पैरावेक्टर

पैरावेक्टर नाम का उपयोग किसी भी क्लिफोर्ड बीजगणित में अदिश और सदिश के संयोजन के लिए किया जाता है, जिसे भौतिकविदों के मध्य ज्यामितीय बीजगणित के रूप में जाना जाता है।

यह नाम जे.जी. मैक्स द्वारा 1989 में टेक्नीश यूनिवर्सिटिट डेल्फ़्ट, नीदरलैंड में डॉक्टरेट शोध प्रबंध में दिया गया था।

तीन आयामों की यूक्लिडियन समष्टि के संदर्भ में संबंधित उच्च ग्रेड सामान्यीकरण के साथ पैरावेक्टरों का पूर्ण बीजगणित, डेविड हेस्टेनेस द्वारा प्रस्तुत किए गए समष्टि-समय बीजगणित (एसटीए) का वैकल्पिक दृष्टिकोण है। इस वैकल्पिक बीजगणित को भौतिक समष्टि का बीजगणित (एपीएस) भी कहा जाता है।

मूल सिद्धांत

यूक्लिडियन समष्टि के लिए, मूल सिद्धांत यह दर्शाता है कि वेक्टर का मूल सिद्धांत स्वयं लंबाई वर्ग का अदिश मान है (धनात्मक)-

$\mathbf {v} \mathbf {v} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {v}$

लिखित रूप में-

$\mathbf {v} =\mathbf {u} +\mathbf {w} ,$

और इसे मूल सिद्धांत की अभिव्यक्ति में सम्मिलित किया जाता है-

$(\mathbf {u} +\mathbf {w} )^{2}=\mathbf {u} \mathbf {u} +\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} +\mathbf {w} \mathbf {w} ,$

मूल सिद्धांत की पुनः अपील करने पर हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त होती है-

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} +2\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} +\mathbf {w} \cdot \mathbf {w} =\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} +\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} +\mathbf {w} \cdot \mathbf {w} ,$

जो दो सदिशों के अदिश गुणनफल को निम्नलिखित के रूप में प्रमाणित करने की अनुमति देता है-

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} ={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} \right).$

महत्वपूर्ण परिणाम के रूप में हम यह निष्कर्ष प्राप्त करते हैं कि दो ऑर्थोगोनल वैक्टर (शून्य अदिश मूल सिद्धांत के साथ) एंटीकम्यूट हैं-

$\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} =0$

त्रि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि

निम्नलिखित सारिणी $C\ell _{3}$ समष्टि के लिए पूर्ण आधार का उदाहरण प्रस्तुत करती है-

$\{1,\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\},\{\mathbf {e} _{23},\mathbf {e} _{31},\mathbf {e} _{12}\},\mathbf {e} _{123}\},$

जो आठ-आयामी समष्टि बनाते है, जहाँ उदाहरण के लिए, एकाधिक सूचकांक संबंधित आधार वैक्टर के गुणनफल को दर्शाते हैं-

$\mathbf {e} _{23}=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}.$

आधार अवयव का ग्रेड वेक्टर बहुलता के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, जैसे कि-

ग्रेड	प्रकार	आधार अवयव
0	एकिक वास्तविक अदिश	$1$
1	वेक्टर	$\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}$
2	बाइवेक्टर	$\{\mathbf {e} _{23},\mathbf {e} _{31},\mathbf {e} _{12}\}$
3	ट्राइवेक्टर आयतन अवयव	$\mathbf {e} _{123}$

मूल सिद्धांत के अनुसार, दो भिन्न-भिन्न आधार वेक्टर एंटीकम्यूट हैं-

$\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}+\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}=2\delta _{ij}$

या अन्य शब्दों में,

$\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}\,\,;i\neq j$

इसका अर्थ है कि आयतन अवयव $\mathbf {e} _{123}$ वर्ग $-1$ है-

$\mathbf {e} _{123}^{2}=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{3}=-1.$

इसके अतिरिक्त, आयतन अवयव $\mathbf {e} _{123}$, $C\ell (3)$ बीजगणित के किसी भी अन्य अवयव के साथ संचार करता है, जिससे भ्रम का कोई संकट न होने पर इसे सम्मिश्र संख्या $i$ के साथ प्रमाणित किया जा सकता है। वास्तव में, आयतन अवयव $\mathbf {e} _{123}$ वास्तविक अदिश के साथ मानक सम्मिश्र बीजगणित के लिए बीजगणित समरूपी बनाता है। आयतन अवयव का उपयोग आधार के समतुल्य रूप को पुनः अंकित करने के लिए किया जा सकता है-

ग्रेड	प्रकार	आधार अवयव
0	एकिक वास्तविक अदिश	$1$
1	वेक्टर	$\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}$
2	बाइवेक्टर	$\{i\mathbf {e} _{1},i\mathbf {e} _{2},i\mathbf {e} _{3}\}$
3	ट्राइवेक्टर आयतन अवयव	$i$

