ओपन-चैनल प्रवाह: Difference between revisions

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[[द्रव यांत्रिकी]] और [[जलगति विज्ञान]] में, ओपन-चैनल प्रवाह एक [[मुक्त सतह]] के साथ एक नाली के भीतर एक प्रकार का [[तरल]] प्रवाह है, जिसे [[स्ट्रीम चैनल]] के रूप में जाना जाता है।<ref>{{Cite book|last=Chow|first=Ven Te|url=https://heidarpour.iut.ac.ir/sites/heidarpour.iut.ac.ir/files/u32/open-chow.pdf|title=ओपन-चैनल हाइड्रोलिक्स|publisher=The Blackburn Press|year=2008|isbn=978-1932846188|location=Caldwell, NJ}}</ref><ref>{{Cite book|last=Battjes|first=Jurjen A.|url=https://www.cambridge.org/core/books/unsteady-flow-in-open-channels/5CCE099F37BCC5AF4E67B35F15666E7B|title=खुले चैनलों में अस्थिर प्रवाह|last2=Labeur|first2=Robert Jan|publisher=Cambridge University Press|year=2017|isbn=9781316576878|location=Cambridge, UK}}</ref> नाली के भीतर दूसरे प्रकार का प्रवाह [[पाइप प्रवाह]] है। ये दो प्रकार के प्रवाह कई मायनों में समान हैं लेकिन एक महत्वपूर्ण संबंध में भिन्न हैं: खुले-चैनल प्रवाह में एक मुक्त सतह होती है, जबकि पाइप प्रवाह में नहीं होती है।
[[द्रव यांत्रिकी]] और [[जलगति विज्ञान]] में, '''विवृत चैनल प्रवाह,''' एक प्रकार का [[तरल]] प्रवाह है किसी नलिका के [[मुक्त सतह|विवृत्त सतह]] के भीतर होती है, जिसे [[स्ट्रीम चैनल|चैनल]] के रूप में जाना जाता है।<ref>{{Cite book|last=Chow|first=Ven Te|url=https://heidarpour.iut.ac.ir/sites/heidarpour.iut.ac.ir/files/u32/open-chow.pdf|title=ओपन-चैनल हाइड्रोलिक्स|publisher=The Blackburn Press|year=2008|isbn=978-1932846188|location=Caldwell, NJ}}</ref><ref>{{Cite book|last=Battjes|first=Jurjen A.|url=https://www.cambridge.org/core/books/unsteady-flow-in-open-channels/5CCE099F37BCC5AF4E67B35F15666E7B|title=खुले चैनलों में अस्थिर प्रवाह|last2=Labeur|first2=Robert Jan|publisher=Cambridge University Press|year=2017|isbn=9781316576878|location=Cambridge, UK}}</ref> नलिका के भीतर दूसरे प्रकार का प्रवाह [[पाइप प्रवाह]] है। ये दो प्रकार के प्रवाह कई मानदंडों में समान हैं परंतु एक महत्वपूर्ण दृष्टिकोण में भिन्न हैं: विवृत चैनल प्रवाह में एक विवृत सतह होती है, जबकि पाइप प्रवाह में विवृत्त सतह नहीं होती है।
[[File:Arizona cap canal.jpg|alt=|thumb|[[सेंट्रल एरिज़ोना परियोजना]] चैनल।]]
[[File:Arizona cap canal.jpg|alt=|thumb|[[सेंट्रल एरिज़ोना परियोजना]] चैनल।]]


==प्रवाह का वर्गीकरण==
==प्रवाह का वर्गीकरण==


समय और स्थान के संबंध में प्रवाह की गहराई में परिवर्तन के आधार पर ओपन-चैनल प्रवाह को विभिन्न तरीकों से वर्गीकृत और वर्णित किया जा सकता है।<ref>{{Cite book|last=Jobson|first=Harvey E.|url=https://pubs.usgs.gov/of/1988/0707/report.pdf|title=ओपन-चैनल प्रवाह के बुनियादी हाइड्रोलिक सिद्धांत|last2=Froehlich|first2=David C.|publisher=U.S. Geological Survey|year=1988|location=Reston, VA}}</ref> ओपन-चैनल हाइड्रोलिक्स में प्रवाह के मूलभूत प्रकार हैं:
समय और स्थान के संबंध में प्रवाह की गहराई में परिवर्तन के आधार पर विवृत चैनल प्रवाह को विभिन्न विधियों से वर्गीकृत और वर्णित किया जा सकता है।<ref>{{Cite book|last=Jobson|first=Harvey E.|url=https://pubs.usgs.gov/of/1988/0707/report.pdf|title=ओपन-चैनल प्रवाह के बुनियादी हाइड्रोलिक सिद्धांत|last2=Froehlich|first2=David C.|publisher=U.S. Geological Survey|year=1988|location=Reston, VA}}</ref> विवृत चैनल जलगति विज्ञान में प्रवाह के निम्नलिखित मूलभूत प्रकार हैं:


