ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण: Difference between revisions

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[[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] में '''ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण''' [[लियोनार्ड ऑर्नस्टीन]] और [[फ्रिट्स ज़र्निके]] द्वारा प्रस्तुत किया गया एक अभिन्न समीकरण है जो एक दूसरे के साथ विभिन्न [[सहसंबंध फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी)|सहसंबंध फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी)]] को जोड़ता है। क्लोजर रिलेशन के साथ, इसका उपयोग तरल पदार्थ या कोलाइड जैसे अनाकार पदार्थ के संरचना कारक और थर्मोडायनामिक स्थिति कार्यों की गणना करने के लिए किया जाता है।<ref>{{cite journal |last1=Ornstein |first1=L.S. |last2=Zernike |first2=F. |year=1914 |title=किसी एक पदार्थ के क्रांतिक बिंदु पर घनत्व और ओपेलेसेंस का आकस्मिक विचलन|journal=Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences |volume=17 |pages=793–806 |bibcode=1914KNAB...17..793. |url=https://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00012727.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20210206222100if_/https://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00012727.pdf |archive-date=2021-02-06 }} – Archived 24&nbsp;Sep 2010 at the 'Digital Library' of the Dutch History of Science Web Center.</ref>
[[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] में '''ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण''' [[लियोनार्ड ऑर्नस्टीन]] और [[फ्रिट्स ज़र्निके]] द्वारा प्रस्तुत किया गया एक समाकल समीकरण है जो एक दूसरे के साथ विभिन्न [[सहसंबंध फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी)|सहसंबंधन फलनों]] को जोड़ता है। क्लोज़र (समापन) फलन के साथ इसका उपयोग तरल या कोलाइड जैसे अक्रिस्टलीय पदार्थ की संरचना और ऊष्मागतिकीय अवस्था की गणना करने के लिए किया जाता है।<ref>{{cite journal |last1=Ornstein |first1=L.S. |last2=Zernike |first2=F. |year=1914 |title=किसी एक पदार्थ के क्रांतिक बिंदु पर घनत्व और ओपेलेसेंस का आकस्मिक विचलन|journal=Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences |volume=17 |pages=793–806 |bibcode=1914KNAB...17..793. |url=https://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00012727.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20210206222100if_/https://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00012727.pdf |archive-date=2021-02-06 }} – Archived 24&nbsp;Sep 2010 at the 'Digital Library' of the Dutch History of Science Web Center.</ref>


== संदर्भ ==
== विधि ==


तरल पदार्थ में अणुओं या आयनों, या कोलाइडल कणों के युग्म सहसंबंध फलन की गणना के लिए सन्निकटन की नींव के रूप में ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण का व्यावहारिक महत्व है। जोड़ी सहसंबंध फलन फूरियर ट्रांसफॉर्म के माध्यम से स्थिर संरचना कारक से संबंधित है, जिसे एक्स-रे विवर्तन या न्यूट्रॉन विवर्तन का उपयोग करके प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है।
तरल पदार्थ में अणुओं, आयनों या कोलाइडल कणों के युग्म सहसंबंध फलन की गणना करने के लिए सन्निकटन फलन की नींव के रूप में ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण का अत्यधिक महत्व है। युग्म सहसंबंध फलन फूरियर रूपांतरण के माध्यम से स्थैतिक संरचना कारक से संबंधित है जिसको एक्स-रे विवर्तन या न्यूट्रॉन विवर्तन का उपयोग करके प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है।


ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण युग्म सहसंबंध फलन को प्रत्यक्ष सहसंबंध फलन से संबंधित करता है। प्रत्यक्ष सहसंबंध फलन का उपयोग केवल ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण के संबंध में किया जाता है, जिसे वास्तव में इसकी परिभाषा के रूप में देखा जा सकता है।<ref>V I Kalikmanov: Statistical Physics of Fluids. Basic Concepts and Applications. Springer, Berlin 2001</ref>
ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण युग्म सहसंबंध फलन को प्रत्यक्ष सहसंबंध फलन से संबंधित करता है। प्रत्यक्ष सहसंबंध फलन का उपयोग केवल ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण के संबंध में किया जाता है जिसे सामान्यतः इसकी परिभाषा के रूप में देखा जा सकता है।<ref>V I Kalikmanov: Statistical Physics of Fluids. Basic Concepts and Applications. Springer, Berlin 2001</ref>


ओजेड समीकरण के अतिरिक्त, जोड़ी सहसंबंध फलन की गणना के लिए अन्य तरीकों में कम घनत्व पर वायरल विस्तार और बोगोलीबोव-बॉर्न-ग्रीन-किर्कवुड-यवॉन (बीबीजीकेवाई) पदानुक्रम सम्मिलित हैं। इनमें से किसी भी विधि को वायरल विस्तार के मामले में ऑर्नस्टीन-ज़र्निक या बीबीजीकेवाई के लिए एक समापन संबंध के साथ भौतिक सन्निकटन काट-छाँट के साथ जोड़ा जाना चाहिए।
ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण के अतिरिक्त युग्म सहसंबंध फलन की गणना के लिए अन्य प्रकारों में कम घनत्व पर वीरियल विस्तार और बोगोलीबोव-बॉर्न-ग्रीन-किर्कवुड-यवॉन (बीबीजीकेवाई) वर्गीकरण सम्मिलित है। इनमें से किसी भी विधि को वीरियल विस्तार की स्थिति में ऑर्नस्टीन-ज़र्निक या बीबीजीकेवाई के लिए एक समापन संबंध फलन के साथ भौतिक सन्निकटन फलन के साथ जोड़ा जा सकता है।


== समीकरण ==
== समीकरण ==


अंकन को सरल रखने के लिए, हम केवल सजातीय तरल पदार्थों पर विचार करते हैं। इस प्रकार जोड़ी सहसंबंध फलन केवल दूरी पर निर्भर करता है, और इसलिए इसे रेडियल वितरण फलन भी कहा जाता है। इसे लिखा जा सकता है
संकेत चिन्ह को सरल करने के लिए हम केवल समांगी तरल पदार्थों पर विचार करते हैं। इस प्रकार युग्म सहसंबंध फलन केवल दूरी पर निर्भर करता है इसलिए इसे रेडियल वितरण फलन भी कहा जाता है। इसे निम्न प्रकार से लिखा जा सकता है:
:<math>g(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2) = g(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2) \equiv g(\mathbf{r}_{12}) = g(|\mathbf{r}_{12}|) \equiv g(r_{12}) \equiv g(12),</math>
:<math>g(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2) = g(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2) \equiv g(\mathbf{r}_{12}) = g(|\mathbf{r}_{12}|) \equiv g(r_{12}) \equiv g(12),</math>
जहां पहली समानता एकरूपता से आती है, दूसरी आइसोट्रॉपी से, और समतुल्यताएं नए अंकन का परिचय देती हैं।
जहां पहली समतुल्यता समांगी पदार्थों से आती है और दूसरी समस्‍थानिकता से और ये दोनों समतुल्यताएं नए संकेतक चिन्हों का परिचय देती हैं।


कुल सहसंबंध फलन को इस प्रकार परिभाषित करना सुविधाजनक है:
कुल सहसंबंध फलन को इस प्रकार परिभाषित करना सुविधाजनक होता है:


: <math> h(12)\equiv g(12)-1</math>
: <math> h(12)\equiv g(12)-1</math>
जो दूरी पर अणु 2 पर अणु 1 के प्रभाव को व्यक्त करता है <math>\,r_{12}\,</math>. ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण
जो दूरी <math>\,r_{12}\,</math>के अणु 2 पर अणु 1 के प्रभाव को व्यक्त करता है:
{{Equation box 1
{{Equation box 1
|indent=:
|indent=:
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|background colour=white}}
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इस प्रभाव को दो योगदानों में विभाजित करता है, प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष। प्रत्यक्ष योगदान प्रत्यक्ष सहसंबंध फलन <math>c(r).</math> को परिभाषित करता है। अप्रत्यक्ष भाग एक तिहाई, लेबल अणु 3 पर अणु 1 के प्रभाव के कारण होता है, जो बदले में अणु 2 को प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष रूप से प्रभावित करता है। यह अप्रत्यक्ष प्रभाव घनत्व द्वारा भारित होता है और अणु 3 की सभी संभावित स्थितियों पर औसत होता है।
इस प्रभाव को दो प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष योगफलों में विभाजित किया जाता है। प्रत्यक्ष योगफल प्रत्यक्ष सहसंबंध फलन <math>c(r)</math> को परिभाषित करता है। अप्रत्यक्ष भाग एक तिहाई अवस्था मे अणु 3 पर अणु 1 के प्रभाव के कारण को परिभाषित करता है जो अणु 2 को प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष रूप से प्रभावित करता है। यह अप्रत्यक्ष प्रभाव घनत्व द्वारा भारित होता है और अणु 3 की सभी संभावित स्थितियों पर औसत होता है। अप्रत्यक्ष प्रभाव को समाप्त करके <math>\,c(r)\,</math> को <math>h(r)</math> से कम दूरी का बनाया गया है जिसको अधिक सामान्य रूप से अनुमानित किया जा सकता है।


अप्रत्यक्ष प्रभाव को ख़त्म करके, <math>\,c(r)\,</math> से कम दूरी वाला है <math>h(r)</math> और अधिक आसानी से मॉडलिंग और अनुमान लगाया जा सकता है। की त्रिज्या <math>\,c(r)\,</math> अंतर-आण्विक बलों की त्रिज्या द्वारा निर्धारित किया जाता है, जबकि की त्रिज्या <math>\,h(r)\,</math> [[सहसंबंध लंबाई]] के क्रम का है।<ref>Kalikmanov p 140</ref>
जहाँ <math>\,c(r)\,</math> की त्रिज्या अंतराआण्विक बलों की त्रिज्या से निर्धारित होती है जबकि <math>\,h(r)\,</math> की त्रिज्या [[सहसंबंध लंबाई]] के क्रम की होती है।<ref>Kalikmanov p 140</ref>
== फूरियर रूपांतरण ==
== फूरियर रूपांतरण ==


ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण में अभिन्न एक [[कनवल्शन]] है। इसलिए, ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण को [[फूरियर रूपांतरित करता है]] द्वारा हल किया जा सकता है।
ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण में विभिन्न समाकल समीकरण होते है इसलिए ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण को [[फूरियर रूपांतरित करता है|फूरियर रूपांतरण]] द्वारा हल किया जा सकता है। यदि हम फूरियर रूपांतरण को क्रमशः <math>h(\mathbf{r})</math> और <math>c(\mathbf{r})</math> द्वारा <math>\hat{h}(\mathbf{k})</math> और <math>\hat{c}(\mathbf{k})</math> को निरूपित करते हैं तब [[Index.php?title=ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण|ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण]] का उपयोग करके हम प्राप्त कर सकते हैं:
यदि हम फूरियर परिवर्तनों को निरूपित करते हैं <math>h(\mathbf{r})</math> और <math>c(\mathbf{r})</math> द्वारा <math>\hat{h}(\mathbf{k})</math> और <math>\hat{c}(\mathbf{k})</math>, क्रमशः, और [[कनवल्शन प्रमेय]] का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं


: <math> \hat{h}(\mathbf{k}) \; = \; \hat{c}(\mathbf{k}) \; + \; \rho \; \hat{h}(\mathbf{k})\;\hat{c}(\mathbf{k})~ , </math>
: <math> \hat{h}(\mathbf{k}) \; = \; \hat{c}(\mathbf{k}) \; + \; \rho \; \hat{h}(\mathbf{k})\;\hat{c}(\mathbf{k})~ , </math>
कौन सी पैदावार
जहां


