बीबीजीकेवाई पदानुक्रम: Difference between revisions
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सांख्यिकीय भौतिकी में, '''बीबीजीकेवाई पदानुक्रम''' ( '''बोगोलीबोव-बॉर्न-ग्रीन-किर्कवुड-यवोन पदानुक्रम''' , जिसे कभी-कभी '''बोगोलीबोव पदानुक्रम''' कहा जाता है) बड़ी संख्या में परस्पर क्रिया करने वाले कणों की एक प्रणाली की गतिशीलता का वर्णन करने वाले समीकरणों का एक समूह है। बीबीजीकेवाई पदानुक्रम में ''s''-पार्टिकल [[ वितरण समारोह (भौतिकी) |वितरण कार्य (भौतिकी)]] (प्रोबेबिलिटी डेंसिटी कार्य ) के लिए समीकरण में (''s'' + 1)-पार्टिकल डिस्ट्रीब्यूशन कार्य सम्मिलित है, इस प्रकार समीकरणों की एक युग्मित श्रृंखला बनती है। इस औपचारिक सैद्धांतिक परिणाम का नाम [[निकोलाई बोगोलीबॉव]], [[मैक्स बोर्न]], हर्बर्ट एस. ग्रीन, [[जॉन गैंबल किर्कवुड]] और [[जैक्स यवोन]] के नाम पर रखा गया है। | |||
== सूत्रीकरण == | == सूत्रीकरण == | ||
संभाव्यता घनत्व | संभाव्यता घनत्व कार्य के लिए लिउविले के प्रमेय (हैमिल्टनियन) द्वारा [[क्वांटम उतार-चढ़ाव]] की अनुपस्थिति में एक एन-कण प्रणाली का विकास दिया गया है <math>f_N = f_N(\mathbf{q}_1 \dots \mathbf{q}_N, \mathbf{p}_1 \dots \mathbf{p}_N, t)</math> 6एन-आयामी चरण अंतरिक्ष में (3 अंतरिक्ष और 3 गति प्रति कण निर्देशांक) | ||
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: <math>\mathbf{F}_i = -\sum_{j=1 \neq i}^N \frac{\partial \Phi_{ij}}{\partial \mathbf{q}_i} - \frac{\partial \Phi_i^\text{ext}}{\partial \mathbf{q}_i},</math> | : <math>\mathbf{F}_i = -\sum_{j=1 \neq i}^N \frac{\partial \Phi_{ij}}{\partial \mathbf{q}_i} - \frac{\partial \Phi_i^\text{ext}}{\partial \mathbf{q}_i},</math> | ||
कहाँ <math>\Phi_{ij}(\mathbf{q}_i, \mathbf{q}_j)</math> कणों के | कहाँ <math>\Phi_{ij}(\mathbf{q}_i, \mathbf{q}_j)</math> कणों के मध्य परस्पर क्रिया के लिए जोड़ी क्षमता है, और <math>\Phi^\text{ext}(\mathbf{q}_i)</math> बाहरी क्षेत्र की क्षमता है। चरों के हिस्से पर एकीकरण करके, लिउविल समीकरण को समीकरणों की एक श्रृंखला में परिवर्तित किया जा सकता है जहां पहला समीकरण एक-कण संभाव्यता घनत्व वेरिएबल के विकास को दो-कण संभाव्यता घनत्व वेरिएबल के साथ जोड़ता है, दूसरा समीकरण दो-कण संभाव्यता को जोड़ता है घनत्व कार्य तीन-कण संभाव्यता घनत्व कार्य के साथ, और सामान्यतः एस-वें समीकरण एस-कण संभाव्यता घनत्व कार्य को जोड़ता है | ||
: <math>f_s(\mathbf{q}_1 \dots \mathbf{q}_s, \mathbf{p}_1 \dots \mathbf{p}_s, t) = \int f_N(\mathbf{q}_1 \dots \mathbf{q}_N, \mathbf{p}_1 \dots \mathbf{p}_N, t) \,d\mathbf{q}_{s+1} \dots d\mathbf{q}_N \,d\mathbf{p}_{s+1} \dots d\mathbf{p}_N</math> | : <math>f_s(\mathbf{q}_1 \dots \mathbf{q}_s, \mathbf{p}_1 \dots \mathbf{p}_s, t) = \int f_N(\mathbf{q}_1 \dots \mathbf{q}_N, \mathbf{p}_1 \dots \mathbf{p}_N, t) \,d\mathbf{q}_{s+1} \dots d\mathbf{q}_N \,d\mathbf{p}_{s+1} \dots d\mathbf{p}_N</math> | ||
