सघन सम्मुच्य: Difference between revisions

Latest revision as of 20:18, 8 September 2023

टोपोलॉजी और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, एक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान X के एक उपसमुच्चय को X में 'सघन' कहा जाता है। यदि X का प्रत्येक बिंदु $A$ से संबंधित है या फिर अनगिनत रूप से $A$ के सदस्य के निकट है। उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का सघन उपसमुच्चय होती हैं क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या एक परिमेय संख्या होती है या उसके पास परिमेय संख्या होती है। (डायोफैंटाइन सन्निकटन देखें)।

औपचारिक रूप से टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का घनत्व X के सघन उपसमुच्चय X की सबसे कम प्रमुखता है।^[1]

परिभाषा

टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान $X$ का उपसमुच्चय $A$ को $X$ का सघन उपसमुच्चय कहा जाता है। यदि निम्नलिखित समकक्ष नियमों में से कोई भी संतुष्ट है:

$X$ का सबसे छोटा विवृत समुच्चय स्वयं $X$ है, जो $A$ से युक्त है।
$X$ में $A$ का क्लोजर (टोपोलॉजी) $X$ के बराबर है। जो कि $\operatorname {cl} _{X}A=X.$ है।
$A$ के पूरक (सेट सिद्धांत) का आंतरिक भाग (टोपोलॉजी) रिक्त है। जो कि $\operatorname {int} _{X}(X\setminus A)=\varnothing .$ है।
$X$ में प्रत्येक बिंदु या तो $A$ से संबंधित होता है या $A.$ का एक लिमिट प्वॉइंट है।
प्रत्येक $x\in X,$ के लिए, $x$ का प्रत्येक निकटतम (गणित) $U$ , $A;$ को प्रतिच्छेदित है। जो कि $U\cap A\neq \varnothing .$ है।
X का प्रत्येक गैर-रिक्त संवृत उपसमुच्चय $A$ को प्रतिच्छेदित है और यदि ${\mathcal {B}}$ टोपोलॉजी के लिए $X$ पर संवृत समुच्चयों का आधार (टोपोलॉजी) है। जिससे इस सूची को सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है।
प्रत्येक $x\in X,$ के लिए, $x$ का प्रत्येक आधार निकटतम (गणित) $B\in {\mathcal {B}}$ को $A.$ पर प्रतिच्छेदित करती है।

मीट्रिक रिक्त स्थान में घनत्व

मीट्रिक रिक्त स्थान में सघन सेट की एक वैकल्पिक परिभाषा निम्नलिखित है। जब $X$ की टोपोलॉजी (संरचना) एक मीट्रिक (गणित) के द्वारा दी गयी है। $X$ में $A$ का क्लोजर ${\overline {A}}$ , $A$ का संघ (सेट सिद्धांत) है और $A$ में तत्वों के अनुक्रमों की सभी सीमाओं का समुच्चय (इसकी सीमा अंक) है।

{\overline {A}}=A\cup \left\{\lim _{n\to \infty }a_{n}:a_{n}\in A{\text{ for all }}n\in \mathbb {N} \right\}

तब

X

में

A

सघन है। यदि-

 ${\overline {A}}=X.$  यदि  $\left\{U_{n}\right\}$  एक पूर्ण मीट्रिक स्थान  $X,$  में सघन संवृत समुच्चय का एक क्रम है। तब  $X.$  में  ${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}}$  भी सघन है। यह तथ्य बेयर श्रेणी प्रमेय के समकक्ष रूपों में से एक समान है।

उदाहरण

सामान्य टोपोलॉजी के साथ वास्तविक संख्याओं में एक गणना करने योग्य समुच्चय घने उपसमुच्चय के रूप में परिमेय संख्याएँ होती हैं, जो यह प्रदर्शित करती हैं कि टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के घने उपसमुच्चय की प्रमुखता स्वयं अंतरिक्ष की प्रधानता से तेजी से छोटी हो सकती है। अपरिमेय संख्याएं एक और सघन उपसमुच्चय हैं, जो यह प्रदर्शित करती हैं कि एक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान में कई असंयुक्त सघन उपसमुच्चय हो सकते हैं (विशेष रूप से, दो सघन उपसमुच्चय एक दूसरे के पूरक हो सकते हैं) और उन्हें एक ही प्रमुखता की आवश्यकता नहीं होती है। संभवतः इससे भी अधिक आश्चर्यजनक रूप से परिमेय और अपरिमेय दोनों में रिक्त आंतरिक भाग होते हैं। यह प्रदर्शित करता है कि सघन समुच्चय में कोई गैर-रिक्त संवृत समुच्चय नहीं होना चाहिए। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के दो घने संवृत उपसमुच्चय का प्रतिच्छेदन पुनः से सघन और संवृत होता है। रिक्त समुच्चय स्वयं का सघन उपसमुच्चय होता है। किन्तु गैर-रिक्त स्थान का प्रत्येक सघन उपसमुच्चय भी गैर-रिक्त होना चाहिए।

