रिचर्ड्स समीकरण: Difference between revisions

Latest revision as of 11:07, 14 August 2023

रिचर्ड्स समीकरण असंतृप्त मिट्टी में वाटर की गति का प्रतिनिधित्व करता है, और इसका श्रेय लोरेंजो ए. रिचर्ड्स को दिया जाता है जिन्होंने 1931 में समीकरण प्रकाशित किया था।^[1] यह विभेदक समीकरण आंशिक अवकल समीकरण है; इसका विश्लेषणात्मक समाधान प्रायः विशिष्ट प्रारंभिक और सीमा स्थितियों तक ही सीमित होता है।^[2] इस प्रकार से समाधान के एक्सइस्टेंस प्रमेय और यूनिक्नेस प्रमेय का प्रमाण केवल 1983 में ऑल्ट और लकहॉस द्वारा दिया गया था।^[3] यह समीकरण डार्सी-बकिंघम नियम पर आधारित है ^[1] जो की विभिन्न संतृप्त स्थितियों के अधीन पोरस मीडिया में प्रवाह का प्रतिनिधित्व करना है, जिसे इस प्रकार कहा गया है

{\vec {q}}=-\mathbf {K} (\theta )(\nabla h+\nabla z),

जहाँ

{\vec {q}}

वॉल्यूमेट्रिक फ्लक्स है;

\theta

वॉल्यूमेट्रिक वाटर कंटेंट है;

h

तरल दबाव शीर्ष है, जो असंतृप्त पोरस मीडिया के लिए ऋणात्मक है;

\mathbf {K} (h)

असंतृप्त हाइड्रोलिक चालकता है;

\nabla z

जियोडेटिक हेड ग्रेडिएंट है, जिसे त्रि-आयामी समस्याओं के लिए

\nabla z=\left({\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}}\right)

के रूप में माना जाता है।

एक असम्पीडित छिद्रपूर्ण माध्यम और स्थिर तरल घनत्व के लिए द्रव्यमान संरक्षण के नियम पर विचार करते हुए, के रूप में व्यक्त किया गया है

{\frac {\partial \theta }{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {q}}+S=0

,

जहाँ

S

सिंक शब्द [T

^{-1}

] है, सामान्यतः मूल वाटर ग्रहण करता है।^[4]

फिर डार्सी-बकिंघम नियम द्वारा फ्लक्स को प्रतिस्थापित करने पर निम्नलिखित मिश्रित-रूप रिचर्ड्स समीकरण प्राप्त होता है:

{\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {K} (h)(\nabla h+\nabla z)-S

.

एक-आयामी समावेश के मॉडलिंग के लिए यह विचलन रूप कम हो जाता है

{\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mathbf {K} (\theta )\left({\frac {\partial h}{\partial z}}+1\right)\right)-S

.

चूंकि इसका श्रेय एल. ए. रिचर्ड्स को दिया जाता है, यह समीकरण मूल रूप से 9 साल पहले 1922 में लुईस फ्राई रिचर्डसन द्वारा प्रस्तुत किया गया था।^[5]^[6]

सूत्रीकरण

इस प्रकार से रिचर्ड्स समीकरण पर्यावरण साहित्य के अनेक लेखों में दिखाई देता है क्योंकि यह वायुमंडल और एक्विफायर के मध्य वाडोज़ क्षेत्र में प्रवाह का वर्णन करता है। यह शुद्ध गणितीय पत्रिकाओं में भी दिखाई देता है क्योंकि इसमें गैर-नगण्य समाधान हैं। ऊपर दिए गए मिश्रित सूत्रीकरण में दो अज्ञात वेरिएबल $\theta$ और $h$ . सम्मिलित हैं: इसे संवैधानिक संबंध $\theta (h)$ पर विचार करके सरलता से हल किया जा सकता है , जिसे वाटर रिटेंशन कर्व के रूप में जाना जाता है। श्रृंखला नियम को प्रयुक्त करते हुए, रिचर्ड्स समीकरण को $h$ -फॉर्म (हेड आधारित) या $\theta$ -फॉर्म (सतुरशन आधारित) रिचर्ड्स समीकरण के रूप में पुनः तैयार किया जा सकता है।

हेड आधारित

अस्थायी व्युत्पन्न पर श्रृंखला नियम प्रयुक्त करने से होता है

{\frac {\partial \theta (h)}{\partial t}}={\frac {{\textrm {d}}\theta }{{\textrm {d}}h}}{\frac {\partial h}{\partial t}}

,

जहाँ ${\frac {{\textrm {d}}\theta }{{\textrm {d}}h}}$ रिटेंशन वाटर कैपेसिटी $C(h)$ के रूप में जाना जाता है, अतः समीकरण इस प्रकार दर्शाया गया है

C(h){\frac {\partial h}{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\mathbf {K} (h)\nabla h+\nabla z\right)-S

.

हेड-आधारित रिचर्ड्स समीकरण निम्नलिखित कम्प्यूटेशनल उद्देश्य से ग्रस्त है: अंतर्निहित एरिच रोथे विधि का उपयोग करके विवेकाधीन अस्थायी व्युत्पन्न निम्नलिखित अप्प्रोक्सिमेशन उत्पन्न करता है:

${\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}\approx C(h){\frac {\Delta h}{\Delta t}},\quad {\mbox{and so}}\quad {\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}-C(h){\frac {\Delta h}{\Delta t}}=\varepsilon .$

यह अप्प्रोक्सिमेशन त्रुटि $\varepsilon$ उत्पन्न करता है जो संख्यात्मक समाधान के उच्च माप पर संरक्षण को प्रभावित करता है, और इसलिए अस्थायी व्युत्पन्न उपचार के लिए विशेष स्ट्रेटेजीज आवश्यक हैं।^[7]

सतुरशन-आधारित

स्थानिक व्युत्पन्न पर श्रृंखला नियम प्रयुक्त करने से

\mathbf {K} (h)\nabla h=\mathbf {K} (h){\frac {{\textrm {d}}h}{{\textrm {d}}\theta }}\nabla \theta ,

जहाँ $\mathbf {K} (h){\frac {{\textrm {d}}h}{{\textrm {d}}\theta }}$ , जिसे आगे ${\frac {\mathbf {K} (\theta )}{C(\theta )}}$ के रूप में तैयार किया जा सकता है, को सोइल वाटर डीफ्यूसिविटी के रूप में जाना जाता है यदि $\mathbf {D} (\theta )$ . पुनः समीकरण इस प्रकार दर्शाया गया है

{\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {D} (\theta )\nabla \theta -S.

