हाइपरहोमोलॉजी: Difference between revisions

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होमोलॉजिकल बीजगणित में, '''हाइपरहोमोलॉजी या हाइपरकोहोमोलॉजी''' (<math>\mathbb{H}_*(-), \mathbb{H}^*(-)</math>) (सह)होमोलॉजी फ़ैक्टर्स का एक सामान्यीकरण है जो इनपुट के रूप में [[एबेलियन श्रेणी]] में वस्तुओं को नहीं लेता है <math>\mathcal{A}</math> लेकिन इसके बजाय वस्तुओं के श्रृंखला परिसरों, इसलिए वस्तुओं में <math>\text{Ch}(\mathcal{A})</math>. यह किसी वस्तु के व्युत्पन्न फ़ंक्टर कोहोमोलॉजी और चेन कॉम्प्लेक्स की होमोलॉजी के बीच एक प्रकार का क्रॉस है क्योंकि हाइपरकोहोलॉजी व्युत्पन्न वैश्विक अनुभाग फ़ैक्टर फ़ंक्टर <math>\mathbf{R}^*\Gamma(-)</math> से मेल खाती है। .
होमोलॉजिकल बीजगणित में, '''हाइपरहोमोलॉजी या हाइपरसहसंगति''' (<math>\mathbb{H}_*(-), \mathbb{H}^*(-)</math>) (सह)होमोलॉजी गुणक का एक सामान्यीकरण है जो इनपुट के रूप में [[एबेलियन श्रेणी]] में वस्तुओं को नहीं लेता है <math>\mathcal{A}</math> लेकिन इसके बजाय वस्तुओं के श्रृंखला परिसरों, इसलिए वस्तुओं में <math>\text{Ch}(\mathcal{A})</math>. यह किसी वस्तु के व्युत्पन्न फ़ंक्टर सहसंगति और चेन सम्मिश्र की होमोलॉजी के बीच एक प्रकार का क्रॉस है क्योंकि हाइपरकोहोलॉजी व्युत्पन्न वैश्विक अनुभाग गुणक फ़ंक्टर <math>\mathbf{R}^*\Gamma(-)</math> से मेल खाती है। .


हाइपरहोमोलॉजी का अब अधिक उपयोग नहीं किया जाता है: लगभग 1970 के बाद से इसे बड़े पैमाने पर व्युत्पन्न श्रेणियों के बीच व्युत्पन्न फ़ंक्टर की लगभग समकक्ष अवधारणा द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।
हाइपरहोमोलॉजी का अब अधिक उपयोग नहीं किया जाता है: लगभग 1970 के बाद से इसे बड़े पैमाने पर व्युत्पन्न श्रेणियों के बीच व्युत्पन्न फ़ंक्टर की लगभग समकक्ष अवधारणा द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।


== प्रेरणा ==
== प्रेरणा ==
हाइपरकोहोमोलॉजी के लिए प्रेरणाओं में से एक इस तथ्य से आती है कि छोटे सटीक अनुक्रमों से जुड़े कोहोमोलॉजिकल लंबे सटीक अनुक्रमों का कोई स्पष्ट सामान्यीकरण नहीं है
हाइपरसहसंगति के लिए प्रेरणाओं में से एक इस तथ्य से आती है कि छोटे सटीक अनुक्रमों से जुड़े कोहोमोलॉजिकल लंबे सटीक अनुक्रमों का कोई स्पष्ट सामान्यीकरण नहीं है
<math>0 \to M' \to M \to M'' \to 0</math>
<math>0 \to M' \to M \to M'' \to 0</math>
अर्थात. इससे जुड़ा एक लंबा सटीक अनुक्रम है
अर्थात. इससे जुड़ा एक लंबा सटीक अनुक्रम है
<math>0 \to H^0(M') \to H^0(M) \to H^0(M'')\to H^1(M') \to \cdots </math>
<math>0 \to H^0(M') \to H^0(M) \to H^0(M'')\to H^1(M') \to \cdots </math>


