लैटिस मॉडल (भौतिकी): Difference between revisions

Latest revision as of 06:55, 8 October 2023

दो अणुओं ए और बी से भारित त्रि-आयामी लैटिस को काले और सफेद गोले के रूप में दर्शाया गया है। इस तरह के लैटिस का उपयोग उदाहरण - फ्लोरी-हगिंस समाधान सिद्धांत में किया जाता है।

गणितीय भौतिकी में लैटिस मॉडल भौतिक प्रणाली का गणितीय मॉडल है, जिसे अंतराल या अंतराल अवधि की निरंतरता जैसे कॉन्टिन्यूम (सिद्धांत) के विपरीत लैटिस (समूह) पर परिभाषित किया जाता है। लैटिस मॉडल मूल रूप से संघनित पदार्थ भौतिकी के संदर्भ में उत्पन्न हुए, जिस समिष्ट पर क्रिस्टल के परमाणु स्वचालित रूप से लैटिस बनाते हैं। वर्तमान में, अनेक कारणों से लैटिस मॉडल सैद्धांतिक भौतिकी में अत्याधिक लोकप्रिय हैं। कुछ मॉडल वास्तविकता मे समाधेय हैं, और इस प्रकार अस्तव्यस्तता सिद्धांत से जो व्यक्त किया जा सकता है, उससे प्रथक भौतिकी में अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं। लैटिस मॉडल संगणनात्मक भौतिकी के विधियों से अध्ययन के लिए भी मॉडल हैं, क्योंकि किसी भी कॉन्टिन्यूम मॉडल का विवेकीकरण स्वचालित रूप से इसे लैटिस मॉडल में परिवर्तन कर देता है। इनमें से अनेक मॉडलों के स्पष्ट समाधान (जब वे व्याख्या करने योग्य होते हैं) में सॉलिटन की उपस्थिति सम्मिलित होती है। इन्हें व्याख्या करने की विधियों में व्युत्क्रम प्रकीर्णन रूपांतरण और लैक्स पेयर की विधि, यांग-बैक्सटर समीकरण और क्वांटम समूह सम्मिलित हैं। इन मॉडलों के समाधान ने चरण परिवर्तन , चुंबकीयकरण और प्रवर्धन गतिविधि की प्रकृति के साथ-साथ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत की प्रकृति में अंतर्दृष्टि प्रदान की है।

भौतिक लैटिस मॉडल अधिकांशतः निरंतरता सिद्धांत के अनुमान के रूप में या तो विचलन को प्रतिबंध या संख्यात्मक विश्लेषण करने के लिए सिद्धांत को पराबैंगनी विच्छेदन देने के लिए होते हैं। कॉन्टिन्यूम सिद्धांत का उदाहरण, क्यूसीडी लैटिस मॉडल है जो क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स की विचारशीलता है। जिसका व्यापक रूप से लैटिस मॉडल के माध्यम से अध्ययन किया जाता है। चूंकि, अंकीय भौतिकी प्रकृति को मौलिक रूप से प्लांक नियम पर असतत मानती है, जो सूचना के घनत्व एवं होलोग्राफिक (स्वलिखित) सिद्धांत की उच्च सीमांत स्थापित करती है। सामान्यतः लैटिस मापक सिद्धांत और लैटिस क्षेत्र सिद्धांत अध्ययन के क्षेत्र हैं। लैटिस मॉडल का उपयोग बहुलक की संरचना और गतिशीलता का अनुकरण करने के लिए भी किया जाता है।

गणितीय विवरण

निम्नलिखित आँकड़े के माध्यम से अनेक लैटिस मॉडल का वर्णन किया जा सकता है:-

लैटिस (समूह) $\Lambda$ को अधिकांशतः $d$ -आयामी यूक्लिडियन अंतराल $\mathbb {R} ^{d}$ या $d$ - आयामी स्थूलक में जाली माना जाता है, यदि लैटिस आवधिक है। वस्तुतः $\Lambda$ अधिकांशतः पूर्णांक लैटिस होती है। यदि लैटिस पर दो बिंदुओं को 'निकटतम' माना जाता है, तो उन्हें सीमा से सम्बद्ध किया जा सकता है, जिससे लैटिस लैटिस लेखाचित्र में परिवर्तित हो जाती है। $\Lambda$ के शीर्षों को कभी-कभी स्थल भी कहा जाता है।

चक्र-परिवर्तनीय अंतराल $S$ है। संभावित प्रणाली स्थितियों का विन्यास समिष्ट ${\mathcal {C}}$ है, तब फलन का समिष्ट $\sigma :\Lambda \rightarrow S$ होता है। कुछ मॉडलों के लिए हम फलन $\sigma :E\rightarrow S$ के समिष्ट पर विचार कर सकते हैं जिस समिष्ट पर $E$ उपरोक्त परिभाषित आरेखीय का सीमा समुच्चय है।

ऊर्जा कार्यात्मक $E:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R}$ है, जो अतिरिक्त मापदंडों या 'युग्मन स्थिरांक' $\{g_{i}\}$ के समुच्चय पर निर्भर हो सकता है।

उदाहरण

आइसिंग मॉडल सामान्य घन जाली आरेखीय $G=(\Lambda ,E)$ के माध्यम से दिया गया है, जिस समिष्ट पर $\Lambda$ और $\mathbb {R} ^{d}$ में अनंत घन जाली है या $T^{d}$ में अवधि $n$ घन जाली है, और $E$ निकटतम सीमा का समुच्चय है (उसी अक्षर का उपयोग ऊर्जा कार्यात्मक के लिए किया जाता है किन्तु संदर्भ के आधार पर विभिन्न उपयोगों को भिन्न -भिन्न विशेषणीय किया जा सकता है)। चक्र परिवर्तनीय अंतराल $S=\{+1,-1\}=\mathbb {Z} _{2}$ है।