(s + 1)-कण प्रायिकता घनत्व | (s + 1)-कण प्रायिकता घनत्व वेरिएबल के साथ: | ||
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\frac{\partial f_s}{\partial t} + \sum_{i=1}^s \frac{\mathbf{p}_i}{m} \frac{\partial f_s}{\partial \mathbf{q}_i} - \sum_{i=1}^s \left( \sum_{j=1\neq i}^s \frac{\partial \Phi_{ij}}{\partial \mathbf{q}_i} + \frac{\partial \Phi_i^{ext}}{\partial \mathbf{q}_i} \right) \frac{\partial f_s}{\partial \mathbf{p}_i} = (N-s) \sum_{i=1}^s \int \frac{\partial \Phi_{i\,s+1}}{\partial \mathbf{q}_i} \frac{\partial f_{s+1}}{\partial \mathbf{p}_i} \,d\mathbf{q}_{s+1} \,d\mathbf{p}_{s+1}. | \frac{\partial f_s}{\partial t} + \sum_{i=1}^s \frac{\mathbf{p}_i}{m} \frac{\partial f_s}{\partial \mathbf{q}_i} - \sum_{i=1}^s \left( \sum_{j=1\neq i}^s \frac{\partial \Phi_{ij}}{\partial \mathbf{q}_i} + \frac{\partial \Phi_i^{ext}}{\partial \mathbf{q}_i} \right) \frac{\partial f_s}{\partial \mathbf{p}_i} = (N-s) \sum_{i=1}^s \int \frac{\partial \Phi_{i\,s+1}}{\partial \mathbf{q}_i} \frac{\partial f_{s+1}}{\partial \mathbf{p}_i} \,d\mathbf{q}_{s+1} \,d\mathbf{p}_{s+1}. | ||
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एस-पार्टिकल डिस्ट्रीब्यूशन | एस-पार्टिकल डिस्ट्रीब्यूशन कार्य के लिए उपरोक्त समीकरण चरों पर लिउविल समीकरण के एकीकरण द्वारा प्राप्त किया जाता है <math>\mathbf{q}_{s+1} \dots \mathbf{q}_N, \mathbf{p}_{s+1} \dots \mathbf{p}_N</math>. उपरोक्त समीकरण के साथ समस्या यह है कि यह बंद नहीं है। समाधान करना <math>f_s</math>, जानना होगा <math>f_{s+1}</math>, जो बदले में हल करने की मांग करता है <math>f_{s+2}</math> और सभी तरह से पूर्ण लिउविल समीकरण पर वापस। चूँकि, कोई हल कर सकता है <math>f_s</math>, यदि <math>f_{s+1}</math> मॉडलिंग की जा सकती थी। ऐसा ही एक स्थिति [[बोल्ट्जमैन समीकरण]] है <math>f_1(\mathbf{q}_1, \mathbf{p}_1, t)</math>, कहाँ <math>f_2(\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2, t)</math> [[आणविक अराजकता]] पर आधारित है ({{lang|de|स्टॉसज़ाह्लानसैट्ज़ }}). वास्तव में, बोल्ट्जमैन समीकरण में <math>f_2 = f_2(\mathbf{p}_1, \mathbf{p_2}, t)</math> संघट्ट अभिन्न है। लिउविले समीकरण से बोल्ट्जमैन समीकरण प्राप्त करने की इस सीमित प्रक्रिया को [[बोल्ट्जमैन-ग्रेड सीमा]] के रूप में जाना जाता है।<ref>[[Harold Grad]] (1949). On the kinetic theory of rarefied gases. Communications on pure and applied mathematics, 2(4), 331–407.</ref> | ||
== भौतिक व्याख्या और अनुप्रयोग == | == भौतिक व्याख्या और अनुप्रयोग == | ||
