उच्च-क्रम एकवचन मूल्य अपघटन: Difference between revisions

Latest revision as of 15:28, 10 August 2023

बहुरेखीय बीजगणित में, टेंसर का उच्च-क्रम सिंगुलर मूल्य अपघटन (एचओएसवीडी) एक विशेष निर्देशीय टकर विघटन है। इसे एक प्रकार के आव्यूह सिंगुलर मूल्य विघटन के सामान्यीकरण के रूप में भी देखा जा सकता है। यह कंप्यूटर विजन, कंप्यूटर आरेख, यंत्र अधिगम, वैज्ञानिक कंप्यूटिंग, और संकेत प्रसंस्करण में अनुप्रयोगों के साथ उपयोग होता है।

कुछ पहलुओं का पता 1928 में एफ. एल. हिचकॉक से लगाया जा सकता है,^[1] परंतु यह एल. आर. टकर ही थे जिन्होंने 1960 के दशक में तीसरे क्रम के टेंसरों के लिए सामान्य टकर अपघटन विकसित किया था,^[2]^[3]^[4] आगे लिवेन डी लाथौवर एल द्वारा वकालत की गई। डी लाथौवर एट अल।^[5] उनके मल्टीलिनियर एसवीडी कार्य में जो पावर विधि को नियोजित करता है, या वासिलेस्कु और टेरज़ोपोलोस द्वारा समर्थित है जिसने एम-मोड एसवीडी को एक समानांतर कलन विधि विकसित किया है जो आव्यूह एसवीडी को नियोजित करता है।

उच्च क्रम सिंगुलर मूल्य अपघटन एचओएसवीडी शब्द डेलाथौवर के नाम से निर्मित किया गया था, परंतु साहित्य में सामान्यतः एचओएसवीडी के रूप में संदर्भित कलन विधि और टकर या डेलाथौवर को स्पष्टीकरणीय ठहराया गया था, जिसे वासिलेस्कु और टेरज़ोपोलोस द्वारा विकसित किया गया था।^[6]^[7]^[8] के प्रतिस्थानीय और L1-नॉर्म-आधारित विभिन्न प्रकार भी प्रस्तावित किए गए हैं।^[9]^[10]^[11]^[12]

परिभाषा

इस लेख के उद्देश्य के लिए, यह संक्षेपण टेंसर ${\mathcal {A}}$ को मान लिया जाता है कि इसे कुछ बेसिस के संदर्भ में निर्धारित नियोजित समय के साथ दिया गया है, जिसे एक M-वे सरणी भी कहा जाता है, जिसे ${\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\cdots \times \cdots I_{m}\cdots \times I_{M}}$ द्वारा भी दर्शाया जा सकता है, जहां M मोड्स और टेंसर का आदेश है। $\mathbb {C}$ वास्तविक संख्याएँ $\mathbb {R}$ और शुद्ध काल्पनिक संख्याएँ दोनों को सम्मिलित करता है।

यदि ${\mathcal {A}}$ का मानक मोड-m फ्लैटेनिंग ${\mathcal {A}}_{[m]}$ का बेसिस सम्मिलित होता है, जिसमें विशिष्ट बेसिस का एक इकाई आव्यूह ${\bf {U}}m\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times R_{m}}$ होता है, जिसमें विद्यमान ${\mathcal {A}}{[m]}$ के बगल दिए गए विशिष्ट मोड स्थानिक गुणधर्म के आधार वक्र $\mathbf {u} _{j}$ के लिए ज्ञात होता है, जहां 'j' विशेष सबसे बड़े गुणधर्म के विशिष्ट स्तंभ ${\bf {u}}_{j}$ से मेल खाता है। ध्यान दें कि मोड/फैक्टर आव्यूह ${\bf {U}}_{m}$ विशेष मोड 'm' फ्लैटेनिंग के विशिष्ट परिभाषा पर नहीं निर्भर करती है। बहुरेखीय गुणन के गुणों से, हमारे पास है

{\begin{array}{rcl}{\mathcal {A}}&=&{\mathcal {A}}\times ({\bf {I}},{\bf {I}},\ldots ,{\bf {I}})\\&=&{\mathcal {A}}\times ({\bf {U}}_{1}{\bf {U}}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots ,{\bf {U}}_{M}{\bf {U}}_{M}^{H})\\&=&\left({\mathcal {A}}\times ({\bf {U}}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots ,{\bf {U}}_{M}^{H})\right)\times ({\bf {U}}_{1},{\bf {U}}_{2},\ldots ,{\bf {U}}_{M}),\end{array}}

कहाँ

\cdot ^{H}

संयुग्म स्थानान्तरण को दर्शाता है। दूसरी समानता इसलिए है क्योंकि

{\bf {U}}_{m}

'एकात्मक आव्यूह हैं। अब कोर टेंसर को परिभाषित करें

{\mathcal {S}}:={\mathcal {A}}\times ({\bf {U}}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots ,{\bf {U}}_{M}^{H}).

पुनः, एचओएसवीडी^[5]का विघटन

{\mathcal {A}}

है

{\mathcal {A}}={\mathcal {S}}\times ({\bf {U}}_{1},{\bf {U}}_{2},\ldots ,{\bf {U}}_{M}).

उपरोक्त निर्माण से पता चलता है कि प्रत्येक टेंसर में एक एचओएसवीडी होता है।

कॉम्पैक्ट एचओएसवीडी

जैसा कि एक आव्यूह के कॉम्पैक्ट सिंगुलर मूल्य अपघटन के स्थितियों में, एक कॉम्पैक्ट एचओएसवीडी पर विचार करना भी संभव है, जो अनुप्रयोगों में बहुत उपयोगी है।

मान लीजिए कि ${\bf {U}}m\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times R_{m}}$ एक आव्यूह है जिसके स्तंभ इकाईवार होते हैं और जो मानक फैक्टर-m फ्लैटेनिंग ${\mathcal {A}}{[m]}$ के गैर-शून्य गुणधर्म के लिए एक बेसिस सम्मिलित करते हैं। यहां $r_{m}$ विशिष्ट स्तंभ ${\bf {u}}{r_{m}}$ को अभिलिखित किया जाए, जो मानक फैक्टर-m फ्लैटेनिंग ${\mathcal {A}}{[m]}$ के $r_{m}$ वें सबसे बड़े गैर-शून्य गुणधर्म से मिलता है। ${\bf {U}}m$ के स्तंभ फैक्टर-m फ्लैटेनिंग ${\mathcal {A}}{[m]}$ के छवि के लिए एक बेसिस बनाते हैं, इससे हमें निम्नलिखित सम्बन्ध मिलता है:

{\mathcal {A}}_{[m]}={\bf {U}}_{m}{\bf {U}}_{m}^{H}{\mathcal {A}}_{[m]}={\bigl (}{\mathcal {A}}\times _{m}({\bf {U}}_{m}{\bf {U}}_{m}^{H}){\bigr )}_{[m]},

जहां पहली समानता प्रक्षेपण के गुणों के कारण है और अंतिम समानता बहुरेखीय गुणन के गुणों के कारण है। चूँकि फ़्लैटनिंग विशेषणात्मक मानचित्र हैं और उपरोक्त सूत्र सभी के लिए मान्य है

m=1,2,\ldots ,m,\ldots ,M

, हम उससे पहले जैसा पाते हैं

{\begin{array}{rcl}{\mathcal {A}}&=&{\mathcal {A}}\times ({\bf {U}}_{1}{\bf {U}}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots ,{\bf {U}}_{M}{\bf {U}}_{M}^{H})\\&=&\left({\mathcal {A}}\times ({\bf {U}}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots ,{\bf {U}}_{M}^{H})\right)\times ({\bf {U}}_{1},{\bf {U}}_{2},\ldots ,{\bf {U}}_{M})\\&=&{\mathcal {S}}\times ({\bf {U}}_{1},{\bf {U}}_{2},\ldots ,{\bf {U}}_{M}),\end{array}}

जहां कोर टेंसर

{\mathcal {S}}

अब

R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{M}

आकार का है

मल्टिलिनियर रैंक

टेंसर ${\mathcal {A}}$ का मल्टिलिनियर रैंक^[1] रैंक- $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ के रूप में दर्शाया जाता है। मल्टिलिनियर रैंक एक $\mathbb {N} ^{M}$ में एक ट्यूपल है, जहां $R_{m}:=\mathrm {rank} ({\mathcal {A}}{[m]})$ है। सभी ट्यूपल $\mathbb {N} ^{M}$ में मल्टिलिनियर रैंक नहीं होते हैं।^[13] मल्टिलिनियर रैंक $1\leq R_{m}\leq I_{m}$ द्वारा सीमित होते हैं और यह शर्त ${\textstyle R_{m}\leq \prod {i\neq m}R_{i}}$ को पूरा करते हैं।^[13]

कॉम्पैक्ट एचओएसवीडी उस संदर्भ में एक रैंक-प्रकटक विघटन है जिसमें इसके कोर टेंसर के आयाम टेंसर के मल्टिलिनियर रैंक के अंशों के साथ मेल खाते हैं।

व्याख्या

निम्नलिखित ज्यामितीय व्याख्या पूर्ण और कॉम्पैक्ट एचओएसवीडी दोनों के लिए मान्य है। यदि $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ टेंसर की मल्टिलिनियर रैंक ${\mathcal {A}}$ बनें तब यह ${\mathcal {S}}\in {\mathbb {C} }^{R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{M}}$ एक बहुआयामी सरणी है, हम इसे निम्नानुसार विस्तारित कर सकते हैं

{\mathcal {S}}=\sum _{r_{1}=1}^{R_{1}}\sum _{r_{2}=1}^{R_{2}}\cdots \sum _{r_{M}=1}^{R_{M}}s_{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{M}}\mathbf {e} _{r_{1}}\otimes \mathbf {e} _{r_{2}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{r_{M}},

यहाँ

\mathbf {e} _{r_{m}}

वह

r_{m}

का

{\mathbb {C} }^{I_{m}}

वां मानक आधार वेक्टर है।. मल्टिलिनियर गुणन की परिभाषा के अनुसार, यह सत्य होता है कि:

{\mathcal {A}}=\sum _{r_{1}=1}^{R_{1}}\sum _{r_{2}=1}^{R_{2}}\cdots \sum _{r_{M}=1}^{R_{M}}s_{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{M}}\mathbf {u} _{r_{1}}\otimes \mathbf {u} _{r_{2}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {u} _{r_{M}},

,यहाँ

\mathbf {u} {r_{m}}

वे स्तंभ हैं जो

{\bf {U}}m\in {\mathbb {C} }^{I_{m}\times R_{m}}

के हैं। आसानी से सत्यापित किया जा सकता है कि

B={\mathbf {u} {r_{1}}\otimes \mathbf {u} {r_{2}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {u} {r_{M}}}{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{M}}

एक अधार निर्धारित टेंसरों का एक अधार निर्धारित समूह है। इसका मतलब है कि एचओएसवीडी टेंसर

{\mathcal {A}}

को एक विशेष चुने गए अधार निर्धारित अधार

B

के संदर्भ में व्यक्त करने का एक विधि है, जिसमें गुणकों को मल्टिलिनियर सारणी

{\mathcal {S}}

के रूप में दिया जाता है।

गणना

एक टेंसर ${\mathcal {A}}\in {\mathbb {C} }^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{M}}$ है, जिसमें रैंक- $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ है, जहां $\mathbb {C}$ में वास्तविक संख्याएँ $\mathbb {R}$ को एक उपसमूह के रूप में सम्मिलित हैं।

पारंपरिक गणना

मल्टिलिनियर एसडब्ल्यूडी और M-मोड एसडब्ल्यूडी की गणना के लिए 1960 के दशक में एल. आर. टकर ने प्रस्तुत किया था,^[3] जो बाद में एल डी लाथौवर आदि ने समर्थित किया,^[5] और वासिलेस्कु और टेरज़ोपुलस ने भी समर्थित किया।^[8]^[6] टर्म एचओएसडब्ल्यूडी को लिवेन डी लाथौवर ने बनाया था, लेकिन सामान्यतः साहित्य में एचओएसडब्ल्यूडी के लिए उपयोग किया जाने वाला कलन विधि वासिलेस्कु और टेरज़ोपोलोस ने प्रस्तुत किया था,^[6]^[8] जिसे M-मोड एसडब्ल्यूडी के नाम से भी जाना जाता है। यह एक पैरलेल गणना है जो मैट्रिक्स एसडब्ल्यूडी का उपयोग करती है जिससे अधार-उपसर्गी मोड आव्यूहो की गणना की जा सके।