सतुरशन-आधारित रिचर्ड्स समीकरण निम्नलिखित कम्प्यूटेशनल उद्देश से ग्रस्त है। सीमा के पश्चात से $\lim _{\theta \to \theta _{s}}||\mathbf {D} (\theta )||=\infty$ और $\lim _{\theta \to \theta _{r}}||\mathbf {D} (\theta )||=\infty$ , जहाँ $\theta _{s}$ संतृप्त (अधिकतम) वाटर कंटेंट है और $\theta _{r}$ क्या यह अवशिष्ट (न्यूनतम) वाटर कंटेंट है, सफल संख्यात्मक समाधान केवल पूर्ण सतुरशन के नीचे संतोषजनक वाटर कंटेंट की श्रेणियों के लिए प्रतिबंधित है (सतुरशन वाटर रिटेंशन कर्व से भी कम होनी चाहिए) और साथ ही अवशिष्ट वाटर कंटेंट के ऊपर संतोषजनक है।^[8]

पैरामीट्रिज़ेशन

रिचर्ड्स समीकरण अपने किसी भी रूप में मिट्टी के हाइड्रोलिक गुणों को सम्मिलित करता है, जो की मिट्टी के प्रकार का प्रतिनिधित्व करने वाले पांच मापदंडों का समुच्चय है। मिट्टी के हाइड्रोलिक गुणों में सामान्यतः वैन जेनचटेन ( $\alpha ,\,n,\,m,\,\theta _{s},\theta _{r}$ ), द्वारा वाटर रिटेंशन कर्व मापदंड सम्मिलित होते हैं:^[9] जहाँ $\alpha$ वायु प्रवेश मान [L⁻¹] का व्युत्क्रम है , $n$ छिद्र आकार वितरण मापदंड है [-], और $m$ सामान्यतः $m=1-{\frac {1}{n}}$ मान लिया जाता है. इसके अतिरिक्त संतृप्त हाइड्रोलिक चालकता $\mathbf {K} _{s}$ (जो गैर आइसोट्रॉपी वातावरण के लिए दूसरे क्रम का टेन्सर है) भी प्रदान किया जाना चाहिए। इन मापदंडों की पहचान प्रायः गैर-नगण्य होती है और अनेक दशकों से अनेक प्रकाशनों का विषय रही है।^[10]^[11]^[12]^[13]^[14]^[15]

सीमाएँ

रिचर्ड्स समीकरण का संख्यात्मक समाधान पृथ्वी साइंस में अधिक चुनौतीपूर्ण समस्याओं में से है।^[16] और कम्प्यूटेशनल रूप से बहुमूल्य और अप्रत्याशित होने के कारण रिचर्ड्स के समीकरण की आलोचना की गई है ^[17]^[18] क्योंकि इस तथ्य का कोई प्रमाण नहीं है कि सॉल्वर मिट्टी के संवैधानिक संबंधों के विशेष समुच्चय के लिए एकत्र हो जाएगा। इस बाधा पर अधिकृत पाने के लिए उन्नत कम्प्यूटेशनल और सॉफ्टवेयर समाधान की आवश्यकता होती है। इस प्रकार से केशिकात्व की भूमिका पर अत्यधिक बल देने के लिए भी इस पद्धति की आलोचना की गई है,^[19] और कुछ मायनों में 'अत्यधिक सरलीकृत' होने के कारण ^[20] शुष्क मिट्टी में वर्षा समावेश के आयामी सिमुलेशन में, भूमि की सतह के समीप सेमी से कम सूक्ष्म स्थानिक विवेक की आवश्यकता होती है,^[21] जो पोरस मीडिया में बहुचरणीय प्रवाह के लिए प्रतिनिधि प्राथमिक आयतन के छोटे आकार के कारण है। त्रि-आयामी अनुप्रयोगों में रिचर्ड्स समीकरण का संख्यात्मक समाधान भाग अनुपात बाधाओं के अधीन है जहां समाधान डोमेन में क्षैतिज से ऊर्ध्वाधर रिज़ॉल्यूशन का अनुपात लगभग 7 से कम होना चाहिए।

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Richards, L.A. (1931). "झरझरा माध्यमों से तरल पदार्थों का केशिका संचालन". Physics. 1 (5): 318–333. Bibcode:1931Physi...1..318R. doi:10.1063/1.1745010.
↑ Tracy, F. T. (August 2006). "Clean two- and three-dimensional analytical solutions of Richards' equation for testing numerical solvers: TECHNICAL NOTE". Water Resources Research (in English). 42 (8). doi:10.1029/2005WR004638. S2CID 119938184.
↑ Wilhelm Alt, Hans; Luckhaus, Stephan (1 September 1983). "क्वासिलिनियर अण्डाकार-परवलयिक अंतर समीकरण". Mathematische Zeitschrift (in English). 183 (3): 311–341. doi:10.1007/BF01176474. ISSN 1432-1823. S2CID 120607569.
↑ Feddes, R. A.; Zaradny, H. (1 May 1978). "Model for simulating soil-water content considering evapotranspiration — Comments". Journal of Hydrology (in English). 37 (3): 393–397. Bibcode:1978JHyd...37..393F. doi:10.1016/0022-1694(78)90030-6. ISSN 0022-1694.
↑ Knight, John; Raats, Peter. "जल निकासी सिद्धांत, मृदा भौतिकी और मृदा-पौधे-वायुमंडल सातत्य में लुईस फ्राई रिचर्डसन का योगदान" (PDF). EGU General Assembly 2016.
↑ Richardson, Lewis Fry (1922). संख्यात्मक प्रक्रिया द्वारा मौसम की भविष्यवाणी. Cambridge, The University press. pp. 262.
↑ Celia, Michael A.; Bouloutas, Efthimios T.; Zarba, Rebecca L. (July 1990). "असंतृप्त प्रवाह समीकरण के लिए एक सामान्य द्रव्यमान-रूढ़िवादी संख्यात्मक समाधान". Water Resources Research (in English). 26 (7): 1483–1496. Bibcode:1990WRR....26.1483C. doi:10.1029/WR026i007p01483.
↑ Kuráž, Michal; Mayer, Petr; Lepš, Matěj; Trpkošová, Dagmar (2010-04-15). "रिचर्ड्स समीकरण के शास्त्रीय और दोहरे सरंध्रता मॉडल का एक अनुकूली समय विवेकीकरण". Journal of Computational and Applied Mathematics. Finite Element Methods in Engineering and Science (FEMTEC 2009) (in English). 233 (12): 3167–3177. Bibcode:2010JCoAM.233.3167K. doi:10.1016/j.cam.2009.11.056. ISSN 0377-0427.
↑ van Genuchten, M. Th. (September 1980). "असंतृप्त मिट्टी की हाइड्रोलिक चालकता की भविष्यवाणी के लिए एक बंद-रूप समीकरण". Soil Science Society of America Journal (in English). 44 (5): 892–898. Bibcode:1980SSASJ..44..892V. doi:10.2136/sssaj1980.03615995004400050002x.
↑ Inoue, M.; Šimůnek, J.; Shiozawa, S.; Hopmans, J.W. (June 2000). "क्षणिक घुसपैठ प्रयोगों से मिट्टी के हाइड्रोलिक और विलेय परिवहन मापदंडों का एक साथ अनुमान". Advances in Water Resources (in English). 23 (7): 677–688. Bibcode:2000AdWR...23..677I. doi:10.1016/S0309-1708(00)00011-7.
↑ Fodor, Nándor; Sándor, Renáta; Orfanus, Tomas; Lichner, Lubomir; Rajkai, Kálmán (October 2011). "मापी गई संतृप्त हाइड्रोलिक चालकता की मूल्यांकन विधि निर्भरता". Geoderma (in English). 165 (1): 60–68. Bibcode:2011Geode.165...60F. doi:10.1016/j.geoderma.2011.07.004.
↑ Angulo-Jaramillo, Rafael; Vandervaere, Jean-Pierre; Roulier, Stéphanie; Thony, Jean-Louis; Gaudet, Jean-Paul; Vauclin, Michel (May 2000). "डिस्क और रिंग इनफिल्ट्रोमीटर द्वारा मिट्टी की सतह के हाइड्रोलिक गुणों का क्षेत्र माप". Soil and Tillage Research (in English). 55 (1–2): 1–29. doi:10.1016/S0167-1987(00)00098-2.
↑ Köhne, J. Maximilian; Mohanty, Binayak P.; Šimůnek, Jirka (January 2006). "Inverse Dual‐Permeability Modeling of Preferential Water Flow in a Soil Column and Implications for Field‐Scale Solute Transport". Vadose Zone Journal (in English). 5 (1): 59–76. doi:10.2136/vzj2005.0008. ISSN 1539-1663. S2CID 781417.
↑ Younes, Anis; Mara, Thierry; Fahs, Marwan; Grunberger, Olivier; Ackerer, Philippe (3 May 2017). "स्तंभ घुसपैठ प्रयोगों का उपयोग करके हाइड्रोलिक और परिवहन पैरामीटर मूल्यांकन". Hydrology and Earth System Sciences (in English). 21 (5): 2263–2275. Bibcode:2017HESS...21.2263Y. doi:10.5194/hess-21-2263-2017. ISSN 1607-7938.
↑ Kuraz, Michal; Jačka, Lukáš; Ruth Blöcher, Johanna; Lepš, Matěj (1 November 2022). "मृदा हाइड्रोलिक गुणों की व्युत्क्रम पहचान के दौरान अभिसरण मुद्दों से बचने के लिए स्वचालित अंशांकन पद्धति". Advances in Engineering Software (in English). 173: 103278. doi:10.1016/j.advengsoft.2022.103278. ISSN 0965-9978. S2CID 252508220.
↑ Farthing, Matthew W., and Fred L. Ogden, (2017). Numerical solution of Richards’ Equation: a review of advances and challenges. Soil Science Society of America Journal, 81(6), pp.1257-1269.
↑ Short, D., W.R. Dawes, and I. White, (1995). The practicability of using Richards' equation for general purpose soil-water dynamics models. Envir. Int'l. 21(5):723-730.
↑ Tocci, M. D., C. T. Kelley, and C. T. Miller (1997), Accurate and economical solution of the pressure-head form of Richards' equation by the method of lines, Adv. Wat. Resour., 20(1), 1–14.
↑ Germann, P. (2010), Comment on “Theory for source-responsive and free-surface film modeling of unsaturated flow”, Vadose Zone J. 9(4), 1000-1101.
↑ Gray, W. G., and S. Hassanizadeh (1991), Paradoxes and realities in unsaturated flow theory, Water Resour. Res., 27(8), 1847-1854.
↑ Downer, Charles W., and Fred L. Ogden (2003), Hydrol. Proc.,18, pp. 1-22. DOI:10.1002/hyp.1306.

