ऑर्थोगोनल प्रोक्रस्टेस समस्या: Difference between revisions

Latest revision as of 11:31, 11 August 2023

लाम्बिक प्रोक्रस्टेस समस्या^[1] रैखिक बीजगणित में आव्यूह सन्निकटन समस्या है। इसके चिरप्रतिष्ठित रूप में, एक को दो आव्यूह $A$ और $B$ दिए जाते हैं और एक लांबिक आव्यूह खोजने के लिए कहा जाता है, Ω जो $A$ से $B$ तक सबसे सटीक से मानचित्र करता है।^[2]^[3] विशेष रूप से,

R=\arg \min _{\Omega }\|\Omega A-B\|_{F}\quad \mathrm {subject\ to} \quad \Omega ^{T}\Omega =I,

जहां $\|\cdot \|_{F}$ फ्रोबेनियस मानदंड (नॉर्म) को दर्शाता है। यह वहाबा की समस्या की एक विशेष स्थिति है (सर्वसम भार के साथ; दो आव्यूहों पर विचार करने के बजाय, वहाबा की समस्या में आव्यूहों के स्तंभों को अलग-अलग सदिश माना जाता है)। एक और अंतर यह है कि वाहबा की समस्या केवल एक लांबिक के बजाय एक उचित घूर्णन आव्यूह खोजने का प्रयास करती है।

प्रोक्रस्टेस नाम ग्रीक पौराणिक कथाओं के एक डाकू को संदर्भित करता है जो अपने पीड़ितों को या तो उनके अंगों को खींचकर या उन्हें काटकर अपने बिस्तर पर फिट कर देता था।

समाधान

इस समस्या को मूल रूप से 1964 के थीसिस (शोध प्रवंध) में पीटर शॉनमैन द्वारा हल किया गया था, और कुछ ही समय बाद साइकोमेट्रिका पत्रिका में दिखाई दिया था।^[4]

यह समस्या किसी दिए गए आव्यूह $M=BA^{T}$ के निकटतम लांबिक आव्यूह को खोजने के समतुल्य है, यानी निकटतम लांबिक सन्निकटन समस्या $\min _{R}\|R-M\|_{F}\quad \mathrm {subject\ to} \quad R^{T}R=I$ को हल करने के समतुल्य है।

आव्यूह $R$ को खोजने के लिए, $R=UV^{T}\,\!$ लिखने के लिए अव्युत्क्रमणीय मान वियोजन (जिसके लिए $\Sigma$ की प्रविष्टियाँ ऋणेतर संख्या हैं) $M=U\Sigma V^{T}\,\!$ का उपयोग किया जाता है |

प्रमाण

एक प्रमाण फ्रोबेनियस आंतरिक गुणन के मूल गुणों पर निर्भर करता है जो फ्रोबेनियस मानदंड को प्रेरित करता है:

{\begin{aligned}R&=\arg \min _{\Omega }||\Omega A-B\|_{F}^{2}\\&=\arg \min _{\Omega }\langle \Omega A-B,\Omega A-B\rangle _{F}\\&=\arg \min _{\Omega }\|\Omega A\|_{F}^{2}+\|B\|_{F}^{2}-2\langle \Omega A,B\rangle _{F}\\&=\arg \min _{\Omega }\|A\|_{F}^{2}+\|B\|_{F}^{2}-2\langle \Omega A,B\rangle _{F}\\&=\arg \max _{\Omega }\langle \Omega ,BA^{T}\rangle _{F}\\&=\arg \max _{\Omega }\langle \Omega ,U\Sigma V^{T}\rangle _{F}\\&=\arg \max _{\Omega }\langle U^{T}\Omega V,\Sigma \rangle _{F}\\&=\arg \max _{\Omega }\langle S,\Sigma \rangle _{F}\quad {\text{where }}S=U^{T}\Omega V\\\end{aligned}}

यह राशि

S

एक लांबिक आव्यूह है (क्योंकि यह लांबिक आव्यूह का एक गुणनफल है) और इस प्रकार व्यंजक अधिकतम हो जाते है जब

S

तत्समक आव्यूह

I

के बराबर होता है | इस प्रकार

{\begin{aligned}I&=U^{T}RV\\R&=UV^{T}\\\end{aligned}}

जहां $R$ , $\Omega$ के इष्टतम मान का समाधान है जो मानक वर्ग $||\Omega A-B\|_{F}^{2}$ को न्यूनतम करता है |

