पार स्पेक्ट्रम: Difference between revisions

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[[समय श्रृंखला विश्लेषण]] में, क्रॉस-स्पेक्ट्रम का उपयोग दो समय श्रृंखलाओं के बीच क्रॉस-सहसंबंध या [[क्रॉस-सहप्रसरण]] के [[आवृत्ति डोमेन]] विश्लेषण के भाग के रूप में किया जाता है।
[[समय श्रृंखला विश्लेषण]] में '''क्रॉस-स्पेक्ट्रम''' का उपयोग दो समय श्रृंखलाओं के मध्य क्रॉस-सहसंबंध या [[क्रॉस-सहप्रसरण]] के [[आवृत्ति डोमेन]] विश्लेषण के भाग के रूप में किया जाता है।


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
होने देना <math>(X_t,Y_t)</math> स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं की एक जोड़ी का प्रतिनिधित्व करते हैं जो [[स्वत: सहप्रसरण]] फलन के साथ संयुक्त रूप से [[व्यापक अर्थ स्थिर]] हैं <math>\gamma_{xx}</math> और <math>\gamma_{yy}</math> और क्रॉस-सहसंबंध या समय_श्रृंखला_विश्लेषण|क्रॉस-सहप्रसरण फ़ंक्शन <math>\gamma_{xy}</math>. फिर क्रॉस-स्पेक्ट्रम <math>\Gamma_{xy}</math> के [[फूरियर रूपांतरण]] के रूप में परिभाषित किया गया है <math>\gamma_{xy}</math> <ref name=":0">{{Cite book
मान लीजिए <math>(X_t,Y_t)</math> स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं की जोड़ी का प्रतिनिधित्व करता है जो संयुक्त रूप से ऑटोकोवेरिएंस फलन <math>\gamma_{xx}</math>और <math>\gamma_{yy}</math> और क्रॉस-कोवेरिएंस फलन के साथ व्यापक अर्थ स्थिर हैं। जिसमे <math>\gamma_{xy}</math> फिर क्रॉस-स्पेक्ट्रम <math>\Gamma_{xy}</math> को <math>\gamma_{xy}</math> के फूरियर रूपांतरण के रूप में परिभाषित किया गया है।<ref name=":0">{{Cite book
| publisher = Cambridge Univ Pr
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मान लीजिए <math>(X_t,Y_t)</math> स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं की एक जोड़ी का प्रतिनिधित्व करता है जो संयुक्त रूप से ऑटोकोवेरिएंस फलन <math>\gamma_{xx}</math>और <math>\gamma_{yy}</math> और क्रॉस-कोवेरिएंस फलन के साथ व्यापक अर्थ स्थिर हैं।  जिसमे <math>\gamma_{xy}</math> फिर क्रॉस-स्पेक्ट्रम <math>\Gamma_{xy}</math> को <math>\gamma_{xy}</math> के फूरियर रूपांतरण के रूप में परिभाषित किया गया है।<ref name=":0" />
: <math>
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\Gamma_{xy}(f)= \mathcal{F}\{\gamma_{xy}\}(f) = \sum_{\tau=-\infty}^\infty \,\gamma_{xy}(\tau) \,e^{-2\,\pi\,i\,\tau\,f} ,
\Gamma_{xy}(f)= \mathcal{F}\{\gamma_{xy}\}(f) = \sum_{\tau=-\infty}^\infty \,\gamma_{xy}(\tau) \,e^{-2\,\pi\,i\,\tau\,f} ,
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यहाँ, आयाम स्पेक्ट्रम <math>A_{xy}</math> द्वारा दिया गया है
यहाँ, आयाम स्पेक्ट्रम <math>A_{xy}</math> द्वारा दिया गया है
: <math>A_{xy}(f)= (\Lambda_{xy}(f)^2 + \Psi_{xy}(f)^2)^\frac{1}{2} ,</math>
: <math>A_{xy}(f)= (\Lambda_{xy}(f)^2 + \Psi_{xy}(f)^2)^\frac{1}{2} ,</math>
और चरण स्पेक्ट्रम <math>\Phi_{xy}</math> द्वारा दिया गया है
और फेज स्पेक्ट्रम <math>\Phi_{xy}</math> द्वारा दिया गया है
: <math>\begin{cases}
: <math>\begin{cases}
   \tan^{-1} (  \Psi_{xy}(f) / \Lambda_{xy}(f)  )    & \text{if } \Psi_{xy}(f) \ne 0 \text{ and } \Lambda_{xy}(f) \ne 0 \\
   \tan^{-1} (  \Psi_{xy}(f) / \Lambda_{xy}(f)  )    & \text{if } \Psi_{xy}(f) \ne 0 \text{ and } \Lambda_{xy}(f) \ne 0 \\
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   -\pi/2 & \text{if } \Psi_{xy}(f) < 0 \text{ and } \Lambda_{xy}(f) = 0 \\
   -\pi/2 & \text{if } \Psi_{xy}(f) < 0 \text{ and } \Lambda_{xy}(f) = 0 \\
\end{cases}</math>
\end{cases}</math>
== वर्गाकार सुसंगति स्पेक्ट्रम                                                                                                                                        ==
== वर्गाकार सुसंगति स्पेक्ट्रम                                                                                                                                        ==
वर्गाकार [[सुसंगतता (सिग्नल प्रोसेसिंग)]] द्वारा दी गई है
वर्गाकार [[सुसंगतता (सिग्नल प्रोसेसिंग)]] द्वारा दी गई है
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==यह भी देखें==
==यह भी देखें==
* क्रॉस-सहसंबंध या समय_श्रृंखला_विश्लेषण या क्रॉस-सहसंबंध
* क्रॉस-कोवेरिएंस
*स्पेक्ट्रल_घनत्व या पावर_स्पेक्ट्रल_घनत्व
*पावर स्पेक्ट्रम
* [[स्केल्ड सहसंबंध]]
* [[स्केल्ड सहसंबंध]]


