औपचारिकता (गणित का दर्शन): Difference between revisions

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गणित की धारणा में, '''औपचारिकता''' वह दृष्टिकोण है जो मानता है कि गणित और तर्क के कथन को स्थापित प्रकलन नियमों का उपयोग करके श्रृंखला (प्रतीकों के अक्षरांकीय अनुक्रम, सामान्यतः समीकरणों के रूप में) के प्रकलन के परिणामों के बारे में कथन माना जा सकता है। औपचारिकता का एक केंद्रीय विचार यह है कि गणित वास्तविकता के एक सामान्य क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करने वाले प्रस्तावों का एक समूह नहीं है, बल्कि यह एक खेल के समान है, जो लूडो या शतरंज की तुलना में वस्तुओं या गुणों की तात्विकी के प्रति अधिक प्रतिबद्धता नहीं लाता है। <ref name=":0">{{Citation|last=Weir|first=Alan|title=Formalism in the Philosophy of Mathematics|date=2015|url=https://plato.stanford.edu/archives/spr2015/entries/formalism-mathematics/|encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|editor-last=Zalta|editor-first=Edward N.|edition=Spring 2015|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|access-date=2019-05-25}}</ref> औपचारिकता के अनुसार, तर्क और गणित में व्यक्त सत्य संख्याओं, समुच्चयों, या त्रिकोणों या किसी अन्य व्यापक विषय वस्तु के बारे में नहीं हैं - वास्तव में, वे किसी भी चीज़ के बारे में नहीं हैं। बल्कि, गणितीय कथन वाक्यात्मक रूप हैं जिनके आकार और स्थानों का तब तक कोई अर्थ नहीं होता जब तक कि उन्हें व्याख्या (या शब्दार्थ) न दी जाए। गणितीय यथार्थवाद, तर्कवाद, या अंतर्ज्ञानवाद के विपरीत, व्यापक दृष्टिकोणों के कारण औपचारिकता की रूपरेखा कम परिभाषित होती है जिसे औपचारिकतावादी के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।
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गणित के दर्शन में, औपचारिकता वह दृष्टिकोण है जो मानता है कि गणित और तर्क के बयानों को स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) के हेरफेर के परिणामों के बारे में बयान माना जा सकता है (प्रतीकों के अल्फ़ान्यूमेरिक अनुक्रम, आमतौर पर समीकरणों के रूप में) स्थापित नियम का उपयोग करके अनुमान का। औपचारिकता का एक केंद्रीय विचार यह है कि गणित वास्तविकता के एक सार क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करने वाले प्रस्तावों का एक निकाय नहीं है, बल्कि एक खेल के लिए बहुत अधिक समान है, इसके साथ लूडो (बोर्ड गेम) की तुलना में वस्तुओं या गुणों के सत्तामीमांसा के लिए अधिक प्रतिबद्धता नहीं है। शतरंज।<ref name=":0">{{Citation|last=Weir|first=Alan|title=Formalism in the Philosophy of Mathematics|date=2015|url=https://plato.stanford.edu/archives/spr2015/entries/formalism-mathematics/|encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|editor-last=Zalta|editor-first=Edward N.|edition=Spring 2015|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|access-date=2019-05-25}}</ref> औपचारिकता के अनुसार, तर्क और गणित में व्यक्त सत्य संख्याओं, समुच्चयों, या त्रिकोणों या किसी अन्य व्यापक विषय वस्तु के बारे में नहीं हैं - वास्तव में, वे किसी भी चीज़ के बारे में नहीं हैं। बल्कि, गणितीय कथन सिंटैक्स (तर्क) रूप हैं जिनके आकार और स्थानों का कोई अर्थ नहीं है जब तक कि उन्हें व्याख्या (तर्क) (या शब्दार्थ) नहीं दिया जाता है। गणितीय यथार्थवाद, तर्कवाद, या अंतर्ज्ञानवाद के विपरीत, व्यापक दृष्टिकोणों के कारण औपचारिकता की रूपरेखा कम परिभाषित होती है जिसे औपचारिकतावादी के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।


यथार्थवाद और अंतर्ज्ञानवाद के साथ, औपचारिकता गणित के दर्शन में मुख्य सिद्धांतों में से एक है जो उन्नीसवीं सदी के अंत और बीसवीं सदी की शुरुआत में विकसित हुई थी। औपचारिकतावादियों में, डेविड हिल्बर्ट सबसे प्रमुख अधिवक्ता थे।<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=mbn35b2ghgkC&q=formalism|title=Philosophy of Mathematics|last=Simons|first=Peter|publisher=Elsevier|year=2009|isbn=9780080930589|pages=292|language=en|chapter=Formalism}}</ref>
यथार्थवाद और अंतर्ज्ञानवाद के साथ, औपचारिकता गणित के दर्शन में मुख्य सिद्धांतों में से एक है जो उन्नीसवीं सदी के अंत और बीसवीं सदी की प्रारम्भ में विकसित हुई थी। औपचारिकतावादियों में, डेविड हिल्बर्ट सबसे प्रमुख अधिवक्ता थे। <ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=mbn35b2ghgkC&q=formalism|title=Philosophy of Mathematics|last=Simons|first=Peter|publisher=Elsevier|year=2009|isbn=9780080930589|pages=292|language=en|chapter=Formalism}}</ref>