पैरावेक्टर

संबंधित पैरावेक्टर आधार जो वास्तविक अदिश और सदिशों को संयोजित करता है, वह है-

$\{1,\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}$,

जो चार आयामी रैखिक समष्टि बनाता है। त्रि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि $C\ell _{3}$ में पैरावेक्टर समष्टि भौतिक समष्टि के बीजगणित (एपीएस) में व्यक्त विशेष सापेक्षता के समष्टि-समय का प्रतिनिधित्व करने के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है।

इकाई अदिश को $1=\mathbf {e} _{0}$ के रूप में अंकित करना सुविधाजनक है, जिससे संपूर्ण आधार को संक्षिप्त रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है-

$\{\mathbf {e} _{\mu }\},$

जहाँ $\mu$ जैसे ग्रीक सूचकांक $0$ से $3$ तक चलते हैं।

एंटीऑटोमोर्फिज्म

प्रत्यावर्तन संयुग्मन

प्रत्यावर्तन एंटीऑटोमोर्फिज्म को $\dagger$ द्वारा दर्शाया जाता है। इस संयुग्मन की क्रिया यह है कि यह ज्यामितीय मूल सिद्धांत (सामान्य रूप से क्लिफोर्ड संख्याओं के मध्य मूल सिद्धांत) के क्रम को विपरीत कर देती है।

$(AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }$,

जहाँ सदिश और वास्तविक अदिश संख्याएँ प्रत्यावर्तन संयुग्मन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय होती हैं और वास्तविक कहलाती हैं, उदाहरण के लिए:

$\mathbf {a} ^{\dagger }=\mathbf {a}$

$1^{\dagger }=1$

दूसरी ओर, ट्राइवेक्टर और बायवेक्टर प्रत्यावर्तन के अंतर्गत संकेत परिवर्तित होते हैं और कहा जाता है कि ये पूर्ण रूप से काल्पनिक हैं। प्रत्येक आधार अवयव पर प्रयुक्त प्रत्यावर्तन संयुग्मन नीचे दिया गया है-

अवयव	प्रत्यावर्तन संयुग्मन
$1$	$1$
$\mathbf {e} _{1}$	$\mathbf {e} _{1}$
$\mathbf {e} _{2}$	$\mathbf {e} _{2}$
$\mathbf {e} _{3}$	$\mathbf {e} _{3}$
$\mathbf {e} _{12}$	$-\mathbf {e} _{12}$
$\mathbf {e} _{23}$	$-\mathbf {e} _{23}$
$\mathbf {e} _{31}$	$-\mathbf {e} _{31}$
$\mathbf {e} _{123}$	$-\mathbf {e} _{123}$

क्लिफोर्ड संयुग्मन

क्लिफोर्ड संयुग्मन को वस्तु ${\bar {}}$ के ऊपर बार द्वारा दर्शाया जाता है। इस संयुग्मन को बार संयुग्मन भी कहा जाता है।

क्लिफोर्ड संयुग्मन ग्रेड घातक्रिया और प्रत्यावर्तन की संयुक्त क्रिया है।

पैरावेक्टर पर क्लिफ़ोर्ड संयुग्मन की क्रिया, उदाहरण के लिए, वास्तविक अदिश संख्याओं के चिह्न को बनाए रखते हुए, वैक्टर के चिह्न को विपरीत करना है-

${\bar {\mathbf {a} }}=-\mathbf {a}$

${\bar {1}}=1$

ऐसा इसलिए है क्योंकि अदिश और सदिश दोनों ही प्रत्यावर्तन के लिए अपरिवर्तनीय होते हैं (किसी वस्तु के क्रम को परिवर्तित करना असंभव है) और अदिश शून्य क्रम के होते हैं, इसलिए ये सम ग्रेड के भी होते हैं, जबकि सदिश विषम श्रेणी के होते हैं, इसलिए ग्रेड इन्वोल्यूशन के अंतर्गत इन्हें संकेत परिवर्तन करना होता है।

एंटीऑटोमोर्फिज्म के रूप में, क्लिफोर्ड संयुग्मन को इस प्रकार वितरित किया जाता है-

${\overline {AB}}={\overline {B}}\,\,{\overline {A}}$

प्रत्येक आधार अवयव पर प्रयुक्त बार संयुग्मन नीचे दिया गया है-

अवयव	बार संयुग्मन
$1$	$1$
$\mathbf {e} _{1}$	$-\mathbf {e} _{1}$
$\mathbf {e} _{2}$	$-\mathbf {e} _{2}$
$\mathbf {e} _{3}$	$-\mathbf {e} _{3}$
$\mathbf {e} _{12}$	$-\mathbf {e} _{12}$
$\mathbf {e} _{23}$	$-\mathbf {e} _{23}$
$\mathbf {e} _{31}$	$-\mathbf {e} _{31}$
$\mathbf {e} _{123}$	$\mathbf {e} _{123}$

