उन्नत z-परिवर्तन

गणित और सिग्नल प्रोसेसिंग में, उन्नत z-परिवर्तन एक z-ट्रांसफॉर्म का विस्तार है, जिसमें आदर्श विलंब को सम्मिलित किया जाता है जो प्रतिरूप दर के गुणक नहीं हैं। यह रूप धारण कर लेता है

$F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT+m)z^{-k}$

जहाँ

• T प्रतिरूप अवधि है
• m (विलंब मापदंड) प्रतिरूप अवधि $[0,T].$ का अंश है

इसे संशोधित z-परिवर्तन के रूप में भी जाना जाता है। उन्नत z-ट्रांसफॉर्म को व्यापक रूप से लागू किया जाता है, उदाहरण के लिए डिजिटल नियंत्रण में प्रसंस्करण देरी को सटीक रूप से मॉडल करने के लिए।

उदाहरण के लिए, डिजिटल नियंत्रण में प्रोसेसिंग देरी को सटीक रूप से मॉडल करने के लिए उन्नत z-ट्रांसफॉर्म को व्यापक रूप से प्रयुक्त किया जाता है।

गुण

यदि विलंब मापदंड, एम, को निश्चित माना जाता है तो ज़ेड-ट्रांसफ़ॉर्म के सभी गुण उन्नत ज़ेड-ट्रांसफ़ॉर्म के लिए मान्य होते हैं।

रैखिकता

${\mathcal {Z}}\left\{\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right\}=\sum _{k=1}^{n}c_{k}F_{k}(z,m).$

समय परिवर्तन

${\mathcal {Z}}\left\{u(t-nT)f(t-nT)\right\}=z^{-n}F(z,m).$

डंपिंग

${\mathcal {Z}}\left\{f(t)e^{-a\,t}\right\}=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m).$

समय गुणन

${\mathcal {Z}}\left\{t^{y}f(t)\right\}=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m).$

अंतिम मान प्रमेय

$\lim _{k\to \infty }f(kT+m)=\lim _{z\to 1}(1-z^{-1})F(z,m).$

उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें जहां $f(t)=\cos(\omega t)$:

$m=0$