क्लोज्ड मैनिफोल्ड: Difference between revisions

Latest revision as of 19:01, 3 October 2023

गणित में, क्लोज्ड मैनिफोल्ड बिना सीमा वाला मैनिफोल्ड है, जो कॉम्पैक्ट होता है। इसकी तुलना में, संवृत मैनिफोल्ड बिना सीमा वाला मैनिफोल्ड है, जिसमें केवल गैर-कॉम्पैक्ट घटक होते हैं।

उदाहरण

एकमात्र जुड़ा हुआ एक-आयामी उदाहरण वृत्त है। वृत्त, टोरस और क्लेन बोतल सभी क्लोज्ड द्वि-आयामी मैनिफोल्ड हैं। वास्तविक प्रक्षेप्य समिष्ट RPⁿ क्लोज्ड 2n-आयामी मैनिफोल्ड है। जटिल प्रक्षेप्य समिष्ट CPⁿ क्लोज्ड 2n-आयामी मैनिफोल्ड है।^[1] लाइन क्लोज्ड नहीं होती क्योंकि वह सघन नहीं है। क्लोज्ड डिस्क कॉम्पैक्ट द्वि-आयामी मैनिफोल्ड है, लेकिन यह क्लोज्ड नहीं है क्योंकि इसकी सीमा होती है।

गुण

प्रत्येक क्लोज्ड मैनिफ़ोल्ड यूक्लिडियन निकट का प्रतिगमन है और इस प्रकार इसमें परिमित रूप से समरूपता समूह उत्पन्न होते हैं।^[2]

यदि $M$ क्लोज्ड जुड़ा हुआ n-मैनिफोल्ड है, तो n-वें होमोलॉजी समूह $H_{n}(M;\mathbb {Z} )$ , $\mathbb {Z}$ या 0 है, यह इस पर निर्भर करता है कि $M$ उन्मुख है या नहीं है।^[3] इसके अतिरिक्त, (n-1)-वें होमोलॉजी समूह $H_{n-1}(M;\mathbb {Z} )$ का टोशन उपसमूह 0 या $\mathbb {Z} _{2}$ है, जो इस पर निर्भर करता है कि $M$ उन्मुख है या नहीं है। यह सार्वत्रिक गुणांक प्रमेय के अनुप्रयोग से अनुसरण करता है।^[4]

माना $R$ क्रमविनिमेय वलय है। मौलिक वर्ग $[M]\in H_{n}(M;R)$ के साथ $R$ -ओरिएंटेबल $M$ के लिए, $D(\alpha )=[M]\cap \alpha$ द्वारा परिभाषित मानचित्र $D:H^{k}(M;R)\to H_{n-k}(M;R)$ सभी k के लिए समरूपता है। यह पोंकारे द्वैत है।^[5] विशेष रूप से, प्रत्येक क्लोज्ड मैनिफोल्ड $\mathbb {Z} _{2}$ ओरिएंटेबल है। अतः सदैव समरूपता $H^{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\cong H_{n-k}(M;\mathbb {Z} _{2})$ होती है।

मैनिफोल्ड खोलें

कनेक्टेड मैनिफोल्ड के लिए, "संवृत" "बिना सीमा और "गैर-कॉम्पैक्ट" के बराबर है, लेकिन डिस्कनेक्ट किए गए मैनिफोल्ड के लिए, संवृत अधिक कठोर है। उदाहरण के लिए, वृत्त और रेखा का असंबद्ध मिलन गैर-संहत होता है क्योंकि रेखा गैर-संहत होती है, लेकिन यह संवृत मैनिफोल्ड नहीं है, क्योंकि वृत्त (इसके घटकों में से एक) संहत होता है।