ऊर्जा कार्यात्मक है

$E(\sigma )=-H\sum _{v\in \Lambda }\sigma (v)-J\sum _{\{v_{1},v_{2}\}\in E}\sigma (v_{1})\sigma (v_{2}).$

चक्र-परिवर्तनीय अंतराल को अधिकांशतः सह समुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पॉट्स मॉडल के लिए हमारे पास

S=\mathbb {Z} _{n}

है। सीमा

n\rightarrow \infty

में हमें ्सवाई मॉडल प्राप्त होता है जिसमें

S=SO(2)

होता है। ्सवाई मॉडल को उच्च आयामों में सामान्यीकृत करने से

n

संवाहक मॉडल प्राप्त होता है, जिसमें

S=S^{n}=SO(n+1)/SO(n)

होता है।

व्याख्या करने योग्य मॉडल

हम अंकों की सीमित संख्या और परिमित चक्र -परिवर्तनीय अंतराल के साथ लैटिस के विशेषज्ञ हैं। इसे $d$ आयामों में आवर्त $n$ के साथ लैटिस को आवर्त बनाकर प्राप्त किया जा सकता है। तब विन्यास अंतराल समिष्ट ${\mathcal {C}}$ भी परिमित है। हम विभाजन कार्य (सांख्यिकीय यांत्रिकी) को परिभाषित कर सकते हैं

Z=\sum _{\sigma \in {\mathcal {C}}}\exp(-\beta E(\sigma ))

और अभिसरण के कोई उद्देश्य नहीं हैं (जैसे वे जो क्षेत्र सिद्धांत में प्रकट होते हैं) क्योंकि योग परिमित है। सिद्धांत रूप में, इस मान की गणना अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए की जा सकती है, जो मात्र मापदंडों $\{g_{i}\}$ और $\beta$ पर निर्भर है। व्यवहार में, समिष्टों के मध्य गैर-रैखिक अंतःक्रियाओं के कारण यह अधिकांशतः कठिन होता है। विभाजन फलन के लिए संवृत-रूप अभिव्यक्ति वाले मॉडल को सम्पूर्ण रूप में व्याख्या करने योग्य के रूप में जाना जाता है।

सम्पूर्ण रूप में हल करने योग्य मॉडल के उदाहरण आवधिक 1डी आइसिंग मॉडल और लुप्त हो रहे बाहरी चुंबकीय क्षेत्र $H=0,$ के साथ आवधिक 2डी आइसिंग मॉडल हैं, किन्तु आयाम $d>2$ , के लिए आइसिंग मॉडल समाधान के अयोग्य रहता है।

माध्य क्षेत्र सिद्धांत

स्पष्ट समाधान प्राप्त करने में कठिनाई के कारण, विश्लेषणात्मक परिणाम प्राप्त करने के लिए हमें अधिकांशतः माध्य क्षेत्र सिद्धांत का समर्थन प्राप्त करना पड़ता है। यह माध्य क्षेत्र समिष्टिक रूप से भिन्न या वैश्विक हो सकता है।

वैश्विक माध्य क्षेत्र

फलन $\sigma$ के विन्यास समिष्ट ${\mathcal {C}}$ को चक्र अंतराल $S$ के मध्योन्नत समावरक के माध्यम से प्रतिस्थापित किया जाता है तब $S$ को $\mathbb {R} ^{m}$ के उपसमुच्चय के संदर्भ में प्राप्ति होती है। इसे हम $\langle {\mathcal {C}}\rangle$ से निरूपित करेंगे। यह तब उत्पन्न होता है, जब क्षेत्र के माध्य मान पर जाने पर, हमारे पास $\sigma \mapsto \langle \sigma \rangle :={\frac {1}{|\Lambda |}}\sum _{v\in \Lambda }\sigma (v)$ . होता है।

लैटिस समिष्टों की संख्या $N=|\Lambda |\rightarrow \infty$ , के रूप में $\langle \sigma \rangle$ के संभावित मान $S$ के मध्योन्नत समावरक को पूर्ण करते हैं। उपयुक्त अनुमान लगाने से, ऊर्जा कार्यात्मकता माध्य क्षेत्र का फलन बन जाती है जो $E(\sigma )\mapsto E(\langle \sigma \rangle ).$ होता है। तब विभाजन फलन बन जाता है

Z=\int _{\langle {\mathcal {C}}\rangle }d\langle \sigma \rangle e^{-\beta E(\langle \sigma \rangle )}\Omega (\langle \sigma \rangle )=:\int _{\langle {\mathcal {C}}\rangle }d\langle \sigma \rangle e^{-N\beta f(\langle \sigma \rangle )}.

