बंडल मानचित्र: Difference between revisions

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गणित में, '''बंडल मानचित्र''' या बंडल संरूप एक ऐसा मानचित्र है जो फाइबर बंडलों के [[श्रेणी (गणित)|श्रेणी]] में एक आकारिता होता है।
गणित में, '''बंडल मानचित्र''' फाइबर बंडल (तन्तु गठरी) की श्रेणी में एक आकारिता होता है। इसके दो अलग-अलग, परंतु मजबूत रूप में संबंधित, बंडल मानचित्र   के भाव होते हैं, जो इस पर निर्भर करते हैं कि क्या सवाल में दिए गए फाइबर बंडलों के पास एक सामान्य आधार समष्टि है। इसके अतिरिक्त, यह केवल उपलब्ध फाइबर बंडलों की कौन सी श्रेणी पर विचार किया जा रहा है, इसके आधार पर कई विभिन्न रूपांतरण हैं। पहले तीन खंडों में, हम संस्थानिक समष्टियो की श्रेणी में सामान्य फाइबर बंडलों को विचार करेंगे। पुनः  चौथे खंड में, कुछ अन्य उदाहरण दिए जाएंगे।


बंडल मानचित्र के दो भिन्न और गहरे संबंधित अर्थ होते हैं, जो इस बात पर निर्भर करते हैं कि क्या विचार में आने वाले फाइबरबंडलों के पास एक समान बेस स्पेस होता है। इसी तरह, जिन भी श्रेणी के फाइबरबंडल विचार किए जा रहे होते हैं, उन परिवर्तनों के साथ कई विविधताएं हो सकती हैं। पहले तीन खंडों में, हम शीर्षकीय रूप से संस्थानिक स्पेस के श्रेणी में सामान्य फाइबर बंडलों को विचार करेंगे। तब चौथे खंड में, कुछ अन्य उदाहरण दिए जाएंगे।
==सामान्य आधार के ऊपर बंडल मानचित्र==
यदि <math>\pi_E\colon E \to M</math> और <math>\pi_F\colon F \to M</math> एक स्थान ''M'' पर फाइबर बंडल हों, तो एक बंडल मानचित्र  'E' से 'F' 'पर 'M' के लिए एक नियमित मानचित्र <math>\varphi\colon E \to F</math> होती है जिसका पालमूल <math> \pi_F\circ\varphi = \pi_E </math> माना जाता है। अर्थात, यह आरेख होता है:
[[Image:BundleMorphism-03.svg|120px|center]][[समघटक आरेखण|समघटक आरेख]] परिपथ में सहेजता है। समतुल्य रूप से, किसी भी बिंदु ''x'' के लिए, <math>\varphi</math> नियमित मानचित्र के बिंदु <math>E_x= \pi_E^{-1}({x})</math> को बिंदु <math>F_x= \pi_F^{-1}({x})</math> परिपथ में आरेखित करता है।


==सामान्य बेस के ऊपर बंडल मानचित्र==
==रेशा बंडलों की सामान्य आकृतियाँ==
यदि <math>\pi_E\colon E \to M</math> और <math>\pi_F\colon F \to M</math> एक स्थान ''M'' पर फाइबर बंडल हैं, तो ''E'' से ''F'' तक एक बंडल मानचित्र एक ऐसा नियमित चित्र  <math>\varphi\colon E \to F</math> है जिसका निम्नलिखित रूप <math>\pi_F\circ\varphi = \pi_E</math> होता है अर्थात आरेख
यदि <math>\pi_{E} : E \to M</math> और <math>\pi_{F} : F \to N</math> स्थानों ''M'' और ''N'' पर फाइबर बंडल हों, तो एक नियमित नक्शा <math>\varphi : E \to F</math> एक बंडल मानचित्र  कहलाता है अगर एक ऐसा नियमित नक्शा <math>f : M \to N</math> हो जिससे चित्रण होता है:
[[Image:BundleMorphism-03.svg|120px|center]]परिवर्तित होता है। बंडल मानचित्र, M में किसी भी बिंदु x के लिए, <math>\varphi</math> फाइबर <math>E_x= \pi_E^{-1}(\{x\})</math> को आरेखित करता है फाइबर से x के ऊपर E का <math>F_x= \pi_F^{-1}(\{x\})</math> F के ऊपर x के साथ संबंधित रूप से आरेखित करता है।
[[Image:BundleMorphism-04.svg|150px|center]]समतुल्यता का चित्रण, अर्थात् <math>\pi_F\circ\varphi = f\circ\pi_E</math> होता है। दूसरे शब्दों में, <math>\varphi</math> फाइबर-संरक्षणकारी होता है, और ''f'' ''E'' के फाइबरों की जगह के नक्शे पर उत्पन्न होने वाला मानचित्र  होता है: क्योंकि <math>\pi_{E}</math> प्रतिकूलक होता है, इसलिए <math>\varphi</math> द्वारा अनुबंधित किया जाता है। एक दिए गए ''f'' के लिए, ऐसा एक बंडल मानचित्र  <math>\varphi</math> कहलाता है जिसे फाइबर कवरिंग f'कहा जाता है।


