धनात्मक निश्चित फलन: Difference between revisions

Latest revision as of 22:34, 10 October 2023

गणित में, एक धनात्मक-निश्चित फलन, संदर्भ के आधार पर, दो प्रकार के फलन (गणित) में से एक होता है।

परिभाषा 1

मान लीजिये $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय हो और $\mathbb {C}$ सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है।

किसी फलन $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ को धनात्मक अर्ध-निश्चित कहा जाता है यदि किसी भी वास्तविक संख्या x1, …, xn n × n आव्यूह के लिए

$A=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^{n}~,\quad a_{ij}=f(x_{i}-x_{j})$

एक धनात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह है।

परिभाषा के अनुसार, एक धनात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह, जैसे $A$ , हर्मिटियन आव्यूह है; इसलिए f(−x) f(x)) का सम्मिश्र संयुग्म है।

विशेषकर, यह आवश्यक (परन्तु पर्याप्त नहीं) है कि

f(0)\geq 0~,\quad |f(x)|\leq f(0)

(ये असमानताएँ n = 1, 2 की स्थिति का अनुसरण करती हैं।)

यदि असमानता को उलट दिया जाए तो एक फलन नकारात्मक अर्ध-निश्चित होता है। यदि शक्तिहीन असमानता को शक्तिशाली (<, > 0) से बदल दिया जाए तो एक फलन निश्चित होता है।

उदाहरण

अगर $(X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ है तो फिर, यह एक वास्तविक आंतरिक उत्पाद स्थान $g_{y}\colon X\to \mathbb {C}$ है, प्रत्येक $y\in X$ के लिए $x\mapsto \exp(i\langle y,x\rangle )$ निश्चित रूप से निश्चित है: सभी $u\in \mathbb {C} ^{n}$ के लिए और सभी $x_{1},\ldots ,x_{n}$ हमारे पास निम्न है

u^{*}A^{(g_{y})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}e^{i\langle y,x_{k}-x_{j}\rangle }=\sum _{k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}e^{i\langle y,x_{k}\rangle }\sum _{j=1}^{n}u_{j}e^{-i\langle y,x_{j}\rangle }=\left|\sum _{j=1}^{n}{\overline {u_{j}}}e^{i\langle y,x_{j}\rangle }\right|^{2}\geq 0.

चूंकि धनात्मक निश्चित कार्यों के गैर-नकारात्मक रैखिक संयोजन फिर से धनात्मक निश्चित होते हैं, कोटिज्या फलन उपरोक्त कार्यों के गैर-नकारात्मक रैखिक संयोजन के रूप में धनात्मक निश्चित होता है:

\cos(x)={\frac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})={\frac {1}{2}}(g_{1}+g_{-1}).

कोई एक धनात्मक निश्चित कार्य $f\colon X\to \mathbb {C}$ बना सकता है धनात्मक निश्चित कार्य $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ से आसानी से किसी भी सदिश समष्टि $X$ के लिए : एक रैखिक फलन $\phi \colon X\to \mathbb {R}$ चुनें और $f^{*}:=f\circ \phi$ को परिभाषित करें।

तब

u^{*}A^{(f^{*})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f^{*}(x_{k}-x_{j})=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f(\phi (x_{k})-\phi (x_{j}))=u^{*}{\tilde {A}}^{(f)}u\geq 0,

जहाँ ${\tilde {A}}^{(f)}={\big (}f(\phi (x_{i})-\phi (x_{j}))=f({\tilde {x}}_{i}-{\tilde {x}}_{j}){\big )}_{i,j}$ जहाँ ${\tilde {x}}_{k}:=\phi (x_{k})$ के रूप में विशिष्ट हैं $\phi$ रैखिक है। ^[1]

बोचनर का प्रमेय

फूरियर रूपांतरण के सिद्धांत में धनात्मक-निश्चितता स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती है; इसे प्रत्यक्ष रूप से देखा जा सकता है कि धनात्मक-निश्चित होने के लिए f के लिए g(y) ≥ 0 के साथ वास्तविक रेखा पर फलन g का फूरियर रूपांतरण होना पर्याप्त है।

