श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न: Difference between revisions

Latest revision as of 11:01, 14 August 2023

गणित में, श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न व्युत्पन्न के समान एक ऑपरेटर है जो मोबियस परिवर्तनों के अधीन अपरिवर्तनीय है। इस प्रकार, यह समष्टि प्रक्षेप्य रेखा के सिद्धांत में और विशेष रूप से, मॉड्यूलर रूपों और पराज्यमितीय फ़लनो के सिद्धांत में होता है। यह एकसमान फ़लनो, अनुरूप मानचित्रण (फ़लन) और टीचमुलर रिक्त स्थान के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इसका नाम जर्मन गणितज्ञ हरमन श्वार्ज़ के नाम पर रखा गया है।

परिभाषा

समष्टि चर z के होलोमार्फिक फलन $f$ के श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न को परिभाषित किया गया है

$(Sf)(z)=\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)'-{\frac {1}{2}}\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)^{2}={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)^{2}.$

वही सूत्र एक वास्तविक चर के $C 3$ फलन के श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न को भी परिभाषित करता है। वैकल्पिक संकेतन

\{f,z\}=(Sf)(z)

अधिकांशतःप्रयोग किया जाता है।

गुण

किसी भी मोबियस परिवर्तन का श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न

g(z)={\frac {az+b}{cz+d}}

शून्य है। इसके विपरीत, मोबियस परिवर्तन इस गुण का एकमात्र फलन हैं। इस प्रकार, श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न सटीक रूप से उस डिग्री को मापता है जिस तक कोई फलन मोबियस परिवर्तन होने में विफल रहता है।^[1]

यदि $g$ एक मोबियस परिवर्तन है, तो रचना $g o f$ में $f$ के समान श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न है; और दूसरी ओर, $f o g$ का श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न श्रृंखला नियम द्वारा दिया गया है

(S(f\circ g))(z)=(Sf)(g(z))\cdot g'(z)^{2}.

अधिक सामान्यतः, किसी भी पर्याप्त रूप से भिन्न फलन $f$ और $g$ के लिए

S(f\circ g)=\left((Sf)\circ g\right)\cdot (g')^{2}+Sg.

जब $f$ और $g$ सुचारू वास्तविक-मूल्य वाले फलन होते हैं, तो इसका तात्पर्य है कि नकारात्मक (या सकारात्मक) श्वार्ज़ियन वाले फलन के सभी पुनरावृत्ति नकारात्मक (सम्मान सकारात्मक) रहेंगे, जो एक-आयामी गतिशील प्रणाली के अध्ययन में उपयोग का एक तथ्य है।^[2]

दो समष्टि चरों के फलन का परिचय^[3]

F(z,w)=\log \left({\frac {f(z)-f(w)}{z-w}}\right),

इसका दूसरा मिश्रित आंशिक व्युत्पन्न किसके द्वारा दिया गया है?

{\frac {\partial ^{2}F(z,w)}{\partial z\,\partial w}}={f^{\prime }(z)f^{\prime }(w) \over (f(z)-f(w))^{2}}-{1 \over (z-w)^{2}},

और श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न सूत्र द्वारा दिया गया है:

(Sf)(w)=\left.6\cdot {\partial ^{2}F(z,w) \over \partial z\,\partial w}\right\vert _{z=w}.

श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न में एक सरल व्युत्क्रम सूत्र है, जो आश्रित और स्वतंत्र चर का आदान-प्रदान करता है। किसी के पास

(Sw)(v)=-\left({\frac {dw}{dv}}\right)^{2}(Sv)(w)

या अधिक स्पष्ट रूप से, $Sf+(f')^{2}((Sf^{-1})\circ f)=0$ है। यह उपरोक्त श्रृंखला नियम का अनुसरण करता है।

ज्यामितीय व्याख्या

विलियम थर्स्टन ने श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न की व्याख्या इस माप के रूप में की है कि एक अनुरूप मानचित्र मोबियस परिवर्तन से कितना विचलित होता है।^[1] मान लीजिए $f$ के निकट में एक अनुरूप मानचित्रण हो $z_{0}\in \mathbb {C}$ . फिर एक अद्वितीय मोबियस परिवर्तन उपस्थित है $M$ ऐसा है कि $M,f$ पर समान 0, 1, 2-वें क्रम के व्युत्पन्न हैं $z_{0}$ .

अब $(M^{-1}\circ f)(z-z_{0})=z_{0}+(z-z_{0})+{\frac {1}{6}}a(z-z_{0})^{3}+\cdots$ . स्पष्ट रूप से हल करने के लिए $a$ , यह स्थिति को समाधान के लिए पर्याप्त है $z_{0}=0$ . मान लीजिए $M^{-1}(z)={\frac {Az+B}{Cz+1}}$ , और के लिए हल करें $A,B,C$ इससे पहले तीन गुणांक बनेंगे $M^{-1}\circ f$ 0, 1, 0 के समान। इसे चौथे गुणांक में जोड़ने पर, प्राप्त होता है $a=(Sf)(z_{0})$ .

समष्टि तल के अनुवाद, घूर्णन और स्केलिंग के बाद, हमारे पास है $(M^{-1}\circ f)(z)=z+z^{3}+O(z^{4})$ शून्य के निकट में। फिर, तीसरे क्रम तक, यह फलन त्रिज्या के वृत्त को मैप करता है $r$ द्वारा परिभाषित वक्र के लिए $(r\cos \theta +r^{3}\cos 3\theta ,r\sin \theta +r^{3}\sin 3\theta )$ , जहां $\theta \in [0,2\pi ]$ । यह वक्र, चौथे क्रम तक, अर्धअक्षों वाला एक दीर्घवृत्त है $r+r^{3},r-r^{3}$ :

{\frac {(r\cos \theta +r^{3}\cos 3\theta )^{2}}{(r+r^{3})^{2}}}+{\frac {(r\sin \theta +r^{3}\sin 3\theta )^{2}}{(r-r^{3})^{2}}}=1+8r^{4}\sin ^{2}(2\theta )+O(r^{6})

चूंकि मोबियस परिवर्तन सदैव वृत्तों को वृत्तों या रेखाओं में मैप करता है, दीर्घवृत्तीय-पन की मात्रा विचलन को

f

मोबियस परिवर्तन से मापती है।

विभेदक समीकरण

श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न का समष्टि तल में दूसरे क्रम के रैखिक साधारण अंतर समीकरण के साथ एक मौलिक संबंध है।^[4] मान लीजिए $f_{1}(z)$ और $f_{2}(z)$ के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र समरूपता समाधान

{\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+Q(z)f(z)=0.

हों।

फिर अनुपात $g(z)=f_{1}(z)/f_{2}(z)$ संतुष्ट करता है

(Sg)(z)=2Q(z)

जिस डोमेन पर $f_{1}(z)$ और $f_{2}(z)$ परिभाषित हैं, और $f_{2}(z)\neq 0.$ इसका विपरीत भी सत्य है: यदि ऐसा $g$ उपस्थित है, और यह एक सरल रूप से जुड़े डोमेन पर समरूपता है, तो दो समाधान $f_{1}$ और $f_{2}$ प्राप्त हो सकते है, और इसके अतिरिक्त, ये एक सामान्य पैमाने के कारक तक अद्वितीय हैं।

जब एक रैखिक दूसरे क्रम के साधारण अंतर समीकरण को उपरोक्त रूप में लाया जा सकता है, तो परिणामी $Q$ को कभी-कभी समीकरण का Q-मान कहा जाता है।

ध्यान दें कि गॉसियन पराज्यमितीय विभेदक समीकरण को उपरोक्त रूप में लाया जा सकता है, और इस प्रकार पराज्यमितीय समीकरण के समाधान के जोड़े इस प्रकार से संबंधित हैं।

असमानता के लिए शर्तें

यदि यूनिट डिस्क, $D$ पर $f$ एक समरूपता फलन है, तो डब्ल्यू. क्रॉस (1932) और ज़ीव नेहारी (1949) ने सिद्ध किया कि $f$ के लिए एक आवश्यक शर्त है कि वह एकसंयोजक हो। ^[5]

|S(f)|\leq 6(1-|z|^{2})^{-2}.

इसके विपरीत यदि $f (z)$ , $D$ पर एक समरूपता फलन है तो यह संतोषजनक है

|S(f)(z)|\leq 2(1-|z|^{2})^{-2},

तब नेहारी ने सिद्ध किया कि $f$ एकसंयोजक है।^[6]

विशेष रूप से एकरूपता के लिए पर्याप्त शर्त है^[7]

|S(f)|\leq 2.

वृत्ताकार चाप बहुभुजों का अनुरूप मानचित्रण

श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न और संबंधित दूसरे क्रम के साधारण अंतर समीकरण का उपयोग ऊपरी अर्ध समतल या इकाई चक्र और समष्टि तल में किसी भी घिरे बहुभुज के बीच रीमैन मैपिंग को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, जिसके किनारे गोलाकार चाप या सीधी रेखाएं हैं। सीधे किनारों वाले बहुभुजों के लिए, यह श्वार्ज़-क्रिस्टोफेल मानचित्रण को कम कर देता है, जिसे श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न का उपयोग किए बिना सीधे प्राप्त किया जा सकता है। एकीकरण के स्थिरांक के रूप में उत्पन्न होने वाले सहायक पैरामीटर दूसरे क्रम के अंतर समीकरण के अभिलाक्षणिक मान से संबंधित हैं। पहले से ही 1890 में फ़ेलिक्स क्लेन ने लैमे फलन और लैमे अंतर समीकरण के संदर्भ में चतुर्भुजों की स्थितियों का अध्ययन किया था।^[8]^[9]^[10]

मान लीजिए $Δ$ एक गोलाकार चाप बहुभुज है जिसके कोण $π α 1, ..., π α n$ दक्षिणावर्त क्रम में हैं। मान लीजिए $f : H \to Δ$ एक समरूपता मानचित्र है जो सीमाओं के बीच के मानचित्र तक लगातार विस्तृत हुआ है। मान लीजिए कि शीर्ष वास्तविक अक्ष पर बिंदु $a 1, ..., a n$ के अनुरूप हैं। तब $p (x) = S (f)(x)$ , x वास्तविक के लिए वास्तविक-मूल्यवान है, न कि किसी एक बिंदु के लिए। श्वार्ज प्रतिबिंब सिद्धांत द्वारा $p (x)$ , $a i$ पर दोहरे ध्रुव के साथ समष्टि तल पर एक तर्कसंगत फलन तक विस्तारित होता है:

p(z)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {(1-\alpha _{i}^{2})}{2(z-a_{i})^{2}}}+{\frac {\beta _{i}}{z-a_{i}}}.

वास्तविक संख्या $β i$ को सहायक पैरामीटर कहा जाता है। वे तीन रैखिक कठिनाई के अधीन हैं:

\sum \beta _{i}=0

\sum 2a_{i}\beta _{i}+\left(1-\alpha _{i}^{2}\right)=0

\sum a_{i}^{2}\beta _{i}+a_{i}\left(1-\alpha _{i}^{2}\right)=0

जो के गुणांकों के लुप्त होने के अनुरूप है $z^{-1},z^{-2}$ और $z^{-3}$ के विस्तार में $p (z)$ आस-पास $z = \infty$ . मानचित्रण $f (z)$ को फिर इस प्रकार लिखा जा सकता है

f(z)={u_{1}(z) \over u_{2}(z)},

जहां $u_{1}(z)$ और $u_{2}(z)$ रैखिक दूसरे क्रम के साधारण अंतर समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र समरूपता समाधान हैं

u^{\prime \prime }(z)+{\tfrac {1}{2}}p(z)u(z)=0.

वहाँ $n -3$ रैखिक रूप से स्वतंत्र सहायक पैरामीटर, जिन्हें व्यवहार में निर्धारित करना कठिन हो सकता है।

एक त्रिभुज के लिए, जब $n = 3$ , कोई सहायक पैरामीटर नहीं हैं। साधारण अंतर समीकरण पराज्यमितीय अंतर समीकरण के समान है और $f (z)$ श्वार्ज़ त्रिकोण फलन है, जिसे पराज्यमितीय फलन के संदर्भ में लिखा जा सकता है।

एक चतुर्भुज के लिए सहायक पैरामीटर एक स्वतंत्र चर $λ$ पर निर्भर करते हैं। $q (z)$ के उपयुक्त विकल्प के लिए $U (z) = q (z) u (z)$ लिखने पर साधारण अंतर समीकरण का रूप ले लेता है

a(z)U^{\prime \prime }(z)+b(z)U^{\prime }(z)+(c(z)+\lambda )U(z)=0.

इस प्रकार $q(z)u_{i}(z)$ अंतराल पर स्टर्म-लिउविल समीकरण के अभिलाक्षणिक फलन $[a_{i},a_{i+1}]$ है। स्टर्म पृथक्करण प्रमेय के अनुसार, विलुप्त न होना $u_{2}(z)$ , $λ$ को न्यूनतम अभिलाक्षणिक मान होने के लिए बाध्य करता है।

टेइचमुलर स्थान पर समष्टि संरचना

सार्वभौमिक टेइचमुलर स्थान को यूनिट डिस्क $D$ , या समकक्ष ऊपरी आधा तल $H$ , के वास्तविक विश्लेषणात्मक क्वासिकोनफॉर्मल मैपिंग के स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसमें दो मैपिंग को समतुल्य माना जाता है यदि सीमा पर एक मोबियस परिवर्तन के साथ संरचना द्वारा दूसरे से प्राप्त किया जाता है। रीमैन क्षेत्र के निचले गोलार्ध के साथ $D$ की पहचान करते हुए, निचले गोलार्ध का कोई भी अर्ध-अनुरूप स्व-मानचित्र ${\tilde {f}}$ स्वाभाविक रूप से ऊपरी गोलार्ध के अनुरूप मानचित्रण से मेल खाता है। वास्तव में ${\tilde {f}}$ को बेल्ट्रामी अंतर समीकरण के समाधान के ऊपरी गोलार्ध के प्रतिबंध के रूप में निर्धारित किया जाता है

{\frac {\partial F}{\partial {\bar {z}}}}=\mu (z){\frac {\partial F}{\partial z}},

जहां μ द्वारा परिभाषित परिबद्ध मापनीय फलन है

\mu (z)={\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\bigg /}{\frac {\partial f}{\partial z}}

निचले गोलार्ध पर, और ऊपरी गोलार्ध पर 0 तक विस्तारित है।

$D$ के साथ ऊपरी गोलार्ध की पहचान करते हुए, लिपमैन बेर्स ने मैपिंग को परिभाषित करने के लिए श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न का उपयोग किया

g=S({\tilde {f}}),

जो सार्वभौमिक टेइचमुलर स्थान को एकसमान मानदंड के साथ $D$ पर नियंत्रण समरूपता फलन $g$ के स्थान के एक विवृत उपसमुच्चय $U$ में एम्बेड करता है। फ्रेडरिक गेहरिंग ने 1977 में दिखाया कि $U$ एकसमान फलनों के श्वार्ज़ियन व्युत्पन्नों के संवृत उपसमुच्चय का आंतरिक भाग है।^[11]^[12]^[13]

1 से अधिक जीनस की एक सुगठित रीमैन सतह $S$ 1 के लिए, इसका सार्वभौमिक आवरण स्थान इकाई डिस्क है $D$ है जिस पर इसका मूल समुच्चय $Γ$ मोबियस परिवर्तनों द्वारा कार्य करता है। $S$ के टेइचमुलर स्थान को $Γ$ के तहत सार्वभौमिक टेइचमुलर स्थान अपरिवर्तनीय के उप-स्थान से पहचाना जा सकता है। समरूपता फलन $g$ में वह गुण होता है

g(z)\,dz^{2}

$Γ$ के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, इसलिए $S$ पर द्विघात अंतर निर्धारित करें। इस तरह, $S$ के टेइचमुलर स्थान को $S$ पर द्विघात अंतर के परिमित-आयामी समष्टि सदिश स्थान के एक विवृत उप-स्थान के रूप में ज्ञात किया जाता है।

वृत्त का द्विरूपता समुच्चय

क्रॉस्ड समरूपताएँ

परिवर्तन गुण

S(f\circ g)=\left(S(f)\circ g\right)\cdot (g')^{2}+S(g).

श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न को वृत्त पर डिग्री 2 के घनत्व के मॉड्यूल में गुणांक के साथ वृत्त के समरूपता समुच्चय के निरंतर 1-सहचक्र या पार समरूपता के रूप में व्याख्या करने की अनुमति देता है।^[14]

मान लीजिए $F λ (S 1)$ , $S 1$ पर डिग्री $λ$ के टेंसर घनत्व का स्थान है। $S 1, Diff(S 1)$ के अभिविन्यास-संरक्षण भिन्नताओं का समुच्चय, अग्रसर होने के माध्यम से $F λ (S 1)$ पर कार्य करता है। यदि $f$ , $Diff(S 1)$ का एक तत्व है तो मैपिंग पर विचार करें

f\to S(f^{-1}).

