यंग टैबलॉ

गणित में यंग टैबलॉ एक साहचर्य वस्तु है जो प्रतिनिधित्व सिद्धांत और शुबर्ट गणना में उपयोगी संयोजन वस्तु है यह सममित समूह और सामान्य रैखिक समूह के समूहों का निरूपण का वर्णन करने और उनके गुणों का अध्ययन करने का एक सुविधाजनक तरीका प्रदान करता है 1900 में कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय के गणितज्ञ अल्फ्रेड यंग द्वारा यंग टैबलॉ पेश की गई थी इसके बाद उन्हें 1903 में जॉर्ज फ्रोबेनियस द्वारा सममित समूह के अध्ययन के लिए लागू किया गया था उनके सिद्धांत को आगे चलकर कई गणितज्ञों द्वारा विकसित किया गया था जिनमें पर्सी मैकमोहन, डब्ल्यू.वी.डी. हॉज, गिल्बर्ट डी ब्योरगार्ड रॉबिन्सन जी. डी बी रॉबिन्सन, जियान-कार्लो रोटा, एलेन लास्कौक्स, मार्सेल-पॉल शुट्ज़ेनबर्गर और रिचर्ड पी स्टेनली का विशेष योगदान रहा है।

परिभाषाएँ

नोट: यह लेख यंग डायग्राम और टैबलॉ प्रदर्शित करने के लिए अंग्रेजी सम्मेलन का उपयोग करता है।

आरेख

आकार का यंग आरेख (5, 4, 1), अंग्रेजी अंकन

शेप का यंग डायग्राम (5, 4, 1), फ्रेंच नोटेशन

एक यंग आकृति जिसे फेरर्स आरेख भी कहा जाता है जबकि विशेष रूप से बिन्दु का उपयोग करके जब यह दर्शाया जाता है तो यह बढ़ते क्रम की पंक्ति में लंबाई के साथ बाएं-न्याय संगत पंक्तियों में व्यवस्थित बक्से या कोशिकाओं का एक सीमित संग्रह है तथा प्रत्येक पंक्ति में बक्सों की संख्या सूचीबद्ध करने से एक विभाजन संख्या सिद्धांत मिलता है जिसमें λ एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक का n आरेख के बक्सों की कुल संख्या है यंग आरेख n आकार का कहा जाता है और λ विभाजन के समान जानकारी रखता है एक यंग आरेख को दूसरे में समाहित करना सभी विभाजनों के समूह पर आंशिक क्रम को परिभाषित करता है जो वास्तव में एक जाली क्रम संरचना है जिसे यंग आरेख की जाली के रूप में जाना जाता है तथा प्रत्येक कॉलम में एक यंग आरेख के बक्सों की संख्या को सूचीबद्ध करने से एक और विभाजन मिलता है इसका संयुग्म या स्थानांतरण विभाजन λ मूल आरेख को इसके मुख्य विकर्ण के साथ प्रतिबिंबित करके उस आकार का एक यंग आरेख प्राप्त करता है।

लगभग सार्वभौमिक सहमति यह है कि पूर्णांक के जोड़े द्वारा यंग आरेख के प्लास्टिक बॉक्स में पहली अनुक्रमणिका आरेख की पंक्ति का चयन करता है और दूसरी अनुक्रमणिका पंक्ति के भीतर बॉक्स का चयन करता है फिर भी इन आरेखों को प्रदर्शित करने के लिए दो अलग-अलग सम्मेलन एकत्रित हैं और इसके परिणामस्वरूप टैबलॉ पहली पंक्ति को पिछले एक के नीचे रखती है और दूसरी पंक्ति को पिछले एक शीर्ष पर रखती है चूंकि पूर्व सम्मेलन मुख्य रूप से अंग्रेजी बोलने वाली दुनिया द्वारा उपयोग किया जाता है जबकि बाद वाले को प्रायः वाक्य की स्पष्टता द्वारा पसंद किया जाता है यह इन सम्मेलनों को क्रमशः अंग्रेजी संकेतन और फ्रेंच संकेतन के रूप में संदर्भित करने के लिए प्रथागत है उदाहरण के लिए सममित कार्यों पर अपनी पुस्तक में इयान जी मैकडोनाल्ड पाठकों को सलाह देते हैं कि फ्रांसीसी परंपरा को पसंद करते हुए इस पुस्तक को एक दर्पण में उल्टा पढ़ें यह नामकरण संभवतः मजाक के रूप में शुरू हुआ अंग्रेजी संकेतन पंक्ति के लिए यह परंपरा सार्वभौमिक रूप से उपयोग किए जाने वाले संकेतन से मेल खाती है जबकि फ्रांसीसी संकेतन लिप्यन्तरण निर्देशांक के सम्मेलन के करीब है तथा फ्रांसीसी संकेतन पहले ऊर्ध्वाधर निर्देशांक को रखकर उस सम्मेलन से भिन्न होता था जबकि अंग्रेजी संकेतन का उपयोग करते हुए दाईं ओर का आंकड़ा संख्या 10 के विभाजन 5, 4, 1 के अनुरूप यंग आरेख दिखाता है तथा संयुग्मित विभाजन स्तंभ की लंबाई को मापता है।