: <math> \hat{c}(\mathbf{k}) \; = \; \frac{\hat{h}(\mathbf{k})}{\;1 \;+\;\rho \;\hat{h}(\mathbf{k})\;}  \qquad \text{ and } \qquad \hat{h}(\mathbf{k}) \; = \; \frac{\hat{c}(\mathbf{k})}{\; 1 \; - \; \rho \; \hat{c}(\mathbf{k}) \;} ~. </math>
: <math> \hat{c}(\mathbf{k}) \; = \; \frac{\hat{h}(\mathbf{k})}{\;1 \;+\;\rho \;\hat{h}(\mathbf{k})\;}  \qquad \text{ and } \qquad \hat{h}(\mathbf{k}) \; = \; \frac{\hat{c}(\mathbf{k})}{\; 1 \; - \; \rho \; \hat{c}(\mathbf{k}) \;} ~. </math>
==समापन संबंध==
==क्लोजर संबंध==
 
दोनों कार्यों के रूप में, <math> \,h \,</math> और <math> \,c \,</math>, अज्ञात हैं, किसी को एक अतिरिक्त समीकरण की आवश्यकता होती है, जिसे क्लोजर (गणित) संबंध के रूप में जाना जाता है। जबकि ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण पूरी तरह से औपचारिक है, समापन में कुछ शारीरिक रूप से प्रेरित सन्निकटन सम्मिलित होना चाहिए।


निम्न-घनत्व सीमा में, युग्म सहसंबंध फलन [[बोल्ट्ज़मान कारक]] द्वारा दिया जाता है,
चूंकि दोनों फलनों के रूप में <math> \,h \,</math> और <math> \,c \,</math> अज्ञात हैं, इसलिए फलन को एक अतिरिक्त समीकरण की आवश्यकता होती है जिसे क्लोजर संबंध के रूप में जाना जाता है जबकि ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण पूर्ण रूप से औपचारिक है क्लोजर संबंध में कई गणितीय सन्निकटन फलन सम्मिलित होते हैं। निम्न-घनत्व सीमा में युग्म सहसंबंध फलन [[बोल्ट्ज़मान कारक|बोल्ट्ज़मान सहसंबंधन फलन]] द्वारा दिया जाता है:


: <math>g(12)=\text{e}^{-\beta u(12)},\quad \rho\to 0</math>
: <math>g(12)=\text{e}^{-\beta u(12)},\quad \rho\to 0</math>
साथ <math>\beta=1/k_\text{B} T</math> और [[जोड़ी क्षमता]] के साथ <math>u(r)</math>.<ref>Kalikmanov p 137</ref> उच्च घनत्व के लिए समापन संबंध इस सरल संबंध को विभिन्न तरीकों से संशोधित करते हैं। सबसे प्रसिद्ध समापन सन्निकटन हैं:<ref>Kalikmanov pp 140-141</ref><ref>{{cite book |first=D.A. |last=McQuarrie |title=सांख्यिकीय यांत्रिकी|publisher= University Science Books |date=May 2000 |orig-year=1976 |page=[https://archive.org/details/statisticalmecha00mcqu_0/page/641 641] |isbn=9781891389153 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/statisticalmecha00mcqu_0/page/641 }}</ref>
<math>\beta=1/k_\text{B} T</math> और [[जोड़ी क्षमता|युग्म]] <math>u(r)</math> के साथ उच्च घनत्व के लिए क्लोजर संबंध इस सरल संबंध को विभिन्न प्रकारों से संशोधित करते हैं जबकि सबसे प्रसिद्ध क्लोजर सन्निकटन हैं:<ref>Kalikmanov pp 140-141</ref><ref>{{cite book |first=D.A. |last=McQuarrie |title=सांख्यिकीय यांत्रिकी|publisher= University Science Books |date=May 2000 |orig-year=1976 |page=[https://archive.org/details/statisticalmecha00mcqu_0/page/641 641] |isbn=9781891389153 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/statisticalmecha00mcqu_0/page/641 }}</ref>
* अभेद्य (कठोर) कोर वाले कणों के लिए पर्कस-येविक सन्निकटन,
* अखंडनीय कोर वाले कणों के लिए पर्कस-येविक सन्निकटन
* [[हाइपरनेटेटेड-चेन समीकरण]] नरम कोर और आकर्षक संभावित पूंछ वाले कणों के लिए,
* नम्य और आकर्षक संभावित कोर वाले कणों के लिए [[हाइपरनेटेटेड-चेन समीकरण]]
* [[माध्य गोलाकार सन्निकटन]],
* [[माध्य गोलाकार सन्निकटन]]
* [[रोजर्स-यंग सन्निकटन]]
* [[रोजर्स-यंग सन्निकटन]]