समुच्चय सहसंरचना की भाषा में ऊपर दिया गया चेन-जैसा नियम कहता है कि यह मैपिंग $F 2 (S 1)$ में गुणांक के साथ $Diff(S 1)$ पर 1-सहचक्र पर है।

$H^{1}({\text{Diff}}(\mathbf {S} ^{1});F_{2}(\mathbf {S} ^{1}))=\mathbf {R}$

और सह-समरूपता उत्पन्न करने वाला 1-सहचक्र $f \to S (f -1)$ है। 1-सह-समरूपता की गणना अधिक सामान्य परिणाम की एक विशेष स्थिति है

H^{1}({\text{Diff}}(\mathbf {S} ^{1});F_{\lambda }(\mathbf {S} ^{1}))=\mathbf {R} \,\,\mathrm {for} \,\,\lambda =0,1,2\,\,\mathrm {and} \,\,(0)\,\,\mathrm {otherwise.}

ध्यान दें कि यदि $G$ एक समुच्चय है और $M$ एक $G$ -मॉड्यूल है, तो $G$ से $M$ की क्रॉस समरूपता $c$ को परिभाषित करने वाली पहचान को समुच्चयों के मानक समरूपता के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है: इसे अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद में $G$ के समरूपता 𝜙 में एन्कोड किया गया है $M\rtimes G$ ऐसा कि प्रक्षेपण के साथ 𝜙 की रचना $M\rtimes G$ पर $G$ पहचान मानचित्र है; पत्राचार मानचित्र $C (g) = (c (g), g)$ द्वारा होता है। क्रॉस्ड समरूपताएँ एक सदिश स्थान हैं और एक उप-स्थान के रूप में $m$ में $M$ के लिए सहसीमा क्रॉस्ड समरूपताएँ $b (g) = g \cdot m - m$ सम्मलित होते हैं। एक साधारण औसत तर्क से पता चलता है कि, यदि $K$ एक सुगठित समुच्चय है और $V$ एक टोपोलॉजिकल सदिश स्थान है, जिस पर K लगातार कार्य करता है, तो उच्च कोहोलॉजी समुच्चय लुप्त हो जाते हैं, $m > 0$ के लिए $H m (K, V) = (0)$ । विशेष रूप से 1-सहचक्र के लिए χ साथ

\chi (xy)=\chi (x)+x\cdot \chi (y),

K

$K$ पर हार माप के बाएं अपरिवर्तनीय का उपयोग करके, y से अधिक औसत प्राप्त होता है

\chi (x)=m-x\cdot m,

साथ

m=\int _{K}\chi (y)\,dy.

इस प्रकार औसत से यह माना जा सकता है कि $c$ , $Rot(S 1)$ में $x$ के लिए सामान्यीकरण स्थिति $c (x) = 0$ को संतुष्ट करता है। ध्यान दें कि यदि $G$ में कोई तत्व $x$ , में $c (x) = 0$ को संतुष्ट करता है तो $C (x) = (0, x)$ । लेकिन फिर, चूँकि $C$ एक समरूपता है, $C (xgx -1) = C (x) C (g) C (x) -1$ , जिससे कि $c$ समतुल्य स्थिति $c (xgx -1) = x \cdot c (g)$ को संतुष्ट करे। इस प्रकार यह माना जा सकता है कि सहचक्र $Rot(S 1)$ के लिए इन सामान्यीकरण स्थितियों को संतुष्ट करता है। श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न वास्तव में तब विलुप्त हो जाता है जब $x$ का $SU(1,1)$ के अनुरूप मोबियस परिवर्तन होता है। नीचे चर्चा किए गए अन्य दो 1-चक्र केवल $Rot(S 1) (λ = 0, 1)$ पर विलुप्त हो जाते हैं।

इस परिणाम का एक अनंत संस्करण है जो $Vect(S 1)$ के लिए 1-सहचक्र देता है, जो चिकने सदिश क्षेत्रों का बीजगणित है, और इसलिए विट बीजगणित के लिए, त्रिकोणमितीय बहुपद सदिश क्षेत्रों का उपबीजगणित है। वास्तव में, जब $G$ एक लाई समुच्चय है और $M$ पर $G$ की क्रिया सुचारु है, तो लाई बीजगणित (पहचान पर समरूपता के व्युत्पन्न) के संगत समरूपता को लेकर प्राप्त किए गए पार समरूपता का एक लाई बीजगणितीय संस्करण होता है। यह $Diff(S 1)$ के लिए भी समझ में आता है और 1-सहचक्र की ओर ले जाता है

s\left(f\,{d \over d\theta }\right)={d^{3}f \over d\theta ^{3}}\,(d\theta )^{2}

जो पहचान को संतुष्ट करता है

s([X,Y])=X\cdot s(Y)-Y\cdot s(X).

ली बीजगणित स्थिति में, सह-सीमा मानचित्रों में $m$ के लिए $b (X) = X \cdot m$ $M$ का रूप होता है। दोनों ही स्थिति में 1-सह-समरूपता को पार किए गए समरूपताएँ मॉड्यूलो सहसीमा के स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है। समुच्चय समरूपता और लाई बीजगणित समरूपता के बीच प्राकृतिक पत्राचार "वैन एस्ट समावेशन मानचित्र" की ओर ले जाता है।

H^{1}(\operatorname {Diff} (\mathbf {S} ^{1});F_{\lambda }(\mathbf {S} ^{1}))\hookrightarrow H^{1}(\operatorname {Vect} (\mathbf {S} ^{1});F_{\lambda }(\mathbf {S} ^{1})),

इस तरह से गणना को लाई बीजगणित सहसमरूपता तक कम किया जा सकता है। निरंतरता से यह विट बीजगणित के क्रॉस समरूपता 𝜙 की $F λ (S 1)$ में गणना को कम कर देता है। समरूपता को पार करने वाले समुच्चय पर सामान्यीकरण की स्थितियाँ 𝜙 के लिए निम्नलिखित अतिरिक्त शर्तें दर्शाती हैं:

\varphi (\operatorname {Ad} (x)X)=x\cdot \varphi (X),\,\,\varphi (d/d\theta )=0

$Rot(S 1)$ में $x$ के लिए।

केएसी & रैना (1987) के सम्मेलनों के बाद, विट बीजगणित का एक आधार दिया गया है

d_{n}=ie^{in\theta }\,{d \over d\theta }

जिससे कि $[d m, d n] = (m - n) d m + n$ . की समष्टिता के लिए एक आधार $F λ (S 1)$ द्वारा दिया गया है

v_{n}=e^{in\theta }\,(d\theta )^{\lambda },

जिससे कि

d_{m}\cdot v_{n}=-(n+\lambda m)v_{n+m},\,\,g_{\zeta }\cdot v_{n}=\zeta ^{n}v_{n},

$Rot(S 1) = T$ में $g ζ$ में के लिए। यह उपयुक्त गुणांकों के लिए $𝜙(d n) = a n \cdot v n$ को बाध्य करता है। क्रॉस्ड समरूपता स्थिति $𝜙([X, Y]) = X 𝜙(Y) - Y 𝜙(X)$ $a n$ के लिए पुनरावृत्ति संबंध देती है:

(m-n)a_{m+n}=(m+\lambda n)a_{m}-(n+\lambda m)a_{n}.

स्थिति $𝜙(d / d θ) = 0$ , का अर्थ है कि $a 0 = 0$ . इस स्थिति और पुनरावृत्ति संबंध से, यह पता चलता है कि अदिश गुणज तक, इसका एक अद्वितीय गैर-शून्य समाधान होता है जब $λ$ 0, 1 या 2 के समान होता है और अन्यथा केवल शून्य समाधान होता है। $λ = 1$ का समाधान समुच्चय 1-सहचक्र से मेल खाता है $\varphi _{1}(f)=f^{\prime \prime }/f^{\prime }\,d\theta$ . $λ = 0$ का समाधान समुच्चय 1-सहचक्र $𝜙 0 (f) = log f'$ से मेल खाता है। संबंधित लाई बीजगणित 1-सहचक्र के लिए $λ = 0, 1, 2$ को एक अदिश गुणज तक दिया जाता है

\varphi _{\lambda }\left(F{d \over d\theta }\right)={d^{\lambda +1}F \over d\theta ^{\lambda +1}}\,(d\theta )^{\lambda }.

केंद्रीय विस्तार

पार की गई समरूपताएं $Diff(S 1)$ और इसके लेई बीजगणित $Vect(S 1)$ के केंद्रीय विस्तार, तथाकथित विरासोरो बीजगणित की उत्पति करती हैं।

सहसंयुक्त क्रिया

समुच्चय $Diff(S 1)$ और इसका केंद्रीय विस्तार टेइचमुलर सिद्धांत और स्ट्रिंग सिद्धांत के संदर्भ में भी स्वाभाविक रूप से दिखाई देता है।^[15] वास्तव में $D$ के अर्ध-अनुरूप स्व-मानचित्रों से प्रेरित $S 1$ की समरूपताएं सटीक रूप से $S 1$ की अर्धसममितीय मानचित्र समरूपताएं हैं; ये बिल्कुल समरूपताएँ हैं जो 1/2 के क्रॉस अनुपात वाले चार बिंदुओं को 1 या 0 के निकट क्रॉस अनुपात वाले बिंदुओं पर नहीं भेजते हैं। सीमा मूल्यों को लेते हुए, सार्वभौमिक टेइचमुलर को क्वासिसिमेट्रिक समरूपताएँ के समुच्चय के भागफल के साथ पहचाना जा सकता है। $QS(S 1)$ मोबियस परिवर्तनों के उपसमुच्चय द्वारा $Moeb(S 1)$ . (इसे स्वाभाविक रूप से अर्धवृत्त के स्थान के रूप में भी अनुभूत किया जा सकता है $C$ ।)

\operatorname {Moeb} (\mathbf {S} ^{1})\subset \operatorname {Diff} (\mathbf {S} ^{1})\subset {\text{QS}}(\mathbf {S} ^{1})

सजातीय स्थान $Diff(S 1)/Moeb(S 1)$ स्वाभाविक रूप से सार्वभौमिक टेइचमुलर स्थान का एक उपस्थान है। यह स्वाभाविक रूप से एक समष्टि विविधता है और यह और अन्य प्राकृतिक ज्यामितीय संरचनाएं टेइचमुलर स्थान पर उपस्थित संरचनाओं के साथ संगत हैं। $Diff(S 1)$ के लाई बीजगणित के दोहरे को $S 1$ पर हिल के ऑपरेटरों के स्थान से पहचाना जा सकता है

{d^{2} \over d\theta ^{2}}+q(\theta ),

और $Diff(S 1)$ की सहसंयुक्त क्रिया श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न का आह्वान करती है। भिन्नता $f$ का व्युत्क्रम हिल के ऑपरेटर को भेजता है

{d^{2} \over d\theta ^{2}}+f^{\prime }(\theta )^{2}\,q\circ f(\theta )+{\tfrac {1}{2}}S(f)(\theta ).

छद्मसमुच्चय और सम्बन्ध

श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न और $Diff(S 1)$ पर परिभाषित अन्य 1-सहचक्र को समष्टि तल में विवृत समुच्चयो के बीच बिहोलोमोर्फिक तक बढ़ाया जा सकता है। इस स्थिति में स्थानीय विवरण विश्लेषणात्मक छद्म समुच्चयों के सिद्धांत की ओर ले जाता है, जो अनंत-आयामी समुच्चयों के सिद्धांत को औपचारिक बनाता है और ली बीजगणित का अध्ययन पहली बार 1910 के दशक में एली कार्टन द्वारा किया गया था। यह रीमैन सतहों पर एफ़िन और प्रोजेक्टिव संरचनाओं के साथ-साथ श्वार्ज़ियन या प्रोजेक्टिव सम्बन्ध के सिद्धांत से संबंधित है, जिस पर गनिंग, शिफ़र और हॉले ने चर्चा की है।

$C$ पर एक समरूपता छद्म समुच्चय $Γ$ में विवृत समुच्चय $U$ और $V$ के बीच बिहोलोमोर्फिज्म $f$ का एक संग्रह होता है जिसमें प्रत्येक विवृत $U$ के लिए पहचान मानचित्र सम्मलित होते हैं, जो विवृत को प्रतिबंधित करने के तहत संवृत होता है, जो संरचना (जब संभव हो) के तहत संवृत होता है, जो व्युत्क्रम लेने के तहत संवृत कर दिया गया है और इस तरह कि यदि कोई बिहोलोमोर्फिक स्थानीय रूप से $Γ$ में है, तो यह भी $Γ$ में होता है। छद्म समुच्चय को सकर्मक कहा जाता है यदि, $C$ में $z$ और $w$ दिए जाने पर, $Γ$ में एक बायोलोमोर्फिज्म $f$ है जैसे कि $f (z) = w$ । सकर्मक छद्म समुच्चयों का एक विशेष स्थिति वे हैं जो सपाट हैं, अर्थात जिनमें सभी समष्टि अनुवाद $T b (z) = z + b$ सम्मलित हैं। मान लीजिए कि संरचना के अंतर्गत $G$ , औपचारिक शक्ति श्रृंखला परिवर्तनों $F (z) = a 1 z + a 2 z 2 + ....$ का समुच्चय है, जिसमें $a 1 \neq 0$ है। एक समरूपता छद्म समुच्चय $Γ$ , $G$ के एक उपसमुच्चय $A$ को परिभाषित करता है, अर्थात् टेलर श्रृंखला के विस्तार द्वारा परिभाषित उपसमुच्चय $Γ$ के तत्वों $f$ के 0 (या "जेट") के साथ $f (0) = 0$ . $U$ पर एक बायोलोमोर्फिज्म एफ $Γ$ में निहित है यदि और सिर्फ़ यदि $T - f (a) \circ f \circ T a$ की पावर श्रृंखला $U$ में प्रत्येक $a$ के लिए $A$ में निहित है: दूसरे शब्दों में $f$ पर $f$ के लिए औपचारिक पावर श्रृंखला दी गई है $A$ के एक तत्व द्वारा $z$ को $z - a$ द्वारा प्रतिस्थापित किया गया; या संक्षेप में कहें तो $f$ के सभी जेट $A$ में स्थित हैं।^[16]

समुच्चय $G$ में $k$ -जेड के समुच्चय $G k$ पर एक प्राकृतिक समरूपता है जो कि शब्द z^k तक ली गई काटे गए पावर श्रृंखला को लेकर प्राप्त की गई है। यह समुच्चय घात $k$ वाले बहुपदों के स्थान पर ( $k$ से अधिक क्रम के पदों को छोटा करके) निष्कपट से कार्य करता है। ट्रंकेशन इसी तरह $G k$ पर $G k - 1$ की समरूपता को परिभाषित करते हैं; कर्नेल में f $f (z) = z + bz k$ के साथ मानचित्र f सम्मलित हैं, एबेलियन भी ऐसा ही है। इस प्रकार समुच्चय G_k हल करने योग्य है, एक तथ्य इस तथ्य से भी स्पष्ट है कि यह एकपदी के आधार के लिए त्रिकोणीय रूप में है।

एक समतल छद्मसमुच्चय $Γ$ को अंतर समीकरणों द्वारा परिभाषित किया जाता है यदि कोई परिमित पूर्णांक है $k$ ऐसा कि $A$ में $''G''<sub>''k''</sub>$ यथातथ्य है और छवि एक संवृत उपसमुच्चय है। ऐसे सबसे छोटे $k$ $Γ$ का क्रम कहा जाता है।

इस प्रकार उत्पन्न होने वाले सभी उपसमुच्चयों $A$ का एक संपूर्ण वर्गीकरण है जो अतिरिक्त धारणाओं को संतुष्ट करता है कि $G k$ में $A$ की छवि एक समष्टि उपसमुच्चय है और G₁, $C *$ के समान है: इसका तात्पर्य यह है कि छद्म समुच्चय में $a \neq 0$ के लिए स्केलिंग परिवर्तन $S a (z) = az$ भी सम्मलित है, अर्थात $A$ में ≠ 0 के साथ प्रत्येक बहुपद $az$ सम्मलित है।

इस स्थितिय में एकमात्र संभावना यह है कि $k = 1$ और $A = {az : a \neq 0$ }; या कि $k = 2$ और $A = {az /(1- bz) : a \neq 0}$ । पूर्व समष्टि मोबियस समुच्चय के एफ़िन उपसमुच्चय द्वारा परिभाषित छद्म समुच्चय है ( $az + b$ परिवर्तन फिक्सिंग $\infty$ ); उत्तरार्द्ध संपूर्ण समष्टि मोबियस समुच्चय द्वारा परिभाषित छद्म समुच्चय है।

औपचारिक लाई बीजगणित के पश्चात से इस वर्गीकरण को आसानी से लाई बीजगणितीय समस्या में बदला जा सकता है ${\mathfrak {g}}$ के $G$ में F के साथ एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला के साथ औपचारिक सदिश क्षेत्र $F (z) d / dz$ सम्मलित हैं। इसमें बहुपद सदिश क्षेत्र सम्मलित हैं जिनका आधार $d n = z n +1 d / dz (n \geq 0)$ है, जो विट बीजगणित का एक उपबीजगणित है। लाई कोष्ठक $[d m, d n] = (n - m) d m + n$ द्वारा दिए गए हैं। फिर से ये डिग्री $\leq k$ के बहुपदों के स्थान पर विभेदन द्वारा कार्य करते हैं -इसे $C [[z]]/(z k +1)$ —से पहचाना जा सकता है - और $d 0, ..., d k - 1$ की आकृति एक आधार देती हैं $G k$ का लाई बीजगणितहैं। ध्यान दें कि $Ad(S a) d n = a - n d n$ मान लीजिए ${\mathfrak {a}}$ के लाई बीजगणित को निरूपित करें $A$ : यह $G k$ के लाई बीजगणित के एक उपबीजगणित के समरूपी है। इसमें $d 0$ सम्मलित है और $Ad(S a)$ के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। तब से ${\mathfrak {a}}$ विट बीजगणित का एक लाई उपबीजगणित है, एकमात्र संभावना यह है कि इसका आधार $d 0$ या कुछ $n \geq 1$ के लिए आधार $d 0, d n$ है। प्रपत्र $f (z)= z + bz n +1 + ...$ . के संगत समुच्चय तत्व हैं। अनुवाद के साथ इसकी रचना करने पर $T - f (ε) \circ f \circ T ε (z) = cz + dz 2 + ...$ प्राप्त होता है $c, d \neq 0$ के साथ। जब तक $n = 2$ , न हो, यह उपसमुच्चय $A$ ; के रूप का खंडन करता है; तो $n = 2$ .^[17]

श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न समष्टि मोबियस समुच्चय के लिए छद्म समुच्चय से संबंधित है। वास्तव में यदि $f$ , $V$ पर परिभाषित एक द्विघात अंतर है तो $𝜙 2 (f) = S (f)$ , $V$ पर एक द्विघात अंतर है। यदि $g$ पर परिभाषित एक बायोहोमोलोर्फिज्म है और $g (V) \subseteq U, S (f \circ g)$ और $S (g)$ $U$ पर द्विघात अवकलन हैं; इसके अतिरिक्त $S (f)$ $V$ पर एक द्विघात अंतर है, इसलिए $g * S (f)$ भी $U$ पर एक द्विघात अंतर है।

$S(f\circ g)=g_{*}S(f)+S(g)$

इस प्रकार समरूपता द्विघात अंतर में गुणांक के साथ बायोलोमोर्फिज्म के छद्म समुच्चय के लिए 1-सहचक्र का एनालॉग है। उसी प्रकार $\varphi _{0}(f)=\log f^{\prime }$ और $\varphi _{1}(f)=f^{\prime \prime }/f^{\prime }$ समरूपता फलन और समरूपता अंतरों में मूल्यों के साथ एक ही छद्म समुच्चय के लिए 1-सहचक्र हैं। सामान्यतः 1-सहचक्र को किसी भी क्रम के समरूपता अंतर के लिए परिभाषित किया जा सकता है

\varphi (f\circ g)=g_{*}\varphi (f)+\varphi (g).