== प्रारंभिक औपचारिकता ==
== प्रारंभिक औपचारिकता ==
प्रारंभिक गणितीय औपचारिकतावादियों ने अमूर्त वस्तुओं के एक समस्याग्रस्त क्षेत्र के लिए किसी भी सत्तामूलक प्रतिबद्धता को अवरुद्ध करने, टालने, या (किसी तरह) से बचने का प्रयास किया।<ref name=":0" />जर्मन गणितज्ञ एडुआर्ड हेइन और कार्ल जोहान्स थोमे को गणितीय औपचारिकता का शुरुआती समर्थक माना जाता है।<ref name=":0" />हेइन और थोमे की औपचारिकता द फाउंडेशन ऑफ अरिथमेटिक में गोटलॉब फ्रेज की आलोचनाओं में पाई जा सकती है।
प्रारंभिक गणितीय औपचारिकतावादियों ने सामान्य वस्तुओं के एक समस्याग्रस्त क्षेत्र के लिए किसी भी सत्तामूलक प्रतिबद्धता को अवरुद्ध करने, टालने, या (किसी तरह) से बचने का प्रयास किया। <ref name=":0" /> जर्मन गणितज्ञ एडुआर्ड हेइन और कार्ल जोहान्स थोमे को गणितीय औपचारिकता का प्रारंभिक समर्थक माना जाता है। <ref name=":0" /> हेइन और थोमे की औपचारिकता को अंकगणित की नींव में गोटलॉब फ्रेज की आलोचनाओं में पाया जा सकता है।


एलन वियर के अनुसार, हेइन और थोमे की औपचारिकता जिसे फ्रीज हमलों का वर्णन किया जा सकता है [डी] शब्द औपचारिकता या खेल औपचारिकता के रूप में।<ref name=":0" />औपचारिकतावाद शब्द का दृष्टिकोण है कि गणितीय अभिव्यक्तियाँ प्रतीकों को संदर्भित करती हैं, संख्याओं को नहीं। हेइन ने इस विचार को इस प्रकार व्यक्त किया: जब परिभाषा की बात आती है, तो मैं विशुद्ध रूप से औपचारिक स्थिति लेता हूं, जिसमें मैं कुछ मूर्त संकेत संख्याएं कहता हूं, ताकि इन संख्याओं का अस्तित्व प्रश्न में न हो।<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=mbn35b2ghgkC&q=formalism|title=Philosophy of Mathematics|last=Simons|first=Peter|publisher=Elsevier|year=2009|isbn=9780080930589|pages=293|language=en}}</ref> थोमे को एक खेल औपचारिकतावादी के रूप में चित्रित किया गया है जिन्होंने दावा किया है कि [एफ] या औपचारिकतावादी, अंकगणित एक खेल है जिसमें संकेत होते हैं जिन्हें खाली कहा जाता है। इसका मतलब है कि उनके पास संयोजन के कुछ नियमों (खेल के नियम) के संबंध में उनके व्यवहार द्वारा निर्दिष्ट की तुलना में कोई अन्य सामग्री नहीं है (गणना खेल में)।<ref>{{Cite book|title=The Foundations of Arithmetic: A Logico-Mathematical Enquiry Into the Concept of Number|last=Frege|first=Gottlob|publisher=Northwestern University Press|year=1903|location=Chicago|pages=183}}</ref> फ्रेज हेइन और थोमे के औपचारिकतावाद की तीन आलोचनाएं प्रदान करता है: कि [औपचारिकता] गणित के अनुप्रयोग के लिए जिम्मेदार नहीं हो सकती है; यह औपचारिक सिद्धांत को मेटाथ्योरी के साथ भ्रमित करता है; [और] कि यह एक अनंत अनुक्रम की अवधारणा का कोई सुसंगत स्पष्टीकरण नहीं दे सकता है।<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=S-k9FtxFyEAC&q=formalist|title=Frege: Philosophy of Mathematics|last=Dummett|first=Michael|publisher=Harvard University Press|year=1991|isbn=9780674319356|location=Cambridge|pages=252|language=en}}</ref> हेइन की औपचारिकता की फ्रीज की आलोचना यह है कि उनकी औपचारिकता अनंत अनुक्रमों के लिए जिम्मेदार नहीं हो सकती है। डमेट का तर्क है कि हेइन के खाते की तुलना में औपचारिकता के अधिक विकसित खाते फ्रीज की आपत्तियों से बच सकते हैं, यह दावा करते हुए कि वे ठोस वस्तुओं के बजाय अमूर्त प्रतीकों से संबंधित हैं।<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=S-k9FtxFyEAC&q=formalist|title=Frege: Philosophy of Mathematics|last=Dummett|first=Michael|publisher=Harvard University Press|year=1991|isbn=9780674319356|location=Cambridge|pages=253|language=en}}</ref> शतरंज जैसे खेल के साथ औपचारिकता की तुलना करने के लिए वस्तुओं को फ्रीज करें।<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=ZxcbAgAAQBAJ&q=heine&pg=PR3|title=Basic Laws of Arithmetic: Derived using concept-script|last1=Frege|first1=Gottlob|last2=Ebert|first2=Philip A.|last3=Cook|first3=Roy T.|publisher=Oxford University Press|year=1893|isbn=9780199281749|location=Oxford|publication-date=2013|pages=§ 93|language=en}}</ref> फ्रीज का तर्क है कि थोमे की औपचारिकता खेल और सिद्धांत के बीच अंतर करने में विफल रहती है।
एलन वियर के अनुसार, हेन और थोमे की औपचारिकता कि फ्रेज के आक्षेप को "औपचारिकता या खेल औपचारिकतावाद" के रूप में वर्णित किया जा सकता है। <ref name=":0" /> औपचारिकतावाद शब्द का दृष्टिकोण है कि गणितीय अभिव्यक्तियाँ प्रतीकों को संदर्भित करती हैं, संख्याओं को नहीं। हेइन ने इस विचार को इस प्रकार व्यक्त किया: जब परिभाषा की बात आती है, तो मैं विशुद्ध रूप से औपचारिक स्थिति लेता हूं, जिसमें मैं कुछ वास्तविक संकेतों को संख्याएँ कहता हूँ, ताकि इन संख्याओं के अस्तित्व पर प्रश्नचिह्न न लगे। <ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=mbn35b2ghgkC&q=formalism|title=Philosophy of Mathematics|last=Simons|first=Peter|publisher=Elsevier|year=2009|isbn=9780080930589|pages=293|language=en}}</ref> थोमे को एक खेल औपचारिकतावादी के रूप में चित्रित किया गया है जिन्होंने दावा किया है कि [एफ] या औपचारिकतावादी, अंकगणित एक खेल है जिसमें संकेत होते हैं और जिन्हें खाली कहा जाता है। इसका अर्थ यह है कि उनके पास संयोजन के कुछ नियमों (खेल के नियमों) के संबंध में उनके व्यवहार द्वारा निर्दिष्ट की गई कोई अन्य सामग्री (गणना खेल में) नहीं है। <ref>{{Cite book|title=The Foundations of Arithmetic: A Logico-Mathematical Enquiry Into the Concept of Number|last=Frege|first=Gottlob|publisher=Northwestern University Press|year=1903|location=Chicago|pages=183}}</ref> फ्रेज हेइन और थॉमे की औपचारिकता की तीन आलोचनाएँ प्रदान करता है: "वह [औपचारिकता] गणित के अनुप्रयोग के लिए उत्तरदायी नहीं हो सकता; कि यह औपचारिक सिद्धांत को रूपक सिद्धांत के साथ भ्रमित करता है; [और] कि यह अनंत अनुक्रम की अवधारणा का कोई सुसंगत विवरण नहीं दे सकता। <ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=S-k9FtxFyEAC&q=formalist|title=Frege: Philosophy of Mathematics|last=Dummett|first=Michael|publisher=Harvard University Press|year=1991|isbn=9780674319356|location=Cambridge|pages=252|language=en}}</ref> हेन की औपचारिकता के बारे में फ्रेज की आलोचना यह है कि उनकी औपचारिकता अनंत अनुक्रमों का विवरण नहीं दे सकती है। डमेट का तर्क है कि हेन के खाते की तुलना में औपचारिकता के अधिक विकसित खाते यह दावा करके फ्रेज की आपत्तियों से बच सकते हैं कि उनका संबंध ठोस वस्तुओं के स्थान पर सामान्य प्रतीकों से है। <ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=S-k9FtxFyEAC&q=formalist|title=Frege: Philosophy of Mathematics|last=Dummett|first=Michael|publisher=Harvard University Press|year=1991|isbn=9780674319356|location=Cambridge|pages=253|language=en}}</ref> फ्रेज ने शतरंज जैसे खेल के साथ औपचारिकता की तुलना पर आपत्ति जताई। <ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=ZxcbAgAAQBAJ&q=heine&pg=PR3|title=Basic Laws of Arithmetic: Derived using concept-script|last1=Frege|first1=Gottlob|last2=Ebert|first2=Philip A.|last3=Cook|first3=Roy T.|publisher=Oxford University Press|year=1893|isbn=9780199281749|location=Oxford|publication-date=2013|pages=§ 93|language=en}}</ref> फ्रेज का तर्क है कि थोमे की औपचारिकता खेल और सिद्धांत के बीच अंतर करने में विफल रहती है।


