2=J. Z. Zou  |name-list-style=amp | title=The Local Volatility Surface: Unlocking the Information in Index Options Prices | journal = Financial Analysts Journal  | volume=(July-Aug 1996) | year=1996}}</ref> क्योंकि यादृच्छिकता का एकमात्र स्रोत स्टॉक मूल्य है, स्थानीय अस्थिरता मॉडल को जांचना आसान है। मैककेन-व्लासोव प्रक्रियाओं से निपटने के लिए कई अंशांकन विधियां विकसित की गई हैं जिनमें सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला कण और बिन दृष्टिकोण सम्मिलित है।<ref>{{Cite journal|last=van der Weijst|first=Roel|date=2017|title=स्टोकेस्टिक स्थानीय अस्थिरता मॉडल के लिए संख्यात्मक समाधान|url=http://resolver.tudelft.nl/uuid:029cbbc3-d4d4-4582-8be2-e0979e9f6bc3|language=en}}</ref> इसके अलावा, वे संपूर्ण बाज़ारों की ओर ले जाते हैं जहां हेजिंग केवल अंतर्निहित परिसंपत्ति पर आधारित हो सकती है। जैसा कि ऊपर संकेत दिया गया है, डुपायर द्वारा सामान्य गैर-पैरामीट्रिक दृष्टिकोण समस्याग्रस्त है, क्योंकि विधि को लागू करने से पहले किसी को मनमाने ढंग से इनपुट निहित अस्थिरता सतह को पूर्व-प्रक्षेपित करने की आवश्यकता होती है। उपरोक्त ट्रैक्टेबल मिश्रण गतिशील स्थानीय अस्थिरता मॉडल के रूप में, एक समृद्ध और ध्वनि पैरामीट्रिजेशन के साथ वैकल्पिक पैरामीट्रिक दृष्टिकोण एक विकल्प हो सकता है। चूंकि स्थानीय अस्थिरता मॉडल में अस्थिरता यादृच्छिक स्टॉक मूल्य का एक निर्धारक फलन है, स्थानीय अस्थिरता मॉडल क्लिक विकल्पों या फॉरवर्ड स्टार्ट विकल्पों की कीमत के लिए बहुत अच्छी तरह से उपयोग नहीं किए जाते हैं, जिनके मूल्य विशेष रूप से अस्थिरता की यादृच्छिक प्रकृति पर निर्भर करते हैं। ऐसे स्थितियों में, स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल को प्राथमिकता दी जाती है।


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Latest revision as of 14:08, 14 August 2023

गणितीय वित्त और वित्तीय इंजीनियरिंग में एक स्थानीय अस्थिरता मॉडल, विकल्प मूल्य निर्धारण मॉडल है जो अस्थिरता को वर्तमान परिसंपत्ति स्तर और समय   दोनों के फलन के रूप में मानता है। इस प्रकार, यह ब्लैक-स्कोल्स मॉडल का एक सामान्यीकरण है, जहां अस्थिरता स्थिरांक है (अर्थात   और  का एक ट्रिविअल फलन)।

निरूपण

गणितीय वित्त में, परिसंपत्ति जो वित्तीय व्युत्पन्न को रेखांकित करती है, सामान्यतः फॉर्म के स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण का पालन करने के लिए माना जाता है

,

रिस्क तटस्थ माप के तहत, जहां तात्कालिक रिस्क फ्री दर है, जो गतिशीलता को औसत स्थानीय दिशा देता है, और वीनर प्रक्रिया है, जो गतिशीलता में यादृच्छिकता के प्रवाह का प्रतिनिधित्व करती है। इस यादृच्छिकता के आयाम को तात्कालिक अस्थिरता द्वारा मापा जाता है। सबसे सरल मॉडल यानी ब्लैक-स्कोल्स मॉडल में, को स्थिर माना जाता है, या अधिकतम समय का नियतात्मक फलन; वास्तव में, किसी अंतर्निहित की वास्तविक अस्थिरता वास्तव में समय के साथ और स्वयं अंतर्निहित के साथ बदलती रहती है।