यह पता चला है कि हाइपरकोहोमोलॉजी एक मनमाने ढंग से लंबे सटीक अनुक्रम से एक समान कोहोमोलॉजिकल संबंधित लंबे सटीक अनुक्रम के निर्माण के लिए तकनीक प्रदान करती है<blockquote><math>0 \to M_1 \to M_2\to \cdots \to M_k \to 0</math></blockquote>चूंकि इसके इनपुट केवल एबेलियन श्रेणी की वस्तुओं के बजाय श्रृंखला परिसरों द्वारा दिए जाते हैं। हम इस श्रृंखला परिसर को एक विशिष्ट त्रिभुज में बदल सकते हैं (व्युत्पन्न श्रेणी पर त्रिकोणीय श्रेणियों की भाषा का उपयोग करके)<blockquote><math>M_1 \to [M_2 \to \cdots \to M_{k-1}] \to M_k[-k+3] \xrightarrow{+1}</math>जिसे हम <blockquote> से दर्शाते हैं<math>\mathcal{M}'_\bullet \to \mathcal{M}_\bullet \to \mathcal{M}''_\bullet \xrightarrow{+1}</math></blockquote>फिर, व्युत्पन्न वैश्विक अनुभाग लें <math>\mathbf{R}^*\Gamma(-)</math> एक लंबा सटीक अनुक्रम देता है, जो हाइपरकोहोमोलॉजी समूहों का एक लंबा सटीक अनुक्रम है।
यह पता चला है कि हाइपरसहसंगति स्वेच्छया से लंबे सटीक अनुक्रम से एक समान कोहोमोलॉजिकल संबंधित लंबे सटीक अनुक्रम के निर्माण के लिए तकनीक प्रदान करती है<math>0 \to M_1 \to M_2\to \cdots \to M_k \to 0</math>
 
चूँकि इसके इनपुट केवल एबेलियन श्रेणी की वस्तुओं के बजाय श्रृंखला परिसरों द्वारा दिए गए हैं। हम इस श्रृंखला परिसर को एक विशिष्ट त्रिभुज में बदल सकते हैं (व्युत्पन्न श्रेणी पर त्रिकोणीय श्रेणियों की भाषा का उपयोग करके)
 
<math>M_1 \to [M_2 \to \cdots \to M_{k-1}] \to M_k[-k+3] \xrightarrow{+1}</math>
 
जिसे हम निरूपित करते हैं
 
<math>\mathcal{M}'_\bullet \to \mathcal{M}_\bullet \to \mathcal{M}''_\bullet \xrightarrow{+1}</math>
 
फिर, व्युत्पन्न वैश्विक अनुभागों को लेते हुए <math>\mathbf{R}^*\Gamma(-)</math> एक लंबा सटीक अनुक्रम देता है, जो हाइपरसहसंगति समूहों का एक लंबा सटीक अनुक्रम है।
 
देता है, जो हाइपरसहसंगति समूहों का एक लंबा सटीक अनुक्रम है।
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


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==परिभाषा==
==परिभाषा==
हम हाइपरकोहोमोलॉजी की परिभाषा देते हैं क्योंकि यह अधिक सामान्य है। हमेशा की तरह, हाइपरकोहोमोलॉजी और हाइपरहोमोलॉजी अनिवार्य रूप से एक ही हैं: एक को दोहरेकरण द्वारा दूसरे में परिवर्तित किया जाता है, यानी सभी तीरों की दिशा बदलकर, इंजेक्टिव ऑब्जेक्ट को प्रोजेक्टिव वाले से बदल दिया जाता है, और इसी तरह।
हम '''हाइपरसहसंगति''' की परिभाषा देते हैं क्योंकि यह अधिक सामान्य है। हमेशा की तरह, हाइपर सहसंगति और हाइपरहोमोलॉजी अनिवार्य रूप से एक ही हैं: एक को दोहरेकरण द्वारा दूसरे में परिवर्तित किया जाता है, यानी सभी तीरों की दिशा बदलकर, इंजेक्टिव ऑब्जेक्ट को प्रोजेक्टिव वाले से बदल दिया जाता है, और इसी तरह है।


मान लीजिए कि A, Injective_object#Enough_injectives के साथ एक एबेलियन श्रेणी है और F एक अन्य एबेलियन श्रेणी B के लिए बायां सटीक फ़ंक्टर है।
मान लीजिए कि A एक एबेलियन श्रेणी है जिसमें पर्याप्त इंजेक्शन हैं और F एक अन्य एबेलियन श्रेणी B के लिए एक बायां सटीक गुणक है। यदि C बाईं ओर से घिरा A की वस्तुओं का एक सम्मिश्र है, तो हाइपरसहसंगति
यदि C बायीं ओर से घिरा A की वस्तुओं का एक जटिल है, तो 'हाइपरकोहोमोलॉजी'