== हिल्बर्ट की औपचारिकता ==
== हिल्बर्ट की औपचारिकता ==
[[Image:Hilbert.jpg|thumb|डेविड हिल्बर्ट]]औपचारिकतावाद का एक प्रमुख व्यक्ति डेविड हिल्बर्ट था, जिसके हिल्बर्ट के कार्यक्रम का उद्देश्य सभी गणित की पूर्णता (तर्क) और निरंतरता स्वयंसिद्ध होना था।<ref>{{Citation|last=Zach|first=Richard|title=Hilbert's Program|date=2019|url=https://plato.stanford.edu/archives/sum2019/entries/hilbert-program/|encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|editor-last=Zalta|editor-first=Edward N.|edition=Summer 2019|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|access-date=2019-05-25}}</ref> हिल्बर्ट का उद्देश्य गणितीय प्रणालियों की निरंतरता को इस धारणा से दिखाना था कि परिमित अंकगणित (सकारात्मक पूर्णांकों के सामान्य अंकगणित का एक उपतंत्र, जिसे दार्शनिक रूप से अविवादास्पद चुना गया) सुसंगत था (अर्थात प्रणाली से कोई विरोधाभास प्राप्त नहीं किया जा सकता है)।
[[Image:Hilbert.jpg|thumb|डेविड हिल्बर्ट]]औपचारिकतावाद का एक प्रमुख व्यक्ति डेविड हिल्बर्ट था,जिनके कार्यक्रम का उद्देश्य संपूर्ण गणित का पूर्ण और सुसंगत स्वयंसिद्धीकरण था। <ref>{{Citation|last=Zach|first=Richard|title=Hilbert's Program|date=2019|url=https://plato.stanford.edu/archives/sum2019/entries/hilbert-program/|encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|editor-last=Zalta|editor-first=Edward N.|edition=Summer 2019|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|access-date=2019-05-25}}</ref> हिल्बर्ट का उद्देश्य गणितीय प्रणालियों की स्थिरता को इस धारणा से दिखाना था कि "परिमित अंकगणित" (सकारात्मक पूर्णांकों के सामान्य अंकगणित का एक उपप्रणाली, जिसे दार्शनिक रूप से निर्विवाद माना जाता है) सुसंगत था (यानी प्रणाली से कोई विरोधाभास नहीं निकाला जा सकता है)।