उउपरोक्त पहचान को समावेशन मानचित्र $j$ पर क्रियान्वित करने पर, यह इस प्रकार है कि $𝜙(j) = 0$ ; और इसलिए यदि $f 1$ , $f 2$ का प्रतिबंध है, तो $f 2 \circ j = f 1$ , तब $𝜙(f 1) = 𝜙 (f 2)$ .दूसरी ओर, समरूपता सदिश क्षेत्रों द्वारा परिभाषित स्थानीय समरूपता प्रवाह को लेते हुए - सदिश क्षेत्रों का घातांक - स्थानीय बायोलोमोर्फिज्म का समरूपता छद्म समुच्चय समरूपता सदिश क्षेत्रों द्वारा उत्पन्न होता है। यदि 1-सहचक्र 𝜙 उपयुक्त निरंतरता या विश्लेषणात्मकता स्थितियों को संतुष्ट करता है, तो यह समरूपता सदिश क्षेत्र 1-सहचक्र को प्रेरित करता है, जो प्रतिबंध के साथ भी संगत है। तदनुसार, यह $C$ पर समरूपता सदिश क्षेत्र पर 1-सहचक्र को परिभाषित करता है:

\varphi ([X,Y])=X\varphi (Y)-Y\varphi (X).

आधार $d n = z n +1 d / dz (n \geq -1)$ के साथ बहुपद सदिश क्षेत्रों के ली बीजगणित को सीमित करते हुए, इन्हें ली बीजगणित को होमोलॉजी के समान उपायो का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है (जैसा कि पार किए गए समरूपता पर पिछले अनुभाग में)। वहां गणना क्रम $k$ , के घनत्वों पर कार्य करने वाले संपूर्ण विट बीजगणित के लिए थी, जबकि यहां यह केवल क्रम $k$ के समरूपता (या बहुपद) अंतरों पर कार्य करने वाले उपबीजगणित के लिए थी। फिर से, यह मानते हुए कि 𝜙 $C$ के घूर्णन पर गायब हो जाता है, गैर-शून्य 1-सहचक्र होते हैं, जो अदिश गुणकों तक अद्वितीय होते हैं। केवल समान व्युत्पन्न सूत्र द्वारा दिए गए घात 0, 1 और 2 के अंतरों के लिए

\varphi _{k}\left(p(z){d \over dz}\right)=p^{(k+1)}(z)\,(dz)^{k},

जहां $p (z)$ एक बहुपद है।

1-सहचक्र्स तीन छद्म समुच्चयों को $𝜙 k (f) = 0$ द्वारा परिभाषित करते हैं: यह स्केलिंग समुच्चय ( $k = 0$ ) देता है; एफ़िन समुच्चय ( $k = 1$ ); और संपूर्ण समष्टि मोबियस समुच्चय ( $k = 2$ )। तो ये 1-सहचक्र छद्म समुच्चय को परिभाषित करने वाले विशेष साधारण अंतर समीकरण हैं। अधिक महत्वपूर्ण रूप से उनका उपयोग रीमैन सतहों पर संबंधित एफ़िन या प्रक्षेपीय संरचनाओं और सम्बन्ध को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। यदि $Γ$ $R n$ पर सुचारू मैपिंग का एक छद्म समुच्चय है, तो एक टोपोलॉजिकल स्थान $M$ को $Γ$ -संरचना कहा जाता है यदि इसमें चार्ट $f$ का संग्रह होता है जो $M$ में विवृत समुच्चय $V i$ से $R n$ में विवृत समुच्चय $U i$ तक समरूपताएँ होता है, जैसे कि, प्रत्येक गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन $f i (U i \cap U j)$ से $f j (U i \cap U j)$ तक का प्राकृतिक मानचित्र $Γ$ में स्थित होता है। यह एक सुचारू $n$ -कई गुना की संरचना को परिभाषित करता है यदि $Γ$ में स्थानीय डिफोमोर्फिम्स और एक रीमैन सतह होती है यदि $n = 2$ -जिससे कि $R 2 \equiv C$ -और $Γ$ में बिहोलोमोर्फिम्स सम्मलित हों। यदि $Γ$ एफ़िन छद्म समुच्चय है,तो $M$ को एफ़िन संरचना कहा जाता है; और यदि $Γ$ मोबियस छद्म समुच्चयहै, तो $M$ को एक प्रक्षेपी संरचना कहा जाता है। इस प्रकार कुछ लैटिस $C /Λ$ के लिए $Λ \subset C$ के रूप में दी गई एक जीनस एक सतह में एक एफ़िन संरचना होती है; और फुच्सियन समुच्चय द्वारा ऊपरी आधे तल या इकाई डिस्क के भागफल के रूप में दी गई एक जीनस $p > 1$ सतह में एक प्रक्षेपी संरचना होती है।^[18]

1966 में गनिंग ने बताया कि इस प्रक्रिया को कैसे व्युत्पन्न किया जा सकता है: जीनस $p > 1$ के लिए, एक प्रक्षेप्य सम्बन्ध का अस्तित्व, जिसे श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न 𝜙₂ का उपयोग करके परिभाषित किया गया है और कोहोलॉजी पर मानक परिणामों का उपयोग करके सिद्ध किया गया है, इसका ऊपरी आधे तल या यूनिट डिस्क के साथ सार्वभौमिक कवरिंग सतह की पहचान करने के लिए उपयोग किया जा सकता है (एफ़िन सम्बन्ध और $𝜙 1$ का उपयोग करके जीनस 1 के लिए एक समान परिणाम होता है)।^[18]

यह भी देखें

रिकाती समीकरण का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग तीसरे क्रम के श्वार्ज़ियन अंतर समीकरण के लिए है

↑ ^1.0 ^1.1 Thurston, William P. "Zippers and univalent functions." The Bieberbach conjecture (West Lafayette, Ind., 1985) 21 (1986): 185-197.
↑ Weisstein, Eric W. "Schwarzian Derivative." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
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↑ Klein 1922
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↑ Lehto 1987
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↑ Ovsienko & Tabachnikov 2005, pp. 21–22
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संदर्भ

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[:0-1] 1.0 ^1.1 Thurston, William P. "Zippers and univalent functions." The Bieberbach conjecture (West Lafayette, Ind., 1985) 21 (1986): 185-197.

[2] Weisstein, Eric W. "Schwarzian Derivative." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.

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[:1-16] Sternberg 1983, pp. 421–424

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[Gunning_1966-18] 18.0 ^18.1 Gunning 1966