जैसे कि $N\rightarrow \infty$ थर्मोडायनामिक सीमा में, आसन बिंदु अनुमान हमें बताता है कि अभिन्न असम्बद्ध रूप से उस मान पर प्रभावी है जिस पर $f(\langle \sigma \rangle )$ को न्यूनतम किया गया है:

Z\sim e^{-N\beta f(\langle \sigma \rangle _{0})}

जिस समिष्ट पर $\langle \sigma \rangle _{0}$ और $f$ . को न्यूनतम करने वाला तर्क है।

सरल, किन्तु गणितीय रूप से परिशुद्ध दृष्टिकोण, जो प्रासंगिक रूप से सही परिणाम देता है, माध्य क्षेत्र $\langle \sigma \rangle$ के बारे में सिद्धांत को रैखिक बनाने से आता है। विन्यास को $\sigma (v)=\langle \sigma \rangle +\Delta \sigma (v)$ के रूप में अंकित करना, ${\mathcal {O}}(\Delta \sigma ^{2})$ को संक्षेप करना, तत्पश्चात विन्यास का योग विभाजन फलन की गणना की अनुमति देता है।

$d$ आयामों में आवधिक आइसिंग मॉडल के लिए ऐसा दृष्टिकोण आयाम चरण परिवर्तन में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

समिष्टिक रूप से भिन्न माध्य क्षेत्र

मान लीजिए कि लैटिस $\Lambda$ की कॉन्टिन्यूम सीमा $\mathbb {R} ^{d}$ है। संपूर्ण $\Lambda$ का औसत निकालने के अतिरिक्त, हम $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}$ के निकटतम का औसत निकालते हैं। यह समिष्टिक रूप से भिन्न माध्य क्षेत्र $\langle \sigma \rangle :\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \langle {\mathcal {C}}\rangle$ देता है। हम संकेत चिन्ह को क्षेत्र सिद्धांत के निकट लाने के लिए $\langle \sigma \rangle$ को $\phi$ के साथ पुन: वर्गीकरण करते हैं। इससे विभाजन फलन को पथ अभिन्न सूत्रीकरण के रूप में अंकित किया जा सकता है

Z=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\beta F[\phi ]}

जिस समिष्ट पर मुक्त ऊर्जा $F[\phi ]$ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में क्रिया का वर्तिका क्रमावर्तित संस्करण है।

उदाहरण

संघनित पदार्थ भौतिकी

आइज़िंग मॉडल

पॉट्स मॉडल

चिरल पॉट्स मॉडल

्सवाए मॉडल

मौलिक हाइजेनबर्ग मॉडल

एन-संवाहक मॉडल

शीर्ष मॉडल

टोडा लैटिस

पॉलिमर भौतिकी

अनुबंध अस्थिरता मॉडल

द्वितीय मॉडल

उच्च ऊर्जा भौतिकी

क्यूसीडी लैटिस मॉडल

यह भी देखें

संदर्भ

Baxter, Rodney J. (1982), Exactly solved models in statistical mechanics (PDF), London: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-083180-7, MR 0690578

