लॉगिट: Difference between revisions

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{{Short description|Function in statistics}}
{{Short description|Function in statistics}}
{{about|the binary logit function|other types of logit|discrete choice|the basic regression technique that uses the logit function|logistic regression|standard magnitudes combined by multiplication|logit (unit)}}
[[Image:Logit.svg|thumbnail|upright=1.3|0 से 1 के डोमेन में लॉगिट (x) का प्लॉट, जहां लघुगणक का आधार ई है।]]आंकड़ों में '''लॉगिट''' ({{IPAc-en|ˈ|l|oʊ|dʒ|ɪ|t}} {{respell|LOH|jit}}) फंक्शन मानक लॉजिस्टिक वितरण से जुड़ा एक क्वांटाइल(बिभाजक) फंक्शन है। डेटा विश्लेषण और मशीन लर्निंग में इसके कई उपयोग हैं, विशेष रूप से इसका उपयोग [[डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी)]] में किया जाता है|
{{Distinguish|log probability}}
[[Image:Logit.svg|thumbnail|upright=1.3|0 से 1 के डोमेन में लॉगिट (x) का प्लॉट, जहां लघुगणक का आधार ई है।]]आंकड़ों में, लॉगिट ({{IPAc-en|ˈ|l|oʊ|dʒ|ɪ|t}} {{respell|LOH|jit}}) फ़ंक्शन मानक लॉजिस्टिक वितरण से जुड़ा [[मात्रात्मक कार्य]] है। डेटा विश्लेषण और मशीन लर्निंग में इसके कई उपयोग हैं, विशेष रूप से [[डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी)]] में।


गणितीय रूप से, लॉगिट [[लॉजिस्टिक फ़ंक्शन]] का व्युत्क्रम फ़ंक्शन है <math>\sigma(x) = 1/(1+e^{-x})</math>, इसलिए लॉगिट को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
गणितीय रूप से लॉगिट, [[लॉजिस्टिक फ़ंक्शन|लॉजिस्टिक फंक्शन]]<math>\sigma(x) = 1/(1+e^{-x})</math> का व्युत्क्रम फंक्शन है, इसलिए लॉगिट को इस प्रकार परिभाषित किया गया है


:<math>\operatorname{logit} p = \sigma^{-1}(p) = \ln \frac{p}{1-p} \quad \text{for} \quad p \in (0,1)</math>.
:<math>\operatorname{logit} p = \sigma^{-1}(p) = \ln \frac{p}{1-p} \quad \text{for} \quad p \in (0,1)</math>.


इस वजह से, लॉगिट को लॉग-[[कठिनाइयाँ]] भी कहा जाता है क्योंकि यह ऑड्स के लघुगणक के बराबर है <math>\frac{p}{1-p}</math> कहाँ {{mvar|p}} एक संभावना है. इस प्रकार, लॉगिट एक प्रकार का फ़ंक्शन है जो संभाव्यता मानों को मैप करता है <math>(0, 1)</math> वास्तविक संख्या में <math>(-\infty, +\infty)</math>,<ref>{{Cite web|url=http://www.columbia.edu/~so33/SusDev/Lecture_9.pdf|title=Logit/Probit}}</ref> [[ probit ]] के समान।
इसके लिय लॉगिट को [[लॉग-ऑड्स]] भी कहा जाता है क्योंकि यह ऑड्स के लघुगणक <math>\frac{p}{1-p}</math> के बराबर है जहां {{mvar|p}} एक प्रायिकता है। इस प्रकार लॉगिट एक प्रकार का फंक्शन है जो <math>(0, 1)</math>वास्तविक संख्याओं में <math>(-\infty, +\infty)</math>,<ref>{{Cite web|url=http://www.columbia.edu/~so33/SusDev/Lecture_9.pdf|title=Logit/Probit}}</ref> प्रोबिट फंक्शन के समान संभावित मानों को मैप करता है।


==परिभाषा==
==परिभाषा==
अगर {{mvar|p}} तो एक [[संभावना]] है {{math| {{nowrap|''p''/(1 &minus; ''p'')}} }} संगत संभावना है; {{math|logit}}संभावना का गुणांक बाधाओं का लघुगणक है, अर्थात:
यदि p एक संभावना है, तो p/(1 − p) संगत संभावना है; लॉगिट का लघुगणक ऑड्स का लघुगणक है, अर्थात:


:<math>\operatorname{logit}(p)=\ln\left( \frac{p}{1-p} \right) =\ln(p)-\ln(1-p)=-\ln\left( \frac{1}{p}-1\right)=2\operatorname{atanh}(2p-1)</math>
:<math>\operatorname{logit}(p)=\ln\left( \frac{p}{1-p} \right) =\ln(p)-\ln(1-p)=-\ln\left( \frac{1}{p}-1\right)=2\operatorname{atanh}(2p-1)</math>
उपयोग किए गए लघुगणक फ़ंक्शन का आधार वर्तमान लेख में बहुत कम महत्व रखता है, जब तक कि यह 1 से अधिक है, लेकिन आधार के साथ [[प्राकृतिक]] लघुगणक {{mvar|[[e (mathematical constant)|e]]}} वह है जो सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता है। आधार का चयन मान के लिए [[लघुगणकीय इकाई]] के चयन से मेल खाता है: आधार 2 एक [[शैनन (इकाई)]] से मेल खाता है, आधार{{mvar|e}} एक "नैट (इकाई)" के लिए, और आधार 10 से एक [[हार्टले (इकाई)]]; इन इकाइयों का उपयोग विशेष रूप से सूचना-सैद्धांतिक व्याख्याओं में किया जाता है। आधार के प्रत्येक विकल्प के लिए, लॉगिट फ़ंक्शन नकारात्मक और सकारात्मक अनंत के बीच मान लेता है।
वर्तमान लेख में प्रयुक्त लघुगणक फंक्शन का आधार बहुत कम महत्व रखता है, जब तक यह 1 से अधिक है, लेकिन आधार {{mvar|e}} के साथ प्राकृतिक लघुगणक {{mvar|[[e (mathematical constant)|e]]}} सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। आधार का चयन मान के लिए [[लघुगणकीय इकाई]] के चयन के सामान होता है: इसीप्रकार से आधार 2 एक [[शैनन (इकाई)]], आधार{{mvar|e}} एक "नैट (इकाई)", और आधार 10 से एक [[हार्टले (इकाई)|हार्टले (इकाई) के सामान होता है]] ; इन इकाइयों का उपयोग विशेष रूप से सूचना-सैद्धांतिक व्याख्याओं के रूप में किया जाता है। इन आधार के प्रत्येक विकल्प के लिए लॉगिट फंक्शन ऋणात्मक और धनात्मक अनंत के बीच के मान को प्राप्त करता है।


लॉजिस्टिक फ़ंक्शन|किसी भी संख्या का "लॉजिस्टिक" फ़ंक्शन <math>\alpha</math> व्युत्क्रम द्वारा दिया गया है-{{math|logit}}:
किसी भी संख्या <math>\alpha</math> का लॉजिस्टिक फंक्शन व्युत्क्रम-लॉगिट द्वारा दिया गया है


:<math>\operatorname{logit}^{-1}(\alpha) = \operatorname{logistic}(\alpha) = \frac{1}{1 + \operatorname{exp}(-\alpha)} = \frac{\operatorname{exp}(\alpha)}{ \operatorname{exp}(\alpha) + 1} = \frac{\tanh(\frac{\alpha}{2})+1}{2}</math>
:<math>\operatorname{logit}^{-1}(\alpha) = \operatorname{logistic}(\alpha) = \frac{1}{1 + \operatorname{exp}(-\alpha)} = \frac{\operatorname{exp}(\alpha)}{ \operatorname{exp}(\alpha) + 1} = \frac{\tanh(\frac{\alpha}{2})+1}{2}</math>
के बीच का अंतर {{math|logit}}दो संभावनाओं का अंतर अनुपात का लघुगणक है ({{mvar|R}}), इस प्रकार विषम अनुपात योगात्मक फ़ंक्शन का सही संयोजन लिखने के लिए एक आशुलिपि प्रदान करता है:
दो संभावनाओं के लघुगणक के बीच का अंतर विषम अनुपात ({{mvar|R}}) का लघुगणक है, इस प्रकार केवल जोड़कर और घटाकर विषम अनुपातों का सही संयोजन लिखने के लिए एक संक्षिप्त लिपि प्रदान की जाती है:


:<math>\operatorname{ln}(R)=\ln\left( \frac{{p_1}/(1-p_1)}{{p_2}/(1-p_2)} \right) =\ln\left( \frac{p_1}{1-p_1} \right) - \ln\left(\frac{p_2}{1-p_2}\right)=\operatorname{logit}(p_1)-\operatorname{logit}(p_2)\,.</math>
:<math>\operatorname{ln}(R)=\ln\left( \frac{{p_1}/(1-p_1)}{{p_2}/(1-p_2)} \right) =\ln\left( \frac{p_1}{1-p_1} \right) - \ln\left(\frac{p_2}{1-p_2}\right)=\operatorname{logit}(p_1)-\operatorname{logit}(p_2)\,.</math>
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==इतिहास==
==इतिहास==
रैखिक प्रतिगमन विधियों को ऐसे डोमेन में अनुकूलित करने के कई प्रयास किए गए हैं जहां आउटपुट एक संभाव्यता मान है, <math>(0, 1)</math>, किसी वास्तविक संख्या के बजाय <math>(-\infty, +\infty)</math>. कई मामलों में, ऐसे प्रयासों ने सीमा का मानचित्रण करके इस समस्या के मॉडलिंग पर ध्यान केंद्रित किया है <math>(0, 1)</math> को <math>(-\infty, +\infty)</math> और फिर इन परिवर्तित मूल्यों पर रैखिक प्रतिगमन चलाना। 1934 में [[चेस्टर इटनर ब्लिस]] ने इस मैपिंग को करने के लिए संचयी सामान्य वितरण फ़ंक्शन का उपयोग किया और अपने मॉडल प्रोबिट को संभाव्यता इकाई का संक्षिप्त नाम कहा;।<ref name="Cramer2003">{{Cite web|url=http://www.cambridge.org/resources/0521815886/1208_default.pdf|title=लॉगिट मॉडल की उत्पत्ति और विकास|author=J. S. Cramer|year=2003|publisher=Cambridge UP}}</ref> हालाँकि, यह कम्प्यूटेशनल रूप से अधिक महंगा है। 1944 में, [[जोसेफ बर्कसन]] ने ऑड्स के लॉग का उपयोग किया और इस फ़ंक्शन को लॉगिट कहा, प्रोबिट के सादृश्य के बाद 'लॉजिस्टिक यूनिट' का संक्षिप्त नाम:{{sfn|Berkson|1944|loc=p. 361, footnote 2}}
रैखिक प्रतिगमन विधियों को ऐसे डोमेन में रूपांतरित करने के कई प्रयास किए गए हैं जहां किसी वास्तविक संख्या<math>(-\infty, +\infty)</math> के अतिरिक्त आउटपुट का संभावित मान<math>(0, 1)</math> है, कई कारकों में ऐसे प्रयासों ने रेंज <math>(0, 1)</math> से <math>(-\infty, +\infty)</math> को मैप करके और फिर इन परिवर्तित मानों पर रैखिक प्रतिगमन बिधि को लागू करके इस समस्या को मॉडलिंग करने पर ध्यान केंद्रित किया गया।
{{quotation|I use this term [logit] for <math>\ln p/q</math> following Bliss, who called the analogous function which is linear on {{tmath|x}} for the normal curve "probit."}}