एम-मोड एसवीडी:^[6]^[8]

मोड-m फ्लैटेनिंग ${\mathcal {A}}_{[m]}$ का निर्माण करें। सिंगुलर मूल्य विघटन ${\mathcal {A}}_{[m]}={\bf {U}}_{m}{\bf {\Sigma }}_{m}{\bf {V}}_{m}^{T}$ की गणना करें, और बाएँ सिंगुलर वेक्टर ${\bf {U}}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times R_{m}}$ को स्टोर करें।

इसके बाद मल्टिलिनियर गुणन के द्वारा मध्य टेंसर ${\mathcal {S}}$ की गणना करें: ${\mathcal {S}}={\mathcal {A}}\times _{0}{\bf {U}}_{0}^{H}\times _{1}{\bf {U}}_{1}^{H}\times _{2}{\bf {U}}_{2}^{H}\ldots \times _{m}{\bf {U}}_{m}^{H}\ldots \times _{M}{\bf {U}}_{M}^{H}$

इंटरलेसिंग गणना

जब कुछ या सभी $r_{k}\ll n_{k}$ हों, तो एक रणनीति जिसमें मध्य टेंसर और कारक आव्यूह की गणना को निम्नानुसार सम्मिलित किया गया है,जो निम्नलिखित रूप से होता है^[14]^[15]^[16]

यदि ${\mathcal {A}}^{0}={\mathcal {A}}$ ;
के लिए $m=0,1,2\ldots ,M$ $m=0,1,2\ldots ,M$ निम्नलिखित कार्य करें:
1. मानक मोड-एम फ़्लैटनिंग ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}$ का निर्माण करें ;
2. कॉम्पैक्ट सिंगुलर मूल्य विघटन की गणना करें ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}=U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ , और बाएँ सिंगुलर वैक्टर $U_{m}\in F^{I_{m}\times R_{m}}$ को संग्रहीत करें :
3. यदि ${\mathcal {A}}^{m}=U_{m}^{H}\times _{m}{\mathcal {A}}^{m-1}$ , या, समकक्ष, ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m}=\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ .

इन-प्लेस गणना

एचओएसवीडी की गणना फ़्यूज्ड इन-प्लेस अनुक्रमिक रूप से उच्च क्रम सिंगुलर कलन विधि के माध्यम से प्लेस में गणना कर सकते हैं जिसमें मूल टेंसर को एचओएसवीडी कोर टेंसर से ओवरराइट किया जाता है, जिससे एचओएसवीडी की गणना में मेमोरी का उपयोग बहुत कम हो जाता है।

अनुमान

एप्लिकेशन में, निम्नलिखित जैसे कई समस्याएं होती हैं, जिनमें एक दिए गए टेंसर ${\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{m}\cdots \times I_{M}}$ को एक कम मल्टिलिनियर रैंक वाले टेंसर से अनुमानित करने की सामान्य समस्या होती है। यथार्थरूप से, यदि ${\mathcal {A}}$ का मल्टिलिनियर रैंक $\mathrm {rank-} (R_{1},R_{2},\ldots ,R_{m},\ldots ,R_{M})$ द्वारा दर्शाया जाता है, तो एक दिए गए घटित $\mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{m},\ldots ,{\bar {R}}_{M})$ के लिए ${\mathcal {A}}$ को अनुमानित करने के लिए सबसे अच्छा ${\mathcal {\bar {A}}}$ गणना एक गैर-समतल गैर-विसंक्लिष $\ell _{2}$ -अनुकूलन समस्या होती है।

\min _{{\mathcal {\bar {A}}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{M}}}{\frac {1}{2}}|{\mathcal {A}}-{\mathcal {\bar {A}}}|_{F}^{2}\quad {\text{s.t.}}\quad \mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{M}),

जहां

({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{M})\in \mathbb {N} ^{M}

कम मल्टिलिनियर रैंक है जिसमें

1\leq {\bar {R}}_{m}<R_{m}\leq I_{m}

है, और नॉर्म

|.|_{F}

फ्रोबेनियस नॉर्म है।

इस अनुकूलन समस्या को हल करने का प्रयास करने का एक सरल विचार पारंपरिक या इंटरलेस्ड गणना के चरण 2 में एसवीडी को छोटा करना है। पारंपरिक गणना में चरण 2 को प्रतिस्थापित करके एक पारंपरिक रूप से ट्रंकेशन किया दिया गया एचओएसवीडी प्राप्त किया जाता है

संख्या ${\bar {R}}_{m}$ के लिए एक संक्षेपित SVD ${\mathcal {A}}_{[m]}\approx U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ गणना करें, और शीघ्र चलनेवाले ${\bar {R}}_{m}$ बाएँ सिंगुलर वेक्टर $U_{m}\in F^{I_{m}\times {\bar {R}}_{m}}$ को संग्रहीत करें; जबकि एक क्रमिक रूप से ट्रंकेशन गई एचओएसवीडी उन्हें अंतर्विष्ट गणना के स्टेप 2 में निम्नलिखित रूप से प्राप्त की जाती है:
गणना करें ${\bar {R}}_{m}$ के लिए एक संक्षेपित रैंक SVD ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}\approx U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ , और ऊपरी ${\bar {R}}_{m}$ बाएँ सिंगुलर वेक्टर $U_{m}\in F^{I_{m}\times {\bar {R}}_{m}}$ को संग्रहीत करें। सामान्यतः, ट्रंकेशन का परिणाम एक सर्वोत्तम समान्तरिक रैंक अनुकूलन समस्या के लिए एक आदर्श समाधान नहीं होता है। यद्यपि, परंपरिक रूप से और अंतर्विष्ट किए गए कटाई गई एचओएसवीडी दोनों ही क्वासी-आदर्श समाधान प्रदान करते हैं:^[14]^[16]^[7]^[15]^[17] यदि ${\mathcal {\bar {A}}}_{t}$ को पारंपरिक या क्रमिक रूप से ट्रंकेशन की गई एचओएसवीडी और ${\mathcal {\bar {A}}}^{*}$ को सर्वोत्तम समान्तरिक रैंक अनुकूलन समस्या के लिए आदर्श समाधान दिखाता है, तो $|{\mathcal {A}}-{\mathcal {\bar {A}}}_{t}|_{F}\leq {\sqrt {M}}|{\mathcal {A}}-{\mathcal {\bar {A}}}^{*}|_{F};$ व्यावहारिक रूप से इसका अर्थ है कि यदि एक छोटी त्रुटि वाले आदर्श समाधान है, तो बहुत सारे उद्देश्यों के लिए ट्रंकेशन गई एचओएसवीडी भी एक पर्याप्त अच्छा समाधान देगी।

अनुप्रयोग

एचओएसवीडी का सबसे सामान्य रूप से उपयोग बहुदिशीय सारणी से संबंधित महत्वपूर्ण जानकारी को निकालने में किया जाता है।

2000 के प्रारंभिक दशक से प्रारंभ करके, वासिलेस्कू ने कारण संबंधी प्रश्नों का समाधान करने के लिए डेटा विश्लेषण, पहचान और संश्लेषण समस्याओं को बहुदिशीय टेंसर समस्याओं के रूप में फिर से तैयार किया। गति पहचान के लिए ह्यूमन मोशन सिग्नेचर के संदर्भ में, डेटा निर्माण के कारण कारकों के संदर्भ में एक छवि को विघटित और प्रस्तुत करके टेंसर ढांचे की शक्ति का प्रदर्शन किया गया था।^[18] जैसे, चेहरे की पहचान—टेंसरफेसेस^[19]^[20] और कंप्यूटर ग्राफ़िक्स—टेंसर टेक्सचर।^[21]

एचओएसवीडी को सिग्नल प्रोसेसिंग और बड़े डेटा, जैसे जीनोमिक सिग्नल प्रोसेसिंग में सफलतापूर्वक लागू किया गया है।^[22]^[23]^[24] इन अनुप्रयोगों ने उच्च-क्रम वाले जीएसवीडी को भी प्रेरित किया।^[25] और एक टेंसर जीएसवीडी।^[26]रोग निगरानी में जटिल डेटा स्ट्रीम से वास्तविक समय में घटना का पता लगाने के लिए एचओएसवीडी और एसडब्ल्यूडी का संयोजन भी लागू किया गया है।^[27]

इसका उपयोग टेंसर उत्पाद मॉडल परिवर्तन-आधारित नियंत्रक डिज़ाइन में भी किया जाता है।^[28]^[29] एचओएसवीडी की अवधारणा को टीपी मॉडल परिवर्तन के माध्यम से बरनी और m द्वारा कार्यों में ले जाया गया था।^[28]^[29]

इस विस्तार से टेंसर प्रोडक्ट फंक्शन्स और लीनियर पैरामीटर वैरिंग सिस्टम मॉडलों के आधार पर एचओएसवीडी आधारित कैनोनिकल रूप की परिभाषा का उदय हुआ। इससे अवकलन परिचालन सिद्धांत आधारित नियंत्रण अनुकूलन सिद्धांत का विकास हुआ।

एचओएसवीडी को बहु-दृश्य डेटा विश्लेषण पर लागू करने का प्रस्ताव दिया गया था^[30] और जीन अभिव्यक्ति से सिलिको दवा की खोज में इसे सफलतापूर्वक लागू किया गया।^[31]

सुदृढ़ L1-मानक संस्करण

L1-टकर टकर अपघटन का L1-मानक-आधारित, सुदृढ़ सांख्यिकी संस्करण है।^[10]^[11]L1-एचओएसवीडी, L1-टकर के समाधान के लिए एचओएसवीडी के समान है।^[10]^[12]