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Contents

परिभाषा

गुण

ज्यामितीय व्याख्या

विभेदक समीकरण

असमानता के लिए शर्तें

वृत्ताकार चाप बहुभुजों का अनुरूप मानचित्रण

टेइचमुलर स्थान पर समष्टि संरचना

वृत्त का द्विरूपता समुच्चय

क्रॉस्ड समरूपताएँ

केंद्रीय विस्तार

सहसंयुक्त क्रिया

छद्मसमुच्चय और सम्बन्ध

यह भी देखें

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Nonlinear differential operator used to study conformal mappings}}
-गणित में, श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न व्युत्पन्न के समान एक ऑपरेटर है जो मोबियस परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय है। इस प्रकार, यह [[जटिल प्रक्षेप्य रेखा]] के सिद्धांत में और विशेष रूप से, [[मॉड्यूलर रूप|मॉड्यूलर रूपों]] और [[हाइपरज्यामितीय कार्य|हाइपरज्यामितीय फ़लनो]] के सिद्धांत में होता है। यह [[एकसमान कार्य|एकसमान फ़लनो]], [[अनुरूप मानचित्रण]] और टीचमुलर रिक्त स्थान के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इसका नाम जर्मन गणितज्ञ [[हरमन ब्लैक|हरमन श्वार्ज़]] के नाम पर रखा गया है।
+गणित में, '''श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न''' व्युत्पन्न के समान एक ऑपरेटर है जो मोबियस परिवर्तनों के अधीन अपरिवर्तनीय है। इस प्रकार, यह [[जटिल प्रक्षेप्य रेखा|समष्टि प्रक्षेप्य रेखा]] के सिद्धांत में और विशेष रूप से, [[मॉड्यूलर रूप|मॉड्यूलर रूपों]] और [[हाइपरज्यामितीय कार्य|पराज्यमितीय फ़लनो]] के सिद्धांत में होता है। यह [[एकसमान कार्य|एकसमान फ़लनो]], [[अनुरूप मानचित्रण]] (फ़लन) और टीचमुलर रिक्त स्थान के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इसका नाम जर्मन गणितज्ञ [[हरमन ब्लैक|हरमन श्वार्ज़]] के नाम पर रखा गया है।
 ==परिभाषा==
-[[जटिल चर]] z के [[होलोमोर्फिक फ़ंक्शन]] {{mvar|f}} के श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न को परिभाषित किया गया है
+[[जटिल चर|समष्टि चर]] z के [[होलोमोर्फिक फ़ंक्शन|होलोमार्फिक फलन]] {{mvar|f}} के श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न को परिभाषित किया गया है
 <math>
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 </math>
-वही सूत्र एक वास्तविक चर के {{math|''C''<sup>3</sup>}} फ़ंक्शन के श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न को भी परिभाषित करता है। वैकल्पिक संकेतन
+वही सूत्र एक वास्तविक चर के {{math|''C''<sup>3</sup>}} फलन के श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न को भी परिभाषित करता है। वैकल्पिक संकेतन
 :<math>\{f,z\} = (Sf)(z)</math>
-अक्सर प्रयोग किया जाता  है।
+अधिकांशतःप्रयोग किया जाता  है।
 ==गुण==
@@ Line 19: / Line 19: @@
 : <math>g(z) = \frac{az + b}{cz + d}</math>
-शून्य है। इसके विपरीत, मोबियस परिवर्तन इस गुण का एकमात्र फ़ंक्शन हैं। इस प्रकार, श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न सटीक रूप से उस डिग्री को मापता है जिस तक कोई फ़ंक्शन मोबियस परिवर्तन होने में विफल रहता है।<ref name=":0">Thurston, William P. "Zippers and univalent functions." ''The Bieberbach conjecture (West Lafayette, Ind., 1985)'' 21 (1986): 185-197.</ref>
+शून्य है। इसके विपरीत, मोबियस परिवर्तन इस गुण का एकमात्र फलन हैं। इस प्रकार, श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न सटीक रूप से उस डिग्री को मापता है जिस तक कोई फलन मोबियस परिवर्तन होने में विफल रहता है।<ref name=":0">Thurston, William P. "Zippers and univalent functions." ''The Bieberbach conjecture (West Lafayette, Ind., 1985)'' 21 (1986): 185-197.</ref>
-अगर {{math|''g''}} एक मोबियस परिवर्तन है, तो रचना {{math|''g''&nbsp;<small>o</small>&nbsp;''f''}} में {{math|''f''}} के समान श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न है; और दूसरी ओर, {{math|''f''&nbsp;<small>o</small>&nbsp;''g''}} का श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न [[श्रृंखला नियम]] द्वारा दिया गया है
+यदि {{math|''g''}} एक मोबियस परिवर्तन है, तो रचना {{math|''g''&nbsp;<small>o</small>&nbsp;''f''}} में {{math|''f''}} के समान श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न है; और दूसरी ओर, {{math|''f''&nbsp;<small>o</small>&nbsp;''g''}} का श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न [[श्रृंखला नियम]] द्वारा दिया गया है
 : <math>(S(f \circ g))(z) = (Sf)(g(z)) \cdot g'(z)^2.</math>
@@ Line 27: / Line 27: @@
 : <math>S(f \circ g) = \left( (Sf)\circ g\right ) \cdot(g')^2 + Sg.</math>
 <!--:{{bigmath|(S(<VAR >f</VAR > &#8728; <VAR >g</VAR >))(<VAR >z</VAR >) {{=}} (S<VAR >f</VAR >)(<VAR >g</VAR >(z)) &sdot; <VAR >g</VAR >&prime;(<VAR >z</VAR >)&sup2; + S(<VAR >g</VAR >)}}-->
-जब {{math|''f''}} और {{math|''g''}} सुचारू वास्तविक-मूल्य वाले फ़ंक्शन होते हैं, तो इसका मतलब है कि नकारात्मक (या सकारात्मक) श्वार्ज़ियन वाले फ़ंक्शन के सभी पुनरावृत्ति नकारात्मक (सम्मान सकारात्मक) रहेंगे, जो एक-आयामी [[गतिशील प्रणाली]] के अध्ययन में उपयोग का एक तथ्य है।<ref>[http://mathworld.wolfram.com/SchwarzianDerivative.html Weisstein, Eric W. "Schwarzian Derivative." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.]</ref>
+जब {{math|''f''}} और {{math|''g''}} सुचारू वास्तविक-मूल्य वाले फलन होते हैं, तो इसका तात्पर्य है कि नकारात्मक (या सकारात्मक) श्वार्ज़ियन वाले फलन के सभी पुनरावृत्ति नकारात्मक (सम्मान सकारात्मक) रहेंगे, जो एक-आयामी [[गतिशील प्रणाली]] के अध्ययन में उपयोग का एक तथ्य है।<ref>[http://mathworld.wolfram.com/SchwarzianDerivative.html Weisstein, Eric W. "Schwarzian Derivative." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.]</ref>
-दो जटिल चरों के फ़ंक्शन का परिचय<ref>{{harvnb|Schiffer|1966}}</ref>
+दो समष्टि चरों के फलन का परिचय<ref>{{harvnb|Schiffer|1966}}</ref>
 :<math>F(z,w)= \log \left ( \frac{f(z)-f(w)}{z-w} \right ),</math>
-इसका दूसरा मिश्रित आंशिक अवकलज किसके द्वारा दिया गया है?
+इसका दूसरा मिश्रित आंशिक व्युत्पन्न किसके द्वारा दिया गया है?
 :<math> \frac{\partial^2 F(z,w)}{\partial z \, \partial w} = {f^\prime(z)f^\prime(w)\over(f(z)-f(w))^2}-{1\over(z-w)^2},</math>
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 :<math>(Sw)(v) = -\left(\frac{dw}{dv}\right)^2 (Sv)(w)</math>
-या अधिक स्पष्ट रूप से, <math>Sf + (f')^2 ((Sf^{-1})\circ f) = 0</math>. यह उपरोक्त श्रृंखला नियम का अनुसरण करता है।
+या अधिक स्पष्ट रूप से, <math>Sf + (f')^2 ((Sf^{-1})\circ f) = 0</math> है।  यह उपरोक्त श्रृंखला नियम का अनुसरण करता है।
 === ज्यामितीय व्याख्या ===
-[[विलियम थर्स्टन]]  ने श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न की व्याख्या इस माप के रूप में की है कि एक अनुरूप मानचित्र मोबियस परिवर्तन से कितना विचलित होता है।<ref name=":0" /> मान लीजिए <math>f</math> के पड़ोस में एक अनुरूप मानचित्रण हो <math>z_0\in \mathbb C</math>. फिर एक अद्वितीय मोबियस परिवर्तन मौजूद है <math>M</math> ऐसा है कि <math>M, f</math> पर समान 0, 1, 2-वें क्रम के व्युत्पन्न हैं <math>z_0</math>.
+[[विलियम थर्स्टन]]  ने श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न की व्याख्या इस माप के रूप में की है कि एक अनुरूप मानचित्र मोबियस परिवर्तन से कितना विचलित होता है।<ref name=":0" /> मान लीजिए <math>f</math> के निकट में एक अनुरूप मानचित्रण हो <math>z_0\in \mathbb C</math>. फिर एक अद्वितीय मोबियस परिवर्तन उपस्थित है <math>M</math> ऐसा है कि <math>M, f</math> पर समान 0, 1, 2-वें क्रम के व्युत्पन्न हैं <math>z_0</math>.
-अब <math>(M^{-1} \circ f)(z-z_0) = z_0 + (z-z_0) + \frac 16 a(z-z_0)^3 + \cdots</math>. स्पष्ट रूप से हल करने के लिए <math>a</math>, यह मामले को सुलझाने के लिए पर्याप्त है <math>z_0 = 0</math>. मान लीजिए <math>M^{-1}(z) = \frac{Az+B}{Cz + 1}</math>, और के लिए हल करें <math>A, B, C</math> इससे पहले तीन गुणांक बनेंगे <math>M^{-1}\circ f</math> 0, 1, 0 के बराबर। इसे चौथे गुणांक में जोड़ने पर, हमें मिलता है <math>a = (Sf)(z_0)</math>.
+अब <math>(M^{-1} \circ f)(z-z_0) = z_0 + (z-z_0) + \frac 16 a(z-z_0)^3 + \cdots</math>. स्पष्ट रूप से हल करने के लिए <math>a</math>, यह स्थिति को समाधान के लिए पर्याप्त है <math>z_0 = 0</math>. मान लीजिए <math>M^{-1}(z) = \frac{Az+B}{Cz + 1}</math>, और के लिए हल करें <math>A, B, C</math> इससे पहले तीन गुणांक बनेंगे <math>M^{-1}\circ f</math> 0, 1, 0 के समान। इसे चौथे गुणांक में जोड़ने पर, प्राप्त होता है <math>a = (Sf)(z_0)</math>.
-जटिल तल के अनुवाद, घूर्णन और स्केलिंग के बाद, हमारे पास है <math>(M^{-1} \circ f )(z) = z + z^3 + O(z^4)</math> शून्य के पड़ोस में. फिर, तीसरे क्रम तक, यह फ़ंक्शन त्रिज्या के वृत्त को मैप करता है <math>r</math> द्वारा परिभाषित वक्र के लिए <math>(r\cos\theta + r^3 \cos 3\theta, r\sin\theta + r^3 \sin 3\theta)</math>, जहां <math>\theta \in [0, 2\pi]</math>. यह वक्र, चौथे क्रम तक, अर्धअक्षों वाला एक दीर्घवृत्त है <math>r+r^3, r-r^3</math>:<math display="block">\frac{(r\cos\theta + r^3 \cos 3\theta)^2}{(r+r^3)^2} + \frac{(r\sin\theta + r^3 \sin 3\theta)^2}{(r - r^3)^2} = 1 + 8r^4 \sin^2(2\theta) + O(r^6)</math>चूंकि मोबियस परिवर्तन हमेशा वृत्तों को वृत्तों या रेखाओं में मैप करता है, अण्डाकार-पन की मात्रा विचलन को मापती है <math>f</math> मोबियस परिवर्तन से।
+समष्टि तल के अनुवाद, घूर्णन और स्केलिंग के बाद, हमारे पास है <math>(M^{-1} \circ f )(z) = z + z^3 + O(z^4)</math> शून्य के निकट में। फिर, तीसरे क्रम तक, यह फलन त्रिज्या के वृत्त को मैप करता है <math>r</math> द्वारा परिभाषित वक्र के लिए <math>(r\cos\theta + r^3 \cos 3\theta, r\sin\theta + r^3 \sin 3\theta)</math>, जहां <math>\theta \in [0, 2\pi]</math>। यह वक्र, चौथे क्रम तक, अर्धअक्षों वाला एक दीर्घवृत्त है <math>r+r^3, r-r^3</math>:<math display="block">\frac{(r\cos\theta + r^3 \cos 3\theta)^2}{(r+r^3)^2} + \frac{(r\sin\theta + r^3 \sin 3\theta)^2}{(r - r^3)^2} = 1 + 8r^4 \sin^2(2\theta) + O(r^6)</math>चूंकि मोबियस परिवर्तन सदैव वृत्तों को वृत्तों या रेखाओं में मैप करता है, दीर्घवृत्तीय-पन की मात्रा विचलन को <math>f</math> मोबियस परिवर्तन से मापती है।
 ==विभेदक समीकरण==
-श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न का जटिल तल में दूसरे क्रम के रैखिक साधारण अंतर समीकरण के साथ एक मौलिक संबंध है।<ref>{{harvnb|Hille|1976|pages=374–401}}</ref> मान लीजिए <math>f_1(z)</math> और <math>f_2(z)</math> के दो [[रोन्स्कियन|रैखिक रूप]] से स्वतंत्र होलोमोर्फिक समाधान हों
+श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न का समष्टि तल में दूसरे क्रम के रैखिक साधारण अंतर समीकरण के साथ एक मौलिक संबंध है।<ref>{{harvnb|Hille|1976|pages=374–401}}</ref> मान लीजिए <math>f_1(z)</math> और <math>f_2(z)</math> के दो [[रोन्स्कियन|रैखिक रूप]] से स्वतंत्र समरूपता समाधान
-:<math>\frac{d^2f}{dz^2}+ Q(z) f(z)=0.</math>
+:<math>\frac{d^2f}{dz^2}+ Q(z) f(z)=0.</math> हों।
-फिर अनुपात <math>g(z)=f_1(z)/f_2(z)</math> संतुष्ट
+फिर अनुपात <math>g(z)=f_1(z)/f_2(z)</math> संतुष्ट करता है
 :<math>(Sg)(z) = 2Q(z)</math>
-जिस डोमेन पर <math>f_1(z)</math> और <math>f_2(z)</math> परिभाषित हैं, और <math>f_2(z) \ne 0.</math> इसका विपरीत भी सत्य है: यदि ऐसा है {{math|''g''}} मौजूद है, और यह एक सरल रूप से जुड़े डोमेन पर होलोमोर्फिक है, फिर दो समाधान हैं <math>f_1</math> और <math>f_2</math> पाया जा सकता है, और इसके अलावा, ये एक सामान्य पैमाने के कारक [[तक]] अद्वितीय हैं।
+जिस डोमेन पर <math>f_1(z)</math> और <math>f_2(z)</math> परिभाषित हैं, और <math>f_2(z) \ne 0.</math> इसका विपरीत भी सत्य है: यदि ऐसा  {{math|''g''}} उपस्थित है, और यह एक सरल रूप से जुड़े डोमेन पर समरूपता है, तो दो समाधान <math>f_1</math> और <math>f_2</math> प्राप्त हो सकते है, और इसके अतिरिक्त, ये एक सामान्य पैमाने के कारक [[तक]] अद्वितीय हैं।
-जब एक रैखिक दूसरे क्रम के साधारण अंतर समीकरण को उपरोक्त रूप में लाया जा सकता है, तो परिणाम प्राप्त होता है {{math|''Q''}} को कभी-कभी समीकरण का Q-मान कहा जाता है।
+जब एक रैखिक दूसरे क्रम के साधारण अंतर समीकरण को उपरोक्त रूप में लाया जा सकता है, तो परिणामी {{math|''Q''}} को कभी-कभी समीकरण का Q-मान कहा जाता है।
-ध्यान दें कि गॉसियन [[हाइपरज्यामितीय विभेदक समीकरण]] को उपरोक्त रूप में लाया जा सकता है, और इस प्रकार हाइपरजियोमेट्रिक समीकरण के समाधान के जोड़े इस तरह से संबंधित हैं।
+ध्यान दें कि गॉसियन [[हाइपरज्यामितीय विभेदक समीकरण|पराज्यमितीय विभेदक समीकरण]] को उपरोक्त रूप में लाया जा सकता है, और इस प्रकार पराज्यमितीय समीकरण के समाधान के जोड़े इस प्रकार से संबंधित हैं।
 ==असमानता के लिए शर्तें==
-यदि यूनिट डिस्क, {{math|'''D'''}} पर {{math|''f''}} एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन है, तो डब्ल्यू क्रॉस (1932) और [[ज़ीव नेहारी]] (1949) ने साबित किया कि {{math|''f''}} के लिए एक आवश्यक शर्त है कि वह एकसंयोजक हो। <ref>{{harvnb|Lehto|1987|p=60}}</ref>
+यदि यूनिट डिस्क, {{math|'''D'''}} पर {{math|''f''}} एक समरूपता फलन है, तो डब्ल्यू. क्रॉस (1932) और [[ज़ीव नेहारी]] (1949) ने सिद्ध किया कि {{math|''f''}} के लिए एक आवश्यक शर्त है कि वह एकसंयोजक हो। <ref>{{harvnb|Lehto|1987|p=60}}</ref>
 :<math>|S(f)| \le 6(1-|z|^2)^{-2}.</math>
-इसके विपरीत यदि {{math|''f''(''z'')}}, {{math|'''D'''}} पर एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन है तो यह संतोषजनक है
+इसके विपरीत यदि {{math|''f''(''z'')}}, {{math|'''D'''}} पर एक समरूपता फलन है तो यह संतोषजनक है
 :<math> |S(f)(z)| \le 2(1-|z|^2)^{-2},</math>
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 ==वृत्ताकार चाप बहुभुजों का अनुरूप मानचित्रण==
-श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न और संबंधित दूसरे क्रम के साधारण अंतर समीकरण का उपयोग ऊपरी आधे-तल या इकाई चक्र और जटिल तल में किसी भी घिरे बहुभुज के बीच [[रीमैन मैपिंग]] को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, जिसके किनारे गोलाकार चाप या सीधी रेखाएं हैं। सीधे किनारों वाले बहुभुजों के लिए, यह श्वार्ज़-क्रिस्टोफेल मैपिंग को कम कर देता है, जिसे श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न का उपयोग किए बिना सीधे प्राप्त किया जा सकता है। एकीकरण के स्थिरांक के रूप में उत्पन्न होने वाले सहायक पैरामीटर दूसरे क्रम के अंतर समीकरण के साधारण अंतर समीकरणों के वर्णक्रमीय सिद्धांत से संबंधित हैं। पहले से ही 1890 में [[फ़ेलिक्स क्लेन]] ने लैमे फ़ंक्शन|लैमे अंतर समीकरण के संदर्भ में चतुर्भुजों के मामले का अध्ययन किया था।<ref>{{harvnb|Nehari|1952}}</ref><ref>{{harvnb|von Koppenfels|Stallmann|1959}}</ref><ref>{{harvnb|Klein|1922}}</ref>
