परासांख्यिकी: Difference between revisions

Latest revision as of 22:30, 5 December 2023

क्वांटम यांत्रिकी और सांख्यिकीय यांत्रिकी में, परासांख्यिकी बेहतर ज्ञात कण सांख्यिकी मॉडल (बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी, फर्मी-डिराक सांख्यिकी और मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी) के कई विकल्पों में से एक है। अन्य विकल्पों में एनीओनिक सांख्यिकी और ब्रैड सांख्यिकी सम्मिलित हैं, इन दोनों में कम स्पेसटाइम आयाम सम्मिलित हैं। हर्बर्ट एस. ग्रीन^[1] को 1953 में परासांख्यिकी के निर्माण का श्रेय दिया जाता है।^[2]^[3]

औपचारिकता

N समरूप कणों की एक प्रणाली के संचालिका बीजगणित पर विचार करें। यह *-बीजगणित है। एक S_N समूह (क्रम N का सममित समूह) है जो N कणों को क्रमपरिवर्तित करने की इच्छित व्याख्या के साथ ऑपरेटर बीजगणित पर कार्य करता है। क्वांटम यांत्रिकी के लिए भौतिक अर्थ वाले वेधशालाओं पर ध्यान केंद्रित करने की आवश्यकता होती है, और वेधशालाओं को N कणों के सभी संभावित क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय होना होगा। उदाहरण के लिए, N = 2 के स्थिति में, R₂ − R₁ अवलोकनीय नहीं हो सकता क्योंकि यदि हम दो कणों को बदलते हैं तो यह संकेत बदल देता है, लेकिन दो कणों के बीच की दूरी: |R₂ − R₁| वैध अवलोकन योग्य है।

दूसरे शब्दों में, अवलोकन योग्य बीजगणित को S_N की कार्रवाई के तहत एक *-उप-बीजगणित अपरिवर्तनीय होना होगा (ध्यान दें कि इसका अर्थ यह नहीं है कि एसएन के तहत ऑपरेटर बीजगणित अपरिवर्तनीय का प्रत्येक अवयव एक अवलोकन योग्य है)। यह अलग-अलग अतिचयन सेक्टरों की अनुमति देता है, प्रत्येक को S_N के यंग आरेख द्वारा पैरामीटराइज़ किया जाता है।

विशेष रूप से:

क्रम p (जहाँ p एक धनात्मक पूर्णांक है) के N समरूप पैराबोसॉन के लिए, अनुमेय यंग आरेख वे सभी हैं जिनमें p या कम रो हैं।
क्रम p के N समान पैराफर्मियन के लिए, स्वीकार्य यंग आरेख वे सभी p या कम कॉलम वाले हैं।
यदि p 1 है, तो यह क्रमशः बोस-आइंस्टीन और फर्मी-डिराक सांख्यिकी तक कम हो जाता है।
यदि p अव्यवस्थित रूप से बड़ा (अनंत) है, तो यह मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी तक कम हो जाता है।

त्रिरेखीय संबंध

ऐसे सृजन और विनाश संचालक हैं जो त्रिरेखीय परिवर्तन संबंधों को संतुष्ट करते हैं ^[2]

$\left[a_{k},\left[a_{l}^{\dagger },a_{m}\right]_{\pm }\right]_{-}=[a_{k},a_{l}^{\dagger }]_{\mp }a_{m}\pm a_{l}^{\dagger }\left[a_{k},a_{m}\right]_{\mp }\pm [a_{k},a_{m}]_{\mp }a_{l}^{\dagger }+a_{m}\left[a_{k},a_{l}^{\dagger }\right]_{\mp }=2\delta _{kl}a_{m}$

$\left[a_{k},\left[a_{l}^{\dagger },a_{m}^{\dagger }\right]_{\pm }\right]_{-}=\left[a_{k},a_{l}^{\dagger }\right]_{\mp }a_{m}^{\dagger }\pm a_{l}^{\dagger }\left[a_{k},a_{m}^{\dagger }\right]_{\mp }\pm \left[a_{k},a_{m}^{\dagger }\right]_{\mp }a_{l}^{\dagger }+a_{m}^{\dagger }\left[a_{k},a_{l}^{\dagger }\right]_{\mp }=2\delta _{kl}a_{m}^{\dagger }\pm 2\delta _{km}a_{l}^{\dagger }$

$\left[a_{k},\left[a_{l},a_{m}\right]_{\pm }\right]_{-}=[a_{k},a_{l}]_{\mp }a_{m}\pm a_{l}\left[a_{k},a_{m}\right]_{\mp }\pm [a_{k},a_{m}]_{\mp }a_{l}+a_{m}\left[a_{k},a_{l}\right]_{\mp }=0$