हाथ और पैर की लंबाई

कई अनुप्रयोगों में जब भारी वस्तु के उपकरण को उठाने को परिभाषित करते हैं तो हाथ की लंबाई ए को परिभाषित करना सुविधाजनक होता है _λ(s) अंग्रेजी संकेतन में आरेख λ में s के दाईं ओर बक्से की संख्या के रूप में जाना जाता है तथा एक बॉक्स s इसी तरह पैर की लंबाई एल_λ एस के नीचे बक्से की संख्या के रूप में जाना जाता है इसमें बॉक्स एस की पैर की लंबाई या नीचे के बॉक्स की संख्या भी सम्मिलित हैं दूसरे शब्दों में हुक की लंबाई एस + एल_λ एस + 1 है।

टेबल्स

आकार की एक मानक यंग टैबलॉ (5, 4, 1)

यंग आरेख के बक्सों में कुछ वर्णमाला के प्रतीकों को भरकर एक यंग टैबलॉ प्राप्त की जाती है जिसे आमतौर पर पूरी तरह से आदेश किए गए समूह की आवश्यकता होती है मूल रूप से वह वर्णमाला अनुक्रमित चर का एक समूह था x₁, x₂, x₃..., लेकिन अब अधिकतर संक्षिप्तता के लिए संख्याओं के एक समूह का उपयोग किया जाता है सममित समूह के प्रतिनिधित्व के लिए उनके मूल आवेदन में यंग झाँकियों के पास n अलग-अलग प्रविष्टियाँ मनमाने ढंग से आरेख के बक्सों को सौंपी गईं हैं तथा एक टैबलॉ को मानक भी कहा जाता है यदि प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ में प्रविष्टियाँ बढ़ रही हों तो विशिष्ट मानक यंग झांकियों की संख्या पर n प्रविष्टियाँ गणितीय संक्रिया द्वारा दी गई हैं जो इस प्रकार हैं-

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ... (sequence A000085 in the OEIS).

अन्य अनुप्रयोगों में एक टैबलॉ में एक ही संख्या को एक से अधिक बार या बिल्कुल नहीं प्रकट होने की अनुमति देना स्वाभाविक है एक यंग टैबलॉ को अर्धमानक या स्तंभ कहा जाता है यदि प्रविष्टियाँ प्रत्येक पंक्ति के साथ कमजोर रूप से बढ़ती हैं और प्रत्येक स्तंभ को सख्ती से बढ़ाती हैं तो एक टैबलॉ में प्रत्येक संख्या कितनी बार दिखाई देती है इसे एकत्र करने से एक क्रम मिलता है जिसे टैबलॉ के वजन के रूप में जाना जाता है इस प्रकार मानक यंग टैबलॉ का वजन 1,1,...,1 की अर्धमानक टैबलॉ है जिसके लिए प्रत्येक पूर्णांक तक की आवश्यकता होती है n ठीक एक बार घटित होना ही

एक मानक यंग टैबलॉ में पूर्णांक $k$ एक वंश है अगर $k+1$ से नीचे एक पंक्ति में दिखाई देती है तो $k$. अवरोहण के योग को टैबलॉ का प्रमुख सूचकांक कहा जाता है।