लॉग ऑड्स का उपयोग [[चार्ल्स सैंडर्स पीयर्स]] (19वीं सदी के अंत में) द्वारा बड़े पैमाने पर किया गया था।<ref>{{cite book |title=The history of statistics : the measurement of uncertainty before 1900 |last=Stigler |first=Stephen M. |author-link=Stephen M. Stigler |year=1986 |publisher=Belknap Press of Harvard University Press |location=Cambridge, Massachusetts |isbn=978-0-674-40340-6 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/historyofstatist00stig }}</ref> 1949 में जी. ए. बरनार्ड ने आमतौर पर इस्तेमाल होने वाला शब्द लॉग-ऑड्स गढ़ा;<ref>{{citation|title=Logistic Regression Models|first=Joseph M.|last=Hilbe|authorlink=Joseph Hilbe|publisher=CRC Press|year=2009|isbn=9781420075779|page=3|url=https://books.google.com/books?id=tmHMBQAAQBAJ&pg=PA3}}.</ref>{{sfn|Barnard|1949|p=120}} किसी घटना का लॉग-ऑड्स घटना की संभावना का लॉगिट है।<ref>{{citation|title=Logit Models from Economics and Other Fields|first=J. S.|last=Cramer|publisher=Cambridge University Press|year=2003|isbn=9781139438193|page=13|url=https://books.google.com/books?id=1Od2d72pPXUC&pg=PA13}}.</ref> बरनार्ड ने लॉग-ऑड्स के एक अमूर्त रूप के रूप में लॉड्स शब्द भी गढ़ा,{{sfn|Barnard|1949|p=120,128}} लेकिन सुझाव दिया कि व्यवहार में 'ऑड्स' शब्द का सामान्य रूप से उपयोग किया जाना चाहिए, क्योंकि यह रोजमर्रा की जिंदगी में अधिक परिचित है।{{sfn|Barnard|1949|p=136}}
1934 में [[चेस्टर इटनर ब्लिस]] ने इस मैपिंग को करने के लिए संचयी सामान्य वितरण फंक्शन का उपयोग किया और अपने मॉडल प्रोबिट को संभावित इकाई का संक्षिप्त नाम दिया।<ref name="Cramer2003">{{Cite web|url=http://www.cambridge.org/resources/0521815886/1208_default.pdf|title=लॉगिट मॉडल की उत्पत्ति और विकास|author=J. S. Cramer|year=2003|publisher=Cambridge UP}}</ref> हालाँकि, यह कम्प्यूटेशनल रूप से अधिक महंगा है। 1944 में [[जोसेफ बर्कसन]] ने ऑड्स लॉग का उपयोग किया और इस फंक्शन को लॉगिट कहा गया, प्रोबिट के एनालॉग के बाद 'लॉजिस्टिक यूनिट' का संक्षिप्त नाम दिया:{{sfn|Berkson|1944|loc=p. 361, footnote 2}}
 
लॉग ऑड्स का उपयोग [[चार्ल्स सैंडर्स पीयर्स]] (19वीं सदी के अंत में) द्वारा बड़े पैमाने पर किया गया था।<ref>{{cite book |title=The history of statistics : the measurement of uncertainty before 1900 |last=Stigler |first=Stephen M. |author-link=Stephen M. Stigler |year=1986 |publisher=Belknap Press of Harvard University Press |location=Cambridge, Massachusetts |isbn=978-0-674-40340-6 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/historyofstatist00stig }}</ref> 1949 में जी. ए. बरनार्ड ने सामान्यत: प्रयोग होने वाले शब्द लॉग-ऑड्स का चयन किया ;<ref>{{citation|title=Logistic Regression Models|first=Joseph M.|last=Hilbe|authorlink=Joseph Hilbe|publisher=CRC Press|year=2009|isbn=9781420075779|page=3|url=https://books.google.com/books?id=tmHMBQAAQBAJ&pg=PA3}}.</ref>{{sfn|Barnard|1949|p=120}}किसी घटना का लॉग-ऑड्स घटना की प्रायिकता का लॉगिट है।<ref>{{citation|title=Logit Models from Economics and Other Fields|first=J. S.|last=Cramer|publisher=Cambridge University Press|year=2003|isbn=9781139438193|page=13|url=https://books.google.com/books?id=1Od2d72pPXUC&pg=PA13}}.</ref> बरनार्ड ने लॉग-ऑड्स के रूप में लॉड्स शब्द का चयन किया,{{sfn|Barnard|1949|p=120,128}} लेकिन यह सुझाव दिया गया कि व्यवहार में 'ऑड्स' शब्द को सामान्य रूप से उपयोग किया जाना चाहिए, क्योंकि यह जीवन में प्रतिदिन प्रयोग होने वाला शब्द है।{{sfn|Barnard|1949|p=136}}