* कसौटी के रूप में समय
* मानदंड के रूप में समय
** ''निरंतर प्रवाह''
** ''निरंतर प्रवाह''
*** प्रवाह की गहराई समय के साथ नहीं बदलती है, या यदि इसे विचाराधीन समय अंतराल के दौरान स्थिर माना जा सकता है।
*** प्रवाह की गहराई समय के साथ परिवर्तित नहीं होती है, या यदि इसे किसी निश्चित समय अंतराल के समय स्थिर माना जा सकता है।
** ''अस्थिर प्रवाह''
** ''अस्थिर प्रवाह''
*** प्रवाह की गहराई समय के साथ बदलती रहती है।
*** प्रवाह की गहराई समय के साथ परिवर्तित होती रहती है।
* मानदंड के रूप में स्थान
* मानदंड के रूप में स्थान
** ''समान प्रवाह''
** ''समान प्रवाह''
*** चैनल के प्रत्येक भाग में प्रवाह की गहराई समान है। एकसमान प्रवाह स्थिर या अस्थिर हो सकता है, यह इस पर निर्भर करता है कि समय के साथ गहराई बदलती है या नहीं, (हालांकि अस्थिर एकसमान प्रवाह दुर्लभ है)।
*** चैनल के प्रत्येक भाग में प्रवाह की गहराई समान है। एकसमान प्रवाह स्थिर या अस्थिर हो सकता है, यह इस पर निर्भर करता है कि समय के साथ गहराई परिवर्तित होती है या नहीं, (यद्यपि अस्थिर एकसमान प्रवाह दुर्लभ है)।
** ''विविध प्रवाह''
** ''विविध प्रवाह''
*** प्रवाह की गहराई चैनल की लंबाई के साथ बदलती रहती है। तकनीकी रूप से विविध प्रवाह या तो स्थिर या अस्थिर हो सकता है। विविध प्रवाह को या तो तेजी से या धीरे-धीरे-भिन्न के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है:
*** प्रवाह की गहराई चैनल की लंबाई के साथ परिवर्तित होती रहती है। तकनीकी रूप से विविध प्रवाह या तो स्थिर या अस्थिर हो सकता है। विविध प्रवाह को या तो तीव्रता से या अल्पांश विविध के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है:
**** ''तेजी से विविध प्रवाह''
**** ''तीव्र विविध प्रवाह''
***** तुलनात्मक रूप से कम दूरी पर गहराई अचानक बदल जाती है। तेजी से बदलते प्रवाह को स्थानीय घटना के रूप में जाना जाता है। उदाहरण [[हाइड्रोलिक कूद]] और [[हाइड्रोलिक ड्रॉप]] हैं।
***** तुलनात्मक रूप से कम दूरी पर गहराई अचानक परिवर्तित हो जाती है। तीव्र विविध प्रवाह को स्थानीय घटना के रूप में जाना जाता है। उदाहरण [[हाइड्रोलिक कूद|हाइड्रोलिक]] जम्प और [[हाइड्रोलिक ड्रॉप]] हैं।
**** ''धीरे-धीरे बदलता प्रवाह''
**** ''अल्पांश विविध प्रवाह''
***** लंबी दूरी पर गहराई बदलती रहती है।
***** लंबी दूरी पर गहराई परिवर्तित होती रहती है।
** ''सतत प्रवाह''
** ''सतत प्रवाह''
*** विचाराधीन चैनल की संपूर्ण [[पहुंच (भूगोल)]] में डिस्चार्ज स्थिर है। स्थिर प्रवाह के मामले में अक्सर ऐसा होता है। इस प्रवाह को निरंतर माना जाता है और इसलिए इसे निरंतर स्थिर प्रवाह के लिए निरंतरता समीकरण का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है।
*** विचाराधीन चैनल की सीमा में प्रवाहन संवर्धन स्थिर है। स्थिर प्रवाह के परिप्रेक्ष्य में प्रायः ऐसा होता है। इस प्रवाह को निरंतर माना जाता है और इसलिए इसे निरंतर स्थिर प्रवाह के लिए निरंतरता समीकरण का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है।
** ''स्थानिक रूप से विविध प्रवाह''
** ''स्थानिक रूप से विविध प्रवाह''
*** एक चैनल के अनुदिश स्थिर प्रवाह का निर्वहन असमान होता है। ऐसा तब होता है जब पानी प्रवाह के दौरान चैनल में प्रवेश करता है और/या छोड़ देता है। एक चैनल में प्रवेश करने वाले प्रवाह का एक उदाहरण सड़क के किनारे का गटर होगा। एक चैनल से निकलने वाले प्रवाह का एक उदाहरण एक सिंचाई चैनल होगा। इस प्रवाह को निरंतरता समीकरण का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, निरंतर अस्थिर प्रवाह के लिए समय प्रभाव पर विचार करने की आवश्यकता होती है और इसमें चर के रूप में समय तत्व शामिल होता है।
*** किसी चैनल के अनुदिश स्थिर प्रवाह का निर्वहन असमान होता है। ऐसा तब होता है जब जल प्रवाह के समय चैनल में प्रवेश करता है और/या छोड़ देता है। एक चैनल में प्रवेश करने वाले प्रवाह का एक उदाहरण सड़क के किनारे की नाली होगी। एक चैनल से निकलने वाले प्रवाह का एक उदाहरण एक सिंचाई चैनल होगा। इस प्रवाह को निरंतरता समीकरण का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, निरंतर अस्थिर प्रवाह के लिए समय प्रभाव पर विचार करने की आवश्यकता होती है और इसमें चर के रूप में समय तत्व शामिल होता है।