• ध्यान दें- बार संयुग्मन के अंतर्गत आयतन अवयव अपरिवर्तनीय है।

ग्रेड ऑटोमोर्फिज्म

ग्रेड ऑटोमोर्फिज्म

${\overline {AB}}^{\dagger }={\overline {A}}^{\dagger }{\overline {B}}^{\dagger }$

इसे प्रत्यावर्तन संयुग्मन और क्लिफ़ोर्ड संयुग्मन दोनों की समग्र क्रिया के रूप में परिभाषित किया गया है और इसका प्रभाव सम-ग्रेड मल्टीवेक्टरों को अपरिवर्तनीय बनाए रखते हुए, विषम-ग्रेड मल्टीवेक्टरों के चिह्न को परिवर्तित करने का है-

अवयव	ग्रेड इन्वोल्यूशन
$1$	$1$
$\mathbf {e} _{1}$	$-\mathbf {e} _{1}$
$\mathbf {e} _{2}$	$-\mathbf {e} _{2}$
$\mathbf {e} _{3}$	$-\mathbf {e} _{3}$
$\mathbf {e} _{12}$	$\mathbf {e} _{12}$
$\mathbf {e} _{23}$	$\mathbf {e} _{23}$
$\mathbf {e} _{31}$	$\mathbf {e} _{31}$
$\mathbf {e} _{123}$	$-\mathbf {e} _{123}$

संयुग्मन के अनुसार अपरिवर्तनीय उपसमष्टि

प्रत्यावर्तन और क्लिफोर्ड संयुग्मन के अंतर्गत उनकी समरूपता के आधार पर $C\ell _{3}$ समष्टि में चार विशेष उपसमष्टियों को परिभाषित किया जा सकता है-

• अदिश उपसमष्टि- यह क्लिफोर्ड संयुग्मन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय होती है।
• सदिश उपसमष्टि- यह क्लिफोर्ड संयुग्मन के अंतर्गत व्युत्क्रम चिन्ह होता है।
• वास्तविक उपसमष्टि- यह प्रत्यावर्तन संयुग्मन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय होती है।
• काल्पनिक उपसमष्टि- यह प्रत्यावर्तन संयुग्मन के अंतर्गत व्युत्क्रम चिह्न होता है।

सामान्य क्लिफ़ोर्ड संख्या के रूप में $p$ को देखते हुए, $p$ के पूरक अदिश और सदिश भाग क्लिफ़ोर्ड संयुग्मन के साथ सममित और प्रतिसममित संयोजनों द्वारा दिए गए हैं-

$\langle p\rangle _{S}={\frac {1}{2}}(p+{\overline {p}}),$

$\langle p\rangle _{V}={\frac {1}{2}}(p-{\overline {p}})$.

इसी प्रकार, $p$ के पूरक वास्तविक और काल्पनिक भाग प्रत्यावर्तन संयुग्मन के साथ सममित और प्रतिसममित संयोजनों द्वारा दिए गए हैं-

$\langle p\rangle _{R}={\frac {1}{2}}(p+p^{\dagger }),$

$\langle p\rangle _{I}={\frac {1}{2}}(p-p^{\dagger })$.

नीचे सारिणीबद्ध चार प्रतिच्छेदनों को परिभाषित करना संभव है-

$\langle p\rangle _{RS}=\langle p\rangle _{SR}\equiv \langle \langle p\rangle _{R}\rangle _{S}$

$\langle p\rangle _{RV}=\langle p\rangle _{VR}\equiv \langle \langle p\rangle _{R}\rangle _{V}$

$\langle p\rangle _{IV}=\langle p\rangle _{VI}\equiv \langle \langle p\rangle _{I}\rangle _{V}$

$\langle p\rangle _{IS}=\langle p\rangle _{SI}\equiv \langle \langle p\rangle _{I}\rangle _{S}$

निम्नलिखित सारिणी संबंधित उपसमष्टियों के ग्रेड का सारांश प्रस्तुत करती है, उदाहरण के लिए, ग्रेड 0 को वास्तविक और अदिश उपसमष्टियों के प्रतिच्छेदन के रूप में देखा जा सकता है-

	वास्तविक	काल्पनिक
अदिश	0	3
सदिश	1	2

• टिप्पणी: काल्पनिक शब्द का उपयोग $C\ell _{3}$ बीजगणित के संदर्भ में किया जाता है और इसका अर्थ किसी भी रूप में मानक सम्मिश्र संख्याओं का परिचय नहीं है।

मूल सिद्धांत के संबंध में संवृत उपसमष्टि

ऐसे दो उपसमष्टि हैं जो मूल सिद्धांत के संबंध में संवृत हैं। वे अदिश समष्टि और सम समष्टि हैं जो सम्मिश्र संख्याओं और चतुष्कोणों के प्रसिद्ध बीजगणित के साथ समरूपी हैं।

• ग्रेड 0 और 3 से बनी अदिश समष्टि सम्मिश्र संख्याओं के मानक बीजगणित के साथ समरूपी है, जिसको इस प्रकार प्रमाणित किया जा सकता है-