यह भी देखें

समावेश (वाटर साइंस )
वाटर रिटेनसन कर्व
परिमित वाटर-कंटेंट वाडोज़ ज़ोन प्रवाह विधि
मिट्टी की नमी वेग समीकरण

श्रेणी:मृदा भौतिकी

श्रेणी:वाटर साइंस

श्रेणी:आंशिक अंतर समीकरण

[:0-1] 1.0 ^1.1 Richards, L.A. (1931). "झरझरा माध्यमों से तरल पदार्थों का केशिका संचालन". Physics. 1 (5): 318–333. Bibcode:1931Physi...1..318R. doi:10.1063/1.1745010.

[2] Tracy, F. T. (August 2006). "Clean two- and three-dimensional analytical solutions of Richards' equation for testing numerical solvers: TECHNICAL NOTE". Water Resources Research (in English). 42 (8). doi:10.1029/2005WR004638. S2CID 119938184.

[3] Wilhelm Alt, Hans; Luckhaus, Stephan (1 September 1983). "क्वासिलिनियर अण्डाकार-परवलयिक अंतर समीकरण". Mathematische Zeitschrift (in English). 183 (3): 311–341. doi:10.1007/BF01176474. ISSN 1432-1823. S2CID 120607569.

[4] Feddes, R. A.; Zaradny, H. (1 May 1978). "Model for simulating soil-water content considering evapotranspiration — Comments". Journal of Hydrology (in English). 37 (3): 393–397. Bibcode:1978JHyd...37..393F. doi:10.1016/0022-1694(78)90030-6. ISSN 0022-1694.

[5] Knight, John; Raats, Peter. "जल निकासी सिद्धांत, मृदा भौतिकी और मृदा-पौधे-वायुमंडल सातत्य में लुईस फ्राई रिचर्डसन का योगदान" (PDF). EGU General Assembly 2016.

[6] Richardson, Lewis Fry (1922). संख्यात्मक प्रक्रिया द्वारा मौसम की भविष्यवाणी. Cambridge, The University press. pp. 262.

[7] Celia, Michael A.; Bouloutas, Efthimios T.; Zarba, Rebecca L. (July 1990). "असंतृप्त प्रवाह समीकरण के लिए एक सामान्य द्रव्यमान-रूढ़िवादी संख्यात्मक समाधान". Water Resources Research (in English). 26 (7): 1483–1496. Bibcode:1990WRR....26.1483C. doi:10.1029/WR026i007p01483.

[8] Kuráž, Michal; Mayer, Petr; Lepš, Matěj; Trpkošová, Dagmar (2010-04-15). "रिचर्ड्स समीकरण के शास्त्रीय और दोहरे सरंध्रता मॉडल का एक अनुकूली समय विवेकीकरण". Journal of Computational and Applied Mathematics. Finite Element Methods in Engineering and Science (FEMTEC 2009) (in English). 233 (12): 3167–3177. Bibcode:2010JCoAM.233.3167K. doi:10.1016/j.cam.2009.11.056. ISSN 0377-0427.

[9] van Genuchten, M. Th. (September 1980). "असंतृप्त मिट्टी की हाइड्रोलिक चालकता की भविष्यवाणी के लिए एक बंद-रूप समीकरण". Soil Science Society of America Journal (in English). 44 (5): 892–898. Bibcode:1980SSASJ..44..892V. doi:10.2136/sssaj1980.03615995004400050002x.

[10] Inoue, M.; Šimůnek, J.; Shiozawa, S.; Hopmans, J.W. (June 2000). "क्षणिक घुसपैठ प्रयोगों से मिट्टी के हाइड्रोलिक और विलेय परिवहन मापदंडों का एक साथ अनुमान". Advances in Water Resources (in English). 23 (7): 677–688. Bibcode:2000AdWR...23..677I. doi:10.1016/S0309-1708(00)00011-7.