==प्रवाह की अवस्थाएँ==
==प्रवाह की अवस्थाएँ==
खुले-चैनल प्रवाह का व्यवहार प्रवाह की जड़त्वीय शक्तियों के सापेक्ष चिपचिपाहट और गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव से नियंत्रित होता है। सतही तनाव का एक छोटा सा योगदान होता है, लेकिन अधिकांश परिस्थितियों में यह एक शासी कारक बनने के लिए पर्याप्त महत्वपूर्ण भूमिका नहीं निभाता है। एक मुक्त सतह की उपस्थिति के कारण, गुरुत्वाकर्षण आम तौर पर खुले-चैनल प्रवाह का सबसे महत्वपूर्ण चालक है; इसलिए, जड़त्व और गुरुत्वाकर्षण बलों का अनुपात सबसे महत्वपूर्ण आयामहीन पैरामीटर है।<ref name=":0">{{Cite book|last=Sturm|first=Terry W.|url=http://docshare03.docshare.tips/files/4233/42333266.pdf|title=ओपन चैनल हाइड्रोलिक्स|publisher=McGraw-Hill|year=2001|isbn=9780073397870|location=New York, NY|pages=2}}</ref> पैरामीटर को [[ घृणित संख्या ]] के रूप में जाना जाता है, और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:<math display="block">\text{Fr} = {U\over{\sqrt{gD}}}</math>कहाँ <math>U</math> माध्य वेग है, <math>D</math> एक चैनल की गहराई के लिए विशिष्ट लंबाई का पैमाना है, और <math>g</math> गुरुत्वाकर्षण त्वरण है. जड़ता के सापेक्ष चिपचिपाहट के प्रभाव के आधार पर, जैसा कि [[रेनॉल्ड्स संख्या]] द्वारा दर्शाया गया है, प्रवाह या तो [[लामिना का प्रवाह]], [[अशांत प्रवाह]], या लामिना-अशांत संक्रमण हो सकता है। हालाँकि, यह मान लेना आम तौर पर स्वीकार्य है कि रेनॉल्ड्स संख्या पर्याप्त रूप से बड़ी है ताकि चिपचिपे बलों की उपेक्षा की जा सके।<ref name=":0" />
विवृत्त-चैनल प्रवाह का व्यवहार, प्रवाह की जड़त्वीय शक्तियों के सापेक्ष श्यानता और गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव से नियंत्रित होता है। सतही तनाव का एक छोटा सा योगदान होता है, परंतु अधिकांश परिस्थितियों में यह एक प्रभावी कारक बनने के लिए पर्याप्त महत्वपूर्ण भूमिका नहीं निभाता है। एक विवृत्त सतह की उपस्थिति के कारण, गुरुत्वाकर्षण सामान्यतः विवृत्त-चैनल प्रवाह का सबसे महत्वपूर्ण चालक है; इसलिए, जड़त्व और गुरुत्वाकर्षण बलों का अनुपात सबसे महत्वपूर्ण आयामहीन मानदंड है।<ref name=":0">{{Cite book|last=Sturm|first=Terry W.|url=http://docshare03.docshare.tips/files/4233/42333266.pdf|title=ओपन चैनल हाइड्रोलिक्स|publisher=McGraw-Hill|year=2001|isbn=9780073397870|location=New York, NY|pages=2}}</ref> मानदंड को [[ घृणित संख्या | फरोड संख्या]] के रूप में जाना जाता है, और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:<math display="block">\text{Fr} = {U\over{\sqrt{gD}}}</math>जहाँ <math>U</math> माध्य वेग है, <math>D</math>, किसी चैनल की गहराई के लिए विशिष्ट लंबाई का मानदंड है, और <math>g</math> गुरुत्वाकर्षण त्वरण है. जड़ता के सापेक्ष श्यानता के प्रभाव के आधार पर, जैसा कि [[रेनॉल्ड्स संख्या]] द्वारा दर्शाया गया है, प्रवाह या तो [[लामिना का प्रवाह]], [[अशांत प्रवाह]], या परिवर्ती प्रवाह हो सकता है। यद्यपि, यह मान लेना सामान्यतः स्वीकार्य है कि रेनॉल्ड्स संख्या पर्याप्त रूप से बड़ी है जिससे श्यान बलों की उपेक्षा की जा सके।<ref name=":0" />




== सूत्रीकरण ==
== सूत्रीकरण ==
{{further|Computational methods for free surface flow}}
{{further|मुक्त सतह प्रवाह के लिए अभिकलनात्मक विधियाँ}}


खुले-चैनल प्रवाह में उपयोगी मात्राओं के लिए तीन [[संरक्षण कानून]]ों का वर्णन करने वाले समीकरण तैयार करना संभव है: द्रव्यमान, गति और ऊर्जा। शासकीय समीकरण [[प्रवाह वेग]] वेक्टर क्षेत्र की गतिशीलता पर विचार करने से उत्पन्न होते हैं <math>{\bf v}</math> घटकों के साथ <math>{\bf v} = \begin{pmatrix} u & v & w \end{pmatrix}^{T}</math>. कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, ये घटक क्रमशः x, y और z अक्षों में प्रवाह वेग के अनुरूप होते हैं।
विवृत्त-चैनल प्रवाह में उपयोगी मात्राओं के लिए तीन [[संरक्षण कानून|संरक्षण नियमों]] जैसे द्रव्यमान, गति और ऊर्जा का वर्णन करने वाले समीकरण तैयार करना संभव है। प्रभावी समीकरण [[प्रवाह वेग]] <math>{\bf v}</math> सदिश क्षेत्र की गतिशीलता पर विचार करने से उत्पन्न होते हैं जो निम्नलिखित हैː <math>{\bf v} = \begin{pmatrix} u & v & w \end{pmatrix}^{T}</math>
 
कार्तीय निर्देशांक पद्धति में, ये घटक क्रमशः x, y और z अक्षों में प्रवाह वेग के अनुरूप होते हैं।
   
   
समीकरणों के अंतिम रूप को सरल बनाने के लिए, कई धारणाएँ बनाना स्वीकार्य है:
समीकरणों के अंतिम रूप को सरल बनाने के लिए, कई धारणाएँ निर्मित करना स्वीकार्य है:
   
   
# प्रवाह [[असंपीड्य प्रवाह]] है (तेजी से बदलते प्रवाह के लिए यह अच्छी धारणा नहीं है)
# प्रवाह [[असंपीड्य प्रवाह]] है (तीव्रता से परिवर्तित हों वाले प्रवाह के लिए यह उपयुक्त धारणा नहीं है)
# रेनॉल्ड्स संख्या इतनी बड़ी है कि श्यान प्रसार की उपेक्षा की जा सकती है
# रेनॉल्ड्स संख्या इतनी बड़ी है कि श्यान प्रसार की उपेक्षा की जा सकती है
# प्रवाह x-अक्ष पर एक-आयामी है
# प्रवाह x-अक्ष पर एक-आयामी है