+श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न और संबंधित दूसरे क्रम के साधारण अंतर समीकरण का उपयोग ऊपरी अर्ध समतल या इकाई चक्र और समष्टि तल में किसी भी घिरे बहुभुज के बीच [[रीमैन मैपिंग]] को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, जिसके किनारे गोलाकार चाप या सीधी रेखाएं हैं। सीधे किनारों वाले बहुभुजों के लिए, यह श्वार्ज़-क्रिस्टोफेल मानचित्रण को कम कर देता है, जिसे श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न का उपयोग किए बिना सीधे प्राप्त किया जा सकता है। एकीकरण के स्थिरांक के रूप में उत्पन्न होने वाले सहायक पैरामीटर दूसरे क्रम के अंतर समीकरण के अभिलाक्षणिक मान से संबंधित हैं। पहले से ही 1890 में [[फ़ेलिक्स क्लेन]] ने लैमे फलन और लैमे अंतर समीकरण के संदर्भ में चतुर्भुजों की स्थितियों का अध्ययन किया था।<ref>{{harvnb|Nehari|1952}}</ref><ref>{{harvnb|von Koppenfels|Stallmann|1959}}</ref><ref>{{harvnb|Klein|1922}}</ref>
-मान लीजिए {{math|Δ}} एक गोलाकार चाप बहुभुज है जिसके कोण {{math|{{pi}}''α''<sub>1</sub>, ..., {{pi}}''α''<sub>''n''</sub>}} दक्षिणावर्त क्रम में हैं। मान लीजिए {{math|''f'' : '''H''' → Δ}} एक होलोमोर्फिक मानचित्र है जो सीमाओं के बीच के मानचित्र तक लगातार फैला हुआ है। मान लीजिए  कि शीर्ष वास्तविक अक्ष पर बिंदु {{math|''a''<sub>1</sub>, ..., ''a<sub>n</sub>''}} के अनुरूप हैं। तब {{math|1=''p''(''x'') = ''S''(''f'')(''x'')}}, x वास्तविक के लिए वास्तविक-मूल्यवान है, न कि किसी एक बिंदु के लिए। श्वार्ज प्रतिबिंब सिद्धांत द्वारा {{math|''p''(''x'')}}, {{math|''a<sub>i</sub>''}} पर दोहरे ध्रुव के साथ जटिल तल पर एक तर्कसंगत फंक्शन तक विस्तारित होता है:
+मान लीजिए {{math|Δ}} एक गोलाकार चाप बहुभुज है जिसके कोण {{math|{{pi}}''α''<sub>1</sub>, ..., {{pi}}''α''<sub>''n''</sub>}} दक्षिणावर्त क्रम में हैं। मान लीजिए {{math|''f'' : '''H''' → Δ}} एक समरूपता मानचित्र है जो सीमाओं के बीच के मानचित्र तक लगातार विस्तृत हुआ है। मान लीजिए  कि शीर्ष वास्तविक अक्ष पर बिंदु {{math|''a''<sub>1</sub>, ..., ''a<sub>n</sub>''}} के अनुरूप हैं। तब {{math|1=''p''(''x'') = ''S''(''f'')(''x'')}}, x वास्तविक के लिए वास्तविक-मूल्यवान है, न कि किसी एक बिंदु के लिए। श्वार्ज प्रतिबिंब सिद्धांत द्वारा {{math|''p''(''x'')}}, {{math|''a<sub>i</sub>''}} पर दोहरे ध्रुव के साथ समष्टि तल पर एक तर्कसंगत फलन तक विस्तारित होता है:
 :<math> p(z)=\sum_{i=1}^n \frac{(1-\alpha_i^2)}{2(z-a_i)^2} + \frac{\beta_i}{z-a_i}.</math>
-वास्तविक संख्या {{math|''β''<sub>''i''</sub>}} को सहायक पैरामीटर कहा जाता है। वे तीन रैखिक बाधाओं के अधीन हैं:
+वास्तविक संख्या {{math|''β''<sub>''i''</sub>}} को सहायक पैरामीटर कहा जाता है। वे तीन रैखिक कठिनाई के अधीन हैं:
 :<math>\sum \beta_i=0</math>
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 :<math> f(z) = {u_1(z)\over u_2(z)},</math>
-जहां <math>u_1(z)</math> और <math>u_2(z)</math> रैखिक दूसरे क्रम के साधारण अंतर समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र होलोमोर्फिक समाधान हैं
+जहां <math>u_1(z)</math> और <math>u_2(z)</math> रैखिक दूसरे क्रम के साधारण अंतर समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र समरूपता समाधान हैं
 :<math> u^{\prime\prime}(z) + \tfrac{1}{2} p(z)u(z)=0.</math>
-वहाँ हैं {{math|''n''−3}} रैखिक रूप से स्वतंत्र सहायक पैरामीटर, जिन्हें व्यवहार में निर्धारित करना कठिन हो सकता है।
+वहाँ  {{math|''n''−3}} रैखिक रूप से स्वतंत्र सहायक पैरामीटर, जिन्हें व्यवहार में निर्धारित करना कठिन हो सकता है।
-एक त्रिभुज के लिए, कब {{math|1=''n'' = 3}}, कोई सहायक पैरामीटर नहीं हैं। साधारण अंतर समीकरण हाइपरज्यामितीय अंतर समीकरण के बराबर है और {{math|''f''(''z'')}} [[श्वार्ज़ त्रिकोण फ़ंक्शन]] है, जिसे [[हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन]] के संदर्भ में लिखा जा सकता है।
+एक त्रिभुज के लिए, जब {{math|1=''n'' = 3}}, कोई सहायक पैरामीटर नहीं हैं। साधारण अंतर समीकरण पराज्यमितीय अंतर समीकरण के समान है और {{math|''f''(''z'')}} [[श्वार्ज़ त्रिकोण फ़ंक्शन|श्वार्ज़ त्रिकोण फलन]] है, जिसे [[हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन|पराज्यमितीय फलन]] के संदर्भ में लिखा जा सकता है।
 एक चतुर्भुज के लिए सहायक पैरामीटर एक स्वतंत्र चर {{math|''λ''}} पर निर्भर करते हैं। {{math|''q''(''z'')}} के उपयुक्त विकल्प के लिए {{math|1=''U''(''z'') = ''q''(''z'')''u''(''z'')}} लिखने पर साधारण अंतर समीकरण का रूप ले लेता है
 :<math> a(z) U^{\prime\prime}(z) + b(z) U^\prime(z) +(c(z)+\lambda)U(z)=0.</math>
-इस प्रकार <math>q(z) u_i(z)</math> अंतराल पर स्टर्म-लिउविल समीकरण के eigenfunctions हैं <math>[a_i,a_{i+1}]</math>. [[स्टर्म पृथक्करण प्रमेय]] के अनुसार, गायब न होना <math>u_2(z)</math>, {{math|''λ''}} को न्यूनतम eigenvalue होने के लिए बाध्य करता है।
+इस प्रकार <math>q(z) u_i(z)</math> अंतराल पर स्टर्म-लिउविल समीकरण के अभिलाक्षणिक फलन <math>[a_i,a_{i+1}]</math> है। [[स्टर्म पृथक्करण प्रमेय]] के अनुसार, विलुप्त न होना <math>u_2(z)</math>, {{math|''λ''}} को न्यूनतम अभिलाक्षणिक मान होने के लिए बाध्य करता है।
-==टेइचमुलर स्थान पर जटिल संरचना==
+==टेइचमुलर स्थान पर समष्टि संरचना==
-यूनिवर्सल टेइचमुलर स्पेस को यूनिट डिस्क {{math|'''D'''}}, या समकक्ष [[ऊपरी आधा तल]] {{math|'''H'''}}, के [[वास्तविक विश्लेषणात्मक]] [[क्वासिकोनफॉर्मल मैपिंग]] के स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसमें दो मैपिंग को समतुल्य माना जाता है यदि सीमा पर एक मोबियस परिवर्तन के साथ संरचना द्वारा दूसरे से प्राप्त किया जाता है। [[रीमैन क्षेत्र]] के निचले गोलार्ध के साथ {{math|'''D'''}} की पहचान करते हुए, निचले गोलार्ध का कोई भी अर्ध-अनुरूप स्व-मानचित्र <math>\tilde{f}</math> स्वाभाविक रूप से ऊपरी गोलार्ध के अनुरूप मानचित्रण से मेल खाता है स्वयं पर। वास्तव में <math>\tilde{f}</math> को बेल्ट्रामी अंतर समीकरण के समाधान के ऊपरी गोलार्ध के प्रतिबंध के रूप में निर्धारित किया जाता है
+सार्वभौमिक टेइचमुलर स्थान को यूनिट डिस्क {{math|'''D'''}}, या समकक्ष [[ऊपरी आधा तल]] {{math|'''H'''}}, के [[वास्तविक विश्लेषणात्मक]] [[क्वासिकोनफॉर्मल मैपिंग]] के स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसमें दो मैपिंग को समतुल्य माना जाता है यदि सीमा पर एक मोबियस परिवर्तन के साथ संरचना द्वारा दूसरे से प्राप्त किया जाता है। [[रीमैन क्षेत्र]] के निचले गोलार्ध के साथ {{math|'''D'''}} की पहचान करते हुए, निचले गोलार्ध का कोई भी अर्ध-अनुरूप स्व-मानचित्र <math>\tilde{f}</math> स्वाभाविक रूप से ऊपरी गोलार्ध के अनुरूप मानचित्रण से मेल खाता है। वास्तव में <math>\tilde{f}</math> को बेल्ट्रामी अंतर समीकरण के समाधान के ऊपरी गोलार्ध के प्रतिबंध के रूप में निर्धारित किया जाता है
 :<math> \frac{\partial F}{\partial \bar{z}} = \mu(z) \frac{\partial F}{\partial z},</math>
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 :<math>\mu(z) = \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} \bigg/ \frac{\partial f}{\partial z} </math>
-निचले गोलार्ध पर, ऊपरी गोलार्ध पर 0 तक विस्तारित।
+निचले गोलार्ध पर, और ऊपरी गोलार्ध पर 0 तक विस्तारित है।
-ऊपरी गोलार्ध की पहचान के साथ {{math|'''D'''}}, [[लिपमैन बेर्स]] ने [[बेर्स एम्बेडिंग]] को परिभाषित करने के लिए श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न का उपयोग किया
+{{math|'''D'''}} के साथ ऊपरी गोलार्ध की पहचान करते हुए, [[लिपमैन बेर्स]] ने [[बेर्स एम्बेडिंग|मैपिंग]] को परिभाषित करने के लिए श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न का उपयोग किया
 :<math> g= S(\tilde{f}),</math>
-जो सार्वभौमिक टेइचमुलर स्पेस को एक खुले उपसमुच्चय में एम्बेड करता है {{math|''U''}} परिबद्ध होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस के स्थान का {{math|''g''}} पर {{math|'''D'''}} [[एकसमान मानदंड]] के साथ। [[फ्रेडरिक गेहरिंग]] ने 1977 में यह करके दिखाया {{math|''U''}} एकसमान फलनों के श्वार्ज़ियन व्युत्पन्नों के बंद उपसमुच्चय का आंतरिक भाग है।<ref>{{harvnb|Ahlfors|1966}}</ref><ref>{{harvnb|Lehto|1987}}</ref><ref>{{harvnb|Imayoshi|Taniguchi|1992}}</ref>
+जो सार्वभौमिक टेइचमुलर स्थान को [[एकसमान मानदंड]]  के साथ {{math|'''D'''}} पर नियंत्रण समरूपता फलन {{math|''g''}} के स्थान के एक विवृत उपसमुच्चय {{math|''U''}} में एम्बेड करता है। [[फ्रेडरिक गेहरिंग]] ने 1977 में दिखाया कि {{math|''U''}} एकसमान फलनों के श्वार्ज़ियन व्युत्पन्नों के संवृत उपसमुच्चय का आंतरिक भाग है।<ref>{{harvnb|Ahlfors|1966}}</ref><ref>{{harvnb|Lehto|1987}}</ref><ref>{{harvnb|Imayoshi|Taniguchi|1992}}</ref>
-एक [[कॉम्पैक्ट रीमैन सतह]] के लिए {{math|''S''}} 1 से अधिक जीनस का, इसका [[सार्वभौमिक आवरण स्थान]] इकाई डिस्क है {{math|'''D'''}}जिस पर इसका मूल समूह है {{math|Γ}} मोबियस परिवर्तनों द्वारा कार्य करता है। टेइचमुलर क्षेत्र {{math|''S''}} को यूनिवर्सल टीचमुलर स्पेस इनवेरिएंट के उप-स्थान के साथ पहचाना जा सकता है {{math|Γ}}. होलोमोर्फिक कार्य {{math|''g''}} उसके पास वह संपत्ति है
+से अधिक जीनस की एक [[कॉम्पैक्ट रीमैन सतह|सुगठित रीमैन सतह]] {{math|''S''}} 1 के लिए, इसका [[सार्वभौमिक आवरण स्थान]] इकाई डिस्क है {{math|'''D'''}} है जिस पर इसका मूल समुच्चय {{math|Γ}} मोबियस परिवर्तनों द्वारा कार्य करता है। {{math|''S''}} के टेइचमुलर स्थान को {{math|Γ}} के तहत सार्वभौमिक टेइचमुलर स्थान अपरिवर्तनीय के उप-स्थान से पहचाना जा सकता है। समरूपता फलन {{math|''g''}} में वह गुण होता है
 :<math>g(z) \, dz^2</math>
-के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है {{math|Γ}}, इसलिए [[द्विघात अंतर]] निर्धारित करें {{math|''S''}}. इस प्रकार, टीचमुलर स्थान {{math|''S''}} को द्विघात अंतरों के परिमित-आयामी जटिल वेक्टर स्थान के एक खुले उप-स्थान के रूप में महसूस किया जाता है {{math|''S''}}.
+{{math|Γ}} के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, इसलिए {{math|''S''}} पर [[द्विघात अंतर]] निर्धारित करें। इस तरह, {{math|''S''}} के टेइचमुलर स्थान को {{math|''S''}} पर द्विघात अंतर के परिमित-आयामी समष्टि सदिश स्थान के एक विवृत उप-स्थान के रूप में ज्ञात किया जाता है।
-==वृत्त का द्विरूपता समूह==
+==वृत्त का द्विरूपता समुच्चय==
-===क्रॉस्ड होमोमोर्फिज्म===
+===क्रॉस्ड समरूपताएँ===
-परिवर्तन संपत्ति
+परिवर्तन गुण
 : <math>S(f \circ g) = \left( S(f)\circ g\right ) \cdot(g')^2+S(g).</math>
-श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न को सर्कल पर डिग्री 2 के घनत्व के मॉड्यूल में गुणांक के साथ सर्कल के डिफोमोर्फिज्म समूह के निरंतर 1-सहचक्र या [[पार समरूपता]] के रूप में व्याख्या करने की अनुमति देता है।<ref>{{harvnb|Ovsienko|Tabachnikov|2005|pages=21–22}}</ref>
+श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न को वृत्त पर डिग्री 2 के घनत्व के मॉड्यूल में गुणांक के साथ वृत्त के समरूपता समुच्चय के निरंतर 1-सहचक्र या [[पार समरूपता|पार]] समरूपता के रूप में व्याख्या करने की अनुमति देता है।<ref>{{harvnb|Ovsienko|Tabachnikov|2005|pages=21–22}}</ref>
-मान लीजिए {{math|''F''<sub>''λ''</sub>('''S'''<sup>1</sup>)}}डिग्री के [[टेंसर घनत्व]] का स्थान हो {{math|''λ''}} पर {{math|'''S'''<sup>1</sup>}}. अभिविन्यास-संरक्षण भिन्नताओं का समूह {{math|'''S'''<sup>1</sup>, Diff('''S'''<sup>1</sup>)}}, पर कार्य करता है {{math|''F''<sub>''λ''</sub>('''S'''<sup>1</sup>)}} पुशफॉरवर्ड (अंतर) के माध्यम से। अगर {{math|''f''}} का एक तत्व है {{math|Diff('''S'''<sup>1</sup>)}} फिर मैपिंग पर विचार करें
+मान लीजिए {{math|''F''<sub>''λ''</sub>('''S'''<sup>1</sup>)}}, {{math|'''S'''<sup>1</sup>}} पर डिग्री {{math|''λ''}} के [[टेंसर घनत्व]]  का स्थान है। {{math|'''S'''<sup>1</sup>, Diff('''S'''<sup>1</sup>)}} के अभिविन्यास-संरक्षण भिन्नताओं का समुच्चय, अग्रसर होने के माध्यम से {{math|''F''<sub>''λ''</sub>('''S'''<sup>1</sup>)}} पर कार्य करता है। यदि {{math|''f''}}, {{math|Diff('''S'''<sup>1</sup>)}} का एक तत्व है तो मैपिंग पर विचार करें
 :<math>f \to S(f^{-1}).</math>
-[[ समूह सहसंरचना ]] की भाषा में ऊपर दिया गया चेन-जैसा नियम कहता है कि यह मैपिंग 1-सहचक्र पर है {{math|Diff('''S'''<sup>1</sup>)}} में गुणांक के साथ {{math|''F''<sub>2</sub>('''S'''<sup>1</sup>)}}. वास्तव में
+[[ समूह सहसंरचना | समुच्चय सहसंरचना]] की भाषा में ऊपर दिया गया चेन-जैसा नियम कहता है कि यह मैपिंग {{math|''F''<sub>2</sub>('''S'''<sup>1</sup>)}}  में गुणांक के साथ {{math|Diff('''S'''<sup>1</sup>)}} पर 1-सहचक्र पर है।
-:<math>H^1(\text{Diff}(\mathbf{S}^1);F_2 (\mathbf{S}^1)) = \mathbf{R}</math>
+<math>H^1(\text{Diff}(\mathbf{S}^1);F_2 (\mathbf{S}^1)) = \mathbf{R}</math>
-और 1-सहचक्र सहसंयोजी उत्पन्न करता है {{math|''f'' → ''S''(''f''<sup>−1</sup>)}}. 1-कोहोमोलॉजी की गणना अधिक सामान्य परिणाम का एक विशेष मामला है
+और सह-समरूपता उत्पन्न करने वाला 1-सहचक्र {{math|''f'' → ''S''(''f''<sup>−1</sup>)}} है। 1-सह-समरूपता की गणना अधिक सामान्य परिणाम की एक विशेष स्थिति है
 :<math>H^1(\text{Diff}(\mathbf{S}^1);F_\lambda (\mathbf{S}^1)) = \mathbf{R}\,\, \mathrm{for} \,\, \lambda=0,1,2\,\, \mathrm{and} \,\,(0) \,\,\mathrm{otherwise.}</math>
-ध्यान दें कि यदि {{math|''G''}} एक समूह है और {{math|''M''}} ए {{math|''G''}}-मॉड्यूल, फिर एक क्रॉस्ड होमोमोर्फिज्म को परिभाषित करने वाली पहचान {{math|''c''}}  का {{math|''G''}} में {{math|''M''}} को समूहों के मानक समरूपता के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है: यह एक समरूपता में एन्कोड किया गया है {{phi}} का {{math|''G''}} अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद में <math>M\rtimes G</math> ऐसी है कि की रचना {{phi}} प्रक्षेपण के साथ <math>M\rtimes G</math> पर {{math|''G''}} पहचान मानचित्र है; पत्राचार मानचित्र द्वारा होता है {{math|1=''C''(''g'') = (''c''(''g''), ''g'')}}. क्रॉस्ड होमोमोर्फिज्म एक वेक्टर स्पेस बनाते हैं और इसमें उप-स्पेस के रूप में कोबाउंडरी क्रॉस्ड होमोमोर्फिज्म शामिल होते हैं {{math|1=''b''(''g'') = ''g'' ⋅ ''m'' − ''m''}} के लिए {{math|''m''}} में {{math|''M''}}. एक साधारण औसत तर्क यह दर्शाता है कि, यदि {{math|''K''}} एक सघन समूह है और {{math|''V''}} एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस जिस पर K लगातार कार्य करता है, तो उच्च कोहोलॉजी समूह गायब हो जाते हैं {{math|1=''H''<sup>''m''</sup>(''K'', ''V'') = (0)}} के लिए {{math|''m'' > 0}}. विशेष रूप से 1-सहचक्र के लिए χ साथ