विअरस्ट्रास सन्निकटन प्रमेय द्वारा, कोई भी दी गई सम्मिश्र संख्या विवृत अंतराल पर परिभाषित जटिल-मूल्यवान सतत फलन $[a,b]$ एक बहुपद फलन द्वारा वांछित के रूप में एकसमान अभिसरण हो सकता है। दूसरे शब्दों में अंतरिक्ष में बहुपद फलन सघन $C[a,b]$ अंतराल पर निरंतर जटिल-मूल्यवान फलनों की $[a,b],$ सर्वोच्च मानदंड से आच्छादित होता हैं।

प्रत्येक मीट्रिक स्थान अपने समापन (मीट्रिक स्थान) में सघन होता है।

विशेषताएँं

प्रत्येक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान स्वयं में एक सघन उपसमुच्चय है। असतत टोपोलॉजी से आच्छादित समुच्चय $x$ के लिए, संपूर्ण स्थान ही एकमात्र सघन उपसमुच्चय है। $x$ एक उपसमुच्चय का $A$ एक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का $X$ का सीमा बिन्दु कहा जाता है। ट्रिवियल टोपोलॉजी से आच्छादित एक समुच्चय $x$ का प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय सघन है और प्रत्येक टोपोलॉजी जिसके लिए प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय सघन है, जिसे आवस्यक रूप से ट्रिवयल होना चाहिए।

घनत्व सकर्मक संबंध है: तीन उपसमुच्चय $A,B$ और $C$ एक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान $X$ का $A\subseteq B\subseteq C\subseteq X$ साथ दिये गये हैं। ऐसा है कि $A$ में $B$ सघन है और $B$ में $C$ सघन है (संबंधित सबरिक्त स्थान टोपोलॉजी में)। तब $A$ में $C.$ भी सघन है।

निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) फलन के अनुसार एक सघन उपसमुच्चय की इमेज (गणित) फिर से सघन होती है। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का घनत्व (इसके घने उपसमुच्चय की कम से कम प्रमुख) एक टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट होती है।

जुड़ा हुआ स्थान सघन उपसमुच्चय के साथ एक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान आवस्यक है कि वह स्वयं जुड़ा हो।

हौसडॉर्फ रिक्त स्थान में निरंतर कार्य घने उपसमुच्चय पर उनके मूल्यों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। यदि दो निरंतर फलन

f,g:X\to Y

हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष में

Y

के सघन उपसमुच्चय

X

पर सन्तुष्ट हैं। तब वे सभी

X.

पर सन्तुष्ठ होते हैं।

मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए यूनिवर्सल रिक्त स्थान हैं। जिसमें दिए गए घनत्व के सभी रिक्त स्थान एम्बेडिंग हो सकते हैं। घनत्व का एक मीट्रिक स्थान

\alpha

की एक उपसमष्टि

C\left([0,1]^{\alpha },\mathbb {R} \right),

के लिए सममित होता है। इकाई अंतराल की

\alpha

प्रतियों के उत्पाद पर वास्तविक निरंतर फलनों का स्थान होता है।^[2]

संबंधित धारणाएँ

टोपोलॉजिकल स्पेस के उपसमुच्चय A का एक बिंदु x, X को A का एक सीमा बिंदु कहा जाता है (में x)। यदि प्रत्येक निकटतम x में स्वयं x के अतिरिक्त A का एक बिंदु भी स्थित होता है अन्यथा A का एक अलग बिंदु होता है। अलग-अलग बिंदुओं के बिना एक उपसमुच्चय को सघन कहा जाता है।

टोपोलॉजिकल स्पेस का एक उपसमुच्चय A, X को कहीं भी सघन नहीं कहा जाता है (X में)। यदि X में कोई निकटतम नहीं है, जिस पर A सघन है। समान रूप से टोपोलॉजिकल स्पेस का एक उपसमुच्चय कहीं भी सघन नहीं है, यदि और केवल यदि इसके विवृत होने का आंतरिक भाग रिक्त है। सघन सेट के पूरक का आंतरिक भाग सदैन सघन होता है। एक विवृत घने सेट का पूरक एक सघन संवृत सेट है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस X दिया गया है, X का एक उपसमुच्चय A, जिसे कई घने उपसमुच्चय के संघ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, X को अल्प कहा जाता है। परिमेय संख्याएँ, जबकि वास्तविक संख्या में सघन हैं, वास्तविक के उपसमुच्चय के रूप में अल्प हैं।