रूपांतर

इस परिभाषा की कई विविधताएँ हैं उदाहरण के लिए एक पंक्ति यंग टैबलॉ में प्रविष्टियाँ पंक्तियों के साथ बढ़ती हैं और स्तंभों में कमजोर रूप से बढ़ाती हैं इसके बाद घटती प्रविष्टियों वाली टैबलॉ पर विचार किया गया है जो विशेष रूप से समतल विभाजन के सिद्धांत में दूरगामी टैबलॉ या रिबन टैबलॉ जैसे सामान्यीकरण के लिए उपयोगी हैं जिसमें उन्हें प्रविष्टियाँ सौंपने से पहले कई बक्सों को एक साथ रखा जा सकता है।

तिरछी टैबलॉ

आकार की तिरछी टैबलॉ (5, 4, 2, 2) / (2, 1), अंग्रेजी अंकन

तिरछे आकार के विभाजनों की एक जोड़ी है जो (λ, μ) द्वारा प्रदर्शित की जाती है यंग आरेख λ में तिरछी झॉकी यंग आरेख सम्मिलित हैं इसे μ द्वारा दर्शाया गया है λ/μ. अगर λ = (λ₁, λ₂, ...) और μ = (μ₁, μ₂, ...), तो आरेखों के सम्‍मिलन का अर्थ है कि μ_i ≤ λ_i सभी के लिए i. तिरछी आकृति का तिरछा आरेख λ/μ के यंग आरेखों का समूह-सैद्धांतिक अंतर है λ और μ: वर्गों का समूह जो आरेख से संबंधित है λ उससे μ. आकार की तिरछी यंग टैबलॉ λ/μ संबंधित तिरछा आरेख के वर्गों को भरकर प्राप्त किया जाता है इस तरह की टैबलॉ अर्ध-मानक होती है यदि प्रविष्टियाँ प्रत्येक पंक्ति के साथ कमजोर रूप से बढ़ती हैं और प्रत्येक स्तंभ के नीचे बढ़ती हैं तो यह मानक है यदि इसके अलावा 1 से लेकर तिरछे आरेख के वर्गों की संख्या ठीक एक बार आती है जबकि विभाजन से लेकर उनके यंग आरेख तक का नक्शा तिरछे आकार से लेकर तिरछे आरेख तक के नक्शे के लिए नहीं है इसलिए तिरछा आरेख का आकार हमेशा भरे हुए वर्गों के समूह से निर्धारित नहीं किया जा सकता है जबकि तिरछी टैबलॉ के कई गुण केवल भरे हुए वर्गों पर निर्भर करते हैं तथा उन पर परिभाषित कुछ संक्रियाओं के लिए स्पष्ट ज्ञान की आवश्यकता होती है λ और μ, इसलिए महत्वपूर्ण है कि तिरछी टैबलॉ इस जानकारी को एकत्र करें और दो अलग-अलग तिरछी झांकियां उनके आकार में भिन्न हो सकती हैं जबकि वे वर्गों के एक ही समूह पर हस्तांतरण कर लेती हैं और प्रत्येक झॉंकी एक ही प्रविष्टि से भरी होती है यंग टैबलॉ को तिरछी टैबलॉ से पहचाना जा सकता है जिसमें μ खाली विभाजन का अद्वितीय विभाजन है।

कोई तिरछी अर्धमानक टैबलॉ T आकार का λ/μ सकारात्मक पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ शुरू करके विभाजन या यंग आरेख के अनुक्रम को जन्म देता है तथा μ विभाजन के लिए होता है i उस क्रम में आगे होता है जिसका चित्र उससे प्राप्त किया गया है μ मान वाले सभी बक्सों को जोड़कर  ≤i में T यह विभाजन अंततः के बराबर हो जाता है λ इस तरह के क्रम में क्रमिक आकृतियों का कोई भी जोड़ा तिरछा आकार दे सकता है जिसके आरेख में प्रत्येक कॉलम में अधिकतम एक बॉक्स होता है ऐसी आकृतियों को क्षैतिज पट्टियां कहा जाता है विभाजनों का यह क्रम पूरी तरह से यह निर्धारित करता है कि T वास्तव में इस तरह के अनुक्रमों के रूप में अर्ध-मानक टैबलॉ को परिभाषित करता है जैसा कि मैकडोनाल्ड 1979 में यंग झॉकी को दिखाया गया है कि λ और μ तिरछी टैबलॉ वाले विभाजन को सम्मिलित करती है।

अनुप्रयोगों का अवलोकन

नई टैबलॉ में संयोजन प्रतिनिधित्व सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में कई अनुप्रयोग हैं यंग टैबलॉ की गिनती के विभिन्न तरीकों का पता लगाया गया है और यह शूर बहुपद की पहचान की ओर ले जाया गया है।