जाली मॉडल

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 {{other uses|जाली आदर्श (बहुविकल्पी)}}
-[[File:LatticemodelAB.png|thumb|दो अणुओं ए और बी से भारित एक त्रि-आयामी जालक को  काले और सफेद गोले के रूप में दर्शाया  गया है। इस तरह के जालक  का उपयोग उदाहरण - फ्लोरी-हगिंस समाधान सिद्धांत में किया जाता है। ]][[गणितीय भौतिकी]]  में एक जालक आदर्श एक भौतिक प्रणाली का एक गणितीय मॉडल है जिसे [[अंतरिक्ष|अंतराल]]  या अंतराल अवधि की निरंतरता जैसे   [[सातत्य (सिद्धांत)|कॉन्टिन्यूम(सिद्धांत)]] के विपरीत एक  [[जाली (समूह)|जालक  (समूह)]]  पर परिभाषित किया जाता है। जालक  आदर्श मूल रूप से [[संघनित पदार्थ भौतिकी]] के संदर्भ में उत्पन्न हुए, जहां एक [[क्रिस्टल]] के परमाणु स्वचालित रूप से एक जालक  बनाते हैं। वर्तमान में, अनेक  कारणों से जालक  आदर्श [[सैद्धांतिक भौतिकी]] में काफी लोकप्रिय हैं। कुछ आदर्श [[बिल्कुल हल करने योग्य|वास्तव मे समाधेय]]  हैं, और इस प्रकार [[गड़बड़ी सिद्धांत]] से जो व्यक्त किया जा सकता है उससे प्रथक भौतिकी में अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं। जालक  आदर्श  [[कम्प्यूटेशनल भौतिकी|संगणनात्मक  भौतिकी]] के तरीकों से अध्ययन के लिए भी आदर्श हैं, क्योंकि किसी भी कॉन्टिन्यूम आदर्श का विवेकीकरण स्वचालित रूप से इसे जालक  आदर्श में परिवर्तन कर देता है। इनमें से अनेक  आदर्शों के सटीक समाधान (जब वे व्याख्या करने योग्य होते हैं) में [[सॉलिटन]] की उपस्थिति शामिल होती है। इन्हें व्याख्या करने की तकनीकों में व्युत्क्रम प्रकीर्णन रूपांतरण और लैक्स पेयर की विधि, यांग-बैक्सटर समीकरण और [[क्वांटम समूह]] शामिल हैं। इन आदर्शों के समाधान ने [[चरण संक्रमण|चरण परिवर्तन]] , चुंबकीयकरण और [[स्केलिंग व्यवहार|प्रवर्धन  गतिविधि]] की प्रकृति के साथ-साथ [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] की प्रकृति में अंतर्दृष्टि प्रदान की है।
+[[File:LatticemodelAB.png|thumb|दो अणुओं ए और बी से भारित त्रि-आयामी लैटिस को काले और सफेद गोले के रूप में दर्शाया गया है। इस तरह के लैटिस का उपयोग उदाहरण - फ्लोरी-हगिंस समाधान सिद्धांत में किया जाता है। ]][[गणितीय भौतिकी]] में '''लैटिस मॉडल भौतिक प्रणाली''' का गणितीय मॉडल है, जिसे [[अंतरिक्ष|अंतराल]] या अंतराल अवधि की निरंतरता जैसे [[सातत्य (सिद्धांत)|कॉन्टिन्यूम (सिद्धांत)]] के विपरीत [[जाली (समूह)|लैटिस (समूह)]] पर परिभाषित किया जाता है। लैटिस मॉडल मूल रूप से [[संघनित पदार्थ भौतिकी]] के संदर्भ में उत्पन्न हुए, जिस समिष्ट पर [[क्रिस्टल]] के परमाणु स्वचालित रूप से लैटिस बनाते हैं। वर्तमान में, अनेक कारणों से लैटिस मॉडल [[सैद्धांतिक भौतिकी]] में अत्याधिक लोकप्रिय हैं। कुछ मॉडल [[बिल्कुल हल करने योग्य|वास्तविकता मे समाधेय]] हैं, और इस प्रकार [[गड़बड़ी सिद्धांत|अस्तव्यस्तता सिद्धांत]] से जो व्यक्त किया जा सकता है, उससे प्रथक भौतिकी में अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं। लैटिस मॉडल [[कम्प्यूटेशनल भौतिकी|संगणनात्मक भौतिकी]] के विधियों से अध्ययन के लिए भी मॉडल हैं, क्योंकि किसी भी कॉन्टिन्यूम मॉडल का विवेकीकरण स्वचालित रूप से इसे लैटिस मॉडल में परिवर्तन कर देता है। इनमें से अनेक मॉडलों के स्पष्ट समाधान (जब वे व्याख्या करने योग्य होते हैं) में [[सॉलिटन]] की उपस्थिति सम्मिलित होती है। इन्हें व्याख्या करने की विधियों में व्युत्क्रम प्रकीर्णन रूपांतरण और लैक्स पेयर की विधि, यांग-बैक्सटर समीकरण और [[क्वांटम समूह]] सम्मिलित हैं। इन मॉडलों के समाधान ने [[चरण संक्रमण|चरण परिवर्तन]] , चुंबकीयकरण और [[स्केलिंग व्यवहार|प्रवर्धन गतिविधि]] की प्रकृति के साथ-साथ [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] की प्रकृति में अंतर्दृष्टि प्रदान की है।
-भौतिक जालक  आदर्श अक्सर एक निरंतरता सिद्धांत के सन्निकटन के रूप में या तो विचलन को रोकने या  [[संख्यात्मक विश्लेषण]]  करने के लिए सिद्धांत को एक [[पराबैंगनी कटऑफ|पराबैंगनी विच्छेदन]]  देने के लिए होते हैं।  कॉन्टिन्यूम सिद्धांत का एक उदाहरण जिसका व्यापक रूप से जालक  आदर्श के माध्यम से  अध्ययन किया जाता है, क्यूसीडी जालक  आदर्श है जो [[क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स]] की विचारशीलता है। हालांकि, [[डिजिटल भौतिकी|अंकीय  भौतिकी]] प्रकृति को मौलिक रूप से  प्लांक नियम  पर असतत मानती है,  जो सूचना के घनत्व एवं होलोग्राफिक (स्वलिखित) सिद्धांत की उच्च  सीमांत लगाती है। आम तौर पर, [[जाली गेज सिद्धांत|जालक  मापक सिद्धांत]] और [[जाली क्षेत्र सिद्धांत|जालक  क्षेत्र सिद्धांत]] अध्ययन के क्षेत्र हैं। जालक  आदर्श का उपयोग बहुलक की संरचना और गतिशीलता का अनुकरण करने के लिए भी किया जाता है।
