अर्ध-स्थानीय पूर्णतः संबद्ध: Difference between revisions
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गणित में, विशेष रूप से [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] में, '''अर्ध-स्थानीय पूर्णतः संबद्ध''' एक निश्चित स्थानीय संबद्धता की स्थिति है जो रिक्त स्थान को समाविष्ट करने के सिद्धांत में उत्पन्न होती है। सामान्यतः कहें तो, टोपोलॉजिकल स्पेस ''X'' अर्ध-स्थानीय पूर्णतः संबद्ध होता है यदि ''X'' में "होल्स" के आकार पर निचली सीमा होती है। रिक्त स्थान को समाविष्ट करने के अधिकांश सिद्धांत के लिए यह स्थिति आवश्यक है, जिसमें एक [[सार्वभौमिक आवरण]] का अस्तित्व और कवरिंग रिक्त स्थान और [[मौलिक समूह]] के उपसमूहों के बीच गैलोज़ समानता सम्मिलित है। | |||
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एक | स्पेस ''X'' को '''अर्ध-स्थानीय पूर्णतः संबद्ध''' किया जाता है यदि ''X'' में हर बिंदु पर गुण के साथ प्रतिवैस ''U'' है कि ''U'' में हर लूप को ''X'' के आभ्यन्तर एक बिंदु पर अनुबंधित किया जा सकता है ( यानी ''U'' में हर लूप ''X'' में शून्य समरूपता है)। प्रतिवैस ''U'' को केवल कनेक्ट करने की आवश्यकता नहीं है: हालांकि ''U'' में प्रत्येक लूप ''X'' के भीतर अनुबंधित होना चाहिए, संकुचन को ''U'' के अंदर ले जाने की आवश्यकता नहीं है। | ||
इस परिभाषा के | इस परिभाषा के बराबर, स्पेस ''X'' अर्ध-स्थानीय केवल तभी संबद्ध होता है जब ''X'' के प्रतिवैस बिंदु में प्रतिवैस ''U'' होता है जिसके लिए ''U'' के मूलभूत समूह से ''X'' के मूलभूत समूह में समरूपता होती है, ''U'' के ''X'' में सम्मिलित किए जाने के मानचित्र से प्रेरित, साधारण है। | ||
रिक्त स्थान को | रिक्त स्थान को समाविष्ट करने के बारे में अधिकांश मुख्य प्रमेय, जिसमें एक सार्वभौमिक समाविष्ट और गैलोइस पत्राचार का अस्तित्व सम्मिलित है, के लिए एक स्थान को पथ-संबद्ध, स्थानीय पथ-संबद्ध और '''अर्ध-स्थानीय पूर्णतः संबद्ध''' करने की आवश्यकता होती है, एक स्थिति जिसे अनलूपेबल के रूप में जाना जाता है (फ़्रेंच में स्वादिष्ट).{{sfn|Bourbaki|2016|p=340}} विशेष रूप से, यह स्थिति किसी स्थान के लिए पर्याप्त संबद्ध आच्छादन स्पेस के लिए आवश्यक है। | ||
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[[File:Hawaiian earrings.svg|thumb|हवाईयन बाली अर्ध-स्थानीय | [[File:Hawaiian earrings.svg|thumb|हवाईयन बाली अर्ध-स्थानीय पूर्णतः संबद्ध नहीं है।]]एक ऐसे स्थान का सरल उदाहरण जो अर्ध-स्थानीय संबद्ध नहीं है, वह हवाईयन इयररिंग है: यूक्लिडियन समतल में केंद्र (1/''n'', 0) और त्रिज्या 1/''n'', प्राकृतिक संख्या के लिए वृत्तों का मिलन। इस स्थान को उप-स्थान टोपोलॉजी दें।फिर मूल के सभी पड़ोस में ऐसे वृत्त हैं जो शून्य समस्थानिक नहीं हैं। | ||
हवाईयन इयररिंग का उपयोग अर्ध-स्थानीय | हवाईयन इयररिंग का उपयोग अर्ध-स्थानीय आसानी से संबद्ध स्थान के निर्माण के लिए भी किया जा सकता है जो स्थानीय पूर्णतः संबद्ध नहीं है। विशेष रूप से, हवाईयन बाली पर [[शंकु (टोपोलॉजी)|शंकु]] संकुचन योग्य है और इसलिए अर्ध-स्थानीय पूर्णतः संबद्ध हुआ है, लेकिन यह स्पष्ट रूप से स्थानीय पूर्णतः संबद्ध नहीं है। | ||
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मौलिक समूह पर प्राकृतिक टोपोलॉजी के संदर्भ में, स्थानीय | मौलिक समूह पर प्राकृतिक टोपोलॉजी के संदर्भ में, स्थानीय पथ-संबद्ध स्थान अर्ध-स्थानीय पूर्णतः संबद्ध केवल तभी संबद्ध होता है जब इसका क्वासी टोपोलॉजिकल मौलिक समूह असतत होता है। | ||