==उपयोग और गुण==
==उपयोग और गुण==


* [[ संभार तन्त्र परावर्तन ]] में लॉगिट एक [[सामान्यीकृत रैखिक मॉडल]] में एक [[लिंक फ़ंक्शन]] का एक विशेष मामला है: यह [[बर्नौली वितरण]] के लिए कैनोनिकल लिंक फ़ंक्शन है।
* लॉजिस्टिक परावर्तन में लॉगिट एक [[सामान्यीकृत रैखिक मॉडल]] में एक लिंक फंक्शन का एक विशेष कारक है: यह [[बर्नौली वितरण]] के लिए कैनोनिकल [[लिंक फ़ंक्शन|लिंक फंक्शन]] है।
* लॉगिट फ़ंक्शन [[बाइनरी एन्ट्रॉपी फ़ंक्शन]] के व्युत्पन्न का नकारात्मक है।
* लॉगिट फंक्शन [[बाइनरी एन्ट्रॉपी फ़ंक्शन|बाइनरी एन्ट्रॉपी फंक्शन]] के व्युत्पन्न का ऋणात्मक है।
* लॉगिट [[माप]] के लिए संभाव्य [[ तीव्र मॉडल ]] का भी केंद्र है, जिसमें अन्य क्षेत्रों के अलावा मनोवैज्ञानिक और शैक्षिक मूल्यांकन में अनुप्रयोग हैं।
* लॉगिट माप के लिए संभाव्य रैश मॉडल का भी केंद्र है, जिसमें अन्य क्षेत्रों के अलावा मनोवैज्ञानिक और शैक्षिक मूल्यांकन में अनुप्रयोग हैं।
* व्युत्क्रम-लॉगिट फ़ंक्शन (यानी, लॉजिस्टिक फ़ंक्शन) को कभी-कभी ''एक्सपिट'' फ़ंक्शन के रूप में भी जाना जाता है।<ref>{{cite web |url=http://www.stat.ucl.ac.be/ISdidactique/Rhelp/library/msm/html/expit.html |title=R: Inverse logit function |access-date=2011-02-18 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20110706132209/http://www.stat.ucl.ac.be/ISdidactique/Rhelp/library/msm/html/expit.html |archive-date=2011-07-06 }}</ref>
* व्युत्क्रम-लॉगिट फंक्शन (यानी, लॉजिस्टिक फंक्शन) को कभी-कभी ''एक्सपिट'' फंक्शन के रूप में भी जाना जाता है।<ref>{{cite web |url=http://www.stat.ucl.ac.be/ISdidactique/Rhelp/library/msm/html/expit.html |title=R: Inverse logit function |access-date=2011-02-18 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20110706132209/http://www.stat.ucl.ac.be/ISdidactique/Rhelp/library/msm/html/expit.html |archive-date=2011-07-06 }}</ref>
* पादप रोग महामारी विज्ञान में डेटा को लॉजिस्टिक मॉडल में फिट करने के लिए लॉगिट का उपयोग किया जाता है। गोम्पर्ट्ज़ और मोनोमोलेक्यूलर मॉडल के साथ तीनों को रिचर्ड्स परिवार मॉडल के रूप में जाना जाता है।
* पादप रोग महामारी विज्ञान में डेटा को लॉजिस्टिक मॉडल में उपयुक्त करने के लिए लॉगिट का उपयोग किया जाता है। गोम्पर्ट्ज और मोनोमोलेक्यूलर मॉडल के साथ तीनों को रिचर्ड्स परिवार मॉडल के रूप में जाना जाता है।
* संभावनाओं का लॉग-ऑड्स फ़ंक्शन अक्सर राज्य अनुमान एल्गोरिदम में उपयोग किया जाता है<ref>{{Cite journal|last=Thrun|first=Sebastian|title=फॉरवर्ड सेंसर मॉडल के साथ अधिभोग ग्रिड मानचित्र सीखना|journal=Autonomous Robots|language=en|volume=15|issue=2|pages=111–127|doi=10.1023/A:1025584807625|issn=0929-5593|year=2003|s2cid=2279013 }}</ref> छोटी संभावनाओं के मामले में इसके संख्यात्मक लाभ के कारण। बहुत छोटी फ़्लोटिंग पॉइंट संख्याओं को गुणा करने के बजाय, लॉग-ऑड्स संभावनाओं को केवल (लॉग-ऑड्स) संयुक्त संभावना की गणना करने के लिए सारांशित किया जा सकता है।<ref>{{Cite web|url=https://www.cs.cmu.edu/~16831-f12/notes/F12/16831_lecture05_vh.pdf|title=रोबोटिक्स में सांख्यिकीय तकनीकें|last=Styler|first=Alex|date=2012|page=2|access-date=2017-01-26}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Dickmann|first1=J.|last2=Appenrodt|first2=N.|last3=Klappstein|first3=J.|last4=Bloecher|first4=H. L.|last5=Muntzinger|first5=M.|last6=Sailer|first6=A.|last7=Hahn|first7=M.|last8=Brenk|first8=C.|date=2015-01-01|title=Making Bertha See Even More: Radar Contribution|journal=IEEE Access|volume=3|pages=1233–1247|doi=10.1109/ACCESS.2015.2454533|issn=2169-3536|doi-access=free}}</ref>
* छोटी संभवित के कारकों में इसके संख्यात्मक लाभ के कारण संभवित लॉग-ऑड्स फंक्शन का उपयोग हमेशा स्टेट एस्टीमेशन एल्गोरिदम में उपयोग किया जाता है ।<ref>{{Cite journal|last=Thrun|first=Sebastian|title=फॉरवर्ड सेंसर मॉडल के साथ अधिभोग ग्रिड मानचित्र सीखना|journal=Autonomous Robots|language=en|volume=15|issue=2|pages=111–127|doi=10.1023/A:1025584807625|issn=0929-5593|year=2003|s2cid=2279013 }}</ref> बहुत छोटी फ्लोटिंग बिंदु संख्याओं को गुणा करने के बजाय, लॉग-ऑड्स संभावनाओं को केवल (लॉग-ऑड्स) संयुक्त प्रायिकता की गणना करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।<ref>{{Cite web|url=https://www.cs.cmu.edu/~16831-f12/notes/F12/16831_lecture05_vh.pdf|title=रोबोटिक्स में सांख्यिकीय तकनीकें|last=Styler|first=Alex|date=2012|page=2|access-date=2017-01-26}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Dickmann|first1=J.|last2=Appenrodt|first2=N.|last3=Klappstein|first3=J.|last4=Bloecher|first4=H. L.|last5=Muntzinger|first5=M.|last6=Sailer|first6=A.|last7=Hahn|first7=M.|last8=Brenk|first8=C.|date=2015-01-01|title=Making Bertha See Even More: Radar Contribution|journal=IEEE Access|volume=3|pages=1233–1247|doi=10.1109/ACCESS.2015.2454533|issn=2169-3536|doi-access=free}}</ref>