=== निरंतरता समीकरण ===
=== निरंतरता समीकरण ===
द्रव्यमान के संरक्षण का वर्णन करने वाला सामान्य निरंतरता समीकरण इस प्रकार है:<math display="block">{\partial \rho\over{\partial t}} + \nabla \cdot (\rho {\bf v}) = 0</math>कहाँ <math>\rho</math> द्रव [[घनत्व]] है और <math>\nabla \cdot()</math> [[विचलन]] ऑपरेटर है. असंपीड्य प्रवाह की धारणा के तहत, एक निरंतर नियंत्रण मात्रा के साथ <math>V</math>, इस समीकरण की सरल अभिव्यक्ति है <math>\nabla \cdot {\bf v} = 0</math>. हालाँकि, यह संभव है कि [[क्रॉस सेक्शन (ज्यामिति)]]|क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र <math>A</math> चैनल में समय और स्थान दोनों के साथ परिवर्तन हो सकता है। यदि हम सातत्य समीकरण के अभिन्न रूप से प्रारंभ करें:<math display="block">{d\over{dt}}\int_{V}\rho \; dV = -\int_{V} \nabla\cdot(\rho {\bf v}) \; dV</math>वॉल्यूम इंटीग्रल को क्रॉस-सेक्शन और लंबाई में विघटित करना संभव है, जो फॉर्म की ओर जाता है:<math display="block">{d\over{dt}}\int_{x}\left(\int_{A}\rho \; dA \right) dx = -\int_{x}\left[\int_{A}\nabla\cdot(\rho {\bf v}) \; dA \right] dx</math>असम्पीडित, 1डी प्रवाह की धारणा के तहत, यह समीकरण बन जाता है:<math display="block">{d\over{dt}}\int_{x}\left(\int_{A}dA \right) dx = -\int_{x}{\partial\over{\partial x}}\left(\int_{A} u \; dA \right) dx</math>उसको नोट करके <math>\int_{A}dA = A</math> और वॉल्यूमेट्रिक प्रवाह दर को परिभाषित करना <math>Q = \int_{A}u \; dA</math>, समीकरण कम हो गया है:<math display="block">\int_{x}{\partial A\over{\partial t}} \; dx = -\int_{x}{\partial Q\over{\partial x}} dx</math>अंत में, यह असंपीड्य, 1डी ओपन-चैनल प्रवाह के लिए निरंतरता समीकरण की ओर ले जाता है:{{Equation box 1|cellpadding|border|indent=:|equation=<math> {\partial A\over{\partial t}} + {\partial Q\over{\partial x}} = 0 </math>|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}
द्रव्यमान के संरक्षण का वर्णन करने वाला सामान्य निरंतरता समीकरण इस प्रकार है:<math display="block">{\partial \rho\over{\partial t}} + \nabla \cdot (\rho {\bf v}) = 0</math>जहाँ <math>\rho</math> द्रव [[घनत्व]] है और <math>\nabla \cdot()</math> [[विचलन]] संक्रिया है। असंपीड्य प्रवाह की धारणा के अंतर्गत, एक निरंतर नियंत्रण मात्रा <math>V</math> के साथ , इस समीकरण की सरल अभिव्यक्ति <math>\nabla \cdot {\bf v} = 0</math> है। यद्यपि, यह संभव है कि [[क्रॉस सेक्शन (ज्यामिति)|अनुप्रस्थ काट क्षेत्र]] <math>A</math> चैनल में समय और स्थान दोनों के साथ परिवर्तित हो सकता है। यदि हम सातत्य समीकरण के अभिन्न रूप से प्रारंभ करें:<math display="block">{d\over{dt}}\int_{V}\rho \; dV = -\int_{V} \nabla\cdot(\rho {\bf v}) \; dV</math>आयतन समाकल को अनुप्रस्थ काट और लंबाई में विघटित करना संभव है, जो निम्नलिखित रूप उत्पन्न करता है:<math display="block">{d\over{dt}}\int_{x}\left(\int_{A}\rho \; dA \right) dx = -\int_{x}\left[\int_{A}\nabla\cdot(\rho {\bf v}) \; dA \right] dx</math>असम्पीडित, 1डी प्रवाह की धारणा के अंतर्गत, यह समीकरण बन जाता है:<math display="block">{d\over{dt}}\int_{x}\left(\int_{A}dA \right) dx = -\int_{x}{\partial\over{\partial x}}\left(\int_{A} u \; dA \right) dx</math>उसको अभिलेखित करके <math>\int_{A}dA = A</math> और आयतनिक प्रवाह दर <math>Q = \int_{A}u \; dA</math> को परिभाषित करने पर, समीकरण निम्नलिखित रूप ले लेता है:<math display="block">\int_{x}{\partial A\over{\partial t}} \; dx = -\int_{x}{\partial Q\over{\partial x}} dx</math>अंत में, यह असंपीड्य, 1डी विवृत चैनल प्रवाह के लिए निरंतरता समीकरण की ओर अग्रसित होता है जो निम्नलिखित है:{{Equation box 1|cellpadding|border|indent=:|equation=<math> {\partial A\over{\partial t}} + {\partial Q\over{\partial x}} = 0 </math>|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}