[11] Fodor, Nándor; Sándor, Renáta; Orfanus, Tomas; Lichner, Lubomir; Rajkai, Kálmán (October 2011). "मापी गई संतृप्त हाइड्रोलिक चालकता की मूल्यांकन विधि निर्भरता". Geoderma (in English). 165 (1): 60–68. Bibcode:2011Geode.165...60F. doi:10.1016/j.geoderma.2011.07.004.

[12] Angulo-Jaramillo, Rafael; Vandervaere, Jean-Pierre; Roulier, Stéphanie; Thony, Jean-Louis; Gaudet, Jean-Paul; Vauclin, Michel (May 2000). "डिस्क और रिंग इनफिल्ट्रोमीटर द्वारा मिट्टी की सतह के हाइड्रोलिक गुणों का क्षेत्र माप". Soil and Tillage Research (in English). 55 (1–2): 1–29. doi:10.1016/S0167-1987(00)00098-2.

[13] Köhne, J. Maximilian; Mohanty, Binayak P.; Šimůnek, Jirka (January 2006). "Inverse Dual‐Permeability Modeling of Preferential Water Flow in a Soil Column and Implications for Field‐Scale Solute Transport". Vadose Zone Journal (in English). 5 (1): 59–76. doi:10.2136/vzj2005.0008. ISSN 1539-1663. S2CID 781417.

[14] Younes, Anis; Mara, Thierry; Fahs, Marwan; Grunberger, Olivier; Ackerer, Philippe (3 May 2017). "स्तंभ घुसपैठ प्रयोगों का उपयोग करके हाइड्रोलिक और परिवहन पैरामीटर मूल्यांकन". Hydrology and Earth System Sciences (in English). 21 (5): 2263–2275. Bibcode:2017HESS...21.2263Y. doi:10.5194/hess-21-2263-2017. ISSN 1607-7938.

[15] Kuraz, Michal; Jačka, Lukáš; Ruth Blöcher, Johanna; Lepš, Matěj (1 November 2022). "मृदा हाइड्रोलिक गुणों की व्युत्क्रम पहचान के दौरान अभिसरण मुद्दों से बचने के लिए स्वचालित अंशांकन पद्धति". Advances in Engineering Software (in English). 173: 103278. doi:10.1016/j.advengsoft.2022.103278. ISSN 0965-9978. S2CID 252508220.

[16] Farthing, Matthew W., and Fred L. Ogden, (2017). Numerical solution of Richards’ Equation: a review of advances and challenges. Soil Science Society of America Journal, 81(6), pp.1257-1269.

[17] Short, D., W.R. Dawes, and I. White, (1995). The practicability of using Richards' equation for general purpose soil-water dynamics models. Envir. Int'l. 21(5):723-730.

[18] Tocci, M. D., C. T. Kelley, and C. T. Miller (1997), Accurate and economical solution of the pressure-head form of Richards' equation by the method of lines, Adv. Wat. Resour., 20(1), 1–14.

[19] Germann, P. (2010), Comment on “Theory for source-responsive and free-surface film modeling of unsaturated flow”, Vadose Zone J. 9(4), 1000-1101.

[20] Gray, W. G., and S. Hassanizadeh (1991), Paradoxes and realities in unsaturated flow theory, Water Resour. Res., 27(8), 1847-1854.

[21] Downer, Charles W., and Fred L. Ogden (2003), Hydrol. Proc.,18, pp. 1-22. DOI:10.1002/hyp.1306.