  $\mathbf {e} _{123}=i.$

• ग्रेड 0 और 2 के अवयवों से बनी सम समष्टि, चतुर्भुज के बीजगणित के प्रमाण के साथ समरूपी है-

  $-\mathbf {e} _{23}=i$

  $-\mathbf {e} _{31}=j$

  $-\mathbf {e} _{12}=k.$

अदिश गुणनफल

दो पैरावेक्टर $u$ और $v$ के दिए जाने पर, अदिश गुणनफल का सामान्यीकरण होता है-

$\langle u{\bar {v}}\rangle _{S}.$

पैरावेक्टर $u$ का परिमाण वर्ग है-

$\langle u{\bar {u}}\rangle _{S},$

जो निश्चित द्विरेखीय रूप नहीं है और शून्य के समान हो सकता है, यह तब भी संभव है जब पैरावेक्टर शून्य के बराबर न हो।

यह अधिक विचारोत्तेजक है कि पैरावेक्टर समष्टि स्वचालित रूप से मिन्कोवस्की समष्टि की मीट्रिक का पालन करता है-

$\eta _{\mu \nu }=\langle \mathbf {e} _{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}_{\nu }\rangle _{S}$

विशिष्ट रूप से-

$\eta _{00}=\langle \mathbf {e} _{0}{\bar {\mathbf {e} }}_{0}\rangle =\langle 1(1)\rangle _{S}=1,$

$\eta _{11}=\langle \mathbf {e} _{1}{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\rangle =\langle \mathbf {e} _{1}(-\mathbf {e} _{1})\rangle _{S}=-1,$

$\eta _{01}=\langle \mathbf {e} _{0}{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\rangle =\langle 1(-\mathbf {e} _{1})\rangle _{S}=0.$

बाइपैरावेक्टर

दो पैरावेक्टर $u$ और $v$ के दिए जाने पर, बाइपैरावेक्टर B को इस प्रकार परिभाषित किया गया है-

$B=\langle u{\bar {v}}\rangle _{V}$.

बाइपैरावेक्टर आधार को इस प्रकार लिखा जा सकता है-

$\{\langle \mathbf {e} _{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}_{\nu }\rangle _{V}\},$

जिसमें वास्तविक और काल्पनिक शब्दों सहित छह स्वतंत्र अवयव सम्मिलित हैं। तीन वास्तविक अवयव (वैक्टर) निम्नलिखित के रूप में-

$\langle \mathbf {e} _{0}{\bar {\mathbf {e} }}_{k}\rangle _{V}=-\mathbf {e} _{k},$

और तीन काल्पनिक अवयव (बाइवेक्टर) निम्नलिखित के रूप में सम्मिलित हैं-

$\langle \mathbf {e} _{j}{\bar {\mathbf {e} }}_{k}\rangle _{V}=-\mathbf {e} _{jk}$

जहाँ $j,k$ 1 से 3 तक चलते हैं।

भौतिक समष्टि के बीजगणित में, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को बाइपैरावेक्टर के रूप में व्यक्त किया जाता है-

$F=\mathbf {E} +i\mathbf {B} ^{\,},$

जहाँ विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र दोनों वास्तविक सदिश हैं-

$\mathbf {E} ^{\dagger }=\mathbf {E}$

$\mathbf {B} ^{\dagger }=\mathbf {B}$

और $i$ स्यूडोस्केलर आयतन अवयव का प्रतिनिधित्व करता है।

बाइपैरावेक्टर का अन्य उदाहरण समष्टि-समय घूर्णन दर का प्रतिनिधित्व है जिसे तीन साधारण घूर्णन कोण चर $\theta ^{j}$ और तीन लोरेंत्ज़ फ़ैक्टर अथवा रैपिडिटी $\eta ^{j}$ के साथ इस प्रकार से व्यक्त किया जा सकता है-

$W=i\theta ^{j}\mathbf {e} _{j}+\eta ^{j}\mathbf {e} _{j},$

ट्राइपारावेक्टर

तीन पैरावेक्टर $u$, $v$ और $w$ के दिए जाने पर, ट्राइपैरावेक्टर T को इस प्रकार परिभाषित किया गया है-

$T=\langle u{\bar {v}}w\rangle _{I}$.

ट्राइपैरावेक्टर आधार को इस प्रकार लिखा जा सकता है-

$\{\langle \mathbf {e} _{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}_{\nu }\mathbf {e} _{\lambda }\rangle _{I}\},$

किन्तु केवल चार स्वतंत्र ट्राइपैरावेक्टर हैं, इसलिए इसे इस प्रकार से कम किया जा सकता है-

$\{i\mathbf {e} _{\rho }\}$.