विपरीत परिणाम बोचनर का प्रमेय है, जिसमें कहा गया है कि वास्तविक रेखा पर कोई भी निरंतर कार्य धनात्मक-निश्चित फलन एक (धनात्मक) माप (गणित) का फूरियर रूपांतरण है। ^[2]

अनुप्रयोग

सांख्यिकी में, और विशेष रूप से बायेसियन सांख्यिकी में, प्रमेय सामान्यतः वास्तविक कार्यों पर लागू होता है। सामान्यतः, बिंदुओं पर कुछ अदिश मान का n अदिश माप $R^{d}$ लिया जाता है और जो बिंदु परस्पर निकट होते हैं, उनके लिए ऐसे माप की आवश्यकता होती है जो अत्यधिक सहसंबद्ध हों। व्यवहार में, किसी को यह सुनिश्चित करने के लिए सावधान रहना चाहिए कि परिणामी सहप्रसरण आव्यूह (ए n × n आव्यूह) हमेशा धनात्मक-निश्चित होता है। एक रणनीति एक सहसंबंध आव्यूह ए को परिभाषित करना है जिसे सहप्रसरण आव्यूह देने के लिए एक अदिश राशि से गुणा किया जाता है: यह धनात्मक-निश्चित होना चाहिए। बोचनर के प्रमेय में कहा गया है कि यदि दो बिंदुओं के बीच सहसंबंध केवल उनके बीच की दूरी (फलन एफ के माध्यम से) पर निर्भर है, तो सहप्रसरण आव्यूह ए धनात्मक-निश्चित है यह सुनिश्चित करने के लिए फलन एफ को धनात्मक-निश्चित होना चाहिए। क्रीजिंग देखें।

इस संदर्भ में, फूरियर शब्दावली का सामान्य रूप से उपयोग नहीं किया जाता है और इसके स्थान पर यह कहा जाता है कि f(x) एक सममित संभाव्यता घनत्व फलन (पीडीएफ) का विशेषता फलन (संभावना सिद्धांत) है।

सामान्यीकरण

कोई भी स्थानीय रूप से सघन एबेलियन सांस्थितिक समूह पर धनात्मक-निश्चित कार्यों को परिभाषित कर सकता है; बोचनर का प्रमेय इस संदर्भ तक विस्तारित है। समूहों पर धनात्मक-निश्चित कार्य हिल्बर्ट स्थानों पर समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत (यानी एकात्मक प्रतिनिधित्व के सिद्धांत) में स्वाभाविक रूप से होते हैं।

परिभाषा 2

वैकल्पिक रूप से, एक फलन $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ को मूल के प्रतिवैस D पर धनात्मक-निश्चित कहा जाता है यदि प्रत्येक गैर-शून्य $x\in D$ के लिए $f(0)=0$ और $f(x)>0$ है। ^[3]^[4]

ध्यान दें कि यह परिभाषा ऊपर दी गई परिभाषा 1 से विरोधाभासी है।

भौतिकी में, $f(0)=0$ की आवश्यकता को कभी-कभी हटा दिया जाता है (देखें, उदाहरण के लिए, कॉर्नी और ऑलसेन^[5])।

यह भी देखें

धनात्मक-निश्चित कर्नेल

संदर्भ

Christian Berg, Christensen, Paul Ressel. Harmonic Analysis on Semigroups, GTM, Springer Verlag.
Z. Sasvári, Positive Definite and Definitizable Functions, Akademie Verlag, 1994
Wells, J. H.; Williams, L. R. Embeddings and extensions in analysis. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 84. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975. vii+108 pp.