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-'''रिचर्ड्स समीकरण''' असंतृप्त मिट्टी में जल की गति का प्रतिनिधित्व करता है, और इसका श्रेय लोरेंजो ए. रिचर्ड्स को दिया जाता है जिन्होंने 1931 में समीकरण प्रकाशित किया था।<ref name=":0">{{cite journal|author=Richards, L.A. |year=1931 |title=झरझरा माध्यमों से तरल पदार्थों का केशिका संचालन|journal=Physics |volume=1 |issue=5 |pages=318–333 |doi=10.1063/1.1745010 |bibcode = 1931Physi...1..318R}}</ref> यह विभेदक समीकरण आंशिक अवकल समीकरण है; इसका विश्लेषणात्मक समाधान प्रायः विशिष्ट प्रारंभिक और सीमा स्थितियों तक ही सीमित होता है।<ref>{{Cite journal |last=Tracy |first=F. T. |date=August 2006 |title=Clean two- and three-dimensional analytical solutions of Richards' equation for testing numerical solvers: TECHNICAL NOTE |url=http://doi.wiley.com/10.1029/2005WR004638 |journal=Water Resources Research |language=en |volume=42 |issue=8 |doi=10.1029/2005WR004638|s2cid=119938184 }}</ref> इस प्रकार से समाधान के [[अस्तित्व प्रमेय|एक्सइस्टेंस प्रमेय]] और [[विशिष्टता प्रमेय|यूनिक्नेस प्रमेय]] का प्रमाण केवल 1983 में ऑल्ट और लकहॉस द्वारा दिया गया था।<ref>{{Cite journal |last1=Wilhelm Alt |first1=Hans |last2=Luckhaus |first2=Stephan |date=1 September 1983|title=क्वासिलिनियर अण्डाकार-परवलयिक अंतर समीकरण|url=https://doi.org/10.1007/BF01176474 |journal=Mathematische Zeitschrift |language=en |volume=183 |issue=3 |pages=311–341 |doi=10.1007/BF01176474 |s2cid=120607569 |issn=1432-1823}}</ref> यह समीकरण डार्सी-बकिंघम नियम पर आधारित है<ref name=":0" /> जो की विभिन्न संतृप्त स्थितियों के अधीन पोरस मीडिया में प्रवाह का प्रतिनिधित्व करना है, जिसे इस प्रकार कहा गया है
+'''रिचर्ड्स समीकरण''' असंतृप्त मिट्टी में वाटर की गति का प्रतिनिधित्व करता है, और इसका श्रेय लोरेंजो ए. रिचर्ड्स को दिया जाता है जिन्होंने 1931 में समीकरण प्रकाशित किया था।<ref name=":0">{{cite journal|author=Richards, L.A. |year=1931 |title=झरझरा माध्यमों से तरल पदार्थों का केशिका संचालन|journal=Physics |volume=1 |issue=5 |pages=318–333 |doi=10.1063/1.1745010 |bibcode = 1931Physi...1..318R}}</ref> यह विभेदक समीकरण आंशिक अवकल समीकरण है; इसका विश्लेषणात्मक समाधान प्रायः विशिष्ट प्रारंभिक और सीमा स्थितियों तक ही सीमित होता है।<ref>{{Cite journal |last=Tracy |first=F. T. |date=August 2006 |title=Clean two- and three-dimensional analytical solutions of Richards' equation for testing numerical solvers: TECHNICAL NOTE |url=http://doi.wiley.com/10.1029/2005WR004638 |journal=Water Resources Research |language=en |volume=42 |issue=8 |doi=10.1029/2005WR004638|s2cid=119938184 }}</ref> इस प्रकार से समाधान के [[अस्तित्व प्रमेय|एक्सइस्टेंस प्रमेय]] और [[विशिष्टता प्रमेय|यूनिक्नेस प्रमेय]] का प्रमाण केवल 1983 में ऑल्ट और लकहॉस द्वारा दिया गया था।<ref>{{Cite journal |last1=Wilhelm Alt |first1=Hans |last2=Luckhaus |first2=Stephan |date=1 September 1983|title=क्वासिलिनियर अण्डाकार-परवलयिक अंतर समीकरण|url=https://doi.org/10.1007/BF01176474 |journal=Mathematische Zeitschrift |language=en |volume=183 |issue=3 |pages=311–341 |doi=10.1007/BF01176474 |s2cid=120607569 |issn=1432-1823}}</ref> यह समीकरण डार्सी-बकिंघम नियम पर आधारित है <ref name=":0" /> जो की विभिन्न संतृप्त स्थितियों के अधीन पोरस मीडिया में प्रवाह का प्रतिनिधित्व करना है, जिसे इस प्रकार कहा गया है
 :<math>\vec{q}=-\mathbf{K}(\theta) (\nabla h + \nabla z),                                                                                                                                                                </math>
 जहाँ
 :<math>\vec{q}</math> [[वॉल्यूमेट्रिक फ्लक्स]] है;
-:<math>\theta</math> वॉल्यूमेट्रिक जल सामग्री है;
+:<math>\theta</math> वॉल्यूमेट्रिक वाटर कंटेंट है;
 :<math>h</math> तरल दबाव शीर्ष है, जो असंतृप्त पोरस मीडिया के लिए ऋणात्मक है;
 :<math>\mathbf{K}(h)</math> असंतृप्त हाइड्रोलिक चालकता है;
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 :<math>\frac{\partial \theta}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{q} + S = 0</math>,
 जहाँ
-:<math>S</math> सिंक शब्द [T<math>^{-1}</math>] है, सामान्यतः मूल जल ग्रहण करता है।<ref>{{Cite journal |last1=Feddes |first1=R. A. |last2=Zaradny |first2=H. |date=1 May 1978|title=Model for simulating soil-water content considering evapotranspiration — Comments |url=https://dx.doi.org/10.1016/0022-1694%2878%2990030-6 |journal=Journal of Hydrology |language=en |volume=37 |issue=3 |pages=393–397 |doi=10.1016/0022-1694(78)90030-6 |bibcode=1978JHyd...37..393F |issn=0022-1694}}</ref>
+:<math>S</math> सिंक शब्द [T<math>^{-1}</math>] है, सामान्यतः मूल वाटर ग्रहण करता है।<ref>{{Cite journal |last1=Feddes |first1=R. A. |last2=Zaradny |first2=H. |date=1 May 1978|title=Model for simulating soil-water content considering evapotranspiration — Comments |url=https://dx.doi.org/10.1016/0022-1694%2878%2990030-6 |journal=Journal of Hydrology |language=en |volume=37 |issue=3 |pages=393–397 |doi=10.1016/0022-1694(78)90030-6 |bibcode=1978JHyd...37..393F |issn=0022-1694}}</ref>
 फिर डार्सी-बकिंघम नियम द्वारा फ्लक्स को प्रतिस्थापित करने पर निम्नलिखित मिश्रित-रूप रिचर्ड्स समीकरण प्राप्त होता है:
@@ Line 25: / Line 25: @@
 चूंकि इसका श्रेय एल. ए. रिचर्ड्स को दिया जाता है, यह समीकरण मूल रूप से 9 साल पहले 1922 में [[लुईस फ्राई रिचर्डसन]] द्वारा प्रस्तुत किया गया था।<ref>{{cite web|last1=Knight|first1=John|last2=Raats|first2=Peter|title=जल निकासी सिद्धांत, मृदा भौतिकी और मृदा-पौधे-वायुमंडल सातत्य में लुईस फ्राई रिचर्डसन का योगदान|url=http://meetingorganizer.copernicus.org/EGU2016/EGU2016-10980-1.pdf|publisher=EGU General Assembly 2016}}</ref><ref>{{cite book|last1=Richardson|first1=Lewis Fry|title=संख्यात्मक प्रक्रिया द्वारा मौसम की भविष्यवाणी|date=1922|publisher=Cambridge, The University press|pages=[https://archive.org/details/weatherpredictio00richrich/page/n222 262]|url=https://archive.org/details/weatherpredictio00richrich}}</ref>
 ==सूत्रीकरण==