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत

क्रम p का एक पैराबोसॉन क्षेत्र, ${\textstyle \phi (x)=\sum _{i=1}^{p}\phi ^{(i)}(x)}$ जहां यदि x और y स्पेस की तरह अलग-अलग बिंदु हैं, $[\phi ^{(i)}(x),\phi ^{(i)}(y)]=0$ और $\{\phi ^{(i)}(x),\phi ^{(j)}(y)\}=0$ अगर $i\neq j$ जहां [,] कम्यूटेटर है और {,} एंटीकम्यूटेटर है। ध्यान दें कि यह स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय से असहमत है, जो बोसॉन के लिए है न कि पैराबोसन के लिए है। वहाँ एक समूह हो सकता है जैसे कि सममित समूह S_p जो φ⁽ⁱ⁾s पर कार्य कर रहा है। वेधशालाओं को संचालिका होना चाहिए जो प्रश्न में समूह के अंतर्गत अपरिवर्तनीय हों। तथापि, ऐसी समरूपता का अस्तित्व आवश्यक नहीं है।

एक पैराफर्मियन क्षेत्र ${\textstyle \psi (x)=\sum _{i=1}^{p}\psi ^{(i)}(x)}$ क्रम p का, जहाँ यदि x और y स्थानिक-पृथक बिंदु हैं, $\{\psi ^{(i)}(x),\psi ^{(i)}(y)\}=0$ और $[\psi ^{(i)}(x),\psi ^{(j)}(y)]=0$ अगर $i\neq j$ . अवलोकन योग्य वस्तुओं के बारे में वही टिप्पणी इस आवश्यकता के साथ लागू होगी कि उनके पास ग्रेडिंग के तहत बीजगणित को भी वर्गीकृत किया गया है जहां ψs में विषम ग्रेडिंग है।

पैराफर्मियोनिक और पैराबोसोनिक बीजगणित उन तत्वों द्वारा उत्पन्न होते हैं जो कम्यूटेशन और एंटीकम्यूटेशन संबंधों का पालन करते हैं। वे क्वांटम यांत्रिकी के सामान्य फर्मिओनिक बीजगणित और बोसोनिक बीजगणित का सामान्यीकरण करते हैं।^[4] डिराक बीजगणित और डफिन-केमर-पेटियाउ बीजगणित क्रमशः क्रम p = 1 और p = 2 के लिए पैराफर्मियोनिक बीजगणित के विशेष मामलों के रूप में दिखाई देते हैं।^[5]

स्पष्टीकरण

ध्यान दें कि यदि x और y स्पेस-समान-पृथक बिंदु हैं, तो φ(x) और φ(y) न तो यात्रा करते हैं और न ही एंटीकम्यूट करते हैं जब तक कि p=1 न हो। यही टिप्पणी ψ(x) और ψ(y) पर भी लागू होती है। इसलिए, यदि हमारे पास n स्थानिक रूप से अलग किए गए बिंदु x₁, ..., x_n, हैं

\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})|\Omega \rangle

x₁,..., x_n पर n समान पैराबोसन बनाने के अनुरूप है। इसी प्रकार,

\psi (x_{1})\cdots \psi (x_{n})|\Omega \rangle

n समरूप पैराफर्मियन बनाने के अनुरूप है। क्योंकि ये क्षेत्र न तो आवागमन करते हैं और न ही प्रतिगमन करते हैं।

\phi (x_{\pi (1)})\cdots \phi (x_{\pi (n)})|\Omega \rangle

और

\psi (x_{\pi (1)})\cdots \psi (x_{\pi (n)})|\Omega \rangle

S_n में प्रत्येक क्रमचय π के लिए अलग-अलग अवस्थाएँ देता है।

हम एक क्रमपरिवर्तन ऑपरेटर को ${\mathcal {E}}(\pi )$ द्वारा परिभाषित कर सकते हैं।

{\mathcal {E}}(\pi )\left[\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})|\Omega \rangle \right]=\phi (x_{\pi ^{-1}(1)})\cdots \phi (x_{\pi ^{-1}(n)})|\Omega \rangle

और

{\mathcal {E}}(\pi )\left[\psi (x_{1})\cdots \psi (x_{n})|\Omega \rangle \right]=\psi (x_{\pi ^{-1}(1)})\cdots \psi (x_{\pi ^{-1}(n)})|\Omega \rangle

क्रमशः. इसे तब तक अच्छी तरह परिभाषित किया जा सकता है ${\mathcal {E}}(\pi )$ केवल ऊपर दिए गए वैक्टर द्वारा फैली हुई अवस्थाओं तक ही सीमित है (अनिवार्य रूप से n समान कणों वाली अवस्थाएँ)। यह भी एकात्मक है। इसके अतिरिक्त, ${\mathcal {E}}$ सममित समूह एसएन का एक ऑपरेटर-मूल्यवान प्रतिनिधित्व है और इस तरह, हम इसे n-कण हिल्बर्ट स्पेस पर S_n की कार्रवाई के रूप में व्याख्या कर सकते हैं, इसे एकात्मक प्रतिनिधित्व में बदल सकते हैं।