== प्रोबिट के साथ तुलना ==
== प्रोबिट के साथ तुलना ==
[[File:Logit-probit.svg|right|300px|thumb|स्केल्ड प्रोबिट (यानी [[सामान्य वितरण]] का व्युत्क्रम संचयी वितरण फ़ंक्शन) के साथ [[लॉगिट फ़ंक्शन]] की तुलना, तुलना <math>\operatorname{logit}(x)</math> बनाम <math>\tfrac{\Phi^{-1}(x)}{\,\sqrt{\pi/8\,}\,}</math>, जो ढलानों को समान बनाता है {{mvar|y}}-मूल।]]से निकटता से संबंधित है {{math|logit}} फ़ंक्शन (और [[लॉगिट मॉडल]]) [[प्रोबिट फ़ंक्शन]] और [[प्रोबिट मॉडल]] हैं। वह {{math|logit}} और {{math|probit}} दोनों [[सिग्मॉइड फ़ंक्शन]] हैं जिनका डोमेन 0 और 1 के बीच है, जो उन दोनों को क्वांटाइल फ़ंक्शन बनाता है - यानी, संभाव्यता वितरण के संचयी वितरण फ़ंक्शन (सीडीएफ) के व्युत्क्रम। वास्तव में, {{math|logit}} लॉजिस्टिक वितरण का मात्रात्मक कार्य है, जबकि {{math|probit}} सामान्य वितरण का मात्रात्मक फलन है। वह {{math|probit}} फ़ंक्शन दर्शाया गया है <math>\Phi^{-1}(x)</math>, कहाँ <math>\Phi(x)</math> मानक सामान्य वितरण का संचयी वितरण कार्य है, जैसा कि अभी बताया गया है:
[[File:Logit-probit.svg|right|300px|thumb|स्केल्ड प्रोबिट (यानी [[सामान्य वितरण]] का व्युत्क्रम संचयी वितरण फंक्शन) के साथ [[लॉगिट फ़ंक्शन|लॉगिट  फंक्शन]] की तुलना, तुलना <math>\operatorname{logit}(x)</math> बनाम <math>\tfrac{\Phi^{-1}(x)}{\,\sqrt{\pi/8\,}\,}</math>, जो ढलानों को समान बनाता है {{mvar|y}}-मूल।]]लॉगिट फंक्शन (और लॉगिट मॉडल) से निकटता से संबंधित [[प्रोबिट फ़ंक्शन|प्रोबिट फंक्शन]] और [[प्रोबिट मॉडल]] हैं। वह लॉगिट और [[प्रोबिट मॉडल|प्रोबिट]] दोनों [[सिग्मॉइड फ़ंक्शन|सिग्मॉइड फंक्शन]] हैं जिनका डोमेन 0 और 1 के बीच है, जो उन दोनों को क्वांटाइल फंक्शन बनाता है, अर्थात संभाव्यता वितरण, संचयी वितरण फंक्शन (सीडीएफ) के व्युत्क्रम है। वास्तव में, लॉगिट लॉजिस्टिक वितरण का क्वांटाइल फंक्शन है, जबकि प्रोबिट सामान्य वितरण का क्वांटाइल फंक्शन है। प्रोबिट फंक्शन को <math>\Phi^{-1}(x)</math> दर्शाया गया है, जहां <math>\Phi(x)</math> मानक सामान्य वितरण का सीडीएफ है, जैसा कि नीचे समीकरण में बताया गया है:  