जिस तरह से डेविड हिल्बर्ट ने यह दिखाने की कोशिश की कि एक स्वयंसिद्ध प्रणाली सुसंगत थी, वह एक विशेष भाषा का उपयोग करके औपचारिक रूप से थी।<ref name=":1">{{Cite journal|last=Snapper|first=Ernst|date=September 1979|title=The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism and Formalism|url=https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Allendoerfer/1980/0025570x.di021111.02p0048m.pdf|journal=Mathematics Magazine|volume=52|issue=4|pages=207–216|doi=10.1080/0025570X.1979.11976784}}</ref> एक स्वयंसिद्ध प्रणाली को औपचारिक रूप देने के लिए, आपको पहले एक ऐसी भाषा चुननी होगी जिसमें आप उस प्रणाली के भीतर संचालन को अभिव्यक्त और निष्पादित कर सकें। इस भाषा में पाँच घटक शामिल होने चाहिए:
जिस तरह से डेविड हिल्बर्ट ने यह दिखाने का प्रयास किया कि एक स्वयंसिद्ध प्रणाली सुसंगत थी, उसे एक विशेष भाषा का उपयोग करके औपचारिक रूप दिया गया था। <ref name=":1">{{Cite journal|last=Snapper|first=Ernst|date=September 1979|title=The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism and Formalism|url=https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Allendoerfer/1980/0025570x.di021111.02p0048m.pdf|journal=Mathematics Magazine|volume=52|issue=4|pages=207–216|doi=10.1080/0025570X.1979.11976784}}</ref> एक स्वयंसिद्ध प्रणाली को औपचारिक रूप देने के लिए, आपको पहले एक ऐसी भाषा चुननी होगी जिसमें आप उस प्रणाली के भीतर संचालन को अभिव्यक्त और निष्पादित कर सकें। इस भाषा में पाँच घटक सम्मिलित होने चाहिए:


* इसमें x जैसे चर शामिल होने चाहिए, जो किसी संख्या के लिए खड़े हो सकते हैं।
* इसमें x जैसे चर सम्मिलित होने चाहिए, जो किसी संख्या का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।
* इसमें क्वांटिफायर जैसे किसी वस्तु के अस्तित्व के लिए प्रतीक होना चाहिए।
* किसी वस्तु के अस्तित्व के प्रतीक जैसे परिमाणक अवश्य होने चाहिए।
* इसमें समानता शामिल होनी चाहिए।
* इसमें समानता सम्मिलित होनी चाहिए।
* इसमें संयोजी शामिल होना चाहिए जैसे कि ↔ अगर और केवल अगर के लिए।
* इसमें "यदि और केवल यदि" के लिए ↔ जैसे संयोजक सम्मिलित होने चाहिए।
* इसमें कुछ अपरिभाषित शब्द शामिल होने चाहिए जिन्हें पैरामीटर कहा जाता है। ज्यामिति के लिए, ये अपरिभाषित शब्द एक बिंदु या एक रेखा की तरह हो सकते हैं, जिसके लिए हम अभी भी प्रतीक चुनते हैं।
* इसमें कुछ निश्चित अपरिभाषित शब्द सम्मिलित होने चाहिए जिन्हें मापदण्ड कहा जाता है। ज्यामिति के लिए, ये अपरिभाषित शब्द एक बिंदु या रेखा की तरह कुछ हो सकते हैं, जिनके लिए हम अभी भी प्रतीकों का चयन करते हैं।


इस भाषा को अपनाने से, डेविड हिल्बर्ट ने सोचा कि हम किसी भी स्वयंसिद्ध प्रणाली के भीतर सभी प्रमेयों को सिद्ध कर सकते हैं, स्वयं स्वयंसिद्धों और चुनी हुई औपचारिक भाषा से अधिक कुछ नहीं।
इस भाषा को अपनाकर, हिल्बर्ट ने सोचा कि हम स्वयंसिद्धों और चुनिंदा औपचारिक भाषा के स्थान पर किसी भी स्वयंसिद्ध प्रणाली के भीतर सभी प्रमेयों को सिद्ध कर सकते हैं।