टैबलॉ पर कई संयोजी प्रारूप ज्ञात हैं जिसमें शुत्ज़ेनबर्गर पत्राचार सम्मिलित हैं लास्कोकस् और शुत्जेनबर्गर ने सभी सेमी-यंग टैबलॉ के समूह पर एक साहचर्य उत्पाद का अध्ययन किया इसे प्लैक्टिक मोनोइड नामक संरचना दी।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत में आकार की मानक यंग टैबलॉ k पर सममित समूह के अलघुकरणीय अभ्यावेदन में आधारों का वर्णन करती है तथा k अक्षर सामान्य रेखीय समूह के परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व में मानक मोनोमियल आधार GL_n अक्षर 1, 2, ..., n अपरिवर्तनीय सिद्धांत के लिए इसका महत्वपूर्ण परिणाम है ग्रासमानियन के सजातीय समन्वय वलय पर डब्ल्यूवीडी द्रव्य समूह के काम से शुरू होता है और आगे सहयोगियों कॉन्सिनी का कोराडो और क्लॉडियस प्रोसी और डेविड ईसेनबड के साथ जियान-कार्लो रोटा द्वारा खोजा गया लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम का वर्णन अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व के प्रदिश उत्पादों के अपघटन GL_n अलघुकरणीय घटकों में कुछ तिरछा अर्धमानक टैबलॉ के संदर्भ में तैयार किया गया है।

बीजगणितीय ज्यामिति के अनुप्रयोग ग्रासमानियन और ध्वज किस्मों पर शूबर्ट गणितीय के आसपास केंद्रित हैं कुछ महत्वपूर्ण कोहोलॉजी वर्ग को शुबर्ट बहुपद द्वारा दर्शाया जा सकता है और यंग टैबलॉ के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत में अनुप्रयोग

See also: Representation theory of the symmetric group

यंग आरेख जटिल संख्याओं पर सममित समूह के अलघुकरणीय निरूपण के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं वे यंग समरूपताओं को निर्दिष्ट करने का एक सुविधाजनक तरीका प्रदान करते हैं जिससे सममित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का निर्माण होता है एक निरूपण के बारे में कई तथ्यों से संबंधित आरेख निकाले जा सकते है हम दो उदाहरणों का वर्णन करते हैं जैसे एक प्रतिनिधित्व और प्रतिबंधित प्रतिनिधित्व के आयाम का निर्धारण करना दोनों ही जगहों में हम देखेंगे कि किसी निरूपण के कुछ गुणों को उसके आरेख का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है जो यंग टैबलॉ में सममित समूह के उपयोग में सम्मिलित हैं प्रमात्रा रसायन विज्ञान परमाणुओं अणुओं और ठोस पदार्थों का अध्ययन करता है यंग आरेख सामान्य रेखीय समूह के अलघुकरणीय बहुपद अभ्यावेदन को भी प्रचलित करते हैं GL_n जब उनके पास अधिक से अधिक n गैर-खाली पंक्तियां हों या विशेष रैखिक समूह के अलघुकरणीय निरूपण SL_n जब उनके पास अधिक से अधिक हो तो n − 1 गैर-खाली पंक्तियाँ या विशेष एकात्मक समूह के अलघुकरणीय जटिल निरूपण SU_n फिर जब उनके पास अधिक से अधिक n − 1 गैर-खाली पंक्तियाँ हों इन जगहों में प्रविष्टियों के साथ अर्धमानक टैबलॉ n मानक टैबलॉ के जगह केंद्रीय भूमिका निभाएं जो विशेष रूप से यह उन टैबलॉ की संख्या के प्रतिनिधित्व के आयाम को निर्धारित करती है।

एक प्रतिनिधित्व का आयाम

Main article: Hook length formula

Hook-lengths of the boxes for the partition 10 = 5 + 4 + 1

अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व का आयाम π_λ सममित समूह का S_n एक विभाजन के अनुरूप λ का n विभिन्न मानक यंग टैबलॉ की संख्या के बराबर है जो प्रतिनिधित्व के आरेख से प्राप्त की जा सकती है इस संख्या की गणना हुक लंबाई सूत्र द्वारा की जा सकती है।