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गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय टोपोलॉजी में, अर्ध-स्थानीय पूर्णतः संबद्ध एक निश्चित स्थानीय संबद्धता की स्थिति है जो रिक्त स्थान को समाविष्ट करने के सिद्धांत में उत्पन्न होती है। सामान्यतः कहें तो, टोपोलॉजिकल स्पेस X अर्ध-स्थानीय पूर्णतः संबद्ध होता है यदि X में "होल्स" के आकार पर निचली सीमा होती है। रिक्त स्थान को समाविष्ट करने के अधिकांश सिद्धांत के लिए यह स्थिति आवश्यक है, जिसमें एक सार्वभौमिक आवरण का अस्तित्व और कवरिंग रिक्त स्थान और मौलिक समूह के उपसमूहों के बीच गैलोज़ समानता सम्मिलित है।
अधिकांश "अच्छे" स्थान जैसे कि मैनिफोल्ड्स और सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स अर्ध-स्थानीय आसानी से संबद्ध हुए हैं, और टोपोलॉजिकल स्थान जो इस स्थिति को संतुष्ट नहीं करते हैं उन्हें कुछ हद तक पैथोलॉजिकल माना जाता है। गैर-अर्ध-स्थानीय सरल रूप से संबद्ध स्थान का मानक उदाहरण हवाईयन इयररिंग है।
परिभाषा
स्पेस X को अर्ध-स्थानीय पूर्णतः संबद्ध किया जाता है यदि X में हर बिंदु पर गुण के साथ प्रतिवैस U है कि U में हर लूप को X के आभ्यन्तर एक बिंदु पर अनुबंधित किया जा सकता है ( यानी U में हर लूप X में शून्य समरूपता है)। प्रतिवैस U को केवल कनेक्ट करने की आवश्यकता नहीं है: हालांकि U में प्रत्येक लूप X के भीतर अनुबंधित होना चाहिए, संकुचन को U के अंदर ले जाने की आवश्यकता नहीं है।
इस परिभाषा के बराबर, स्पेस X अर्ध-स्थानीय केवल तभी संबद्ध होता है जब X के प्रतिवैस बिंदु में प्रतिवैस U होता है जिसके लिए U के मूलभूत समूह से X के मूलभूत समूह में समरूपता होती है, U के X में सम्मिलित किए जाने के मानचित्र से प्रेरित, साधारण है।
रिक्त स्थान को समाविष्ट करने के बारे में अधिकांश मुख्य प्रमेय, जिसमें एक सार्वभौमिक समाविष्ट और गैलोइस पत्राचार का अस्तित्व सम्मिलित है, के लिए एक स्थान को पथ-संबद्ध, स्थानीय पथ-संबद्ध और अर्ध-स्थानीय पूर्णतः संबद्ध करने की आवश्यकता होती है, एक स्थिति जिसे अनलूपेबल के रूप में जाना जाता है (फ़्रेंच में स्वादिष्ट).[1] विशेष रूप से, यह स्थिति किसी स्थान के लिए पर्याप्त संबद्ध आच्छादन स्पेस के लिए आवश्यक है।
उदाहरणपर्याप्त
एक ऐसे स्थान का सरल उदाहरण जो अर्ध-स्थानीय संबद्ध नहीं है, वह हवाईयन इयररिंग है: यूक्लिडियन समतल में केंद्र (1/n, 0) और त्रिज्या 1/n, प्राकृतिक संख्या के लिए वृत्तों का मिलन। इस स्थान को उप-स्थान टोपोलॉजी दें।फिर मूल के सभी पड़ोस में ऐसे वृत्त हैं जो शून्य समस्थानिक नहीं हैं।
हवाईयन इयररिंग का उपयोग अर्ध-स्थानीय आसानी से संबद्ध स्थान के निर्माण के लिए भी किया जा सकता है जो स्थानीय पूर्णतः संबद्ध नहीं है। विशेष रूप से, हवाईयन बाली पर शंकु संकुचन योग्य है और इसलिए अर्ध-स्थानीय पूर्णतः संबद्ध हुआ है, लेकिन यह स्पष्ट रूप से स्थानीय पूर्णतः संबद्ध नहीं है।
मूलभूत समूह की टोपोलॉजी
मौलिक समूह पर प्राकृतिक टोपोलॉजी के संदर्भ में, स्थानीय पथ-संबद्ध स्थान अर्ध-स्थानीय पूर्णतः संबद्ध केवल तभी संबद्ध होता है जब इसका क्वासी टोपोलॉजिकल मौलिक समूह असतत होता है।
संदर्भ
- ↑ Bourbaki 2016, p. 340.
- Bourbaki, Nicolas (2016). Topologie algébrique: Chapitres 1 à 4. Springer. Ch. IV pp. 339 -480. ISBN 978-3662493601.
- J.S. Calcut, J.D. McCarthy Discreteness and homogeneity of the topological fundamental group Topology Proceedings, Vol. 34,(2009), pp. 339–349
- Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