स्यूडोस्केलर

स्यूडोस्केलर आधार है-

$\{\langle \mathbf {e} _{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}_{\nu }\mathbf {e} _{\lambda }{\bar {\mathbf {e} }}_{\rho }\rangle _{IS}\},$

किन्तु गणना द्वारा ज्ञात होता है कि इसमें मात्र एक ही पद है। $i=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}$ शब्द आयतन अवयव है।

युग्म के संयोजन में लिए गए चार ग्रेड, पैरावेक्टर, बाइपैरावेक्टर और ट्राइपैरावेक्टर समष्टि उत्पन्न करते हैं जैसा कि अग्र सारिणी में दर्शाया गया है, उदाहरण के लिए, हम देखते हैं कि पैरावेक्टर ग्रेड 0 और 1 से बना है-

	1	3
0	पैरावेक्टर	अदिश/स्यूडोस्केलर
2	बाइपैरावेक्टर	ट्राइपैरावेक्टर

पैराग्रेडिएंट

पैराग्रेडिएंट संकारक, पैरावेक्टर समष्टि में ग्रेडिएंट संकारक का सामान्यीकरण है। मानक पैरावेक्टर आधार में पैराग्रेडिएंट है-

$\partial =\mathbf {e} _{0}\partial _{0}-\mathbf {e} _{1}\partial _{1}-\mathbf {e} _{2}\partial _{2}-\mathbf {e} _{3}\partial _{3},$

जो डी'अलेम्बर्ट संकारक को इस प्रकार लिखने की अनुमति देता है-

$\square =\langle {\bar {\partial }}\partial \rangle _{S}=\langle \partial {\bar {\partial }}\rangle _{S}$

मानक ग्रेडिएंट संकारक को स्वाभाविक रूप से इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है-

$\nabla =\mathbf {e} _{1}\partial _{1}+\mathbf {e} _{2}\partial _{2}+\mathbf {e} _{3}\partial _{3},$

जिससे पैराग्रेडिएंट को इस प्रकार लिखा जा सकता है-

$\partial =\partial _{0}-\nabla ,$

जहाँ $\mathbf {e} _{0}=1$ है।

पैराग्रेडिएंट संकारक का उपयोग सदैव इसकी अविनिमेय प्रकृति का सम्मान करते हुए सावधानीपूर्वक किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, व्यापक रूप से प्रयुक्त अवकलज है-

$\partial e^{f(x)\mathbf {e} _{3}}=(\partial f(x))e^{f(x)\mathbf {e} _{3}}\mathbf {e} _{3},$

जहाँ $f(x)$ निर्देशांकों का अदिश फलन है।

पैराग्रेडिएंट संकारक है जो फलन अदिश होने पर सदैव बाईं ओर से कार्य करता है। यद्यपि, यदि फलन अदिश नहीं है, तो पैराग्रेडिएंट दाईं ओर से भी कार्य कर सकता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अभिव्यक्ति का विस्तार इस प्रकार किया गया है-

$(L\partial )=\mathbf {e} _{0}\partial _{0}L+(\partial _{1}L)\mathbf {e} _{1}+(\partial _{2}L)\mathbf {e} _{2}+(\partial _{3}L)\mathbf {e} _{3}$

प्रक्षेपक के रूप में शून्य पैरावेक्टर

अशक्त पैरावेक्टर वे अवयव हैं जो आवश्यक रूप से शून्य नहीं हैं किन्तु उनका परिमाण शून्य के समान है। अशक्त पैरावेक्टर $p$ के लिए, यह गुण आवश्यक रूप से निम्नलिखित प्रमाण को दर्शाता है-

$p{\bar {p}}=0.$

विशेष सापेक्षता के संदर्भ में इन्हें लाइटलाइक पैरावेक्टर भी कहा जाता है।

प्रक्षेपक निम्नलिखित रूप के शून्य पैरावेक्टर हैं-

$P_{\mathbf {k} }={\frac {1}{2}}(1+{\hat {\mathbf {k} }}),$

जहाँ ${\hat {\mathbf {k} }}$ इकाई सदिश है।

इस रूप के प्रक्षेपक $P_{\mathbf {k} }$ में पूरक प्रक्षेपक ${\bar {P}}_{\mathbf {k} }$ होता है-

${\bar {P}}_{\mathbf {k} }={\frac {1}{2}}(1-{\hat {\mathbf {k} }}),$

इस प्रकार,

$P_{\mathbf {k} }+{\bar {P}}_{\mathbf {k} }=1$

प्रक्षेपक के रूप में, ये निष्क्रिय हैं-

$P_{\mathbf {k} }=P_{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }=P_{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }=...$

और एक का दूसरे पर प्रक्षेपण शून्य है क्योंकि वे शून्य पैरावेक्टर हैं-

$P_{\mathbf {k} }{\bar {P}}_{\mathbf {k} }=0.$

प्रक्षेपक के संबंधित इकाई सदिश को इस प्रकार से ज्ञात किया जा सकता है-

${\hat {\mathbf {k} }}=P_{\mathbf {\mathbf {k} } }-{\bar {P}}_{\mathbf {k} },$

इसका अर्थ यह है कि ${\hat {\mathbf {k} }}$ आइगन फलन $P_{\mathbf {\mathbf {k} } }$ और ${\bar {P}}_{\mathbf {\mathbf {k} } }$ के साथ संबंधित आइगन मान​​ $1$ और $-1$ के साथ संकारक है।