:'एच'<sup>मैं</sup>(सी)
:'''H'''<sup>''i''</sup>(''C'')


C का (एक पूर्णांक i के लिए) है
C की (एक पूर्णांक i के लिए) की गणना निम्नानुसार की जाती है:
इस प्रकार गणना की गई:
# एक [[अर्ध-समरूपता]] लें Φ : C → I, यहां I, A के इंजेक्शन तत्वों का एक सम्मिश्र है।
# एक [[अर्ध-समरूपता]] लें Φ : C → I, यहां I, A के इंजेक्शन तत्वों का एक जटिल है।
# C की हाइपरसहसंगति '''H'''<sup>''i''</sup>(''C'') फिर सम्मिश्र ''F''(''I'') की सहसंगति ''H<sup>i</sup>''(''F''(''I'')) है।
# हाइपरकोहोमोलॉजी 'एच'<sup>C का i</sup>(C) तो कोहोमोलॉजी H है<sup>i</sup>(F(I)) कॉम्प्लेक्स F(I) का।


सी की हाइपरकोहोमोलॉजी अद्वितीय आइसोमोर्फिज्म तक, अर्ध-आइसोमोर्फिज्म की पसंद से स्वतंत्र है।
''C'' की हाइपरसहसंगति, अद्वितीय समरूपता तक, अर्ध-समरूपता की पसंद से स्वतंत्र है।


हाइपरकोहोमोलॉजी को [[व्युत्पन्न श्रेणी]] का उपयोग करके भी परिभाषित किया जा सकता है: सी की हाइपरकोहोमोलॉजी सिर्फ आरएफ (सी) की कोहोमोलॉजी है जिसे बी की व्युत्पन्न श्रेणी के एक तत्व के रूप में माना जाता है।
हाइपरसहसंगति को व्युत्पन्न श्रेणियों का उपयोग करके भी परिभाषित किया जा सकता है: ''C'' की हाइपरसहसंगति सिर्फ ''RF''(''C'') की सहसंगति है जिसे B की व्युत्पन्न श्रेणी के एक तत्व के रूप में माना जाता है।


नकारात्मक सूचकांकों के लिए गायब होने वाले कॉम्प्लेक्स के लिए, हाइपरकोहोमोलॉजी को 'एच' के व्युत्पन्न फ़ैक्टर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।<sup>0</sup> = एफएच<sup>0</sup> = एच<sup>0</sup>एफ.
ऋणात्मक सूचकांकों के लिए लुप्त हो जाने वाले सम्मिश्र के लिए, हाइपरसहसंगति को '''H'''<sup>0</sup> = ''FH''<sup>0</sup> = ''H''<sup>0</sup>''F'' के व्युत्पन्न फ़ैनक्टर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।


==हाइपरकोहोमोलॉजी [[वर्णक्रमीय अनुक्रम]]==
==हाइपरसहसंगति [[वर्णक्रमीय अनुक्रम]]==


दो हाइपरकोहोमोलॉजी वर्णक्रमीय अनुक्रम हैं; ई के साथ एक<sub>2</sub> अवधि
दो हाइपरसहसंगति वर्णक्रमीय अनुक्रम हैं; ''E''<sub>2</sub> टर्म के साथ एक


:<math>R^iF(H^j(C))</math>
:<math>R^iF(H^j(C))</math>
और दूसरा ई के साथ<sub>1</sub> अवधि
और दूसरा ''E''<sub>1</sub> टर्म के साथ


:<math>R^jF(C^i)</math>
:<math>R^jF(C^i)</math>
और <sub>2</sub> अवधि
और ''E''<sub>2</sub> अवधि


:<math>H^i(R^jF(C))</math> दोनों हाइपरकोहोमोलॉजी में परिवर्तित हो रहे हैं
:<math>H^i(R^jF(C))</math> दोनों हाइपरसहसंगति में परिवर्तित हो रहे हैं


:<math>H^{i+j}(RF(C))</math>,
:<math>H^{i+j}(RF(C))</math>,


जहां आर<sup>j</sup>F, F का दाएँ व्युत्पन्न फ़ैक्टर है।
जहां ''R<sup>j</sup>F'', F का दाएँ व्युत्पन्न गुणक है।