एक गणनीय सघन उपसमुच्चय के साथ एक सामयिक स्थान को वियोज्य स्थान कहा जाता है। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान एक बेयर स्पेस है। यदि और केवल यदि कई घने संवृत समुच्चयों का प्रतिच्छेदन सदैव सघन होता है। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान को हल करने योग्य स्थान कहा जाता है, यदि यह दो अलग-अलग घने उपसमुच्चय का मिलान हो। अधिक सामान्यतः एक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान को मूलभूत संख्या κ के लिए κ-हल करने योग्य कहा जाता है। यदि इसमें κ युग्म अलग-अलग घने समुच्चय होते हैं।

एक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का अंत:स्थापन $X$ सघन स्थान के एक सघन उपसमुच्चय के रूप में $X.$ का एक संघनन (गणित) कहा जाता है।

टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान के बीच एक रैखिक ऑपरेटर

X

और

Y

सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर कहा जाता है। यदि किसी फलन का डोमेन

X

का एक सघन उपसमुच्चय है और यदि किसी फलन की छवि इसके अन्दर

Y.

स्थित है। सतत रैखिक विस्तार भी देखें।

टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान

X

अति जुडा हुआ रिक्त स्थान है। यदि और केवल यदि प्रत्येक गैर-रिक्त संवृत समुच्चय

X.

में सघन है। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान सबमैक्सिमल रिक्त स्थान है। यदि और केवल यदि प्रत्येक सघन उपसमुच्चय संवृत है।

यदि

\left(X,d_{X}\right)

एक मीट्रिक स्थान है। फिर एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय

Y

,

\varepsilon

-सघन कहा गया है। यदि-

\forall x\in X,\;\exists y\in Y{\text{ such that }}d_{X}(x,y)\leq \varepsilon .

यह तभी प्रदर्शित हो सकता है, जब

D

में

\left(X,d_{X}\right)

सघन है। यदि और केवल यदि यह प्रत्येक

\varepsilon >0.

के लिए ε-सघन है।

यह भी देखें

ब्लमबर्ग प्रमेय – Any real function on R admits a continuous restriction on a dense subset of R - R पर कोई वास्तविक फलन R के घने उपसमुच्चय पर निरंतर प्रतिबंध स्वीकार करता है।
डेन्स ऑडर - आंशिक क्रम जहां प्रत्येक दो अलग-अलग तत्वों के बीच उनके बीच एक और तत्व स्थित होता है।
घना (लैटिस सिद्धांत)

संदर्भ

↑ Steen, L. A.; Seebach, J. A. (1995), Counterexamples in Topology, Dover, ISBN 0-486-68735-X
↑ Kleiber, Martin; Pervin, William J. (1969). "एक सामान्यीकृत बनच-मजूर प्रमेय". Bull. Austral. Math. Soc. 1 (2): 169–173. doi:10.1017/S0004972700041411.

proofs

सामान्य संदर्भ

Nicolas Bourbaki (1989) [1971]. सामान्य टोपोलॉजी, अध्याय 1-4. Elements of Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 3-540-64241-2.
Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. General Topology: Chapters 1–4 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129.
Dixmier, Jacques (1984). General Topology. Undergraduate Texts in Mathematics. Translated by Berberian, S. K. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303.
Munkres, James R. (2000). Topology (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.

श्रेणी:सामान्य टोपोलॉजी

[CEIT-1] Steen, L. A.; Seebach, J. A. (1995), Counterexamples in Topology, Dover, ISBN 0-486-68735-X

[2] Kleiber, Martin; Pervin, William J. (1969). "एक सामान्यीकृत बनच-मजूर प्रमेय". Bull. Austral. Math. Soc. 1 (2): 169–173. doi:10.1017/S0004972700041411.