पूर्व परिणाम से, निम्नलिखित प्रमाण यह मानते हुए मान्य है कि $f({\hat {\mathbf {k} }})$ शून्य के निकट विश्लेषणात्मक है-

$f({\hat {\mathbf {k} }})=f(1)P_{\mathbf {k} }+f(-1){\bar {P}}_{\mathbf {k} }.$

इससे पैकवूमन गुण की उत्पत्ति होती है, जिससे निम्नलिखित प्रमाण सिद्ध होता है-

$f({\hat {\mathbf {k} }})P_{\mathbf {k} }=f(1)P_{\mathbf {k} },$

$f({\hat {\mathbf {k} }}){\bar {P}}_{\mathbf {k} }=f(-1){\bar {P}}_{\mathbf {k} }.$

पैरावेक्टर समष्टि के लिए शून्य आधार

अवयवों का आधार, उनमें से प्रत्येक शून्य, संपूर्ण $C\ell _{3}$ समष्टि के लिए बनाया जा सकता है। ब्याज का आधार निम्नलिखित है-

$\{{\bar {P}}_{3},P_{3}\mathbf {e} _{1},P_{3},\mathbf {e} _{1}P_{3}\}$

जिससे आरबिटरेरी पैरावेक्टर $p=p^{0}\mathbf {e} _{0}+p^{1}\mathbf {e} _{1}+p^{2}\mathbf {e} _{2}+p^{3}\mathbf {e} _{3}$ को निम्नलिखित समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है-

$p=(p^{0}+p^{3})P_{3}+(p^{0}-p^{3}){\bar {P}}_{3}+(p^{1}+ip^{2})\mathbf {e} _{1}P_{3}+(p^{1}-ip^{2})P_{3}\mathbf {e} _{1}$

यह प्रतिनिधित्व कुछ प्रणालियों के लिए उपयोगी है जो स्वाभाविक रूप से प्रकाश शंकु चर के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं जो क्रमशः $P_{3}$ और ${\bar {P}}_{3}$ के गुणांक हैं।

पैरावेक्टर समष्टि में प्रत्येक अभिव्यक्ति को शून्य आधार के रूप में लिखा जा सकता है। पैरावेक्टर $p$ सामान्यतः दो वास्तविक अदिश संख्याओं $\{u,v\}$ और सामान्य अदिश संख्या $w$ (अदिश और स्यूडोस्केलर संख्या) द्वारा पैरामीट्रिज्ड होता है।

$p=u{\bar {P}}_{3}+vP_{3}+w\mathbf {e} _{1}P_{3}+w^{\dagger }P_{3}\mathbf {e} _{1}$

शून्य आधार में पैराग्रेडिएंट है-

$\partial =2P_{3}\partial _{u}+2{\bar {P}}_{3}\partial _{v}-2\mathbf {e} _{1}P_{3}\partial _{w^{\dagger }}-2P_{3}\mathbf {e} _{1}\partial _{w}$

उच्च आयाम

n-आयामी यूक्लिडियन समष्टि ग्रेड n (n-वेक्टर) के मल्टीवेक्टर के अस्तित्व की अनुमति देता है। सदिश समष्टि का आयाम स्पष्ट रूप से n के समान है और सरल संयोजन विश्लेषण से यह ज्ञात होता है कि बायवेक्टर समष्टि का आयाम ${\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}}$ है। सामान्तयः, ग्रेड m के मल्टीवेक्टर समष्टि का आयाम ${\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}}$ है और संपूर्ण क्लिफ़ोर्ड बीजगणित $C\ell (n)$ का आयाम $2^{n}$ है।

होमोजेनियस ग्रेड मल्टीवेक्टर या तो अपरिवर्तनीय है या प्रत्यावर्तन संयुग्मन $\dagger$ की क्रिया के अंतर्गत संकेत परिवर्तित करता है। जो अवयव अपरिवर्तित रहते हैं उन्हें हर्मीशियन के रूप में परिभाषित किया जाता है और जो अवयव संकेत परिवर्तित करते हैं उन्हें एंटी-हर्मीशियन के रूप में परिभाषित किया जाता है। निम्नलिखित ग्रेडों को इस प्रकार वर्गीकृत किया जा सकता है-

ग्रेड	वर्गीकरण
$0$	हर्मीशियन
$1$	हर्मीशियन
$2$	एंटी-हर्मीशियन
$3$	एंटी-हर्मीशियन
$4$	हर्मीशियन
$5$	हर्मीशियन
$6$	एंटी-हर्मीशियन
$7$	एंटी-हर्मीशियन
$\vdots$	$\vdots$

