यादृच्छिक अनुक्रमिक अधिशोषण (आरएसए)

यादृच्छिक अनुक्रमिक अधिशोषण (आरएसए) एक ऐसी प्रक्रिया को संदर्भित करता है जहां कणों को एक प्रणाली में यादृच्छिक रूप से प्रस्तुत किया जाता है, और यदि वे किसी भी पहले अधिशोषण वाले कण में अधिव्यापन नहीं करते हैं, तो वे अधिशोषित कर लेते हैं और बाकी प्रक्रिया के लिए स्थिर रहते हैं। आरएसए को कंप्यूटर सिमुलेशन, गणितीय विश्लेषण या प्रयोगों में किया जा सकता है। इसका अध्ययन पहली बार एक-आयामी मॉडल द्वारा किया गया था: पॉल फ्लोरी द्वारा पॉलीमर श्रृंखला में पेंडेंट समूहों का की सम्बद्धता, और अल्फ्रेड रेनी द्वारा कार-पार्किंग समस्या। अन्य प्रारंभिक कार्यों में बेंजामिन विडोम के काम सम्मिलित हैं। कंप्यूटर सिमुलेशन द्वारा दो और उच्चतर आयामों में कई प्रणालियों का अध्ययन किया गया है, जिनमें 2d, डिस्क, यादृच्छिक रूप से उन्मुख वर्ग और आयत, संरेखित वर्ग और आयत, विभिन्न अन्य आकार आदि सम्मिलित हैं।

एक महत्वपूर्ण परिणाम अधिकतम सतह कवरेज है, जिसे संतृप्ति कवरेज या पैकिंग भिन्न कहा जाता है। इस पृष्ठ पर हम कई प्रणालियों के लिए कवरेज सूचीबद्ध करते हैं।

परिपत्र डिस्क के यादृच्छिक अनुक्रमिक अधिशोषण (आरएसए) में संतृप्ति।

यादृच्छिक अनुक्रमिक अधिशोषण (आरएसए) मॉडल के संदर्भ में अवरोधन प्रक्रिया का विस्तार से अध्ययन किया गया है। वृत्तीय कणों के जमाव से संबंधित सबसे सरल आरएसए मॉडल परिपत्र डिस्क के अपरिवर्तनीय अधिशोषण पर विचार करता है। एक के बाद एक डिस्क को किसी सतह पर यादृच्छिक रूप से रखा जाता है। एक बार डिस्क रखने पर वह उसी स्थान पर चिपक जाती है और उसे हटाया नहीं जा सकता। जब किसी डिस्क को निक्षिप्त करने के प्रयास के परिणामस्वरूप पहले से निक्षिप्त की गई डिस्क के साथ अधिव्यापन हो जाए, तो यह प्रयास अस्वीकार कर दिया जाता है। इस मॉडल के भीतर, सतह प्रारम्भ में तेजी से भर जाती है, लेकिन जितना अधिक कोई संतृप्ति के करीब पहुंचता है सतह उतनी ही धीमी गति से भरती है। आरएसए मॉडल के भीतर, संतृप्ति को कभी-कभी जामिंग कहा जाता है। सर्कुलर डिस्क के लिए, संतृप्ति 0.547 के कवरेज पर होती है। जब निक्षिप्त करने वाले कण बहुविस्तारित होते हैं, तो बहुत अधिक सतह कवरेज तक पहुंचा जा सकता है, क्योंकि छोटे कण बड़े निक्षिप्त कणों के बीच के छिद्रों में निक्षिप्त होने में सक्षम होंगे। दूसरी ओर, रॉड जैसे कण बहुत छोटे कवरेज का कारण बन सकते हैं, क्योंकि कुछ गलत संरेखित छड़ें सतह के बड़े भाग को अवरुद्ध कर सकती हैं।

एक आयामी पार्किंग-कार समस्या के लिए, रेनी ने दिखाया है कि अधिकतम कवरेज बराबर है।

$\theta _{1}=\int _{0}^{\infty }\exp \left(-2\int _{0}^{x}{\frac {1-e^{-y}}{y}}dy\right)dx=0.7475979202534\ldots$

तथाकथित रेनी कार-पार्किंग स्थिरांक।

इसके बाद इलोना पलास्ती का अनुमान आया, जिन्होंने प्रस्तावित किया कि d-आयामी संरेखित वर्गों, क्यूब्स और अतिविम का कवरेज θ₁^d के बराबर है। इस अनुमान के कारण इसके पक्ष और विपक्ष में काफी बहस हुई और अंततः दो और तीन आयामों में कंप्यूटर सिमुलेशन से पता चला कि यह एक अच्छा अनुमान था लेकिन सटीक नहीं था। उच्च आयामों में इस अनुमान की सटीकता ज्ञात नहीं है।