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 {{Short description|Tensor decomposition}}
-[[बहुरेखीय बीजगणित]] में, एक [[ टेन्सर ]] का उच्च-क्रम एकवचन मूल्य अपघटन (HOSVD) एक विशिष्ट ऑर्थोगोनल [[टकर अपघटन]] है। इसे मैट्रिक्स एकवचन मूल्य अपघटन के एक प्रकार के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है। इसमें [[कंप्यूटर दृष्टि]], [[ कंप्यूटर चित्रलेख ]], [[ यंत्र अधिगम ]], [[वैज्ञानिक कंप्यूटिंग]] और [[ संकेत आगे बढ़ाना ]] में अनुप्रयोग हैं। कुछ पहलुओं का पता 1928 में एफ. एल. हिचकॉक से लगाया जा सकता है,<ref name=":0">{{Cite journal|last=Hitchcock|first=Frank L|date=1928-04-01|title=एम-वे ऐरे या टेन्सर के एकाधिक अपरिवर्तनीय और सामान्यीकृत रैंक|journal=Journal of Mathematics and Physics|language=en|volume=7|issue=1–4|pages=39–79|doi=10.1002/sapm19287139|issn=1467-9590}}</ref> लेकिन यह एल. आर. टकर ही थे जिन्होंने 1960 के दशक में तीसरे क्रम के टेंसरों के लिए सामान्य टकर अपघटन विकसित किया था,<ref name=":1">{{Cite journal|last=Tucker|first=Ledyard R.|date=1966-09-01|title=तीन-मोड कारक विश्लेषण पर कुछ गणितीय नोट्स|journal=Psychometrika|language=en|volume=31|issue=3|pages=279–311|doi=10.1007/bf02289464|pmid=5221127|s2cid=44301099|issn=0033-3123}}</ref><ref name="Tucker1963">{{Cite journal|last=Tucker|first=L. R.|date=1963|title=परिवर्तन की माप के लिए तीन-तरफा मैट्रिक्स के कारक विश्लेषण के निहितार्थ|journal=In C. W. Harris (Ed.), Problems in Measuring Change. Madison, Wis.: Univ. Wis. Press.|pages=122–137}}</ref><ref name="Tucker1964">{{Cite journal|last=Tucker|first=L. R.|date=1964|title=त्रि-आयामी मैट्रिक्स तक कारक विश्लेषण का विस्तार|journal=In N. Frederiksen and H. Gulliksen (Eds.), Contributions to Mathematical Psychology. New York: Holt, Rinehart and Winston|pages=109–127}}</ref> आगे लिवेन डी लाथौवर|एल द्वारा वकालत की गई। डी लाथौवर एट अल।<ref name=":2">{{Cite journal|last1=De Lathauwer|first1=L.|last2=De Moor|first2=B.|last3=Vandewalle|first3=J.|date=2000-01-01|title=एक बहुरेखीय एकवचन मूल्य अपघटन|journal=SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications|volume=21|issue=4|pages=1253–1278|doi=10.1137/s0895479896305696|issn=0895-4798|citeseerx=10.1.1.102.9135}}</ref> उनके मल्टीलिनियर एसवीडी कार्य में जो पावर विधि को नियोजित करता है, या वासिलेस्कु और टेरज़ोपोलोस द्वारा समर्थित है जिसने एम-मोड एसवीडी को एक समानांतर एल्गोरिदम विकसित किया है जो मैट्रिक्स एसवीडी को नियोजित करता है।
+[[बहुरेखीय बीजगणित]] में, टेंसर का '''उच्च-क्रम सिंगुलर मूल्य अपघटन''' (एचओएसवीडी) एक विशेष निर्देशीय टकर विघटन है। इसे एक प्रकार के  आव्यूह सिंगुलर मूल्य विघटन के सामान्यीकरण के रूप में भी देखा जा सकता है। यह कंप्यूटर विजन, कंप्यूटर आरेख, [[ यंत्र अधिगम |यंत्र अधिगम]], [[वैज्ञानिक कंप्यूटिंग]], और [[ संकेत आगे बढ़ाना |संकेत]] प्रसंस्करण में अनुप्रयोगों के साथ उपयोग होता है।
-उच्च क्रम एकवचन मूल्य अपघटन (HOSVD) शब्द डेलाथौवर के नाम से गढ़ा गया था, लेकिन साहित्य में आमतौर पर HOSVD के रूप में संदर्भित एल्गोरिथ्म और टकर या डेलाथौवर को जिम्मेदार ठहराया गया था, जिसे वासिलेस्कु और टेरज़ोपोलोस द्वारा विकसित किया गया था।<ref name=":Vasilescu2002">M. A. O. Vasilescu, D. Terzopoulos (2002) with the name M-mode SVD.  The M-mode SVD is suitable for parallel computation and employs the matrix SVD  [http://www.cs.toronto.edu/~maov/tensorfaces/Springer%20ECCV%202002_files/eccv02proceeding_23500447.pdf "Multilinear Analysis of Image Ensembles: TensorFaces"],  Proc. 7th European Conference on Computer Vision (ECCV'02), Copenhagen, Denmark, May, 2002</ref><ref name="Vasilescu2003">M. A. O. Vasilescu, D. Terzopoulos (2003) [http://www.cs.toronto.edu/~maov/tensorfaces/cvpr03.pdf "Multilinear Subspace Analysis of Image Ensembles"], "Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR’03), Madison, WI, June, 2003"</ref><ref name=":Vasilescu2005">M. A. O. Vasilescu, D. Terzopoulos (2005) [http://www.media.mit.edu/~maov/mica/mica05.pdf "Multilinear Independent Component Analysis"], "Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR’05), San Diego, CA, June 2005, vol.1, 547–553."</ref> [[मजबूत आँकड़े]] और HOSVD के Lp_space|L1-मानदंड-आधारित संस्करण भी प्रस्तावित किए गए हैं।<ref name="robustHOSVD">{{Cite journal|last1=Godfarb|first1=Donald|last2=Zhiwei|first2=Qin|title=Robust low-rank tensor recovery: Models and algorithms|
+कुछ पहलुओं का पता 1928 में एफ. एल. हिचकॉक से लगाया जा सकता है,<ref name=":0">{{Cite journal|last=Hitchcock|first=Frank L|date=1928-04-01|title=एम-वे ऐरे या टेन्सर के एकाधिक अपरिवर्तनीय और सामान्यीकृत रैंक|journal=Journal of Mathematics and Physics|language=en|volume=7|issue=1–4|pages=39–79|doi=10.1002/sapm19287139|issn=1467-9590}}</ref> परंतु यह एल. आर. टकर ही थे जिन्होंने 1960 के दशक में तीसरे क्रम के टेंसरों के लिए सामान्य टकर अपघटन विकसित किया था,<ref name=":1">{{Cite journal|last=Tucker|first=Ledyard R.|date=1966-09-01|title=तीन-मोड कारक विश्लेषण पर कुछ गणितीय नोट्स|journal=Psychometrika|language=en|volume=31|issue=3|pages=279–311|doi=10.1007/bf02289464|pmid=5221127|s2cid=44301099|issn=0033-3123}}</ref><ref name="Tucker1963">{{Cite journal|last=Tucker|first=L. R.|date=1963|title=परिवर्तन की माप के लिए तीन-तरफा मैट्रिक्स के कारक विश्लेषण के निहितार्थ|journal=In C. W. Harris (Ed.), Problems in Measuring Change. Madison, Wis.: Univ. Wis. Press.|pages=122–137}}</ref><ref name="Tucker1964">{{Cite journal|last=Tucker|first=L. R.|date=1964|title=त्रि-आयामी मैट्रिक्स तक कारक विश्लेषण का विस्तार|journal=In N. Frederiksen and H. Gulliksen (Eds.), Contributions to Mathematical Psychology. New York: Holt, Rinehart and Winston|pages=109–127}}</ref> आगे लिवेन डी लाथौवर एल द्वारा वकालत की गई। डी लाथौवर एट अल।<ref name=":2">{{Cite journal|last1=De Lathauwer|first1=L.|last2=De Moor|first2=B.|last3=Vandewalle|first3=J.|date=2000-01-01|title=एक बहुरेखीय एकवचन मूल्य अपघटन|journal=SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications|volume=21|issue=4|pages=1253–1278|doi=10.1137/s0895479896305696|issn=0895-4798|citeseerx=10.1.1.102.9135}}</ref> उनके मल्टीलिनियर एसवीडी कार्य में जो पावर विधि को नियोजित करता है, या वासिलेस्कु और टेरज़ोपोलोस द्वारा समर्थित है जिसने एम-मोड एसवीडी को एक समानांतर कलन विधि विकसित किया है जो आव्यूह एसवीडी को नियोजित करता है।
+उच्च क्रम सिंगुलर मूल्य अपघटन एचओएसवीडी शब्द डेलाथौवर के नाम से निर्मित किया गया था, परंतु साहित्य में सामान्यतः एचओएसवीडी के रूप में संदर्भित कलन विधि और टकर या डेलाथौवर को स्पष्टीकरणीय ठहराया गया था, जिसे वासिलेस्कु और टेरज़ोपोलोस द्वारा विकसित किया गया था।<ref name=":Vasilescu2002">M. A. O. Vasilescu, D. Terzopoulos (2002) with the name M-mode SVD.  The M-mode SVD is suitable for parallel computation and employs the matrix SVD  [http://www.cs.toronto.edu/~maov/tensorfaces/Springer%20ECCV%202002_files/eccv02proceeding_23500447.pdf "Multilinear Analysis of Image Ensembles: TensorFaces"],  Proc. 7th European Conference on Computer Vision (ECCV'02), Copenhagen, Denmark, May, 2002</ref><ref name="Vasilescu2003">M. A. O. Vasilescu, D. Terzopoulos (2003) [http://www.cs.toronto.edu/~maov/tensorfaces/cvpr03.pdf "Multilinear Subspace Analysis of Image Ensembles"], "Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR’03), Madison, WI, June, 2003"</ref><ref name=":Vasilescu2005">M. A. O. Vasilescu, D. Terzopoulos (2005) [http://www.media.mit.edu/~maov/mica/mica05.pdf "Multilinear Independent Component Analysis"], "Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR’05), San Diego, CA, June 2005, vol.1, 547–553."</ref> के प्रतिस्थानीय और L1-नॉर्म-आधारित विभिन्न प्रकार भी प्रस्तावित किए गए हैं।<ref name="robustHOSVD">{{Cite journal|last1=Godfarb|first1=Donald|last2=Zhiwei|first2=Qin|title=Robust low-rank tensor recovery: Models and algorithms|
    journal=SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications|volume=35|number=1|pages=225–253|date=2014|doi=10.1137/130905010|arxiv=1311.6182|s2cid=1051205}}</ref><ref name="l1tucker">{{cite journal|last1=Chachlakis|first1=Dimitris G.|last2=Prater-Bennette|first2=Ashley|last3=Markopoulos|first3=Panos P.|title=L1-मानदंड टकर टेंसर अपघटन|journal=IEEE Access|date=22 November 2019|volume=7|pages=178454–178465|doi=10.1109/ACCESS.2019.2955134|doi-access=free}}</ref><ref name="l1tucker3">{{cite journal|last1=Markopoulos|first1=Panos P.|last2=Chachlakis|first2=Dimitris G.|last3=Papalexakis|first3=Evangelos|title=The Exact Solution to Rank-1 L1-Norm TUCKER2 Decomposition|journal=IEEE Signal Processing Letters|volume=25|issue=4|date=April 2018|pages=511–515|doi=10.1109/LSP.2018.2790901|arxiv=1710.11306|bibcode=2018ISPL...25..511M|s2cid=3693326}}</ref><ref name="l1tucker2">{{cite book|last1=Markopoulos|first1=Panos P.|last2=Chachlakis|first2=Dimitris G.|last3=Prater-Bennette|first3=Ashley|title=2018 IEEE Global Conference on Signal and Information Processing (GlobalSIP) |chapter=L1-Norm Higher-Order Singular-Value Decomposition |date=21 February 2019|pages=1353–1357|doi=10.1109/GlobalSIP.2018.8646385|isbn=978-1-7281-1295-4|s2cid=67874182}}</ref>