आव्यूह प्रतिनिधित्व

$C\ell (3)$ समष्टि का बीजगणित पाउली आव्यूह बीजगणित के समान है-

	आव्यूह प्रतिनिधित्व 3डी	स्पष्ट आव्यूह
$\mathbf {e} _{0}$	$\sigma _{0}^{}$	${\begin{pmatrix}1&&0\\0&&1\end{pmatrix}}$
$\mathbf {e} _{1}$	$\sigma _{1}^{}$	${\begin{pmatrix}0&&1\\1&&0\end{pmatrix}}$
$\mathbf {e} _{2}$	$\sigma _{2}^{}$	${\begin{pmatrix}0&&-i\\i&&0\end{pmatrix}}$
$\mathbf {e} _{3}$	$\sigma _{3}^{}$	${\begin{pmatrix}1&&0\\0&&-1\end{pmatrix}}$

जिससे शून्य आधार अवयव बन जाते हैं-

${P_{3}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,;{\bar {P}}_{3}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,;{P_{3}}\mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,;\mathbf {e} _{1}{P}_{3}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}.$

3डी में सामान्य क्लिफ़ोर्ड संख्या को इस प्रकार लिखा जा सकता है-

$\Psi =\psi _{11}P_{3}-\psi _{12}P_{3}\mathbf {e} _{1}+\psi _{21}\mathbf {e} _{1}P_{3}+\psi _{22}{\bar {P}}_{3},$

जहाँ गुणांक $\psi _{jk}$ अदिश अवयव हैं। सूचकांकों को इस प्रकार चयनित किया गया है कि पाउली आव्यूह के संदर्भ में इस क्लिफोर्ड संख्या का प्रतिनिधित्व है-

$\Psi \rightarrow {\begin{pmatrix}\psi _{11}&\psi _{12}\\\psi _{21}&\psi _{22}\end{pmatrix}}$

संयुग्मन

प्रत्यावर्तन संयुग्मन को हर्मीशियन संयुग्मन में अनुवादित किया गया है और बार संयुग्मन को निम्नलिखित आव्यूह में अनुवादित किया गया है-

${\bar {\Psi }}\rightarrow {\begin{pmatrix}\psi _{22}&-\psi _{12}\\-\psi _{21}&\psi _{11}\end{pmatrix}},$

जिस प्रकार अदिश भाग का अनुवाद इस प्रकार किया जाता है-

$\langle \Psi \rangle _{S}\rightarrow {\frac {\psi _{11}+\psi _{22}}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\frac {Tr[\psi ]}{2}}\mathbf {1} _{2\times 2}$

शेष उपसमष्टि का अनुवाद इस प्रकार किया गया है-

$\langle \Psi \rangle _{V}\rightarrow {\begin{pmatrix}0&\psi _{12}\\\psi _{21}&0\end{pmatrix}}$

$\langle \Psi \rangle _{R}\rightarrow {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\psi _{11}+\psi _{11}^{*}&\psi _{12}+\psi _{21}^{*}\\\psi _{21}+\psi _{12}^{*}&\psi _{22}+\psi _{22}^{*}\end{pmatrix}}$

$\langle \Psi \rangle _{I}\rightarrow {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\psi _{11}-\psi _{11}^{*}&\psi _{12}-\psi _{21}^{*}\\\psi _{21}-\psi _{12}^{*}&\psi _{22}-\psi _{22}^{*}\end{pmatrix}}$

उच्च आयाम

उच्च आयामों में यूक्लिडियन समष्टि का आव्यूह प्रतिनिधित्व पाउली आव्यूह के क्रोनकर गुणनफल के संदर्भ में बनाया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप $2^{n}$ आयाम के समष्टि आव्यूह प्राप्त होते हैं। 4डी प्रतिनिधित्व को निम्नलिखित रूप में लिया जा सकता है-

	आव्यूह प्रतिनिधित्व 4डी
$\mathbf {e} _{1}$	$\sigma _{3}\otimes \sigma _{1}$
$\mathbf {e} _{2}$	$\sigma _{3}\otimes \sigma _{2}$
$\mathbf {e} _{3}$	$\sigma _{3}\otimes \sigma _{3}$
$\mathbf {e} _{4}$	$\sigma _{2}\otimes \sigma _{0}$

7डी प्रतिनिधित्व को निम्नलिखित रूप में लिया जा सकता है-

	आव्यूह प्रतिनिधित्व 7डी
$\mathbf {e} _{1}$	$\sigma _{0}\otimes \sigma _{3}\otimes \sigma _{1}$
$\mathbf {e} _{2}$	$\sigma _{0}\otimes \sigma _{3}\otimes \sigma _{2}$
$\mathbf {e} _{3}$	$\sigma _{0}\otimes \sigma _{3}\otimes \sigma _{3}$
$\mathbf {e} _{4}$	$\sigma _{0}\otimes \sigma _{2}\otimes \sigma _{0}$
$\mathbf {e} _{5}$	$\sigma _{3}\otimes \sigma _{1}\otimes \sigma _{0}$
$\mathbf {e} _{6}$	$\sigma _{1}\otimes \sigma _{1}\otimes \sigma _{0}$
$\mathbf {e} _{7}$	$\sigma _{2}\otimes \sigma _{1}\otimes \sigma _{0}$