क्यूसीडी को परासांख्यिकी का उपयोग करके पुन: तैयार किया जा सकता है, जिसमें क्वार्क क्रम 3 के पैराफर्मियन होते हैं और ग्लूऑन क्रम 8 के पैराबोसन होते हैं। ध्यान दें कि यह पारंपरिक दृष्टिकोण से अलग है जहां क्वार्क हमेशा एंटीकम्यूटेशन संबंधों और ग्लूऑन कम्यूटेशन संबंधों का पालन करते हैं।^[6]

यह भी देखें

परासांख्यिकी और अधिक पारंपरिक सांख्यिकी के बीच रूपांतरण कैसे करें, इस पर क्लेन परिवर्तन।^[7]

संदर्भ

↑ "हर्बर्ट सिडनी (बर्ट) ग्रीन". Archived from the original on 2012-04-18. Retrieved 2011-10-30.
↑ ^2.0 ^2.1 H.S. Green, A Generalized Method of Field Quantization. Phys. Rev. 90, 270–273 (1953).(c)
↑ Cattani, M.; Bassalo, J. M. F. (2009). "मध्यवर्ती सांख्यिकी, परासांख्यिकी, भिन्नात्मक सांख्यिकी और जेंटिलियोनिक सांख्यिकी". arXiv:0903.4773 [cond-mat.stat-mech].
↑ K. Kanakoglou, C. Daskaloyannis: Chapter 18 Bosonisation and Parastatistics, p. 207 ff., in: Sergei D. Silvestrov, Eugen Paal, Viktor Abramov, Alexander Stolin (eds.): Generalized Lie Theory in Mathematics, Physics and Beyond, 2008, ISBN 978-3-540-85331-2
↑ See citations in Plyushchay, Mikhail S; Michel Rausch de Traubenberg (2000). "Cubic root of Klein-Gordon equation". Physics Letters B. 477 (2000): 276–284. arXiv:hep-th/0001067. Bibcode:2000PhLB..477..276P. doi:10.1016/S0370-2693(00)00190-8. S2CID 16600516.
↑ Aldrovandi, R.; Lima, I.M. (February 1983). "प्रारंभिक ब्रह्मांड के लिए परासांख्यिकी और राज्य का समीकरण". Astrophysics and Space Science. 90 (1): 179–195. Bibcode:1983Ap&SS..90..179A. doi:10.1007/BF00651559. S2CID 119530259.
↑ Baker, David John; Halvorson, Hans; Swanson, Noel. "पैरास्टैटिस्टिक्स की पारंपरिकता" (PDF). An Archive for Preprints in Philosophy of Science. University of Pittsburgh. Retrieved 30 May 2018.

[1] "हर्बर्ट सिडनी (बर्ट) ग्रीन". Archived from the original on 2012-04-18. Retrieved 2011-10-30.

[:0-2] 2.0 ^2.1 H.S. Green, A Generalized Method of Field Quantization. Phys. Rev. 90, 270–273 (1953).(c)

[3] Cattani, M.; Bassalo, J. M. F. (2009). "मध्यवर्ती सांख्यिकी, परासांख्यिकी, भिन्नात्मक सांख्यिकी और जेंटिलियोनिक सांख्यिकी". arXiv:0903.4773 [cond-mat.stat-mech].

[4] K. Kanakoglou, C. Daskaloyannis: Chapter 18 Bosonisation and Parastatistics, p. 207 ff., in: Sergei D. Silvestrov, Eugen Paal, Viktor Abramov, Alexander Stolin (eds.): Generalized Lie Theory in Mathematics, Physics and Beyond, 2008, ISBN 978-3-540-85331-2

[5] See citations in Plyushchay, Mikhail S; Michel Rausch de Traubenberg (2000). "Cubic root of Klein-Gordon equation". Physics Letters B. 477 (2000): 276–284. arXiv:hep-th/0001067. Bibcode:2000PhLB..477..276P. doi:10.1016/S0370-2693(00)00190-8. S2CID 16600516.

[6] Aldrovandi, R.; Lima, I.M. (February 1983). "प्रारंभिक ब्रह्मांड के लिए परासांख्यिकी और राज्य का समीकरण". Astrophysics and Space Science. 90 (1): 179–195. Bibcode:1983Ap&SS..90..179A. doi:10.1007/BF00651559. S2CID 119530259.