व्यापकीकृत/व्यवरूद्ध प्रोक्रस्टेस समस्याएँ

चिरप्रतिष्ठित लांबिक प्रोक्रस्ट्स समस्या से संबंधित कई समस्याएं हैं। कोई इसे निकटतम आव्यूह की खोज करके व्यापकीकृत कर सकता है जिसमें स्तंभ लांबिक हैं, लेकिन आवश्यक नहीं कि प्रसामान्य लांबिक (ऑर्थोनॉर्मल) हों।^[5]

वैकल्पिक रूप से, कोई इसे केवल घूर्णन आव्यूहों (यानी निर्धारक 1 के साथ लांबिक आव्यूह, जिसे विशेष लांबिक आव्यूह के रूप में भी जाना जाता है) की अनुमति देकर प्रतिबंधित कर सकता है। इस स्थिति में, कोई लिख सकता है (उपर्युक्त वियोजन $M=U\Sigma V^{T}$ का उपयोग करके)

R=U\Sigma 'V^{T},\,\!

जहां $\Sigma '\,\!$ एक आपरिवर्तित $\Sigma \,\!$ है, जिसमें सबसे छोटे अव्युत्क्रमणीय मान को $\det(UV^{T})$ (+1 या -1) द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है, ताकि R के निर्धारक के धनात्मक होने की गारंटी हो।^[6] अधिक जानकारी के लिए, काब्श कलनविधि देखें।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Gower, J.C; Dijksterhuis, G.B. (2004), Procrustes Problems, Oxford University Press
↑ Hurley, J.R.; Cattell, R.B. (1962), "Producing direct rotation to test a hypothesized factor structure", Behavioral Science, 7 (2): 258–262, doi:10.1002/bs.3830070216
↑ Golub, G.H.; Van Loan, C. (2013). मैट्रिक्स संगणना (4 ed.). JHU Press. p. 327. ISBN 1421407949.
↑ Schönemann, P.H. (1966), "A generalized solution of the orthogonal Procrustes problem" (PDF), Psychometrika, 31: 1–10, doi:10.1007/BF02289451, S2CID 121676935.
↑ Everson, R (1997), Orthogonal, but not Orthonormal, Procrustes Problems (PDF)
↑ Eggert, DW; Lorusso, A; Fisher, RB (1997), "Estimating 3-D rigid body transformations: a comparison of four major algorithms", Machine Vision and Applications, 9 (5): 272–290, doi:10.1007/s001380050048, S2CID 1611749

[1] Gower, J.C; Dijksterhuis, G.B. (2004), Procrustes Problems, Oxford University Press

[2] Hurley, J.R.; Cattell, R.B. (1962), "Producing direct rotation to test a hypothesized factor structure", Behavioral Science, 7 (2): 258–262, doi:10.1002/bs.3830070216

[3] Golub, G.H.; Van Loan, C. (2013). मैट्रिक्स संगणना (4 ed.). JHU Press. p. 327. ISBN 1421407949.

[4] Schönemann, P.H. (1966), "A generalized solution of the orthogonal Procrustes problem" (PDF), Psychometrika, 31: 1–10, doi:10.1007/BF02289451, S2CID 121676935.

[5] Everson, R (1997), Orthogonal, but not Orthonormal, Procrustes Problems (PDF)

[6] Eggert, DW; Lorusso, A; Fisher, RB (1997), "Estimating 3-D rigid body transformations: a comparison of four major algorithms", Machine Vision and Applications, 9 (5): 272–290, doi:10.1007/s001380050048, S2CID 1611749