एक-आयामी जाली पर $k$-मेर्स के लिए, हमारे पास कवर किए गए शीर्षों के अंश के लिए है,

$\theta _{k}=k\int _{0}^{\infty }\exp \left(-u-2\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {1-e^{-ju}}{j}}\right)du=k\int _{0}^{1}\exp \left(-2\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {1-v^{j}}{j}}\right)dv$

जब $k$ अनंत तक जाता है, तो यह उपरोक्त रेनी परिणाम देता है। k = 2 के लिए, यह फ्लोरी परिणाम $\theta _{1}=1-e^{-2}$ प्राप्त होता है।

यादृच्छिक क्रमिक रूप से अधिशोषित कणों से संबंधित अंतःस्त्राव थ्रेशोल्ड के लिए, अंतःस्त्रवण सीमा देखें।

File:Random sequential adsorption of line segments.png

सुइयों का आरएसए (असीम पतली रेखा खंड)। यह एक सघन अवस्था को दर्शाता है हालाँकि यहाँ संतृप्ति कभी नहीं होती है।

1d जाली प्रणालियों पर के-मेर्स की संतृप्ति कवरेज

प्रणाली	संतृप्त कवरेज $\theta _{k}$(पूरित साइट्स का भिन्न)
द्वितय	$1-e^{-2}=0.86466472$
त्रितय	${\frac {3{\sqrt {\pi }}({\text{erfi}}(2)-{\text{erfi}}(1))}{2e^{4}}}\approx 0.82365296$
k = 4	$0.80389348$
k = 10	$0.76957741$
k = 100	$0.74976335$
k = 1000	$0.74781413$
k = 10000	$0.74761954$
k = 100000	$0.74760008$
k = $\infty$	$0.74759792$

असममित व्यवहार:

$\theta _{k}\sim \theta _{\infty }+0.2162/k+\ldots$ .

एक आयामी सातत्य पर दो लंबाई के खंडों का संतृप्ति कवरेज

R = खंडों का आकार अनुपात अधिशोषण की समान दर मान लें

प्रणाली	संतृप्त कवरेज $\theta$(पूरित लाइन का भिन्न)
R = 1	0.74759792
R = 1.05	0.7544753(62)
R = 1.1	0.7599829(63)
R = 2	0.7941038(58)

2d वर्ग जाली पर के-मेर्स की संतृप्ति कवरेज

प्रणाली	संतृप्त कवरेज $\theta _{k}$(पूरित साइट्स का भिन्न)
द्वितय k = 2	0.906820(2), 0.906, 0.9068, 0.9062, 0.906, 0.905(9), 0.906, 0.906823(2),
त्रितय k = 3	${\displaystyle }$ 0.846, 0.8366
k = 4	${\displaystyle }$0.8094 0.81
k = 5	0.7868
k = 6	0.7703
k = 7	0.7579
k = 8	0.7479, 0.747
k = 9	0.7405
k = 16	0.7103, 0.71
k = 32	0.6892, 0.689, 0.6893(4)
k = 48	0.6809(5),
k = 64	0.6755, 0.678, 0.6765(6)
k = 96	0.6714(5)
k = 128	0.6686, 0.668(9), 0.668 0.6682(6)
k = 192	0.6655(7)
k = 256	0.6628 0.665, 0.6637(6)
k = 384	0.6634(6)
k = 512	0.6618, 0.6628(9)
k = 1024	0.6592
k = 2048	0.6596
k = 4096	0.6575
k = 8192	0.6571
k = 16384	0.6561
k = ∞	0.660(2), 0.583(10),

स्पर्शोन्मुख व्यवहार:

$\theta _{k}\sim \theta _{\infty }+\ldots$ .

2d त्रिकोणीय जाली पर के-मेर्स की संतृप्ति कवरेज

प्रणाली	संतृप्त कवरेज $\theta _{k}$(पूरित साइट्स का भिन्न)
द्वितय k = 2	0.9142(12),
k = 3	0.8364(6),
k = 4	0.7892(5),
k = 5	0.7584(6),
k = 6	0.7371(7),
k = 8	0.7091(6),
k = 10	0.6912(6),
k = 12	0.6786(6),
k = 20	0.6515(6),
k = 30	0.6362(6),
k = 40	0.6276(6),
k = 50	0.6220(7),
k = 60	0.6183(6),
k = 70	0.6153(6),
k = 80	0.6129(7),
k = 90	0.6108(7),
k = 100	0.6090(8),
k = 128	0.6060(13),

2d जाली पर परिवेश बहिष्करण वाले कणों के लिए संतृप्ति कवरेज

प्रणाली	संतृप्त कवरेज $\theta _{k}$(पूरित साइट्स का भिन्न)
NN बहिष्करण के साथ वर्गाकार जाली	0.3641323(1), 0.36413(1), 0.3641330(5),
NN अपवर्जन के साथ हनीकॉम्ब जाली	0.37913944(1), 0.38(1), 0.379

.

