वैन डेन बर्ग-केस्टेन असमानता: Difference between revisions

वैन डेन बर्ग-केस्टेन असमानता
Type	प्रमेय
Field	प्रायिकता सिद्धांत
Symbolic statement
Conjectured by	वैन डेन बर्ग और केस्टन
Conjectured in	1985
First proof by	Reimer [fr; de]

Latest revision as of 13:55, 14 December 2023

संभाव्यता सिद्धांत में, वैन डेन बर्ग-केस्टन (बीके) असमानता या वैन डेन बर्ग-केस्टन-रेइमर (बीकेआर) असमानता बताती है कि दो घटनाओं (संभावना सिद्धांत) के घटित होने की संभावना है, और एक ही समय में कोई भी असम्बद्धता पा सकता है। यह दिखाने के लिए कि वे दोनों घटित होते हैं, प्रमाण-पत्र अधिक से अधिक उनकी व्यक्तिगत संभावनाओं का उत्पाद है। दो मोनोटोन घटनाओं (एफकेजी असमानता में प्रयुक्त धारणा) के लिए विशेष स्थिति पहली बार वैन डेन बर्ग और हैरी चेस्टनट द्वारा सिद्ध किया गया था।^[1] 1985 में, जिन्होंने यह भी अनुमान लगाया कि असमानता सामान्य रूप से बनाए रखा है, इसमें एकरसता की आवश्यकता नहीं है। Reimer [fr; de]^[2] ने बाद में इस अनुमान को सिद्ध किया।^[3]^: 159^[4]^: 44 असमानता को उत्पाद संरचना के साथ संभाव्यता स्थानों पर प्रयुक्त किया जाता है, जैसे कि अंतःस्राव समस्याओं में।^[5]^: 829

कथन

मान लीजिए कि $\Omega _{1},\Omega _{2},\ldots ,\Omega _{n}$ संभाव्यता स्थान है, प्रत्येक परिमित रूप से अनेक तत्वों का है। असमानता उत्पाद माप से सुसज्जित प्रपत्र $\Omega =\Omega _{1}\times \Omega _{2}\times \cdots \times \Omega _{n}$ के रिक्त स्थान पर प्रयुक्त होती है, जिससे प्रत्येक तत्व $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \Omega$ को संभावना दी गई है

\mathbb {P} (\{x\})=\mathbb {P} _{1}(\{x_{1}\})\cdots \mathbb {P} _{n}(\{x_{n}\}).

दो घटनाओं

A,B\subseteq \Omega

के लिए, उनकी असंयुक्त घटना

A\mathbin {\square } B

को विन्यास

x

से युक्त घटना के रूप में परिभाषित किया गया है, जिनकी

A

और

B

में सदस्यता सूचकांकों के असंयुक्त उपसमुच्चय पर सत्यापित की जा सकती है। औपचारिक रूप से,

x\in A\mathbin {\square } B

यदि उपसमुच्चय

I,J\subseteq [n]

उपस्थित है जैसे कि:

$I\cap J=\varnothing ,$
उन सभी $y$ के लिए जो $x$ पर $I$ से सहमत हैं (दूसरे शब्दों में, $y_{i}=x_{i}\ \forall i\in I$ ), $y$ भी $A,$ में है और
इसी प्रकार प्रत्येक $z$ जो $x$ पर $J$ से सहमत है वह $B.$ में है

असमानता का प्रमाण है कि:

\mathbb {P} (A\mathbin {\square } B)\leq \mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B)

घटनाओं की प्रत्येक जोड़ी के लिए

A

और

B.

^[3]^: 160

उदाहरण

सिक्का उछालना

यदि $\Omega$ एक उचित सिक्के को $n=10$ बार उछालने के अनुरूप है, तो प्रत्येक $\Omega _{i}=\{H,T\}$ में समान संभावना वाले दो संभावित परिणाम, चित या पट होते हैं। घटना $A$ पर विचार करें कि लगातार 3 शीर्ष उपस्थित हैं, और घटना $B$ पर विचार करें कि कुल मिलाकर कम से कम 5 शीर्ष हैं। तब $A\mathbin {\square } B$ निम्नलिखित घटना होगी: लगातार 3 शीर्ष हैं, और उन्हें त्यागने पर अन्य 5 शीर्ष शेष हैं। इस घटना की प्रायिकता अधिकतम $\mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B),$ ^[4]^: 42 है, जिसका अर्थ है कि 10 टॉस में $A$ प्राप्त होने की संभावना, और अन्य 10 टॉस में $B$ प्राप्त होने की संभावना, एक दूसरे से स्वतंत्र (संभावना) है।

संख्यात्मक रूप से, $\mathbb {P} (A)=520/1024\approx 0.5078,$ ^[6] $\mathbb {P} (B)=638/1024\approx 0.6230,$ ^[7] और उनकी असंयुक्त घटना का अर्थ कम से कम 8 शीर्ष होगा, इसलिए $\mathbb {P} (A\mathbin {\square } B)\leq \mathbb {P} ({\text{8 heads or more}})=56/1024\approx 0.0547.$ ^[8]