[7] Baker, David John; Halvorson, Hans; Swanson, Noel. "पैरास्टैटिस्टिक्स की पारंपरिकता" (PDF). An Archive for Preprints in Philosophy of Science. University of Pittsburgh. Retrieved 30 May 2018.

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 {{Short description|Notion in statistical mechanics}}
 {{Use American English|date=January 2019}}
-{{Statistical mechanics|cTopic=[[Particle statistics|Particle Statistics]]}}
+{{Statistical mechanics|cTopic=[[कण सांख्यिकी|कण सांख्यिकी]]}}
-क्वांटम यांत्रिकी और सांख्यिकीय यांत्रिकी में, '''परासांख्यिकी''' बेहतर ज्ञात कण सांख्यिकी मॉडल (बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी, फर्मी-डिराक सांख्यिकी और मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी) के कई विकल्पों में से एक है। अन्य विकल्पों में एनीओनिक सांख्यिकी और ब्रैड सांख्यिकी शामिल हैं, इन दोनों में कम स्पेसटाइम आयाम शामिल हैं। हर्बर्ट एस. ग्रीन<ref>{{cite web|title=हर्बर्ट सिडनी (बर्ट) ग्रीन|url=http://www.physics.adelaide.edu.au/mathphysics/hsg_memorial.html|url-status=dead|accessdate=2011-10-30|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120418185829/http://www.physics.adelaide.edu.au/mathphysics/hsg_memorial.html|archivedate=2012-04-18}}</ref> को 1953 में परासांख्यिकी के निर्माण का श्रेय दिया जाता है।<ref name=":0">H.S. Green, A Generalized Method of Field Quantization. Phys. Rev. 90, 270–273 (1953).(c)</ref><ref>{{Cite arXiv|eprint=0903.4773|class=cond-mat.stat-mech|first1=M.|last1=Cattani|first2=J. M. F.|last2=Bassalo|title=मध्यवर्ती सांख्यिकी, परासांख्यिकी, भिन्नात्मक सांख्यिकी और जेंटिलियोनिक सांख्यिकी|year=2009}}</ref>
+क्वांटम यांत्रिकी और सांख्यिकीय यांत्रिकी में, '''परासांख्यिकी''' बेहतर ज्ञात कण सांख्यिकी मॉडल (बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी, फर्मी-डिराक सांख्यिकी और मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी) के कई विकल्पों में से एक है। अन्य विकल्पों में एनीओनिक सांख्यिकी और ब्रैड सांख्यिकी सम्मिलित हैं, इन दोनों में कम स्पेसटाइम आयाम सम्मिलित हैं। हर्बर्ट एस. ग्रीन<ref>{{cite web|title=हर्बर्ट सिडनी (बर्ट) ग्रीन|url=http://www.physics.adelaide.edu.au/mathphysics/hsg_memorial.html|url-status=dead|accessdate=2011-10-30|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120418185829/http://www.physics.adelaide.edu.au/mathphysics/hsg_memorial.html|archivedate=2012-04-18}}</ref> को 1953 में परासांख्यिकी के निर्माण का श्रेय दिया जाता है।<ref name=":0">H.S. Green, A Generalized Method of Field Quantization. Phys. Rev. 90, 270–273 (1953).(c)</ref><ref>{{Cite arXiv|eprint=0903.4773|class=cond-mat.stat-mech|first1=M.|last1=Cattani|first2=J. M. F.|last2=Bassalo|title=मध्यवर्ती सांख्यिकी, परासांख्यिकी, भिन्नात्मक सांख्यिकी और जेंटिलियोनिक सांख्यिकी|year=2009}}</ref>
 ==औपचारिकता==
-''N'' समरूप कणों की एक प्रणाली के संचालिका बीजगणित पर विचार करें। यह *-बीजगणित है। एक ''S<sub>N</sub>'' समूह (ऑर्डर ''N'' का सममित समूह) है जो ''N'' कणों को क्रमपरिवर्तित करने की इच्छित व्याख्या के साथ ऑपरेटर बीजगणित पर कार्य करता है। क्वांटम यांत्रिकी के लिए भौतिक अर्थ वाले वेधशालाओं पर ध्यान केंद्रित करने की आवश्यकता होती है, और वेधशालाओं को ''N'' कणों के सभी संभावित क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय होना होगा। उदाहरण के लिए, ''N = 2'' के मामले में, ''R<sub>2</sub> − R<sub>1</sub>'' अवलोकनीय नहीं हो सकता क्योंकि यदि हम दो कणों को बदलते हैं तो यह संकेत बदल देता है, लेकिन दो कणों के बीच की दूरी: |''R''<sub>2</sub> − ''R''<sub>1</sub>| वैध अवलोकन योग्य है।