=== संवेग समीकरण ===
=== संवेग समीकरण ===
ओपन-चैनल प्रवाह के लिए संवेग समीकरण को [[असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स समीकरण]]ों से शुरू करके पाया जा सकता है। असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स समीकरण:<math display="block">\overbrace{\underbrace{{\partial {\bf v}\over{\partial t}}}_{\begin{smallmatrix} \text{Local} \\ \text{Change} \end{smallmatrix}} + \underbrace{{\bf v}\cdot\nabla {\bf v}}_{\text{Advection}}}^{\text{Inertial Acceleration}} = -\underbrace{{1\over{\rho}}\nabla p}_{\begin{smallmatrix} \text{Pressure} \\ \text{Gradient} \end{smallmatrix}} + \underbrace{\nu \Delta {\bf v}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{\nabla \Phi}_{\text{Gravity}} + \underbrace{{\bf F}}_{\begin{smallmatrix} \text{External} \\ \text{Forces} \end{smallmatrix}}</math>कहाँ <math>p</math> [[दबाव]] है, <math>\nu</math> गतिज श्यानता है, <math>\Delta</math> [[लाप्लास ऑपरेटर]] है, और <math>\Phi = gz</math> [[गुरुत्वाकर्षण क्षमता]] है. उच्च रेनॉल्ड्स संख्या और 1डी प्रवाह मान्यताओं का आह्वान करके, हमारे पास समीकरण हैं:<math display="block">\begin{aligned}
विवृत चैनल प्रवाह के लिए संवेग समीकरण को [[असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स समीकरण|असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स समीकरणो]] से प्रारंभ करके प्राप्त किया जा सकता है। असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स समीकरण:<math display="block">\overbrace{\underbrace{{\partial {\bf v}\over{\partial t}}}_{\begin{smallmatrix} \text{Local} \\ \text{Change} \end{smallmatrix}} + \underbrace{{\bf v}\cdot\nabla {\bf v}}_{\text{Advection}}}^{\text{Inertial Acceleration}} = -\underbrace{{1\over{\rho}}\nabla p}_{\begin{smallmatrix} \text{Pressure} \\ \text{Gradient} \end{smallmatrix}} + \underbrace{\nu \Delta {\bf v}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{\nabla \Phi}_{\text{Gravity}} + \underbrace{{\bf F}}_{\begin{smallmatrix} \text{External} \\ \text{Forces} \end{smallmatrix}}</math>जहाँ <math>p</math> [[दबाव]] है, <math>\nu</math> गतिज श्यानता है, <math>\Delta</math> [[लाप्लास ऑपरेटर|लाप्लास संक्रिया]] है, और <math>\Phi = gz</math> [[गुरुत्वाकर्षण क्षमता]] है. उच्च रेनॉल्ड्स संख्या और 1डी प्रवाह मान्यताओं का उपयोग करने के उपरांत, हमे निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता हैं:<math display="block">\begin{aligned}
{\partial u\over{\partial t}} + u{\partial u\over{\partial x}} &= -{1\over{\rho}}{\partial p\over{\partial x}} + F_{x} \\
{\partial u\over{\partial t}} + u{\partial u\over{\partial x}} &= -{1\over{\rho}}{\partial p\over{\partial x}} + F_{x} \\
-{1\over{\rho}}{\partial p\over{\partial z}} - g &= 0
-{1\over{\rho}}{\partial p\over{\partial z}} - g &= 0
\end{aligned}</math>दूसरा समीकरण [[हीड्रास्टाटिक दबाव]] को दर्शाता है <math>p = \rho g \zeta</math>, जहां चैनल की गहराई <math>\eta(t,x) = \zeta(t,x) - z_{b}(x)</math> मुक्त सतह उन्नयन के बीच का अंतर है <math>\zeta</math> और चैनल नीचे <math>z_{b}</math>. पहले समीकरण में प्रतिस्थापन देता है:<math display="block">{\partial u\over{\partial t}} + u{\partial u\over{\partial x}} + g{\partial \zeta\over{\partial x}} = F_{x} \implies {\partial u\over{\partial t}} + u{\partial u\over{\partial x}} + g{\partial \eta\over{\partial x}} - gS = F_{x}</math>जहां चैनल बेड ढलान है <math>S = -dz_{b}/dx</math>. चैनल बैंकों के साथ कतरनी तनाव को ध्यान में रखते हुए, हम बल शब्द को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:<math display="block">F_{x} = -{1\over{\rho}}{\tau\over{R}}</math>कहाँ <math>\tau</math> कतरनी तनाव है और <math>R</math> [[हाइड्रोलिक त्रिज्या]] है. घर्षण ढलान को परिभाषित करना <math>S_{f} = \tau/\rho g R</math>, घर्षण हानियों को मापने का एक तरीका, संवेग समीकरण के अंतिम रूप की ओर ले जाता है:{{Equation box 1|cellpadding|border|indent=:|equation=<math> {\partial u\over{\partial t}} + u{\partial u\over{\partial x}} + g{\partial \eta\over{\partial x}} + g(S_{f}- S) = 0 </math>|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}
\end{aligned}</math>दूसरा समीकरण [[हीड्रास्टाटिक दबाव|जलस्थैतिक दबाव]] <math>p = \rho g \zeta</math> को दर्शाता है, जहां चैनल की गहराई <math>\eta(t,x) = \zeta(t,x) - z_{b}(x)</math> मुक्त सतह उन्नयन <math>\zeta</math> और चैनल तल <math>z_{b}</math> के बीच का अंतर है। इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:<math display="block">{\partial u\over{\partial t}} + u{\partial u\over{\partial x}} + g{\partial \zeta\over{\partial x}} = F_{x} \implies {\partial u\over{\partial t}} + u{\partial u\over{\partial x}} + g{\partial \eta\over{\partial x}} - gS = F_{x}</math>जहां चैनल तल प्रवणता <math>S = -dz_{b}/dx</math> है। चैनल किनारों के साथ अपरुपण तनाव को ध्यान में रखते हुए, हम बल शब्द को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:<math display="block">F_{x} = -{1\over{\rho}}{\tau\over{R}}</math>जहाँ <math>\tau</math> अपरुपण तनाव है और <math>R</math> [[हाइड्रोलिक त्रिज्या|जलगतिज त्रिज्या]] है। घर्षण प्रवणता <math>S_{f} = \tau/\rho g R</math> को परिभाषित करना, घर्षण हानियों को मापने की एक विधि, संवेग समीकरण के अंतिम रूप की ओर ले जाता है:{{Equation box 1|cellpadding|border|indent=:|equation=<math> {\partial u\over{\partial t}} + u{\partial u\over{\partial x}} + g{\partial \eta\over{\partial x}} + g(S_{f}- S) = 0 </math>|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}