अंतःस्राव

एक ग्राफ के (बर्नौली) बॉन्ड अंतःक्षेपण में, $\Omega _{i}$ को किनारों द्वारा अनुक्रमित किया जाता है। प्रत्येक किनारे को कुछ संभाव्यता $p,$ के साथ रखा जाता है (या "खुला") या अन्यथा हटा दिया जाता है (या "बंद"), अन्य किनारों से स्वतंत्र, और शेष ग्राफ की कनेक्टिविटी के बारे में प्रश्नों का अध्ययन करता है, उदाहरण के लिए घटना $u\leftrightarrow v$ कि वहाँ एक है केवल खुले किनारों का उपयोग करके दो शीर्षों $u$ और $v$ के बीच का पथ है। इस प्रकार की घटनाओं के लिए, असंयुक्त घटना $A\mathbin {\square } B$ वह घटना है जहां दो खुले रास्ते उपस्थित हैं जो किसी भी किनारे को साझा नहीं करते हैं (परिभाषा में उपसमुच्चय $I$ और $J$ के अनुरूप), जैसे कि पहला $A,$ द्वारा आवश्यक कनेक्शन प्रदान करता है और दूसरा $B.$ के लिए^[9]^: 1322^[10]

असमानता का उपयोग परकोलेशन सिद्धांत या सबक्रिटिकल और सुपरक्रिटिकल में घातीय क्षय घटना के संस्करण को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है, अर्थात् पूर्णांक जाली ग्राफ $\mathbb {Z} ^{d},$ पर $p<p_{\mathrm {c} }$ के लिए उपयुक्त रूप से परिभाषित महत्वपूर्ण संभाव्यता, मूल वाले जुड़े घटक की त्रिज्या तेजी से छोटे अवशेष वाले वितरण का पालन करती है:

\mathbb {P} (0\leftrightarrow \partial [-r,r]^{d})\leq \exp(-cr)

कुछ स्थिरांक

c>0

के लिए, जो

p.

पर निर्भर करता है, यहाँ

\partial [-r,r]^{d}

शीर्ष

x

से मिलकर बना है, जो

\max _{1\leq i\leq d}|x_{i}|=r.

को संतुष्ट करता है^[11]^: 87–90^[12]^: 202

विस्तार

एकाधिक घटनाएँ

जब तीन या अधिक घटनाएं होती हैं, तो ऑपरेटर $\square$ सहयोगी नहीं हो सकता है, क्योंकि सूचकांक $K$ का एक उपसमूह दिया गया है जिस पर $x\in A\mathbin {\square } B$ को सत्यापित किया जा सकता है, $K$ को एक असंयुक्त संघ $I\sqcup J$ को विभाजित करना संभव नहीं हो सकता है जैसे कि $I$ गवाह $x\in A$ और $J$ गवाह हों $x\in B$ .^[4]^: 43 उदाहरण के लिए, एक घटना $A\subseteq \{0,1\}^{6}$ इस प्रकार उपस्थित है जैसे कि $\left((A\mathbin {\square } A)\mathbin {\square } A\right)\mathbin {\square } A\neq (A\mathbin {\square } A)\mathbin {\square } (A\mathbin {\square } A).$ ^[13]^: 447

फिर भी, कोई घटनाओं के $k$ -एरी बीकेआर संचालन $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{k}$ को विन्यास $x$ के सेट के रूप में परिभाषित कर सकता है जहां सूचकांक $I_{i}\subseteq [n]$ के जोड़ीदार असंयुक्त उपसमुच्चय हैं जैसे कि $I_{i}$ $x$ में $A_{i}.$ की सदस्यता का गवाह है। यह संचालन संतुष्ट करता है:

A_{1}\mathbin {\square } A_{2}\mathbin {\square } A_{3}\mathbin {\square } \cdots \mathbin {\square } A_{k}\subseteq \left(\cdots \left((A_{1}\mathbin {\square } A_{2})\mathbin {\square } A_{3}\right)\mathbin {\square } \cdots \right)\mathbin {\square } A_{k},

जहां से

 ${\begin{aligned}\mathbb {P} (A_{1}\mathbin {\square } A_{2}\mathbin {\square } A_{3}\mathbin {\square } \cdots \mathbin {\square } A_{k})&\leq \mathbb {P} \left(\left(\cdots \left((A_{1}\mathbin {\square } A_{2})\mathbin {\square } A_{3}\right)\mathbin {\square } \cdots \right)\mathbin {\square } A_{k}\right)\\&\leq \mathbb {P} (A_{1})\mathbb {P} (A_{2})\cdots \mathbb {P} (A_{k})\end{aligned}}$

मूल बीके असमानता के बार-बार उपयोग से।^[14]^{: 204–205} यह असमानता फ्लोरिडा लॉटरी के विजेता आँकड़ों का विश्लेषण करने और यह पहचानने के लिए उपयोग किया जाने वाला कारक था कि गणित पत्रिका ने किसे अविश्वसनीय रूप से भाग्यशाली कहा है^[14]^: 210 व्यक्ति, बाद में प्रवर्तन जांच द्वारा पुष्टि की गई^[15] इसमें नियम का उल्लंघन सम्मिलित था।^[14]^: 210