+भौतिक लैटिस मॉडल अधिकांशतः निरंतरता सिद्धांत के अनुमान के रूप में या तो विचलन को प्रतिबंध या [[संख्यात्मक विश्लेषण]] करने के लिए सिद्धांत को [[पराबैंगनी कटऑफ|पराबैंगनी विच्छेदन]] देने के लिए होते हैं। कॉन्टिन्यूम सिद्धांत का उदाहरण, क्यूसीडी लैटिस मॉडल है जो [[क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स]] की विचारशीलता है। जिसका व्यापक रूप से लैटिस मॉडल के माध्यम से अध्ययन किया जाता है। चूंकि, [[डिजिटल भौतिकी|अंकीय भौतिकी]] प्रकृति को मौलिक रूप से प्लांक नियम पर असतत मानती है, जो सूचना के घनत्व एवं होलोग्राफिक (स्वलिखित) सिद्धांत की उच्च सीमांत स्थापित करती है। सामान्यतः [[जाली गेज सिद्धांत|लैटिस मापक सिद्धांत]] और [[जाली क्षेत्र सिद्धांत|लैटिस क्षेत्र सिद्धांत]] अध्ययन के क्षेत्र हैं। लैटिस मॉडल का उपयोग बहुलक की संरचना और गतिशीलता का अनुकरण करने के लिए भी किया जाता है।
 == गणितीय विवरण ==
-निम्नलिखित आँकड़े  के माध्यम से  अनेक  जालक  आदर्श का वर्णन किया जा सकता है:
+निम्नलिखित आँकड़े के माध्यम से अनेक लैटिस मॉडल का वर्णन किया जा सकता है:-
-<li> एक जालक  (समूह) <math>\Lambda</math>, अक्सर एक जालक  के रूप में लिया जाता है <math>d</math>-आयामी यूक्लिडियन अंतराल  <math>\mathbb{R}^d</math> या <math>d</math>-आयामी टोरस अगर जालक  आवधिक है। ठोस रूप से, <math>\Lambda</math> अक्सर [[पूर्णांक जाली|पूर्णांक जालक]]  होती है। यदि जालक  पर दो बिंदुओं को 'निकटतम पड़ोसी' माना जाता है, तो जालक  को जालक  ग्राफ में परिवर्तनकर, उन्हें किनारे से जोड़ा जा सकता है। के शिखर <math>\Lambda</math> कभी-कभी साइटों के रूप में जाना जाता है।
-<li> एक स्पिन-वैरिएबल स्पेस <math>S</math>. विन्यास स्थान <math>\mathcal{C}</math> संभावित सिस्टम राज्यों का तब कार्यों का स्थान है <math>\sigma: \Lambda \rightarrow S</math>. कुछ आदर्शों के लिए, हम इसके बजाय कार्यों के स्थान पर विचार कर सकते हैं <math>\sigma: E \rightarrow S</math> कहाँ <math>E</math> ऊपर परिभाषित ग्राफ का किनारा सेट है।
+लैटिस (समूह) <math>\Lambda</math> को अधिकांशतः <math>d</math>-आयामी यूक्लिडियन अंतराल <math>\mathbb{R}^d</math> या <math>d</math>- आयामी स्थूलक में जाली माना जाता है, यदि लैटिस आवधिक है। वस्तुतः <math>\Lambda</math> अधिकांशतः [[पूर्णांक जाली|पूर्णांक लैटिस]] होती है। यदि लैटिस पर दो बिंदुओं को 'निकटतम' माना जाता है, तो उन्हें सीमा से सम्बद्ध किया जा सकता है, जिससे लैटिस लैटिस लेखाचित्र में परिवर्तित हो जाती है। <math>\Lambda</math> के शीर्षों को कभी-कभी स्थल भी कहा जाता है।
-<li> एक ऊर्जा कार्यात्मक <math>E:\mathcal{C}\rightarrow\mathbb{R}</math>, जो अतिरिक्त पैरामीटर या 'युग्मन स्थिरांक' के सेट पर निर्भर हो सकता है <math>\{g_i\}</math>.
-</ul>
+चक्र-परिवर्तनीय अंतराल <math>S</math> है। संभावित प्रणाली स्थितियों का विन्यास समिष्ट <math>\mathcal{C}</math> है, तब फलन का समिष्ट <math>\sigma: \Lambda \rightarrow S</math> होता है। कुछ मॉडलों के लिए हम फलन <math>\sigma: E \rightarrow S</math> के समिष्ट पर विचार कर सकते हैं जिस समिष्ट पर <math>E</math> उपरोक्त परिभाषित आरेखीय का सीमा समुच्चय है।
+ऊर्जा कार्यात्मक <math>E:\mathcal{C}\rightarrow\mathbb{R}</math> है, जो अतिरिक्त मापदंडों या 'युग्मन स्थिरांक' <math>\{g_i\}</math> के समुच्चय पर निर्भर हो सकता है।
+'''उदाहरण'''
+[[आइसिंग मॉडल]] सामान्य घन जाली आरेखीय <math>G = (\Lambda, E)</math> के माध्यम से दिया गया है, जिस समिष्ट पर <math>\Lambda</math> और <math>\mathbb{R}^d</math> में अनंत घन जाली है या <math>T^d</math> में अवधि <math>n</math> घन जाली है, और <math>E</math> निकटतम सीमा का समुच्चय है (उसी अक्षर का उपयोग ऊर्जा कार्यात्मक के लिए किया जाता है किन्तु संदर्भ के आधार पर विभिन्न उपयोगों को भिन्न -भिन्न विशेषणीय किया जा सकता है)। चक्र परिवर्तनीय अंतराल <math>S = \{+1,-1\} = \mathbb{Z}_2</math> है।
+ऊर्जा कार्यात्मक है