 == परिभाषा ==
-इस आलेख के प्रयोजन के लिए, अमूर्त टेंसर <math>\mathcal{A}</math> यह मान लिया गया है कि किसी आधार के संबंध में निर्देशांक में Tensor#As बहुआयामी सारणी|एम-वे सारणी के रूप में दिया गया है, जिसे इसके द्वारा भी दर्शाया जाता है <math>\mathcal{A}\in\mathbb{C}^{I_1 \times I_2 \cdots \times \cdots I_m \cdots\times I_M}</math>, जहां एम मोड की संख्या और टेंसर का क्रम है। <math>\mathbb{C}</math> सम्मिश्र संख्याएँ हैं और इसमें दोनों वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं <math>\mathbb{R}</math> और शुद्ध काल्पनिक संख्याएँ।
+इस लेख के उद्देश्य के लिए, यह संक्षेपण टेंसर <math>\mathcal{A}</math> को मान लिया जाता है कि इसे कुछ बेसिस के संदर्भ में निर्धारित नियोजित समय के साथ दिया गया है, जिसे एक [[टेंसर#के रूप में बहुमितिविधी ऍरे|M-वे सरणी]] भी कहा जाता है, जिसे <math>\mathcal{A}\in\mathbb{C}^{I_1 \times I_2 \cdots \times \cdots I_m \cdots\times I_M}</math> द्वारा भी दर्शाया जा सकता है, जहां ''M'' मोड्स और टेंसर का आदेश है। <math>\mathbb{C}</math> वास्तविक संख्याएँ <math>\mathbb{R}</math> और शुद्ध काल्पनिक संख्याएँ दोनों को सम्मिलित करता है।
-होने देना <math>{\bf U}_m \in \mathbb{C}^{I_m \times R_m}</math>एक [[एकात्मक मैट्रिक्स]] बनें जिसमें टेन्सर रीशेपिंग के बाएँ एकवचन वैक्टर का आधार हो | मानक मोड-एम फ़्लैटनिंग <math>\mathcal{A}_{[m]}</math> का <math>\mathcal{A}</math> जैसे कि jth कॉलम <math>\mathbf{u}_j</math> का <math>{\bf U}_m</math> के jवें सबसे बड़े एकवचन मान से मेल खाता है <math>\mathcal{A}_{[m]}</math>. ध्यान दें कि मोड/कारक मैट्रिक्स <math>{\bf U}_m</math> मोड एम फ़्लैटनिंग की विशिष्ट परिभाषा पर विशेष पर निर्भर नहीं करता है। [[बहुरेखीय गुणन]] के गुणों से, हमारे पास है<math display="block">\begin{array}{rcl}
+यदि <math>\mathcal{A}</math> का [[टेंसर रीशेपिंग|मानक मोड-''m'' फ्लैटेनिंग]] <math>\mathcal{A}_{[m]}</math> का बेसिस सम्मिलित होता है, जिसमें विशिष्ट बेसिस का एक इकाई आव्यूह <math>{\bf U}m \in \mathbb{C}^{I_m \times R_m}</math> होता है, जिसमें विद्यमान <math>\mathcal{A}{[m]}</math> के बगल दिए गए विशिष्ट मोड स्थानिक गुणधर्म के आधार वक्र <math>\mathbf{u}_j</math> के लिए ज्ञात होता है, जहां 'j' विशेष सबसे बड़े गुणधर्म के विशिष्ट स्तंभ <math>{\bf u}_j</math> से मेल खाता है। ध्यान दें कि '''मोड/फैक्टर आव्यूह''' <math>{\bf U}_m</math> विशेष मोड 'm' फ्लैटेनिंग के विशिष्ट परिभाषा पर नहीं निर्भर करती है। [[बहुरेखीय गुणन]] के गुणों से, हमारे पास है<math display="block">\begin{array}{rcl}
 \mathcal{A}
 &=& \mathcal{A}\times ({\bf I}, {\bf I}, \ldots, {\bf I})  \\
 &=& \mathcal{A} \times ({\bf U}_1 {\bf U}_1^H, {\bf U}_2 {\bf U}_2^H, \ldots, {\bf U}_M {\bf U}_M^H) \\
 &=&  \left(\mathcal{A} \times ({\bf U}_1^H, {\bf U}_2^H, \ldots, {\bf U}_M^H) \right) \times ({\bf U}_1, {\bf U}_2, \ldots, {\bf U}_M),
-\end{array}</math>कहाँ <math>\cdot^H</math> संयुग्म स्थानान्तरण को दर्शाता है। दूसरी समानता इसलिए है क्योंकि <math>{\bf U}_m</math>'एकात्मक आव्यूह हैं। अब कोर टेंसर को परिभाषित करें<math display="block">\mathcal{S} := \mathcal{A} \times ({\bf U}_1^H, {\bf U}_2^H, \ldots, {\bf U}_M^H).</math>फिर, HOSVD<ref name=":2" />का <math>\mathcal{A}</math> विघटन है<math display="block">\mathcal{A} = \mathcal{S}\times ({\bf U}_1, {\bf U}_2, \ldots, {\bf U}_M).</math> उपरोक्त निर्माण से पता चलता है कि प्रत्येक टेंसर में एक HOSVD होता है।
+\end{array}</math>कहाँ <math>\cdot^H</math> संयुग्म स्थानान्तरण को दर्शाता है। दूसरी समानता इसलिए है क्योंकि <math>{\bf U}_m</math>'एकात्मक आव्यूह हैं। अब कोर टेंसर को परिभाषित करें<math display="block">\mathcal{S} := \mathcal{A} \times ({\bf U}_1^H, {\bf U}_2^H, \ldots, {\bf U}_M^H).</math>पुनः, एचओएसवीडी<ref name=":2" />का विघटन <math>\mathcal{A}</math>  है<math display="block">\mathcal{A} = \mathcal{S}\times ({\bf U}_1, {\bf U}_2, \ldots, {\bf U}_M).</math> उपरोक्त निर्माण से पता चलता है कि प्रत्येक टेंसर में एक एचओएसवीडी होता है।
+== कॉम्पैक्ट एचओएसवीडी ==
+जैसा कि एक आव्यूह के कॉम्पैक्ट सिंगुलर मूल्य अपघटन के स्थितियों में, एक कॉम्पैक्ट एचओएसवीडी पर विचार करना भी संभव है, जो अनुप्रयोगों में बहुत उपयोगी है।
-== कॉम्पैक्ट HOSVD ==
+मान लीजिए कि <math>{\bf U}m\in \mathbb{C}^{I_m\times R_m}</math> एक आव्यूह है जिसके स्तंभ इकाईवार होते हैं और जो मानक फैक्टर-m फ्लैटेनिंग <math>\mathcal{A}{[m]}</math> के गैर-शून्य गुणधर्म के लिए एक बेसिस सम्मिलित करते हैं। यहां <math>r_m</math> विशिष्ट स्तंभ <math>{\bf u}{r_m}</math> को अभिलिखित किया जाए, जो मानक फैक्टर-m फ्लैटेनिंग <math>\mathcal{A}{[m]}</math> के <math>r_m</math>वें सबसे बड़े गैर-शून्य गुणधर्म से मिलता है। <math>{\bf U}m</math> के स्तंभ फैक्टर-m फ्लैटेनिंग <math>\mathcal{A}{[m]}</math> के छवि के लिए एक बेसिस बनाते हैं, इससे हमें निम्नलिखित सम्बन्ध मिलता है:<math display="block">\mathcal{A}_{[m]} = {\bf U}_m {\bf U}_m^H \mathcal{A}_{[m]} = \bigl( \mathcal{A} \times_m ({\bf U}_m {\bf U}_m^H)  \bigr)_{[m]},</math>जहां पहली समानता [[प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित)|प्रक्षेपण]] के गुणों के कारण है और अंतिम समानता बहुरेखीय गुणन के गुणों के कारण है। चूँकि फ़्लैटनिंग विशेषणात्मक मानचित्र हैं और उपरोक्त सूत्र सभी के लिए मान्य है <math>m=1,2,\ldots,m,\ldots,M</math>, हम उससे पहले जैसा पाते हैं<math display="block">\begin{array}{rcl}
-जैसा कि एक मैट्रिक्स के कॉम्पैक्ट एकवचन मूल्य अपघटन के मामले में, एक कॉम्पैक्ट HOSVD पर विचार करना भी संभव है, जो अनुप्रयोगों में बहुत उपयोगी है।
-ये मान लीजिए <math>{\bf U}_m \in \mathbb{C}^{I_m \times R_m}</math> एकात्मक स्तंभों वाला एक मैट्रिक्स है जिसमें मानक कारक-एम फ़्लैटनिंग के गैर-शून्य एकवचन मानों के अनुरूप बाएं एकवचन वैक्टर का आधार होता है <math>\mathcal{A}_{[m]}</math> का <math>\mathcal{A}</math>. के कॉलम दें <math>{\bf U}_m</math> इस प्रकार क्रमबद्ध किया जाए कि <math>r_m</math> वां स्तंभ <math>{\bf u}_{r_m}</math> का <math>{\bf U}_m</math> से मेल खाता है<math>r_m</math>का सबसे बड़ा गैर शून्य एकवचन मान <math>\mathcal{A}_{[m]}</math>. के कॉलम के बाद से <math>{\bf U}_m</math> की छवि के लिए एक आधार तैयार करें <math>\mathcal{A}_{[m]}</math>, अपने पास<math display="block">\mathcal{A}_{[m]} = {\bf U}_m {\bf U}_m^H \mathcal{A}_{[m]} = \bigl( \mathcal{A} \times_m ({\bf U}_m {\bf U}_m^H)  \bigr)_{[m]},</math>जहां पहली समानता [[प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित)]] (हर्मिटियन आंतरिक उत्पाद में) के गुणों के कारण है और अंतिम समानता बहुरेखीय गुणन के गुणों के कारण है। चूँकि फ़्लैटनिंग विशेषणात्मक मानचित्र हैं और उपरोक्त सूत्र सभी के लिए मान्य है <math>m=1,2,\ldots,m,\ldots,M</math>, हम उससे पहले जैसा पाते हैं<math display="block">\begin{array}{rcl}
 \mathcal{A}
 &=&  \mathcal{A} \times ({\bf U}_1 {\bf U}_1^H, {\bf U}_2 {\bf U}_2^H, \ldots, {\bf U}_M {\bf U}_M^H)\\
 &=& \left(\mathcal{A} \times  ({\bf U}_1^H, {\bf U}_2^H, \ldots, {\bf U}_M^H)\right) \times ({\bf U}_1, {\bf U}_2, \ldots, {\bf U}_M) \\
 &=&  \mathcal{S} \times ({\bf U}_1, {\bf U}_2, \ldots, {\bf U}_M),
-\end{array}</math>जहां कोर टेंसर <math>\mathcal{S}</math> अब आकार का है <math>R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_M</math>.
+\end{array}</math>जहां कोर टेंसर <math>\mathcal{S}</math> अब  <math>R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_M</math>आकार का है
+== मल्टिलिनियर रैंक ==
+टेंसर <math>\mathcal{A}</math> का '''मल्टिलिनियर रैंक'''<ref name=":0" /> रैंक-<math>(R_1, R_2, \ldots, R_M) </math> के रूप में दर्शाया जाता है। मल्टिलिनियर रैंक एक <math>\mathbb{N}^M</math> में एक ट्यूपल है, जहां <math>R_m := \mathrm{rank}( \mathcal{A}{[m]} )</math> है। सभी ट्यूपल <math>\mathbb{N}^M</math> में मल्टिलिनियर रैंक नहीं होते हैं।<ref name=":3">{{Cite journal|last1=Carlini|first1=Enrico|last2=Kleppe|first2=Johannes|title=Ranks derived from multilinear maps|journal=Journal of Pure and Applied Algebra|volume=215|issue=8|pages=1999–2004|doi=10.1016/j.jpaa.2010.11.010|year=2011|doi-access=free}}</ref> मल्टिलिनियर रैंक <math>1 \le R_m \le I_m</math> द्वारा सीमित होते हैं और यह शर्त <math display="inline">R_m \le \prod{i \ne m} R_i</math> को पूरा करते हैं।<ref name=":3" />