बड़ी कार्डिनैलिटी के स्थान

जब $\Omega _{i}$ को अनंत होने की अनुमति दी जाती है, तो माप सैद्धांतिक मुद्दे उत्पन्न होते हैं। $\Omega =[0,1]^{n}$ और $\mathbb {P}$ लेबेसेग माप के लिए, मापने योग्य उपसमुच्चय $A,B\subseteq \Omega$ हैं जैसे कि $A\mathbin {\square } B$ गैर-मापने योग्य है (इसलिए असमानता में $\mathbb {P} (A\mathbin {\square } B)$ परिभाषित नहीं है),^[13]^: 437 किंतु निम्नलिखित प्रमेय अभी भी मान्य है:^[13]^: 440

यदि $A,B\subseteq [0,1]^{n}$ लेबेस्ग मापने योग्य है, तो कुछ बोरेल सेट $C$ इस प्रकार है कि:

$A\mathbin {\square } B\subseteq C,$ और

$\mathbb {P} (C)\leq \mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B).$

संदर्भ

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-'''ता स्थानों पर प्रयुक्त किया जाता है, जैसे कि अंतःस्राव समस्याओं में।<ref name=":0" />{{rp|829}}'''
 == कथन ==
-मान लीजिए कि <math>\Omega_1, \Omega_2, \ldots, \Omega_n</math> [[संभाव्यता स्थान]] है, प्रत्येक परिमित रूप से अनेक तत्वों का है। असमानता उत्पाद माप से सुसज्जित प्रपत्र <math>\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2 \times \cdots \times \Omega_n</math> के रिक्त स्थान पर प्रयुक्त होती है, जिससे प्रत्येक तत्व <math>x = (x_1, \ldots, x_n) \in \Omega</math> को संभावना दी गई है
+मान लीजिए कि <math>\Omega_1, \Omega_2, \ldots, \Omega_n</math> [[संभाव्यता स्थान]] है, प्रत्येक परिमित रूप से अनेक तत्वों का है। असमानता उत्पाद माप से सुसज्जित प्रपत्र <math>\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2 \times \cdots \times \Omega_n</math> के रिक्त स्थान पर प्रयुक्त होती है, जिससे प्रत्येक तत्व <math>x = (x_1, \ldots, x_n) \in \Omega</math> को संभावना दी गई है<math display="block"> \mathbb P(\{x\}) = \mathbb P_1(\{x_1\}) \cdots \mathbb P_n(\{x_n\}).</math>
+दो घटनाओं <math>A, B\subseteq \Omega</math> के लिए, उनकी असंयुक्त घटना <math>A \mathbin{\square} B</math> को विन्यास <math>x</math> से युक्त घटना के रूप में परिभाषित किया गया है, जिनकी <math>A</math> और <math>B</math> में सदस्यता सूचकांकों के असंयुक्त उपसमुच्चय पर सत्यापित की जा सकती है। औपचारिक रूप से, <math>x \in A \mathbin{\square} B</math> यदि उपसमुच्चय <math>I, J \subseteq [n]</math> उपस्थित है जैसे कि:
-होने देना <math>\Omega_1, \Omega_2, \ldots, \Omega_n</math> [[संभाव्यता स्थान]] बनें, प्रत्येक परिमित रूप से कई तत्वों में से। असमानता प्रपत्र के रिक्त स्थान पर प्रयुक्त होती है <math>\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2 \times \cdots \times \Omega_n</math>, उत्पाद संरचना से सुसज्जित, जिससे प्रत्येक तत्व <math>x = (x_1, \ldots, x_n) \in \Omega</math> संभावना दी गई है
-<math display="block"> \mathbb P(\{x\}) = \mathbb P_1(\{x_1\}) \cdots \mathbb P_n(\{x_n\}).</math>
-दो घटनाओं के लिए <math>A, B\subseteq \Omega</math>, उनकी असंयुक्त घटना <math>A \mathbin{\square} B</math> कॉन्फ़िगरेशन से युक्त घटना के रूप में परिभाषित किया गया है <math>x</math> जिनकी सदस्यता में <math>A</math> और में <math>B</math> सूचकांकों के असंयुक्त उपसमुच्चय पर सत्यापित किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, <math>x \in A \mathbin{\square} B</math> यदि उपसमुच्चय मौजूद हैं <math>I, J \subseteq [n]</math> ऐसा है कि:
 # <math>I \cap J = \varnothing,</math>
-# सभी के लिए <math>y</math> जिससे सहमत है <math>x</math> पर <math>I</math> (दूसरे शब्दों में, <math>y_i = x_i\  \forall i \in I</math>), <math>y</math> में भी है <math>A,</math> और
+# उन सभी <math>y</math> के लिए जो <math>x</math> पर <math>I</math> से सहमत हैं (दूसरे शब्दों में, <math>y_i = x_i\  \forall i \in I</math>), <math>y</math> भी <math>A,</math> में है और
-# इसी तरह हर <math>z</math> जिससे सहमत है <math>x</math> पर <math>J</math> में है <math>B.</math>