:<math>\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}  e^{-\frac{y^2}{2}} dy.</math>
:<math>\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}  e^{-\frac{y^2}{2}} dy.</math>
जैसा कि दाईं ओर ग्राफ़ में दिखाया गया है {{math|logit}} और {{math|probit}} फ़ंक्शंस बेहद समान होते हैं जब {{math|probit}} फ़ंक्शन को स्केल किया गया है, ताकि इसका ढलान हो {{math|''y'' {{=}} 0}} के ढलान से मेल खाता है {{math|logit}}. परिणामस्वरूप, कभी-कभी लॉगिट मॉडल के स्थान पर प्रोबिट मॉडल का उपयोग किया जाता है क्योंकि कुछ अनुप्रयोगों के लिए (उदाहरण के लिए, बायेसियन सांख्यिकी में) कार्यान्वयन आसान होता है।
जैसा कि दाईं ओर ग्राफ में दिखाया गया है कि जब प्रोबिट फंक्शन को स्केल किया जाता है तो लॉगिट और [[प्रोबिट मॉडल|प्रोबिट]] फंक्शन लगभग एक दुसरे के समान होते हैं, ताकि y = 0 पर इसका स्लोप लॉगिट के स्लोप के सामान हो। परिणामस्वरूप कभी-कभी लॉगिट मॉडल के स्थान पर प्रोबिट मॉडल का उपयोग किया जाता है क्योंकि कुछ अनुप्रयोगों के लिए (उदाहरण के लिए, बायेसियन सांख्यिकी में) कार्यान्वयन आसान होता है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* सिग्मॉइड फ़ंक्शन, लॉगिट फ़ंक्शन का व्युत्क्रम
* सिग्मॉइड फंक्शन, लॉगिट फंक्शन का व्युत्क्रम
* बाइनरी लॉगिट, मल्टीनोमियल लॉगिट, कंडीशनल लॉगिट, नेस्टेड लॉगिट, मिक्स्ड लॉगिट, एक्सप्लोडेड लॉगिट और ऑर्डर किए गए लॉगिट पर अलग विकल्प
* बाइनरी लॉगिट, मल्टीनोमियल लॉगिट, कंडीशनल लॉगिट, नेस्टेड लॉगिट, मिक्स्ड लॉगिट, एक्सप्लोडेड लॉगिट और ऑर्डर किए गए लॉगिट पर अलग विकल्प
* [[सीमित आश्रित चर]]
* [[सीमित आश्रित चर]]
Line 54: Line 53:
* [[द्विज्या]], समान आकृति वाला वक्र
* [[द्विज्या]], समान आकृति वाला वक्र
* [[परसेप्ट्रॉन]]
* [[परसेप्ट्रॉन]]
* प्रोबिट, लॉगिट के समान डोमेन और रेंज वाला एक अन्य फ़ंक्शन
* प्रोबिट, लॉगिट के समान डोमेन और रेंज वाला एक अन्य फंक्शन
* [[ सवारी स्कोरिंग ]]
* [[ सवारी स्कोरिंग | रिदित स्कोरिंग]]
* डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी)
* डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी)
* [[आर्कसिन]] (परिवर्तन)
* [[आर्कसिन]] (परिवर्तन)
* [[ तीव्र मॉडल ]]
* [[ तीव्र मॉडल | रैश मॉडल]]


== वेबलिंक ==
== वेबलिंक ==
* [https://bayesium.com/ Which-link-function-logit-probit-or-cloglog/ कौन सा लिंक फ़ंक्शन - लॉगिट, प्रोबिट, या क्लॉलॉग? 12.04.2023]
* [https://bayesium.com/ Which-link-function-logit-probit-or-cloglog/ कौन सा लिंक फंक्शन - लॉगिट, प्रोबिट, या क्लॉलॉग? 12.04.2023]


== संदर्भ ==
== संदर्भ ==
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==अग्रिम पठन==
==अग्रिम पठन==
*{{cite book|last=Ashton|first=Winifred D.|title=The Logit Transformation: with special reference to its uses in Bioassay|year=1972|publisher=Charles Griffin|isbn=978-0-85264-212-2|series=Griffin's Statistical Monographs & Courses|volume= 32}}
*{{cite book|last=Ashton|first=Winifred D.|title=The Logit Transformation: with special reference to its uses in Bioassay|year=1972|publisher=Charles Griffin|isbn=978-0-85264-212-2|series=Griffin's Statistical Monographs & Courses|volume= 32}}
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Latest revision as of 10:25, 14 August 2023

0 से 1 के डोमेन में लॉगिट (x) का प्लॉट, जहां लघुगणक का आधार ई है।

आंकड़ों में लॉगिट (/ˈloʊdʒɪt/ LOH-jit) फंक्शन मानक लॉजिस्टिक वितरण से जुड़ा एक क्वांटाइल(बिभाजक) फंक्शन है। डेटा विश्लेषण और मशीन लर्निंग में इसके कई उपयोग हैं, विशेष रूप से इसका उपयोग डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी) में किया जाता है|

गणितीय रूप से लॉगिट, लॉजिस्टिक फंक्शन का व्युत्क्रम फंक्शन है, इसलिए लॉगिट को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

.