+कॉम्पैक्ट एचओएसवीडी उस संदर्भ में एक रैंक-प्रकटक विघटन है जिसमें इसके कोर टेंसर के आयाम टेंसर के मल्टिलिनियर रैंक के अंशों के साथ मेल खाते हैं।
-== बहुरेखीय रैंक ==
-बहुरेखीय रैंक<ref name=":0" />का <math>\mathcal{A}</math> रैंक से दर्शाया जाता है-<math>(R_1, R_2, \ldots, R_M) </math>. मल्टीलिनियर रैंक एक टपल है <math>\mathbb{N}^M</math> कहाँ <math>R_m := \mathrm{rank}( \mathcal{A}_{[m]} )</math>. सभी टुपल्स अंदर नहीं हैं <math>\mathbb{N}^M</math> बहुरेखीय रैंक हैं।<ref name=":3">{{Cite journal|last1=Carlini|first1=Enrico|last2=Kleppe|first2=Johannes|title=बहुरेखीय मानचित्रों से प्राप्त रैंक|journal=Journal of Pure and Applied Algebra|volume=215|issue=8|pages=1999–2004|doi=10.1016/j.jpaa.2010.11.010|year=2011|doi-access=free}}</ref> बहुरेखीय रैंकों से बंधे हैं <math>1 \le R_m \le I_m</math> और यह बाधा को संतुष्ट करता है <math display="inline">R_m \le \prod_{i \ne m} R_i</math> अवश्य होल्ड करें।<ref name=":3" />
-कॉम्पैक्ट HOSVD इस अर्थ में एक रैंक-खुलासा विघटन है कि इसके कोर टेंसर के आयाम टेंसर के मल्टीलाइनर रैंक के घटकों के अनुरूप हैं।
 == व्याख्या ==
-निम्नलिखित ज्यामितीय व्याख्या पूर्ण और कॉम्पैक्ट HOSVD दोनों के लिए मान्य है। होने देना <math>(R_1, R_2, \ldots, R_M)</math> टेंसर की बहुरेखीय रैंक बनें <math>\mathcal{A}</math>. तब से <math>\mathcal{S} \in {\mathbb C}^{R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_M}</math> एक बहुआयामी सरणी है, हम इसे निम्नानुसार विस्तारित कर सकते हैं<math display="block">\mathcal{S} = \sum_{r_1=1}^{R_1} \sum_{r_2=1}^{R_2} \cdots \sum_{r_M=1}^{R_M} s_{r_1,r_2,\ldots,r_M} \mathbf{e}_{r_1} \otimes \mathbf{e}_{r_2} \otimes \cdots \otimes \mathbf{e}_{r_M},</math>कहाँ <math>\mathbf{e}_{r_m}</math> है <math>r_m</math>का मानक आधार वेक्टर <math>{\mathbb C}^{I_m}</math>. बहुरेखीय गुणन की परिभाषा के अनुसार, यह ऐसा मानता है<math display="block">\mathcal{A} = \sum_{r_1=1}^{R_1} \sum_{r_2=1}^{R_2} \cdots \sum_{r_M=1}^{R_M} s_{r_1,r_2,\ldots,r_M}
+निम्नलिखित ज्यामितीय व्याख्या पूर्ण और कॉम्पैक्ट एचओएसवीडी दोनों के लिए मान्य है। यदि <math>(R_1, R_2, \ldots, R_M)</math> टेंसर की मल्टिलिनियर रैंक <math>\mathcal{A}</math> बनें तब यह <math>\mathcal{S} \in {\mathbb C}^{R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_M}</math> एक बहुआयामी सरणी है, हम इसे निम्नानुसार विस्तारित कर सकते हैं<math display="block">\mathcal{S} = \sum_{r_1=1}^{R_1} \sum_{r_2=1}^{R_2} \cdots \sum_{r_M=1}^{R_M} s_{r_1,r_2,\ldots,r_M} \mathbf{e}_{r_1} \otimes \mathbf{e}_{r_2} \otimes \cdots \otimes \mathbf{e}_{r_M},</math>यहाँ <math>\mathbf{e}_{r_m}</math> वह <math>r_m</math>का  <math>{\mathbb C}^{I_m}</math>वां मानक आधार वेक्टर है।. मल्टिलिनियर गुणन की परिभाषा के अनुसार, यह सत्य होता है कि:<math display="block">\mathcal{A} = \sum_{r_1=1}^{R_1} \sum_{r_2=1}^{R_2} \cdots \sum_{r_M=1}^{R_M} s_{r_1,r_2,\ldots,r_M}
-\mathbf{u}_{r_1} \otimes \mathbf{u}_{r_2} \otimes \cdots \otimes \mathbf{u}_{r_M},</math>जहां <math>\mathbf{u}_{r_m}</math> के कॉलम हैं <math>{\bf U}_m \in {\mathbb C}^{I_m \times R_m}</math>. इसे सत्यापित करना आसान है <math>B = \{ \mathbf{u}_{r_1} \otimes \mathbf{u}_{r_2} \otimes \cdots \otimes \mathbf{u}_{r_M} \}_{r_1,r_2,\ldots,r_M}</math> टेंसरों का एक ऑर्थोनॉर्मल सेट है। इसका मतलब यह है कि HOSVD की व्याख्या टेंसर को व्यक्त करने के एक तरीके के रूप में की जा सकती है <math>\mathcal{A}</math> विशेष रूप से चुने गए ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में <math>B</math> बहुआयामी सरणी के रूप में दिए गए गुणांकों के साथ <math>\mathcal{S}</math>.
+\mathbf{u}_{r_1} \otimes \mathbf{u}_{r_2} \otimes \cdots \otimes \mathbf{u}_{r_M},</math>,यहाँ <math>\mathbf{u}{r_m}</math> वे स्तंभ हैं जो <math>{\bf U}m \in {\mathbb C}^{I_m \times R_m}</math> के हैं। आसानी से सत्यापित किया जा सकता है कि <math>B = { \mathbf{u}{r_1} \otimes \mathbf{u}{r_2} \otimes \cdots \otimes \mathbf{u}{r_M} }{r_1,r_2,\ldots,r_M}</math> एक अधार निर्धारित टेंसरों का एक अधार निर्धारित समूह है। इसका मतलब है कि एचओएसवीडी टेंसर <math>\mathcal{A}</math> को एक विशेष चुने गए अधार निर्धारित अधार <math>B</math> के संदर्भ में व्यक्त करने का एक विधि है, जिसमें गुणकों को मल्टिलिनियर सारणी <math>\mathcal{S}</math> के रूप में दिया जाता है।
+== गणना ==
-== गणना ==
+एक टेंसर <math>\mathcal{A} \in {\mathbb C}^{I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_M}</math> है, जिसमें रैंक-<math>(R_1, R_2, \ldots, R_M)</math> है, जहां <math>\mathbb C</math> में वास्तविक संख्याएँ <math>\mathbb{R}</math> को एक उपसमूह के रूप में सम्मिलित हैं।
-होने देना <math>\mathcal{A} \in {\mathbb C}^{I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_M}</math> एक रैंक के साथ एक टेंसर बनें-<math>(R_1, R_2, \ldots, R_M)</math>, कहाँ <math>\mathbb C</math> वास्तविक शामिल हैं <math>\mathbb{R}</math> एक उपसमुच्चय के रूप में.
-=== क्लासिक गणना ===
+=== पारंपरिक गणना ===
-मल्टीलिनियर एसवीडी और एम-मोड एसवीडी की गणना करने की रणनीति 1960 के दशक में एल. आर. टकर द्वारा पेश की गई थी,<ref name="Tucker1963" />आगे लिवेन डी लाथौवर|एल द्वारा वकालत की गई। डी लाथौवर एट अल।<ref name=":2" />और वासिलेस्कु और टेरज़ोपुलस द्वारा।<ref name=":Vasilescu2005" /><ref name=":Vasilescu2002" />  HOSVD शब्द लिवेन डी लाथौवर द्वारा गढ़ा गया था, लेकिन साहित्य में आमतौर पर HOSVD के रूप में संदर्भित एल्गोरिथ्म को वासिलेस्कु और टेरज़ोपोलोस द्वारा पेश किया गया था।<ref name=":Vasilescu2002"/><ref name=":Vasilescu2005" />एम-मोड एसवीडी नाम के साथ। यह एक समानांतर गणना है जो ऑर्थोनॉर्मल मोड मैट्रिक्स की गणना करने के लिए मैट्रिक्स एसवीडी को नियोजित करती है।
+मल्टिलिनियर एसडब्ल्यूडी और M-मोड एसडब्ल्यूडी  की गणना के लिए 1960 के दशक में [[L. R. Tucker|एल. आर. टकर]] ने प्रस्तुत किया था,<ref name="Tucker1963" /> जो बाद में [[Lieven De Lathauwer|एल डी लाथौवर]] आदि ने समर्थित किया,<ref name=":2" /> और वासिलेस्कु और टेरज़ोपुलस ने भी समर्थित किया।<ref name=":Vasilescu2005" /><ref name=":Vasilescu2002" /> टर्म एचओएसडब्ल्यूडी  को लिवेन डी लाथौवर ने बनाया था, लेकिन सामान्यतः साहित्य में एचओएसडब्ल्यूडी  के लिए उपयोग किया जाने वाला कलन विधि वासिलेस्कु और टेरज़ोपोलोस ने प्रस्तुत किया था,<ref name=":Vasilescu2002"/><ref name=":Vasilescu2005" /> जिसे M-मोड एसडब्ल्यूडी के नाम से भी जाना जाता है। यह एक पैरलेल गणना है जो मैट्रिक्स एसडब्ल्यूडी का उपयोग करती है जिससे अधार-उपसर्गी मोड आव्यूहो की गणना की जा सके।
 ==== एम-मोड एसवीडी:<ref name=":Vasilescu2002"/><ref name=":Vasilescu2005"/>====
-* के लिए <math>m=0,1,\ldots,M</math>, निम्न कार्य करें:
-# मोड-एम फ़्लैटनिंग का निर्माण करें <math>\mathcal{A}_{[m]}</math>;
-# (कॉम्पैक्ट) एकवचन मूल्य अपघटन की गणना करें <math>\mathcal{A}_{[m]} = {\bf U}_m {\bf \Sigma}_m {\bf V}^T_m </math>, और बाएँ एकवचन वैक्टर को संग्रहीत करें <math>{\bf U} \in \mathbb{C}^{I_m \times R_m}</math>;
-* कोर टेंसर की गणना करें <math>\mathcal{S}</math> बहुरेखीय गुणन के माध्यम से <math> \mathcal{S} = \mathcal{A}\times_0 {\bf U}_0^H \times_1 {\bf U}_1^H \times_2 {\bf U}_2^H \ldots \times_m {\bf U}_m^H \ldots \times_M {\bf U}_M^H</math>
+मोड-''m'' फ्लैटेनिंग <math>\mathcal{A}_{[m]}</math> का निर्माण करें। सिंगुलर मूल्य विघटन <math>\mathcal{A}_{[m]} = {\bf U}_m {\bf \Sigma}_m {\bf V}^T_m </math> की गणना करें, और बाएँ सिंगुलर वेक्टर <math>{\bf U} \in \mathbb{C}^{I_m \times R_m}</math> को स्टोर करें।
+इसके बाद मल्टिलिनियर गुणन के द्वारा मध्य टेंसर <math>\mathcal{S}</math> की गणना करें: <math> \mathcal{S} = \mathcal{A}\times_0 {\bf U}_0^H \times_1 {\bf U}_1^H \times_2 {\bf U}_2^H \ldots \times_m {\bf U}_m^H \ldots \times_M {\bf U}_M^H</math>
 === इंटरलेसिंग गणना ===
-एक ऐसी रणनीति जो कुछ या सभी होने पर काफी तेज़ होती है <math>r_k \ll n_k </math> इसमें कोर टेंसर और कारक मैट्रिक्स की गणना को निम्नानुसार शामिल किया गया है:<ref name=":4">{{Cite journal|last1=Vannieuwenhoven|first1=N.|last2=Vandebril|first2=R.|last3=Meerbergen|first3=K.|date=2012-01-01|title=उच्च-क्रम एकवचन मूल्य अपघटन के लिए एक नई ट्रंकेशन रणनीति|journal=SIAM Journal on Scientific Computing|volume=34|issue=2|pages=A1027–A1052|doi=10.1137/110836067|bibcode=2012SJSC...34A1027V |s2cid=15318433 |issn=1064-8275|url=https://lirias.kuleuven.be/handle/123456789/337210}}</ref><ref name=":5">{{Cite book|title=Tensor Spaces and Numerical Tensor Calculus {{!}} SpringerLink|volume = 42|last=Hackbusch|first=Wolfgang|language=en-gb|doi=10.1007/978-3-642-28027-6|series = Springer Series in Computational Mathematics|year = 2012|isbn = 978-3-642-28026-9| s2cid=117253621 }}</ref><ref name=":fist_hosvd">{{Cite conference|last1=Cobb|first1=Benjamin|last2=Kolla|first2=Hemanth|last3=Phipps|first3=Eric|last4=Çatalyürek|first4=Ümit V.|date=2022|title=FIST-HOSVD: जगह में जुड़े हुए अनुक्रमिक रूप से उच्च क्रम वाले एकवचन मूल्य अपघटन को काट दिया गया|conference=Platform for Advanced Scientific Computing(PASC) |language=en|isbn=9781450394109|doi=10.1145/3539781.3539798|url=https://doi.org/10.1145/3539781.3539798}}</ref>