+# इसी प्रकार प्रत्येक <math>z</math> जो <math>x</math> पर <math>J</math> से सहमत है वह <math>B.</math> में है
-असमानता का दावा है कि:
+असमानता का प्रमाण है कि:
 <math display = "block"> \mathbb P (A \mathbin{\square} B) \le \mathbb P (A) \mathbb P (B)</math>
 घटनाओं की प्रत्येक जोड़ी के लिए <math>A</math> और <math>B.</math><ref name = "review"/>{{rp|160}}
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 === सिक्का उछालना ===
-अगर <math>\Omega</math> यह उचित सिक्के को उछालने के समान है <math>n = 10</math> बार, फिर प्रत्येक <math>\Omega_i = \{ H, T\}</math> इसमें समान संभावना वाले दो संभावित परिणाम, चित या पट, शामिल होते हैं। घटना पर विचार करें <math>A</math> कि लगातार 3 शीर्ष मौजूद हैं, और घटना <math>B</math> कुल मिलाकर कम से कम 5 सिर हैं। तब <math>A \mathbin \square B</math> निम्नलिखित घटना होगी: लगातार 3 शीर्ष हैं, और उन्हें त्यागने पर अन्य 5 शीर्ष शेष हैं। इस घटना की अधिकतम संभावना है <math> \mathbb P ( A) \mathbb P ( B),</math><ref name = "bollobas"/>{{rp|42}} जिसका अर्थ है प्राप्त करने की संभावना <math>A</math> 10 टॉस में, और प्राप्त करना <math>B</math> अन्य 10 टॉस में, एक दूसरे से [[स्वतंत्र (संभावना)]]।
+यदि <math>\Omega</math> एक उचित सिक्के को <math>n = 10</math> बार उछालने के अनुरूप है, तो प्रत्येक <math>\Omega_i = \{ H, T\}</math> में समान संभावना वाले दो संभावित परिणाम, चित या पट होते हैं। घटना <math>A</math> पर विचार करें कि लगातार 3 शीर्ष उपस्थित हैं, और घटना <math>B</math> पर विचार करें कि कुल मिलाकर कम से कम 5 शीर्ष हैं। तब <math>A \mathbin \square B</math> निम्नलिखित घटना होगी: लगातार 3 शीर्ष हैं, और उन्हें त्यागने पर अन्य 5 शीर्ष शेष हैं। इस घटना की प्रायिकता अधिकतम <math> \mathbb P ( A) \mathbb P ( B),</math><ref name = "bollobas"/>{{rp|42}}  है, जिसका अर्थ है कि 10 टॉस में <math>A</math> प्राप्त होने की संभावना, और अन्य 10 टॉस में <math>B</math> प्राप्त होने की संभावना, एक दूसरे से [[स्वतंत्र (संभावना)]] है।
-संख्यात्मक रूप से, <math>\mathbb P ( A) = 520/1024 \approx 0.5078,</math><ref>{{WolframAlpha |title=3 consecutive heads in 10 coin flips |id=3+consecutive+heads+in+10+coin+flips }}</ref> <math>\mathbb P ( B) = 638/1024 \approx 0.6230,</math><ref>{{WolframAlpha |title=at least 5 heads in 10 coin flips|id=at+least+5+heads+in+10+coin+flips }}</ref> और उनकी असंयुक्त घटना का अर्थ कम से कम 8 सिर होगा, इसलिए <math>\mathbb P ( A\mathbin \square B) \le \mathbb P(\text{8 heads or more}) = 56/1024 \approx 0.0547.</math><ref>{{WolframAlpha |title=at least 8 heads in 10 coin flips|id=at+least+8+heads+in+10+coin+flips }}</ref>
+संख्यात्मक रूप से, <math>\mathbb P ( A) = 520/1024 \approx 0.5078,</math><ref>{{WolframAlpha |title=3 consecutive heads in 10 coin flips |id=3+consecutive+heads+in+10+coin+flips }}</ref> <math>\mathbb P ( B) = 638/1024 \approx 0.6230,</math><ref>{{WolframAlpha |title=at least 5 heads in 10 coin flips|id=at+least+5+heads+in+10+coin+flips }}</ref> और उनकी असंयुक्त घटना का अर्थ कम से कम 8 शीर्ष होगा, इसलिए <math>\mathbb P ( A\mathbin \square B) \le \mathbb P(\text{8 heads or more}) = 56/1024 \approx 0.0547.</math><ref>{{WolframAlpha |title=at least 8 heads in 10 coin flips|id=at+least+8+heads+in+10+coin+flips }}</ref>
 === अंतःस्राव ===