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@@ Line 1: / Line 1: @@
-'''लाम्बिक प्रोक्रस्टेस समस्या'''<ref>{{Citation | last1=Gower | first1=J.C | last2=Dijksterhuis | first2=G.B. | year=2004 | title=Procrustes Problems | publisher = Oxford University Press}}</ref> [[रैखिक बीजगणित]] में [[मैट्रिक्स सन्निकटन|आव्यूह सन्निकटन]] समस्या है। इसके चिरप्रतिष्ठित रूप में, एक को दो [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह]] <math>A</math> और <math>B</math> दिए जाते हैं और एक [[लांबिक आव्यूह]] खोजने के लिए कहा जाता है, Ω\ओमेगा जो <math>A</math> से <math>B</math> तक सबसे सटीक से मानचित्र करता है।<ref>{{Citation | last1=Hurley | first1=J.R. | last2=Cattell | first2=R.B. | year=1962 | title=Producing direct rotation to test a hypothesized factor structure | journal = Behavioral Science | volume = 7 | pages=258&ndash;262 | doi=10.1002/bs.3830070216 | issue=2}}</ref><ref>{{cite book| last1=Golub| first1=G.H. | last2=Van Loan | first2=C. | year=2013| title=मैट्रिक्स संगणना| publisher = JHU Press | page=327 | isbn=1421407949 | edition=4}}</ref> विशेष रूप से,
+'''लाम्बिक प्रोक्रस्टेस समस्या'''<ref>{{Citation | last1=Gower | first1=J.C | last2=Dijksterhuis | first2=G.B. | year=2004 | title=Procrustes Problems | publisher = Oxford University Press}}</ref> [[रैखिक बीजगणित]] में [[मैट्रिक्स सन्निकटन|आव्यूह सन्निकटन]] समस्या है। इसके चिरप्रतिष्ठित रूप में, एक को दो [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह]] <math>A</math> और <math>B</math> दिए जाते हैं और एक [[लांबिक आव्यूह]] खोजने के लिए कहा जाता है, Ω जो <math>A</math> से <math>B</math> तक सबसे सटीक से मानचित्र करता है।<ref>{{Citation | last1=Hurley | first1=J.R. | last2=Cattell | first2=R.B. | year=1962 | title=Producing direct rotation to test a hypothesized factor structure | journal = Behavioral Science | volume = 7 | pages=258&ndash;262 | doi=10.1002/bs.3830070216 | issue=2}}</ref><ref>{{cite book| last1=Golub| first1=G.H. | last2=Van Loan | first2=C. | year=2013| title=मैट्रिक्स संगणना| publisher = JHU Press | page=327 | isbn=1421407949 | edition=4}}</ref> विशेष रूप से,
 :<math>R = \arg\min_\Omega\|\Omega A-B\|_F \quad\mathrm{subject\ to}\quad \Omega^T
 \Omega=I,</math>
-जहां <math>\|\cdot\|_F</math> [[फ्रोबेनियस मानदंड]] (नॉर्म) को दर्शाता है। यह [[वहाबा की समस्या]] की एक विशेष स्थिति है (सर्वसम भार के साथ; दो आव्यूहों पर विचार करने के बजाय, वहाबा की समस्या में आव्यूहों के स्तंभों को अलग-अलग सदिश माना जाता है)। एक और अंतर यह है कि वाहबा की समस्या केवल एक लांबिक के बजाय एक उचित घूर्णन आव्यूह खोजने की कोशिश करती है।
+जहां <math>\|\cdot\|_F</math> [[फ्रोबेनियस मानदंड]] (नॉर्म) को दर्शाता है। यह [[वहाबा की समस्या]] की एक विशेष स्थिति है (सर्वसम भार के साथ; दो आव्यूहों पर विचार करने के बजाय, वहाबा की समस्या में आव्यूहों के स्तंभों को अलग-अलग सदिश माना जाता है)। एक और अंतर यह है कि वाहबा की समस्या केवल एक लांबिक के बजाय एक उचित घूर्णन आव्यूह खोजने का प्रयास करती है।
 [[प्रोक्रस्टेस]] नाम ग्रीक पौराणिक कथाओं के एक डाकू को संदर्भित करता है जो अपने पीड़ितों को या तो उनके अंगों को खींचकर या उन्हें काटकर अपने बिस्तर पर फिट कर देता था।
 == समाधान ==