[1]

[2]

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-[[टोपोलॉजी]] और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान]] ''X'' के एक उपसमुच्चय को ''X'' में ''''घना'''<nowiki/>' कहा जाता है। यदि X का प्रत्येक बिंदु <math>A</math> से संबंधित है या फिर अनगिनत रूप से <math>A</math> के सदस्य के निकट है। उदाहरण के लिए, [[तर्कसंगत संख्या|परिमेय संख्याएँ]] [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] का '''घना''' उपसमुच्चय होती हैं क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या एक परिमेय संख्या होती है या उसके पास परिमेय संख्या होती है।  ([[डायोफैंटाइन सन्निकटन]] देखें)।
+[[टोपोलॉजी]] और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान]] ''X'' के एक उपसमुच्चय को ''X'' में ''''सघन'''<nowiki/>' कहा जाता है। यदि X का प्रत्येक बिंदु <math>A</math> से संबंधित है या फिर अनगिनत रूप से <math>A</math> के सदस्य के निकट है। उदाहरण के लिए, [[तर्कसंगत संख्या|परिमेय संख्याएँ]] [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] का '''सघन''' उपसमुच्चय होती हैं क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या एक परिमेय संख्या होती है या उसके पास परिमेय संख्या होती है।  ([[डायोफैंटाइन सन्निकटन]] देखें)।
-औपचारिक रूप से टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का घनत्व X के घना उपसमुच्चय X की सबसे कम प्रमुखता है।<ref name="CEIT">{{Citation|last=Steen|first=L. A.|last2=Seebach|first2=J. A.|title=Counterexamples in Topology|publisher=Dover|year=1995|isbn=0-486-68735-X|title-link=Counterexamples in Topology}}</ref>
+औपचारिक रूप से टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का घनत्व X के सघन उपसमुच्चय X की सबसे कम प्रमुखता है।<ref name="CEIT">{{Citation|last=Steen|first=L. A.|last2=Seebach|first2=J. A.|title=Counterexamples in Topology|publisher=Dover|year=1995|isbn=0-486-68735-X|title-link=Counterexamples in Topology}}</ref>
 == परिभाषा ==
-टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान <math>X</math> का उपसमुच्चय <math>A</math> को <math>X</math> का घना उपसमुच्चय कहा जाता है। यदि निम्नलिखित समकक्ष नियमों में से कोई भी संतुष्ट है:
+टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान <math>X</math> का उपसमुच्चय <math>A</math> को <math>X</math> का सघन उपसमुच्चय कहा जाता है। यदि निम्नलिखित समकक्ष नियमों में से कोई भी संतुष्ट है:
 # <math>X</math> का सबसे छोटा विवृत समुच्चय स्वयं <math>X</math> है, जो <math>A</math> से युक्त है।
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 === मीट्रिक रिक्त स्थान में घनत्व ===
-मीट्रिक रिक्त स्थान में घना सेट की एक वैकल्पिक परिभाषा निम्नलिखित है। जब <math>X</math> की [[टोपोलॉजी (संरचना)]] एक [[मीट्रिक (गणित)]] के द्वारा दी गयी है। <math>X</math> में <math>A</math> का [[टोपोलॉजिकल क्लोजर|क्लोजर]] <math>\overline{A}</math>, <math>A</math> का [[संघ (सेट सिद्धांत)]] है और <math>A</math> में तत्वों के अनुक्रमों की सभी सीमाओं का समुच्चय (इसकी सीमा अंक) है।
+मीट्रिक रिक्त स्थान में सघन सेट की एक वैकल्पिक परिभाषा निम्नलिखित है। जब <math>X</math> की [[टोपोलॉजी (संरचना)]] एक [[मीट्रिक (गणित)]] के द्वारा दी गयी है। <math>X</math> में <math>A</math> का [[टोपोलॉजिकल क्लोजर|क्लोजर]] <math>\overline{A}</math>, <math>A</math> का [[संघ (सेट सिद्धांत)]] है और <math>A</math> में तत्वों के अनुक्रमों की सभी सीमाओं का समुच्चय (इसकी सीमा अंक) है।
 <math display="block">\overline{A} = A \cup \left\{\lim_{n \to \infty} a_n : a_n \in A \text{ for all } n \in \N\right\}</math>
-तब <math>X</math> में <math>A</math> घना है। यदि-
+तब <math>X</math> में <math>A</math> सघन है। यदि-