-(बर्नौली) ग्राफ (असतत गणित) के बंधन अंतःक्षेपण में <math>\Omega_i</math>किनारों द्वारा अनुक्रमित हैं। प्रत्येक किनारे को कुछ संभावनाओं के साथ रखा (या खुला) रखा जाता है <math>p,</math> या अन्यथा हटा दिया गया (या बंद कर दिया गया), अन्य किनारों से स्वतंत्र, और कोई शेष ग्राफ़ की कनेक्टिविटी के बारे में प्रश्नों का अध्ययन करता है, उदाहरण के लिए घटना <math>u \leftrightarrow v </math> कि दो शीर्षों के बीच पथ है <math>u</math> और <math>v</math> केवल खुले किनारों का उपयोग करना। इस प्रकार की घटनाओं के लिए, असंयुक्त घटना <math>A \mathbin \square B</math> वह घटना है जहां दो खुले रास्ते मौजूद हैं जिनका कोई किनारा नहीं है (उपसमुच्चय के अनुरूप)। <math>I</math> और <math>J</math> परिभाषा में), जैसे कि पहले वाला आवश्यक कनेक्शन प्रदान करता है <math>A,</math> और दूसरे के लिए <math>B.</math><ref>{{Cite journal| doi = 10.1007/BF02180133| issn = 1572-9613| volume = 78| issue = 5| pages = 1311–1324| last = Grimmett| first = Geoffrey| title = यादृच्छिक-क्लस्टर मॉडल के लिए तुलना और असंयुक्त-घटना असमानताएं| journal = Journal of Statistical Physics| access-date = 2022-12-18| date = 1995-03-01| bibcode = 1995JSP....78.1311G| url = https://doi.org/10.1007/BF02180133 |mr = 1316106| s2cid = 16426885}}</ref>{{rp|1322}}<ref>{{Cite book| publisher = Amer. Math. Soc., Providence, RI| volume = 6| pages = 53–66| last1 = Chayes| first1 = Jennifer Tour| last2 = Puha| first2 = Amber L.| last3 = Sweet| first3 = Ted| title = संभाव्यता सिद्धांत और अनुप्रयोग| chapter = Lecture 1. The Basics of Percolation (in ''Independent and dependent percolation'')| series = IAS/Park City Math. Ser.| access-date = 2022-12-18| date = 1999| mr = 1678308 |chapter-url = http://www.cts.cuni.cz/soubory/konference/pdf.pdf#page=17 }}</ref>
+एक ग्राफ के (बर्नौली) बॉन्ड अंतःक्षेपण में, <math>\Omega_i</math> को किनारों द्वारा अनुक्रमित किया जाता है। प्रत्येक किनारे को कुछ संभाव्यता <math>p,</math> के साथ रखा जाता है (या "खुला") या अन्यथा हटा दिया जाता है (या "बंद"), अन्य किनारों से स्वतंत्र, और शेष ग्राफ की कनेक्टिविटी के बारे में प्रश्नों का अध्ययन करता है, उदाहरण के लिए घटना <math>u \leftrightarrow v </math> कि वहाँ एक है केवल खुले किनारों का उपयोग करके दो शीर्षों <math>u</math> और <math>v</math> के बीच का पथ है। इस प्रकार की घटनाओं के लिए, असंयुक्त घटना <math>A \mathbin \square B</math> वह घटना है जहां दो खुले रास्ते उपस्थित हैं जो किसी भी किनारे को साझा नहीं करते हैं (परिभाषा में उपसमुच्चय <math>I</math> और <math>J</math> के अनुरूप), जैसे कि पहला <math>A,</math> द्वारा आवश्यक कनेक्शन प्रदान करता है और दूसरा <math>B.</math> के लिए<ref>{{Cite journal| doi = 10.1007/BF02180133| issn = 1572-9613| volume = 78| issue = 5| pages = 1311–1324| last = Grimmett| first = Geoffrey| title = यादृच्छिक-क्लस्टर मॉडल के लिए तुलना और असंयुक्त-घटना असमानताएं| journal = Journal of Statistical Physics| access-date = 2022-12-18| date = 1995-03-01| bibcode = 1995JSP....78.1311G| url = https://doi.org/10.1007/BF02180133 |mr = 1316106| s2cid = 16426885}}</ref>{{rp|1322}}<ref>{{Cite book| publisher = Amer. Math. Soc., Providence, RI| volume = 6| pages = 53–66| last1 = Chayes| first1 = Jennifer Tour| last2 = Puha| first2 = Amber L.| last3 = Sweet| first3 = Ted| title = संभाव्यता सिद्धांत और अनुप्रयोग| chapter = Lecture 1. The Basics of Percolation (in ''Independent and dependent percolation'')| series = IAS/Park City Math. Ser.| access-date = 2022-12-18| date = 1999| mr = 1678308 |chapter-url = http://www.cts.cuni.cz/soubory/konference/pdf.pdf#page=17 }}</ref>
-असमानता का उपयोग परकोलेशन सिद्धांत # सबक्रिटिकल और सुपरक्रिटिकल में घातीय क्षय घटना के संस्करण को साबित करने के लिए किया जा सकता है, अर्थात् पूर्णांक जाली ग्राफ पर <math>\mathbb Z^d,</math> के लिए <math> p < p_\mathrm c</math> उपयुक्त रूप से परिभाषित [[अंतःस्राव दहलीज]], मूल वाले जुड़े घटक की त्रिज्या तेजी से छोटी पूंछ वाले वितरण का पालन करती है:
+असमानता का उपयोग परकोलेशन सिद्धांत या सबक्रिटिकल और सुपरक्रिटिकल में घातीय क्षय घटना के संस्करण को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है, अर्थात् पूर्णांक जाली ग्राफ <math>\mathbb Z^d,</math> पर <math> p < p_\mathrm c</math> के लिए उपयुक्त रूप से परिभाषित [[अंतःस्राव दहलीज|महत्वपूर्ण संभाव्यता]], मूल वाले जुड़े घटक की त्रिज्या तेजी से छोटे अवशेष वाले वितरण का पालन करती है:
-<math display = "block>\mathbb P( 0 \leftrightarrow \partial [-r, r]^d) \le \exp(- c r) </math>
+<math display="block">\mathbb P( 0 \leftrightarrow \partial [-r, r]^d) \le \exp(- c r) </math>
-कुछ स्थिरांक के लिए <math>c > 0</math> इस पर निर्भर करते हुए <math>p.</math> यहाँ <math>\partial [-r, r]^d</math> शीर्षों से मिलकर बना है <math>x</math> जो संतुष्ट करता है <math>\max_{1 \le i \le d} |x_i| = r.</math><ref>{{Cite book|first1 = Geoffrey R.|last1 = Grimmett| edition = 2| publisher = Cambridge University Press| isbn = 978-1-108-43817-9| pages = 86–130 | title = Probability on Graphs: Random Processes on Graphs and Lattices| chapter = 5.1 Subcritical Phase |url =  | location = Cambridge| series = Institute of Mathematical Statistics Textbooks| date = 2018| doi = 10.1017/9781108528986.006 |mr = 2723356 }}</ref>{{rp|87–90}}<ref>{{Cite journal| doi = 10.4171/lem/62-1/2-12| issn = 0013-8584| volume = 62| issue = 1| pages = 199–206| last1 = Duminil-Copin| first1 = Hugo|author1-link = Hugo Duminil-Copin| last2 = Tassion| first2 = Vincent| title = A new proof of the sharpness of the phase transition for Bernoulli percolation on <math>\mathbb Z^d</math>| journal = L'Enseignement Mathématique | date = 2017-01-30| arxiv = 1502.03051| url = https://ems.press/journals/lem/articles/14583 |quote = The proof of Item 1 (with <math>\tilde p_c</math> in place of <math>p_c</math>) can be derived from the BK-inequality [vdBK].|mr = 3605816| s2cid = 119307436}}</ref>{{rp|202}}
+कुछ स्थिरांक <math>c > 0</math> के लिए, जो <math>p.</math> पर निर्भर करता है, यहाँ <math>\partial [-r, r]^d</math> शीर्ष <math>x</math> से मिलकर बना है, जो <math>\max_{1 \le i \le d} |x_i| = r.</math> को संतुष्ट करता है<ref name=":1">{{Cite book|first1 = Geoffrey R.|last1 = Grimmett| edition = 2| publisher = Cambridge University Press| isbn = 978-1-108-43817-9| pages = 86–130 | title = Probability on Graphs: Random Processes on Graphs and Lattices| chapter = 5.1 Subcritical Phase |url =  | location = Cambridge| series = Institute of Mathematical Statistics Textbooks| date = 2018| doi = 10.1017/9781108528986.006 |mr = 2723356 }}</ref>{{rp|87–90}}<ref name=":2">{{Cite journal| doi = 10.4171/lem/62-1/2-12| issn = 0013-8584| volume = 62| issue = 1| pages = 199–206| last1 = Duminil-Copin| first1 = Hugo|author1-link = Hugo Duminil-Copin| last2 = Tassion| first2 = Vincent| title = A new proof of the sharpness of the phase transition for Bernoulli percolation on <math>\mathbb Z^d</math>| journal = L'Enseignement Mathématique | date = 2017-01-30| arxiv = 1502.03051| url = https://ems.press/journals/lem/articles/14583 |quote = The proof of Item 1 (with <math>\tilde p_c</math> in place of <math>p_c</math>) can be derived from the BK-inequality [vdBK].|mr = 3605816| s2cid = 119307436}}</ref>{{rp|202}}
-== एक्सटेंशन ==
+== विस्तार ==
 === एकाधिक घटनाएँ ===
