उन्नत z-परिवर्तन: Difference between revisions

Latest revision as of 11:29, 21 August 2023

गणित और सिग्नल प्रोसेसिंग में, उन्नत z-परिवर्तन एक z-ट्रांसफॉर्म का विस्तार है, जिसमें आदर्श विलंब को सम्मिलित किया जाता है जो प्रतिरूप दर के गुणक नहीं हैं। यह रूप धारण कर लेता है

F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT+m)z^{-k}

जहाँ

T प्रतिरूप अवधि है
m (विलंब मापदंड) प्रतिरूप अवधि $[0,T].$ का अंश है

इसे संशोधित z-परिवर्तन के रूप में भी जाना जाता है। उन्नत z-ट्रांसफॉर्म को व्यापक रूप से लागू किया जाता है, उदाहरण के लिए डिजिटल नियंत्रण में प्रसंस्करण देरी को सटीक रूप से मॉडल करने के लिए।

उदाहरण के लिए, डिजिटल नियंत्रण में प्रोसेसिंग देरी को सटीक रूप से मॉडल करने के लिए उन्नत z-ट्रांसफॉर्म को व्यापक रूप से प्रयुक्त किया जाता है।

गुण

यदि विलंब मापदंड, एम, को निश्चित माना जाता है तो ज़ेड-ट्रांसफ़ॉर्म के सभी गुण उन्नत ज़ेड-ट्रांसफ़ॉर्म के लिए मान्य होते हैं।

रैखिकता

{\mathcal {Z}}\left\{\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right\}=\sum _{k=1}^{n}c_{k}F_{k}(z,m).

समय परिवर्तन

{\mathcal {Z}}\left\{u(t-nT)f(t-nT)\right\}=z^{-n}F(z,m).

डंपिंग

{\mathcal {Z}}\left\{f(t)e^{-a\,t}\right\}=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m).

समय गुणन

{\mathcal {Z}}\left\{t^{y}f(t)\right\}=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m).

अंतिम मान प्रमेय

\lim _{k\to \infty }f(kT+m)=\lim _{z\to 1}(1-z^{-1})F(z,m).

उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें जहां $f(t)=\cos(\omega t)$ :

\begin{aligned} F (z, m) & = Z {\cos (ω (k T + m))} \\ = Z {\cos (ω k T) \cos (ω m) - \sin (ω k T) \sin (ω m)} \\ = \cos (ω m) Z {\cos (ω k T)} - \sin (ω m) Z {\sin (ω k T)} \\ = \cos (ω m) \frac{z (z - \cos (ω T))}{z^{2} - 2 z \cos (ω T) + 1} - \sin (ω m) \frac{z \sin (ω T)}{z^{2} - 2 z \cos (ω T) + 1} \\ = \frac{z^{2} \cos (ω m) - z \cos (ω (T - m))}{z^{2} - 2} \end{aligned}

यदि

m=0

तब

F(z,m)

परिवर्तन को कम करता है

F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}},

जो स्पष्ट रूप से $f(t)$ का z-रूपांतरण है

संदर्भ

Jury, Eliahu Ibraham (1973). Theory and Application of the z-Transform Method. Krieger. ISBN 0-88275-122-0. OCLC 836240.