योजनाबद्ध रूप से, लिउविल समीकरण हमें पूरे के लिए समय विकास देता है <math>N</math>-कण प्रणाली के रूप में <math>Df_N=0</math>, जो चरण स्थान में प्रायिकता घनत्व के एक असम्पीडित प्रवाह को व्यक्त करता है। फिर हम दूसरे कण की स्वतंत्रता की डिग्री को एकीकृत करके कम वितरण कार्यों को वृद्धिशील रूप से परिभाषित करते हैं <math display="inline">f_s \sim \int f_{s+1}</math>. | योजनाबद्ध रूप से, लिउविल समीकरण हमें पूरे के लिए समय विकास देता है <math>N</math>-कण प्रणाली के रूप में <math>Df_N=0</math>, जो चरण स्थान में प्रायिकता घनत्व के एक असम्पीडित प्रवाह को व्यक्त करता है। फिर हम दूसरे कण की स्वतंत्रता की डिग्री को एकीकृत करके कम वितरण कार्यों को वृद्धिशील रूप से परिभाषित करते हैं <math display="inline">f_s \sim \int f_{s+1}</math>. बीबीजीकेवाई पदानुक्रम में एक समीकरण हमें बताता है कि इस तरह के समय का विकास <math>f_s</math> परिणामस्वरूप एक लिउविले-जैसे समीकरण द्वारा दिया जाता है, किन्तु एक सुधार शब्द के साथ जो बल-प्रभाव का प्रतिनिधित्व करता है <math>N-s</math> दबा हुआ कण | ||
:<math>D f_s \propto \text{div}_{\mathbf p} \langle \text{grad}_{\mathbf q}\Phi_{i,s+1}\rangle_{f_{s+1}}.</math> | :<math>D f_s \propto \text{div}_{\mathbf p} \langle \text{grad}_{\mathbf q}\Phi_{i,s+1}\rangle_{f_{s+1}}.</math> | ||
समीकरणों के | समीकरणों के बीबीजीकेवाई पदानुक्रम को हल करने की समस्या मूल लिउविल समीकरण को हल करने जितनी ही कठिन है, किन्तु बीबीजीकेवाई पदानुक्रम के लिए सन्निकटन (जो श्रृंखला को समीकरणों की परिमित प्रणाली में काट-छाँट की अनुमति देता है) आसानी से बनाया जा सकता है। इन समीकरणों की योग्यता यह है कि उच्च वितरण कार्य करता है <math>f_{s+2},f_{s+3},\dots</math> के समय के विकास को प्रभावित करते हैं <math>f_s</math> केवल परोक्ष रूप से <math>f_{s+1}.</math> बीबीजीकेवाई श्रृंखला का कटाव गतिज सिद्धांत के अनेक अनुप्रयोगों के लिए एक सामान्य प्रारंभिक बिंदु है जिसका उपयोग क्लासिकल की व्युत्पत्ति के लिए किया जा सकता है।<ref name="a">{{cite journal|author=[[Nikolay Bogoliubov|N. N. Bogoliubov]]|title=काइनेटिक समीकरण|journal=[[JETP|Journal of Experimental and Theoretical Physics]]|volume=16|issue=8|pages=691–702|year=1946|language=ru}}</ref><ref name="b">{{cite journal|author=[[Nikolay Bogoliubov|N. N. Bogoliubov]]|title=काइनेटिक समीकरण|journal=Journal of Physics USSR|volume=10|issue=3|pages=265–274|year=1946}}</ref> या क्वांटम<ref>{{cite journal|author=[[Nikolay Bogoliubov|N. N. Bogoliubov]], [[Kirill Gurov|K. P. Gurov]]|title=क्वांटम यांत्रिकी में काइनेटिक समीकरण|journal=[[JETP|Journal of Experimental and Theoretical Physics]]|volume=17|issue=7|pages=614–628|year=1947|language=ru}}</ref> गतिज समीकरण। विशेष रूप से, पहले समीकरण या पहले दो समीकरणों पर ट्रंकेशन का उपयोग क्लासिकल और क्वांटम बोल्ट्जमैन समीकरणों को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है और बोल्ट्जमान समीकरणों के पहले क्रम सुधार के लिए किया जा सकता है। अन्य सन्निकटन, जैसे कि यह धारणा कि घनत्व संभाव्यता वेरिएबल केवल कणों के मध्य की सापेक्ष दूरी या हाइड्रोडायनामिक शासन की धारणा पर निर्भर करता है, समाधान के लिए सुलभ बीबीजीकेवाई श्रृंखला को भी प्रस्तुत कर सकता है।<ref>Harris, S. (2004). An introduction to the theory of the Boltzmann equation. Courier Corporation.</ref> | ||