-जब तीन या अधिक इवेंट हों, तो ऑपरेटर <math>\square</math> सहयोगी नहीं हो सकता, क्योंकि सूचकांकों का उपसमूह दिया गया है <math>K</math> जिस पर <math>x \in A \mathbin \square B</math> सत्यापित किया जा सकता है, इसे विभाजित करना संभव नहीं हो सकता है <math>K</math> असंयुक्त संघ <math>I \sqcup J</math> ऐसा है कि <math>I</math> गवाहों <math>x \in A</math> और <math>J</math> गवाहों <math>x \in B</math>.<ref name = "bollobas"/>{{rp|43}} उदाहरण के लिए, घटना मौजूद है <math>A \subseteq \{0, 1\}^6</math> ऐसा है कि <math>\left((A \mathbin \square A) \mathbin \square A\right) \mathbin \square A \neq (A \mathbin \square A) \mathbin \square (A \mathbin \square A).</math><ref name = "infty">{{Cite journal| doi = 10.3150/16-BEJ883| issn = 1350-7265| volume = 24| issue = 1| pages = 433–448| last1 = Arratia| first1 = Richard| last2 = Garibaldi| first2 = Skip| last3 = Hales| first3 = Alfred W.| title = The van den Berg–Kesten–Reimer operator and inequality for infinite spaces| journal = [[Bernoulli (journal)|Bernoulli]] | date = 2018|mr = 3706764| s2cid = 4666324| doi-access = free}}</ref>{{rp|447}}
+जब तीन या अधिक घटनाएं होती हैं, तो ऑपरेटर <math>\square</math> सहयोगी नहीं हो सकता है, क्योंकि सूचकांक <math>K</math> का एक उपसमूह दिया गया है जिस पर <math>x \in A \mathbin \square B</math> को सत्यापित किया जा सकता है, <math>K</math> को एक असंयुक्त संघ <math>I \sqcup J</math> को विभाजित करना संभव नहीं हो सकता है जैसे कि <math>I</math> गवाह <math>x \in A</math> और <math>J</math> गवाह हों <math>x \in B</math>.<ref name = "bollobas"/>{{rp|43}} उदाहरण के लिए, एक घटना <math>A \subseteq \{0, 1\}^6</math> इस प्रकार उपस्थित है जैसे कि <math>\left((A \mathbin \square A) \mathbin \square A\right) \mathbin \square A \neq (A \mathbin \square A) \mathbin \square (A \mathbin \square A).</math><ref name="infty">{{Cite journal| doi = 10.3150/16-BEJ883| issn = 1350-7265| volume = 24| issue = 1| pages = 433–448| last1 = Arratia| first1 = Richard| last2 = Garibaldi| first2 = Skip| last3 = Hales| first3 = Alfred W.| title = The van den Berg–Kesten–Reimer operator and inequality for infinite spaces| journal = [[Bernoulli (journal)|Bernoulli]] | date = 2018|mr = 3706764| s2cid = 4666324| doi-access = free}}</ref>{{rp|447}}
-फिर भी, कोई इसे परिभाषित कर सकता है <math>k</math>-एरी बीकेआर घटनाओं का संचालन <math>A_1, A_2, \ldots, A_k</math> कॉन्फ़िगरेशन के सेट के रूप में <math>x</math> जहां सूचकांकों के जोड़ीवार असंयुक्त उपसमुच्चय हैं <math>I_i \subseteq [n]</math> ऐसा है कि <math>I_i</math> की सदस्यता का गवाह है <math>x</math> में <math>A_i.</math> यह ऑपरेशन संतुष्ट करता है:
+फिर भी, कोई घटनाओं के <math>k</math>-एरी बीकेआर संचालन <math>A_1, A_2, \ldots, A_k</math> को विन्यास <math>x</math> के सेट के रूप में परिभाषित कर सकता है जहां सूचकांक <math>I_i \subseteq [n]</math> के जोड़ीदार असंयुक्त उपसमुच्चय हैं जैसे कि <math>I_i</math> <math>x</math> में <math>A_i.</math> की सदस्यता का गवाह है। यह संचालन संतुष्ट करता है:<math display="block"> A_1 \mathbin \square A_2 \mathbin \square A_3 \mathbin \square \cdots \mathbin \square A_k \subseteq \left( \cdots \left((A_1 \mathbin \square A_2) \mathbin \square A_3 \right) \mathbin \square \cdots \right) \mathbin \square A_k,</math>
-<math display = "block"> A_1 \mathbin \square A_2 \mathbin \square A_3 \mathbin \square \cdots \mathbin \square A_k \subseteq \left( \cdots \left((A_1 \mathbin \square A_2) \mathbin \square A_3 \right) \mathbin \square \cdots \right) \mathbin \square A_k,</math>
 जहां से
   <math display = "block">\begin{align}
@@ Line 69: / Line 63: @@
 \end{align}
 </math>