एक हुक लंबाई x यंग आरेख में Y(λ) आकार का λ उन बक्सों की संख्या है जो इसके दाईं ओर एक ही पंक्ति में हैं और इसके नीचे एक ही कॉलम में वे स्थित हैं साथ ही एक बॉक्स के लिए हुक-लम्बाई सूत्र द्वारा एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व का आयाम है n! प्रतिनिधित्व के आरेख में सभी बक्से की हुक लंबाई के उत्पाद से विभाजित किया जाता है जैसे

$\dim \pi _{\lambda }={\frac {n!}{\prod _{x\in Y(\lambda )}\operatorname {hook} (x)}}.$तब

दाईं ओर का आंकड़ा विभाजन 10 = 5 + 4 + 1 के आरेख में सभी बक्सों के लिए हुक-लंबाई दिखाता है इस प्रकार

$\dim \pi _{\lambda }={\frac {10!}{7\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1}}=288.$

इसी तरह अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व का आयाम W(λ) का GL_r n के विभाजन λ के अनुरूप अधिकतम r भागों के साथ आकार λ की अर्ध-मानक यंग टैबलॉ की संख्या है केवल 1 से r तक की प्रविष्टियाँ हैं जो हुक-लंबाई सूत्र द्वारा दी गई है

$\dim W(\lambda )=\prod _{(i,j)\in Y(\lambda )}{\frac {r+j-i}{\operatorname {hook} (i,j)}},$

जहां सूचकांक मैं एक बॉक्स की पंक्ति और जे कॉलम देता हूं उदाहरण के लिए विभाजन (5,4,1) के लिए हम इसी प्रतिनिधित्व के आयाम के रूप में प्राप्त करते हैं GL₇ पंक्तियों द्वारा बक्सों को पार करता है जो इस प्रकार है

$\dim W(\lambda )={\frac {7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 5}{7\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1}}=66528.$

प्रतिबंधित प्रतिनिधित्व

इसमें सममित समूह का एक प्रतिनिधित्व n तत्व S_n भी सममित समूह का प्रतिनिधित्व है n − 1 तत्व S_n−1.

का एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व S_n के लिए अलघुकरणीय नहीं हो सकता है S_n−1. इसके अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग हो सकता है जिसके लिए यह अप्रासंगिक हैं S_n−1. इन अभ्यावेदन को प्रतिबंधित प्रतिनिधित्व का कारक कहा जाता है

एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व के प्रतिबंधित प्रतिनिधित्व के इस अपघटन को निर्धारित करने का प्रश्न_n एक विभाजन के अनुरूप λ का n का उत्तर इस प्रकार है जो एक यंग आरेख का समूह बनाता है जिसे झॉकी आरेख से प्राप्त किया जा सकता है λ सिर्फ एक बॉक्स से हटाकर जो इसकी पंक्ति और कॉलम दोनों के अंत में होना चाहिए प्रतिबंधित प्रतिनिधित्व अप्रासंगिक अभ्यावेदन के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित हो जाता है S_n−1 उन आरेखों के अनुरूप प्रत्येक योग में एक बार होता है।

यह भी देखें

• प्रायोगिक पत्राचार।
• सुरक्षित आपूर्ति।

संदर्भ

• William Fulton. Young Tableaux, with Applications to Representation Theory and Geometry. Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-56724-6.
• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics (in British English). Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103. Lecture 4
• Howard Georgi, Lie Algebras in Particle Physics, 2nd Edition - Westview
• Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979. viii+180 pp. ISBN 0-19-853530-9 MR553598
• Laurent Manivel. Symmetric Functions, Schubert Polynomials, and Degeneracy Loci. American Mathematical Society.
• Jean-Christophe Novelli, Igor Pak, Alexander V. Stoyanovskii, "A direct bijective proof of the Hook-length formula", Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science 1 (1997), pp. 53–67.
• Bruce E. Sagan. The Symmetric Group. Springer, 2001, ISBN 0-387-95067-2
• Vinberg, E.B. (2001) [1994], "यंग टैबलॉ", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Yong, Alexander (February 2007). "What is...a Young Tableau?" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 54 (2): 240–241. Retrieved 2008-01-16.
• Predrag Cvitanović, Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups. Princeton University Press, 2008.

बाहरी संबंध

• Eric W. Weisstein. "Ferrers Diagram". From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Eric W. Weisstein. "Young Tableau." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Semistandard tableaux entry in the FindStat database
• Standard tableaux entry in the FindStat database