==फाइबर बंडलों की सामान्य आकृतियाँ==
यदि π<sub>''E''</sub>:''E''→ ''M'' और π<sub>''F''</sub>:''F''→ ''N'' एक-दूसरे स्थान ''M'' और ''N'' पर फाइबर बंडल हों तब एक निरंतर मानचित्र <math>\varphi : E \to F</math> जो कि बंडल ''E'' से बंडल ''F'' तक है और जिसमें एक निरंतर मानचित्र ''f'':''M''→ ''N'' ऐसा है जिससे निम्नलिखित आरेख बना हो:
[[Image:BundleMorphism-04.svg|150px|center]]इसका अर्थ है प्रत्याय, अर्थात् <math> \pi_F\circ\varphi = f\circ\pi_E </math>, दूसरे शब्दों में, <math>\varphi</math> फाइबर संरक्षण, है, और ''f'' ई के फाइबर के अंतर्गत स्थान पर उत्पन्न होने वाला आरेख है: क्योंकि π<sub>''E''</sub> प्रत्यायी है, ''f'' <math>\varphi</math> द्वारा अद्वितीय रूप से निर्धारित होता है। एक दिए गए ''f'' के लिए, ऐसा एक बंडल आरेख <math>\varphi</math> कहलाता है जो f को कवरिंग करता है।
==दो धारणाओं के बीच संबंध==
==दो धारणाओं के बीच संबंध==
"यह परिभाषाओं से सीधे प्राप्त होता है कि M पर एक बंडल मानचित्र वही वस्तु है जो M के विशेषण को आच्छादन करने वाला एक बंडल मानचित्र है।"
परिभाषाओं से सीधे रूप में यह पाया जा सकता है कि ''M'' पर एक बंडल मानचित्र   पहले मान में वही बात है जो ''M'' के पहचान मानचित्र  को कवर करता है।


"विपरीत रूप से, सामान्य बंडल मानचित्रों को निश्चित बेस स्थान पर बंडल मानचित्रों में पुलबैक बंडल के धारणा का उपयोग करके घटाया जा सकता है, यदि π<sub>''F''</sub>: ''F'' → ''N'' एक ''N'' पर फाइबर बंडल है और ''f'':''M'' → ''N'' एक नियमित मानचित्र है, तो ''fF'' को ''F'' का पुलबैक बंडल कहते हैं जो ''M'' पर एक फाइबर बंडल होता है, जिसका फाइबर ''x'' पर (''fF'')<sub>''x''</sub> = ''F''<sub>''f''(''x'')</sub> दिया गया होता है। तब यह फालोट उत्पन्न होता है कि ''E'' से ''F'' तक किसी भी बंडल मानचित्र को ''M'' पर ''f''<sup>*</sup>''F'' तक किसी भी बंडल मानचित्र के रूप में कवर करना एक जैसा ही होता है।"
विपरीत रूप से, सामान्य बंडल मानचित्र  को निश्चित आधार अंतर्वाहन के उपयोग से एक मुख्य आधार स्थल पर बंडल मानचित्र  में घटाया जा सकता है, जिसकी विन्यासिकता की नोटियन के द्वारा होता है। यदि <math>\pi_{F}:F\rightarrow N</math> एक फाइबर बंडल ''N'' पर हो और <math>f:M\rightarrow N</math> एक नियमित मान हो, तो "f की पुलबैक" ''F'' का एक फाइबर बंडल ''M'' पर होता है जिसका फाइबर ''x'' पर इस प्रकार होता है (''f''<sup>*</sup>''F'')<sub>''x''</sub> = ''F''<sub>''f''(''x'')</sub>। यहाँ तक पहुँचा जाता है कि एक ''M'' पर ''f'' की कवरिंग वाला बंडल मानचित्र ''E'' से ''F'' की तरह कुछ होने के बराबर है।