↑ Cheney, Elliot Ward (2009). सन्निकटन सिद्धांत में एक पाठ्यक्रम. American Mathematical Society. pp. 77–78. ISBN 9780821847985. Retrieved 3 February 2022.
↑ Bochner, Salomon (1959). फूरियर इंटीग्रल्स पर व्याख्यान. Princeton University Press.
↑ Verhulst, Ferdinand (1996). नॉनलीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन और डायनामिकल सिस्टम (2nd ed.). Springer. ISBN 3-540-60934-2.
↑ Hahn, Wolfgang (1967). गति की स्थिरता. Springer.
↑ Corney, J. F.; Olsen, M. K. (19 February 2015). "गैर-गाऊसी शुद्ध अवस्थाएँ और सकारात्मक विग्नर फ़ंक्शन". Physical Review A. 91 (2): 023824. arXiv:1412.4868. Bibcode:2015PhRvA..91b3824C. doi:10.1103/PhysRevA.91.023824. ISSN 1050-2947. S2CID 119293595.

बाहरी संबंध

"Positive-definite function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Cheney, Elliot Ward (2009). सन्निकटन सिद्धांत में एक पाठ्यक्रम. American Mathematical Society. pp. 77–78. ISBN 9780821847985. Retrieved 3 February 2022.

[2] Bochner, Salomon (1959). फूरियर इंटीग्रल्स पर व्याख्यान. Princeton University Press.

[3] Verhulst, Ferdinand (1996). नॉनलीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन और डायनामिकल सिस्टम (2nd ed.). Springer. ISBN 3-540-60934-2.

[4] Hahn, Wolfgang (1967). गति की स्थिरता. Springer.

[5] Corney, J. F.; Olsen, M. K. (19 February 2015). "गैर-गाऊसी शुद्ध अवस्थाएँ और सकारात्मक विग्नर फ़ंक्शन". Physical Review A. 91 (2): 023824. arXiv:1412.4868. Bibcode:2015PhRvA..91b3824C. doi:10.1103/PhysRevA.91.023824. ISSN 1050-2947. S2CID 119293595.