गोडेल | गोडेल के अपने गोडेल के अपूर्णता प्रमेय में गोडेल का निष्कर्ष यह था कि आप शास्त्रीय अंकगणित को शामिल करने के लिए पर्याप्त रूप से समृद्ध किसी सुसंगत स्वयंसिद्ध प्रणाली के भीतर निरंतरता साबित नहीं कर सकते। एक ओर, आपको इस स्वयंसिद्ध प्रणाली को औपचारिक रूप देने के लिए चुनी गई औपचारिक भाषा का ही उपयोग करना चाहिए; दूसरी ओर, इस भाषा की निरंतरता को अपने आप में सिद्ध करना असंभव है।<ref name=":1" />डेविड हिल्बर्ट मूल रूप से गोडेल के काम से निराश थे क्योंकि इसने संख्या सिद्धांत में सब कुछ पूरी तरह से औपचारिक बनाने के उनके जीवन के लक्ष्य को चकनाचूर कर दिया।<ref name=":2">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=RtnvBgAAQBAJ&q=Reid,+Constance,+and+Hermann+Weyl.+हिल्बर्ट.|title=हिल्बर्ट|last1=Reid|first1=Constance|last2=Weyl|first2=Hermann|publisher=Springer-Verlag|year=1970|isbn=9783662286159|pages=198|language=en}}</ref> हालाँकि, गोडेल को यह नहीं लगा कि उन्होंने डेविड हिल्बर्ट के बारे में सब कुछ का खंडन किया है। हिल्बर्ट के औपचारिक दृष्टिकोण।<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=5ya4A0w62skC&q=hilbert|title=Kurt Gödel: Collected Works: Volume I: Publications 1929-1936|last=Gödel|first=Kurt|publisher=Oxford University Press|year=1986|isbn=9780195039641|editor-last=Feferman|editor-first=Solomon|volume=1|location=Oxford|pages=195|language=en}}</ref> गोडेल ने अपने काम को प्रकाशित करने के बाद, यह स्पष्ट हो गया कि प्रमाण सिद्धांत का अभी भी कुछ उपयोग था, केवल अंतर यह है कि इसका उपयोग सभी संख्या सिद्धांत की स्थिरता को साबित करने के लिए नहीं किया जा सकता था, जैसा कि डेविड हिल्बर्ट ने उम्मीद की थी।<ref name=":2" />
अपने अपूर्णता प्रमेय में गोडेल का निष्कर्ष यह था कि आप शास्त्रीय अंकगणित को सम्मिलित करने के लिए पर्याप्त समृद्ध किसी सुसंगत स्वयंसिद्ध प्रणाली के भीतर स्थिरता सिद्ध नहीं कर सकते।                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             एक ओर, आपको इस स्वयंसिद्ध प्रणाली को औपचारिक बनाने के लिए चुनी गई औपचारिक भाषा का ही उपयोग करना चाहिए; दूसरी ओर, अपने आप में इस भाषा की एकरूपता को सिद्ध करना असंभव है। <ref name=":1" /> हिल्बर्ट मूल रूप से गोडेल के काम से निराश थे क्योंकि इसने संख्या सिद्धांत में हर चीज़ को पूरी तरह से औपचारिक बनाने के उनके जीवन के लक्ष्य को ध्वस्त कर दिया था। <ref name=":2">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=RtnvBgAAQBAJ&q=Reid,+Constance,+and+Hermann+Weyl.+हिल्बर्ट.|title=हिल्बर्ट|last1=Reid|first1=Constance|last2=Weyl|first2=Hermann|publisher=Springer-Verlag|year=1970|isbn=9783662286159|pages=198|language=en}}</ref> हालाँकि, गोडेल को यह महसूस नहीं हुआ कि उन्होंने हिल्बर्ट के औपचारिक दृष्टिकोण के बारे में हर बात का खंडन किया है। गोडेल ने अपना काम प्रकाशित करने के बाद, यह स्पष्ट हो गया कि प्रमाण सिद्धांत का अभी भी कुछ उपयोग है, एकमात्र अंतर यह है कि इसका उपयोग सभी संख्या सिद्धांतों की स्थिरता को सिद्ध करने के लिए नहीं किया जा सकता है जैसा कि हिल्बर्ट ने उम्मीद की थी। <ref name=":2" />


हिल्बर्ट शुरू में एक निगमनकर्ता थे,{{cn|date=March 2019}} लेकिन उन्होंने आंतरिक रूप से सार्थक परिणाम प्राप्त करने के लिए कुछ मेटामैथमैटिक्स विधियों पर विचार किया और गणित के दर्शनशास्त्र #गणितीय यथार्थवाद के संबंध में परिमित अंकगणित थे। बाद में, उन्होंने राय रखी कि व्याख्या की परवाह किए बिना कोई अन्य अर्थपूर्ण गणित नहीं था।
हिल्बर्ट प्रारम्भ में एक निगमनवादी थे, [उद्धरण वांछित] लेकिन उन्होंने आंतरिक रूप से सार्थक परिणाम प्राप्त करने के लिए कुछ मेटामैथमैटिकल प्रणाली पर विचार किया और वित्तीय अंकगणित के संबंध में एक यथार्थवादी थे। बाद में, उनकी राय थी कि व्याख्या की परवाह किए बिना, कोई अन्य सार्थक गणित नहीं था।


== आगे के घटनाक्रम ==
== आगे के घटनाक्रम ==
रुडोल्फ कार्नाप जैसे अन्य औपचारिकतावादियों ने गणित को औपचारिक प्रणाली की जांच माना।<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=3e3gAwAAQBAJ|title=Logical Syntax of Language|last=Carnap|first=Rudolf|publisher=Routledge|year=1937|isbn=9781317830597|pages=325–328|language=en}}</ref>
रुडोल्फ कार्नाप जैसे अन्य औपचारिकतावादियों ने गणित को औपचारिक प्रणाली की जांच माना। <ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=3e3gAwAAQBAJ|title=Logical Syntax of Language|last=Carnap|first=Rudolf|publisher=Routledge|year=1937|isbn=9781317830597|pages=325–328|language=en}}</ref>
हास्केल करी ने गणित को औपचारिक प्रणालियों के विज्ञान के रूप में परिभाषित किया है।<ref name=":4">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=tZHrBQgp1bkC&q=haskell+curry|title=Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics|last=Curry|first=Haskell B.|publisher=Elsevier|year=1951|isbn=9780444533685|pages=56|language=en}}</ref> करी की औपचारिकता शब्द औपचारिकतावादी, खेल औपचारिकतावादी या हिल्बर्ट की औपचारिकता के विपरीत है। करी के लिए, गणितीय औपचारिकता गणित की औपचारिक संरचना के बारे में है न कि औपचारिक प्रणाली के बारे में।<ref name=":4" />स्टीवर्ट शापिरो ऐतिहासिक थीसिस से शुरू होने के रूप में करी की औपचारिकता का वर्णन करता है कि जैसे-जैसे गणित की एक शाखा विकसित होती है, यह अपनी कार्यप्रणाली में अधिक से अधिक कठोर हो जाती है, अंतिम परिणाम औपचारिक निगमनात्मक प्रणालियों में शाखा का संहिताकरण होता है।<ref>{{Cite book|title=The Oxford Companion to Philosophy|last=Shapiro|first=Stewart|publisher=Oxford University Press|others=Honderich, Ted|year=2005|isbn=9780191532658|edition=2nd|location=Oxford|chapter=Formalism|oclc=62563098}}</ref>
 