-इस प्रकार से रिचर्ड्स समीकरण पर्यावरण साहित्य के अनेक लेखों में दिखाई देता है क्योंकि यह वायुमंडल और जलभृत के मध्य वाडोज़ क्षेत्र में प्रवाह का वर्णन करता है। यह शुद्ध गणितीय पत्रिकाओं में भी दिखाई देता है क्योंकि इसमें गैर-नगण्य समाधान हैं। ऊपर दिए गए मिश्रित सूत्रीकरण में दो अज्ञात वेरिएबल <math>\theta                                                                                                                                                                                                         </math> और <math>h</math>. सम्मिलित हैं: इसे संवैधानिक संबंध <math>\theta(h)</math> पर विचार करके सरलता से हल किया जा सकता है , जिसे [[जल प्रतिधारण वक्र]] के रूप में जाना जाता है। [[श्रृंखला नियम]] को प्रयुक्त करते हुए, रिचर्ड्स समीकरण को <math>h</math>-फॉर्म (हेड आधारित) या <math>\theta</math>-फॉर्म (सतुरशन आधारित) रिचर्ड्स समीकरण के रूप में पुनः तैयार किया जा सकता है।
+इस प्रकार से रिचर्ड्स समीकरण पर्यावरण साहित्य के अनेक लेखों में दिखाई देता है क्योंकि यह वायुमंडल और एक्विफायर के मध्य वाडोज़ क्षेत्र में प्रवाह का वर्णन करता है। यह शुद्ध गणितीय पत्रिकाओं में भी दिखाई देता है क्योंकि इसमें गैर-नगण्य समाधान हैं। ऊपर दिए गए मिश्रित सूत्रीकरण में दो अज्ञात वेरिएबल <math>\theta                                                                                                                                                                                                         </math> और <math>h</math>. सम्मिलित हैं: इसे संवैधानिक संबंध <math>\theta(h)</math> पर विचार करके सरलता से हल किया जा सकता है , जिसे [[जल प्रतिधारण वक्र|वाटर रिटेंशन कर्व]] के रूप में जाना जाता है। [[श्रृंखला नियम]] को प्रयुक्त करते हुए, रिचर्ड्स समीकरण को <math>h</math>-फॉर्म (हेड आधारित) या <math>\theta</math>-फॉर्म (सतुरशन आधारित) रिचर्ड्स समीकरण के रूप में पुनः तैयार किया जा सकता है।
 ===हेड आधारित===
@@ Line 47: / Line 47: @@
 :<math> \frac{\partial \theta }{\partial t}= \nabla \cdot \mathbf{D}(\theta) \nabla \theta - S. </math>
-सतुरशन-आधारित रिचर्ड्स समीकरण निम्नलिखित कम्प्यूटेशनल उद्देश से ग्रस्त है। सीमा के पश्चात से <math> \lim_{\theta \to \theta_s} ||\mathbf{D}(\theta)|| = \infty </math> और <math>\lim_{\theta \to \theta_r}||\mathbf{D}(\theta)|| = \infty</math>, जहाँ <math> \theta_s </math> संतृप्त (अधिकतम) जल सामग्री है और <math>\theta_r</math> क्या यह अवशिष्ट (न्यूनतम) जल सामग्री है, सफल संख्यात्मक समाधान केवल पूर्ण सतुरशन के नीचे संतोषजनक जल सामग्री की श्रेणियों के लिए प्रतिबंधित है (सतुरशन जल प्रतिधारण वक्र से भी कम होनी चाहिए) और साथ ही अवशिष्ट जल सामग्री के ऊपर संतोषजनक है।<ref>{{Cite journal |last1=Kuráž |first1=Michal |last2=Mayer |first2=Petr |last3=Lepš |first3=Matěj |last4=Trpkošová |first4=Dagmar |date=2010-04-15 |title=रिचर्ड्स समीकरण के शास्त्रीय और दोहरे सरंध्रता मॉडल का एक अनुकूली समय विवेकीकरण|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0377042709008036 |journal=Journal of Computational and Applied Mathematics |series=Finite Element Methods in Engineering and Science (FEMTEC 2009) |language=en |volume=233 |issue=12 |pages=3167–3177 |doi=10.1016/j.cam.2009.11.056 |bibcode=2010JCoAM.233.3167K |issn=0377-0427}}</ref>
+सतुरशन-आधारित रिचर्ड्स समीकरण निम्नलिखित कम्प्यूटेशनल उद्देश से ग्रस्त है। सीमा के पश्चात से <math> \lim_{\theta \to \theta_s} ||\mathbf{D}(\theta)|| = \infty </math> और <math>\lim_{\theta \to \theta_r}||\mathbf{D}(\theta)|| = \infty</math>, जहाँ <math> \theta_s </math> संतृप्त (अधिकतम) वाटर कंटेंट है और <math>\theta_r</math> क्या यह अवशिष्ट (न्यूनतम) वाटर कंटेंट है, सफल संख्यात्मक समाधान केवल पूर्ण सतुरशन के नीचे संतोषजनक वाटर कंटेंट की श्रेणियों के लिए प्रतिबंधित है (सतुरशन वाटर रिटेंशन कर्व से भी कम होनी चाहिए) और साथ ही अवशिष्ट वाटर कंटेंट के ऊपर संतोषजनक है।<ref>{{Cite journal |last1=Kuráž |first1=Michal |last2=Mayer |first2=Petr |last3=Lepš |first3=Matěj |last4=Trpkošová |first4=Dagmar |date=2010-04-15 |title=रिचर्ड्स समीकरण के शास्त्रीय और दोहरे सरंध्रता मॉडल का एक अनुकूली समय विवेकीकरण|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0377042709008036 |journal=Journal of Computational and Applied Mathematics |series=Finite Element Methods in Engineering and Science (FEMTEC 2009) |language=en |volume=233 |issue=12 |pages=3167–3177 |doi=10.1016/j.cam.2009.11.056 |bibcode=2010JCoAM.233.3167K |issn=0377-0427}}</ref>
 ==पैरामीट्रिज़ेशन==
-रिचर्ड्स समीकरण अपने किसी भी रूप में मिट्टी के हाइड्रोलिक गुणों को सम्मिलित करता है, जो की मिट्टी के प्रकार का प्रतिनिधित्व करने वाले पांच मापदंडों का समुच्चय है। मिट्टी के हाइड्रोलिक गुणों में सामान्यतः वैन जेनचटेन (<math> \alpha, \, n, \,m, \, \theta_s, \theta_r </math>), द्वारा जल प्रतिधारण वक्र पैरामीटर सम्मिलित होते हैं:<ref>{{Cite journal |last=van Genuchten |first=M. Th. |date=September 1980|title=असंतृप्त मिट्टी की हाइड्रोलिक चालकता की भविष्यवाणी के लिए एक बंद-रूप समीकरण|url=http://doi.wiley.com/10.2136/sssaj1980.03615995004400050002x |journal=Soil Science Society of America Journal |language=en |volume=44 |issue=5 |pages=892–898 |doi=10.2136/sssaj1980.03615995004400050002x|bibcode=1980SSASJ..44..892V }}</ref> जहाँ <math>\alpha</math> वायु प्रवेश मान [L<sup>−1</sup>] का व्युत्क्रम है , <math>n</math> छिद्र आकार वितरण पैरामीटर है [-], और <math>m</math> सामान्यतः <math>m= 1-\frac{1}{n}</math> मान लिया जाता है. इसके अतिरिक्त संतृप्त हाइड्रोलिक चालकता <math>\mathbf{K}_s</math> (जो गैर [[आइसोट्रॉपी]] वातावरण के लिए दूसरे क्रम का [[ टेन्सर |टेन्सर]] है) भी प्रदान किया जाना चाहिए। इन मापदंडों की पहचान प्रायः गैर-नगण्य होती है और अनेक दशकों से अनेक प्रकाशनों का विषय रही है।