लैंग्वेज का दुरुपयोग

अधिकांश पुस्तकें सामान्यतः मैनिफोल्ड को ऐसे समिष्ट के रूप में परिभाषित करती हैं, जो समिष्ट रूप से, यूक्लिडियन समिष्ट (कुछ अन्य विधियाँ स्थितियों के साथ) के लिए होम्योमॉर्फिक है, इस प्रकार इस परिभाषा के अनुसार मैनिफोल्ड में इसकी सीमा सम्मिलित नहीं होती है, जब यह बड़े समिष्ट में एम्बेडेड होता है। चूँकि, यह परिभाषा क्लोज्ड डिस्क जैसी कुछ मूलभूत वस्तुओं को कवर नहीं करती है, इसलिए लेखक कभी-कभी सीमा के साथ मैनिफोल्ड को परिभाषित करते हैं और सीमा के संदर्भ के बिना अपमानजनक रूप से मैनिफोल्ड कहते हैं। लेकिन सामान्यतः, यदि मैनिफोल्ड के लिए सामान्य परिभाषा का उपयोग किया जाता है, तो 'सघन मैनिफोल्ड' (इसकी अंतर्निहित टोपोलॉजी के संबंध में सघन) को समानार्थी रूप से 'क्लोज्ड मैनिफोल्ड' के लिए उपयोग किया जा सकता है।

क्लोज्ड मैनिफोल्ड की धारणा क्लोज्ड समुच्चय से असंबंधित है। रेखा समतल और मैनिफोल्ड का क्लोज्ड उपसमुच्चय है, लेकिन क्लोज्ड मैनिफोल्ड नहीं है।

भौतिकी में उपयोग

ब्रह्मांड के आकार की धारणा ब्रह्मांड को क्लोज्ड मैनिफोल्ड के रूप में संदर्भित कर सकती है, लेकिन अधिक संभावना यह है कि ब्रह्मांड निरंतर धनात्मक रिक्की वक्रता के मैनिफोल्ड है।

यह भी देखें

टेम मैनिफोल्ड

संदर्भ

↑ See Hatcher 2002, p.231
↑ See Hatcher 2002, p.536
↑ See Hatcher 2002, p.236
↑ See Hatcher 2002, p.238
↑ See Hatcher 2002, p.250

Michael Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Volume 1. 3rd edition with corrections. Publish or Perish, Houston TX 2005, ISBN 0-914098-70-5.
Allen Hatcher, Algebraic Topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.