+''N'' समरूप कणों की एक प्रणाली के संचालिका बीजगणित पर विचार करें। यह *-बीजगणित है। एक ''S<sub>N</sub>'' समूह (क्रम ''N'' का सममित समूह) है जो ''N'' कणों को क्रमपरिवर्तित करने की इच्छित व्याख्या के साथ ऑपरेटर बीजगणित पर कार्य करता है। क्वांटम यांत्रिकी के लिए भौतिक अर्थ वाले वेधशालाओं पर ध्यान केंद्रित करने की आवश्यकता होती है, और वेधशालाओं को ''N'' कणों के सभी संभावित क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय होना होगा। उदाहरण के लिए, ''N = 2'' के स्थिति में, ''R<sub>2</sub> − R<sub>1</sub>'' अवलोकनीय नहीं हो सकता क्योंकि यदि हम दो कणों को बदलते हैं तो यह संकेत बदल देता है, लेकिन दो कणों के बीच की दूरी: |''R''<sub>2</sub> − ''R''<sub>1</sub>| वैध अवलोकन योग्य है।
 दूसरे शब्दों में, अवलोकन योग्य बीजगणित को ''S<sub>N</sub>'' की कार्रवाई के तहत एक *-उप-बीजगणित अपरिवर्तनीय होना होगा (ध्यान दें कि इसका अर्थ यह नहीं है कि एसएन के तहत ऑपरेटर बीजगणित अपरिवर्तनीय का प्रत्येक अवयव एक अवलोकन योग्य है)। यह अलग-अलग अतिचयन सेक्टरों की अनुमति देता है, प्रत्येक को ''S<sub>N</sub>'' के यंग आरेख द्वारा पैरामीटराइज़ किया जाता है।
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 विशेष रूप से:
-* क्रम p (जहाँ p एक धनात्मक पूर्णांक है) के N समरूप 'पैराबोसन' के लिए, अनुमेय युवा आरेख वे सभी हैं जिनमें p या उससे कम पंक्तियाँ हैं।
+* क्रम ''p'' (जहाँ ''p'' एक धनात्मक पूर्णांक है) के ''N'' समरूप '''पैराबोसॉन''' के लिए, अनुमेय यंग आरेख वे सभी हैं जिनमें ''p'' या कम रो हैं।
-* ऑर्डर पी के N समरूप 'पैराफर्मियन' के लिए, स्वीकार्य यंग आरेख वे सभी हैं जिनमें पी या उससे कम कॉलम हैं।
+*क्रम ''p''  के ''N'' समान '''पैराफर्मियन''' के लिए, स्वीकार्य यंग आरेख वे सभी ''p'' या कम कॉलम वाले हैं।
-* यदि पी 1 है, तो यह क्रमशः बोस-आइंस्टीन और फर्मी-डिराक आंकड़ों तक कम हो जाता है{{clarify|date=June 2020}}.
+* यदि ''p'' 1 है, तो यह क्रमशः बोस-आइंस्टीन और फर्मी-डिराक सांख्यिकी तक कम हो जाता है।
-* यदि p मनमाने ढंग से बड़ा (अनंत) है, तो यह मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़ों तक कम हो जाता है।
+* यदि ''p'' अव्यवस्थित रूप से बड़ा (अनंत) है, तो यह मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी तक कम हो जाता है।
 == त्रिरेखीय संबंध ==
-त्रिरेखीय रूपान्तरण संबंधों को संतुष्ट करने वाले सृजन और विनाश संचालक हैं<ref name=":0" />
+ऐसे सृजन और विनाश संचालक हैं जो त्रिरेखीय परिवर्तन संबंधों को संतुष्ट करते हैं <ref name=":0" />
 <math>\left[ a_k, \left[ a_l^\dagger, a_m \right]_{\pm}\right]_- = [a_k,a_l^\dagger]_{\mp}a_m \pm a_l^\dagger \left[ a_k, a_m \right]_{\mp} \pm [a_k,a_m]_{\mp}a_l^\dagger+a_m \left[ a_k, a_l^\dagger \right]_{\mp}= 2\delta_{kl}a_m</math>
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 <math>\left[ a_k, \left[ a_l, a_m \right]_{\pm}\right]_- = [a_k,a_l]_{\mp}a_m \pm a_l \left[ a_k, a_m \right]_{\mp} \pm [a_k,a_m]_{\mp}a_l + a_m \left[ a_k, a_l \right]_{\mp} = 0</math>
