अवमुख समष्टि: Difference between revisions
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गणित में, | गणित में, '''अवमुख समष्टि''' (या बैरीसेंट्रिक बीजगणित) एक ऐसा समष्टि है जिसमें बिंदुओं के किसी भी समुच्चय का [[उत्तल संयोजन|अवमुख संयोजन]] लेना संभव है।<ref>{{cite web |title=उत्तल स्थान|url=https://ncatlab.org/nlab/show/convex+space |website=nLab |access-date=3 April 2023}}</ref><ref>{{cite arXiv |last1=Fritz |first1=Tobias |title=Convex Spaces I: Definition and Examples |year=2009 |class=math.MG |eprint=0903.5522 }} | ||
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== औपचारिक परिभाषा == | |||
अवमुख समष्टि को समुच्चय <math>X</math> के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो प्रत्येक <math>c_\lambda : X \times X \rightarrow X</math> संतोषजनक के लिए बाइनरी अवमुख संयोजन संचालन <math>\lambda \in [0,1]</math> से सुसज्जित है: | |||
* <math>c_0(x,y)=x</math> | * <math>c_0(x,y)=x</math> | ||
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* <math>c_\lambda(x,c_\mu(y,z))=c_{\lambda\mu}\left(c_{\frac{\lambda(1-\mu)}{1-\lambda\mu}}(x,y),z\right)</math> (के लिए <math>\lambda\mu\neq 1</math>) | * <math>c_\lambda(x,c_\mu(y,z))=c_{\lambda\mu}\left(c_{\frac{\lambda(1-\mu)}{1-\lambda\mu}}(x,y),z\right)</math> (के लिए <math>\lambda\mu\neq 1</math>) | ||
इससे, | इससे, n-एरी अवमुख संयोजन संचालन को परिभाषित करना संभव है, जो n-टुपल <math>(\lambda_1, \dots, \lambda_n)</math> द्वारा पैरामीट्रिज्ड है, जहां | ||
<math>\sum_i\lambda_i = 1</math>. | |||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
कोई भी वास्तविक एफ़िन | कोई भी वास्तविक एफ़िन समष्टि एक अवमुख समष्टि होता है। अधिक सामान्यतः, वास्तविक [[एफ़िन स्पेस|एफ़िन समष्टि]] का कोई भी [[उत्तल उपसमुच्चय|अवमुख उपसमुच्चय]] एक अवमुख समष्टि होता है। | ||
== इतिहास == | == इतिहास == | ||
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गणित में, अवमुख समष्टि (या बैरीसेंट्रिक बीजगणित) एक ऐसा समष्टि है जिसमें बिंदुओं के किसी भी समुच्चय का अवमुख संयोजन लेना संभव है।[1][2]
औपचारिक परिभाषा
अवमुख समष्टि को समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो प्रत्येक संतोषजनक के लिए बाइनरी अवमुख संयोजन संचालन से सुसज्जित है:
- (के लिए )
इससे, n-एरी अवमुख संयोजन संचालन को परिभाषित करना संभव है, जो n-टुपल द्वारा पैरामीट्रिज्ड है, जहां
.
उदाहरण
कोई भी वास्तविक एफ़िन समष्टि एक अवमुख समष्टि होता है। अधिक सामान्यतः, वास्तविक एफ़िन समष्टि का कोई भी अवमुख उपसमुच्चय एक अवमुख समष्टि होता है।
इतिहास
अवमुख समष्टि का स्वतंत्र रूप से अनेक बार आविष्कार किया गया है और उन्हें कम से कम स्टोन (1949) से भिन्न-भिन्न नाम दिए गए हैं।[3] इनका अध्ययन वाल्टर न्यूमैन (1970) [4] और स्विर्ज़कज़ (1974) [5] द्वारा भी किया गया था।
संदर्भ
- ↑ "उत्तल स्थान". nLab. Retrieved 3 April 2023.
- ↑ Fritz, Tobias (2009). "Convex Spaces I: Definition and Examples". arXiv:0903.5522 [math.MG].
- ↑ Stone, Marshall Harvey (1949). "बैरीसेंट्रिक कैलकुलस के लिए अभिधारणाएँ". Annali di Matematica Pura ed Applicata. 29: 25–30. doi:10.1007/BF02413910. S2CID 122252152.
- ↑ Neumann, Walter David (1970). "एफ़िन रिक्त स्थान के उत्तल उपसमुच्चय की बहुविविधता पर". Archiv der Mathematik. 21: 11–16. doi:10.1007/BF01220869. S2CID 124051153.
- ↑ Świrszcz, Tadeusz (1974). "मोनैडिक फ़ंक्टर और उत्तलता". Bulletin l'Académie Polonaise des Science, Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques. 22: 39–42.