[1] See Hatcher 2002, p.231

[2] See Hatcher 2002, p.536

[3] See Hatcher 2002, p.236

[4] See Hatcher 2002, p.238

[5] See Hatcher 2002, p.250

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-{{RefImprove|date=March 2023}}{{broader|Classification of manifolds#Point-set}}
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-गणित में, एक बंद [[ कई गुना ]] एक सीमा वाला मैनिफोल्ड मैनिफोल्ड है जो [[ सघन स्थान ]] है।
+गणित में, '''क्लोज्ड [[ कई गुना |मैनिफोल्ड]]''' बिना सीमा वाला मैनिफोल्ड है, जो [[ सघन स्थान |कॉम्पैक्ट]] होता है। इसकी तुलना में, संवृत मैनिफोल्ड बिना सीमा वाला मैनिफोल्ड है, जिसमें केवल गैर-कॉम्पैक्ट घटक होते हैं।
-इसकी तुलना में, ओपन मैनिफोल्ड बिना सीमा वाला मैनिफोल्ड है जिसमें केवल ''गैर-कॉम्पैक्ट'' घटक होते हैं।
 == उदाहरण ==
-एकमात्र [[ जुड़ा हुआ स्थान ]] एक-आयामी उदाहरण एक [[वृत्त]] है।
+एकमात्र [[ जुड़ा हुआ स्थान |जुड़ा हुआ]] एक-आयामी उदाहरण [[वृत्त]] है। वृत्त, [[ टोरस्र्स |टोरस]] और [[क्लेन बोतल]] सभी क्लोज्ड द्वि-आयामी मैनिफोल्ड हैं। [[वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान|वास्तविक प्रक्षेप्य समिष्ट]] '''RP'''<sup>n</sup> क्लोज्ड 2n-आयामी मैनिफोल्ड है। [[जटिल प्रक्षेप्य स्थान|जटिल प्रक्षेप्य समिष्ट]] '''CP'''<sup>n</sup> क्लोज्ड 2n-आयामी मैनिफोल्ड है।<ref>See Hatcher 2002, p.231</ref> [[ असली लाइन |लाइन]] क्लोज्ड नहीं होती क्योंकि वह सघन नहीं है। [[बंद डिस्क|क्लोज्ड डिस्क]] कॉम्पैक्ट द्वि-आयामी मैनिफोल्ड है, लेकिन यह क्लोज्ड नहीं है क्योंकि इसकी सीमा होती है।
-गोला, [[ टोरस्र्स ]] और [[क्लेन बोतल]] सभी बंद द्वि-आयामी मैनिफोल्ड हैं। [[वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान]] आरपी<sup>n</sup> एक बंद n-आयामी मैनिफोल्ड है। [[जटिल प्रक्षेप्य स्थान]] सी.पी<sup>n</sup> एक बंद 2n-आयामी मैनिफोल्ड है।<ref>See Hatcher 2002, p.231</ref>
-एक [[ असली लाइन ]] बंद नहीं है क्योंकि यह कॉम्पैक्ट नहीं है।
-एक [[बंद डिस्क]] एक कॉम्पैक्ट द्वि-आयामी मैनिफोल्ड है, लेकिन यह बंद नहीं है क्योंकि इसकी एक सीमा होती है।
 == गुण ==
-प्रत्येक बंद मैनिफ़ोल्ड एक यूक्लिडियन पड़ोस का प्रतिगमन है और इस प्रकार इसमें परिमित रूप से समरूपता समूह उत्पन्न होते हैं।<ref>See Hatcher 2002, p.536</ref> अगर <math>M</math> एक बंद जुड़ा हुआ एन-मैनिफोल्ड, एन-वें होमोलॉजी समूह है <math>H_{n}(M;\mathbb{Z})</math> है <math>\mathbb{Z}</math> या 0 इस पर निर्भर करता है कि क्या <math>M</math> उन्मुख है या नहीं.<ref>See Hatcher 2002, p.236</ref> इसके अलावा, (n-1)-वें होमोलॉजी समूह का मरोड़ उपसमूह <math>H_{n-1}(M;\mathbb{Z}) </math> 0 है या <math>\mathbb{Z}_2</math> इस पर निर्भर <math>M</math> उन्मुख है या नहीं. यह सार्वत्रिक गुणांक प्रमेय के अनुप्रयोग से अनुसरण करता है।<ref>See Hatcher 2002, p.238</ref>