हास्केल करी ने गणित को औपचारिक प्रणालियों के विज्ञान के रूप में परिभाषित किया है। <ref name=":4">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=tZHrBQgp1bkC&q=haskell+curry|title=Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics|last=Curry|first=Haskell B.|publisher=Elsevier|year=1951|isbn=9780444533685|pages=56|language=en}}</ref> करी की औपचारिकता शब्द औपचारिकतावादी, खेल औपचारिकतावादी या हिल्बर्ट की औपचारिकता के विपरीत है। करी के लिए, गणितीय औपचारिकता गणित की औपचारिक संरचना के बारे में है, न कि औपचारिक प्रणाली के बारे में है। <ref name=":4" /> स्टीवर्ट शापिरो ने करी की औपचारिकता का वर्णन "ऐतिहासिक थीसिस से प्रारम्भ करते हुए किया है कि जैसे-जैसे गणित की एक शाखा विकसित होती है, यह अपनी कार्यप्रणाली में और अधिक कठोर होती जाती है, जिसका अंतिम परिणाम औपचारिक निगमनात्मक प्रणालियों में शाखा का संहिताकरण होता है। <ref>{{Cite book|title=The Oxford Companion to Philosophy|last=Shapiro|first=Stewart|publisher=Oxford University Press|others=Honderich, Ted|year=2005|isbn=9780191532658|edition=2nd|location=Oxford|chapter=Formalism|oclc=62563098}}</ref>
 




== रीतिवाद की आलोचना ==
== रीतिवाद की आलोचना ==
कर्ट गोडेल ने स्वयंसिद्ध प्रणालियों में स्थिरता के प्रश्न को संबोधित करते हुए औपचारिकता के कमजोर बिंदुओं में से एक का संकेत दिया।
कर्ट गोडेल ने स्वयंसिद्ध प्रणालियों में स्थिरता के प्रश्न को संबोधित करते हुए औपचारिकता के शक्तिहीन बिंदुओं में से एक का संकेत दिया।


बर्ट्रेंड रसेल ने तर्क दिया है कि औपचारिकता यह समझाने में विफल है कि बयानों में संख्याओं के भाषाई अनुप्रयोग का क्या अर्थ है जैसे कि कमरे में तीन पुरुष हैं।<ref>Bertrand Russell [https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.125760/page/n113/mode/2up ''My Philosophical Development''], 1959, ch. X.</ref>
बर्ट्रेंड रसेल ने तर्क दिया है कि औपचारिकता यह समझाने में विफल रहती है कि "कमरे में तीन पुरुष हैं" जैसे बयानों में संख्याओं के भाषाई अनुप्रयोग का क्या अर्थ है। <ref>Bertrand Russell [https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.125760/page/n113/mode/2up ''My Philosophical Development''], 1959, ch. X.</ref>




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Latest revision as of 15:24, 10 August 2023

गणित की धारणा में, औपचारिकता वह दृष्टिकोण है जो मानता है कि गणित और तर्क के कथन को स्थापित प्रकलन नियमों का उपयोग करके श्रृंखला (प्रतीकों के अक्षरांकीय अनुक्रम, सामान्यतः समीकरणों के रूप में) के प्रकलन के परिणामों के बारे में कथन माना जा सकता है। औपचारिकता का एक केंद्रीय विचार यह है कि गणित वास्तविकता के एक सामान्य क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करने वाले प्रस्तावों का एक समूह नहीं है, बल्कि यह एक खेल के समान है, जो लूडो या शतरंज की तुलना में वस्तुओं या गुणों की तात्विकी के प्रति अधिक प्रतिबद्धता नहीं लाता है। [1] औपचारिकता के अनुसार, तर्क और गणित में व्यक्त सत्य संख्याओं, समुच्चयों, या त्रिकोणों या किसी अन्य व्यापक विषय वस्तु के बारे में नहीं हैं - वास्तव में, वे किसी भी चीज़ के बारे में नहीं हैं। बल्कि, गणितीय कथन वाक्यात्मक रूप हैं जिनके आकार और स्थानों का तब तक कोई अर्थ नहीं होता जब तक कि उन्हें व्याख्या (या शब्दार्थ) न दी जाए। गणितीय यथार्थवाद, तर्कवाद, या अंतर्ज्ञानवाद के विपरीत, व्यापक दृष्टिकोणों के कारण औपचारिकता की रूपरेखा कम परिभाषित होती है जिसे औपचारिकतावादी के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।

यथार्थवाद और अंतर्ज्ञानवाद के साथ, औपचारिकता गणित के दर्शन में मुख्य सिद्धांतों में से एक है जो उन्नीसवीं सदी के अंत और बीसवीं सदी की प्रारम्भ में विकसित हुई थी। औपचारिकतावादियों में, डेविड हिल्बर्ट सबसे प्रमुख अधिवक्ता थे। [2]


प्रारंभिक औपचारिकता

प्रारंभिक गणितीय औपचारिकतावादियों ने सामान्य वस्तुओं के एक समस्याग्रस्त क्षेत्र के लिए किसी भी सत्तामूलक प्रतिबद्धता को अवरुद्ध करने, टालने, या (किसी तरह) से बचने का प्रयास किया। [1] जर्मन गणितज्ञ एडुआर्ड हेइन और कार्ल जोहान्स थोमे को गणितीय औपचारिकता का प्रारंभिक समर्थक माना जाता है। [1] हेइन और थोमे की औपचारिकता को अंकगणित की नींव में गोटलॉब फ्रेज की आलोचनाओं में पाया जा सकता है।