<ref>{{Cite journal |last1=Inoue |first1=M. |last2=Šimůnek |first2=J. |last3=Shiozawa |first3=S. |last4=Hopmans |first4=J.W. |date=June 2000|title=क्षणिक घुसपैठ प्रयोगों से मिट्टी के हाइड्रोलिक और विलेय परिवहन मापदंडों का एक साथ अनुमान|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0309170800000117 |journal=Advances in Water Resources |language=en |volume=23 |issue=7 |pages=677–688 |doi=10.1016/S0309-1708(00)00011-7|bibcode=2000AdWR...23..677I }}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Fodor |first1=Nándor |last2=Sándor |first2=Renáta |last3=Orfanus |first3=Tomas |last4=Lichner |first4=Lubomir |last5=Rajkai |first5=Kálmán |date=October 2011|title=मापी गई संतृप्त हाइड्रोलिक चालकता की मूल्यांकन विधि निर्भरता|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0016706111001935 |journal=Geoderma |language=en |volume=165 |issue=1 |pages=60–68 |doi=10.1016/j.geoderma.2011.07.004|bibcode=2011Geode.165...60F }}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Angulo-Jaramillo |first1=Rafael |last2=Vandervaere |first2=Jean-Pierre |last3=Roulier |first3=Stéphanie |last4=Thony |first4=Jean-Louis |last5=Gaudet |first5=Jean-Paul |last6=Vauclin |first6=Michel |date=May 2000|title=डिस्क और रिंग इनफिल्ट्रोमीटर द्वारा मिट्टी की सतह के हाइड्रोलिक गुणों का क्षेत्र माप|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0167198700000982 |journal=Soil and Tillage Research |language=en |volume=55 |issue=1–2 |pages=1–29 |doi=10.1016/S0167-1987(00)00098-2}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Köhne |first1=J. Maximilian |last2=Mohanty |first2=Binayak P. |last3=Šimůnek |first3=Jirka |date=January 2006|title=Inverse Dual‐Permeability Modeling of Preferential Water Flow in a Soil Column and Implications for Field‐Scale Solute Transport |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.2136/vzj2005.0008 |journal=Vadose Zone Journal |language=en |volume=5 |issue=1 |pages=59–76 |doi=10.2136/vzj2005.0008 |s2cid=781417 |issn=1539-1663}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Younes |first1=Anis |last2=Mara |first2=Thierry |last3=Fahs |first3=Marwan |last4=Grunberger |first4=Olivier |last5=Ackerer |first5=Philippe |date=3 May 2017|title=स्तंभ घुसपैठ प्रयोगों का उपयोग करके हाइड्रोलिक और परिवहन पैरामीटर मूल्यांकन|url=https://hess.copernicus.org/articles/21/2263/2017/ |journal=Hydrology and Earth System Sciences |language=en |volume=21 |issue=5 |pages=2263–2275 |doi=10.5194/hess-21-2263-2017 |bibcode=2017HESS...21.2263Y |issn=1607-7938|doi-access=free }}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Kuraz |first1=Michal |last2=Jačka |first2=Lukáš |last3=Ruth Blöcher |first3=Johanna |last4=Lepš |first4=Matěj |date=1 November 2022|title=मृदा हाइड्रोलिक गुणों की व्युत्क्रम पहचान के दौरान अभिसरण मुद्दों से बचने के लिए स्वचालित अंशांकन पद्धति|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S096599782200179X |journal=Advances in Engineering Software |language=en |volume=173 |pages=103278 |doi=10.1016/j.advengsoft.2022.103278 |s2cid=252508220 |issn=0965-9978}}</ref>
+रिचर्ड्स समीकरण अपने किसी भी रूप में मिट्टी के हाइड्रोलिक गुणों को सम्मिलित करता है, जो की मिट्टी के प्रकार का प्रतिनिधित्व करने वाले पांच मापदंडों का समुच्चय है। मिट्टी के हाइड्रोलिक गुणों में सामान्यतः वैन जेनचटेन (<math> \alpha, \, n, \,m, \, \theta_s, \theta_r </math>), द्वारा वाटर रिटेंशन कर्व मापदंड सम्मिलित होते हैं:<ref>{{Cite journal |last=van Genuchten |first=M. Th. |date=September 1980|title=असंतृप्त मिट्टी की हाइड्रोलिक चालकता की भविष्यवाणी के लिए एक बंद-रूप समीकरण|url=http://doi.wiley.com/10.2136/sssaj1980.03615995004400050002x |journal=Soil Science Society of America Journal |language=en |volume=44 |issue=5 |pages=892–898 |doi=10.2136/sssaj1980.03615995004400050002x|bibcode=1980SSASJ..44..892V }}</ref> जहाँ <math>\alpha</math> वायु प्रवेश मान [L<sup>−1</sup>] का व्युत्क्रम है , <math>n</math> छिद्र आकार वितरण मापदंड है [-], और <math>m</math> सामान्यतः <math>m= 1-\frac{1}{n}</math> मान लिया जाता है. इसके अतिरिक्त संतृप्त हाइड्रोलिक चालकता <math>\mathbf{K}_s</math> (जो गैर [[आइसोट्रॉपी]] वातावरण के लिए दूसरे क्रम का [[ टेन्सर |टेन्सर]] है) भी प्रदान किया जाना चाहिए। इन मापदंडों की पहचान प्रायः गैर-नगण्य होती है और अनेक दशकों से अनेक प्रकाशनों का विषय रही है।<ref>{{Cite journal |last1=Inoue |first1=M. |last2=Šimůnek |first2=J. |last3=Shiozawa |first3=S. |last4=Hopmans |first4=J.W. |date=June 2000|title=क्षणिक घुसपैठ प्रयोगों से मिट्टी के हाइड्रोलिक और विलेय परिवहन मापदंडों का एक साथ अनुमान|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0309170800000117 |journal=Advances in Water Resources |language=en |volume=23 |issue=7 |pages=677–688 |doi=10.1016/S0309-1708(00)00011-7|bibcode=2000AdWR...23..677I }}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Fodor |first1=Nándor |last2=Sándor |first2=Renáta |last3=Orfanus |first3=Tomas |last4=Lichner |first4=Lubomir |last5=Rajkai |first5=Kálmán |date=October 2011|title=मापी गई संतृप्त हाइड्रोलिक चालकता की मूल्यांकन विधि निर्भरता|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0016706111001935 |journal=Geoderma |language=en |volume=165 |issue=1 |pages=60–68 |doi=10.1016/j.geoderma.2011.07.004|bibcode=2011Geode.165...60F }}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Angulo-Jaramillo |first1=Rafael |last2=Vandervaere |first2=Jean-Pierre |last3=Roulier |first3=Stéphanie |last4=Thony |first4=Jean-Louis |last5=Gaudet |first5=Jean-Paul |last6=Vauclin |first6=Michel |date=May 2000|title=डिस्क और रिंग इनफिल्ट्रोमीटर द्वारा मिट्टी की सतह के हाइड्रोलिक गुणों का क्षेत्र माप|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0167198700000982 |journal=Soil and Tillage Research |language=en |volume=55 |issue=1–2 |pages=1–29 |doi=10.1016/S0167-1987(00)00098-2}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Köhne |first1=J. Maximilian |last2=Mohanty |first2=Binayak P. |last3=Šimůnek |first3=Jirka |date=January 2006|title=Inverse Dual‐Permeability Modeling of Preferential Water Flow in a Soil Column and Implications for Field‐Scale Solute