जब ऐसी अस्थिरता की अपनी यादृच्छिकता होती है - जिसे प्रायः अलग W द्वारा संचालित एक अलग समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है - तो ऊपर दिए गए मॉडल को स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल कहा जाता है। और जब ऐसी अस्थिरता उपस्थित अंतर्निहित परिसंपत्ति स्तर और समय का फलन मात्र है, तो हमारे पास स्थानीय अस्थिरता मॉडल है। स्थानीय अस्थिरता मॉडल स्टोचैस्टिक अस्थिरता मॉडल का एक उपयोगी सरलीकरण है।

इस प्रकार "स्थानीय अस्थिरता" एक शब्द है जिसका उपयोग मात्रात्मक वित्त में प्रसार गुणांक, के सेट को दर्शाने के लिए किया जाता है, जो किसी दिए गए अंतर्निहित पर सभी विकल्पों के लिए बाजार कीमतों के अनुरूप होते हैं, इस प्रकार का परिसंपत्ति मूल्य मॉडल तैयार करना

इस मॉडल का उपयोग विदेशी विकल्प मूल्यांकन की गणना करने के लिए किया जाता है जो वेनिला विकल्पों की देखी गई कीमतों के अनुरूप होता है।

विकास

विकल्प बाजारों के साथ पूरी तरह से संगत स्थानीय अस्थिरता की अवधारणा तब विकसित हुई जब ब्रूनो डुपाइरे[1] और इमानुएल डर्मन और इराज कानी[2] ने नोट किया कि यूरोपीय विकल्पों के बाजार मूल्यों से प्राप्त रिस्क तटस्थ घनत्व के अनुरूप अनूठी प्रसार प्रक्रिया है। .

डर्मन और कानी ने तात्कालिक अस्थिरता को मॉडल करने के लिए एक स्थानीय अस्थिरता फलन का वर्णन और कार्यान्वयन किया। उन्होंने द्विपद विकल्प मूल्य निर्धारण मॉडल में प्रत्येक नोड पर इस फलन का उपयोग किया। ट्री ने स्ट्राइक और एक्सपायरी के दौरान सभी बाजार कीमतों के अनुरूप विकल्प मूल्यांकन सफलतापूर्वक तैयार किया।[2] डर्मन-कानी मॉडल इस प्रकार असतत समय और स्टॉक-मूल्य चरणों के साथ तैयार किया गया था। (डर्मन और कानी ने "अंतर्निहित द्विपद वृक्ष" का उत्पादन किया; नील क्रिस के साथ उन्होंने इसे एक निहित त्रिपद वृक्ष तक बढ़ाया। निहित द्विपद वृक्ष फिटिंग प्रक्रिया संख्यात्मक रूप से अस्थिर थी।)

स्थानीय अस्थिरता मॉडल में उपयोग किए जाने वाले प्रमुख निरंतर-समय समीकरणों को 1994 में ब्रूनो डुपाइरे[1]द्वारा विकसित किया गया था। डुपाइरे का समीकरण बताता है

आंशिक व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, हेस्टन मॉडल के आधार पर निहित अस्थिरता सतह के कुछ ज्ञात पैरामीटर उपस्थित हैं: शॉनबुचर, SVI और gSVI। अन्य तकनीकों में लॉगनॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन और स्टोकेस्टिक कोलोकेशन का मिश्रण सम्मिलित है।[3]

व्युत्पत्ति

रिस्क तटस्थ SDE द्वारा प्रबंधित संपत्ति की कीमत को देखते हुए

संक्रमण की संभावना करने के लिए सशर्त फॉरवर्ड कोलमोगोरोव समीकरण को संतुष्ट करता है (जिसे फोककर-प्लैंक समीकरण के रूप में भी जाना जाता है)