==ग्रन्थसूची== | ==ग्रन्थसूची== | ||
एस-कण वितरण वेरिएबल को 1935 में जे. यवोन द्वारा शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी में प्रस्तुत किया गया था।<ref>[[Jacques Yvon|J. Yvon]] (1935): ''La théorie statistique des fluides et l'équation d'état'' (in French), Actual. Sci. & Indust. № 203 (Paris, Hermann).</ref> एस-कण वितरण कार्यों के लिए समीकरणों का बीबीजीकेवाई पदानुक्रम जुलाई 1945 में प्राप्त और 1946 में रूसी<ref name="a"/> और अंग्रेजी<ref name="b"/> में प्रकाशित लेख में बोगोलीबोव द्वारा गतिज समीकरणों की व्युत्पत्ति के लिए लिखा और क्रियान्वित किया गया था। किर्कवुड द्वारा अक्टूबर 1945 में प्राप्त और मार्च 1946 में प्रकाशित लेख<ref>{{cite journal |author=[[John Gamble Kirkwood|John G. Kirkwood]] |title=The Statistical Mechanical Theory of Transport Processes I. General Theory |journal=[[Journal of Chemical Physics|The Journal of Chemical Physics]] |volume=14 |issue=3 |pages=180–201 |date=March 1946 |doi=10.1063/1.1724117 |bibcode = 1946JChPh..14..180K}}</ref> और उसके बाद के लेखों<ref>{{cite journal |author=[[John Gamble Kirkwood|John G. Kirkwood]] |title=The Statistical Mechanical Theory of Transport Processes II. Transport in Gases |journal=[[Journal of Chemical Physics|The Journal of Chemical Physics]] |volume=15 |issue=1 |pages=72–76 |date=January 1947 |doi=10.1063/1.1746292 |bibcode = 1947JChPh..15...72K}}</ref> में गतिज परिवहन सिद्धांत पर विचार किया गया था। बॉर्न एंड ग्रीन के पहले लेख में तरल पदार्थों के सामान्य गतिज सिद्धांत पर विचार किया गया था और इसे फरवरी 1946 में प्राप्त किया गया था और 31 दिसंबर 1946<ref>{{cite journal |author=[[Max Born|M. Born]] and [[Herbert S. Green|H. S. Green]] |title=A General Kinetic Theory of Liquids I. The Molecular Distribution Functions |journal=Proc. R. Soc. A |volume=188 |pages=10–18 |date=31 December 1946 |issue=1012 |bibcode = 1946RSPSA.188...10B |doi = 10.1098/rspa.1946.0093 |pmid=20282515 |doi-access=free }}</ref> को प्रकाशित किया गया था। | |||
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सांख्यिकीय भौतिकी में, बीबीजीकेवाई पदानुक्रम ( बोगोलीबोव-बॉर्न-ग्रीन-किर्कवुड-यवोन पदानुक्रम , जिसे कभी-कभी बोगोलीबोव पदानुक्रम कहा जाता है) बड़ी संख्या में परस्पर क्रिया करने वाले कणों की एक प्रणाली की गतिशीलता का वर्णन करने वाले समीकरणों का एक समूह है। बीबीजीकेवाई पदानुक्रम में s-पार्टिकल वितरण कार्य (भौतिकी) (प्रोबेबिलिटी डेंसिटी कार्य ) के लिए समीकरण में (s + 1)-पार्टिकल डिस्ट्रीब्यूशन कार्य सम्मिलित है, इस प्रकार समीकरणों की एक युग्मित श्रृंखला बनती है। इस औपचारिक सैद्धांतिक परिणाम का नाम निकोलाई बोगोलीबॉव, मैक्स बोर्न, हर्बर्ट एस. ग्रीन, जॉन गैंबल किर्कवुड और जैक्स यवोन के नाम पर रखा गया है।