Transport |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.2136/vzj2005.0008 |journal=Vadose Zone Journal |language=en |volume=5 |issue=1 |pages=59–76 |doi=10.2136/vzj2005.0008 |s2cid=781417 |issn=1539-1663}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Younes |first1=Anis |last2=Mara |first2=Thierry |last3=Fahs |first3=Marwan |last4=Grunberger |first4=Olivier |last5=Ackerer |first5=Philippe |date=3 May 2017|title=स्तंभ घुसपैठ प्रयोगों का उपयोग करके हाइड्रोलिक और परिवहन पैरामीटर मूल्यांकन|url=https://hess.copernicus.org/articles/21/2263/2017/ |journal=Hydrology and Earth System Sciences |language=en |volume=21 |issue=5 |pages=2263–2275 |doi=10.5194/hess-21-2263-2017 |bibcode=2017HESS...21.2263Y |issn=1607-7938|doi-access=free }}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Kuraz |first1=Michal |last2=Jačka |first2=Lukáš |last3=Ruth Blöcher |first3=Johanna |last4=Lepš |first4=Matěj |date=1 November 2022|title=मृदा हाइड्रोलिक गुणों की व्युत्क्रम पहचान के दौरान अभिसरण मुद्दों से बचने के लिए स्वचालित अंशांकन पद्धति|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S096599782200179X |journal=Advances in Engineering Software |language=en |volume=173 |pages=103278 |doi=10.1016/j.advengsoft.2022.103278 |s2cid=252508220 |issn=0965-9978}}</ref>
 ==सीमाएँ==
-रिचर्ड्स समीकरण का संख्यात्मक समाधान पृथ्वी साइंस में अधिक चुनौतीपूर्ण समस्याओं में से है।<ref>Farthing, Matthew W., and Fred L. Ogden, (2017). Numerical solution of Richards’ Equation: a review of advances and challenges. ''Soil Science Society of America Journal'', 81(6), pp.1257-1269.</ref> और कम्प्यूटेशनल रूप से बहुमूल्य और अप्रत्याशित होने के कारण रिचर्ड्स के समीकरण की आलोचना की गई है <ref>Short, D., W.R. Dawes, and I. White, (1995).  The practicability of using Richards' equation for general purpose soil-water dynamics models.   ''Envir. Int'l''. 21(5):723-730.</ref><ref>Tocci, M. D., C. T. Kelley, and C. T. Miller (1997), Accurate and economical solution of the pressure-head form of Richards' equation by the method of lines, ''Adv. Wat. Resour.'', 20(1), 1–14.</ref> क्योंकि इस तथ्य का कोई प्रमाण नहीं है कि सॉल्वर मिट्टी के संवैधानिक संबंधों के विशेष समुच्चय के लिए जुट जाएगा। इस बाधा पर अधिकृत पाने के लिए उन्नत कम्प्यूटेशनल और सॉफ्टवेयर समाधान की आवश्यकता होती है। इस प्रकार से केशिकात्व की भूमिका पर अत्यधिक जोर देने के लिए भी इस पद्धति की आलोचना की गई है,<ref>Germann, P. (2010), Comment on “Theory for source-responsive and free-surface film modeling of unsaturated flow”, ''Vadose Zone J.'' 9(4), 1000-1101.</ref> और कुछ मायनों में 'अत्यधिक सरलीकृत' होने के कारण <ref>Gray, W. G., and S. Hassanizadeh (1991), Paradoxes and realities in unsaturated flow theory, ''Water Resour. Res.'', 27(8), 1847-1854.</ref> शुष्क मिट्टी में वर्षा समावेश के आयामी सिमुलेशन में, भूमि की सतह के समीप सेमी से कम सूक्ष्म स्थानिक विवेक की आवश्यकता होती है,<ref>Downer, Charles W., and Fred L. Ogden (2003), ''Hydrol. Proc.'',18, pp. 1-22.  DOI:10.1002/hyp.1306.</ref> जो पोरस मीडिया में बहुचरणीय प्रवाह के लिए प्रतिनिधि प्राथमिक आयतन के छोटे आकार के कारण है। त्रि-आयामी अनुप्रयोगों में रिचर्ड्स समीकरण का संख्यात्मक समाधान भाग अनुपात बाधाओं के अधीन है जहां समाधान डोमेन में क्षैतिज से ऊर्ध्वाधर रिज़ॉल्यूशन का अनुपात लगभग 7 से कम होना चाहिए।
+रिचर्ड्स समीकरण का संख्यात्मक समाधान पृथ्वी साइंस में अधिक चुनौतीपूर्ण समस्याओं में से है।<ref>Farthing, Matthew W., and Fred L. Ogden, (2017). Numerical solution of Richards’ Equation: a review of advances and challenges. ''Soil Science Society of America Journal'', 81(6), pp.1257-1269.</ref> और कम्प्यूटेशनल रूप से बहुमूल्य और अप्रत्याशित होने के कारण रिचर्ड्स के समीकरण की आलोचना की गई है <ref>Short, D., W.R. Dawes, and I. White, (1995).  The practicability of using Richards' equation for general purpose soil-water dynamics models.   ''Envir. Int'l''. 21(5):723-730.</ref><ref>Tocci, M. D., C. T. Kelley, and C. T. Miller (1997), Accurate and economical solution of the pressure-head form of Richards' equation by the method of lines, ''Adv. Wat. Resour.'', 20(1), 1–14.</ref> क्योंकि इस तथ्य का कोई प्रमाण नहीं है कि सॉल्वर मिट्टी के संवैधानिक संबंधों के विशेष समुच्चय के लिए एकत्र हो जाएगा। इस बाधा पर अधिकृत पाने के लिए उन्नत कम्प्यूटेशनल और सॉफ्टवेयर समाधान की आवश्यकता होती है। इस प्रकार से केशिकात्व की भूमिका पर अत्यधिक बल देने के लिए भी इस पद्धति की आलोचना की गई है,<ref>Germann, P. (2010), Comment on “Theory for source-responsive and free-surface film modeling of unsaturated flow”, ''Vadose Zone J.'' 9(4), 1000-1101.</ref> और कुछ मायनों में 'अत्यधिक सरलीकृत' होने के कारण <ref>Gray, W. G., and S. Hassanizadeh (1991), Paradoxes and realities in unsaturated flow theory, ''Water Resour. Res.'', 27(8), 1847-1854.</ref> शुष्क मिट्टी में वर्षा समावेश के आयामी सिमुलेशन में, भूमि की सतह के समीप सेमी से कम सूक्ष्म स्थानिक विवेक की आवश्यकता होती है,<ref>Downer, Charles W., and Fred L. Ogden (2003), ''Hydrol. Proc.'',18, pp. 1-22.  DOI:10.1002/hyp.1306.</ref> जो पोरस मीडिया में बहुचरणीय प्रवाह के लिए प्रतिनिधि प्राथमिक आयतन के छोटे आकार के कारण है। त्रि-आयामी अनुप्रयोगों में रिचर्ड्स समीकरण का संख्यात्मक समाधान भाग अनुपात बाधाओं के अधीन है जहां समाधान डोमेन में क्षैतिज से ऊर्ध्वाधर रिज़ॉल्यूशन का अनुपात लगभग 7 से कम होना चाहिए।
 ==संदर्भ==
 {{reflist}}
 ==यह भी देखें==
-* [[घुसपैठ (जल विज्ञान)|समावेश (जल साइंस )]]
+* [[घुसपैठ (जल विज्ञान)|समावेश (वाटर साइंस )]]
-* जल रिटेनसन कर्व
+* वाटर रिटेनसन कर्व
-* [[परिमित जल-सामग्री वाडोज़ ज़ोन प्रवाह विधि]]
+* [[परिमित जल-सामग्री वाडोज़ ज़ोन प्रवाह विधि|परिमित वाटर-कंटेंट वाडोज़ ज़ोन प्रवाह विधि]]
 *मिट्टी की नमी वेग समीकरण
 श्रेणी:मृदा भौतिकी
-श्रेणी:जल साइंस
+श्रेणी:वाटर साइंस
 श्रेणी:आंशिक अंतर समीकरण
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
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