जहां, संक्षिप्तता के लिए, अंकन के संबंध में फलन f के आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है और जहां अंकन के संबंध में फलन f के दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है। इस प्रकार t के संबंध में घनत्व का आंशिक व्युत्पन्न है और उदाहरण के लिए का दूसरा व्युत्पन्न है के संबंध में। p और अभिन्न को निरूपित करेगा। मार्टिंगेल मूल्य निर्धारण प्रमेय के कारण, परिपक्वता और स्ट्राइक वाले कॉल विकल्प की कीमत है

के संबंध में कॉल ऑप्शन की कीमत में अंतर

और कॉल विकल्प की कीमत के लिए सूत्र में प्रतिस्थापन और शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करना

के संबंध में कॉल ऑप्शन की कीमत में अंतर करना दो बार

के संबंध में कॉल ऑप्शन की कीमत में अंतर गुणनफल

फॉरवर्ड कोलमोगोरोव समीकरण का उपयोग करना

भागों द्वारा पहले अभिन्न को एक बार और दूसरे अभिन्न को दो बार एकीकृत करना

व्युत्पन्न सूत्रों का उपयोग करके कॉल विकल्प के मूल्य में अंतर करना

पैरामीट्रिक स्थानीय अस्थिरता मॉडल

ड्यूपायर का दृष्टिकोण गैर-पैरामीट्रिक है। इसमें व्यापारित कीमतों की निरंतरता और प्रक्षेप के प्रकार का चयन प्राप्त करने के लिए डेटा को पूर्व-प्रक्षेपित करने की आवश्यकता होती है।[1] वैकल्पिक रूप से, कोई पैरामीट्रिक स्थानीय अस्थिरता मॉडल तैयार कर सकता है। कुछ उदाहरण नीचे प्रस्तुत हैं.

बैचलियर मॉडल

बैचलियर मॉडल 1900 में लुई बैचलियर के काम से प्रेरित है। यह मॉडल, कम से कम शून्य बहाव वाली संपत्तियों के लिए, उदाहरण के लिए आगे की कीमतों या उनके आगे के माप के तहत आगे की ब्याज दरों को स्थानीय अस्थिरता मॉडल के रूप में देखा जा सकता है

.

बैचलियर मॉडल में प्रसार गुणांक स्थिरांक है , तो हमारे पास , तात्पर्य . जैसे ही कई अर्थव्यवस्थाओं में ब्याज दरें ऋणात्मक हो गईं,[4] बैचलियर मॉडल लाभ का विषय बन गया, क्योंकि यह अपने गॉसियन वितरण के माध्यम से ऋणात्मक फॉरवर्ड दरों एफ को मॉडल कर सकता है।

विस्थापित प्रसार मॉडल

यह मॉडल मार्क रुबिनस्टीन द्वारा पेश किया गया था।[5] स्टॉक मूल्य के लिए, यह गतिशीलता का अनुसरण करता है।

जहाँ सरलता के लिए हम शून्य लाभांश उपज मानते हैं।

मॉडल को मानक ब्लैक-स्कोल्स मॉडल से चर के परिवर्तन के साथ निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। व्यवस्थित करके यह देखना तत्काल है कि Y मानक ब्लैक-स्कोल्स मॉडल का अनुसरण करता है।

के लिए SDE के रूप में यह ज्यामितीय ब्राउनियन गति है, इसका लॉगनॉर्मल वितरण है, और यह दिया गया है S मॉडल को शिफ्टेड लॉगनॉर्मल मॉडल भी कहा जाता है, समय पर बदलाव t होता है।

S पर स्ट्राइक K के साथ कॉल ऑप्शन की कीमत तय करने के लिए बस भुगतान लिखना होता है।

जहां H नई स्ट्राइक है . चूँकि Y ब्लैक स्कोल्स मॉडल का अनुसरण करता है, विकल्प की कीमत संशोधित स्ट्राइक के साथ ब्लैक स्कोल्स कीमत बन जाती है और इसे प्राप्त करना आसान है। मॉडल मोनोटोनिक अस्थिरता मुस्कान वक्र उत्पन्न करता है, जिसका पैटर्न ऋणात्मक के लिए घट रहा है[6] इसके अलावा, ऋणात्मक के लिए , से इसका तात्पर्य यह है कि परिसंपत्ति S को धनात्मक संभावना के साथ ऋणात्मक मान लेने की अनुमति है। उदाहरण के लिए यह ब्याज दर मॉडलिंग में उपयोगी है, जहां ऋणात्मक दरें कई अर्थव्यवस्थाओं को प्रभावित कर रही हैं।[4]