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 {{Short description|Bimodal function}}
-गणित में, एक सकारात्मक-निश्चित फ़ंक्शन, संदर्भ के आधार पर, दो प्रकार के [[फ़ंक्शन (गणित)]] में से एक होता है।
+गणित में, एक '''धनात्मक-निश्चित फलन''', संदर्भ के आधार पर, दो प्रकार के [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] में से एक होता है।
 == परिभाषा 1 ==
-होने देना <math>\mathbb{R}</math> [[वास्तविक संख्या]]ओं का समुच्चय हो और <math>\mathbb{C}</math> सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय बनें।
+मान लीजिये <math>\mathbb{R}</math> [[वास्तविक संख्या]]ओं का समुच्चय हो और <math>\mathbb{C}</math> सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है।
-एक समारोह <math> f: \mathbb{R} \to \mathbb{C} </math> यदि किसी के लिए हो तो इसे सकारात्मक अर्ध-निश्चित कहा जाता है{{clarify|reason="Any" here is ambiguous. Does this mean "for all sets of real numbers x1, …, xn" or  "there exists a set of real numbers x1, …, xn"?|date=June 2023}} वास्तविक संख्या x<sub>1</sub>, …, एक्स<sub>''n''</sub> n × n [[मैट्रिक्स (गणित)]]
+किसी फलन <math> f: \mathbb{R} \to \mathbb{C} </math> को धनात्मक अर्ध-निश्चित कहा जाता है यदि किसी भी वास्तविक संख्या x1, …, xn n × n आव्यूह के लिए
-:<math> A = \left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^n~, \quad a_{ij} = f(x_i - x_j) </math>
+<math> A = \left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^n~, \quad a_{ij} = f(x_i - x_j) </math>
-एक सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है | सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स।{{citation needed|date=June 2023}}
-परिभाषा के अनुसार, एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स, जैसे <math>A</math>, [[हर्मिटियन मैट्रिक्स]] है; इसलिए f(−x) f(x)) का सम्मिश्र संयुग्म है।
+एक धनात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह है।
-विशेषकर, यह आवश्यक (परन्तु पर्याप्त नहीं) है
+परिभाषा के अनुसार, एक धनात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह, जैसे <math>A</math>, [[हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन आव्यूह]] है; इसलिए f(−x) f(x)) का सम्मिश्र संयुग्म है।
+विशेषकर, यह आवश्यक (परन्तु पर्याप्त नहीं) है कि
 :<math> f(0) \geq 0~, \quad |f(x)| \leq f(0) </math>
 (ये असमानताएँ n = 1, 2 की स्थिति का अनुसरण करती हैं।)
-यदि असमानता को उलट दिया जाए तो एक फ़ंक्शन नकारात्मक अर्ध-निश्चित होता है। यदि कमजोर असमानता को मजबूत (<, > 0) से बदल दिया जाए तो एक फ़ंक्शन निश्चित होता है।
+यदि असमानता को उलट दिया जाए तो एक फलन नकारात्मक अर्ध-निश्चित होता है। यदि शक्तिहीन असमानता को शक्तिशाली (<, > 0) से बदल दिया जाए तो एक फलन निश्चित होता है।
 ===उदाहरण===
-अगर <math>(X, \langle \cdot, \cdot \rangle)</math> तो फिर, यह एक वास्तविक [[आंतरिक उत्पाद स्थान]] है <math>g_y \colon X \to \mathbb{C}</math>, <math>x \mapsto \exp(i \langle y, x \rangle)</math> प्रत्येक के लिए निश्चित रूप से निश्चित है <math>y \in X</math>: सभी के लिए <math>u \in \mathbb{C}^n</math> और सभी <math>x_1, \ldots, x_n</math> हमारे पास है
+अगर <math>(X, \langle \cdot, \cdot \rangle)</math> है तो फिर, यह एक वास्तविक [[आंतरिक उत्पाद स्थान]] <math>g_y \colon X \to \mathbb{C}</math> है,  प्रत्येक <math>y \in X</math> के लिए <math>x \mapsto \exp(i \langle y, x \rangle)</math> निश्चित रूप से निश्चित है: सभी <math>u \in \mathbb{C}^n</math> के लिए और सभी <math>x_1, \ldots, x_n</math> हमारे पास निम्न है