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-गणित और [[ संकेत आगे बढ़ाना ]] में, उन्नत [[z-परिणत]], z-ट्रांसफॉर्म का एक विस्तार है, जिसमें आदर्श देरी को शामिल किया जाता है जो [[नमूना दर]] के गुणक नहीं हैं। यह रूप धारण कर लेता है
+गणित और [[ संकेत आगे बढ़ाना |सिग्नल प्रोसेसिंग]] में, '''उन्नत [[z-परिणत|z-परिवर्तन]]''' एक z-ट्रांसफॉर्म का विस्तार है, जिसमें आदर्श विलंब को सम्मिलित किया जाता है जो [[नमूना दर|प्रतिरूप दर]] के गुणक नहीं हैं। यह रूप धारण कर लेता है
 :<math>F(z, m) = \sum_{k=0}^{\infty} f(k T + m)z^{-k}</math>
-कहाँ
+जहाँ
-* टी नमूना अवधि है
+* T प्रतिरूप अवधि है
-* मी (विलंब पैरामीटर) नमूना अवधि का एक अंश है <math>[0, T].</math>
+* ''m'' (विलंब मापदंड) प्रतिरूप अवधि <math>[0, T].</math> का अंश है
 इसे संशोधित z-परिवर्तन के रूप में भी जाना जाता है।
+उन्नत z-ट्रांसफॉर्म को व्यापक रूप से लागू किया जाता है, उदाहरण के लिए [[डिजिटल नियंत्रण]] में प्रसंस्करण देरी को सटीक रूप से मॉडल करने के लिए।
-उन्नत z-ट्रांसफॉर्म को व्यापक रूप से लागू किया जाता है, उदाहरण के लिए [[डिजिटल नियंत्रण]] में प्रसंस्करण देरी को सटीक रूप से मॉडल करने के लिए।
+उदाहरण के लिए, [[डिजिटल नियंत्रण]] में प्रोसेसिंग देरी को सटीक रूप से मॉडल करने के लिए उन्नत z-ट्रांसफॉर्म को व्यापक रूप से प्रयुक्त किया जाता है।
 ==गुण==
-यदि विलंब पैरामीटर, एम, को निश्चित माना जाता है तो ज़ेड-ट्रांसफ़ॉर्म के सभी गुण उन्नत ज़ेड-ट्रांसफ़ॉर्म के लिए मान्य होते हैं।
+यदि विलंब मापदंड, एम, को निश्चित माना जाता है तो ज़ेड-ट्रांसफ़ॉर्म के सभी गुण उन्नत ज़ेड-ट्रांसफ़ॉर्म के लिए मान्य होते हैं।
 ===रैखिकता===
 :<math>\mathcal{Z} \left\{ \sum_{k=1}^{n} c_k f_k(t) \right\} = \sum_{k=1}^{n} c_k F_k(z, m).</math>
 ===समय परिवर्तन===
 :<math>\mathcal{Z} \left\{ u(t - n T)f(t - n T) \right\} = z^{-n} F(z, m).</math>
 ===डंपिंग===
 :<math>\mathcal{Z} \left\{ f(t) e^{-a\, t} \right\} = e^{-a\, m} F(e^{a\, T} z, m).</math>
 ===समय गुणन===
 :<math>\mathcal{Z} \left\{ t^y f(t) \right\} = \left(-T z \frac{d}{dz} + m \right)^y F(z, m).</math>
 ===अंतिम मान प्रमेय===
 :<math>\lim_{k \to \infty} f(k T + m) = \lim_{z \to 1} (1-z^{-1})F(z, m).</math>
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          & = \frac{z^2 \cos(\omega m) - z \cos(\omega(T - m))}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1}.
 \end{align}</math>
-अगर <math>m=0</math> तब <math>F(z, m)</math> परिवर्तन को कम करता है
+यदि <math>m=0</math> तब <math>F(z, m)</math> परिवर्तन को कम करता है
 :<math>F(z, 0) = \frac{z^2 - z \cos(\omega T)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1},</math>
-जो स्पष्ट रूप से केवल z-रूपांतरण है <math>f(t)</math>.
-==संदर्भ==
+जो स्पष्ट रूप से <math>f(t)</math> का z-रूपांतरण है
+==संदर्भ                                                                                                                                                                                                                                                                                       ==
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 *{{cite book |author-link=Eliahu Ibraham Jury |first=Eliahu Ibraham |last=Jury |title=Theory and Application of the z-Transform Method |publisher=Krieger |date=1973 |isbn=0-88275-122-0 |oclc=836240}}
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