की संतृप्ति कवरेज $k\times k$ 2d वर्गाकार जाली पर वर्ग

प्रणाली	संतृप्त कवरेज $\theta _{k}$(पूरित साइट्स का भिन्न)
k = 2	0.74793(1), 0.747943(37), 0.749(1),
k = 3	0.67961(1), 0.681(1),
k = 4	0.64793(1), 0.647927(22) 0.646(1),
k = 5	0.62968(1) 0.628(1),
k = 8	0.603355(55) 0.603(1),
k = 10	0.59476(4) 0.593(1),
k = 15	0.583(1),
k = 16	0.582233(39)
k = 20	0.57807(5) 0.578(1),
k = 30	0.574(1),
k = 32	0.571916(27)
k = 50	0.56841(10)
k = 64	0.567077(40)
k = 100	0.56516(10)
k = 128	0.564405(51)
k = 256	0.563074(52)
k = 512	0.562647(31)
k = 1024	0.562346(33)
k = 4096	0.562127(33)
k = 16384	0.562038(33)

K = ∞ के लिए, नीचे 2d संरेखित वर्ग देखें। स्पर्शोन्मुख व्यवहार:

$\theta _{k}\sim \theta _{\infty }+0.316/k+0.114/k^{2}\ldots$ .

यह सभी देखें

यादृच्छिक रूप से उन्मुख 2d प्रणाली के लिए संतृप्ति कवरेज

प्रणाली	संतृप्त कवरेज
समबाहु त्रिभुज	0.52590(4)
वर्गों	0.523-0.532, 0.530(1), 0.530(1), 0.52760(5)
नियमित पंचभुज	0.54130(5)
नियमित षट्भुज	0.53913(5)
नियमित सप्तभुज	0.54210(6)
नियमित अष्टभुज	0.54238(5)
नियमित एनीगोन्स	0.54405(5)
नियमित दसभुज	0.54421(6)

अधिकतम कवरेज के साथ 2d आयताकार आकृतियाँ

प्रणाली	पक्षानुपात	संतृप्त कवरेज
आयत	1.618	0.553(1)
द्वितय	1.5098	0.5793(1)
दीर्घवृत्त	2.0	0.583(1)
वृत्ताकार बेलन	1.75	0.583(1)
समतल द्वितय	1.6347	0.5833(5)

3d प्रणाली के लिए संतृप्ति कवरेज

प्रणाली	संतृप्त कवरेज
वृत्त	0.3841307(21), 0.38278(5), 0.384(1)
यादृच्छिक अभिविन्यस्त घनक्षेत्र	0.3686(15), 0.36306(60)
यादृच्छिक अभिविन्यस्त घनाकार 0.75:1:1.3	0.40187(97),

डिस्क, गोले और हाइपरस्फेयर के लिए संतृप्ति कवरेज

प्रणाली	संतृप्त कवरेज
2d डिस्क	0.5470735(28), 0.547067(3), 0.547070, 0.5470690(7), 0.54700(6), 0.54711(16), 0.5472(2), 0.547(2), 0.5479,
3d वृत्त	0.3841307(21), 0.38278(5), 0.384(1)
4d अतिवृत्ताकार	0.2600781(37), 0.25454(9),
5d अतिवृत्ताकार	0.1707761(46), 0.16102(4),
6d अतिवृत्ताकार	0.109302(19), 0.09394(5),
7d अतिवृत्ताकार	0.068404(16),
8d अतिवृत्ताकार	0.04230(21),

संरेखित वर्गों, घनों और अतिविम्स के लिए संतृप्ति कवरेज

प्रणाली	संतृप्त कवरेज
2d संरेखित वर्ग	0.562009(4), 0.5623(4), 0.562(2), 0.5565(15), 0.5625(5), 0.5444(24), 0.5629(6), 0.562(2),
3d संरेखित घनक्षेत्र	0.4227(6), 0.42(1), 0.4262, 0.430(8), 0.422(8), 0.42243(5)
4d संरेखित अतिविम	0.3129, 0.3341,

यह भी देखें

• अवशोषण
• कण निक्षेपण
• अंत:स्रवण सीमा