सूत्रीकरण
संभाव्यता घनत्व कार्य के लिए लिउविले के प्रमेय (हैमिल्टनियन) द्वारा क्वांटम उतार-चढ़ाव की अनुपस्थिति में एक एन-कण प्रणाली का विकास दिया गया है 6एन-आयामी चरण अंतरिक्ष में (3 अंतरिक्ष और 3 गति प्रति कण निर्देशांक)
कहाँ के लिए निर्देशांक और गति हैं -वें कण द्रव्यमान के साथ , और पर कार्य करने वाला शुद्ध बल -वाँ कण है
कहाँ कणों के मध्य परस्पर क्रिया के लिए जोड़ी क्षमता है, और बाहरी क्षेत्र की क्षमता है। चरों के हिस्से पर एकीकरण करके, लिउविल समीकरण को समीकरणों की एक श्रृंखला में परिवर्तित किया जा सकता है जहां पहला समीकरण एक-कण संभाव्यता घनत्व वेरिएबल के विकास को दो-कण संभाव्यता घनत्व वेरिएबल के साथ जोड़ता है, दूसरा समीकरण दो-कण संभाव्यता को जोड़ता है घनत्व कार्य तीन-कण संभाव्यता घनत्व कार्य के साथ, और सामान्यतः एस-वें समीकरण एस-कण संभाव्यता घनत्व कार्य को जोड़ता है
(s + 1)-कण प्रायिकता घनत्व वेरिएबल के साथ:
एस-पार्टिकल डिस्ट्रीब्यूशन कार्य के लिए उपरोक्त समीकरण चरों पर लिउविल समीकरण के एकीकरण द्वारा प्राप्त किया जाता है . उपरोक्त समीकरण के साथ समस्या यह है कि यह बंद नहीं है। समाधान करना , जानना होगा , जो बदले में हल करने की मांग करता है और सभी तरह से पूर्ण लिउविल समीकरण पर वापस। चूँकि, कोई हल कर सकता है , यदि मॉडलिंग की जा सकती थी। ऐसा ही एक स्थिति बोल्ट्जमैन समीकरण है , कहाँ आणविक अराजकता पर आधारित है (स्टॉसज़ाह्लानसैट्ज़). वास्तव में, बोल्ट्जमैन समीकरण में संघट्ट अभिन्न है। लिउविले समीकरण से बोल्ट्जमैन समीकरण प्राप्त करने की इस सीमित प्रक्रिया को बोल्ट्जमैन-ग्रेड सीमा के रूप में जाना जाता है।[1]
भौतिक व्याख्या और अनुप्रयोग
योजनाबद्ध रूप से, लिउविल समीकरण हमें पूरे के लिए समय विकास देता है -कण प्रणाली के रूप में , जो चरण स्थान में प्रायिकता घनत्व के एक असम्पीडित प्रवाह को व्यक्त करता है। फिर हम दूसरे कण की स्वतंत्रता की डिग्री को एकीकृत करके कम वितरण कार्यों को वृद्धिशील रूप से परिभाषित करते हैं . बीबीजीकेवाई पदानुक्रम में एक समीकरण हमें बताता है कि इस तरह के समय का विकास परिणामस्वरूप एक लिउविले-जैसे समीकरण द्वारा दिया जाता है, किन्तु एक सुधार शब्द के साथ जो बल-प्रभाव का प्रतिनिधित्व करता है दबा हुआ कण
समीकरणों के बीबीजीकेवाई पदानुक्रम को हल करने की समस्या मूल लिउविल समीकरण को हल करने जितनी ही कठिन है, किन्तु बीबीजीकेवाई पदानुक्रम के लिए सन्निकटन (जो श्रृंखला को समीकरणों की परिमित प्रणाली में काट-छाँट की अनुमति देता है) आसानी से बनाया जा सकता है। इन समीकरणों की योग्यता यह है कि उच्च वितरण कार्य करता है के समय के विकास को प्रभावित करते हैं केवल परोक्ष रूप से बीबीजीकेवाई श्रृंखला का कटाव गतिज सिद्धांत के अनेक अनुप्रयोगों के लिए एक सामान्य प्रारंभिक बिंदु है जिसका उपयोग क्लासिकल की व्युत्पत्ति के लिए किया जा सकता है।