एलन वियर के अनुसार, हेन और थोमे की औपचारिकता कि फ्रेज के आक्षेप को "औपचारिकता या खेल औपचारिकतावाद" के रूप में वर्णित किया जा सकता है। [1] औपचारिकतावाद शब्द का दृष्टिकोण है कि गणितीय अभिव्यक्तियाँ प्रतीकों को संदर्भित करती हैं, संख्याओं को नहीं। हेइन ने इस विचार को इस प्रकार व्यक्त किया: जब परिभाषा की बात आती है, तो मैं विशुद्ध रूप से औपचारिक स्थिति लेता हूं, जिसमें मैं कुछ वास्तविक संकेतों को संख्याएँ कहता हूँ, ताकि इन संख्याओं के अस्तित्व पर प्रश्नचिह्न न लगे। [3] थोमे को एक खेल औपचारिकतावादी के रूप में चित्रित किया गया है जिन्होंने दावा किया है कि [एफ] या औपचारिकतावादी, अंकगणित एक खेल है जिसमें संकेत होते हैं और जिन्हें खाली कहा जाता है। इसका अर्थ यह है कि उनके पास संयोजन के कुछ नियमों (खेल के नियमों) के संबंध में उनके व्यवहार द्वारा निर्दिष्ट की गई कोई अन्य सामग्री (गणना खेल में) नहीं है। [4] फ्रेज हेइन और थॉमे की औपचारिकता की तीन आलोचनाएँ प्रदान करता है: "वह [औपचारिकता] गणित के अनुप्रयोग के लिए उत्तरदायी नहीं हो सकता; कि यह औपचारिक सिद्धांत को रूपक सिद्धांत के साथ भ्रमित करता है; [और] कि यह अनंत अनुक्रम की अवधारणा का कोई सुसंगत विवरण नहीं दे सकता। [5] हेन की औपचारिकता के बारे में फ्रेज की आलोचना यह है कि उनकी औपचारिकता अनंत अनुक्रमों का विवरण नहीं दे सकती है। डमेट का तर्क है कि हेन के खाते की तुलना में औपचारिकता के अधिक विकसित खाते यह दावा करके फ्रेज की आपत्तियों से बच सकते हैं कि उनका संबंध ठोस वस्तुओं के स्थान पर सामान्य प्रतीकों से है। [6] फ्रेज ने शतरंज जैसे खेल के साथ औपचारिकता की तुलना पर आपत्ति जताई। [7] फ्रेज का तर्क है कि थोमे की औपचारिकता खेल और सिद्धांत के बीच अंतर करने में विफल रहती है।

हिल्बर्ट की औपचारिकता

डेविड हिल्बर्ट

औपचारिकतावाद का एक प्रमुख व्यक्ति डेविड हिल्बर्ट था,जिनके कार्यक्रम का उद्देश्य संपूर्ण गणित का पूर्ण और सुसंगत स्वयंसिद्धीकरण था। [8] हिल्बर्ट का उद्देश्य गणितीय प्रणालियों की स्थिरता को इस धारणा से दिखाना था कि "परिमित अंकगणित" (सकारात्मक पूर्णांकों के सामान्य अंकगणित का एक उपप्रणाली, जिसे दार्शनिक रूप से निर्विवाद माना जाता है) सुसंगत था (यानी प्रणाली से कोई विरोधाभास नहीं निकाला जा सकता है)।

जिस तरह से डेविड हिल्बर्ट ने यह दिखाने का प्रयास किया कि एक स्वयंसिद्ध प्रणाली सुसंगत थी, उसे एक विशेष भाषा का उपयोग करके औपचारिक रूप दिया गया था। [9] एक स्वयंसिद्ध प्रणाली को औपचारिक रूप देने के लिए, आपको पहले एक ऐसी भाषा चुननी होगी जिसमें आप उस प्रणाली के भीतर संचालन को अभिव्यक्त और निष्पादित कर सकें। इस भाषा में पाँच घटक सम्मिलित होने चाहिए:

  • इसमें x जैसे चर सम्मिलित होने चाहिए, जो किसी संख्या का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।
  • किसी वस्तु के अस्तित्व के प्रतीक जैसे परिमाणक अवश्य होने चाहिए।
  • इसमें समानता सम्मिलित होनी चाहिए।
  • इसमें "यदि और केवल यदि" के लिए ↔ जैसे संयोजक सम्मिलित होने चाहिए।
  • इसमें कुछ निश्चित अपरिभाषित शब्द सम्मिलित होने चाहिए जिन्हें मापदण्ड कहा जाता है। ज्यामिति के लिए, ये अपरिभाषित शब्द एक बिंदु या रेखा की तरह कुछ हो सकते हैं, जिनके लिए हम अभी भी प्रतीकों का चयन करते हैं।

इस भाषा को अपनाकर, हिल्बर्ट ने सोचा कि हम स्वयंसिद्धों और चुनिंदा औपचारिक भाषा के स्थान पर किसी भी स्वयंसिद्ध प्रणाली के भीतर सभी प्रमेयों को सिद्ध कर सकते हैं।