+जब कुछ या सभी <math>r_k \ll n_k </math> हों, तो एक रणनीति जिसमें मध्य टेंसर और कारक आव्यूह की गणना को निम्नानुसार सम्मिलित किया गया है,जो निम्नलिखित रूप से होता है<ref name=":4">{{Cite journal|last1=Vannieuwenhoven|first1=N.|last2=Vandebril|first2=R.|last3=Meerbergen|first3=K.|date=2012-01-01|title=उच्च-क्रम एकवचन मूल्य अपघटन के लिए एक नई ट्रंकेशन रणनीति|journal=SIAM Journal on Scientific Computing|volume=34|issue=2|pages=A1027–A1052|doi=10.1137/110836067|bibcode=2012SJSC...34A1027V |s2cid=15318433 |issn=1064-8275|url=https://lirias.kuleuven.be/handle/123456789/337210}}</ref><ref name=":5">{{Cite book|title=Tensor Spaces and Numerical Tensor Calculus {{!}} SpringerLink|volume = 42|last=Hackbusch|first=Wolfgang|language=en-gb|doi=10.1007/978-3-642-28027-6|series = Springer Series in Computational Mathematics|year = 2012|isbn = 978-3-642-28026-9| s2cid=117253621 }}</ref><ref name=":fist_hosvd">{{Cite conference|last1=Cobb|first1=Benjamin|last2=Kolla|first2=Hemanth|last3=Phipps|first3=Eric|last4=Çatalyürek|first4=Ümit V.|date=2022|title=FIST-HOSVD: जगह में जुड़े हुए अनुक्रमिक रूप से उच्च क्रम वाले एकवचन मूल्य अपघटन को काट दिया गया|conference=Platform for Advanced Scientific Computing(PASC) |language=en|isbn=9781450394109|doi=10.1145/3539781.3539798|url=https://doi.org/10.1145/3539781.3539798}}</ref>
-* तय करना <math>\mathcal{A}^0 = \mathcal{A}</math>;
+* यदि  <math>\mathcal{A}^0 = \mathcal{A}</math>;
 * के लिए <math>m = 0,1,2 \ldots, M</math> निम्नलिखित कार्य करें:
-*# मानक मोड-एम फ़्लैटनिंग का निर्माण करें <math>\mathcal{A}_{[m]}^{m-1}</math>;
+*# मानक मोड-एम फ़्लैटनिंग <math>\mathcal{A}_{[m]}^{m-1}</math> का निर्माण करें ;
-*# (कॉम्पैक्ट) एकवचन मूल्य अपघटन की गणना करें <math>\mathcal{A}_{[m]}^{m-1} = U_m \Sigma_m V^T_m </math>, और बाएँ एकवचन वैक्टर को संग्रहीत करें <math>U_m \in F^{I_m \times R_m}</math>;
+*# कॉम्पैक्ट सिंगुलर मूल्य विघटन की गणना करें <math>\mathcal{A}_{[m]}^{m-1} = U_m \Sigma_m V^T_m </math>, और बाएँ सिंगुलर वैक्टर <math>U_m \in F^{I_m \times R_m}</math>को संग्रहीत करें :
-*# तय करना <math>\mathcal{A}^m = U_m^H \times_m \mathcal{A}^{m-1} </math>, या, समकक्ष, <math>\mathcal{A}^m_{[m]} = \Sigma_m V_m^T </math>.
+*# यदि <math>\mathcal{A}^m = U_m^H \times_m \mathcal{A}^{m-1} </math>, या, समकक्ष, <math>\mathcal{A}^m_{[m]} = \Sigma_m V_m^T </math>.
 === इन-प्लेस गणना ===
-HOSVD की गणना फ़्यूज्ड इन-प्लेस सीक्वेंशियली ट्रंकेटेड हायर ऑर्डर सिंगुलर वैल्यू डीकंपोजिशन (FIST-HOSVD) के माध्यम से की जा सकती है। <ref name=":fist_hosvd" />HOSVD कोर टेंसर द्वारा मूल टेंसर को ओवरराइट करके एल्गोरिदम, HOSVD की गणना करने की मेमोरी खपत को काफी कम कर देता है।
+एचओएसवीडी की गणना फ़्यूज्ड इन-प्लेस अनुक्रमिक रूप से उच्च क्रम सिंगुलर कलन विधि के माध्यम से प्लेस में गणना कर सकते हैं जिसमें मूल टेंसर को एचओएसवीडी कोर टेंसर से ओवरराइट किया जाता है, जिससे एचओएसवीडी की गणना में मेमोरी का उपयोग बहुत कम हो जाता है।
 ==अनुमान ==
-अनुप्रयोगों में, जैसे कि नीचे उल्लिखित हैं, एक सामान्य समस्या किसी दिए गए टेंसर का अनुमान लगाना है <math>\mathcal{A} \in \mathbb{C}^{I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_m \cdots \times I_M} </math> एक कम बहुरेखीय रैंक के साथ। औपचारिक रूप से, यदि बहुरेखीय रैंक <math>\mathcal{A} </math> द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\mathrm{rank-}(R_1,R_2,\ldots,R_m,\ldots,R_M) </math>, फिर इष्टतम की गणना करें <math>\mathcal{\bar A} </math> वह अनुमानित है <math>\mathcal{A} </math> किसी दिए गए कम के लिए <math>\mathrm{rank-}(\bar R_1,\bar R_2,\ldots,\bar R_m,\ldots,\bar R_M) </math> एक अरैखिक गैर-उत्तल है <math>\ell_2 </math>-अनुकूलन समस्या
-<math display="block"> \min_{\mathcal{\bar A}\in \mathbb{C}^{I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_M}} \frac{1}{2} \| \mathcal{A} - \mathcal{\bar A} \|_F^2
-\quad\text{s.t.}\quad \mathrm{rank-}(\bar R_1, \bar R_2, \ldots, \bar R_M), </math>कहाँ <math>(\bar R_1, \bar R_2, \ldots, \bar R_M) \in \mathbb{N}^M </math> के साथ घटी हुई बहुरेखीय रैंक है <math>1 \le \bar R_m < R_m \le I_m </math>, और आदर्श <math>\|.\|_F</math> [[फ्रोबेनियस मानदंड]] है.
-इस अनुकूलन समस्या को हल करने का प्रयास करने का एक सरल विचार क्लासिक या इंटरलेस्ड गणना के चरण 2 में (कॉम्पैक्ट) एसवीडी को छोटा करना है। क्लासिक गणना में चरण 2 को प्रतिस्थापित करके एक शास्त्रीय रूप से काट दिया गया HOSVD प्राप्त किया जाता है
+एप्लिकेशन में, निम्नलिखित जैसे कई समस्याएं होती हैं, जिनमें एक दिए गए टेंसर <math>\mathcal{A} \in \mathbb{C}^{I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_m \cdots \times I_M} </math> को एक कम मल्टिलिनियर रैंक वाले टेंसर से अनुमानित करने की सामान्य समस्या होती है। यथार्थरूप से, यदि <math>\mathcal{A} </math> का मल्टिलिनियर रैंक <math>\mathrm{rank-}(R_1,R_2,\ldots,R_m,\ldots,R_M) </math> द्वारा दर्शाया जाता है, तो एक दिए गए घटित <math>\mathrm{rank-}(\bar R_1,\bar R_2,\ldots,\bar R_m,\ldots,\bar R_M) </math> के लिए <math>\mathcal{A} </math> को अनुमानित करने के लिए सबसे अच्छा <math>\mathcal{\bar A} </math> गणना एक गैर-समतल गैर-विसंक्लिष <math>\ell_2 </math>-अनुकूलन समस्या होती है।
-* एक रैंक की गणना करें-<math>\bar R_m </math> छोटा किया गया एसवीडी <math>\mathcal{A}_{[m]} \approx U_m \Sigma_m V^T_m </math>, और शीर्ष पर स्टोर करें <math>\bar R_m </math> बाएं एकवचन सदिश <math>U_m \in F^{I_m \times \bar R_m}</math>;
+<math display="block"> \min_{\mathcal{\bar A}\in \mathbb{C}^{I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_M}} \frac{1}{2} | \mathcal{A} - \mathcal{\bar A} |_F^2
-जबकि क्रमिक रूप से काटे गए HOSVD (या क्रमिक रूप से काटे गए HOSVD) को इंटरलेस्ड गणना में चरण 2 को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है
+\quad\text{s.t.}\quad \mathrm{rank-}(\bar R_1, \bar R_2, \ldots, \bar R_M), </math>
-* एक रैंक की गणना करें-<math>\bar R_m </math> छोटा किया गया एसवीडी <math>\mathcal{A}_{[m]}^{m-1} \approx U_m \Sigma_m V^T_m </math>, और शीर्ष पर स्टोर करें <math>\bar R_m </math> बाएं एकवचन सदिश <math>U_m \in F^{I_m \times \bar R_m}</math>. दुर्भाग्य से, ट्रंकेशन के परिणामस्वरूप सर्वोत्तम निम्न बहुरेखीय रैंक अनुकूलन समस्या का इष्टतम समाधान नहीं मिलता है,<ref name=":2" /><ref name=":Vasilescu2002"/><ref name=":4" /><ref name=":fist_hosvd" /> हालाँकि, शास्त्रीय और इंटरलीव्ड काटे गए HOSVD दोनों का परिणाम अर्ध-इष्टतम समाधान में होता है:<ref name=":4" /><ref name=":fist_hosvd" /><ref name="Vasilescu2003" /><ref name=":5" /><ref>{{Cite journal|last=Grasedyck|first=L.|date=2010-01-01|title=टेंसरों का पदानुक्रमित एकवचन मान अपघटन|journal=SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications|volume=31|issue=4|pages=2029–2054|doi=10.1137/090764189|issn=0895-4798|citeseerx=10.1.1.660.8333}}</ref> अगर <math>\mathcal{\bar A}_t </math> शास्त्रीय या क्रमिक रूप से काटे गए HOSVD को दर्शाता है <math>\mathcal{\bar A}^* </math> तब, सर्वोत्तम निम्न बहुरेखीय रैंक सन्निकटन समस्या के इष्टतम समाधान को दर्शाता है<math display="block">\| \mathcal{A} - \mathcal{\bar A}_t \|_F \le \sqrt{M} \| \mathcal{A} - \mathcal{\bar A}^* \|_F; </math>व्यवहार में इसका मतलब यह है कि यदि एक छोटी सी त्रुटि के साथ एक इष्टतम समाधान मौजूद है, तो कई इच्छित उद्देश्यों के लिए एक छोटा HOSVD भी पर्याप्त रूप से अच्छा समाधान देगा।
+जहां <math>(\bar R_1, \bar R_2, \ldots, \bar R_M) \in \mathbb{N}^M </math> कम मल्टिलिनियर रैंक है जिसमें <math>1 \le \bar R_m < R_m \le I_m </math> है, और नॉर्म <math>|.|_F</math> [[फ्रोबेनियस नॉर्म]] है।
+इस अनुकूलन समस्या को हल करने का प्रयास करने का एक सरल विचार पारंपरिक या इंटरलेस्ड गणना के चरण 2 में एसवीडी को छोटा करना है। पारंपरिक गणना में चरण 2 को प्रतिस्थापित करके एक पारंपरिक रूप से ट्रंकेशन किया दिया गया एचओएसवीडी प्राप्त किया जाता है
+* संख्या <math>\bar R_m </math> के लिए एक संक्षेपित SVD <math>\mathcal{A}_{[m]} \approx U_m \Sigma_m V^T_m </math> गणना करें, और शीघ्र चलनेवाले <math>\bar R_m </math> बाएँ सिंगुलर वेक्टर <math>U_m \in F^{I_m \times \bar R_m}</math> को संग्रहीत करें; जबकि एक क्रमिक रूप से ट्रंकेशन गई एचओएसवीडी उन्हें अंतर्विष्ट गणना के स्टेप 2 में निम्नलिखित रूप से प्राप्त की जाती है:
+* गणना करें <math>\bar R_m </math> के लिए एक संक्षेपित रैंक SVD <math>\mathcal{A}_{[m]}^{m-1} \approx U_m \Sigma_m V^T_m </math>, और ऊपरी <math>\bar R_m </math> बाएँ सिंगुलर वेक्टर <math>U_m \in F^{I_m \times \bar R_m}</math> को संग्रहीत करें। सामान्यतः, ट्रंकेशन का परिणाम एक सर्वोत्तम समान्तरिक रैंक अनुकूलन समस्या के लिए एक आदर्श समाधान नहीं होता है। यद्यपि, परंपरिक रूप से और अंतर्विष्ट किए गए कटाई गई एचओएसवीडी दोनों ही '''क्वासी-आदर्श''' समाधान प्रदान करते हैं:<ref name=":4" /><ref name=":fist_hosvd" /><ref name="Vasilescu2003" /><ref name=":5" /><ref>{{Cite journal|last=Grasedyck|first=L.|date=2010-01-01|title=Hierarchical Singular Value Decomposition of Tensors|journal=SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications|volume=31|issue=4|pages=2029–2054|doi=10.1137/090764189|issn=0895-4798|citeseerx=10.1.1.660.8333}}</ref> यदि <math>\mathcal{\bar A}_t </math> को पारंपरिक या क्रमिक रूप से ट्रंकेशन की गई एचओएसवीडी और <math>\mathcal{\bar A}^* </math> को सर्वोत्तम समान्तरिक रैंक अनुकूलन समस्या के लिए आदर्श समाधान दिखाता है, तो<math display="block">| \mathcal{A} - \mathcal{\bar A}_t |_F \le \sqrt{M} | \mathcal{A} - \mathcal{\bar A}^* |_F; </math>व्यावहारिक रूप से इसका अर्थ है कि यदि एक छोटी त्रुटि वाले आदर्श समाधान है, तो बहुत सारे उद्देश्यों के लिए ट्रंकेशन गई एचओएसवीडी भी एक पर्याप्त अच्छा समाधान देगी।
 == अनुप्रयोग ==
-HOSVD का उपयोग आमतौर पर बहु-मार्गीय सरणियों से प्रासंगिक जानकारी निकालने के लिए किया जाता है।
+एचओएसवीडी का सबसे सामान्य रूप से उपयोग बहुदिशीय सारणी से संबंधित महत्वपूर्ण जानकारी को निकालने में किया जाता है।
+के प्रारंभिक दशक से प्रारंभ करके, वासिलेस्कू ने कारण संबंधी प्रश्नों का समाधान करने के लिए डेटा विश्लेषण, पहचान और संश्लेषण समस्याओं को बहुदिशीय टेंसर समस्याओं के रूप में फिर से तैयार किया। गति पहचान के लिए ह्यूमन मोशन सिग्नेचर के संदर्भ में, डेटा निर्माण के कारण कारकों के संदर्भ में एक छवि को विघटित और प्रस्तुत करके टेंसर ढांचे की शक्ति का प्रदर्शन किया गया था।<ref name="Vasilescu2002b2">M. A. O. Vasilescu (2002) [http://www.media.mit.edu/~maov/motionsignatures/hms_icpr02_corrected.pdf "Human Motion Signatures: Analysis, Synthesis, Recognition," Proceedings of International Conference on Pattern Recognition (ICPR 2002), Vol. 3, Quebec City, Canada, Aug, 2002, 456–460.]</ref>  जैसे, चेहरे की पहचान—[[TensorFaces|टेंसरफेसेस]]<ref name="Vasilescu20032">M.A.O. Vasilescu, D. Terzopoulos (2003) [http://www.media.mit.edu/~maov/tensorfaces/cvpr03.pdf "Multilinear Subspace Analysis for Image Ensembles,'' M. A. O. Vasilescu, D. Terzopoulos, Proc. Computer Vision and Pattern Recognition Conf. (CVPR '03), Vol.2, Madison, WI, June, 2003, 93–99.'']</ref><ref name="Vasilescu2002a2">M.A.O. Vasilescu, D. Terzopoulos (2002) [http://www.media.mit.edu/~maov/tensorfaces/eccv02_corrected.pdf "Multilinear Analysis of Image Ensembles: TensorFaces," Proc. 7th European Conference on Computer Vision (ECCV'02), Copenhagen, Denmark, May, 2002, in Computer Vision -- ECCV 2002, Lecture Notes in Computer Science, Vol. 2350, A. Heyden et al. (Eds.), Springer-Verlag, Berlin, 2002, 447–460.]</ref> और कंप्यूटर ग्राफ़िक्स—टेंसर टेक्सचर।<ref name="Vasilescu20042">M.A.O. Vasilescu, D. Terzopoulos (2004) [http://www.media.mit.edu/~maov/tensortextures/Vasilescu_siggraph04.pdf "TensorTextures: Multilinear Image-Based Rendering", M. A. O. Vasilescu and D. Terzopoulos, Proc. ACM SIGGRAPH 2004 Conference Los Angeles, CA, August, 2004, in Computer Graphics Proceedings, Annual Conference Series, 2004, 336–342.]</ref>
+एचओएसवीडी को सिग्नल प्रोसेसिंग और बड़े डेटा, जैसे जीनोमिक सिग्नल प्रोसेसिंग में सफलतापूर्वक लागू किया गया है।<ref>{{Cite journal|author1=L. Omberg|author2=G. H. Golub|author3=O. Alter|date=November 2007|title=विभिन्न अध्ययनों से डीएनए माइक्रोएरे डेटा के एकीकृत विश्लेषण के लिए एक टेंसर उच्च-क्रम एकवचन मूल्य अपघटन|journal=PNAS|volume=104|issue=47|pages=18371–18376|doi=10.1073/pnas.0709146104|pmc=2147680|pmid=18003902|bibcode=2007PNAS..10418371O|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal|author1=L. Omberg|author2=J. R. Meyerson|author3=K. Kobayashi|author4=L. S. Drury|author5=J. F. X. Diffley|author6=O. Alter|date=October 2009|title=यूकेरियोटिक जीन अभिव्यक्ति पर डीएनए प्रतिकृति और डीएनए प्रतिकृति मूल गतिविधि के वैश्विक प्रभाव|journal=Molecular Systems Biology|volume=5|pages=312|doi=10.1038/msb.2009.70|pmc=2779084|pmid=19888207|id=[http://www.alterlab.org/research/highlights/msb.2009.70_Highlight.pdf Highlight]}}</ref><ref>{{Cite journal|author1=C. Muralidhara|author2=A. M. Gross|author3=R. R. Gutell|author4=O. Alter|date=April 2011|title=टेंसर अपघटन राइबोसोमल आरएनए में संरचनात्मक रूपांकनों के साथ समवर्ती विकासवादी अभिसरण और विचलन और सहसंबंध को प्रकट करता है|journal=PLOS ONE|volume=6|issue=4|pages=e18768|doi=10.1371/journal.pone.0018768|pmc=3094155|pmid=21625625|id=[http://www.alterlab.org/research/highlights/pone.0018768_Highlight.pdf Highlight]|bibcode=2011PLoSO...618768M|doi-access=free}}</ref> इन अनुप्रयोगों ने उच्च-क्रम वाले जीएसवीडी को भी प्रेरित किया।<ref>{{Cite journal|author1=S. P. Ponnapalli|author2=M. A. Saunders|author3=C. F. Van Loan|author4=O. Alter|date=December 2011|title=एकाधिक जीवों से वैश्विक एमआरएनए अभिव्यक्ति की तुलना के लिए एक उच्च-क्रम सामान्यीकृत एकवचन मूल्य अपघटन|journal=PLOS ONE|volume=6|issue=12|pages=e28072|doi=10.1371/journal.pone.0028072|pmc=3245232|pmid=22216090|id=[http://www.alterlab.org/research/highlights/pone.0028072_Highlight.pdf Highlight]|bibcode=2011PLoSO...628072P|doi-access=free}}</ref> और एक टेंसर जीएसवीडी।<ref>{{Cite journal|author1=P. Sankaranarayanan|author2=T. E. Schomay|author3=K. A. Aiello|author4=O. Alter|date=April 2015|title=रोगी और प्लेटफ़ॉर्म-मिलान वाले ट्यूमर और सामान्य डीएनए कॉपी-नंबर प्रोफाइल का टेंसर जीएसवीडी ट्यूमर के क्रोमोसोम आर्म-वाइड पैटर्न को उजागर करता है-सेल परिवर्तन के लिए विशिष्ट प्लेटफ़ॉर्म-संगत परिवर्तन एन्कोडिंग और डिम्बग्रंथि के कैंसर के अस्तित्व की भविष्यवाणी करता है।|journal=PLOS ONE|volume=10|issue=4|pages=e0121396|doi=10.1371/journal.pone.0121396|pmc=4398562|pmid=25875127|id=[http://www.eurekalert.org/pub_releases/2015-04/uouh-nmi040915.php AAAS EurekAlert! Press Release] and [https://www.nae.edu/Projects/20730/wtop/134897.aspx NAE Podcast Feature]|bibcode=2015PLoSO..1021396S|doi-access=free}}</ref>[[रोग निगरानी]] में जटिल डेटा स्ट्रीम से वास्तविक समय में घटना का पता लगाने के लिए एचओएसवीडी और एसडब्ल्यूडी  का संयोजन भी लागू किया गया है।<ref>{{Cite journal|author1=Hadi Fanaee-T|author2=João Gama|date=May 2015|title=EigenEvent: An algorithm for event detection from complex data streams in Syndromic surveillance|journal=Intelligent Data Analysis|volume=19|issue=3|pages=597–616|arxiv=1406.3496|bibcode=2014arXiv1406.3496F|doi=10.3233/IDA-150734|s2cid=17966555}}</ref>
+इसका उपयोग [[टेंसर उत्पाद मॉडल परिवर्तन]]-आधारित नियंत्रक डिज़ाइन में भी किया जाता है।<ref name="Baranyi042">{{cite journal|author=P. Baranyi|date=April 2004|title=एलएमआई आधारित नियंत्रक डिजाइन के एक तरीके के रूप में टीपी मॉडल परिवर्तन|journal=IEEE Transactions on Industrial Electronics|volume=51|pages=387&ndash;400|doi=10.1109/tie.2003.822037|number=2|s2cid=7957799}}</ref><ref name="compind2">{{cite journal|author1=P. Baranyi|author2=D. Tikk|author3=Y. Yam|author4=R. J. Patton|year=2003|title=विभेदक समीकरणों से लेकर संख्यात्मक परिवर्तन के माध्यम से पीडीसी नियंत्रक डिजाइन तक|journal=Computers in Industry|volume=51|issue=3|pages=281&ndash;297|doi=10.1016/s0166-3615(03)00058-7}}</ref> एचओएसवीडी की अवधारणा को [[टीपी मॉडल परिवर्तन]] के माध्यम से बरनी और m द्वारा कार्यों में ले जाया गया था।<ref name="Baranyi042" /><ref name="compind2" />
+इस विस्तार से टेंसर प्रोडक्ट फंक्शन्स और लीनियर पैरामीटर वैरिंग सिस्टम मॉडलों के आधार पर एचओएसवीडी आधारित कैनोनिकल रूप की परिभाषा का उदय हुआ। इससे अवकलन परिचालन सिद्धांत आधारित नियंत्रण अनुकूलन सिद्धांत का विकास हुआ।
+एचओएसवीडी को बहु-दृश्य डेटा विश्लेषण पर लागू करने का प्रस्ताव दिया गया था<ref>{{Cite journal|author1=Y-h. Taguchi|date=August 2017|title=मल्टी-व्यू डेटा प्रोसेसिंग के लिए मैट्रिक्स उत्पादों पर टेन्सर अपघटन-आधारित अप्रशिक्षित सुविधा निष्कर्षण लागू किया गया|journal=PLOS ONE|volume=12|issue=8|pages=e0183933|doi=10.1371/journal.pone.0183933|pmc=5571984|pmid=28841719|bibcode=2017PLoSO..1283933T|doi-access=free}}</ref> और जीन अभिव्यक्ति से सिलिको दवा की खोज में इसे सफलतापूर्वक लागू किया गया।<ref>{{Cite journal|author1=Y-h. Taguchi|date=October 2017|title=रोगों और ड्रगमैट्रिक्स डेटासेट के बीच जीन अभिव्यक्ति के एकीकृत विश्लेषण में टेंसर-अपघटन-आधारित अनपर्यवेक्षित फ़ीचर निष्कर्षण का उपयोग करके उम्मीदवार दवाओं की पहचान|journal=Scientific Reports|volume=7|issue=1|pages=13733|doi=10.1038/s41598-017-13003-0|pmc=5653784|pmid=29062063|bibcode=2017NatSR...713733T}}</ref>