इसके लिय लॉगिट को लॉग-ऑड्स भी कहा जाता है क्योंकि यह ऑड्स के लघुगणक के बराबर है जहां p एक प्रायिकता है। इस प्रकार लॉगिट एक प्रकार का फंक्शन है जो वास्तविक संख्याओं में ,[1] प्रोबिट फंक्शन के समान संभावित मानों को मैप करता है।

परिभाषा

यदि p एक संभावना है, तो p/(1 − p) संगत संभावना है; लॉगिट का लघुगणक ऑड्स का लघुगणक है, अर्थात:

वर्तमान लेख में प्रयुक्त लघुगणक फंक्शन का आधार बहुत कम महत्व रखता है, जब तक यह 1 से अधिक है, लेकिन आधार e के साथ प्राकृतिक लघुगणक e सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। आधार का चयन मान के लिए लघुगणकीय इकाई के चयन के सामान होता है: इसीप्रकार से आधार 2 एक शैनन (इकाई), आधारe एक "नैट (इकाई)", और आधार 10 से एक हार्टले (इकाई) के सामान होता है ; इन इकाइयों का उपयोग विशेष रूप से सूचना-सैद्धांतिक व्याख्याओं के रूप में किया जाता है। इन आधार के प्रत्येक विकल्प के लिए लॉगिट फंक्शन ऋणात्मक और धनात्मक अनंत के बीच के मान को प्राप्त करता है।

किसी भी संख्या का लॉजिस्टिक फंक्शन व्युत्क्रम-लॉगिट द्वारा दिया गया है

दो संभावनाओं के लघुगणक के बीच का अंतर विषम अनुपात (R) का लघुगणक है, इस प्रकार केवल जोड़कर और घटाकर विषम अनुपातों का सही संयोजन लिखने के लिए एक संक्षिप्त लिपि प्रदान की जाती है:


इतिहास

रैखिक प्रतिगमन विधियों को ऐसे डोमेन में रूपांतरित करने के कई प्रयास किए गए हैं जहां किसी वास्तविक संख्या के अतिरिक्त आउटपुट का संभावित मान है, कई कारकों में ऐसे प्रयासों ने रेंज से को मैप करके और फिर इन परिवर्तित मानों पर रैखिक प्रतिगमन बिधि को लागू करके इस समस्या को मॉडलिंग करने पर ध्यान केंद्रित किया गया।

1934 में चेस्टर इटनर ब्लिस ने इस मैपिंग को करने के लिए संचयी सामान्य वितरण फंक्शन का उपयोग किया और अपने मॉडल प्रोबिट को संभावित इकाई का संक्षिप्त नाम दिया।[2] हालाँकि, यह कम्प्यूटेशनल रूप से अधिक महंगा है। 1944 में जोसेफ बर्कसन ने ऑड्स लॉग का उपयोग किया और इस फंक्शन को लॉगिट कहा गया, प्रोबिट के एनालॉग के बाद 'लॉजिस्टिक यूनिट' का संक्षिप्त नाम दिया:[3]

लॉग ऑड्स का उपयोग चार्ल्स सैंडर्स पीयर्स (19वीं सदी के अंत में) द्वारा बड़े पैमाने पर किया गया था।[4] 1949 में जी. ए. बरनार्ड ने सामान्यत: प्रयोग होने वाले शब्द लॉग-ऑड्स का चयन किया ;[5][6]किसी घटना का लॉग-ऑड्स घटना की प्रायिकता का लॉगिट है।[7] बरनार्ड ने लॉग-ऑड्स के रूप में लॉड्स शब्द का चयन किया,[8] लेकिन यह सुझाव दिया गया कि व्यवहार में 'ऑड्स' शब्द को सामान्य रूप से उपयोग किया जाना चाहिए, क्योंकि यह जीवन में प्रतिदिन प्रयोग होने वाला शब्द है।[9]