+प्रत्येक क्लोज्ड मैनिफ़ोल्ड यूक्लिडियन निकट का प्रतिगमन है और इस प्रकार इसमें परिमित रूप से समरूपता समूह उत्पन्न होते हैं।<ref>See Hatcher 2002, p.536</ref>
-होने देना <math>R</math> एक क्रमविनिमेय वलय बनें। के लिए <math>R</math>समायोज्य <math>M</math> साथ
-मौलिक वर्ग <math>[M]\in H_{n}(M;R) </math>, वो नक्शा <math>D: H^k(M;R) \to H_{n-k}(M;R)</math> द्वारा परिभाषित <math>D(\alpha)=[M]\cap\alpha</math> सभी k के लिए एक समरूपता है। यह पोंकारे द्वैत है.<ref>See Hatcher 2002, p.250</ref> विशेष रूप से, प्रत्येक बंद मैनिफोल्ड है <math>\mathbb{Z}_2</math>-ओरिएंटेबल. अतः सदैव एक समरूपता होती है  <math>H^k(M;\mathbb{Z}_2) \cong H_{n-k}(M;\mathbb{Z}_2)</math>.
-== कई गुना खोलें ==
+यदि <math>M</math> क्लोज्ड जुड़ा हुआ n-मैनिफोल्ड है, तो n-वें होमोलॉजी समूह <math>H_{n}(M;\mathbb{Z})</math>, <math>\mathbb{Z}</math> या 0 है, यह इस पर निर्भर करता है कि <math>M</math> उन्मुख है या नहीं है।<ref>See Hatcher 2002, p.236</ref> इसके अतिरिक्त, (n-1)-वें होमोलॉजी समूह <math>H_{n-1}(M;\mathbb{Z}) </math> का टोशन उपसमूह 0 या <math>\mathbb{Z}_2</math> है, जो इस पर निर्भर करता है कि <math>M</math> उन्मुख है या नहीं है। यह सार्वत्रिक गुणांक प्रमेय के अनुप्रयोग से अनुसरण करता है।<ref>See Hatcher 2002, p.238</ref>
-कनेक्टेड मैनिफोल्ड के लिए, ओपन बिना सीमा और गैर-कॉम्पैक्ट के बराबर है, लेकिन डिस्कनेक्ट किए गए मैनिफोल्ड के लिए, ओपन अधिक मजबूत है। उदाहरण के लिए, एक वृत्त और एक रेखा का असंबद्ध मिलन गैर-संहत होता है क्योंकि एक रेखा गैर-संहत होती है, लेकिन यह एक खुला मैनिफोल्ड नहीं है क्योंकि वृत्त (इसके घटकों में से एक) संहत होता है।
+माना <math>R</math> क्रमविनिमेय वलय है। मौलिक वर्ग <math>[M]\in H_{n}(M;R) </math> के साथ <math>R</math>-ओरिएंटेबल <math>M</math> के लिए, <math>D(\alpha)=[M]\cap\alpha</math> द्वारा परिभाषित मानचित्र <math>D: H^k(M;R) \to H_{n-k}(M;R)</math> सभी k के लिए समरूपता है। यह पोंकारे द्वैत है।<ref>See Hatcher 2002, p.250</ref> विशेष रूप से, प्रत्येक क्लोज्ड मैनिफोल्ड <math>\mathbb{Z}_2</math> ओरिएंटेबल है। अतः सदैव समरूपता <math>H^k(M;\mathbb{Z}_2) \cong H_{n-k}(M;\mathbb{Z}_2)</math> होती है।
-== भाषा का दुरुपयोग ==
+== मैनिफोल्ड खोलें ==
-अधिकांश पुस्तकें आम तौर पर मैनिफोल्ड को एक ऐसे स्थान के रूप में परिभाषित करती हैं, जो स्थानीय रूप से, [[ यूक्लिडियन स्थान ]] (कुछ अन्य तकनीकी स्थितियों के साथ) के लिए [[ होम्योमॉर्फिक ]] है, इस प्रकार इस परिभाषा के अनुसार एक मैनिफोल्ड में इसकी सीमा शामिल नहीं होती है जब यह एक बड़े स्थान में एम्बेडेड होता है। हालाँकि, यह परिभाषा बंद डिस्क जैसी कुछ बुनियादी वस्तुओं को कवर नहीं करती है, इसलिए लेखक कभी-कभी सीमा के साथ मैनिफोल्ड को परिभाषित करते हैं और सीमा के संदर्भ के बिना अपमानजनक रूप से मैनिफोल्ड कहते हैं। लेकिन आम तौर पर, यदि मैनिफोल्ड के लिए सामान्य परिभाषा का उपयोग किया जाता है, तो 'कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड' (इसकी अंतर्निहित टोपोलॉजी के संबंध में कॉम्पैक्ट) को समानार्थी रूप से 'क्लोज्ड मैनिफोल्ड' के लिए उपयोग किया जा सकता है।