[2][3] या क्वांटम[4] गतिज समीकरण। विशेष रूप से, पहले समीकरण या पहले दो समीकरणों पर ट्रंकेशन का उपयोग क्लासिकल और क्वांटम बोल्ट्जमैन समीकरणों को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है और बोल्ट्जमान समीकरणों के पहले क्रम सुधार के लिए किया जा सकता है। अन्य सन्निकटन, जैसे कि यह धारणा कि घनत्व संभाव्यता वेरिएबल केवल कणों के मध्य की सापेक्ष दूरी या हाइड्रोडायनामिक शासन की धारणा पर निर्भर करता है, समाधान के लिए सुलभ बीबीजीकेवाई श्रृंखला को भी प्रस्तुत कर सकता है।[5]
ग्रन्थसूची
एस-कण वितरण वेरिएबल को 1935 में जे. यवोन द्वारा शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी में प्रस्तुत किया गया था।[6] एस-कण वितरण कार्यों के लिए समीकरणों का बीबीजीकेवाई पदानुक्रम जुलाई 1945 में प्राप्त और 1946 में रूसी[2] और अंग्रेजी[3] में प्रकाशित लेख में बोगोलीबोव द्वारा गतिज समीकरणों की व्युत्पत्ति के लिए लिखा और क्रियान्वित किया गया था। किर्कवुड द्वारा अक्टूबर 1945 में प्राप्त और मार्च 1946 में प्रकाशित लेख[7] और उसके बाद के लेखों[8] में गतिज परिवहन सिद्धांत पर विचार किया गया था। बॉर्न एंड ग्रीन के पहले लेख में तरल पदार्थों के सामान्य गतिज सिद्धांत पर विचार किया गया था और इसे फरवरी 1946 में प्राप्त किया गया था और 31 दिसंबर 1946[9] को प्रकाशित किया गया था।
यह भी देखें
- फोकर-प्लैंक समीकरण
- व्लासोव समीकरण
- क्लस्टर-विस्तार दृष्टिकोण
संदर्भ
- ↑ Harold Grad (1949). On the kinetic theory of rarefied gases. Communications on pure and applied mathematics, 2(4), 331–407.
- ↑ 2.0 2.1 N. N. Bogoliubov (1946). "काइनेटिक समीकरण". Journal of Experimental and Theoretical Physics (in русский). 16 (8): 691–702.
- ↑ 3.0 3.1 N. N. Bogoliubov (1946). "काइनेटिक समीकरण". Journal of Physics USSR. 10 (3): 265–274.
- ↑ N. N. Bogoliubov, K. P. Gurov (1947). "क्वांटम यांत्रिकी में काइनेटिक समीकरण". Journal of Experimental and Theoretical Physics (in русский). 17 (7): 614–628.
- ↑ Harris, S. (2004). An introduction to the theory of the Boltzmann equation. Courier Corporation.
- ↑ J. Yvon (1935): La théorie statistique des fluides et l'équation d'état (in French), Actual. Sci. & Indust. № 203 (Paris, Hermann).
- ↑ John G. Kirkwood (March 1946). "The Statistical Mechanical Theory of Transport Processes I. General Theory". The Journal of Chemical Physics. 14 (3): 180–201. Bibcode:1946JChPh..14..180K. doi:10.1063/1.1724117.
- ↑ John G. Kirkwood (January 1947). "The Statistical Mechanical Theory of Transport Processes II. Transport in Gases". The Journal of Chemical Physics. 15 (1): 72–76. Bibcode:1947JChPh..15...72K. doi:10.1063/1.1746292.
- ↑ M. Born and H. S. Green (31 December 1946). "A General Kinetic Theory of Liquids I. The Molecular Distribution Functions". Proc. R. Soc. A. 188 (1012): 10–18. Bibcode:1946RSPSA.188...10B. doi:10.1098/rspa.1946.0093. PMID 20282515.