=== अनुप्रयोग ===
=== अनुप्रयोग ===
हाइपरकोहोमोलॉजी वर्णक्रमीय अनुक्रमों का एक अनुप्रयोग [[पुलिंदा]] के अध्ययन में है। याद रखें कि किसी स्थान पर रैंक n वेक्टर बंडल हैं <math>X</math> Cech-cohomology समूह के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है <math>H^1(X,\underline{GL}_n)</math>. गेर्ब्स के पीछे मुख्य विचार इस विचार को कोहोमोलॉजिकल रूप से विस्तारित करना है, इसलिए लेने के बजाय <math>H^1(X,\textbf{R}^0F)</math> किसी फ़नकार के लिए <math>F</math>, इसके बजाय हम कोहोमोलॉजी समूह पर विचार करते हैं <math>H^1(X,\textbf{R}^1F)</math>, इसलिए यह उन वस्तुओं को वर्गीकृत करता है जो मूल वर्गीकरण समूह में वस्तुओं से चिपकी होती हैं। एक निकट से संबंधित विषय जो गेर्ब्स और हाइपरकोहोमोलॉजी का अध्ययन करता है वह है [[डेलिग्ने कोहोमोलॉजी]]|डेलिग्ने-कोहोमोलॉजी।
हाइपरसहसंगति वर्णक्रमीय अनुक्रमों का एक अनुप्रयोग गेरबेस के अध्ययन में है। याद रखें कि किसी स्थान पर रैंक n सदिश बंडल हैं <math>X</math> सेच सहसंगति समूह के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है <math>H^1(X,\underline{GL}_n)</math>. गेर्ब्स के पीछे मुख्य विचार इस विचार को कोहोमोलॉजिकल रूप से विस्तारित करना है, इसलिए लेने के बजाय <math>H^1(X,\textbf{R}^0F)</math> किसी फॅक्टर के लिए <math>F</math>, इसके बजाय हम सहसंगति समूह पर विचार करते हैं <math>H^1(X,\textbf{R}^1F)</math>, इसलिए यह उन वस्तुओं को वर्गीकृत करता है जो मूल वर्गीकरण समूह में वस्तुओं से चिपकी होती हैं। एक निकट से संबंधित विषय जो गेर्ब्स और हाइपरसहसंगति का अध्ययन करता है, डेलिग्ने-सहसंगति है।


==उदाहरण==
==उदाहरण==


{{bulleted list
{{bulleted list
|For a variety ''X'' over a field ''k'', the second spectral sequence from above gives the [[Hodge-de Rham spectral sequence]] for [[algebraic de Rham cohomology]]:
|फ़ील्ड ''k'' के ऊपर एक किस्म ''X'' के लिए, ऊपर से दूसरा वर्णक्रमीय अनुक्रम [[बीजगणितीय डी राम कोहोमोलॉजी]] के लिए [[हॉज-डी राम वर्णक्रमीय अनुक्रम]] देता है:
:<math>E_1^{p,q}=H^q(X,\Omega_X^p)\Rightarrow \mathbf{H}^{p+q}(X,\Omega_X^{\bullet})=:H_{DR}^{p+q}(X/k)</math>.
:<math>E_1^{p,q}=H^q(X,\Omega_X^p)\Rightarrow \mathbf{H}^{p+q}(X,\Omega_X^{\bullet})=:H_{DR}^{p+q}(X/k)</math>.
|Another example comes from the [[Logarithmic_form |holomorphic log complex]] on a complex manifold. Let ''X'' be a complex algebraic manifold and <math> j: X\hookrightarrow Y </math> a good compactification. This means that ''Y'' is a compact algebraic manifold and <math> D = Y-X </math> is a divisor on <math> Y </math> with simple normal crossings. The natural inclusion of complexes of sheaves
|एक अन्य उदाहरण जटिल मैनिफोल्ड पर [[लॉगरिदमिक_फॉर्म | होलोमोर्फिक लॉग कॉम्प्लेक्स]] से आता है। मान लीजिए ''X'' एक जटिल बीजगणितीय मैनिफोल्ड है और <math> j: X\hookrightarrow Y </math> एक अच्छा संकलन है। इसका मतलब यह है कि ''Y'' एक सघन बीजगणितीय मैनिफोल्ड है और<math> D = Y-X </math> पर भाजक <math> Y </math> साधारण सामान्य क्रॉसिंग के साथ है। शीव्स के परिसरों का प्राकृतिक समावेश
:<math> \Omega^{\bullet}_Y(\log D)\rightarrow j_*\Omega_{X}^{\bullet} </math>
:<math> \Omega^{\bullet}_Y(\log D)\rightarrow j_*\Omega_{X}^{\bullet} </math>
turns out to be a quasi-isomorphism and induces an isomorphism
यह एक अर्ध-समरूपता बन जाता है और एक समरूपता उत्पन्न करता है
:<math> H^k(X;\mathbb{C})\rightarrow \mathbf{H}^k(Y, \Omega^{\bullet}_Y(\log D))</math>.}}
:<math> H^k(X;\mathbb{C})\rightarrow \mathbf{H}^k(Y, \Omega^{\bullet}_Y(\log D))</math>.}}