उपयोग और गुण

  • लॉजिस्टिक परावर्तन में लॉगिट एक सामान्यीकृत रैखिक मॉडल में एक लिंक फंक्शन का एक विशेष कारक है: यह बर्नौली वितरण के लिए कैनोनिकल लिंक फंक्शन है।
  • लॉगिट फंक्शन बाइनरी एन्ट्रॉपी फंक्शन के व्युत्पन्न का ऋणात्मक है।
  • लॉगिट माप के लिए संभाव्य रैश मॉडल का भी केंद्र है, जिसमें अन्य क्षेत्रों के अलावा मनोवैज्ञानिक और शैक्षिक मूल्यांकन में अनुप्रयोग हैं।
  • व्युत्क्रम-लॉगिट फंक्शन (यानी, लॉजिस्टिक फंक्शन) को कभी-कभी एक्सपिट फंक्शन के रूप में भी जाना जाता है।[10]
  • पादप रोग महामारी विज्ञान में डेटा को लॉजिस्टिक मॉडल में उपयुक्त करने के लिए लॉगिट का उपयोग किया जाता है। गोम्पर्ट्ज और मोनोमोलेक्यूलर मॉडल के साथ तीनों को रिचर्ड्स परिवार मॉडल के रूप में जाना जाता है।
  • छोटी संभवित के कारकों में इसके संख्यात्मक लाभ के कारण संभवित लॉग-ऑड्स फंक्शन का उपयोग हमेशा स्टेट एस्टीमेशन एल्गोरिदम में उपयोग किया जाता है ।[11] बहुत छोटी फ्लोटिंग बिंदु संख्याओं को गुणा करने के बजाय, लॉग-ऑड्स संभावनाओं को केवल (लॉग-ऑड्स) संयुक्त प्रायिकता की गणना करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।[12][13]


प्रोबिट के साथ तुलना

स्केल्ड प्रोबिट (यानी सामान्य वितरण का व्युत्क्रम संचयी वितरण फंक्शन) के साथ लॉगिट फंक्शन की तुलना, तुलना बनाम , जो ढलानों को समान बनाता है y-मूल।

लॉगिट फंक्शन (और लॉगिट मॉडल) से निकटता से संबंधित प्रोबिट फंक्शन और प्रोबिट मॉडल हैं। वह लॉगिट और प्रोबिट दोनों सिग्मॉइड फंक्शन हैं जिनका डोमेन 0 और 1 के बीच है, जो उन दोनों को क्वांटाइल फंक्शन बनाता है, अर्थात संभाव्यता वितरण, संचयी वितरण फंक्शन (सीडीएफ) के व्युत्क्रम है। वास्तव में, लॉगिट लॉजिस्टिक वितरण का क्वांटाइल फंक्शन है, जबकि प्रोबिट सामान्य वितरण का क्वांटाइल फंक्शन है। प्रोबिट फंक्शन को दर्शाया गया है, जहां मानक सामान्य वितरण का सीडीएफ है, जैसा कि नीचे समीकरण में बताया गया है:

जैसा कि दाईं ओर ग्राफ में दिखाया गया है कि जब प्रोबिट फंक्शन को स्केल किया जाता है तो लॉगिट और प्रोबिट फंक्शन लगभग एक दुसरे के समान होते हैं, ताकि y = 0 पर इसका स्लोप लॉगिट के स्लोप के सामान हो। परिणामस्वरूप कभी-कभी लॉगिट मॉडल के स्थान पर प्रोबिट मॉडल का उपयोग किया जाता है क्योंकि कुछ अनुप्रयोगों के लिए (उदाहरण के लिए, बायेसियन सांख्यिकी में) कार्यान्वयन आसान होता है।

यह भी देखें

वेबलिंक

संदर्भ

  1. ↑ "Logit/Probit" (PDF).
  2. ↑ 2.0 2.1 J. S. Cramer (2003). "लॉगिट मॉडल की उत्पत्ति और विकास" (PDF). Cambridge UP.
  3. ↑ Berkson 1944, p. 361, footnote 2.
  4. ↑ Stigler, Stephen M. (1986). The history of statistics : the measurement of uncertainty before 1900. Cambridge, Massachusetts: Belknap Press of Harvard University Press. ISBN 978-0-674-40340-6.
  5. ↑ Hilbe, Joseph M. (2009), Logistic Regression Models, CRC Press, p. 3, ISBN 9781420075779.
  6. ↑ Barnard 1949, p. 120.
  7. ↑ Cramer, J. S. (2003), Logit Models from Economics and Other Fields, Cambridge University Press, p. 13, ISBN 9781139438193.
  8. ↑ Barnard 1949, p. 120,128.
  9. ↑ Barnard 1949, p. 136.
  10. ↑ "R: Inverse logit function". Archived from the original on 2011-07-06. Retrieved 2011-02-18.
  11. ↑ Thrun, Sebastian (2003). "फॉरवर्ड सेंसर मॉडल के साथ अधिभोग ग्रिड मानचित्र सीखना". Autonomous Robots (in English). 15 (2): 111–127. doi:10.1023/A:1025584807625. ISSN 0929-5593. S2CID 2279013.
  12. ↑ Styler, Alex (2012). "रोबोटिक्स में सांख्यिकीय तकनीकें" (PDF). p. 2. Retrieved 2017-01-26.
  13. ↑ Dickmann, J.; Appenrodt, N.; Klappstein, J.; Bloecher, H. L.; Muntzinger, M.; Sailer, A.; Hahn, M.; Brenk, C. (2015-01-01). "Making Bertha See Even More: Radar Contribution". IEEE Access. 3: 1233–1247. doi:10.1109/ACCESS.2015.2454533. ISSN 2169-3536.


अग्रिम पठन

  • Ashton, Winifred D. (1972). The Logit Transformation: with special reference to its uses in Bioassay. Griffin's Statistical Monographs & Courses. Vol. 32. Charles Griffin. ISBN 978-0-85264-212-2.
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