 ==क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत==
-ऑर्डर पी का एक पैराबोसॉन क्षेत्र, <math display="inline">\phi(x)=\sum_{i=1}^p \phi^{(i)}(x)</math> जहां यदि x और y अंतरिक्ष की तरह अलग-अलग बिंदु हैं, <math>[\phi^{(i)}(x),\phi^{(i)}(y)]=0</math> और <math>\{\phi^{(i)}(x),\phi^{(j)}(y)\}=0</math> अगर <math>i\neq j</math> जहां [,] [[कम्यूटेटर]] है और {,} [[एंटीकम्यूटेटर]] है। ध्यान दें कि यह [[स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय]] से असहमत है, जो [[बोसॉन]] के लिए है न कि पैराबोसन के लिए। सममित समूह एस जैसा कोई समूह हो सकता है<sub>p</sub>φ पर कार्य करना<sup>(i)</sup>s. वेधशालाओं को संचालिका होना चाहिए जो विचाराधीन समूह के अंतर्गत अपरिवर्तनीय (गणित) हों। हालाँकि, ऐसी समरूपता का अस्तित्व आवश्यक नहीं है।
+क्रम ''p'' का एक पैराबोसॉन क्षेत्र, <math display="inline">\phi(x)=\sum_{i=1}^p \phi^{(i)}(x)</math> जहां यदि x और y स्पेस की तरह अलग-अलग बिंदु हैं, <math>[\phi^{(i)}(x),\phi^{(i)}(y)]=0</math> और <math>\{\phi^{(i)}(x),\phi^{(j)}(y)\}=0</math> अगर <math>i\neq j</math> जहां [,] [[कम्यूटेटर]] है और {,} [[एंटीकम्यूटेटर]] है। ध्यान दें कि यह [[स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय]] से असहमत है, जो [[बोसॉन]] के लिए है न कि पैराबोसन के लिए है। वहाँ एक समूह हो सकता है जैसे कि सममित समूह ''S<sub>p</sub>'' जो ''φ''<sup>(''i'')</sup>s पर कार्य कर रहा है। वेधशालाओं को संचालिका होना चाहिए जो प्रश्न में समूह के अंतर्गत अपरिवर्तनीय हों। तथापि, ऐसी समरूपता का अस्तित्व आवश्यक नहीं है।
 एक पैराफर्मियन क्षेत्र <math display="inline">\psi(x)=\sum_{i=1}^p \psi^{(i)}(x)</math> क्रम p का, जहाँ यदि x और y स्थानिक-पृथक बिंदु हैं, <math>\{\psi^{(i)}(x),\psi^{(i)}(y)\}=0</math> और <math>[\psi^{(i)}(x),\psi^{(j)}(y)]=0</math> अगर <math>i\neq j</math>. अवलोकन योग्य वस्तुओं के बारे में वही टिप्पणी इस आवश्यकता के साथ लागू होगी कि उनके पास ग्रेडिंग के तहत बीजगणित को भी वर्गीकृत किया गया है जहां ψs में विषम ग्रेडिंग है।
-पैराफर्मियोनिक और पैराबोसोनिक बीजगणित उन तत्वों द्वारा उत्पन्न होते हैं जो कम्यूटेशन और एंटीकम्यूटेशन संबंधों का पालन करते हैं। वे क्वांटम यांत्रिकी के सामान्य फर्मिओनिक बीजगणित और बोसोनिक बीजगणित का सामान्यीकरण करते हैं।<ref>K. Kanakoglou, C. Daskaloyannis: [https://books.google.com/books?id=KAZL5UBlS4cC&pg=PA207 ''Chapter 18 Bosonisation and Parastatistics'', p. 207 ff.], in: Sergei D. Silvestrov, Eugen Paal, Viktor Abramov, Alexander Stolin (eds.): ''Generalized Lie Theory in Mathematics, Physics and Beyond'', 2008, {{ISBN|978-3-540-85331-2}}</ref> [[डिराक बीजगणित]] और डफिन-केमर-पेटियाउ बीजगणित क्रमशः क्रम पी = 1 और पी = 2 के लिए पैराफर्मियोनिक बीजगणित के विशेष मामलों के रूप में दिखाई देते हैं।<ref>See citations in {{Cite journal|arxiv=hep-th/0001067|last1=Plyushchay|first1=Mikhail S|title=Cubic root of Klein-Gordon equation|journal=Physics Letters B|volume=477|issue=2000|pages=276–284|author2=Michel Rausch de Traubenberg|year=2000|doi=10.1016/S0370-2693(00)00190-8|bibcode=2000PhLB..477..276P|s2cid=16600516}}</ref>