-के दशक की शुरुआत में, वासिलेस्कु ने डेटा विश्लेषण, पहचान और संश्लेषण समस्याओं को मल्टीलाइनर टेंसर समस्याओं के रूप में पुनः परिभाषित करके कारण संबंधी प्रश्नों को संबोधित किया। गति पहचान के लिए ह्यूमन मोशन सिग्नेचर के संदर्भ में, डेटा निर्माण के कारण कारकों के संदर्भ में एक छवि को विघटित और प्रस्तुत करके टेंसर ढांचे की शक्ति का प्रदर्शन किया गया था।<ref name="Vasilescu2002b2">M. A. O. Vasilescu (2002) [http://www.media.mit.edu/~maov/motionsignatures/hms_icpr02_corrected.pdf "Human Motion Signatures: Analysis, Synthesis, Recognition," Proceedings of International Conference on Pattern Recognition (ICPR 2002), Vol. 3, Quebec City, Canada, Aug, 2002, 456–460.]</ref> चेहरे की पहचान—[[TensorFaces]]<ref name="Vasilescu20032">M.A.O. Vasilescu, D. Terzopoulos (2003) [http://www.media.mit.edu/~maov/tensorfaces/cvpr03.pdf "Multilinear Subspace Analysis for Image Ensembles,'' M. A. O. Vasilescu, D. Terzopoulos, Proc. Computer Vision and Pattern Recognition Conf. (CVPR '03), Vol.2, Madison, WI, June, 2003, 93–99.'']</ref><ref name="Vasilescu2002a2">M.A.O. Vasilescu, D. Terzopoulos (2002) [http://www.media.mit.edu/~maov/tensorfaces/eccv02_corrected.pdf "Multilinear Analysis of Image Ensembles: TensorFaces," Proc. 7th European Conference on Computer Vision (ECCV'02), Copenhagen, Denmark, May, 2002, in Computer Vision -- ECCV 2002, Lecture Notes in Computer Science, Vol. 2350, A. Heyden et al. (Eds.), Springer-Verlag, Berlin, 2002, 447–460.]</ref> और कंप्यूटर ग्राफ़िक्स—TensorTextures।<ref name="Vasilescu20042">M.A.O. Vasilescu, D. Terzopoulos (2004) [http://www.media.mit.edu/~maov/tensortextures/Vasilescu_siggraph04.pdf "TensorTextures: Multilinear Image-Based Rendering", M. A. O. Vasilescu and D. Terzopoulos, Proc. ACM SIGGRAPH 2004 Conference Los Angeles, CA, August, 2004, in Computer Graphics Proceedings, Annual Conference Series, 2004, 336–342.]</ref>
-HOSVD को सिग्नल प्रोसेसिंग और बड़े डेटा, जैसे जीनोमिक सिग्नल प्रोसेसिंग में सफलतापूर्वक लागू किया गया है।<ref>{{Cite journal|author1=L. Omberg|author2=G. H. Golub|author3=O. Alter|date=November 2007|title=विभिन्न अध्ययनों से डीएनए माइक्रोएरे डेटा के एकीकृत विश्लेषण के लिए एक टेंसर उच्च-क्रम एकवचन मूल्य अपघटन|journal=PNAS|volume=104|issue=47|pages=18371–18376|doi=10.1073/pnas.0709146104|pmc=2147680|pmid=18003902|bibcode=2007PNAS..10418371O|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal|author1=L. Omberg|author2=J. R. Meyerson|author3=K. Kobayashi|author4=L. S. Drury|author5=J. F. X. Diffley|author6=O. Alter|date=October 2009|title=यूकेरियोटिक जीन अभिव्यक्ति पर डीएनए प्रतिकृति और डीएनए प्रतिकृति मूल गतिविधि के वैश्विक प्रभाव|journal=Molecular Systems Biology|volume=5|pages=312|doi=10.1038/msb.2009.70|pmc=2779084|pmid=19888207|id=[http://www.alterlab.org/research/highlights/msb.2009.70_Highlight.pdf Highlight]}}</ref><ref>{{Cite journal|author1=C. Muralidhara|author2=A. M. Gross|author3=R. R. Gutell|author4=O. Alter|date=April 2011|title=टेंसर अपघटन राइबोसोमल आरएनए में संरचनात्मक रूपांकनों के साथ समवर्ती विकासवादी अभिसरण और विचलन और सहसंबंध को प्रकट करता है|journal=PLOS ONE|volume=6|issue=4|pages=e18768|doi=10.1371/journal.pone.0018768|pmc=3094155|pmid=21625625|id=[http://www.alterlab.org/research/highlights/pone.0018768_Highlight.pdf Highlight]|bibcode=2011PLoSO...618768M|doi-access=free}}</ref> इन अनुप्रयोगों ने उच्च-क्रम वाले जीएसवीडी (एचओ जीएसवीडी) को भी प्रेरित किया।<ref>{{Cite journal|author1=S. P. Ponnapalli|author2=M. A. Saunders|author3=C. F. Van Loan|author4=O. Alter|date=December 2011|title=एकाधिक जीवों से वैश्विक एमआरएनए अभिव्यक्ति की तुलना के लिए एक उच्च-क्रम सामान्यीकृत एकवचन मूल्य अपघटन|journal=PLOS ONE|volume=6|issue=12|pages=e28072|doi=10.1371/journal.pone.0028072|pmc=3245232|pmid=22216090|id=[http://www.alterlab.org/research/highlights/pone.0028072_Highlight.pdf Highlight]|bibcode=2011PLoSO...628072P|doi-access=free}}</ref> और एक टेंसर जीएसवीडी।<ref>{{Cite journal|author1=P. Sankaranarayanan|author2=T. E. Schomay|author3=K. A. Aiello|author4=O. Alter|date=April 2015|title=रोगी और प्लेटफ़ॉर्म-मिलान वाले ट्यूमर और सामान्य डीएनए कॉपी-नंबर प्रोफाइल का टेंसर जीएसवीडी ट्यूमर के क्रोमोसोम आर्म-वाइड पैटर्न को उजागर करता है-सेल परिवर्तन के लिए विशिष्ट प्लेटफ़ॉर्म-संगत परिवर्तन एन्कोडिंग और डिम्बग्रंथि के कैंसर के अस्तित्व की भविष्यवाणी करता है।|journal=PLOS ONE|volume=10|issue=4|pages=e0121396|doi=10.1371/journal.pone.0121396|pmc=4398562|pmid=25875127|id=[http://www.eurekalert.org/pub_releases/2015-04/uouh-nmi040915.php AAAS EurekAlert! Press Release] and [https://www.nae.edu/Projects/20730/wtop/134897.aspx NAE Podcast Feature]|bibcode=2015PLoSO..1021396S|doi-access=free}}</ref>
-[[रोग निगरानी]] में जटिल डेटा स्ट्रीम (स्थान और समय आयामों के साथ बहुभिन्नरूपी डेटा) से वास्तविक समय में घटना का पता लगाने के लिए HOSVD और SVD का संयोजन भी लागू किया गया है।<ref>{{Cite journal|author1=Hadi Fanaee-T|author2=João Gama|date=May 2015|title=EigenEvent: An algorithm for event detection from complex data streams in Syndromic surveillance|journal=Intelligent Data Analysis|volume=19|issue=3|pages=597–616|arxiv=1406.3496|bibcode=2014arXiv1406.3496F|doi=10.3233/IDA-150734|s2cid=17966555}}</ref>
-इसका उपयोग [[टेंसर उत्पाद मॉडल परिवर्तन]]-आधारित नियंत्रक डिज़ाइन में भी किया जाता है।<ref name="Baranyi042">{{cite journal|author=P. Baranyi|date=April 2004|title=एलएमआई आधारित नियंत्रक डिजाइन के एक तरीके के रूप में टीपी मॉडल परिवर्तन|journal=IEEE Transactions on Industrial Electronics|volume=51|pages=387&ndash;400|doi=10.1109/tie.2003.822037|number=2|s2cid=7957799}}</ref><ref name="compind2">{{cite journal|author1=P. Baranyi|author2=D. Tikk|author3=Y. Yam|author4=R. J. Patton|year=2003|title=विभेदक समीकरणों से लेकर संख्यात्मक परिवर्तन के माध्यम से पीडीसी नियंत्रक डिजाइन तक|journal=Computers in Industry|volume=51|issue=3|pages=281&ndash;297|doi=10.1016/s0166-3615(03)00058-7}}</ref> HOSVD की अवधारणा को [[टीपी मॉडल परिवर्तन]] के माध्यम से बरनी और यम द्वारा कार्यों में ले जाया गया था।<ref name="Baranyi042" /><ref name="compind2" />इस विस्तार ने टेंसर उत्पाद फ़ंक्शंस और लीनियर पैरामीटर वेरिंग सिस्टम मॉडल के HOSVD-आधारित विहित रूप की परिभाषा को जन्म दिया।<ref name="canon12">{{cite conference|title=बहुविषयक गतिशील मॉडल के HOSVD-आधारित विहित रूप की परिभाषा|author1=P. Baranyi|author2=L. Szeidl|author3=P. Várlaki|author4=Y. Yam|date=July 3–5, 2006|location=Budapest, Hungary|pages=660–665|conference=3rd International Conference on Mechatronics (ICM 2006)}}</ref> और उत्तल पतवार हेरफेर आधारित नियंत्रण अनुकूलन सिद्धांत के लिए, [[नियंत्रण सिद्धांतों में टीपी मॉडल परिवर्तन]] देखें।
-HOSVD को बहु-दृश्य डेटा विश्लेषण पर लागू करने का प्रस्ताव दिया गया था<ref>{{Cite journal|author1=Y-h. Taguchi|date=August 2017|title=मल्टी-व्यू डेटा प्रोसेसिंग के लिए मैट्रिक्स उत्पादों पर टेन्सर अपघटन-आधारित अप्रशिक्षित सुविधा निष्कर्षण लागू किया गया|journal=PLOS ONE|volume=12|issue=8|pages=e0183933|doi=10.1371/journal.pone.0183933|pmc=5571984|pmid=28841719|bibcode=2017PLoSO..1283933T|doi-access=free}}</ref> और जीन अभिव्यक्ति से सिलिको दवा की खोज में इसे सफलतापूर्वक लागू किया गया।<ref>{{Cite journal|author1=Y-h. Taguchi|date=October 2017|title=रोगों और ड्रगमैट्रिक्स डेटासेट के बीच जीन अभिव्यक्ति के एकीकृत विश्लेषण में टेंसर-अपघटन-आधारित अनपर्यवेक्षित फ़ीचर निष्कर्षण का उपयोग करके उम्मीदवार दवाओं की पहचान|journal=Scientific Reports|volume=7|issue=1|pages=13733|doi=10.1038/s41598-017-13003-0|pmc=5653784|pmid=29062063|bibcode=2017NatSR...713733T}}</ref>
-== मजबूत एल1-मानक संस्करण ==
+== सुदृढ़ L1-मानक संस्करण ==
-L1-टकर टकर अपघटन का Lp_space|L1-मानदंड-आधारित, मजबूत_सांख्यिकी संस्करण है।<ref name="l1tucker"/><ref name="l1tucker3"/>L1-HOSVD, L1-टकर के समाधान के लिए HOSVD के समान है।<ref name="l1tucker"/><ref name="l1tucker2"/>
+L1-टकर टकर अपघटन का L1-मानक-आधारित, सुदृढ़ सांख्यिकी संस्करण है।<ref name="l1tucker"/><ref name="l1tucker3"/>L1-एचओएसवीडी, L1-टकर के समाधान के लिए एचओएसवीडी के समान है।<ref name="l1tucker"/><ref name="l1tucker2"/>
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 <references />
-{{DEFAULTSORT:Higher Order Singular Value Decomposition}}[[Category: बहुरेखीय बीजगणित]] [[Category: टेंसर]]
+{{DEFAULTSORT:Higher Order Singular Value Decomposition}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
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