=== [[ऊर्जा]] समीकरण ===
=== [[ऊर्जा]] समीकरण ===
ऊर्जा समीकरण प्राप्त करने के लिए, विशेषण त्वरण शब्द पर ध्यान दें <math>{\bf v}\cdot\nabla {\bf v}</math> इस प्रकार विघटित किया जा सकता है:<math display="block">{\bf v}\cdot\nabla {\bf v} = \omega \times {\bf v} + {1\over{2}}\nabla\|{\bf v}\|^{2}</math>कहाँ <math>\omega</math> प्रवाह की चंचलता है और <math>\|\cdot\|</math> [[यूक्लिडियन मानदंड]] है. इससे बाह्य बल पद की अनदेखी करते हुए संवेग समीकरण का एक रूप प्राप्त होता है, जो निम्न द्वारा दिया गया है:<math display="block">{\partial {\bf v}\over{\partial t}} + \omega \times {\bf v} = -\nabla\left({1\over{2}}\|{\bf v}\|^{2} + {p\over{\rho}} + \Phi \right )</math>का [[डॉट उत्पाद]] लेना <math>{\bf v}</math> इस समीकरण से यह प्राप्त होता है:<math display="block">{\partial\over{\partial t}}\left({1\over{2}}\|{\bf v}\|^{2} \right ) + {\bf v}\cdot \nabla \left({1\over{2}}\|{\bf v}\|^{2} + {p\over{\rho}} + \Phi \right ) = 0</math>यह समीकरण [[अदिश त्रिगुण उत्पाद]] का उपयोग करके प्राप्त किया गया था <math>{\bf v}\cdot (\omega \times {\bf v}) = 0</math>. परिभाषित करना <math>E</math> [[ऊर्जा घनत्व]] होना:<math display="block">E = \underbrace{{1\over{2}}\rho\|{\bf v} \|^{2} }_{\begin{smallmatrix} \text{Kinetic} \\ \text{Energy} \end{smallmatrix}} + \underbrace{\rho\Phi}_{\begin{smallmatrix} \text{Potential} \\ \text{Energy} \end{smallmatrix}}</math>नोट किया कि <math>\Phi</math> समय-स्वतंत्र है, हम समीकरण पर पहुंचते हैं:<math display="block">{\partial E\over{\partial t}} + {\bf v}\cdot\nabla (E+p) = 0</math>यह मानते हुए कि ऊर्जा घनत्व समय-स्वतंत्र है और प्रवाह एक-आयामी है, सरलीकरण की ओर ले जाता है:<math display="block">E + p = C</math>साथ <math>C</math> एक स्थिर होना; यह बर्नौली के सिद्धांत के समतुल्य है। ओपन-चैनल प्रवाह में विशेष रुचि [[विशिष्ट ऊर्जा]] की है <math>e = E/\rho g</math>, जिसका उपयोग [[हाइड्रोलिक हेड]] की गणना करने के लिए किया जाता है <math>h</math> इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:{{Equation box 1|cellpadding|border|indent=:|equation=<math> \begin{aligned}
ऊर्जा समीकरण प्राप्त करने के लिए, अभिवाही त्वरण पद <math>{\bf v}\cdot\nabla {\bf v}</math> को इस प्रकार विघटित किया जा सकता है:<math display="block">{\bf v}\cdot\nabla {\bf v} = \omega \times {\bf v} + {1\over{2}}\nabla\|{\bf v}\|^{2}</math>जहाँ <math>\omega</math> प्रवाह की चंचलता है और <math>\|\cdot\|</math> [[यूक्लिडियन मानदंड]] है. इससे बाह्य बल पद के उपेक्षा करते हुए संवेग समीकरण का एक रूप प्राप्त होता है, जो निम्न समीकरण द्वारा दिया गया है:<math display="block">{\partial {\bf v}\over{\partial t}} + \omega \times {\bf v} = -\nabla\left({1\over{2}}\|{\bf v}\|^{2} + {p\over{\rho}} + \Phi \right )</math>इस समीकरण के [[डॉट उत्पाद|डॉट गुणन]] <math>{\bf v}</math> से निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:<math display="block">{\partial\over{\partial t}}\left({1\over{2}}\|{\bf v}\|^{2} \right ) + {\bf v}\cdot \nabla \left({1\over{2}}\|{\bf v}\|^{2} + {p\over{\rho}} + \Phi \right ) = 0</math>यह समीकरण [[अदिश त्रिगुण उत्पाद|अदिश त्रिगुण गुणन]] <math>{\bf v}\cdot (\omega \times {\bf v}) = 0</math> का उपयोग करके प्राप्त किया गया था। <math>E</math> को [[ऊर्जा घनत्व]] के रूप में परिभाषित करने पर:<math display="block">E = \underbrace{{1\over{2}}\rho\|{\bf v} \|^{2} }_{\begin{smallmatrix} \text{Kinetic} \\ \text{Energy} \end{smallmatrix}} + \underbrace{\rho\Phi}_{\begin{smallmatrix} \text{Potential} \\ \text{Energy} \end{smallmatrix}}</math><math>\Phi</math> काल निरपेक्ष है, हम निम्नलिखित समीकरण पर पहुंचते हैं:<math display="block">{\partial E\over{\partial t}} + {\bf v}\cdot\nabla (E+p) = 0</math>यह मानते हुए कि ऊर्जा घनत्व काल निरपेक्ष है और प्रवाह एक-आयामी है, निम्नलिखित सरलीकरण की ओर ले जाता है:<math display="block">E + p = C</math>साथ ही <math>C</math> का स्थिर होनाबर्नौली के सिद्धांत के समतुल्य है। विवृत चैनल प्रवाह में विशेष रुचि [[विशिष्ट ऊर्जा]] <math>e = E/\rho g</math> की है , जिसका उपयोग [[हाइड्रोलिक हेड|जलगतिज शीर्ष]] <math>h</math> की गणना करने के लिए किया जाता है इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:{{Equation box 1|cellpadding|border|indent=:|equation=<math> \begin{aligned}
h &= e + {p\over{\rho g}} \\
h &= e + {p\over{\rho g}} \\
&= {u^{2}\over{2g}} + z + {p\over{\gamma}}
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\end{aligned} </math>|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}साथ <math>\gamma = \rho g</math> विशिष्ट भार होना। हालाँकि, यथार्थवादी प्रणालियों के लिए [[ शीर्ष क्षति ]] टर्म को जोड़ने की आवश्यकता होती है <math>h_{f}</math> घर्षण और [[अशांति]] के कारण होने वाली ऊर्जा [[अपव्यय]] को ध्यान में रखते हुए संवेग समीकरण में बाहरी बलों की अवधारणा को छूट देकर इसे नजरअंदाज कर दिया गया।
\end{aligned} </math>|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}इसके साथ ही, <math>\gamma = \rho g</math> विशिष्ट भार है। यद्यपि, यथार्थवादी प्रणालियों के लिए [[ शीर्ष क्षति |शीर्ष क्षति]] पद <math>h_{f}</math> को जोड़ने की आवश्यकता होती है  घर्षण और [[अशांति|विक्षोभ]] के कारण होने वाली ऊर्जा [[अपव्यय]] को ध्यान में रखते हुए संवेग समीकरण में बाह्य बलों की अवधारणा को मुक्त कर इसे उपेक्षित कर दिया गया है।