+ध्यान दें कि यदि {{math|''G''}} एक समुच्चय है और {{math|''M''}} एक {{math|''G''}}-मॉड्यूल है, तो {{math|''G''}} से {{math|''M''}} की क्रॉस समरूपता {{math|''c''}} को परिभाषित करने वाली पहचान को समुच्चयों के मानक समरूपता के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है: इसे अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद में {{math|''G''}} के समरूपता {{phi}} में एन्कोड किया गया है <math>M\rtimes G</math> ऐसा कि प्रक्षेपण के साथ {{phi}} की रचना <math>M\rtimes G</math> पर {{math|''G''}} पहचान मानचित्र है; पत्राचार मानचित्र  {{math|1=''C''(''g'') = (''c''(''g''), ''g'')}} द्वारा होता है। क्रॉस्ड समरूपताएँ एक सदिश स्थान हैं और एक उप-स्थान के रूप में {{math|''m''}} में {{math|''M''}} के लिए सहसीमा क्रॉस्ड समरूपताएँ {{math|1=''b''(''g'') = ''g'' ⋅ ''m'' − ''m''}} सम्मलित होते हैं। एक साधारण औसत तर्क से पता चलता है कि, यदि {{math|''K''}} एक सुगठित समुच्चय है और {{math|''V''}} एक टोपोलॉजिकल सदिश स्थान है, जिस पर K लगातार कार्य करता है, तो उच्च कोहोलॉजी समुच्चय लुप्त हो जाते हैं, {{math|''m'' > 0}} के लिए {{math|1=''H''<sup>''m''</sup>(''K'', ''V'') = (0)}}। विशेष रूप से 1-सहचक्र के लिए χ साथ
-:<math>\chi(xy) = \chi(x) + x\cdot \chi(y),</math>
+:<math>\chi(xy) = \chi(x) + x\cdot \chi(y),</math> {{math|''K''}}
-औसत से अधिक {{math|''y''}}, हार माप के बाएँ अपरिवर्तनीय का उपयोग करते हुए {{math|''K''}} देता है
+{{math|''K''}} पर हार माप के बाएं अपरिवर्तनीय का उपयोग करके, y से अधिक औसत प्राप्त होता है
 :<math>\chi(x) = m - x\cdot m,</math>
@@ Line 142: / Line 145: @@
 :<math>m=\int_K \chi(y)\,dy.</math>
-इस प्रकार औसत से यह माना जा सकता है {{math|''c''}} सामान्यीकरण की स्थिति को संतुष्ट करता है {{math|1=''c''(''x'') = 0}} के लिए {{math|''x''}} में {{math|Rot('''S'''<sup>1</sup>)}}. ध्यान दें कि यदि कोई तत्व है {{math|''x''}} में {{math|''G''}} संतुष्ट करता है {{math|1=''c''(''x'') = 0}} तब {{math|1=''C''(''x'') = (0,''x'')}}. लेकिन तब से {{math|''C''}} एक समरूपता है,
+इस प्रकार औसत से यह माना जा सकता है कि {{math|''c''}}, {{math|Rot('''S'''<sup>1</sup>)}} में {{math|''x''}} के लिए सामान्यीकरण स्थिति  {{math|1=''c''(''x'') = 0}}  को संतुष्ट करता है। ध्यान दें कि यदि {{math|''G''}} में कोई तत्व {{math|''x''}}, में {{math|1=''c''(''x'') = 0}} को संतुष्ट करता है तो {{math|1=''C''(''x'') = (0,''x'')}}। लेकिन फिर, चूँकि {{math|''C''}} एक समरूपता है, {{math|1=''C''(''xgx''<sup>−1</sup>) = ''C''(''x'')''C''(''g'')''C''(''x'')<sup>−1</sup>}}, जिससे कि {{math|''c''}} समतुल्य स्थिति  {{math|1=''c''(''xgx''<sup>−1</sup>)&nbsp;=&nbsp;''x''&nbsp;⋅&nbsp;''c''(''g'')}} को संतुष्ट करे। इस प्रकार यह माना जा सकता है कि सहचक्र {{math|Rot('''S'''<sup>1</sup>)}} के लिए इन सामान्यीकरण स्थितियों को संतुष्ट करता है। श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न वास्तव में तब विलुप्त हो जाता है जब {{math|''x''}} का {{math|SU(1,1)}} के अनुरूप मोबियस परिवर्तन होता है। नीचे चर्चा किए गए अन्य दो 1-चक्र केवल {{math|1=Rot('''S'''<sup>1</sup>) (''λ''&nbsp;=&nbsp;0, 1)}} पर विलुप्त हो जाते हैं।
-{{math|1=''C''(''xgx''<sup>−1</sup>) = ''C''(''x'')''C''(''g'')''C''(''x'')<sup>−1</sup>}}, ताकि {{math|''c''}} समतुल्य स्थिति को संतुष्ट करता है {{math|1=''c''(''xgx''<sup>−1</sup>)&nbsp;=&nbsp;''x''&nbsp;⋅&nbsp;''c''(''g'')}}. इस प्रकार यह माना जा सकता है कि सहचक्र इन सामान्यीकरण शर्तों को पूरा करता है {{math|Rot('''S'''<sup>1</sup>)}}. श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न वास्तव में जब भी गायब हो जाता है {{math|''x''}} एक मोबियस परिवर्तन के अनुरूप है {{math|SU(1,1)}}. नीचे चर्चा की गई अन्य दो 1-चक्र केवल गायब हो जाते हैं {{math|1=Rot('''S'''<sup>1</sup>) (''λ''&nbsp;=&nbsp;0, 1)}}.
-इस परिणाम का एक अत्यंत छोटा संस्करण है जो 1-सहचक्र देता है {{math|Vect('''S'''<sup>1</sup>)}}, चिकने सदिश क्षेत्रों का बीजगणित, और इसलिए [[विट बीजगणित]] के लिए, त्रिकोणमितीय बहुपद सदिश क्षेत्रों का उपबीजगणित। दरअसल, जब {{math|''G''}} एक झूठ समूह और की कार्रवाई है {{math|''G''}} पर {{math|''M''}} सुचारू है, लाई बीजगणित (पहचान पर समरूपता के व्युत्पन्न) के संगत समरूपता को ले कर प्राप्त किए गए पार समरूपता का एक झूठ बीजगणितीय संस्करण है। यह भी समझ आता है {{math|Diff('''S'''<sup>1</sup>)}} और 1-सहचक्र की ओर ले जाता है
+इस परिणाम का एक अनंत संस्करण है जो {{math|Vect('''S'''<sup>1</sup>)}} के लिए 1-सहचक्र देता है, जो चिकने सदिश क्षेत्रों का बीजगणित है, और इसलिए [[विट बीजगणित]] के लिए, त्रिकोणमितीय बहुपद सदिश क्षेत्रों का उपबीजगणित है। वास्तव में, जब {{math|''G''}} एक लाई समुच्चय है और {{math|''M''}} पर {{math|''G''}} की क्रिया सुचारु है, तो लाई बीजगणित (पहचान पर समरूपता के व्युत्पन्न) के संगत समरूपता को लेकर प्राप्त किए गए पार समरूपता का एक लाई बीजगणितीय संस्करण होता है। यह {{math|Diff('''S'''<sup>1</sup>)}} के लिए भी समझ में आता है और 1-सहचक्र की ओर ले जाता है
 :<math> s\left(f\, {d\over d\theta}\right) = {d^3f\over d\theta^3}\,(d\theta)^2</math>
 जो पहचान को संतुष्ट करता है
 :<math>s([X,Y])=X\cdot s(Y) -Y\cdot s(X).</math>
-ली बीजगणित मामले में, सह-सीमा मानचित्रों का रूप होता है {{math|1=''b''(''X'') = ''X'' ⋅ ''m''}} के लिए {{math|''m''}} में {{math|''M''}}. दोनों ही मामलों में 1-कोहोमोलॉजी को क्रॉस्ड होमोमोर्फिज्म मॉड्यूलो कोबाउंड्रीज़ के स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है। समूह समरूपता और लाई बीजगणित समरूपता के बीच प्राकृतिक पत्राचार वैन एस्ट समावेशन मानचित्र की ओर ले जाता है
+ली बीजगणित स्थिति में, सह-सीमा मानचित्रों में {{math|''m''}} के लिए {{math|1=''b''(''X'') = ''X'' ⋅ ''m''}} {{math|''M''}} का रूप होता है। दोनों ही स्थिति में 1-सह-समरूपता को पार किए गए समरूपताएँ मॉड्यूलो सहसीमा के स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है। समुच्चय समरूपता और लाई बीजगणित समरूपता के बीच प्राकृतिक पत्राचार "वैन एस्ट समावेशन मानचित्र" की ओर ले जाता है।
 :<math>H^1(\operatorname{Diff}(\mathbf{S}^1);F_\lambda (\mathbf{S}^1)) \hookrightarrow H^1(\operatorname{Vect}(\mathbf{S}^1);F_\lambda (\mathbf{S}^1)),</math>
-इस तरह से गणना को [[झूठ बीजगणित सहसंरचना]] तक कम किया जा सकता है। निरंतरता से यह क्रॉस होमोमोर्फिज्म की गणना को कम कर देता है {{phi}} विट बीजगणित में {{math|''F''<sub>''λ''</sub>('''S'''<sup>1</sup>)}}. समूह पार समरूपता पर सामान्यीकरण की स्थिति निम्नलिखित अतिरिक्त शर्तों को दर्शाती है {{phi}}:
+इस तरह से गणना को [[झूठ बीजगणित सहसंरचना|लाई बीजगणित सहसमरूपता]] तक कम किया जा सकता है। निरंतरता से यह विट बीजगणित के क्रॉस समरूपता {{phi}} की {{math|''F''<sub>''λ''</sub>('''S'''<sup>1</sup>)}} में गणना को कम कर देता है। समरूपता को पार करने वाले समुच्चय पर सामान्यीकरण की स्थितियाँ {{phi}} के लिए निम्नलिखित अतिरिक्त शर्तें दर्शाती हैं:
 :<math>\varphi(\operatorname{Ad}(x) X) = x\cdot \varphi(X),\,\, \varphi(d/d\theta) = 0</math>
-के लिए {{math|''x''}} में {{math|Rot('''S'''<sup>1</sup>)}}.
+{{math|Rot('''S'''<sup>1</sup>)}} में {{math|''x''}} के लिए।
-की परिपाटी का पालन कर रहे हैं {{harvtxt|Kac|Raina|1987}}, विट बीजगणित का एक आधार दिया गया है
+{{harvtxt|केएसी|रैना|1987}} के सम्मेलनों के बाद, विट बीजगणित का एक आधार दिया गया है
 :<math>d_n = i e^{in\theta} \,{d\over d\theta}</math>
-ताकि {{math|1=[''d''<sub>''m''</sub>,''d''<sub>''n''</sub>] = (''m'' – ''n'') ''d''<sub>''m'' + ''n''</sub>}}. की जटिलता के लिए एक आधार {{math|''F''<sub>''λ''</sub>('''S'''<sup>1</sup>)}} द्वारा दिया गया है
+जिससे कि{{math|1=[''d''<sub>''m''</sub>,''d''<sub>''n''</sub>] = (''m'' – ''n'') ''d''<sub>''m'' + ''n''</sub>}}. की समष्टिता के लिए एक आधार {{math|''F''<sub>''λ''</sub>('''S'''<sup>1</sup>)}} द्वारा दिया गया है
 :<math>v_n=e^{in\theta} \, (d\theta)^\lambda,</math>
-ताकि
+जिससे कि
 :<math> d_m \cdot v_n = -(n+\lambda m)v_{n+m},\,\, g_\zeta \cdot v_n = \zeta^{n} v_n,</math>
-के लिए {{math|''g''<sub>ζ</sub>}} में {{math|1=Rot('''S'''<sup>1</sup>) = '''T'''}}. ये मजबूर करता है {{math|1={{phi}}(''d''<sub>''n''</sub>) = ''a''<sub>''n''</sub> ⋅ ''v''<sub>''n'' </sub>}} उपयुक्त गुणांकों के लिए {{math|''a''<sub>''n''</sub>}}. पार की गई समरूपता स्थिति
+{{math|1=Rot('''S'''<sup>1</sup>) = '''T'''}} में {{math|''g''<sub>ζ</sub>}} में के लिए। यह उपयुक्त गुणांकों के लिए {{math|1={{phi}}(''d''<sub>''n''</sub>) = ''a''<sub>''n''</sub> ⋅ ''v''<sub>''n'' </sub>}} को बाध्य करता है। क्रॉस्ड समरूपता स्थिति {{math|1={{phi}}([''X'',''Y'']) = ''X''{{phi}}(''Y'') – ''Y''{{phi}}(''X'')}}  {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} के लिए पुनरावृत्ति संबंध देती है:
-{{math|1={{phi}}([''X'',''Y'']) = ''X''{{phi}}(''Y'') – ''Y''{{phi}}(''X'')}} के लिए पुनरावृत्ति संबंध देता है {{math|''a''<sub>''n''</sub>}}:
 :<math> (m-n) a_{m+n} = (m+\lambda n) a_m-(n+\lambda m)a_n.</math>
-स्थिति {{math|1={{phi}}(''d''/''d''&theta;) = 0}}, इसका आशय है {{math|1=''a''<sub>0</sub> = 0}}. इस स्थिति और पुनरावृत्ति संबंध से, यह पता चलता है कि अदिश गुणज तक, इसका एक अद्वितीय गैर-शून्य समाधान होता है जब {{math|''λ''}} 0, 1 या 2 के बराबर है और अन्यथा केवल शून्य समाधान है। के लिए समाधान {{math|1=''λ'' = 1}} समूह 1-सहचक्र से मेल खाता है <math>\varphi_1(f) =f^{\prime\prime}/f^\prime\, d\theta</math>. के लिए समाधान {{math|1=''λ'' = 0}} समूह 1-सहचक्र से मेल खाता है {{math|1={{phi}}<sub>0</sub>(''f'') =&nbsp;log&nbsp;''f' ''}}. संबंधित लाई बीजगणित 1-सहचक्र के लिए {{math|1=''λ'' =&nbsp;0,&nbsp;1,&nbsp;2}} को एक अदिश गुणज तक दिया जाता है
+स्थिति {{math|1={{phi}}(''d''/''d''&theta;) = 0}}, का अर्थ है कि {{math|1=''a''<sub>0</sub> = 0}}. इस स्थिति और पुनरावृत्ति संबंध से, यह पता चलता है कि अदिश गुणज तक, इसका एक अद्वितीय गैर-शून्य समाधान होता है जब  {{math|''λ''}} 0, 1 या 2 के समान होता है और अन्यथा केवल शून्य समाधान होता है। {{math|1=''λ'' = 1}} का समाधान समुच्चय 1-सहचक्र से मेल खाता है <math>\varphi_1(f) =f^{\prime\prime}/f^\prime\, d\theta</math>. {{math|1=''λ'' = 0}} का समाधान समुच्चय 1-सहचक्र {{math|1={{phi}}<sub>0</sub>(''f'') =&nbsp;log&nbsp;''f' ''}} से मेल खाता है। संबंधित लाई बीजगणित 1-सहचक्र के लिए {{math|1=''λ'' =&nbsp;0,&nbsp;1,&nbsp;2}} को एक अदिश गुणज तक दिया जाता है
 :<math>\varphi_\lambda\left(F {d\over d\theta}\right) = {d^{\lambda+1} F\over d\theta^{\lambda +1}} \, (d\theta)^\lambda.</math>
 ===केंद्रीय विस्तार===
-पार की गई समरूपताएं बदले में केंद्रीय विस्तार को जन्म देती हैं {{math|Diff('''S'''<sup>1</sup>)}} और इसके झूठ बीजगणित की {{math|Vect('''S'''<sup>1</sup>)}}, तथाकथित [[विरासोरो बीजगणित]]।
+पार की गई समरूपताएं {{math|Diff('''S'''<sup>1</sup>)}} और इसके लेई बीजगणित {{math|Vect('''S'''<sup>1</sup>)}} के केंद्रीय विस्तार, तथाकथित [[विरासोरो बीजगणित]] की उत्पति करती हैं।
 ===सहसंयुक्त क्रिया===
-समूह {{math|Diff('''S'''<sup>1</sup>)}} और इसका केंद्रीय विस्तार टेइचमुलर सिद्धांत और [[स्ट्रिंग सिद्धांत]] के संदर्भ में भी स्वाभाविक रूप से दिखाई देता है।<ref>{{harvnb|Pekonen|1995}}</ref> वास्तव में की होमोमोर्फिज्म {{math|'''S'''<sup>1</sup>}} के क्वासिकोनफॉर्मल स्व-मानचित्रों से प्रेरित {{math|'''D'''}} बिल्कुल [[अर्धसममितीय मानचित्र]] हैं {{math|'''S'''<sup>1</sup>}}; ये बिल्कुल होमोमोर्फिज्म हैं जो [[क्रॉस अनुपात]] 1/2 के साथ चार बिंदुओं को 1 या 0 के करीब क्रॉस अनुपात वाले बिंदुओं पर नहीं भेजते हैं। सीमा मूल्यों को लेते हुए, सार्वभौमिक टेइचमुलर को क्वासिसिमेट्रिक होमोमोर्फिज्म के समूह के भागफल के साथ पहचाना जा सकता है। {{math|QS('''S'''<sup>1</sup>)}} मोबियस परिवर्तनों के उपसमूह द्वारा {{math|Moeb('''S'''<sup>1</sup>)}}. (इसे स्वाभाविक रूप से [[अर्धवृत्त]] के स्थान के रूप में भी महसूस किया जा सकता है {{math|'''C'''}}।) तब से
+समुच्चय {{math|Diff('''S'''<sup>1</sup>)}} और इसका केंद्रीय विस्तार टेइचमुलर सिद्धांत और [[स्ट्रिंग सिद्धांत]] के संदर्भ में भी स्वाभाविक रूप से दिखाई देता है।<ref>{{harvnb|Pekonen|1995}}</ref> वास्तव में {{math|'''D'''}} के अर्ध-अनुरूप स्व-मानचित्रों से प्रेरित {{math|'''S'''<sup>1</sup>}} की समरूपताएं सटीक रूप से {{math|'''S'''<sup>1</sup>}}की [[अर्धसममितीय मानचित्र]] समरूपताएं हैं; ये बिल्कुल समरूपताएँ हैं जो 1/2 के [[क्रॉस अनुपात]]  वाले चार बिंदुओं को 1 या 0 के निकट क्रॉस अनुपात वाले बिंदुओं पर नहीं भेजते हैं। सीमा मूल्यों को लेते हुए, सार्वभौमिक टेइचमुलर को क्वासिसिमेट्रिक समरूपताएँ के समुच्चय के भागफल के साथ पहचाना जा सकता है। {{math|QS('''S'''<sup>1</sup>)}} मोबियस परिवर्तनों के उपसमुच्चय द्वारा {{math|Moeb('''S'''<sup>1</sup>)}}. (इसे स्वाभाविक रूप से [[अर्धवृत्त]] के स्थान के रूप में भी अनुभूत किया जा सकता है {{math|'''C'''}}।)
 :<math>\operatorname{Moeb}(\mathbf{S}^1)\subset \operatorname{Diff}(\mathbf{S}^1) \subset \text{QS}(\mathbf{S}^1)</math>
-[[सजातीय स्थान]] {{math|Diff('''S'''<sup>1</sup>)/Moeb('''S'''<sup>1</sup>)}} स्वाभाविक रूप से सार्वभौमिक टेइचमुलर अंतरिक्ष का एक उपस्थान है। यह स्वाभाविक रूप से एक जटिल विविधता है और यह और अन्य प्राकृतिक ज्यामितीय संरचनाएं टेइचमुलर स्थान पर मौजूद संरचनाओं के साथ संगत हैं। के लाई बीजगणित का द्वैत {{math|Diff('''S'''<sup>1</sup>)}} को हिल डिफरेंशियल समीकरण के स्थान से पहचाना जा सकता है|हिल के ऑपरेटरों पर {{math|'''S'''<sup>1</sup>}}
+[[सजातीय स्थान]] {{math|Diff('''S'''<sup>1</sup>)/Moeb('''S'''<sup>1</sup>)}} स्वाभाविक रूप से सार्वभौमिक टेइचमुलर स्थान का एक उपस्थान है। यह स्वाभाविक रूप से एक समष्टि विविधता है और यह और अन्य प्राकृतिक ज्यामितीय संरचनाएं टेइचमुलर स्थान पर उपस्थित संरचनाओं के साथ संगत हैं। {{math|Diff('''S'''<sup>1</sup>)}}  के लाई बीजगणित के दोहरे को {{math|'''S'''<sup>1</sup>}}पर हिल के ऑपरेटरों के स्थान से पहचाना जा सकता है