+कनेक्टेड मैनिफोल्ड के लिए, "संवृत" "बिना सीमा और "गैर-कॉम्पैक्ट" के बराबर है, लेकिन डिस्कनेक्ट किए गए मैनिफोल्ड के लिए, संवृत अधिक कठोर है। उदाहरण के लिए, वृत्त और रेखा का असंबद्ध मिलन गैर-संहत होता है क्योंकि रेखा गैर-संहत होती है, लेकिन यह संवृत मैनिफोल्ड नहीं है, क्योंकि वृत्त (इसके घटकों में से एक) संहत होता है।
-एक बंद मैनिफोल्ड की धारणा एक [[बंद सेट]] से असंबंधित है। एक रेखा समतल का एक बंद उपसमुच्चय और एक मैनिफोल्ड है, लेकिन एक बंद मैनिफोल्ड नहीं है।
+== लैंग्वेज का दुरुपयोग ==
+अधिकांश पुस्तकें सामान्यतः मैनिफोल्ड को ऐसे समिष्ट के रूप में परिभाषित करती हैं, जो समिष्ट रूप से, [[ यूक्लिडियन स्थान |यूक्लिडियन समिष्ट]] (कुछ अन्य विधियाँ स्थितियों के साथ) के लिए [[ होम्योमॉर्फिक |होम्योमॉर्फिक]] है, इस प्रकार इस परिभाषा के अनुसार मैनिफोल्ड में इसकी सीमा सम्मिलित नहीं होती है, जब यह बड़े समिष्ट में एम्बेडेड होता है। चूँकि, यह परिभाषा क्लोज्ड डिस्क जैसी कुछ मूलभूत वस्तुओं को कवर नहीं करती है, इसलिए लेखक कभी-कभी सीमा के साथ मैनिफोल्ड को परिभाषित करते हैं और सीमा के संदर्भ के बिना अपमानजनक रूप से मैनिफोल्ड कहते हैं। लेकिन सामान्यतः, यदि मैनिफोल्ड के लिए सामान्य परिभाषा का उपयोग किया जाता है, तो 'सघन मैनिफोल्ड' (इसकी अंतर्निहित टोपोलॉजी के संबंध में सघन) को समानार्थी रूप से 'क्लोज्ड मैनिफोल्ड' के लिए उपयोग किया जा सकता है।
+क्लोज्ड मैनिफोल्ड की धारणा [[बंद सेट|क्लोज्ड समुच्चय]] से असंबंधित है। रेखा समतल और मैनिफोल्ड का क्लोज्ड उपसमुच्चय है, लेकिन क्लोज्ड मैनिफोल्ड नहीं है।
 ==भौतिकी में उपयोग ==
-ब्रह्मांड के आकार की धारणा ब्रह्मांड को एक बंद मैनिफोल्ड के रूप में संदर्भित कर सकती है, लेकिन अधिक संभावना यह है कि ब्रह्मांड निरंतर सकारात्मक रिक्की वक्रता के कई गुना है।
+ब्रह्मांड के आकार की धारणा ब्रह्मांड को क्लोज्ड मैनिफोल्ड के रूप में संदर्भित कर सकती है, लेकिन अधिक संभावना यह है कि ब्रह्मांड निरंतर धनात्मक रिक्की वक्रता के मैनिफोल्ड है।
 == यह भी देखें ==
-* {{annotated link|Tame manifold}}
+* {{annotated link|टेम मैनिफोल्ड}}
 == संदर्भ ==
 {{reflist}}
-{{reflist|group=note}}
 * [[Michael Spivak]]: ''A Comprehensive Introduction to Differential Geometry.'' Volume 1. 3rd edition with corrections. Publish or Perish, Houston TX 2005, {{ISBN|0-914098-70-5}}.
 * [[Allen Hatcher]], [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html ''Algebraic Topology.''] Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
-{{Manifolds}}
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