अपने अपूर्णता प्रमेय में गोडेल का निष्कर्ष यह था कि आप शास्त्रीय अंकगणित को सम्मिलित करने के लिए पर्याप्त समृद्ध किसी सुसंगत स्वयंसिद्ध प्रणाली के भीतर स्थिरता सिद्ध नहीं कर सकते। एक ओर, आपको इस स्वयंसिद्ध प्रणाली को औपचारिक बनाने के लिए चुनी गई औपचारिक भाषा का ही उपयोग करना चाहिए; दूसरी ओर, अपने आप में इस भाषा की एकरूपता को सिद्ध करना असंभव है। [9] हिल्बर्ट मूल रूप से गोडेल के काम से निराश थे क्योंकि इसने संख्या सिद्धांत में हर चीज़ को पूरी तरह से औपचारिक बनाने के उनके जीवन के लक्ष्य को ध्वस्त कर दिया था। [10] हालाँकि, गोडेल को यह महसूस नहीं हुआ कि उन्होंने हिल्बर्ट के औपचारिक दृष्टिकोण के बारे में हर बात का खंडन किया है। गोडेल ने अपना काम प्रकाशित करने के बाद, यह स्पष्ट हो गया कि प्रमाण सिद्धांत का अभी भी कुछ उपयोग है, एकमात्र अंतर यह है कि इसका उपयोग सभी संख्या सिद्धांतों की स्थिरता को सिद्ध करने के लिए नहीं किया जा सकता है जैसा कि हिल्बर्ट ने उम्मीद की थी। [10]

हिल्बर्ट प्रारम्भ में एक निगमनवादी थे, [उद्धरण वांछित] लेकिन उन्होंने आंतरिक रूप से सार्थक परिणाम प्राप्त करने के लिए कुछ मेटामैथमैटिकल प्रणाली पर विचार किया और वित्तीय अंकगणित के संबंध में एक यथार्थवादी थे। बाद में, उनकी राय थी कि व्याख्या की परवाह किए बिना, कोई अन्य सार्थक गणित नहीं था।

आगे के घटनाक्रम

रुडोल्फ कार्नाप जैसे अन्य औपचारिकतावादियों ने गणित को औपचारिक प्रणाली की जांच माना। [11]

हास्केल करी ने गणित को औपचारिक प्रणालियों के विज्ञान के रूप में परिभाषित किया है। [12] करी की औपचारिकता शब्द औपचारिकतावादी, खेल औपचारिकतावादी या हिल्बर्ट की औपचारिकता के विपरीत है। करी के लिए, गणितीय औपचारिकता गणित की औपचारिक संरचना के बारे में है, न कि औपचारिक प्रणाली के बारे में है। [12] स्टीवर्ट शापिरो ने करी की औपचारिकता का वर्णन "ऐतिहासिक थीसिस से प्रारम्भ करते हुए किया है कि जैसे-जैसे गणित की एक शाखा विकसित होती है, यह अपनी कार्यप्रणाली में और अधिक कठोर होती जाती है, जिसका अंतिम परिणाम औपचारिक निगमनात्मक प्रणालियों में शाखा का संहिताकरण होता है। [13]


रीतिवाद की आलोचना

कर्ट गोडेल ने स्वयंसिद्ध प्रणालियों में स्थिरता के प्रश्न को संबोधित करते हुए औपचारिकता के शक्तिहीन बिंदुओं में से एक का संकेत दिया।

बर्ट्रेंड रसेल ने तर्क दिया है कि औपचारिकता यह समझाने में विफल रहती है कि "कमरे में तीन पुरुष हैं" जैसे बयानों में संख्याओं के भाषाई अनुप्रयोग का क्या अर्थ है। [14]


यह भी देखें

  • क्यूईडी परियोजना
  • औपचारिक तार्किक प्रणाली
  • औपचारिक गणित

संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 Weir, Alan (2015), "Formalism in the Philosophy of Mathematics", in Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2015 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 2019-05-25
  2. ↑ Simons, Peter (2009). "Formalism". Philosophy of Mathematics (in English). Elsevier. p. 292. ISBN 9780080930589.
  3. ↑ Simons, Peter (2009). Philosophy of Mathematics (in English). Elsevier. p. 293. ISBN 9780080930589.
  4. ↑ Frege, Gottlob (1903). The Foundations of Arithmetic: A Logico-Mathematical Enquiry Into the Concept of Number. Chicago: Northwestern University Press. p. 183.
  5. ↑ Dummett, Michael (1991). Frege: Philosophy of Mathematics (in English). Cambridge: Harvard University Press. p. 252. ISBN 9780674319356.
  6. ↑ Dummett, Michael (1991). Frege: Philosophy of Mathematics (in English). Cambridge: Harvard University Press. p. 253. ISBN 9780674319356.
  7. ↑ Frege, Gottlob; Ebert, Philip A.; Cook, Roy T. (1893). Basic Laws of Arithmetic: Derived using concept-script (in English). Oxford: Oxford University Press (published 2013). pp. § 93. ISBN 9780199281749.
  8. ↑ Zach, Richard (2019), "Hilbert's Program", in Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2019 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 2019-05-25
  9. ↑ 9.0 9.1 Snapper, Ernst (September 1979). "The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism and Formalism" (PDF). Mathematics Magazine. 52 (4): 207–216. doi:10.1080/0025570X.1979.11976784.
  10. ↑ 10.0 10.1 Reid, Constance; Weyl, Hermann (1970). हिल्बर्ट (in English). Springer-Verlag. p. 198. ISBN 9783662286159.
  11. ↑ Carnap, Rudolf (1937). Logical Syntax of Language (in English). Routledge. pp. 325–328. ISBN 9781317830597.
  12. ↑ 12.0 12.1 Curry, Haskell B. (1951). Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics (in English). Elsevier. p. 56. ISBN 9780444533685.
  13. ↑ Shapiro, Stewart (2005). "Formalism". The Oxford Companion to Philosophy. Honderich, Ted (2nd ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 9780191532658. OCLC 62563098.
  14. ↑ Bertrand Russell My Philosophical Development, 1959, ch. X.


बाहरी कड़ियाँ

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