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Latest revision as of 10:26, 26 November 2023

समय श्रृंखला विश्लेषण में क्रॉस-स्पेक्ट्रम का उपयोग दो समय श्रृंखलाओं के मध्य क्रॉस-सहसंबंध या क्रॉस-सहप्रसरण के आवृत्ति डोमेन विश्लेषण के भाग के रूप में किया जाता है।

परिभाषा

मान लीजिए स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं की जोड़ी का प्रतिनिधित्व करता है जो संयुक्त रूप से ऑटोकोवेरिएंस फलन और और क्रॉस-कोवेरिएंस फलन के साथ व्यापक अर्थ स्थिर हैं। जिसमे फिर क्रॉस-स्पेक्ट्रम को के फूरियर रूपांतरण के रूप में परिभाषित किया गया है।[1]

जहाँ

.

क्रॉस-स्पेक्ट्रम का प्रतिनिधित्व (i) इसके वास्तविक भाग (सह-स्पेक्ट्रम) और (ii) इसके काल्पनिक भाग (चतुर्भुज स्पेक्ट्रम) में अपघटन के रूप में होता है।

और (ii) ध्रुवीय निर्देशांक में

यहाँ, आयाम स्पेक्ट्रम द्वारा दिया गया है

और फेज स्पेक्ट्रम द्वारा दिया गया है

वर्गाकार सुसंगति स्पेक्ट्रम

वर्गाकार सुसंगतता (सिग्नल प्रोसेसिंग) द्वारा दी गई है

जो आयामहीन इकाइयों में आयाम स्पेक्ट्रम को व्यक्त करता है।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. von Storch, H.; F. W Zwiers (2001). Statistical analysis in climate research. Cambridge Univ Pr. ISBN 0-521-01230-9.