-  <math display="block">\overline{A} = X.</math> यदि <math>\left\{U_n\right\}</math> एक पूर्ण मीट्रिक स्थान <math>X,</math> में घना [[ खुला सेट |संवृत समुच्चय]] का एक क्रम है। तब <math>X.</math> में <math display="inline">\bigcap^{\infty}_{n=1} U_n</math> भी घना है। यह तथ्य बेयर श्रेणी प्रमेय के समकक्ष रूपों में से एक समान है।
+  <math display="block">\overline{A} = X.</math> यदि <math>\left\{U_n\right\}</math> एक पूर्ण मीट्रिक स्थान <math>X,</math> में सघन [[ खुला सेट |संवृत समुच्चय]] का एक क्रम है। तब <math>X.</math> में <math display="inline">\bigcap^{\infty}_{n=1} U_n</math> भी सघन है। यह तथ्य बेयर श्रेणी प्रमेय के समकक्ष रूपों में से एक समान है।
 == उदाहरण ==
-सामान्य टोपोलॉजी के साथ वास्तविक संख्याओं में एक [[गणनीय सेट|गणना करने योग्य समुच्चय]] घने उपसमुच्चय के रूप में परिमेय संख्याएँ होती हैं, जो यह प्रदर्शित करती हैं कि टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के घने उपसमुच्चय की प्रमुखता स्वयं अंतरिक्ष की प्रधानता से तेजी से छोटी हो सकती है। [[अपरिमेय संख्या]]एं एक और घना उपसमुच्चय हैं, जो यह प्रदर्शित करती हैं कि एक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान में कई [[अलग करना सेट|असंयुक्त घना]] उपसमुच्चय हो सकते हैं (विशेष रूप से, दो घना उपसमुच्चय एक दूसरे के पूरक हो सकते हैं) और उन्हें एक ही प्रमुखता की आवश्यकता नहीं होती है। संभवतः इससे भी अधिक आश्चर्यजनक रूप से परिमेय और अपरिमेय दोनों में रिक्त आंतरिक भाग होते हैं। यह प्रदर्शित करता है कि घना समुच्चय में कोई गैर-रिक्त संवृत समुच्चय नहीं होना चाहिए। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के दो घने संवृत उपसमुच्चय का प्रतिच्छेदन पुनः से घना और संवृत होता है। रिक्त समुच्चय स्वयं का घना उपसमुच्चय होता है। किन्तु गैर-रिक्त स्थान का प्रत्येक घना उपसमुच्चय भी गैर-रिक्त होना चाहिए।
+सामान्य टोपोलॉजी के साथ वास्तविक संख्याओं में एक [[गणनीय सेट|गणना करने योग्य समुच्चय]] घने उपसमुच्चय के रूप में परिमेय संख्याएँ होती हैं, जो यह प्रदर्शित करती हैं कि टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के घने उपसमुच्चय की प्रमुखता स्वयं अंतरिक्ष की प्रधानता से तेजी से छोटी हो सकती है। [[अपरिमेय संख्या]]एं एक और सघन उपसमुच्चय हैं, जो यह प्रदर्शित करती हैं कि एक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान में कई [[अलग करना सेट|असंयुक्त सघन]] उपसमुच्चय हो सकते हैं (विशेष रूप से, दो सघन उपसमुच्चय एक दूसरे के पूरक हो सकते हैं) और उन्हें एक ही प्रमुखता की आवश्यकता नहीं होती है। संभवतः इससे भी अधिक आश्चर्यजनक रूप से परिमेय और अपरिमेय दोनों में रिक्त आंतरिक भाग होते हैं। यह प्रदर्शित करता है कि सघन समुच्चय में कोई गैर-रिक्त संवृत समुच्चय नहीं होना चाहिए। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के दो घने संवृत उपसमुच्चय का प्रतिच्छेदन पुनः से सघन और संवृत होता है। रिक्त समुच्चय स्वयं का सघन उपसमुच्चय होता है। किन्तु गैर-रिक्त स्थान का प्रत्येक सघन उपसमुच्चय भी गैर-रिक्त होना चाहिए।
-विअरस्ट्रास सन्निकटन प्रमेय द्वारा, कोई भी दी गई सम्मिश्र संख्या [[बंद अंतराल|विवृत अंतराल]] पर परिभाषित जटिल-मूल्यवान सतत फलन <math>[a, b]</math> एक बहुपद फलन द्वारा वांछित के रूप में [[एकसमान अभिसरण]] हो सकता है। दूसरे शब्दों में अंतरिक्ष में बहुपद फलन घना <math>C[a, b]</math> अंतराल पर निरंतर जटिल-मूल्यवान फलनों की <math>[a, b],</math> सर्वोच्च मानदंड से आच्छादित होता हैं।
+विअरस्ट्रास सन्निकटन प्रमेय द्वारा, कोई भी दी गई सम्मिश्र संख्या [[बंद अंतराल|विवृत अंतराल]] पर परिभाषित जटिल-मूल्यवान सतत फलन <math>[a, b]</math> एक बहुपद फलन द्वारा वांछित के रूप में [[एकसमान अभिसरण]] हो सकता है। दूसरे शब्दों में अंतरिक्ष में बहुपद फलन सघन <math>C[a, b]</math> अंतराल पर निरंतर जटिल-मूल्यवान फलनों की <math>[a, b],</math> सर्वोच्च मानदंड से आच्छादित होता हैं।