 :<math>
 u^* A^{(g_y)} u
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 \ge 0.
 </math>
-चूंकि सकारात्मक निश्चित कार्यों के गैर-नकारात्मक रैखिक संयोजन फिर से सकारात्मक निश्चित होते हैं, [[कोसाइन फ़ंक्शन]] उपरोक्त कार्यों के गैर-नकारात्मक रैखिक संयोजन के रूप में सकारात्मक निश्चित होता है:
+चूंकि धनात्मक निश्चित कार्यों के गैर-नकारात्मक रैखिक संयोजन फिर से धनात्मक निश्चित होते हैं, [[कोसाइन फ़ंक्शन|कोटिज्या फलन]] उपरोक्त कार्यों के गैर-नकारात्मक रैखिक संयोजन के रूप में धनात्मक निश्चित होता है:
 :<math>
 \cos(x) = \frac{1}{2} ( e^{i x} + e^{- i x}) = \frac{1}{2}(g_{1} + g_{-1}).
 </math>
-कोई एक सकारात्मक निश्चित कार्य बना सकता है <math>f \colon X \to \mathbb{C}</math> सकारात्मक निश्चित कार्य से आसानी से <math>f \colon \R \to \mathbb C</math> किसी भी सदिश समष्टि के लिए <math>X</math>: एक रैखिक फ़ंक्शन चुनें <math>\phi \colon X \to \R</math> और परिभाषित करें <math>f^* := f \circ \phi</math>.
+कोई एक धनात्मक निश्चित कार्य <math>f \colon X \to \mathbb{C}</math> बना सकता है धनात्मक निश्चित कार्य <math>f \colon \R \to \mathbb C</math> से आसानी से किसी भी सदिश समष्टि <math>X</math> के लिए : एक रैखिक फलन <math>\phi \colon X \to \R</math> चुनें और <math>f^* := f \circ \phi</math> को परिभाषित करें।
 तब
 :<math>
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 \ge 0,
 </math>
-कहाँ <math>\tilde{A}^{(f)} = \big( f(\phi(x_i) - \phi(x_j)) = f(\tilde{x}_i - \tilde{x}_j) \big)_{i, j}</math> कहाँ <math>\tilde{x}_k := \phi(x_k)</math> के रूप में विशिष्ट हैं <math>\phi</math> रैखिक है.<ref>{{cite book |last1=Cheney |first1=Elliot Ward |title=सन्निकटन सिद्धांत में एक पाठ्यक्रम|date=2009 |publisher=American Mathematical Society |isbn=9780821847985 |pages=77–78 |url=https://books.google.com/books?id=II6DAwAAQBAJ |access-date=3 February 2022}}</ref>
+जहाँ <math>\tilde{A}^{(f)} = \big( f(\phi(x_i) - \phi(x_j)) = f(\tilde{x}_i - \tilde{x}_j) \big)_{i, j}</math> जहाँ <math>\tilde{x}_k := \phi(x_k)</math> के रूप में विशिष्ट हैं <math>\phi</math> रैखिक है। <ref>{{cite book |last1=Cheney |first1=Elliot Ward |title=सन्निकटन सिद्धांत में एक पाठ्यक्रम|date=2009 |publisher=American Mathematical Society |isbn=9780821847985 |pages=77–78 |url=https://books.google.com/books?id=II6DAwAAQBAJ |access-date=3 February 2022}}</ref>
 ===बोचनर का प्रमेय===
-{{main|Bochner's theorem}}
+{{main|बोचनर का प्रमेय}}
-[[फूरियर रूपांतरण]] के सिद्धांत में सकारात्मक-निश्चितता स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती है; इसे प्रत्यक्ष रूप से देखा जा सकता है कि सकारात्मक-निश्चित होने के लिए f के लिए g(y) ≥ 0 के साथ वास्तविक रेखा पर फ़ंक्शन g का फूरियर रूपांतरण होना पर्याप्त है।
+[[फूरियर रूपांतरण]] के सिद्धांत में धनात्मक-निश्चितता स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती है; इसे प्रत्यक्ष रूप से देखा जा सकता है कि धनात्मक-निश्चित होने के लिए f के लिए g(y) ≥ 0 के साथ वास्तविक रेखा पर फलन g का फूरियर रूपांतरण होना पर्याप्त है।