+पैराफर्मियोनिक और पैराबोसोनिक बीजगणित उन तत्वों द्वारा उत्पन्न होते हैं जो कम्यूटेशन और एंटीकम्यूटेशन संबंधों का पालन करते हैं। वे क्वांटम यांत्रिकी के सामान्य फर्मिओनिक बीजगणित और बोसोनिक बीजगणित का सामान्यीकरण करते हैं।<ref>K. Kanakoglou, C. Daskaloyannis: [https://books.google.com/books?id=KAZL5UBlS4cC&pg=PA207 ''Chapter 18 Bosonisation and Parastatistics'', p. 207 ff.], in: Sergei D. Silvestrov, Eugen Paal, Viktor Abramov, Alexander Stolin (eds.): ''Generalized Lie Theory in Mathematics, Physics and Beyond'', 2008, {{ISBN|978-3-540-85331-2}}</ref> [[डिराक बीजगणित]] और डफिन-केमर-पेटियाउ बीजगणित क्रमशः क्रम p = 1 और p = 2 के लिए पैराफर्मियोनिक बीजगणित के विशेष मामलों के रूप में दिखाई देते हैं।<ref>See citations in {{Cite journal|arxiv=hep-th/0001067|last1=Plyushchay|first1=Mikhail S|title=Cubic root of Klein-Gordon equation|journal=Physics Letters B|volume=477|issue=2000|pages=276–284|author2=Michel Rausch de Traubenberg|year=2000|doi=10.1016/S0370-2693(00)00190-8|bibcode=2000PhLB..477..276P|s2cid=16600516}}</ref>
 === स्पष्टीकरण ===
-ध्यान दें कि यदि x और y अंतरिक्ष-समान-पृथक बिंदु हैं, तो φ(x) और φ(y) न तो यात्रा करते हैं और न ही एंटीकम्यूट करते हैं जब तक कि p=1 न हो। यही टिप्पणी ψ(x) और ψ(y) पर भी लागू होती है। इसलिए, यदि हमारे पास n स्थानिक रूप से अलग किए गए बिंदु x हैं<sub>1</sub>, ..., एक्स<sub>''n''</sub>,
+ध्यान दें कि यदि ''x'' और ''y'' स्पेस-समान-पृथक बिंदु हैं, तो ''φ(x)'' और ''φ(y)'' न तो यात्रा करते हैं और न ही एंटीकम्यूट करते हैं जब तक कि ''p''=1 न हो। यही टिप्पणी ''ψ(x)'' और ''ψ(y)'' पर भी लागू होती है। इसलिए, यदि हमारे पास n स्थानिक रूप से अलग किए गए बिंदु ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'', हैं
 :<math>\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)|\Omega\rangle</math>
-x पर n समान पैराबोसन बनाने के अनुरूप है<sub>1</sub>,..., एक्स<sub>''n''</sub>. इसी प्रकार,
+''x''<sub>1</sub>,..., ''x<sub>n</sub>'' पर ''n'' समान पैराबोसन बनाने के अनुरूप है। इसी प्रकार,
 :<math>\psi(x_1)\cdots \psi(x_n)|\Omega\rangle</math>
-n समरूप पैराफर्मियन बनाने के अनुरूप है। क्योंकि ये क्षेत्र न तो आवागमन करते हैं और न ही प्रतिगमन करते हैं
+''n'' समरूप पैराफर्मियन बनाने के अनुरूप है। क्योंकि ये क्षेत्र न तो आवागमन करते हैं और न ही प्रतिगमन करते हैं।
 :<math>\phi(x_{\pi(1)})\cdots \phi(x_{\pi(n)})|\Omega\rangle</math>
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 :<math>\psi(x_{\pi(1)})\cdots \psi(x_{\pi(n)})|\Omega\rangle</math>
-सममित समूह|एस में प्रत्येक क्रमपरिवर्तन π के लिए अलग-अलग स्थिति देता है<sub>n</sub>.
+''S<sub>n</sub>'' में प्रत्येक क्रमचय π के लिए अलग-अलग अवस्थाएँ देता है।
-हम एक क्रमपरिवर्तन ऑपरेटर को परिभाषित कर सकते हैं <math>\mathcal{E}(\pi)</math> द्वारा
+हम एक क्रमपरिवर्तन ऑपरेटर को <math>\mathcal{E}(\pi)</math> द्वारा परिभाषित कर सकते हैं।
 :<math>\mathcal{E}(\pi)\left[\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)|\Omega\rangle\right]=\phi(x_{\pi^{-1}(1)})\cdots \phi(x_{\pi^{-1}(n)})|\Omega\rangle</math>
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 :<math>\mathcal{E}(\pi)\left[\psi(x_1)\cdots \psi(x_n)|\Omega\rangle\right]=\psi(x_{\pi^{-1}(1)})\cdots \psi(x_{\pi^{-1}(n)})|\Omega\rangle</math>