-इस समस्या को मूल रूप से [[पीटर शॉनमैन]] ने 1964 के थीसिस (शोध प्रबंध) में हल किया था, और कुछ ही समय बाद साइकोमेट्रिका पत्रिका में छपी।<ref>{{Citation | last=Schönemann | first=P.H. | authorlink = Peter Schönemann | year=1966 | title=A generalized solution of the orthogonal Procrustes problem | journal=Psychometrika | volume=31 | pages=1–10 | url=https://web.stanford.edu/class/cs273/refs/procrustes.pdf | doi=10.1007/BF02289451 | s2cid=121676935 | postscript=.}}</ref>
+इस समस्या को मूल रूप से 1964 के थीसिस (शोध प्रवंध) में [[पीटर शॉनमैन]] द्वारा हल किया गया था, और कुछ ही समय बाद साइकोमेट्रिका पत्रिका में दिखाई दिया था।<ref>{{Citation | last=Schönemann | first=P.H. | authorlink = Peter Schönemann | year=1966 | title=A generalized solution of the orthogonal Procrustes problem | journal=Psychometrika | volume=31 | pages=1–10 | url=https://web.stanford.edu/class/cs273/refs/procrustes.pdf | doi=10.1007/BF02289451 | s2cid=121676935 | postscript=.}}</ref>
-यह समस्या किसी दिए गए आव्यूह <math>M=BA^{T}</math> के निकटतम लांबिक आव्यूह को खोजने के समतुल्य है, यानी निकटतम लांबिक सन्निकटन समस्या <math>\min_R\|R-M\|_F \quad\mathrm{subject\ to}\quad R^T R=I</math> को हल करने के समतुल्य है।
+यह समस्या किसी दिए गए आव्यूह <math>M=BA^{T}</math> के निकटतम लांबिक आव्यूह को खोजने के समतुल्य है, यानी ''निकटतम लांबिक सन्निकटन समस्या'' <math>\min_R\|R-M\|_F \quad\mathrm{subject\ to}\quad R^T R=I</math> को हल करने के समतुल्य है।
-'''आव्यूहखोजने के''' लिए <math>R</math>, एक एकल मूल्य अपघटन का उपयोग करता है (जिसके लिए की प्रविष्टियाँ <math>\Sigma</math> गैर-नकारात्मक हैं)
-:<math>M=U\Sigma V^T\,\!</math>
-लिखना
-:<math>R=UV^T.\,\!</math>
+आव्यूह <math>R</math> को खोजने के लिए, <math>R=UV^T\,\!</math> लिखने के लिए [[अव्युत्क्रमणीय मान वियोजन]] (जिसके लिए <math>\Sigma</math> की प्रविष्टियाँ ऋणेतर संख्या हैं) <math>M=U\Sigma V^T\,\!</math> का उपयोग किया जाता है |
 == प्रमाण ==
-एक प्रमाण [[फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद]] के मूल गुणों पर निर्भर करता है जो फ्रोबेनियस मानदंड को प्रेरित करता है:
+एक प्रमाण [[फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद|फ्रोबेनियस आंतरिक गुणन]] के मूल गुणों पर निर्भर करता है जो फ्रोबेनियस मानदंड को प्रेरित करता है:
 :<math>
 \begin{align}
@@ Line 32: / Line 28: @@
 \end{align}
 </math>
-:यह मात्रा <math>S</math> एक ऑर्थोगोनल आव्यूहहै (क्योंकि यह ऑर्थोगोनल आव्यूहका एक उत्पाद है) और इस प्रकार अभिव्यक्ति अधिकतम हो जाती है जब <math>S</math> पहचान आव्यूहके बराबर है <math>I</math>. इस प्रकार
+:यह राशि <math>S</math> एक लांबिक आव्यूह है (क्योंकि यह लांबिक आव्यूह का एक गुणनफल है) और इस प्रकार व्यंजक अधिकतम हो जाते है जब <math>S</math> तत्समक आव्यूह <math>I</math> के बराबर होता है | इस प्रकार
 :<math>
 \begin{align}
@@ Line 39: / Line 35: @@
 \end{align}
 </math>
-जहां <math> R </math> के इष्टतम मूल्य का समाधान है <math> \Omega </math> जो मानक वर्ग को न्यूनतम करता है <math>||\Omega A-B\|_F^2  </math>.
+जहां <math> R </math>, <math> \Omega </math> के इष्टतम मान का समाधान है जो मानक वर्ग <math>||\Omega A-B\|_F^2  </math> को न्यूनतम करता है |
+== व्यापकीकृत/व्यवरूद्ध प्रोक्रस्टेस समस्याएँ ==
+चिरप्रतिष्ठित लांबिक प्रोक्रस्ट्स समस्या से संबंधित कई समस्याएं हैं। कोई इसे निकटतम आव्यूह की खोज करके व्यापकीकृत कर सकता है जिसमें स्तंभ [[लांबिक]] हैं, लेकिन आवश्यक नहीं कि प्रसामान्य लांबिक ([[ऑर्थोनॉर्मल|ऑर्थोनॉर्मल)]] हों।<ref>{{Citation| last=Everson| first=R| year=1997| title=Orthogonal, but not Orthonormal, Procrustes Problems| url=http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/reverson/uploads/Site/procrustes.pdf}}</ref>