-विपरीत परिणाम बोचनर का प्रमेय है, जिसमें कहा गया है कि वास्तविक रेखा पर कोई भी निरंतर कार्य सकारात्मक-निश्चित फ़ंक्शन एक (सकारात्मक) [[माप (गणित)]] का फूरियर रूपांतरण है।<ref>{{cite book | last=Bochner | first=Salomon | authorlink=Salomon Bochner | title=फूरियर इंटीग्रल्स पर व्याख्यान| url=https://archive.org/details/lecturesonfourie0000boch | url-access=registration | publisher=Princeton University Press | year=1959}}</ref>
+विपरीत परिणाम बोचनर का प्रमेय है, जिसमें कहा गया है कि वास्तविक रेखा पर कोई भी निरंतर कार्य धनात्मक-निश्चित फलन एक (धनात्मक) [[माप (गणित)]] का फूरियर रूपांतरण है। <ref>{{cite book | last=Bochner | first=Salomon | authorlink=Salomon Bochner | title=फूरियर इंटीग्रल्स पर व्याख्यान| url=https://archive.org/details/lecturesonfourie0000boch | url-access=registration | publisher=Princeton University Press | year=1959}}</ref>
 ====अनुप्रयोग====
-सांख्यिकी में, और विशेष रूप से बायेसियन सांख्यिकी में, प्रमेय आमतौर पर वास्तविक कार्यों पर लागू होता है। आमतौर पर, बिंदुओं पर कुछ अदिश मान का n अदिश माप <math>R^d</math> लिया जाता है और जो बिंदु परस्पर निकट होते हैं, उनके लिए ऐसे माप की आवश्यकता होती है जो अत्यधिक सहसंबद्ध हों। व्यवहार में, किसी को यह सुनिश्चित करने के लिए सावधान रहना चाहिए कि परिणामी सहप्रसरण मैट्रिक्स (ए {{nowrap|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}}मैट्रिक्स) हमेशा सकारात्मक-निश्चित होता है। एक रणनीति एक सहसंबंध मैट्रिक्स ए को परिभाषित करना है जिसे सहप्रसरण मैट्रिक्स देने के लिए एक अदिश राशि से गुणा किया जाता है: यह सकारात्मक-निश्चित होना चाहिए। बोचनर के प्रमेय में कहा गया है कि यदि दो बिंदुओं के बीच सहसंबंध केवल उनके बीच की दूरी (फ़ंक्शन एफ के माध्यम से) पर निर्भर है, तो सहप्रसरण मैट्रिक्स ए सकारात्मक-निश्चित है यह सुनिश्चित करने के लिए फ़ंक्शन एफ को सकारात्मक-निश्चित होना चाहिए। [[ युद्ध ]] देखें।
+सांख्यिकी में, और विशेष रूप से बायेसियन सांख्यिकी में, प्रमेय सामान्यतः वास्तविक कार्यों पर लागू होता है। सामान्यतः, बिंदुओं पर कुछ अदिश मान का n अदिश माप <math>R^d</math> लिया जाता है और जो बिंदु परस्पर निकट होते हैं, उनके लिए ऐसे माप की आवश्यकता होती है जो अत्यधिक सहसंबद्ध हों। व्यवहार में, किसी को यह सुनिश्चित करने के लिए सावधान रहना चाहिए कि परिणामी सहप्रसरण आव्यूह (ए {{nowrap|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}} आव्यूह) हमेशा धनात्मक-निश्चित होता है। एक रणनीति एक सहसंबंध आव्यूह ए को परिभाषित करना है जिसे सहप्रसरण आव्यूह देने के लिए एक अदिश राशि से गुणा किया जाता है: यह धनात्मक-निश्चित होना चाहिए। बोचनर के प्रमेय में कहा गया है कि यदि दो बिंदुओं के बीच सहसंबंध केवल उनके बीच की दूरी (फलन एफ के माध्यम से) पर निर्भर है, तो सहप्रसरण आव्यूह ए धनात्मक-निश्चित है यह सुनिश्चित करने के लिए फलन एफ को धनात्मक-निश्चित होना चाहिए। [[ युद्ध |क्रीजिंग]] देखें।
-इस संदर्भ में, फूरियर शब्दावली का सामान्य रूप से उपयोग नहीं किया जाता है और इसके बजाय यह कहा जाता है कि f(x) एक [[सममित]] संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन | संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) का विशेषता फ़ंक्शन (संभावना सिद्धांत) है।
+इस संदर्भ में, फूरियर शब्दावली का सामान्य रूप से उपयोग नहीं किया जाता है और इसके स्थान पर यह कहा जाता है कि f(x) एक [[सममित]] संभाव्यता घनत्व फलन (पीडीएफ) का विशेषता फलन (संभावना सिद्धांत) है।
 ===सामान्यीकरण===
-{{main|Positive-definite function on a group}}
+{{main|एक समूह पर धनात्मक-निश्चित फलन}}
