हैन एम्बेडिंग प्रमेय: Difference between revisions
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गणित में, विशेष रूप से [[एबेलियन समूह]] पर क्रमबद्ध संरचनाओं से निपटने वाले एब्स्ट्रेक्ट बीजगणित के क्षेत्र में, हैन एम्बेडिंग प्रमेय सभी [[रैखिक रूप से आदेशित समूह]] का सरल विवरण देता है। इसका नाम [[हंस हैन (गणितज्ञ)]] के नाम पर रखा गया है।<ref>{{Cite web|title=lo.logic - हैन की एम्बेडिंग प्रमेय और सेट सिद्धांत में सबसे पुराना खुला प्रश्न|url=https://mathoverflow.net/questions/128935/hahns-embedding-theorem-and-the-oldest-open-question-in-set-theory|access-date=2021-01-28|website=MathOverflow}}</ref> | |||
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प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक रैखिक रूप से आदेशित एबेलियन समूह g को योगात्मक समूह के एक आदेशित [[उपसमूह]] के रूप में [[एम्बेडिंग]] किया जा सकता है, इस प्रकार ℝ<sup>Ω</sup> एक शब्दकोषीय क्रम के साथ संपन्न होता है, जहां ℝ वास्तविक [[वास्तविक संख्या|संख्या]]ओं का योगात्मक समूह है (इसके मानक क्रम के साथ) इस प्रकार Ω आर्किमिडीयन [[तुल्यता वर्ग]] का समुच्चय है जो g और ℝ<sup>Ω</sup> की कक्षाएं Ω से ℝ तक सभी कार्यों का समुच्चय है जो एक [[सुव्यवस्थित सेट|सुव्यवस्थित समुच्चय]] के बाहर विलुप्त हो जाती हैं। | |||
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मान लीजिए 0, G के तत्समक अवयव को निरूपित करता है। G के किसी भी शून्येतर अवयव g के लिए, अवयवों g या -g में से कोई | मान लीजिए 0, G के तत्समक अवयव को निरूपित करता है। जिससे G के किसी भी शून्येतर अवयव g के लिए, अवयवों g या -g में से कोई तत्व 0 से बड़ा है; इस तत्व को |g| से निरूपित करें। G के दो शून्येतर तत्व g और h आर्किमिडीयन समतुल्य हैं यदि [[प्राकृतिक संख्या]] N और M उपस्थित हैं जैसे कि N|g| > |h| और m|h| > |g|. सहज रूप से इसका कारण यह है कि न तो g और न ही h दूसरे के संबंध में "अतिसूक्ष्म" है। समूह g आर्किमिडीयन है इस प्रकार यदि सभी शून्येतर तत्व आर्किमिडीयन-समतुल्य हैं। इस स्थिति में Ω एक [[सिंगलटन (गणित)]] है इसलिए ℝ<sup>Ω</sup> केवल वास्तविक संख्याओं का समूह है। फिर हैन की एंबेडिंग प्रमेय होल्डर के प्रमेय को कम कर देता है (जो बताता है कि एक रैखिक रूप से आदेशित एबेलियन समूह आर्किमिडीयन है [[अगर और केवल अगर|यदि और केवल यदि]] यह वास्तविक संख्याओं के आदेशित योगात्मक समूह का एक उपसमूह है)। | ||
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गणित में, विशेष रूप से एबेलियन समूह पर क्रमबद्ध संरचनाओं से निपटने वाले एब्स्ट्रेक्ट बीजगणित के क्षेत्र में, हैन एम्बेडिंग प्रमेय सभी रैखिक रूप से आदेशित समूह का सरल विवरण देता है। इसका नाम हंस हैन (गणितज्ञ) के नाम पर रखा गया है।[1]
अवलोकन
प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक रैखिक रूप से आदेशित एबेलियन समूह g को योगात्मक समूह के एक आदेशित उपसमूह के रूप में एम्बेडिंग किया जा सकता है, इस प्रकार ℝΩ एक शब्दकोषीय क्रम के साथ संपन्न होता है, जहां ℝ वास्तविक संख्याओं का योगात्मक समूह है (इसके मानक क्रम के साथ) इस प्रकार Ω आर्किमिडीयन तुल्यता वर्ग का समुच्चय है जो g और ℝΩ की कक्षाएं Ω से ℝ तक सभी कार्यों का समुच्चय है जो एक सुव्यवस्थित समुच्चय के बाहर विलुप्त हो जाती हैं।
मान लीजिए 0, G के तत्समक अवयव को निरूपित करता है। जिससे G के किसी भी शून्येतर अवयव g के लिए, अवयवों g या -g में से कोई तत्व 0 से बड़ा है; इस तत्व को |g| से निरूपित करें। G के दो शून्येतर तत्व g और h आर्किमिडीयन समतुल्य हैं यदि प्राकृतिक संख्या N और M उपस्थित हैं जैसे कि N|g| > |h| और m|h| > |g|. सहज रूप से इसका कारण यह है कि न तो g और न ही h दूसरे के संबंध में "अतिसूक्ष्म" है। समूह g आर्किमिडीयन है इस प्रकार यदि सभी शून्येतर तत्व आर्किमिडीयन-समतुल्य हैं। इस स्थिति में Ω एक सिंगलटन (गणित) है इसलिए ℝΩ केवल वास्तविक संख्याओं का समूह है। फिर हैन की एंबेडिंग प्रमेय होल्डर के प्रमेय को कम कर देता है (जो बताता है कि एक रैखिक रूप से आदेशित एबेलियन समूह आर्किमिडीयन है यदि और केवल यदि यह वास्तविक संख्याओं के आदेशित योगात्मक समूह का एक उपसमूह है)।
ग्रेवेट (1956) प्रमेय का स्पष्ट कथन और गणितीय प्रमाण देता है। जो कागजात क्लिफोर्ड (1954) और हॉस्नर & वेंडेल (1952) साथ में एक और प्रमाण देता है। यह सभी देखें फुच & साल्स (2001, p. 62).
यह भी देखें
- आर्किमिडीज़ समूह
संदर्भ
- ↑ "lo.logic - हैन की एम्बेडिंग प्रमेय और सेट सिद्धांत में सबसे पुराना खुला प्रश्न". MathOverflow. Retrieved 2021-01-28.
- Fuchs, László; Salce, Luigi (2001), Modules over non-Noetherian domains, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 84, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1963-0, MR 1794715
- Ehrlich, Philip (1995), "Hahn's "Über die nichtarchimedischen Grössensysteme" and the Origins of the Modern Theory of Magnitudes and Numbers to Measure Them", in Hintikka, Jaakko (ed.), From Dedekind to Gödel: Essays on the Development of the Foundations of Mathematics (PDF), Kluwer Academic Publishers, pp. 165–213
- Hahn, H. (1907), "Über die nichtarchimedischen Größensysteme.", Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien, Mathematisch - Naturwissenschaftliche Klasse (Wien. Ber.) (in German), 116: 601–655
{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link) - Gravett, K. A. H. (1956), "Ordered Abelian Groups", The Quarterly Journal of Mathematics, Second Series, 7: 57–63, doi:10.1093/qmath/7.1.57
- Clifford, A.H. (1954), "Note on Hahn's Theorem on Ordered Abelian Groups", Proceedings of the American Mathematical Society, 5 (6): 860–863, doi:10.2307/2032549
- Hausner, M.; Wendel, J.G. (1952), "Ordered vector spaces", Proceedings of the American Mathematical Society, 3: 977–982, doi:10.1090/S0002-9939-1952-0052045-1