-== सामान्यीकृत/विवश प्रोक्रस्टेस समस्याएँ ==
+वैकल्पिक रूप से, कोई इसे केवल [[घूर्णन आव्यूह|घूर्णन आव्यूहों]] (यानी [[निर्धारक]] 1 के साथ लांबिक आव्यूह, जिसे विशेष [[लांबिक आव्यूह]] के रूप में भी जाना जाता है) की अनुमति देकर प्रतिबंधित कर सकता है। इस स्थिति में, कोई लिख सकता है (उपर्युक्त वियोजन <math>M=U\Sigma V^T</math> का उपयोग करके)
-शास्त्रीय [[ ओर्थोगोनल ]] प्रोक्रस्ट्स समस्या से संबंधित कई समस्याएं हैं। कोई इसे निकटतम आव्यूहकी तलाश करके सामान्यीकृत कर सकता है जिसमें कॉलम ऑर्थोगोनल हैं, लेकिन जरूरी नहीं कि [[ऑर्थोनॉर्मल]] हों।<ref>{{Citation| last=Everson| first=R| year=1997| title=Orthogonal, but not Orthonormal, Procrustes Problems| url=http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/reverson/uploads/Site/procrustes.pdf}}</ref>
-वैकल्पिक रूप से, कोई केवल [[रोटेशन मैट्रिक्स|रोटेशन]] आव्यूह(यानी निर्धारक 1 के साथ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स, जिसे ऑर्थोगोनल आव्यूहके रूप में भी जाना जाता है) की अनुमति देकर इसे बाधित कर सकता है। इस मामले में, कोई लिख सकता है (उपर्युक्त अपघटन का उपयोग करके <math>M=U\Sigma V^T</math>)
 :<math>R=U\Sigma'V^T,\,\!</math>
-जहां <math>\Sigma'\,\!</math> एक संशोधित है <math>\Sigma\,\!</math>, द्वारा प्रतिस्थापित सबसे छोटा एकवचन मान <math>\det(UV^T)</math> (+1 या -1), और अन्य एकवचन मानों को 1 से प्रतिस्थापित किया जाता है, ताकि आर के निर्धारक के सकारात्मक होने की गारंटी हो।<ref>{{Citation|last1=Eggert|first1=DW| last2=Lorusso|first2=A| last3=Fisher|first3=RB| title=Estimating 3-D rigid body transformations: a comparison of four major algorithms| journal=Machine Vision and Applications| volume=9| issue=5| pages=272&ndash;290| year=1997|doi=10.1007/s001380050048|s2cid=1611749}}</ref> अधिक जानकारी के लिए, [[काब्श एल्गोरिथम]] देखें।
+जहां <math>\Sigma'\,\!</math> एक आपरिवर्तित <math>\Sigma\,\!</math> है, जिसमें सबसे छोटे अव्युत्क्रमणीय मान को <math>\det(UV^T)</math> (+1 या -1) द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है, ताकि R के निर्धारक के धनात्मक होने की गारंटी हो।<ref>{{Citation|last1=Eggert|first1=DW| last2=Lorusso|first2=A| last3=Fisher|first3=RB| title=Estimating 3-D rigid body transformations: a comparison of four major algorithms| journal=Machine Vision and Applications| volume=9| issue=5| pages=272&ndash;290| year=1997|doi=10.1007/s001380050048|s2cid=1611749}}</ref> अधिक जानकारी के लिए, [[काब्श एल्गोरिथम|काब्श कलनविधि]] देखें।
 == यह भी देखें ==
 * [[प्रोक्रस्टेस विश्लेषण]]
-* प्रोक्रस्टेस परिवर्तन
+* [[प्रोक्रस्टेस विश्लेषण|प्रोक्रस्टेस रूपांतरण]]
-*वहबा की समस्या
+*[[प्रोक्रस्टेस विश्लेषण|वहबा की समस्या]]
-* काब्श एल्गोरिथम
+* [[प्रोक्रस्टेस विश्लेषण|काब्श कलनविधि]]
-* [[प्वाइंट सेट पंजीकरण]]
+* [[प्रोक्रस्टेस विश्लेषण|बिन्दु समुच्चय पंजीयन]]
 == संदर्भ ==
 <references/>
-[[Category: लीनियर अलजेब्रा]] [[Category: मैट्रिक्स सिद्धांत]] [[Category: विलक्षण मान अपघटन]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 24/07/2023]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready]]
+[[Category:मैट्रिक्स सिद्धांत]]
+[[Category:लीनियर अलजेब्रा]]
+[[Category:विलक्षण मान अपघटन]]

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