CEV मॉडल

विचरण मॉडल की निरंतर लोच (CEV) एक स्थानीय अस्थिरता मॉडल है जहां स्टॉक की गतिशीलता रिस्क तटस्थ माप के तहत होती है और कोई लाभांश नहीं मानती है।

स्थिर ब्याज दर r के लिए, धनात्मक स्थिरांक और प्रतिपादक ताकि इस स्थिति में

मॉडल को कई बार स्टोचैस्टिक अस्थिरता मॉडल के रूप में वर्गीकृत किया जाता है, हालांकि यहां दी गई परिभाषा के अनुसार, यह स्थानीय अस्थिरता मॉडल है, क्योंकि प्रसार गुणांक में कोई नई यादृच्छिकता नहीं है। इस मॉडल और संबंधित संदर्भों को संबंधित पृष्ठ में विस्तार से दिखाया गया है।

लॉगनॉर्मल मिश्रण गतिशीलता मॉडल

इस मॉडल को 1998 से 2021 तक डेमियानो ब्रिगो, फैबियो मर्करी और सह-लेखकों द्वारा कई संस्करणों में विकसित किया गया है। कैरोल अलेक्जेंडर ने लघु और दीर्घकालिक मुस्कान प्रभावों का अध्ययन किया।[7] प्रारंभिक बिंदु मूल ब्लैक स्कोल्स फॉर्मूला है, जो रिस्क तटस्थ गतिशीलता से आता है निरंतर नियतिवादी अस्थिरता के साथ और लॉगनॉर्मल संभाव्यता घनत्व फलन द्वारा निरूपित किया गया। ब्लैक स्कोल्स मॉडल में यूरोपीय गैर-पथ-निर्भर विकल्प की कीमत परिपक्वता पर इस लॉगनॉर्मल घनत्व के खिलाफ विकल्प भुगतान के एकीकरण द्वारा प्राप्त की जाती है। लॉगनॉर्मल मिश्रण डायनेमिक्स मॉडल का मूल विचार[8] ब्लैक स्कोल्स मॉडल की तरह, लॉगनॉर्मल घनत्व पर विचार करना है, लेकिन एक संख्या के लिए संभावित निरंतर नियतात्मक अस्थिरता की , जहां हम कॉल करते हैं , अस्थिरता के साथ ब्लैक स्कोल्स मॉडल का लॉगनॉर्मल घनत्व . स्टॉक मूल्य की मॉडलिंग करते समय, ब्रिगो और मर्कुरियो[9] एक स्थानीय अस्थिरता मॉडल बनाएं।

जहाँ इसे इस तरह से परिभाषित किया गया है कि रिस्क का तटस्थ वितरण हो सके लॉगनॉर्मल घनत्व का आवश्यक मिश्रण , ताकि परिणामी स्टॉक मूल्य का घनत्व हो

जहाँ और . यह विभिन्न घनत्वों का भार मिश्रण में सम्मिलित है। तात्कालिक अस्थिरता को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

या अधिक विस्तार से

के लिए ; के लिए मूल मॉडल में एक छोटे प्रारंभिक समय अंतराल में प्रसार गुणांक का नियमितीकरण होता है .[9] इस समायोजन के साथ, SDE के साथ जिसका एक अनोखा सशक्त समाधान है। सीमांत घनत्व वांछित मिश्रण है कोई आगे भी लिख सकता है

जहाँ और .