 :<math>{d^2\over d\theta^2} + q(\theta),</math>
-और की सहसंयुक्त कार्रवाई {{math|Diff('''S'''<sup>1</sup>)}} श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न का आह्वान करता है। भिन्नता का उलटा {{math|''f''}} हिल के ऑपरेटर को भेजता है
+और {{math|Diff('''S'''<sup>1</sup>)}} की सहसंयुक्त क्रिया श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न का आह्वान करती है। भिन्नता {{math|''f''}} का व्युत्क्रम हिल के ऑपरेटर को भेजता है
 :<math>{d^2\over d\theta^2} + f^\prime(\theta)^2 \,q\circ f(\theta) + \tfrac{1}{2} S(f)(\theta).</math>
+==छद्मसमुच्चय और सम्बन्ध==
+श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न और {{math|Diff('''S'''<sup>1</sup>)}} पर परिभाषित अन्य 1-सहचक्र को समष्टि तल में विवृत समुच्चयो के बीच बिहोलोमोर्फिक तक बढ़ाया जा सकता है। इस स्थिति में स्थानीय विवरण विश्लेषणात्मक छद्म समुच्चयों के सिद्धांत की ओर ले जाता है, जो अनंत-आयामी समुच्चयों के सिद्धांत को औपचारिक बनाता है और ली बीजगणित का अध्ययन पहली बार 1910 के दशक में एली कार्टन द्वारा किया गया था। यह रीमैन सतहों पर एफ़िन और प्रोजेक्टिव संरचनाओं के साथ-साथ श्वार्ज़ियन या प्रोजेक्टिव सम्बन्ध के सिद्धांत से संबंधित है, जिस पर गनिंग, शिफ़र और हॉले ने चर्चा की है।
+{{math|'''C'''}} पर एक समरूपता छद्म समुच्चय {{math|Γ}} में विवृत समुच्चय {{math|''U''}} और {{math|''V''}} के बीच [[बिहोलोमोर्फिज्म]] {{math|''f''}} का एक संग्रह होता है जिसमें प्रत्येक विवृत{{math|''U''}} के लिए पहचान मानचित्र सम्मलित होते हैं, जो विवृत को प्रतिबंधित करने के तहत संवृत होता है, जो संरचना (जब संभव हो) के तहत संवृत होता है, जो व्युत्क्रम लेने के तहत संवृत कर दिया गया है और इस तरह कि यदि कोई बिहोलोमोर्फिक स्थानीय रूप से {{math|Γ}} में है, तो यह भी {{math|Γ}} में होता है। छद्म समुच्चय को सकर्मक कहा जाता है यदि, {{math|'''C'''}} में {{math|''z''}} और {{math|''w''}} दिए जाने पर, {{math|Γ}} में एक बायोलोमोर्फिज्म {{math|''f''}} है जैसे कि  {{math|1=''f''(''z'') = ''w''}}। सकर्मक छद्म समुच्चयों का एक विशेष स्थिति वे हैं जो सपाट हैं, अर्थात जिनमें सभी समष्टि अनुवाद {{math|1=''T''<sub>''b''</sub>(''z'') = ''z'' + ''b''}}  सम्मलित हैं। मान लीजिए कि संरचना के अंतर्गत {{math|''G''}}, [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] परिवर्तनों {{math|1=''F''(z) = ''a''<sub>1</sub>''z'' + ''a''<sub>2</sub>''z''<sup>2</sup> + ....}} का समुच्चय है, जिसमें {{math|''a''<sub>1</sub> ≠ 0}} है। एक समरूपता छद्म समुच्चय {{math|Γ}}, {{math|''G''}} के एक उपसमुच्चय {{math|''A''}} को परिभाषित करता है, अर्थात् टेलर श्रृंखला के विस्तार द्वारा परिभाषित उपसमुच्चय {{math|Γ}} के तत्वों {{math|''f''}} के 0 (या "जेट") के साथ {{math|1=''f''(0) = 0}}. {{math|''U''}} पर एक बायोलोमोर्फिज्म एफ {{math|Γ}} में निहित है यदि और सिर्फ़ यदि {{math|''T''<sub>–''f''(''a'')</sub> ∘ ''f'' ∘ ''T''<sub>''a''</sub>}} की पावर श्रृंखला {{math|''U''}} में प्रत्येक {{math|''a''}} के लिए {{math|''A''}} में निहित है: दूसरे शब्दों में {{math|''f''}} पर {{math|''f''}} के लिए औपचारिक पावर श्रृंखला दी गई है {{math|''A''}} के एक तत्व द्वारा {{math|''z''}} को {{math|''z'' − ''a''}} द्वारा प्रतिस्थापित किया गया; या संक्षेप में कहें तो {{math|''f''}} के सभी जेट {{math|''A''}} में स्थित हैं।<ref name=":1">{{harvnb|Sternberg|1983|pages=421–424}}</ref>
-==छद्मसमूह और सम्बन्ध==
+समुच्चय {{math|''G''}} में {{math|''k''}}-जेड के समुच्चय {{math|''G''<sub>''k''</sub>}} पर एक प्राकृतिक समरूपता है जो कि शब्द ''z<sup>k</sup>'' तक ली गई काटे गए पावर श्रृंखला को लेकर प्राप्त की गई है। यह समुच्चय घात {{math|''k''}} वाले बहुपदों के स्थान पर ({{math|''k''}} से अधिक क्रम के पदों को छोटा करके) निष्कपट से कार्य करता है। ट्रंकेशन इसी तरह {{math|''G''<sub>''k''</sub>}} पर {{math|''G''<sub>''k'' − 1</sub>}} की समरूपता को परिभाषित करते हैं; कर्नेल में f{{math|1=''f''(''z'') = ''z'' + ''bz''<sup>''k''</sup>}} के साथ मानचित्र f सम्मलित हैं, एबेलियन भी ऐसा ही है। इस प्रकार समुच्चय ''G<sub>k</sub>'' हल करने योग्य है, एक तथ्य इस तथ्य से भी स्पष्ट है कि यह एकपदी के आधार के लिए त्रिकोणीय रूप में है।
-श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न और {{math|Diff('''S'''<sup>1</sup>)}} पर परिभाषित अन्य 1-सहचक्र को जटिल तल में खुले सेटों के बीच बायोलोमोर्फिक तक बढ़ाया जा सकता है। इस मामले में स्थानीय विवरण विश्लेषणात्मक छद्म समूहों के सिद्धांत की ओर ले जाता है, जो अनंत-आयामी समूहों के सिद्धांत को औपचारिक बनाता है और ली बीजगणित का अध्ययन पहली बार 1910 के दशक में एली कार्टन द्वारा किया गया था। यह रीमैन सतहों पर एफ़िन और प्रोजेक्टिव संरचनाओं के साथ-साथ श्वार्ज़ियन या प्रोजेक्टिव सम्बन्ध के सिद्धांत से संबंधित है, जिस पर गनिंग, शिफ़र और हॉले ने चर्चा की है।
-सी पर एक होलोमोर्फिक स्यूडोग्रुप {{math|Γ}} में  {{math|'''C'''}} में खुले सेट {{math|''U''}} और {{math|''V''}} के बीच [[बिहोलोमोर्फिज्म]] {{math|''f''}} का एक संग्रह होता है जिसमें प्रत्येक खुले {{math|''U''}} के लिए पहचान मानचित्र शामिल होते हैं, जो खुले को प्रतिबंधित करने के तहत बंद होता है, जो संरचना (जब संभव हो) के तहत बंद होता है, जो व्युत्क्रम लेने के तहत बंद कर दिया गया है और इस तरह कि यदि कोई बायोलोमोर्फिज्म स्थानीय रूप से {{math|Γ}} में है, तो यह भी {{math|Γ}} में होता है। छद्म समूह को सकर्मक कहा जाता है यदि, {{math|'''C'''}} में {{math|''z''}} और {{math|''w''}} दिए जाने पर, {{math|Γ}} में एक बायोलोमोर्फिज्म {{math|''f''}} है जैसे कि  {{math|1=''f''(''z'') = ''w''}}। सकर्मक छद्मसमूहों का एक विशेष मामला वे हैं जो सपाट हैं, यानी जिनमें सभी जटिल अनुवाद {{math|1=''T''<sub>''b''</sub>(''z'') = ''z'' + ''b''}}  शामिल हैं। मान लीजिए कि संरचना के अंतर्गत {{math|''G''}}, [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] परिवर्तनों {{math|1=''F''(z) = ''a''<sub>1</sub>''z'' + ''a''<sub>2</sub>''z''<sup>2</sup> + ....}} का समूह है, जिसमें {{math|''a''<sub>1</sub> ≠ 0}} है। एक होलोमोर्फिक स्यूडोग्रुप {{math|Γ}}, {{math|''G''}} के एक उपसमूह {{math|''A''}} को परिभाषित करता है, अर्थात् टेलर श्रृंखला के विस्तार द्वारा परिभाषित उपसमूह {{math|Γ}} के तत्वों {{math|''f''}} के 0 (या "जेट") के साथ {{math|1=''f''(0) = 0}}. {{math|''U''}} पर एक बायोलोमोर्फिज्म एफ {{math|Γ}} में निहित है यदि और केवल यदि {{math|''T''<sub>–''f''(''a'')</sub> ∘ ''f'' ∘ ''T''<sub>''a''</sub>}} की पावर श्रृंखला {{math|''U''}} में प्रत्येक {{math|''a''}} के लिए {{math|''A''}} में निहित है: दूसरे शब्दों में {{math|''f''}} पर {{math|''f''}} के लिए औपचारिक पावर श्रृंखला दी गई है {{math|''A''}} के एक तत्व द्वारा {{math|''z''}} को {{math|''z'' − ''a''}} द्वारा प्रतिस्थापित किया गया; या संक्षेप में कहें तो {{math|''f''}} के सभी जेट {{math|''A''}} में स्थित हैं।<ref name=":1">{{harvnb|Sternberg|1983|pages=421–424}}</ref>
+एक समतल छद्मसमुच्चय {{math|Γ}} को अंतर समीकरणों द्वारा परिभाषित किया जाता है यदि कोई परिमित पूर्णांक है {{math|''k''}} ऐसा कि {{math|''A''}} में <math>''G''<sub>''k''</sub></math> यथातथ्य है और छवि एक संवृत उपसमुच्चय है। ऐसे सबसे छोटे {{math|''k''}} {{math|Γ}} का क्रम कहा जाता है।
-समूह {{math|''G''}} में {{math|''k''}}-जेड के समूह {{math|''G''<sub>''k''</sub>}} पर एक प्राकृतिक समरूपता है जो कि शब्द ''z<sup>k</sup>'' तक ली गई काटे गए पावर श्रृंखला को लेकर प्राप्त की गई है। यह समूह घात {{math|''k''}} वाले बहुपदों के स्थान पर ({{math|''k''}} से अधिक क्रम के पदों को छोटा करके) ईमानदारी से कार्य करता है। ट्रंकेशन इसी तरह {{math|''G''<sub>''k''</sub>}} पर {{math|''G''<sub>''k'' − 1</sub>}} की समरूपता को परिभाषित करते हैं; कर्नेल में f{{math|1=''f''(''z'') = ''z'' + ''bz''<sup>''k''</sup>}} के साथ मानचित्र f शामिल हैं, एबेलियन भी ऐसा ही है। इस प्रकार समूह ''G<sub>k</sub>'' हल करने योग्य है, एक तथ्य इस तथ्य से भी स्पष्ट है कि यह एकपदी के आधार के लिए त्रिकोणीय रूप में है।
+इस प्रकार उत्पन्न होने वाले सभी उपसमुच्चयों {{math|''A''}} का एक संपूर्ण वर्गीकरण है जो अतिरिक्त धारणाओं को संतुष्ट करता है कि {{math|''G''<sub>''k''</sub>}} में {{math|''A''}} की छवि एक समष्टि उपसमुच्चय है और ''G''<sub>1</sub>, {{math|'''C'''*}} के समान है: इसका तात्पर्य यह है कि छद्म समुच्चय में {{math|''a'' ≠ 0}} के लिए स्केलिंग परिवर्तन {{math|1=''S''<sub>''a''</sub>(''z'') = ''az''}} भी सम्मलित है, अर्थात {{math|''A''}} में ≠ 0 के साथ प्रत्येक बहुपद {{math|''az''}} सम्मलित है।
-एक समतल छद्मसमूह {{math|Γ}} को अंतर समीकरणों द्वारा परिभाषित किया जाता है यदि कोई परिमित पूर्णांक है {{math|''k''}} ऐसा कि {{math|''A''}} में <math>''G''<sub>''k''</sub></math> यथातथ्य है और छवि एक बंद उपसमूह है। ऐसे सबसे छोटे {{math|''k''}} {{math|Γ}} का क्रम कहा जाता है।
+इस स्थितिय में एकमात्र संभावना यह है कि {{math|1=''k'' = 1}} और {{math|1=''A'' = {''az'':  ''a'' ≠ 0}}}; या कि {{math|1=''k'' = 2}} और {{math|1=''A'' = {''az''/(1−''bz'') : ''a'' ≠ 0<nowiki>}</nowiki> }}। पूर्व समष्टि मोबियस समुच्चय के एफ़िन उपसमुच्चय द्वारा परिभाषित छद्म समुच्चय है ({{math|''az'' + ''b''}} परिवर्तन फिक्सिंग {{math|∞}}); उत्तरार्द्ध संपूर्ण समष्टि मोबियस समुच्चय द्वारा परिभाषित छद्म समुच्चय है।
-इस प्रकार उत्पन्न होने वाले सभी उपसमूहों {{math|''A''}} का एक संपूर्ण वर्गीकरण है जो अतिरिक्त धारणाओं को संतुष्ट करता है कि {{math|''G''<sub>''k''</sub>}} में {{math|''A''}} की छवि एक जटिल उपसमूह है और ''G''<sub>1</sub>, {{math|'''C'''*}} के बराबर है:इसका तात्पर्य यह है कि छद्म समूह में {{math|''a'' ≠ 0}} के लिए स्केलिंग परिवर्तन {{math|1=''S''<sub>''a''</sub>(''z'') = ''az''}} भी शामिल है, अर्थात {{math|''A''}} में ≠ 0 के साथ प्रत्येक बहुपद {{math|''az''}} शामिल है।
+औपचारिक लाई बीजगणित के पश्चात से इस वर्गीकरण को आसानी से लाई बीजगणितीय समस्या में बदला जा सकता है <math>\mathfrak{g}</math> के {{math|''G''}} में F के साथ एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला के साथ औपचारिक सदिश क्षेत्र {{math|''F''(''z'') ''d''/''dz''}} सम्मलित हैं। इसमें बहुपद सदिश क्षेत्र सम्मलित हैं जिनका आधार {{math|1=''d''<sub>''n''</sub> = ''z''<sup>''n''+1</sup> ''d''/''dz'' (''n'' ≥ 0)}} है, जो विट बीजगणित का एक उपबीजगणित है। लाई कोष्ठक {{math|1=[''d''<sub>''m''</sub>,''d''<sub>''n''</sub>] = (''n'' − ''m'')''d''<sub>''m''+''n''</sub>}} द्वारा दिए गए हैं। फिर से ये डिग्री {{math|≤ ''k''}} के बहुपदों के स्थान पर विभेदन द्वारा कार्य करते हैं -इसे {{math|1='''C'''[<nowiki/>[''z'']]/(''z''<sup>''k''+1</sup>)}}—से पहचाना जा सकता है - और {{math|''d''<sub>0</sub>, ..., ''d''<sub>''k'' – 1</sub>}} की आकृति एक आधार देती हैं {{math|''G''<sub>''k''</sub>}} का लाई बीजगणितहैं। ध्यान दें कि {{math|1=Ad(''S''<sub>''a''</sub>) ''d''<sub>''n''</sub>= ''a''<sup>–''n''</sup> ''d''<sub>''n''</sub>}} मान लीजिए <math>\mathfrak{a}</math> के लाई बीजगणित को निरूपित करें {{math|''A''}}: यह {{math|''G''<sub>''k''</sub>}}के लाई बीजगणित के एक उपबीजगणित के समरूपी है। इसमें {{math|''d''<sub>0</sub>}} सम्मलित है और {{math|Ad(''S''<sub>''a''</sub>)}} के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। तब से <math>\mathfrak{a}</math> विट बीजगणित का एक लाई उपबीजगणित है, एकमात्र संभावना यह है कि इसका आधार {{math|''d''<sub>0</sub>}} या कुछ {{math|''n'' ≥ 1}} के लिए आधार {{math|''d''<sub>0</sub>, ''d''<sub>''n''</sub>}} है। प्रपत्र {{math|1=''f''(''z'')= ''z'' + ''bz''<sup>''n''+1</sup> + ...}}. के संगत समुच्चय तत्व हैं। अनुवाद के साथ इसकी रचना करने पर {{math|1=''T''<sub>–''f''(ε)</sub> ∘ ''f'' ∘ ''T''<sub> ε</sub>(''z'') = ''cz'' + ''dz''<sup>2</sup> + ...}} प्राप्त होता है {{math|''c'', ''d'' ≠ 0}} के साथ। जब तक {{math|1=''n'' = 2}}, न हो, यह उपसमुच्चय {{math|''A''}}; के रूप का खंडन करता है; तो {{math|1=''n'' = 2}}.<ref>{{harvnb|Gunning|1978}}</ref>
-इस मामले में एकमात्र संभावना यह है कि {{math|1=''k'' = 1}} और {{math|1=''A'' = {''az'':  ''a'' ≠ 0}}}; या कि {{math|1=''k'' = 2}} और {{math|1=''A'' = {''az''/(1−''bz'') : ''a'' ≠ 0<nowiki>}</nowiki> }}। पूर्व जटिल मोबियस समूह के एफ़िन उपसमूह द्वारा परिभाषित छद्म समूह है ({{math|''az'' + ''b''}} परिवर्तन फिक्सिंग {{math|∞}}); उत्तरार्द्ध संपूर्ण जटिल मोबियस समूह द्वारा परिभाषित छद्म समूह है।
+श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न समष्टि मोबियस समुच्चय के लिए छद्म समुच्चय से संबंधित है। वास्तव में यदि {{math|''f''}}, {{math|''V''}} पर परिभाषित एक द्विघात अंतर है तो  {{math|1={{phi}}<sub>2</sub>(''f'') = ''S''(''f'')}}, {{math|''V''}} पर एक द्विघात अंतर है। यदि {{math|''g''}} पर परिभाषित एक बायोहोमोलोर्फिज्म है और {{math|''g''(''V'') ⊆ ''U'', ''S''(''f'' ∘ ''g'')}} और {{math|''S''(''g'')}} {{math|''U''}} पर द्विघात अवकलन हैं; इसके अतिरिक्त {{math|''S''(''f'')}} {{math|''V''}} पर एक द्विघात अंतर है, इसलिए {{math|''g''<sub>∗</sub>''S''(f)}} भी {{math|''U''}} पर एक द्विघात अंतर है।
-औपचारिक लाई बीजगणित के बाद से इस वर्गीकरण को आसानी से लाई बीजगणितीय समस्या में बदला जा सकता है <math>\mathfrak{g}</math> के {{math|''G''}} में F के साथ एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला के साथ औपचारिक वेक्टर फ़ील्ड {{math|''F''(''z'') ''d''/''dz''}} शामिल हैं। इसमें बहुपद सदिश फ़ील्ड शामिल हैं जिनका आधार {{math|1=''d''<sub>''n''</sub> = ''z''<sup>''n''+1</sup> ''d''/''dz'' (''n'' ≥ 0)}} है, जो विट बीजगणित का एक उपबीजगणित है। लाई कोष्ठक {{math|1=[''d''<sub>''m''</sub>,''d''<sub>''n''</sub>] = (''n'' − ''m'')''d''<sub>''m''+''n''</sub>}} द्वारा दिए गए हैं। फिर से ये डिग्री {{math|≤ ''k''}} के बहुपदों के स्थान पर विभेदन द्वारा कार्य करते हैं -इसे {{math|1='''C'''[<nowiki/>[''z'']]/(''z''<sup>''k''+1</sup>)}}—से पहचाना जा सकता है - और {{math|''d''<sub>0</sub>, ..., ''d''<sub>''k'' – 1</sub>}} की छवियां एक आधार देती हैं {{math|''G''<sub>''k''</sub>}} का लाई बीजगणितहैं। ध्यान दें कि {{math|1=Ad(''S''<sub>''a''</sub>) ''d''<sub>''n''</sub>= ''a''<sup>–''n''</sup> ''d''<sub>''n''</sub>}} मान लीजिए <math>\mathfrak{a}</math> के झूठ बीजगणित को निरूपित करें {{math|''A''}}: यह {{math|''G''<sub>''k''</sub>}}के लाई बीजगणित के एक उपबीजगणित के समरूपी है। इसमें {{math|''d''<sub>0</sub>}} शामिल है और {{math|Ad(''S''<sub>''a''</sub>)}} के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। तब से <math>\mathfrak{a}</math> विट बीजगणित का एक झूठ उपबीजगणित है, एकमात्र संभावना यह है कि इसका आधार {{math|''d''<sub>0</sub>}} या कुछ {{math|''n'' ≥ 1}} के लिए आधार {{math|''d''<sub>0</sub>, ''d''<sub>''n''</sub>}} है। प्रपत्र {{math|1=''f''(''z'')= ''z'' + ''bz''<sup>''n''+1</sup> + ...}}. के संगत समूह तत्व हैं। अनुवाद के साथ इसकी रचना करने पर {{math|1=''T''<sub>–''f''(ε)</sub> ∘ ''f'' ∘ ''T''<sub> ε</sub>(''z'') = ''cz'' + ''dz''<sup>2</sup> + ...}} प्राप्त होता है {{math|''c'', ''d'' ≠ 0}} के साथ। जब तक {{math|1=''n'' = 2}}, न हो, यह उपसमूह {{math|''A''}}; के रूप का खंडन करता है; तो {{math|1=''n'' = 2}}.<ref>{{harvnb|Gunning|1978}}</ref>