-=== उदाहरण ===
+<math>E(\sigma) = -H\sum_{v\in\Lambda}\sigma(v) - J\sum_{\{v_1,v_2\}\in E}\sigma(v_1)\sigma(v_2).</math>
-[[आइसिंग मॉडल|आइसिंग आदर्श]] सामान्य क्यूबिक जालक  ग्राफ के माध्यम से  दिया गया है <math>G = (\Lambda, E)</math> कहाँ <math>\Lambda</math> में एक अनंत घन जालक  है <math>\mathbb{R}^d</math> या एक अवधि <math>n</math> घन जालक  में <math>T^d</math>, और <math>E</math> निकटतम पड़ोसियों का किनारा सेट है (ऊर्जा कार्यात्मक के लिए एक ही अक्षर का उपयोग किया जाता है लेकिन विभिन्न उपयोग संदर्भ के आधार पर अलग-अलग होते हैं)। स्पिन-वैरिएबल स्पेस है <math>S = \{+1,-1\} = \mathbb{Z}_2</math>. ऊर्जा कार्यात्मक है
+<li>चक्र-परिवर्तनीय अंतराल को अधिकांशतः [[ सह समुच्चय |सह समुच्चय]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पॉट्स मॉडल के लिए हमारे पास <math>S = \mathbb{Z}_n</math> है। सीमा <math>n\rightarrow \infty</math> में हमें ्सवाई मॉडल प्राप्त होता है जिसमें <math>S = SO(2)</math> होता है। ्सवाई मॉडल को उच्च आयामों में सामान्यीकृत करने से <math>n</math> संवाहक मॉडल प्राप्त होता है, जिसमें <math>S = S^n = SO(n+1)/SO(n)</math> होता है।
-:<math>E(\sigma) = -H\sum_{v\in\Lambda}\sigma(v) - J\sum_{\{v_1,v_2\}\in E}\sigma(v_1)\sigma(v_2).</math>
-स्पिन-वैरिएबल स्पेस को अक्सर [[ सह समुच्चय ]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पॉट्स आदर्श के लिए हमारे पास है <math>S = \mathbb{Z}_n</math>. सीमा में <math>n\rightarrow \infty</math>, हम XY आदर्श प्राप्त करते हैं जिसमें है <math>S = SO(2)</math>. उच्च आयामों के लिए XY आदर्श का सामान्यीकरण देता है <math>n</math>-वेक्टर आदर्श जिसमें है <math>S = S^n = SO(n+1)/SO(n)</math>.
-=== व्याख्या करने योग्य आदर्श ===
+=== व्याख्या करने योग्य मॉडल ===
-हम अंकों की एक सीमित संख्या और एक परिमित स्पिन-वैरिएबल स्पेस के साथ जालक  के विशेषज्ञ हैं। यह अवधि के साथ जालक  को आवधिक बनाकर प्राप्त किया जा सकता है <math>n</math> में <math>d</math> आयाम। फिर कॉन्फ़िगरेशन स्पेस <math>\mathcal{C}</math> परिमित भी है। हम [[विभाजन समारोह (सांख्यिकीय यांत्रिकी)]] को परिभाषित कर सकते हैं
+हम अंकों की सीमित संख्या और परिमित चक्र -परिवर्तनीय अंतराल के साथ लैटिस के विशेषज्ञ हैं। इसे <math>d</math> आयामों में आवर्त <math>n</math> के साथ लैटिस को आवर्त बनाकर प्राप्त किया जा सकता है। तब विन्यास अंतराल समिष्ट <math>\mathcal{C}</math> भी परिमित है। हम [[विभाजन समारोह (सांख्यिकीय यांत्रिकी)|विभाजन कार्य (सांख्यिकीय यांत्रिकी)]] को परिभाषित कर सकते हैं
 :<math>Z = \sum_{\sigma \in \mathcal{C}}\exp(-\beta E(\sigma))</math>
-और अभिसरण के कोई मुद्दे नहीं हैं (जैसे वे जो क्षेत्र सिद्धांत में उभर कर आते हैं) क्योंकि राशि परिमित है। सिद्धांत रूप में, इस राशि की गणना एक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए की जा सकती है जो केवल मापदंडों पर निर्भर है <math>\{g_i\}</math> और <math>\beta</math>. व्यवहार में, साइटों के बीच गैर-रेखीय अंतःक्रियाओं के कारण यह अक्सर कठिन होता है। विभाजन फ़ंक्शन के लिए बंद-रूप अभिव्यक्ति वाले आदर्श को बिल्कुल व्याख्या करने योग्य के रूप में जाना जाता है।
+और अभिसरण के कोई उद्देश्य नहीं हैं (जैसे वे जो क्षेत्र सिद्धांत में प्रकट होते हैं) क्योंकि योग परिमित है। सिद्धांत रूप में, इस मान की गणना अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए की जा सकती है, जो मात्र मापदंडों <math>\{g_i\}</math> और <math>\beta</math> पर निर्भर है। व्यवहार में, समिष्टों के मध्य गैर-रैखिक अंतःक्रियाओं के कारण यह अधिकांशतः कठिन होता है। विभाजन फलन के लिए संवृत-रूप अभिव्यक्ति वाले मॉडल को सम्पूर्ण रूप में व्याख्या करने योग्य के रूप में जाना जाता है।
-सटीक रूप से व्याख्या करने योग्य आदर्श के उदाहरण आवधिक 1D आइसिंग आदर्श हैं, और आवधिक 2D आइसिंग आदर्श गायब बाहरी चुंबकीय क्षेत्र के साथ हैं, <math>H = 0,</math> लेकिन आयाम के लिए <math>d>2</math>, ईज़िंग आदर्श अनसुलझा रहता है।
+सम्पूर्ण रूप में हल करने योग्य मॉडल के उदाहरण आवधिक 1डी आइसिंग मॉडल और लुप्त हो रहे बाहरी चुंबकीय क्षेत्र <math>H = 0,</math> के साथ आवधिक 2डी आइसिंग मॉडल हैं, किन्तु आयाम <math>d>2</math>, के लिए आइसिंग मॉडल समाधान के अयोग्य रहता है।