==यह भी देखें==
==यह भी देखें==
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*[https://web.stanford.edu/class/me469b/handouts/turbulence.pdf Simulation of Turbulent Flows] (p.&nbsp;26-38)
*[https://web.stanford.edu/class/me469b/handouts/turbulence.pdf Simulation of Turbulent Flows] (p.&nbsp;26-38)
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Latest revision as of 17:27, 10 August 2023

द्रव यांत्रिकी और जलगति विज्ञान में, विवृत चैनल प्रवाह, एक प्रकार का तरल प्रवाह है किसी नलिका के विवृत्त सतह के भीतर होती है, जिसे चैनल के रूप में जाना जाता है।[1][2] नलिका के भीतर दूसरे प्रकार का प्रवाह पाइप प्रवाह है। ये दो प्रकार के प्रवाह कई मानदंडों में समान हैं परंतु एक महत्वपूर्ण दृष्टिकोण में भिन्न हैं: विवृत चैनल प्रवाह में एक विवृत सतह होती है, जबकि पाइप प्रवाह में विवृत्त सतह नहीं होती है।

प्रवाह का वर्गीकरण

समय और स्थान के संबंध में प्रवाह की गहराई में परिवर्तन के आधार पर विवृत चैनल प्रवाह को विभिन्न विधियों से वर्गीकृत और वर्णित किया जा सकता है।[3] विवृत चैनल जलगति विज्ञान में प्रवाह के निम्नलिखित मूलभूत प्रकार हैं:

  • मानदंड के रूप में समय
    • निरंतर प्रवाह
      • प्रवाह की गहराई समय के साथ परिवर्तित नहीं होती है, या यदि इसे किसी निश्चित समय अंतराल के समय स्थिर माना जा सकता है।
    • अस्थिर प्रवाह
      • प्रवाह की गहराई समय के साथ परिवर्तित होती रहती है।
  • मानदंड के रूप में स्थान
    • समान प्रवाह
      • चैनल के प्रत्येक भाग में प्रवाह की गहराई समान है। एकसमान प्रवाह स्थिर या अस्थिर हो सकता है, यह इस पर निर्भर करता है कि समय के साथ गहराई परिवर्तित होती है या नहीं, (यद्यपि अस्थिर एकसमान प्रवाह दुर्लभ है)।
    • विविध प्रवाह
      • प्रवाह की गहराई चैनल की लंबाई के साथ परिवर्तित होती रहती है। तकनीकी रूप से विविध प्रवाह या तो स्थिर या अस्थिर हो सकता है। विविध प्रवाह को या तो तीव्रता से या अल्पांश विविध के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है:
        • तीव्र विविध प्रवाह
          • तुलनात्मक रूप से कम दूरी पर गहराई अचानक परिवर्तित हो जाती है। तीव्र विविध प्रवाह को स्थानीय घटना के रूप में जाना जाता है। उदाहरण हाइड्रोलिक जम्प और हाइड्रोलिक ड्रॉप हैं।
        • अल्पांश विविध प्रवाह
          • लंबी दूरी पर गहराई परिवर्तित होती रहती है।
    • सतत प्रवाह
      • विचाराधीन चैनल की सीमा में प्रवाहन संवर्धन स्थिर है। स्थिर प्रवाह के परिप्रेक्ष्य में प्रायः ऐसा होता है। इस प्रवाह को निरंतर माना जाता है और इसलिए इसे निरंतर स्थिर प्रवाह के लिए निरंतरता समीकरण का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है।
    • स्थानिक रूप से विविध प्रवाह
      • किसी चैनल के अनुदिश स्थिर प्रवाह का निर्वहन असमान होता है। ऐसा तब होता है जब जल प्रवाह के समय चैनल में प्रवेश करता है और/या छोड़ देता है। एक चैनल में प्रवेश करने वाले प्रवाह का एक उदाहरण सड़क के किनारे की नाली होगी। एक चैनल से निकलने वाले प्रवाह का एक उदाहरण एक सिंचाई चैनल होगा। इस प्रवाह को निरंतरता समीकरण का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, निरंतर अस्थिर प्रवाह के लिए समय प्रभाव पर विचार करने की आवश्यकता होती है और इसमें चर के रूप में समय तत्व शामिल होता है।

प्रवाह की अवस्थाएँ

विवृत्त-चैनल प्रवाह का व्यवहार, प्रवाह की जड़त्वीय शक्तियों के सापेक्ष श्यानता और गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव से नियंत्रित होता है। सतही तनाव का एक छोटा सा योगदान होता है, परंतु अधिकांश परिस्थितियों में यह एक प्रभावी कारक बनने के लिए पर्याप्त महत्वपूर्ण भूमिका नहीं निभाता है। एक विवृत्त सतह की उपस्थिति के कारण, गुरुत्वाकर्षण सामान्यतः विवृत्त-चैनल प्रवाह का सबसे महत्वपूर्ण चालक है; इसलिए, जड़त्व और गुरुत्वाकर्षण बलों का अनुपात सबसे महत्वपूर्ण आयामहीन मानदंड है।[4] मानदंड को फरोड संख्या के रूप में जाना जाता है, और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

जहाँ माध्य वेग है, , किसी चैनल की गहराई के लिए विशिष्ट लंबाई का मानदंड है, और गुरुत्वाकर्षण त्वरण है. जड़ता के सापेक्ष श्यानता के प्रभाव के आधार पर, जैसा कि रेनॉल्ड्स संख्या द्वारा दर्शाया गया है, प्रवाह या तो लामिना का प्रवाह, अशांत प्रवाह, या परिवर्ती प्रवाह हो सकता है। यद्यपि, यह मान लेना सामान्यतः स्वीकार्य है कि रेनॉल्ड्स संख्या पर्याप्त रूप से बड़ी है जिससे श्यान बलों की उपेक्षा की जा सके।[4]