-कोई भी [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन टोपोलॉजिकल समूह]] पर सकारात्मक-निश्चित कार्यों को परिभाषित कर सकता है; बोचनर का प्रमेय इस संदर्भ तक विस्तारित है। समूहों पर सकारात्मक-निश्चित कार्य [[हिल्बर्ट स्थान]]ों पर समूहों के [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] (यानी [[एकात्मक प्रतिनिधित्व]] के सिद्धांत) में स्वाभाविक रूप से होते हैं।
+कोई भी [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन टोपोलॉजिकल समूह|स्थानीय रूप से सघन एबेलियन सांस्थितिक समूह]] पर धनात्मक-निश्चित कार्यों को परिभाषित कर सकता है; बोचनर का प्रमेय इस संदर्भ तक विस्तारित है। समूहों पर धनात्मक-निश्चित कार्य [[हिल्बर्ट स्थान|हिल्बर्ट स्थानों]] पर समूहों के [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] (यानी [[एकात्मक प्रतिनिधित्व]] के सिद्धांत) में स्वाभाविक रूप से होते हैं।
 ==परिभाषा 2==
-वैकल्पिक रूप से, एक फ़ंक्शन <math>f : \reals^n \to \reals</math> यदि मूल के [[पड़ोस (गणित)]] डी पर सकारात्मक-निश्चित कहा जाता है <math>f(0) = 0</math> और <math>f(x) > 0</math> प्रत्येक गैर-शून्य के लिए <math>x \in D</math>.<ref>{{cite book|last=Verhulst|first=Ferdinand|title=नॉनलीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन और डायनामिकल सिस्टम|edition=2nd|publisher=Springer|year=1996|isbn=3-540-60934-2}}</ref><ref>{{cite book|last=Hahn|first=Wolfgang|title=गति की स्थिरता|url=https://archive.org/details/stabilityofmotio0000hahn|url-access=registration|publisher=Springer|year=1967}}</ref> ध्यान दें कि यह परिभाषा ऊपर दी गई परिभाषा 1 से विरोधाभासी है।
+वैकल्पिक रूप से, एक फलन <math>f : \reals^n \to \reals</math> को मूल के प्रतिवैस D पर धनात्मक-निश्चित कहा जाता है यदि प्रत्येक गैर-शून्य <math>x \in D</math> के लिए <math>f(0) = 0</math> और <math>f(x) > 0</math> है। <ref>{{cite book|last=Verhulst|first=Ferdinand|title=नॉनलीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन और डायनामिकल सिस्टम|edition=2nd|publisher=Springer|year=1996|isbn=3-540-60934-2}}</ref><ref>{{cite book|last=Hahn|first=Wolfgang|title=गति की स्थिरता|url=https://archive.org/details/stabilityofmotio0000hahn|url-access=registration|publisher=Springer|year=1967}}</ref>
+ध्यान दें कि यह परिभाषा ऊपर दी गई परिभाषा 1 से विरोधाभासी है।
-भौतिकी में, आवश्यकता है कि <math>f(0) = 0</math> कभी-कभी गिरा दिया जाता है (देखें, उदाहरण के लिए, कॉर्नी और ऑलसेन<ref>{{cite journal|first1=J. F.|last1=Corney|first2=M. K.|last2=Olsen|title=गैर-गाऊसी शुद्ध अवस्थाएँ और सकारात्मक विग्नर फ़ंक्शन|journal=Physical Review A|date=19 February 2015|issn=1050-2947 |pages=023824|volume=91|issue=2|doi=10.1103/PhysRevA.91.023824|arxiv=1412.4868|bibcode=2015PhRvA..91b3824C|s2cid=119293595}}</ref>).
+भौतिकी में, <math>f(0) = 0</math> की आवश्यकता को कभी-कभी हटा दिया जाता है (देखें, उदाहरण के लिए, कॉर्नी और ऑलसेन<ref>{{cite journal|first1=J. F.|last1=Corney|first2=M. K.|last2=Olsen|title=गैर-गाऊसी शुद्ध अवस्थाएँ और सकारात्मक विग्नर फ़ंक्शन|journal=Physical Review A|date=19 February 2015|issn=1050-2947 |pages=023824|volume=91|issue=2|doi=10.1103/PhysRevA.91.023824|arxiv=1412.4868|bibcode=2015PhRvA..91b3824C|s2cid=119293595}}</ref>)।
 ==यह भी देखें==
-* [[सकारात्मक-निश्चित कर्नेल]]
+* [[सकारात्मक-निश्चित कर्नेल|धनात्मक-निश्चित कर्नेल]]
 ==संदर्भ==
@@ Line 89: / Line 94: @@
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