-प्रत्येक मीट्रिक स्थान अपने समापन (मीट्रिक स्थान) में घना होता है।
+प्रत्येक मीट्रिक स्थान अपने समापन (मीट्रिक स्थान) में सघन होता है।
 == विशेषताएँं ==
-प्रत्येक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान स्वयं में एक घना उपसमुच्चय है। असतत टोपोलॉजी से आच्छादित समुच्चय <math>x</math> के लिए, संपूर्ण स्थान ही एकमात्र घना उपसमुच्चय है। <math>x</math> एक उपसमुच्चय का <math>A</math> एक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का <math>X</math> का सीमा बिन्दु कहा जाता है। ट्रिवियल टोपोलॉजी से आच्छादित एक समुच्चय <math>x</math> का प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय सघन है और प्रत्येक टोपोलॉजी जिसके लिए प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय घना है, जिसे आवस्यक रूप से ट्रिवयल होना चाहिए।
+प्रत्येक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान स्वयं में एक सघन उपसमुच्चय है। असतत टोपोलॉजी से आच्छादित समुच्चय <math>x</math> के लिए, संपूर्ण स्थान ही एकमात्र सघन उपसमुच्चय है। <math>x</math> एक उपसमुच्चय का <math>A</math> एक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का <math>X</math> का सीमा बिन्दु कहा जाता है। ट्रिवियल टोपोलॉजी से आच्छादित एक समुच्चय <math>x</math> का प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय सघन है और प्रत्येक टोपोलॉजी जिसके लिए प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय सघन है, जिसे आवस्यक रूप से ट्रिवयल होना चाहिए।
-घनत्व [[सकर्मक संबंध]] है: तीन उपसमुच्चय <math>A, B</math> और <math>C</math> एक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान <math>X</math> का <math>A \subseteq B \subseteq C \subseteq X</math> साथ दिये गये हैं। ऐसा है कि <math>A</math> में <math>B</math> घना है और <math>B</math> में <math>C</math> घना है (संबंधित [[सबस्पेस टोपोलॉजी|सबरिक्त स्थान टोपोलॉजी]] में)। तब <math>A</math> में <math>C.</math> भी घना है।
+घनत्व [[सकर्मक संबंध]] है: तीन उपसमुच्चय <math>A, B</math> और <math>C</math> एक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान <math>X</math> का <math>A \subseteq B \subseteq C \subseteq X</math> साथ दिये गये हैं। ऐसा है कि <math>A</math> में <math>B</math> सघन है और <math>B</math> में <math>C</math> सघन है (संबंधित [[सबस्पेस टोपोलॉजी|सबरिक्त स्थान टोपोलॉजी]] में)। तब <math>A</math> में <math>C.</math> भी सघन है।
-<li>[[ निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) |निरंतर कार्य (टोपोलॉजी)]] फलन के अनुसार एक घना उपसमुच्चय की [[छवि (गणित)|इमेज (गणित)]] फिर से घना होती है। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का घनत्व (इसके घने उपसमुच्चय की कम से कम प्रमुख) एक [[टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट]] होती है।
-<li>[[ जुड़ा हुआ स्थान | जुड़ा हुआ स्थान]] घना उपसमुच्चय के साथ एक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान आवस्यक है कि वह स्वयं जुड़ा हो।
+<li>[[ निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) |निरंतर कार्य (टोपोलॉजी)]] फलन के अनुसार एक सघन उपसमुच्चय की [[छवि (गणित)|इमेज (गणित)]] फिर से सघन होती है। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का घनत्व (इसके घने उपसमुच्चय की कम से कम प्रमुख) एक [[टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट]] होती है।
-<li>हौसडॉर्फ रिक्त स्थान में निरंतर कार्य घने उपसमुच्चय पर उनके मूल्यों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। यदि दो निरंतर फलन <math>f, g : X \to Y</math> हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष में <math>Y</math> के घना उपसमुच्चय <math>X</math> पर सन्तुष्ट हैं। तब वे सभी <math>X.</math>पर सन्तुष्ठ होते हैं।