इससे पता चलता है कि का "भारित औसत" वजन के साथ है


इस मॉडल में एक विकल्प मूल्य की गणना करना बहुत सरल है। यदि जोखिम तटस्थ अपेक्षा को दर्शाता है, तो मार्टिंगेल मूल्य निर्धारण प्रमेय द्वारा स्ट्राइक K और परिपक्वता T के साथ S पर कॉल विकल्प मूल्य द्वारा दिया जाता है। ब्लैक स्कोल्स मॉडल में अस्थिरता के साथ संबंधित कॉल मूल्य है। विकल्प की कीमत एक बंद फॉर्म सूत्र द्वारा दी गई है और यह अस्थिरता के साथ कॉल विकल्पों के ब्लैक स्कोल्स कीमतों का एक रैखिक उत्तल संयोजन है। पुट विकल्प और अन्य सभी सरल आकस्मिक दावों के लिए भी यही बात लागू होती है। वही उत्तल संयोजन डेल्टा, गामा, आरएचओ और थीटा जैसे कई विकल्प ग्रीक पर भी लागू होता है। मिश्रण की गतिशीलता एक लचीला मॉडल है, क्योंकि कोई इसमाइल की जटिलता के अनुसार घटकों N की संख्या का चयन कर सकता है। मापदंडों को अनुकूलित करना , और एक संभावित बदलाव पैरामीटर, किसी को अधिकांश बाज़ार इसमाइल को पुन: उत्पन्न करने की अनुमति देता है। मॉडल का उपयोग इक्विटी, [10] FX, [[11] और ब्याज दर बाजारों में सफलतापूर्वक किया गया है।[6][12]

मिश्रण गतिशीलता मॉडल में, कोई यह दिखा सकता है कि परिणामी अस्थिरता मुस्कान वक्र में K के लिए न्यूनतम धन-फॉरवर्ड मूल्य के बराबर होगा। इससे बचा जा सकता है, और मिश्रण गतिशीलता और विस्थापित प्रसार विचारों को जोड़कर इसमाइल को और अधिक सामान्य बनाने की अनुमति दी जाती है, जिससे स्थानांतरित लॉगनॉर्मल मिश्रण गतिशीलता हो जाती है।[8]

मॉडल को मिश्रण घटकों में अस्थिरता के साथ भी लागू किया गया है जो समय पर निर्भर हैं, ताकि मुस्कान अवधि संरचना को कैलिब्रेट किया जा सके।[10] मॉडल के एक विस्तार का अध्ययन किया गया है जहां विभिन्न मिश्रण घनत्वों के अलग-अलग साधन हैं,[12] गतिशीलता में अंतिम कोई मध्यस्थता बहाव को संरक्षित करते हुए। एक और विस्तार बहुभिन्नरूपी स्थिति के लिए अनुप्रयोग रहा है, जहां एक बहुभिन्नरूपी मॉडल तैयार किया गया है जो बहुभिन्नरूपी लॉगनॉर्मल घनत्वों के मिश्रण के अनुरूप है, संभवतः बदलाव के साथ, और जहां एकल संपत्तियों को मिश्रण के रूप में भी वितरित किया जाता है,[13] सामंजस्य मॉडलिंग इन परिसंपत्तियों के सूचकांक पर एकल परिसंपत्तियों की मुस्कान मुस्कुराती है। बहुभिन्नरूपी संस्करण का दूसरा अनुप्रयोग FX अस्थिरता इस्माईल का त्रिकोणीकरण है।[11] अंत में, मॉडल एक अनिश्चित अस्थिरता मॉडल से जुड़ा हुआ है, जहां मोटे तौर पर बोलते हुए, अस्थिरता एक यादृच्छिक चर है जो मान संभावनाओं के साथ लेता है। तकनीकी रूप से, यह दिखाया जा सकता है कि स्थानीय अस्थिरता लॉगनॉर्मल मिश्रण गतिशीलता अनिश्चित अस्थिरता मॉडल का मार्कोवियन प्रक्षेपण है।[14]