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*H. Cartan,  S. Eilenberg,  ''Homological algebra'' {{ISBN|0-691-04991-2}}
*H. Cartan,  S. Eilenberg,  ''Homological algebra'' {{ISBN|0-691-04991-2}}
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* A. Grothendieck,  ''Sur quelques points d'algèbre homologique'' Tohoku Math. J. 9  (1957)  pp. 119-221[[Category: सजातीय बीजगणित]]
* A. Grothendieck,  ''Sur quelques points d'algèbre homologique'' Tohoku Math. J. 9  (1957)  pp. 119-221


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Latest revision as of 10:18, 28 August 2023

होमोलॉजिकल बीजगणित में, हाइपरहोमोलॉजी या हाइपरसहसंगति () (सह)होमोलॉजी गुणक का एक सामान्यीकरण है जो इनपुट के रूप में एबेलियन श्रेणी में वस्तुओं को नहीं लेता है लेकिन इसके बजाय वस्तुओं के श्रृंखला परिसरों, इसलिए वस्तुओं में . यह किसी वस्तु के व्युत्पन्न फ़ंक्टर सहसंगति और चेन सम्मिश्र की होमोलॉजी के बीच एक प्रकार का क्रॉस है क्योंकि हाइपरकोहोलॉजी व्युत्पन्न वैश्विक अनुभाग गुणक फ़ंक्टर से मेल खाती है। .

हाइपरहोमोलॉजी का अब अधिक उपयोग नहीं किया जाता है: लगभग 1970 के बाद से इसे बड़े पैमाने पर व्युत्पन्न श्रेणियों के बीच व्युत्पन्न फ़ंक्टर की लगभग समकक्ष अवधारणा द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।

प्रेरणा

हाइपरसहसंगति के लिए प्रेरणाओं में से एक इस तथ्य से आती है कि छोटे सटीक अनुक्रमों से जुड़े कोहोमोलॉजिकल लंबे सटीक अनुक्रमों का कोई स्पष्ट सामान्यीकरण नहीं है

अर्थात. इससे जुड़ा एक लंबा सटीक अनुक्रम है

यह पता चला है कि हाइपरसहसंगति स्वेच्छया से लंबे सटीक अनुक्रम से एक समान कोहोमोलॉजिकल संबंधित लंबे सटीक अनुक्रम के निर्माण के लिए तकनीक प्रदान करती है

चूँकि इसके इनपुट केवल एबेलियन श्रेणी की वस्तुओं के बजाय श्रृंखला परिसरों द्वारा दिए गए हैं। हम इस श्रृंखला परिसर को एक विशिष्ट त्रिभुज में बदल सकते हैं (व्युत्पन्न श्रेणी पर त्रिकोणीय श्रेणियों की भाषा का उपयोग करके)

जिसे हम निरूपित करते हैं

फिर, व्युत्पन्न वैश्विक अनुभागों को लेते हुए एक लंबा सटीक अनुक्रम देता है, जो हाइपरसहसंगति समूहों का एक लंबा सटीक अनुक्रम है।

देता है, जो हाइपरसहसंगति समूहों का एक लंबा सटीक अनुक्रम है।







परिभाषा

हम हाइपरसहसंगति की परिभाषा देते हैं क्योंकि यह अधिक सामान्य है। हमेशा की तरह, हाइपर सहसंगति और हाइपरहोमोलॉजी अनिवार्य रूप से एक ही हैं: एक को दोहरेकरण द्वारा दूसरे में परिवर्तित किया जाता है, यानी सभी तीरों की दिशा बदलकर, इंजेक्टिव ऑब्जेक्ट को प्रोजेक्टिव वाले से बदल दिया जाता है, और इसी तरह है।