+<li>[[ जुड़ा हुआ स्थान | जुड़ा हुआ स्थान]] सघन उपसमुच्चय के साथ एक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान आवस्यक है कि वह स्वयं जुड़ा हो।
+<li>हौसडॉर्फ रिक्त स्थान में निरंतर कार्य घने उपसमुच्चय पर उनके मूल्यों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। यदि दो निरंतर फलन <math>f, g : X \to Y</math> हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष में <math>Y</math> के सघन उपसमुच्चय <math>X</math> पर सन्तुष्ट हैं। तब वे सभी <math>X.</math>पर सन्तुष्ठ होते हैं।
 <li>मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए यूनिवर्सल रिक्त स्थान हैं। जिसमें दिए गए घनत्व के सभी रिक्त स्थान [[एम्बेडिंग]] हो सकते हैं। घनत्व का एक मीट्रिक स्थान <math>\alpha</math> की एक उपसमष्टि <math>C\left([0, 1]^{\alpha}, \R\right),</math> के लिए सममित होता है। [[इकाई अंतराल]] की <math>\alpha</math> प्रतियों के उत्पाद पर वास्तविक निरंतर फलनों का स्थान होता है।<ref>{{cite journal|last1=Kleiber|first1=Martin|last2=Pervin|first2=William J.|title=एक सामान्यीकृत बनच-मजूर प्रमेय|journal=Bull. Austral. Math. Soc.|date=1969|volume=1|issue=2|pages=169–173|doi=10.1017/S0004972700041411|doi-access=free}}</ref>
 == संबंधित धारणाएँ ==
-टोपोलॉजिकल स्पेस के उपसमुच्चय A का एक बिंदु x, X को A का एक सीमा बिंदु कहा जाता है (में x)। यदि प्रत्येक निकटतम x में स्वयं x के अतिरिक्त A का एक बिंदु भी स्थित होता है अन्यथा A का एक अलग बिंदु होता है। अलग-अलग बिंदुओं के बिना एक उपसमुच्चय को घना कहा जाता है।
+टोपोलॉजिकल स्पेस के उपसमुच्चय A का एक बिंदु x, X को A का एक सीमा बिंदु कहा जाता है (में x)। यदि प्रत्येक निकटतम x में स्वयं x के अतिरिक्त A का एक बिंदु भी स्थित होता है अन्यथा A का एक अलग बिंदु होता है। अलग-अलग बिंदुओं के बिना एक उपसमुच्चय को सघन कहा जाता है।
-टोपोलॉजिकल स्पेस का एक उपसमुच्चय A, X को कहीं भी घना नहीं कहा जाता है (X में)। यदि X में कोई निकटतम नहीं है, जिस पर A घना है। समान रूप से टोपोलॉजिकल स्पेस का एक उपसमुच्चय कहीं भी घना नहीं है, यदि और केवल यदि इसके विवृत होने का आंतरिक भाग रिक्त है। घना सेट के पूरक का आंतरिक भाग सदैन घना होता है। एक विवृत घने सेट का पूरक एक घना संवृत सेट है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस X दिया गया है, X का एक उपसमुच्चय A, जिसे कई घने उपसमुच्चय के संघ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, X को अल्प कहा जाता है। परिमेय संख्याएँ, जबकि वास्तविक संख्या में घना हैं, वास्तविक के उपसमुच्चय के रूप में अल्प हैं।
+टोपोलॉजिकल स्पेस का एक उपसमुच्चय A, X को कहीं भी सघन नहीं कहा जाता है (X में)। यदि X में कोई निकटतम नहीं है, जिस पर A सघन है। समान रूप से टोपोलॉजिकल स्पेस का एक उपसमुच्चय कहीं भी सघन नहीं है, यदि और केवल यदि इसके विवृत होने का आंतरिक भाग रिक्त है। सघन सेट के पूरक का आंतरिक भाग सदैन सघन होता है। एक विवृत घने सेट का पूरक एक सघन संवृत सेट है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस X दिया गया है, X का एक उपसमुच्चय A, जिसे कई घने उपसमुच्चय के संघ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, X को अल्प कहा जाता है। परिमेय संख्याएँ, जबकि वास्तविक संख्या में सघन हैं, वास्तविक के उपसमुच्चय के रूप में अल्प हैं।
-एक गणनीय घना उपसमुच्चय के साथ एक सामयिक स्थान को [[वियोज्य स्थान]] कहा जाता है। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान एक [[बाहर की जगह|बेयर स्पेस]] है। यदि और केवल यदि कई घने संवृत समुच्चयों का प्रतिच्छेदन सदैव घना होता है। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान को [[हल करने योग्य स्थान]] कहा जाता है, यदि यह दो अलग-अलग घने उपसमुच्चय का मिलान हो। अधिक सामान्यतः एक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान को [[ बुनियादी संख्या |मूलभूत संख्या]] κ के लिए κ-हल करने योग्य कहा जाता है। यदि इसमें κ युग्म अलग-अलग घने समुच्चय होते हैं।