 === माध्य क्षेत्र सिद्धांत ===
-सटीक समाधान निकालने में कठिनाई के कारण, विश्लेषणात्मक परिणाम प्राप्त करने के लिए हमें अक्सर माध्य क्षेत्र सिद्धांत का सहारा लेना पड़ता है। यह औसत क्षेत्र स्थानिक रूप से भिन्न या वैश्विक हो सकता है।
+स्पष्ट समाधान प्राप्त करने में कठिनाई के कारण, विश्लेषणात्मक परिणाम प्राप्त करने के लिए हमें अधिकांशतः माध्य क्षेत्र सिद्धांत का समर्थन प्राप्त करना पड़ता है। यह माध्य क्षेत्र समिष्टिक रूप से भिन्न या वैश्विक हो सकता है।
-==== ग्लोबल मीन फील्ड ====
+==== वैश्विक माध्य क्षेत्र ====
-विन्यास स्थान <math>\mathcal{C}</math> कार्यों का <math>\sigma</math> स्पिन स्थान के उत्तल पतवार के माध्यम से  प्रतिस्थापित किया जाता है <math>S</math>, कब <math>S</math> के एक उपसमुच्चय के संदर्भ में एक बोध है <math>\mathbb{R}^m</math>. हम इसे के माध्यम से  निरूपित करेंगे <math>\langle\mathcal{C}\rangle</math>. यह हमारे पास क्षेत्र के औसत मूल्य पर जाने के रूप में उत्पन्न होता है <math>\sigma \mapsto \langle \sigma \rangle := \frac{1}{|\Lambda|}\sum_{v\in\Lambda}\sigma(v)</math>.
+फलन <math>\sigma</math> के विन्यास समिष्ट <math>\mathcal{C}</math> को चक्र अंतराल <math>S</math> के मध्योन्नत समावरक के माध्यम से प्रतिस्थापित किया जाता है तब <math>S</math> को <math>\mathbb{R}^m</math> के उपसमुच्चय के संदर्भ में प्राप्ति होती है। इसे हम <math>\langle\mathcal{C}\rangle</math> से निरूपित करेंगे। यह तब उत्पन्न होता है, जब क्षेत्र के माध्य मान पर जाने पर, हमारे पास <math>\sigma \mapsto \langle \sigma \rangle := \frac{1}{|\Lambda|}\sum_{v\in\Lambda}\sigma(v)</math>. होता है।
-जालक  साइटों की संख्या के रूप में <math>N = |\Lambda|\rightarrow \infty</math>, के संभावित मान <math>\langle \sigma \rangle</math> का उत्तल पतवार भरें <math>S</math>. एक उपयुक्त सन्निकटन करने से, कार्यात्मक ऊर्जा माध्य क्षेत्र का एक कार्य बन जाती है, अर्थात <math>E(\sigma)\mapsto E(\langle \sigma \rangle).</math> विभाजन समारोह तब बन जाता है
+लैटिस समिष्टों की संख्या <math>N = |\Lambda|\rightarrow \infty</math>, के रूप में <math>\langle \sigma \rangle</math>के संभावित मान <math>S</math> के मध्योन्नत समावरक को पूर्ण करते हैं। उपयुक्त अनुमान लगाने से, ऊर्जा कार्यात्मकता माध्य क्षेत्र का फलन बन जाती है जो <math>E(\sigma)\mapsto E(\langle \sigma \rangle).</math> होता है। तब विभाजन फलन बन जाता है
 :<math>Z = \int_{\langle\mathcal{C}\rangle}d\langle\sigma\rangle e^{-\beta E(\langle\sigma\rangle)}\Omega(\langle\sigma\rangle) =: \int_{\langle\mathcal{C}\rangle}d\langle\sigma\rangle e^{-N\beta f(\langle\sigma\rangle)}.</math>
-जैसा <math>N\rightarrow \infty</math>, अर्थात्, [[थर्मोडायनामिक सीमा]] में, सैडल पॉइंट सन्निकटन हमें बताता है कि इंटीग्रल एसिम्प्टोटिक रूप से उस मूल्य पर हावी है जिस पर <math>f(\langle\sigma\rangle)</math> न्यूनतम किया गया है:
+जैसे कि <math>N\rightarrow \infty</math> [[थर्मोडायनामिक सीमा]] में, आसन बिंदु अनुमान हमें बताता है कि अभिन्न असम्बद्ध रूप से उस मान पर प्रभावी है जिस पर <math>f(\langle\sigma\rangle)</math> को न्यूनतम किया गया है:
 :<math>Z \sim e^{-N\beta f(\langle\sigma\rangle_0)}</math>
-कहाँ <math>\langle\sigma\rangle_0</math> कम करने वाला तर्क है <math>f</math>.
+जिस समिष्ट पर <math>\langle\sigma\rangle_0</math> और <math>f</math>. को न्यूनतम करने वाला तर्क है।
-एक सरल, लेकिन कम गणितीय रूप से कठोर दृष्टिकोण जो फिर भी कभी-कभी सही परिणाम देता है, माध्य क्षेत्र के बारे में सिद्धांत को रैखिक बनाने से आता है <math>\langle\sigma\rangle</math>. विन्यास लेखन के रूप में <math>\sigma(v)=\langle\sigma\rangle + \Delta\sigma(v)</math>, छंटनी की शर्तें <math>\mathcal{O}(\Delta\sigma^2)</math> फिर कॉन्फ़िगरेशन पर योग विभाजन फ़ंक्शन की गणना की अनुमति देता है।
+सरल, किन्तु गणितीय रूप से परिशुद्ध दृष्टिकोण, जो प्रासंगिक रूप से सही परिणाम देता है, माध्य क्षेत्र <math>\langle\sigma\rangle</math> के बारे में सिद्धांत को रैखिक बनाने से आता है। विन्यास को <math>\sigma(v)=\langle\sigma\rangle + \Delta\sigma(v)</math> के रूप में अंकित करना, <math>\mathcal{O}(\Delta\sigma^2)</math> को संक्षेप करना, तत्पश्चात विन्यास का योग विभाजन फलन की गणना की अनुमति देता है।