मान लीजिए कि A एक एबेलियन श्रेणी है जिसमें पर्याप्त इंजेक्शन हैं और F एक अन्य एबेलियन श्रेणी B के लिए एक बायां सटीक गुणक है। यदि C बाईं ओर से घिरा A की वस्तुओं का एक सम्मिश्र है, तो हाइपरसहसंगति

Hi(C)

C की (एक पूर्णांक i के लिए) की गणना निम्नानुसार की जाती है:

  1. एक अर्ध-समरूपता लें Φ : C → I, यहां I, A के इंजेक्शन तत्वों का एक सम्मिश्र है।
  2. C की हाइपरसहसंगति Hi(C) फिर सम्मिश्र F(I) की सहसंगति Hi(F(I)) है।

C की हाइपरसहसंगति, अद्वितीय समरूपता तक, अर्ध-समरूपता की पसंद से स्वतंत्र है।

हाइपरसहसंगति को व्युत्पन्न श्रेणियों का उपयोग करके भी परिभाषित किया जा सकता है: C की हाइपरसहसंगति सिर्फ RF(C) की सहसंगति है जिसे B की व्युत्पन्न श्रेणी के एक तत्व के रूप में माना जाता है।

ऋणात्मक सूचकांकों के लिए लुप्त हो जाने वाले सम्मिश्र के लिए, हाइपरसहसंगति को H0 = FH0 = H0F के व्युत्पन्न फ़ैनक्टर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

हाइपरसहसंगति वर्णक्रमीय अनुक्रम

दो हाइपरसहसंगति वर्णक्रमीय अनुक्रम हैं; E2 टर्म के साथ एक

और दूसरा E1 टर्म के साथ

और E2 अवधि

दोनों हाइपरसहसंगति में परिवर्तित हो रहे हैं
,

जहां RjF, F का दाएँ व्युत्पन्न गुणक है।

अनुप्रयोग

हाइपरसहसंगति वर्णक्रमीय अनुक्रमों का एक अनुप्रयोग गेरबेस के अध्ययन में है। याद रखें कि किसी स्थान पर रैंक n सदिश बंडल हैं सेच सहसंगति समूह के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है . गेर्ब्स के पीछे मुख्य विचार इस विचार को कोहोमोलॉजिकल रूप से विस्तारित करना है, इसलिए लेने के बजाय किसी फॅक्टर के लिए , इसके बजाय हम सहसंगति समूह पर विचार करते हैं , इसलिए यह उन वस्तुओं को वर्गीकृत करता है जो मूल वर्गीकरण समूह में वस्तुओं से चिपकी होती हैं। एक निकट से संबंधित विषय जो गेर्ब्स और हाइपरसहसंगति का अध्ययन करता है, डेलिग्ने-सहसंगति है।

उदाहरण

  • फ़ील्ड k के ऊपर एक किस्म X के लिए, ऊपर से दूसरा वर्णक्रमीय अनुक्रम बीजगणितीय डी राम कोहोमोलॉजी के लिए हॉज-डी राम वर्णक्रमीय अनुक्रम देता है:
    .
  • एक अन्य उदाहरण जटिल मैनिफोल्ड पर होलोमोर्फिक लॉग कॉम्प्लेक्स से आता है। मान लीजिए X एक जटिल बीजगणितीय मैनिफोल्ड है और एक अच्छा संकलन है। इसका मतलब यह है कि Y एक सघन बीजगणितीय मैनिफोल्ड है और पर भाजक साधारण सामान्य क्रॉसिंग के साथ है। शीव्स के परिसरों का प्राकृतिक समावेश

    यह एक अर्ध-समरूपता बन जाता है और एक समरूपता उत्पन्न करता है

    .

यह भी देखें

  • कार्टन-एलेनबर्ग संकल्प
  • टैनिंग

संदर्भ

  • H. Cartan, S. Eilenberg, Homological algebra ISBN 0-691-04991-2
  • V.I. Danilov (2001) [1994], "Hyperhomology functor", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
  • A. Grothendieck, Sur quelques points d'algèbre homologique Tohoku Math. J. 9 (1957) pp. 119-221