-श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न जटिल मोबियस समूह के लिए छद्म समूह से संबंधित है। वास्तव में यदि {{math|''f''}}, {{math|''V''}} पर परिभाषित एक द्विघात अंतर है तो  {{math|1={{phi}}<sub>2</sub>(''f'') = ''S''(''f'')}}, {{math|''V''}} पर एक द्विघात अंतर है। यदि {{math|''g''}} पर परिभाषित एक बायोहोमोलोर्फिज्म है और {{math|''g''(''V'') ⊆ ''U'', ''S''(''f'' ∘ ''g'')}} और {{math|''S''(''g'')}} {{math|''U''}} पर द्विघात अवकलन हैं; इसके अतिरिक्त {{math|''S''(''f'')}} {{math|''V''}} पर एक द्विघात अंतर है, इसलिए {{math|''g''<sub>∗</sub>''S''(f)}} भी {{math|''U''}} पर एक द्विघात अंतर है।
 <math> S(f\circ g) = g_*S(f) + S(g)</math>
-इस प्रकार होलोमोर्फिक द्विघात अंतर में गुणांक के साथ बायोलोमोर्फिज्म के छद्म समूह के लिए 1-सहचक्र का एनालॉग है। उसी प्रकार <math> \varphi_0(f) = \log f^\prime </math> और <math>\varphi_1(f) = f^{\prime\prime}/f^\prime</math> होलोमोर्फिक फंक्शन और होलोमोर्फिक अंतरों में मूल्यों के साथ एक ही छद्म समूह के लिए 1-सहचक्र हैं। सामान्य तौर पर 1-सहचक्र को किसी भी क्रम के होलोमोर्फिक अंतर के लिए परिभाषित किया जा सकता है
+इस प्रकार समरूपता द्विघात अंतर में गुणांक के साथ बायोलोमोर्फिज्म के छद्म समुच्चय के लिए 1-सहचक्र का एनालॉग है। उसी प्रकार <math> \varphi_0(f) = \log f^\prime </math> और <math>\varphi_1(f) = f^{\prime\prime}/f^\prime</math> समरूपता फलन और समरूपता अंतरों में मूल्यों के साथ एक ही छद्म समुच्चय के लिए 1-सहचक्र हैं। सामान्यतः 1-सहचक्र को किसी भी क्रम के समरूपता अंतर के लिए परिभाषित किया जा सकता है
 :<math>\varphi(f\circ g) = g_*\varphi(f) + \varphi(g).</math>
-उउपरोक्त पहचान को समावेशन मानचित्र {{math|''j''}} पर लागू करने पर, यह इस प्रकार है कि {{math|1={{phi}}(''j'') = 0}}; और इसलिए यदि {{math|''f''<sub>1</sub>}}, {{math|''f''<sub>2</sub>}} का प्रतिबंध है, तो {{math|1=''f''<sub>2</sub> ∘ ''j'' = ''f''<sub>1</sub>}}, तब {{math|1={{phi}}(''f''<sub>1</sub>) = {{phi}} (''f''<sub>2</sub>)}}.दूसरी ओर, होलोमोर्फिक वेक्टर क्षेत्रों द्वारा परिभाषित स्थानीय होलोमोर्फिक प्रवाह को लेते हुए - वेक्टर क्षेत्रों का घातांक - स्थानीय बायोलोमोर्फिज्म का होलोमोर्फिक स्यूडोग्रुप होलोमोर्फिक वेक्टर क्षेत्रों द्वारा उत्पन्न होता है। यदि 1-सहचक्र {{phi}} उपयुक्त निरंतरता या विश्लेषणात्मकता स्थितियों को संतुष्ट करता है, तो यह होलोमोर्फिक वेक्टर फ़ील्ड 1-सहचक्र को प्रेरित करता है, जो प्रतिबंध के साथ भी संगत है। तदनुसार, यह {{math|'''C'''}} पर होलोमोर्फिक वेक्टर फ़ील्ड पर 1-सहचक्र को परिभाषित करता है:
+उउपरोक्त पहचान को समावेशन मानचित्र {{math|''j''}} पर क्रियान्वित करने पर, यह इस प्रकार है कि {{math|1={{phi}}(''j'') = 0}}; और इसलिए यदि {{math|''f''<sub>1</sub>}}, {{math|''f''<sub>2</sub>}} का प्रतिबंध है, तो {{math|1=''f''<sub>2</sub> ∘ ''j'' = ''f''<sub>1</sub>}}, तब {{math|1={{phi}}(''f''<sub>1</sub>) = {{phi}} (''f''<sub>2</sub>)}}.दूसरी ओर, समरूपता सदिश क्षेत्रों द्वारा परिभाषित स्थानीय समरूपता प्रवाह को लेते हुए - सदिश क्षेत्रों का घातांक - स्थानीय बायोलोमोर्फिज्म का समरूपता छद्म समुच्चय समरूपता सदिश क्षेत्रों द्वारा उत्पन्न होता है। यदि 1-सहचक्र {{phi}} उपयुक्त निरंतरता या विश्लेषणात्मकता स्थितियों को संतुष्ट करता है, तो यह समरूपता सदिश क्षेत्र 1-सहचक्र को प्रेरित करता है, जो प्रतिबंध के साथ भी संगत है। तदनुसार, यह {{math|'''C'''}} पर समरूपता सदिश क्षेत्र पर 1-सहचक्र को परिभाषित करता है:
 :<math>\varphi([X,Y]) = X \varphi(Y) - Y \varphi(X).</math>
-आधार  {{math|1=''d''<sub>''n''</sub> = ''z''<sup>''n''+1</sup> ''d''/''dz'' (''n'' ≥ −1)}} के साथ बहुपद वेक्टर क्षेत्रों के ली बीजगणित को सीमित करते हुए, इन्हें ली बीजगणित कोहोमोलॉजी के समान तरीकों का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है (जैसा कि पार किए गए समरूपता पर पिछले अनुभाग में)। वहां गणना क्रम {{math|''k''}}, के घनत्वों पर कार्य करने वाले संपूर्ण विट बीजगणित के लिए थी, जबकि यहां यह केवल क्रम {{math|''k''}} के होलोमोर्फिक (या बहुपद) अंतरों पर कार्य करने वाले उपबीजगणित के लिए थी। फिर से, यह मानते हुए कि  {{phi}} {{math|'''C'''}} के घूर्णन पर गायब हो जाता है, गैर-शून्य 1-सहचक्र होते हैं, जो अदिश गुणकों तक अद्वितीय होते हैं। केवल समान व्युत्पन्न सूत्र द्वारा दिए गए घात 0, 1 और 2 के अंतरों के लिए
+आधार  {{math|1=''d''<sub>''n''</sub> = ''z''<sup>''n''+1</sup> ''d''/''dz'' (''n'' ≥ −1)}} के साथ बहुपद सदिश क्षेत्रों के ली बीजगणित को सीमित करते हुए, इन्हें ली बीजगणित को होमोलॉजी के समान उपायो का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है (जैसा कि पार किए गए समरूपता पर पिछले अनुभाग में)। वहां गणना क्रम {{math|''k''}}, के घनत्वों पर कार्य करने वाले संपूर्ण विट बीजगणित के लिए थी, जबकि यहां यह केवल क्रम {{math|''k''}} के समरूपता (या बहुपद) अंतरों पर कार्य करने वाले उपबीजगणित के लिए थी। फिर से, यह मानते हुए कि  {{phi}} {{math|'''C'''}} के घूर्णन पर गायब हो जाता है, गैर-शून्य 1-सहचक्र होते हैं, जो अदिश गुणकों तक अद्वितीय होते हैं। केवल समान व्युत्पन्न सूत्र द्वारा दिए गए घात 0, 1 और 2 के अंतरों के लिए
 :<math>\varphi_k\left(p(z) {d\over dz}\right) = p^{(k+1)}(z) \, (dz)^k,</math>
 जहां {{math|''p''(''z'')}} एक बहुपद है।
--सहचक्र्स तीन छद्म समूहों को {{math|1={{phi}}<sub>''k''</sub>(''f'') = 0}} द्वारा परिभाषित करते हैं: यह स्केलिंग समूह ({{math|1=''k'' = 0}}) देता है; एफ़िन समूह ({{math|1=''k'' = 1}}); और संपूर्ण जटिल मोबियस समूह ({{math|1=''k'' = 2}})। तो ये 1-सहचक्र छद्मसमूह को परिभाषित करने वाले विशेष [[साधारण अंतर समीकरण]] हैं। अधिक महत्वपूर्ण रूप से उनका उपयोग रीमैन सतहों पर संबंधित एफ़िन या प्रक्षेपीय संरचनाओं और सम्बन्ध को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। यदि {{math|Γ}} {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}  पर सुचारू मैपिंग का एक छद्म समूह है, तो एक टोपोलॉजिकल स्पेस {{math|''M''}} को {{math|Γ}}-संरचना कहा जाता है यदि इसमें चार्ट {{math|''f''}} का संग्रह होता है जो {{math|''M''}} में ओपन सेट {{math|''V''<sub>''i''</sub>}} से {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} में ओपन सेट {{math|''U''<sub>''i''</sub>}} तक होमोमोर्फिज्म होता है, जैसे कि, प्रत्येक गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन {{math|''f''<sub>''i''</sub> (''U''<sub>''i''</sub> ∩ ''U''<sub>''j''</sub>)}} से {{math|''f''<sub>''j''</sub> (''U''<sub>''i''</sub> ∩ ''U''<sub>''j''</sub>)}} तक का प्राकृतिक मानचित्र {{math|Γ}} में स्थित होता है। यह एक सुचारू {{math|''n''}}-कई गुना की संरचना को परिभाषित करता है यदि {{math|Γ}} में स्थानीय डिफोमोर्फिम्स और एक रीमैन सतह होती है यदि {{math|1=''n'' = 2}}-ताकि {{math|1='''R'''<sup>2</sup> ≡ '''C'''}}-और {{math|Γ}} में बिहोलोमोर्फिम्स शामिल हों। यदि {{math|Γ}} एफ़िन स्यूडोग्रुप है,तो {{math|''M''}} को एफ़िन संरचना कहा जाता है; और यदि {{math|Γ}} मोबियस स्यूडोग्रुप है, तो {{math|''M''}} को एक प्रक्षेपी संरचना कहा जाता है। इस प्रकार कुछ लैटिस {{math|'''C'''/Λ}} के लिए {{math|Λ ⊂ '''C'''}} के रूप में दी गई एक जीनस एक सतह में एक एफ़िन संरचना होती है; और फुच्सियन समूह द्वारा ऊपरी आधे तल या इकाई डिस्क के भागफल के रूप में दी गई एक जीनस {{math|''p'' > 1}}  सतह में एक प्रक्षेपी संरचना होती है।<ref name="Gunning 1966">{{harvnb|Gunning|1966}}</ref>
+-सहचक्र्स तीन छद्म समुच्चयों को {{math|1={{phi}}<sub>''k''</sub>(''f'') = 0}} द्वारा परिभाषित करते हैं: यह स्केलिंग समुच्चय ({{math|1=''k'' = 0}}) देता है; एफ़िन समुच्चय ({{math|1=''k'' = 1}}); और संपूर्ण समष्टि मोबियस समुच्चय ({{math|1=''k'' = 2}})। तो ये 1-सहचक्र छद्म समुच्चय को परिभाषित करने वाले विशेष [[साधारण अंतर समीकरण]] हैं। अधिक महत्वपूर्ण रूप से उनका उपयोग रीमैन सतहों पर संबंधित एफ़िन या प्रक्षेपीय संरचनाओं और सम्बन्ध को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। यदि {{math|Γ}} {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}  पर सुचारू मैपिंग का एक छद्म समुच्चय है, तो एक टोपोलॉजिकल स्थान {{math|''M''}} को {{math|Γ}}-संरचना कहा जाता है यदि इसमें चार्ट {{math|''f''}} का संग्रह होता है जो {{math|''M''}} में विवृत समुच्चय {{math|''V''<sub>''i''</sub>}} से {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} में विवृत समुच्चय {{math|''U''<sub>''i''</sub>}} तक समरूपताएँ होता है, जैसे कि, प्रत्येक गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन {{math|''f''<sub>''i''</sub> (''U''<sub>''i''</sub> ∩ ''U''<sub>''j''</sub>)}} से {{math|''f''<sub>''j''</sub> (''U''<sub>''i''</sub> ∩ ''U''<sub>''j''</sub>)}} तक का प्राकृतिक मानचित्र {{math|Γ}} में स्थित होता है। यह एक सुचारू {{math|''n''}}-कई गुना की संरचना को परिभाषित करता है यदि {{math|Γ}} में स्थानीय डिफोमोर्फिम्स और एक रीमैन सतह होती है यदि {{math|1=''n'' = 2}}-जिससे कि{{math|1='''R'''<sup>2</sup> ≡ '''C'''}}-और {{math|Γ}} में बिहोलोमोर्फिम्स सम्मलित हों। यदि {{math|Γ}} एफ़िन छद्म समुच्चय है,तो {{math|''M''}} को एफ़िन संरचना कहा जाता है; और यदि {{math|Γ}} मोबियस छद्म समुच्चयहै, तो {{math|''M''}} को एक प्रक्षेपी संरचना कहा जाता है। इस प्रकार कुछ लैटिस {{math|'''C'''/Λ}} के लिए {{math|Λ ⊂ '''C'''}} के रूप में दी गई एक जीनस एक सतह में एक एफ़िन संरचना होती है; और फुच्सियन समुच्चय द्वारा ऊपरी आधे तल या इकाई डिस्क के भागफल के रूप में दी गई एक जीनस {{math|''p'' > 1}}  सतह में एक प्रक्षेपी संरचना होती है।<ref name="Gunning 1966">{{harvnb|Gunning|1966}}</ref>
-में गनिंग ने बताया कि इस प्रक्रिया को कैसे व्युत्पन्न किया जा सकता है: जीनस {{math|''p'' > 1}} के लिए, एक प्रक्षेप्य सम्बन्ध का अस्तित्व, जिसे श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न {{phi}}<sub>2</sub> का उपयोग करके परिभाषित किया गया है और कोहोलॉजी पर मानक परिणामों का उपयोग करके सिद्ध किया गया है, इसका ऊपरी आधे तल या यूनिट डिस्क के साथ सार्वभौमिक कवरिंग सतह की पहचान करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है (एफ़िन कनेक्शन और {{math|{{phi}}<sub>1</sub>}} का उपयोग करके जीनस 1 के लिए एक समान परिणाम होता है)।<ref name="Gunning 1966" />
+में गनिंग ने बताया कि इस प्रक्रिया को कैसे व्युत्पन्न किया जा सकता है: जीनस {{math|''p'' > 1}} के लिए, एक प्रक्षेप्य सम्बन्ध का अस्तित्व, जिसे श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न {{phi}}<sub>2</sub> का उपयोग करके परिभाषित किया गया है और कोहोलॉजी पर मानक परिणामों का उपयोग करके सिद्ध किया गया है, इसका ऊपरी आधे तल या यूनिट डिस्क के साथ सार्वभौमिक कवरिंग सतह की पहचान करने के लिए उपयोग किया जा सकता है (एफ़िन सम्बन्ध और {{math|{{phi}}<sub>1</sub>}} का उपयोग करके जीनस 1 के लिए एक समान परिणाम होता है)।<ref name="Gunning 1966" />
 == यह भी देखें ==
 * रिकाती समीकरण का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग तीसरे क्रम के श्वार्ज़ियन अंतर समीकरण के लिए है
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 ==संदर्भ==
-*{{citation|first=लार्स|last=अहलफोर्स|authorlink=लार्स अहलफोर्स|title=क्वासिकोनफॉर्मल मैपिंग पर व्याख्यान|publisher=वैन नॉस्ट्रैंड|year=1966|pages=117–146}}, Chapter 6, "Teichmüller Spaces"
+*{{citation|first=लार्स|last=अहलफोर्स|authorlink=लार्स अहलफोर्स|title=क्वासिकोनफॉर्मल मैपिंग पर व्याख्यान|publisher=वैन नॉस्ट्रैंड|year=1966|pages=117–146}}, अध्याय 6, "टेइचमुलर रिक्त स्थान"
 *{{citation|last=डुरेन|first=पीटर एल.|title=असमान फलन|publisher=स्प्रिंगर-वेरलाग|series=ग्रुंडलेह्रेन डेर मैथेमेटिसचेन विसेंसचाफ्टन |volume=259|year= 1983|isbn= 978-0-387-90795-6|pages=258–265}}]
 *{{citation|last1=गुइउ|first1=लॉरेंट|last2= रोजर|first2= क्लाउड|title= L'algèbre et le groupe de Virasoro|publisher=CRM|location= Montreal|year=2007|isbn= 978-2-921120-44-9}}
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 *{{citation|last=स्टर्नबर्ग|first= श्लोमो|title=विभेदक ज्यामिति पर व्याख्यान|edition=द्वितीय |publisher= चेल्सी प्रकाशन|year= 1983|isbn= 978-0-8284-0316-0}}
 *{{citation|last1=तख्तजा|first1= लियोन ए.|last2=टेओ|first2=ली-पेंग|title=यूनिवर्सल टीचमुलर स्पेस पर वेइल-पीटरसन मीट्रिक|series= मेम। आमेर। गणित। समाज।|volume= 183 |year=2006|number=861}}
-[[Category: प्रक्षेप्य ज्यामिति]] [[Category: मॉड्यूलर रूप]] [[Category: सामान्य अवकल समीकरण]] [[Category: जटिल विश्लेषण]] [[Category: अनुरूप मानचित्रण]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:CS1 errors]]
 [[Category:Created On 21/07/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Short description with empty Wikidata description]]
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+[[Category:अनुरूप मानचित्रण]]
+[[Category:जटिल विश्लेषण]]
+[[Category:प्रक्षेप्य ज्यामिति]]
+[[Category:मॉड्यूलर रूप]]
+[[Category:सामान्य अवकल समीकरण]]

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श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न: Difference between revisions

Latest revision as of 11:01, 14 August 2023

परिभाषा

गुण

ज्यामितीय व्याख्या

विभेदक समीकरण

असमानता के लिए शर्तें

वृत्ताकार चाप बहुभुजों का अनुरूप मानचित्रण

टेइचमुलर स्थान पर समष्टि संरचना

वृत्त का द्विरूपता समुच्चय

क्रॉस्ड समरूपताएँ

केंद्रीय विस्तार

सहसंयुक्त क्रिया

छद्मसमुच्चय और सम्बन्ध

यह भी देखें

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