-में आवधिक आइसिंग आदर्श के लिए ऐसा दृष्टिकोण <math>d</math> आयाम चरण परिवर्तन ों में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।
+<math>d</math> आयामों में आवधिक आइसिंग मॉडल के लिए ऐसा दृष्टिकोण आयाम चरण परिवर्तन में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।
-==== स्थानिक रूप से भिन्न माध्य क्षेत्र ====
+==== समिष्टिक रूप से भिन्न माध्य क्षेत्र ====
-जालक  की  कॉन्टिन्यूमसीमा मान लीजिए <math>\Lambda</math> है <math>\mathbb{R}^d</math>. सभी पर औसत करने के बजाय <math>\Lambda</math>, हम के आस-पड़ोस में औसत हैं <math>\mathbf{x}\in\mathbb{R}^d</math>. यह स्थानिक रूप से भिन्न माध्य क्षेत्र देता है <math>\langle\sigma\rangle:\mathbb{R}^d\rightarrow \langle\mathcal{C}\rangle</math>. हम पुनः लेबल करते हैं <math>\langle\sigma\rangle</math> साथ <math>\phi</math> क्षेत्र सिद्धांत के करीब अंकन लाने के लिए। इससे पार्टीशन फंक्शन को [[पथ अभिन्न सूत्रीकरण]] के रूप में लिखा जा सकता है
+मान लीजिए कि लैटिस <math>\Lambda</math> की कॉन्टिन्यूम सीमा <math>\mathbb{R}^d</math> है। संपूर्ण <math>\Lambda</math> का औसत निकालने के अतिरिक्त, हम <math>\mathbf{x}\in\mathbb{R}^d</math> के निकटतम का औसत निकालते हैं। यह समिष्टिक रूप से भिन्न माध्य क्षेत्र <math>\langle\sigma\rangle:\mathbb{R}^d\rightarrow \langle\mathcal{C}\rangle</math> देता है। हम संकेत चिन्ह को क्षेत्र सिद्धांत के निकट लाने के लिए <math>\langle\sigma\rangle</math> को <math>\phi</math> के साथ पुन: वर्गीकरण करते हैं। इससे विभाजन फलन को [[पथ अभिन्न सूत्रीकरण]] के रूप में अंकित किया जा सकता है
 :<math>Z = \int \mathcal{D}\phi e^{-\beta F[\phi]}</math>
-जहां मुक्त ऊर्जा <math>F[\phi]</math> क्वांटम फील्ड थ्योरी में कार्रवाई का एक [[ बाती घुमाई ]] वर्जन है।
+जिस समिष्ट पर मुक्त ऊर्जा <math>F[\phi]</math> क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में क्रिया का [[ बाती घुमाई |वर्तिका क्रमावर्तित]] संस्करण है।
-== उदाहरण ==
+== उदाहरण                  ==
 === संघनित पदार्थ भौतिकी ===
-<उल>
+</ul>
+आइज़िंग मॉडल
+<li>[[पॉट्स मॉडल]]
+<li>[[पॉट्स मॉडल]]
+<li>[[चिरल पॉट्स मॉडल]]
+<li>्सवाए मॉडल
+<li>[[शास्त्रीय हाइजेनबर्ग मॉडल|मौलिक हाइजेनबर्ग मॉडल]]
+<li>[[एन-वेक्टर मॉडल|एन-संवाहक मॉडल]]
+<li>[[वर्टेक्स मॉडल|शीर्ष मॉडल]]
-<li>आइज़िंग आदर्श
+<li>टोडा लैटिस
-<li>[[पॉट्स मॉडल|पॉट्स आदर्श]]
+<li>
-<li>[[चिरल पॉट्स मॉडल|चिरल पॉट्स आदर्श]]
-<li>XY आदर्श
-<li>[[शास्त्रीय हाइजेनबर्ग मॉडल|शास्त्रीय हाइजेनबर्ग आदर्श]]
-<li>[[एन-वेक्टर मॉडल|एन-वेक्टर आदर्श]]
-<li>[[वर्टेक्स मॉडल|वर्टेक्स आदर्श]]
-<li>टोडा जालक </ul>
 === पॉलिमर भौतिकी ===
-<उल>
+</ul>
-<li>बॉन्ड उतार-चढ़ाव आदर्श
+अनुबंध अस्थिरता मॉडल
-<li>दूसरा आदर्श</ul>
-=== उच्च ऊर्जा भौतिकी ===
-<उल>
-<li>QCD जालक  आदर्</ul>श
+<li>द्वितीय मॉडल
+<li>'''उच्च ऊर्जा भौतिकी'''
+</ul>
+क्यूसीडी लैटिस मॉडल
+</ul>
 == यह भी देखें ==
 * [[क्रिस्टल की संरचना]]
-* [[स्केलिंग सीमा]]
+* [[स्केलिंग सीमा|प्रवर्धन सीमा]]
-* [[क्यूसीडी मामला]]
+* [[क्यूसीडी मामला|क्यूसीडी स्थिति]]
-* [[जालीदार गैस|जालक दार गैस]]
+* [[जालीदार गैस|लैटिस गैस]]
 ==संदर्भ==
 *{{Citation | last1=Baxter | first1=Rodney J. | authorlink1=Rodney_Baxter | title=Exactly solved models in statistical mechanics | url=https://physics.anu.edu.au/theophys/_files/Exactly.pdf | publisher=Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers] | location=London | isbn=978-0-12-083180-7 | mr=690578  | year=1982}}
-{{DEFAULTSORT:Lattice Model (Physics)}}[[Category: जाली मॉडल| जाली मॉडल]] [[Category: सैद्धांतिक भौतिकी]]
+{{DEFAULTSORT:Lattice Model (Physics)}}
+[[index.php?title=Category:जाली मॉडल| जाली मॉडल]]
+[[Category: सैद्धांतिक भौतिकी]]
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लैटिस मॉडल (भौतिकी): Difference between revisions

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