लाई बीजगणित

क्लिफ़ोर्ड बीजगणित का उपयोग किसी भी लाई बीजगणित का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है।

सामान्तयः एंटी-हर्मीशियन अवयवों का उपयोग करके कॉम्पैक्ट समूहों के लाई बीजगणित की पहचान करना संभव है, जिसे हर्मीशियन अवयवों को जोड़कर नॉन-कॉम्पैक्ट समूहों तक विस्तारित किया जा सकता है।

n-आयामी यूक्लिडियन समष्टि के बायवेक्टर हर्मीशियन अवयव हैं और इसका उपयोग $\mathrm {spin} (n)$ लाई बीजगणित का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है।

त्रि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि के द्विभाजक $\mathrm {spin} (3)$ लाई बीजगणित बनाते हैं, जो $\mathrm {su} (2)$ लाई बीजगणित के लिए समरूपी है। यह आकस्मिक समरूपता बलोच क्षेत्र का उपयोग करके दो आयामी हिल्बर्ट समष्टि की स्थितियों की ज्यामितीय व्याख्या को चित्रित करने की अनुमति देती है।

उन प्रणालियों में स्पिन 1/2 कण है।

$\mathrm {spin} (3)$ लाई बीजगणित को $\mathrm {SL} (2,C)$ लाई बीजगणित में लाई बीजगणित समरूपी बनाने के लिए तीन एकात्मक वैक्टर जोड़कर विस्तारित किया जा सकता है, जो लोरेंत्ज़ समूह $\mathrm {SO} (3,1)$ का युग्मित आवरण है। यह समरूपता $\mathrm {SL} (2,C)$ पर आधारित विशेष सापेक्षता की औपचारिकता विकसित करने की संभावना की अनुमति देती है, जिसे भौतिक समष्टि के बीजगणित के रूप में किया जाता है।

स्पिन लाई बीजगणित और $\mathrm {su} (N)$ लाई बीजगणित के मध्य मात्र अतिरिक्त आकस्मिक समरूपता है। यह $\mathrm {spin} (6)$ और $\mathrm {su} (4)$ के मध्य समरूपता है।

$\mathrm {spin} (5)$ और $\mathrm {sp} (4)$ के मध्य अन्य रोचक समरूपता उपस्थित है।

$USp(4)$ समूह उत्पन्न करने के लिए $\mathrm {sp} (4)$ लाई बीजगणित का उपयोग किया जा सकता है।

इसके अतिरिक्त यह समूह $\mathrm {SU} (4)$ समूह से छोटा है, जिसे चार-आयामी हिल्बर्ट समष्टि को विस्तारित करने के लिए पर्याप्त माना जाता है।

यह भी देखें

• भौतिक समष्टि का बीजगणित
• भौतिक समष्टि के बीजगणित में डायराक समीकरण

संदर्भ

पाठ्यपुस्तकें

• Baylis, William (2002). Electrodynamics: A Modern Geometric Approach (2nd ed.). Birkhäuser. ISBN 0-8176-4025-8
• Baylis, William, Clifford (Geometric) Algebras With Applications in Physics, Mathematics, and Engineering, Birkhauser (1999)
• [H1999] David Hestenes: New Foundations for Classical Mechanics (Second Edition). ISBN 0-7923-5514-8, Kluwer Academic Publishers (1999)
• Chris Doran and Antony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists, Cambridge, 2003

लेख

• Baylis, W E (2004-11-01). "परिचयात्मक भौतिकी में सापेक्षता". Canadian Journal of Physics. Canadian Science Publishing. 82 (11): 853–873. arXiv:physics/0406158. Bibcode:2004CaJPh..82..853B. doi:10.1139/p04-058. ISSN 0008-4204. S2CID 35027499.
• Doran, C.; Hestenes, D.; Sommen, F.; Van Acker, N. (1993). "समूहों को स्पिन समूहों के रूप में झूठ बोलें". Journal of Mathematical Physics. AIP Publishing. 34 (8): 3642–3669. Bibcode:1993JMP....34.3642D. doi:10.1063/1.530050. ISSN 0022-2488.
• Cabrera, R.; Rangan, C.; Baylis, W. E. (2007-09-04). "एन-क्विबिट सिस्टम के सुसंगत नियंत्रण के लिए पर्याप्त स्थिति". Physical Review A. American Physical Society (APS). 76 (3): 033401. arXiv:quant-ph/0703220. Bibcode:2007PhRvA..76c3401C. doi:10.1103/physreva.76.033401. ISSN 1050-2947. S2CID 45060566.
• Vaz, Jayme; Mann, Stephen (2018). "पैरावेक्टर और 3डी यूक्लिडियन स्पेस की ज्यामिति". Advances in Applied Clifford Algebras. Springer Science and Business Media LLC. 28 (5): 99. arXiv:1810.09389. doi:10.1007/s00006-018-0916-1. ISSN 0188-7009. S2CID 253600966.