सूत्रीकरण

विवृत्त-चैनल प्रवाह में उपयोगी मात्राओं के लिए तीन संरक्षण नियमों जैसे द्रव्यमान, गति और ऊर्जा का वर्णन करने वाले समीकरण तैयार करना संभव है। प्रभावी समीकरण प्रवाह वेग सदिश क्षेत्र की गतिशीलता पर विचार करने से उत्पन्न होते हैं जो निम्नलिखित हैː

कार्तीय निर्देशांक पद्धति में, ये घटक क्रमशः x, y और z अक्षों में प्रवाह वेग के अनुरूप होते हैं।

समीकरणों के अंतिम रूप को सरल बनाने के लिए, कई धारणाएँ निर्मित करना स्वीकार्य है:

  1. प्रवाह असंपीड्य प्रवाह है (तीव्रता से परिवर्तित हों वाले प्रवाह के लिए यह उपयुक्त धारणा नहीं है)
  2. रेनॉल्ड्स संख्या इतनी बड़ी है कि श्यान प्रसार की उपेक्षा की जा सकती है
  3. प्रवाह x-अक्ष पर एक-आयामी है

निरंतरता समीकरण

द्रव्यमान के संरक्षण का वर्णन करने वाला सामान्य निरंतरता समीकरण इस प्रकार है:

जहाँ द्रव घनत्व है और विचलन संक्रिया है। असंपीड्य प्रवाह की धारणा के अंतर्गत, एक निरंतर नियंत्रण मात्रा के साथ , इस समीकरण की सरल अभिव्यक्ति है। यद्यपि, यह संभव है कि अनुप्रस्थ काट क्षेत्र चैनल में समय और स्थान दोनों के साथ परिवर्तित हो सकता है। यदि हम सातत्य समीकरण के अभिन्न रूप से प्रारंभ करें:
आयतन समाकल को अनुप्रस्थ काट और लंबाई में विघटित करना संभव है, जो निम्नलिखित रूप उत्पन्न करता है:
असम्पीडित, 1डी प्रवाह की धारणा के अंतर्गत, यह समीकरण बन जाता है:
उसको अभिलेखित करके और आयतनिक प्रवाह दर को परिभाषित करने पर, समीकरण निम्नलिखित रूप ले लेता है:
अंत में, यह असंपीड्य, 1डी विवृत चैनल प्रवाह के लिए निरंतरता समीकरण की ओर अग्रसित होता है जो निम्नलिखित है:

संवेग समीकरण

विवृत चैनल प्रवाह के लिए संवेग समीकरण को असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स समीकरणो से प्रारंभ करके प्राप्त किया जा सकता है। असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स समीकरण:

जहाँ दबाव है, गतिज श्यानता है, लाप्लास संक्रिया है, और गुरुत्वाकर्षण क्षमता है. उच्च रेनॉल्ड्स संख्या और 1डी प्रवाह मान्यताओं का उपयोग करने के उपरांत, हमे निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता हैं:
दूसरा समीकरण जलस्थैतिक दबाव को दर्शाता है, जहां चैनल की गहराई मुक्त सतह उन्नयन और चैनल तल के बीच का अंतर है। इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:
जहां चैनल तल प्रवणता है। चैनल किनारों के साथ अपरुपण तनाव को ध्यान में रखते हुए, हम बल शब्द को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:
जहाँ अपरुपण तनाव है और जलगतिज त्रिज्या है। घर्षण प्रवणता को परिभाषित करना, घर्षण हानियों को मापने की एक विधि, संवेग समीकरण के अंतिम रूप की ओर ले जाता है:

ऊर्जा समीकरण

ऊर्जा समीकरण प्राप्त करने के लिए, अभिवाही त्वरण पद को इस प्रकार विघटित किया जा सकता है:

जहाँ प्रवाह की चंचलता है और यूक्लिडियन मानदंड है. इससे बाह्य बल पद के उपेक्षा करते हुए संवेग समीकरण का एक रूप प्राप्त होता है, जो निम्न समीकरण द्वारा दिया गया है:
इस समीकरण के डॉट गुणन से निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:
यह समीकरण अदिश त्रिगुण गुणन का उपयोग करके प्राप्त किया गया था। को ऊर्जा घनत्व के रूप में परिभाषित करने पर:
काल निरपेक्ष है, हम निम्नलिखित समीकरण पर पहुंचते हैं:
यह मानते हुए कि ऊर्जा घनत्व काल निरपेक्ष है और प्रवाह एक-आयामी है, निम्नलिखित सरलीकरण की ओर ले जाता है:
साथ ही का स्थिर होना, बर्नौली के सिद्धांत के समतुल्य है। विवृत चैनल प्रवाह में विशेष रुचि विशिष्ट ऊर्जा की है , जिसका उपयोग जलगतिज शीर्ष की गणना करने के लिए किया जाता है इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

इसके साथ ही, विशिष्ट भार है। यद्यपि, यथार्थवादी प्रणालियों के लिए शीर्ष क्षति पद को जोड़ने की आवश्यकता होती है घर्षण और विक्षोभ के कारण होने वाली ऊर्जा अपव्यय को ध्यान में रखते हुए संवेग समीकरण में बाह्य बलों की अवधारणा को मुक्त कर इसे उपेक्षित कर दिया गया है।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. Chow, Ven Te (2008). ओपन-चैनल हाइड्रोलिक्स (PDF). Caldwell, NJ: The Blackburn Press. ISBN 978-1932846188.
  2. Battjes, Jurjen A.; Labeur, Robert Jan (2017). खुले चैनलों में अस्थिर प्रवाह. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 9781316576878.
  3. Jobson, Harvey E.; Froehlich, David C. (1988). ओपन-चैनल प्रवाह के बुनियादी हाइड्रोलिक सिद्धांत (PDF). Reston, VA: U.S. Geological Survey.
  4. 4.0 4.1 Sturm, Terry W. (2001). ओपन चैनल हाइड्रोलिक्स (PDF). New York, NY: McGraw-Hill. p. 2. ISBN 9780073397870.


अग्रिम पठन


बाहरी संबंध