उपयोग

स्थानीय अस्थिरता मॉडल किसी भी विकल्प बाजार में उपयोगी होते हैं जिसमें अंतर्निहित अस्थिरता मुख्य रूप से अंतर्निहित, उदाहरण के लिए ब्याज-दर डेरिवेटिव के स्तर का एक फलन है। माना जाता है कि समय-अपरिवर्तनीय स्थानीय अस्थिरताएं इक्विटी सूचकांक की निहित अस्थिरता सतह की गतिशीलता के साथ असंगत हैं,[15] लेकिन क्रेपी (2004) देखें,[16] जो दावा करते हैं कि ऐसे मॉडल इक्विटी सूचकांक विकल्पों के लिए सर्वोत्तम औसत बचाव प्रदान करते हैं, और ध्यान दें कि मिश्रण गतिशीलता जैसे मॉडल समय पर निर्भर स्थानीय अस्थिरता की अनुमति देते हैं, इसमाइल की शब्द संरचना को भी कैलिब्रेट करते हैं। स्थानीय अस्थिरता मॉडल स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल के निर्माण में भी उपयोगी होते हैं।[17]

स्थानीय अस्थिरता मॉडल में कई आकर्षक विशेषताएं हैं।[18] क्योंकि यादृच्छिकता का एकमात्र स्रोत स्टॉक मूल्य है, स्थानीय अस्थिरता मॉडल को जांचना आसान है। मैककेन-व्लासोव प्रक्रियाओं से निपटने के लिए कई अंशांकन विधियां विकसित की गई हैं जिनमें सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला कण और बिन दृष्टिकोण सम्मिलित है।[19] इसके अलावा, वे संपूर्ण बाज़ारों की ओर ले जाते हैं जहां हेजिंग केवल अंतर्निहित परिसंपत्ति पर आधारित हो सकती है। जैसा कि ऊपर संकेत दिया गया है, डुपायर द्वारा सामान्य गैर-पैरामीट्रिक दृष्टिकोण समस्याग्रस्त है, क्योंकि विधि को लागू करने से पहले किसी को मनमाने ढंग से इनपुट निहित अस्थिरता सतह को पूर्व-प्रक्षेपित करने की आवश्यकता होती है। उपरोक्त ट्रैक्टेबल मिश्रण गतिशील स्थानीय अस्थिरता मॉडल के रूप में, एक समृद्ध और ध्वनि पैरामीट्रिजेशन के साथ वैकल्पिक पैरामीट्रिक दृष्टिकोण एक विकल्प हो सकता है। चूंकि स्थानीय अस्थिरता मॉडल में अस्थिरता यादृच्छिक स्टॉक मूल्य का एक निर्धारक फलन है, स्थानीय अस्थिरता मॉडल क्लिक विकल्पों या फॉरवर्ड स्टार्ट विकल्पों की कीमत के लिए बहुत अच्छी तरह से उपयोग नहीं किए जाते हैं, जिनके मूल्य विशेष रूप से अस्थिरता की यादृच्छिक प्रकृति पर निर्भर करते हैं। ऐसे स्थितियों में, स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल को प्राथमिकता दी जाती है।

संदर्भ

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  2. 2.0 2.1 Derman, E., Iraj Kani (1994). ""Riding on a Smile." RISK, 7(2) Feb.1994, pp. 139-145, pp. 32-39" (PDF). Risk. Archived from the original (PDF) on 2011-07-10. Retrieved 2007-06-01. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: multiple names: authors list (link)
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  5. Rubinstein, M. (1983). Displaced Diffusion Option Pricing. The Journal of Finance, 38(1), 213–217. https://doi.org/10.2307/2327648
  6. 6.0 6.1 Brigo, Damiano; Mercurio, Fabio (2006). ब्याज दर मॉडल: सिद्धांत और व्यवहार. Heidelberg: Springer-Verlag.
  7. Carol Alexander (2004). "Normal mixture diffusion with uncertain volatility: Modelling short- and long-term smile effects". Journal of Banking & Finance. 28 (12).
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