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==विकल्प और सामान्यीकरण==
==विकल्प और सामान्यीकरण==
बंडल मानचित्र की सामान्य अवधारणा में दो प्रकार की भिन्नताएँ हैं।
बंडल मानचित्र की सामान्य अवधारणा में दो प्रकार की भिन्नताएँ हैं।


"पहले, व्यक्तियों की अलग श्रेणी में फाइबर बंडल का विचार किया जा सकता है। इससे, उदाहरण के लिए, स्मूथ मानचित्र के ऊपर स्मूथ फाइबर बंडलों के बीच एक '''स्मूथ बंडल मानचित्र''' के धारणा तक पहुंचा जाता है।"
"पहले, व्यक्तियों की अलग श्रेणी में रेशा बंडल का विचार किया जा सकता है। इससे, उदाहरण के लिए, स्मूथ मानचित्र के ऊपर स्मूथ रेशा बंडलों के बीच एक स्मूथ बंडल मानचित्र के धारणा तक पहुंचा जाता है।"


"दूसरे, फाइबर बंडलों में अतिरिक्त संरचना के साथ विचार किया जा सकता है, और इन फाइबर को सुरक्षित करने वाले बंडल मानचित्रों पर ध्यान केंद्रित किया जा सकता है। इससे, उदाहरण के लिए, सदिश स्थानों के साथ फाइबर बंडलों के बीच एक सदिश '''बंडल समान्तर''' की धारणा तक पहुंचा जाता है, जिसमें बंडल मानचित्र ''φ'' को प्रत्येक फाइबर पर एक रैखिक मानचित्र के रूप में होने की आवश्यकता होती है। इस स्थिति में, ऐसे बंडल मानचित्र ''φ'' को सदिश बंडल होम(''E'', ''f''<sup>*</sup>''F'') का भी एक [[सेक्शन (फाइबर बंडल)|सेक्शन]] माना जा सकता है, जिसका मानचित्र होम (''E<sub>x</sub>'', ''F''<sub>''f''(''x'')</sub>) होता है, जो [[रैखिक चित्र|रैखिक मानचित्र]] को 'E<sub>x</sub>' से ''F''<sub>''f''(''x'')</sub> भी दर्शाया गया है।
दूसरा, हम फाइबरों में अतिरिक्त संरचना वाले फाइबर बंडल को भी विचार कर सकते हैं, और केवल उन बंडल मानचित्र पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं जो इस संरचना को संरक्षित रखते हैं। इससे, उदाहरण के लिए, बंडल होमोमॉर्फिज्म की धारणा आती है जिसमें फाइबर विभाग सदिश समष्टि होते हैं, और एक बंडल मानचित्र ''φ'' को हर फाइबर पर एक रैखिक मानचित्र माना जाता है। इस स्थिति में, ऐसे एक बंडल मानचित्र   ''φ'' को व्यूह भी देखा जा सकता है जो बिंदु व्यूह Hom(''E'',''f<sup>*</sup>F'') के एक अनुच्छेद के रूप में समझा जा सकता है, जिसका बिंदु व्यूह होम (''E<sub>x</sub>'',''F''<sub>''f''(''x'')</sub>) (जिसे ''L''(''E<sub>x</sub>'',''F''<sub>''f''(''x'')</sub>) भी लिखा जाता है) होता है, जो ''E<sub>x</sub>'' से ''F''<sub>''f''(''x'')</sub> की रैखिक मानचित्र होते हैं।


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गणित में, बंडल मानचित्र फाइबर बंडल (तन्तु गठरी) की श्रेणी में एक आकारिता होता है। इसके दो अलग-अलग, परंतु मजबूत रूप में संबंधित, बंडल मानचित्र के भाव होते हैं, जो इस पर निर्भर करते हैं कि क्या सवाल में दिए गए फाइबर बंडलों के पास एक सामान्य आधार समष्टि है। इसके अतिरिक्त, यह केवल उपलब्ध फाइबर बंडलों की कौन सी श्रेणी पर विचार किया जा रहा है, इसके आधार पर कई विभिन्न रूपांतरण हैं। पहले तीन खंडों में, हम संस्थानिक समष्टियो की श्रेणी में सामान्य फाइबर बंडलों को विचार करेंगे। पुनः चौथे खंड में, कुछ अन्य उदाहरण दिए जाएंगे।