+एक गणनीय सघन उपसमुच्चय के साथ एक सामयिक स्थान को [[वियोज्य स्थान]] कहा जाता है। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान एक [[बाहर की जगह|बेयर स्पेस]] है। यदि और केवल यदि कई घने संवृत समुच्चयों का प्रतिच्छेदन सदैव सघन होता है। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान को [[हल करने योग्य स्थान]] कहा जाता है, यदि यह दो अलग-अलग घने उपसमुच्चय का मिलान हो। अधिक सामान्यतः एक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान को [[ बुनियादी संख्या |मूलभूत संख्या]] κ के लिए κ-हल करने योग्य कहा जाता है। यदि इसमें κ युग्म अलग-अलग घने समुच्चय होते हैं।
-एक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का अंत:स्थापन <math>X</math> घना स्थान के एक घना उपसमुच्चय के रूप में <math>X.</math> का एक संघनन (गणित) कहा जाता है।
+एक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का अंत:स्थापन <math>X</math> सघन स्थान के एक सघन उपसमुच्चय के रूप में <math>X.</math> का एक संघनन (गणित) कहा जाता है।
-<li>[[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान]] के बीच एक [[रैखिक ऑपरेटर]] <math>X</math> और <math>Y</math> घना रूप से परिभाषित ऑपरेटर कहा जाता है। यदि [[किसी फ़ंक्शन का डोमेन|किसी फलन का डोमेन]] <math>X</math> का एक घना उपसमुच्चय है और यदि किसी फलन की छवि इसके अन्दर <math>Y.</math> स्थित है। सतत रैखिक विस्तार भी देखें।<li>टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान <math>X</math> [[हाइपरकनेक्टेड स्पेस|अति जुडा हुआ रिक्त स्थान]] है। यदि और केवल यदि प्रत्येक गैर-रिक्त संवृत समुच्चय <math>X.</math> में घना है। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान [[सबमैक्सिमल स्पेस|सबमैक्सिमल रिक्त स्थान]] है। यदि और केवल यदि प्रत्येक घना उपसमुच्चय संवृत है।
+<li>[[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान]] के बीच एक [[रैखिक ऑपरेटर]] <math>X</math> और <math>Y</math> सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर कहा जाता है। यदि [[किसी फ़ंक्शन का डोमेन|किसी फलन का डोमेन]] <math>X</math> का एक सघन उपसमुच्चय है और यदि किसी फलन की छवि इसके अन्दर <math>Y.</math> स्थित है। सतत रैखिक विस्तार भी देखें।<li>टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान <math>X</math> [[हाइपरकनेक्टेड स्पेस|अति जुडा हुआ रिक्त स्थान]] है। यदि और केवल यदि प्रत्येक गैर-रिक्त संवृत समुच्चय <math>X.</math> में सघन है। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान [[सबमैक्सिमल स्पेस|सबमैक्सिमल रिक्त स्थान]] है। यदि और केवल यदि प्रत्येक सघन उपसमुच्चय संवृत है।
-<li>यदि <math>\left(X, d_X\right)</math> एक मीट्रिक स्थान है। फिर एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय <math>Y</math>, <math>\varepsilon</math>-घना कहा गया है। यदि-<math display="block">\forall x \in X, \; \exists y \in Y \text{ such that } d_X(x, y) \leq \varepsilon.</math>
+<li>यदि <math>\left(X, d_X\right)</math> एक मीट्रिक स्थान है। फिर एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय <math>Y</math>, <math>\varepsilon</math>-सघन कहा गया है। यदि-<math display="block">\forall x \in X, \; \exists y \in Y \text{ such that } d_X(x, y) \leq \varepsilon.</math>
-यह तभी प्रदर्शित हो सकता है, जब <math>D</math> में <math>\left(X, d_X\right)</math> घना है। यदि और केवल यदि यह प्रत्येक <math>\varepsilon > 0.</math> के लिए ε-घना है।
+यह तभी प्रदर्शित हो सकता है, जब <math>D</math> में <math>\left(X, d_X\right)</math> सघन है। यदि और केवल यदि यह प्रत्येक <math>\varepsilon > 0.</math> के लिए ε-सघन है।
 == यह भी देखें ==
 * {{annotated link|ब्लमबर्ग प्रमेय}} - R पर कोई वास्तविक फलन R के घने उपसमुच्चय पर निरंतर प्रतिबंध स्वीकार करता है।

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