बाद वाले दो पहले वाले दो कणों के बीच अलग-अलग तरीकों से प्रक्षेप करते हैं, और इस प्रकार उन कणों का संतोषजनक विवरण प्राप्त करते हैं जिनमें कठोर कोर और आकर्षक बल होते हैं।
सामान्यतः ये बाद वाले दो कण और पहले वाले दो कणों के बीच अलग-अलग प्रकार से प्रक्षेप करते हैं। इस प्रकार उन कणों का स्पष्ट विवरण प्राप्त करते हैं जिनमें जटिल कोर और आकर्षक बल होते हैं।


== संदर्भ ==
== संदर्भ ==
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Latest revision as of 09:02, 13 December 2023

सांख्यिकीय यांत्रिकी में ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण लियोनार्ड ऑर्नस्टीन और फ्रिट्स ज़र्निके द्वारा प्रस्तुत किया गया एक समाकल समीकरण है जो एक दूसरे के साथ विभिन्न सहसंबंधन फलनों को जोड़ता है। क्लोज़र (समापन) फलन के साथ इसका उपयोग तरल या कोलाइड जैसे अक्रिस्टलीय पदार्थ की संरचना और ऊष्मागतिकीय अवस्था की गणना करने के लिए किया जाता है।[1]

विधि

तरल पदार्थ में अणुओं, आयनों या कोलाइडल कणों के युग्म सहसंबंध फलन की गणना करने के लिए सन्निकटन फलन की नींव के रूप में ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण का अत्यधिक महत्व है। युग्म सहसंबंध फलन फूरियर रूपांतरण के माध्यम से स्थैतिक संरचना कारक से संबंधित है जिसको एक्स-रे विवर्तन या न्यूट्रॉन विवर्तन का उपयोग करके प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है।

ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण युग्म सहसंबंध फलन को प्रत्यक्ष सहसंबंध फलन से संबंधित करता है। प्रत्यक्ष सहसंबंध फलन का उपयोग केवल ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण के संबंध में किया जाता है जिसे सामान्यतः इसकी परिभाषा के रूप में देखा जा सकता है।[2]

ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण के अतिरिक्त युग्म सहसंबंध फलन की गणना के लिए अन्य प्रकारों में कम घनत्व पर वीरियल विस्तार और बोगोलीबोव-बॉर्न-ग्रीन-किर्कवुड-यवॉन (बीबीजीकेवाई) वर्गीकरण सम्मिलित है। इनमें से किसी भी विधि को वीरियल विस्तार की स्थिति में ऑर्नस्टीन-ज़र्निक या बीबीजीकेवाई के लिए एक समापन संबंध फलन के साथ भौतिक सन्निकटन फलन के साथ जोड़ा जा सकता है।

समीकरण

संकेत चिन्ह को सरल करने के लिए हम केवल समांगी तरल पदार्थों पर विचार करते हैं। इस प्रकार युग्म सहसंबंध फलन केवल दूरी पर निर्भर करता है इसलिए इसे रेडियल वितरण फलन भी कहा जाता है। इसे निम्न प्रकार से लिखा जा सकता है:

जहां पहली समतुल्यता समांगी पदार्थों से आती है और दूसरी समस्‍थानिकता से और ये दोनों समतुल्यताएं नए संकेतक चिन्हों का परिचय देती हैं।

कुल सहसंबंध फलन को इस प्रकार परिभाषित करना सुविधाजनक होता है:

जो दूरी के अणु 2 पर अणु 1 के प्रभाव को व्यक्त करता है:

इस प्रभाव को दो प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष योगफलों में विभाजित किया जाता है। प्रत्यक्ष योगफल प्रत्यक्ष सहसंबंध फलन को परिभाषित करता है। अप्रत्यक्ष भाग एक तिहाई अवस्था मे अणु 3 पर अणु 1 के प्रभाव के कारण को परिभाषित करता है जो अणु 2 को प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष रूप से प्रभावित करता है। यह अप्रत्यक्ष प्रभाव घनत्व द्वारा भारित होता है और अणु 3 की सभी संभावित स्थितियों पर औसत होता है। अप्रत्यक्ष प्रभाव को समाप्त करके को से कम दूरी का बनाया गया है जिसको अधिक सामान्य रूप से अनुमानित किया जा सकता है।

जहाँ की त्रिज्या अंतराआण्विक बलों की त्रिज्या से निर्धारित होती है जबकि की त्रिज्या सहसंबंध लंबाई के क्रम की होती है।[3]

फूरियर रूपांतरण

ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण में विभिन्न समाकल समीकरण होते है इसलिए ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण को फूरियर रूपांतरण द्वारा हल किया जा सकता है। यदि हम फूरियर रूपांतरण को क्रमशः और द्वारा और को निरूपित करते हैं तब ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण का उपयोग करके हम प्राप्त कर सकते हैं:

जहां

क्लोजर संबंध

चूंकि दोनों फलनों के रूप में और अज्ञात हैं, इसलिए फलन को एक अतिरिक्त समीकरण की आवश्यकता होती है जिसे क्लोजर संबंध के रूप में जाना जाता है जबकि ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण पूर्ण रूप से औपचारिक है क्लोजर संबंध में कई गणितीय सन्निकटन फलन सम्मिलित होते हैं। निम्न-घनत्व सीमा में युग्म सहसंबंध फलन बोल्ट्ज़मान सहसंबंधन फलन द्वारा दिया जाता है:

और युग्म के साथ उच्च घनत्व के लिए क्लोजर संबंध इस सरल संबंध को विभिन्न प्रकारों से संशोधित करते हैं जबकि सबसे प्रसिद्ध क्लोजर सन्निकटन हैं:[4][5]

सामान्यतः ये बाद वाले दो कण और पहले वाले दो कणों के बीच अलग-अलग प्रकार से प्रक्षेप करते हैं। इस प्रकार उन कणों का स्पष्ट विवरण प्राप्त करते हैं जिनमें जटिल कोर और आकर्षक बल होते हैं।

संदर्भ

  1. Ornstein, L.S.; Zernike, F. (1914). "किसी एक पदार्थ के क्रांतिक बिंदु पर घनत्व और ओपेलेसेंस का आकस्मिक विचलन" (PDF). Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences. 17: 793–806. Bibcode:1914KNAB...17..793. Archived from the original (PDF) on 2021-02-06. – Archived 24 Sep 2010 at the 'Digital Library' of the Dutch History of Science Web Center.
  2. V I Kalikmanov: Statistical Physics of Fluids. Basic Concepts and Applications. Springer, Berlin 2001
  3. Kalikmanov p 140
  4. Kalikmanov pp 140-141
  5. McQuarrie, D.A. (May 2000) [1976]. सांख्यिकीय यांत्रिकी. University Science Books. p. 641. ISBN 9781891389153.

बाहरी संबंध