सामान्य आधार के ऊपर बंडल मानचित्र

यदि और एक स्थान M पर फाइबर बंडल हों, तो एक बंडल मानचित्र 'E' से 'F' 'पर 'M' के लिए एक नियमित मानचित्र होती है जिसका पालमूल माना जाता है। अर्थात, यह आरेख होता है:

BundleMorphism-03.svg

समघटक आरेख परिपथ में सहेजता है। समतुल्य रूप से, किसी भी बिंदु x के लिए, नियमित मानचित्र के बिंदु को बिंदु परिपथ में आरेखित करता है।

रेशा बंडलों की सामान्य आकृतियाँ

यदि और स्थानों M और N पर फाइबर बंडल हों, तो एक नियमित नक्शा एक बंडल मानचित्र कहलाता है अगर एक ऐसा नियमित नक्शा हो जिससे चित्रण होता है:

BundleMorphism-04.svg

समतुल्यता का चित्रण, अर्थात् होता है। दूसरे शब्दों में, फाइबर-संरक्षणकारी होता है, और f E के फाइबरों की जगह के नक्शे पर उत्पन्न होने वाला मानचित्र होता है: क्योंकि प्रतिकूलक होता है, इसलिए द्वारा अनुबंधित किया जाता है। एक दिए गए f के लिए, ऐसा एक बंडल मानचित्र कहलाता है जिसे फाइबर कवरिंग f'कहा जाता है।

दो धारणाओं के बीच संबंध

परिभाषाओं से सीधे रूप में यह पाया जा सकता है कि M पर एक बंडल मानचित्र पहले मान में वही बात है जो M के पहचान मानचित्र को कवर करता है।

विपरीत रूप से, सामान्य बंडल मानचित्र को निश्चित आधार अंतर्वाहन के उपयोग से एक मुख्य आधार स्थल पर बंडल मानचित्र में घटाया जा सकता है, जिसकी विन्यासिकता की नोटियन के द्वारा होता है। यदि एक फाइबर बंडल N पर हो और एक नियमित मान हो, तो "f की पुलबैक" F का एक फाइबर बंडल M पर होता है जिसका फाइबर x पर इस प्रकार होता है (f*F)x = Ff(x)। यहाँ तक पहुँचा जाता है कि एक M पर f की कवरिंग वाला बंडल मानचित्र E से F की तरह कुछ होने के बराबर है।

विकल्प और सामान्यीकरण

बंडल मानचित्र की सामान्य अवधारणा में दो प्रकार की भिन्नताएँ हैं।

"पहले, व्यक्तियों की अलग श्रेणी में रेशा बंडल का विचार किया जा सकता है। इससे, उदाहरण के लिए, स्मूथ मानचित्र के ऊपर स्मूथ रेशा बंडलों के बीच एक स्मूथ बंडल मानचित्र के धारणा तक पहुंचा जाता है।"

दूसरा, हम फाइबरों में अतिरिक्त संरचना वाले फाइबर बंडल को भी विचार कर सकते हैं, और केवल उन बंडल मानचित्र पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं जो इस संरचना को संरक्षित रखते हैं। इससे, उदाहरण के लिए, बंडल होमोमॉर्फिज्म की धारणा आती है जिसमें फाइबर विभाग सदिश समष्टि होते हैं, और एक बंडल मानचित्र φ को हर फाइबर पर एक रैखिक मानचित्र माना जाता है। इस स्थिति में, ऐसे एक बंडल मानचित्र φ को व्यूह भी देखा जा सकता है जो बिंदु व्यूह Hom(E,f*F) के एक अनुच्छेद के रूप में समझा जा सकता है, जिसका बिंदु व्यूह होम (Ex,Ff(x)) (जिसे L(Ex,Ff(x)) भी लिखा जाता है) होता है, जो Ex से Ff(x) की रैखिक मानचित्र होते हैं।


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