-क्रमश। इसे तब तक अच्छी तरह से परिभाषित दिखाया जा सकता है <math>\mathcal{E}(\pi)</math> केवल ऊपर दिए गए वैक्टर द्वारा फैली हुई अवस्थाओं तक ही सीमित है (अनिवार्य रूप से n समान कणों वाली अवस्थाएँ)। यह एकात्मक संचालक भी है। इसके अतिरिक्त, <math>\mathcal{E}</math> सममित समूह एस का एक ऑपरेटर-मूल्यवान [[समूह प्रतिनिधित्व]] है<sub>n</sub>और इस प्रकार, हम इसकी व्याख्या एस की कार्रवाई के रूप में कर सकते हैं<sub>n</sub>एन-कण हिल्बर्ट स्पेस पर ही, इसे [[एकात्मक प्रतिनिधित्व]] में बदल दिया गया।
+क्रमशः. इसे तब तक अच्छी तरह परिभाषित किया जा सकता है <math>\mathcal{E}(\pi)</math>केवल ऊपर दिए गए वैक्टर द्वारा फैली हुई अवस्थाओं तक ही सीमित है (अनिवार्य रूप से ''n'' समान कणों वाली अवस्थाएँ)। यह भी एकात्मक है। इसके अतिरिक्त, <math>\mathcal{E}</math> सममित समूह एसएन का एक ऑपरेटर-मूल्यवान प्रतिनिधित्व है और इस तरह, हम इसे  ''n''-कण हिल्बर्ट स्पेस पर ''S<sub>n</sub>'' की कार्रवाई के रूप में व्याख्या कर सकते हैं, इसे एकात्मक प्रतिनिधित्व में बदल सकते हैं।
-[[क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स]] को परासांख्यिकी का उपयोग करके पुन: तैयार किया जा सकता है, जिसमें क्वार्क ऑर्डर 3 के पैराफर्मियन होते हैं और ग्लूऑन ऑर्डर 8 के पैराबोसन होते हैं। ध्यान दें कि यह पारंपरिक दृष्टिकोण से अलग है जहां क्वार्क हमेशा एंटीकम्यूटेशन संबंधों और ग्लूऑन कम्यूटेशन संबंधों का पालन करते हैं।<ref>{{cite journal|last1=Aldrovandi|first1=R.|last2=Lima|first2=I.M.|title=प्रारंभिक ब्रह्मांड के लिए परासांख्यिकी और राज्य का समीकरण|journal=Astrophysics and Space Science|date=February 1983|volume=90|issue= 1|pages=179–195|bibcode=1983Ap&SS..90..179A|doi=10.1007/BF00651559|s2cid=119530259}}</ref>
+क्यूसीडी को परासांख्यिकी का उपयोग करके पुन: तैयार किया जा सकता है, जिसमें क्वार्क क्रम 3 के पैराफर्मियन होते हैं और ग्लूऑन क्रम 8 के पैराबोसन होते हैं। ध्यान दें कि यह पारंपरिक दृष्टिकोण से अलग है जहां क्वार्क हमेशा एंटीकम्यूटेशन संबंधों और ग्लूऑन कम्यूटेशन संबंधों का पालन करते हैं।<ref>{{cite journal|last1=Aldrovandi|first1=R.|last2=Lima|first2=I.M.|title=प्रारंभिक ब्रह्मांड के लिए परासांख्यिकी और राज्य का समीकरण|journal=Astrophysics and Space Science|date=February 1983|volume=90|issue= 1|pages=179–195|bibcode=1983Ap&SS..90..179A|doi=10.1007/BF00651559|s2cid=119530259}}</ref>
 ==यह भी देखें==
-*परासांख्यिकी और अधिक परंपरागत आंकड़ों के बीच रूपांतरण कैसे करें, इस पर परिवर्तन।<ref>{{cite web|last1=Baker|first1=David John|last2=Halvorson|first2=Hans|last3=Swanson|first3=Noel|title=पैरास्टैटिस्टिक्स की पारंपरिकता|url=http://philsci-archive.pitt.edu/10697/1/Conventionality_of_Parastatistics_Final_Revision.pdf|website=An Archive for Preprints in Philosophy of Science|publisher=University of Pittsburgh|accessdate=30 May 2018}}</ref>
+*परासांख्यिकी और अधिक पारंपरिक सांख्यिकी के बीच रूपांतरण कैसे करें, इस पर क्लेन परिवर्तन।<ref>{{cite web|last1=Baker|first1=David John|last2=Halvorson|first2=Hans|last3=Swanson|first3=Noel|title=पैरास्टैटिस्टिक्स की पारंपरिकता|url=http://philsci-archive.pitt.edu/10697/1/Conventionality_of_Parastatistics_Final_Revision.pdf|website=An Archive for Preprints in Philosophy of Science|publisher=University of Pittsburgh|accessdate=30 May 2018}}</ref><br />
 ==संदर्भ==
 {{reflist}}
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 [[Category:Created On 17/11/2023]]
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