-मूल बीके असमानता के बार-बार उपयोग से।<ref name = "implausilucky"/>{{rp|204–205}} यह असमानता [[फ्लोरिडा लॉटरी]] के विजेता आँकड़ों का विश्लेषण करने और यह पहचानने के लिए उपयोग किया जाने वाला कारक था कि [[गणित पत्रिका]] ने किसे अविश्वसनीय रूप से भाग्यशाली कहा है<ref name = "implausilucky"/>{{rp|210}} व्यक्ति, बाद में प्रवर्तन जांच द्वारा पुष्टि की गई<ref>{{Cite web| title = जर्नल में प्रकाशित पोस्ट की फ्लोरिडा लॉटरी जांच में गणित का उपयोग किया गया| work = [[Palm Beach Post]]| access-date = 2022-12-18|date = 2015-07-15| url = https://www.palmbeachpost.com/story/news/local/2015/07/15/math-used-in-post-s/7571402007/ |first = Lawrence |last = Mower|quote = Some of the frequent winners, including the top one, were part of an underground market for winning lottery tickets, lottery investigators later found.}}</ref> इसमें कानून का उल्लंघन शामिल था।<ref name = "implausilucky">{{Cite journal| doi = 10.4169/math.mag.88.3.196| issn = 0025-570X| volume = 88| issue = 3| pages = 196–211| last1 = Arratia| first1 = Richard| last2 = Garibaldi| first2 = Skip| last3 = Mower| first3 = Lawrence| last4 = Stark| first4 = Philip B.| title = कुछ लोगों का सारा भाग्य होता है| journal = [[Mathematics Magazine]]| access-date = 2022-12-18| date = 2015-06-01| arxiv = 1503.02902| url = https://doi.org/10.4169/math.mag.88.3.196 |mr = 3383910| s2cid = 15631424}}</ref>{{rp|210}}
+मूल बीके असमानता के बार-बार उपयोग से।<ref name = "implausilucky"/>{{rp|204–205}} यह असमानता [[फ्लोरिडा लॉटरी]] के विजेता आँकड़ों का विश्लेषण करने और यह पहचानने के लिए उपयोग किया जाने वाला कारक था कि [[गणित पत्रिका]] ने किसे अविश्वसनीय रूप से भाग्यशाली कहा है<ref name = "implausilucky"/>{{rp|210}} व्यक्ति, बाद में प्रवर्तन जांच द्वारा पुष्टि की गई<ref>{{Cite web| title = जर्नल में प्रकाशित पोस्ट की फ्लोरिडा लॉटरी जांच में गणित का उपयोग किया गया| work = [[Palm Beach Post]]| access-date = 2022-12-18|date = 2015-07-15| url = https://www.palmbeachpost.com/story/news/local/2015/07/15/math-used-in-post-s/7571402007/ |first = Lawrence |last = Mower|quote = Some of the frequent winners, including the top one, were part of an underground market for winning lottery tickets, lottery investigators later found.}}</ref> इसमें नियम का उल्लंघन सम्मिलित था।<ref name = "implausilucky">{{Cite journal| doi = 10.4169/math.mag.88.3.196| issn = 0025-570X| volume = 88| issue = 3| pages = 196–211| last1 = Arratia| first1 = Richard| last2 = Garibaldi| first2 = Skip| last3 = Mower| first3 = Lawrence| last4 = Stark| first4 = Philip B.| title = कुछ लोगों का सारा भाग्य होता है| journal = [[Mathematics Magazine]]| access-date = 2022-12-18| date = 2015-06-01| arxiv = 1503.02902| url = https://doi.org/10.4169/math.mag.88.3.196 |mr = 3383910| s2cid = 15631424}}</ref>{{rp|210}}
 === बड़ी कार्डिनैलिटी के स्थान ===
-कब <math>\Omega_i</math> अनंत होने की अनुमति है, माप सैद्धांतिक मुद्दे उठते हैं। के लिए <math>\Omega = [0, 1]^n</math> और <math>\mathbb P</math> लेबेस्ग्यू माप में, मापने योग्य उपसमुच्चय हैं <math>A, B \subseteq \Omega</math> ऐसा है कि <math>A \mathbin \square B</math> गैर-मापने योग्य है (इसलिए) <math>\mathbb P(A \mathbin \square B)</math> असमानता परिभाषित नहीं है),<ref name = "infty"/>{{rp|437}} लेकिन निम्नलिखित प्रमेय अभी भी कायम है:<ref name = "infty"/>{{rp|440}}
+जब <math>\Omega_i</math> को अनंत होने की अनुमति दी जाती है, तो माप सैद्धांतिक मुद्दे उत्पन्न होते हैं। <math>\Omega = [0, 1]^n</math> और <math>\mathbb P</math> लेबेसेग माप के लिए, मापने योग्य उपसमुच्चय <math>A, B \subseteq \Omega</math> हैं जैसे कि <math>A \mathbin \square B</math> गैर-मापने योग्य है (इसलिए असमानता में <math>\mathbb P(A \mathbin \square B)</math> परिभाषित नहीं है),<ref name = "infty"/>{{rp|437}}  किंतु निम्नलिखित प्रमेय अभी भी मान्य है:<ref name = "infty"/>{{rp|440}}<blockquote>यदि <math>A, B \subseteq [0, 1]^n</math> लेबेस्ग मापने योग्य है, तो कुछ [[बोरेल सेट]] <math>C</math> इस प्रकार है कि:</blockquote><blockquote>
-<ब्लॉककोट>
-अगर <math>A, B \subseteq [0, 1]^n</math> क्या लेबेस्ग मापने योग्य है, फिर कुछ [[बोरेल सेट]] है <math>C</math> ऐसा है कि:
 * <math>A \mathbin \square B \subseteq C,</math> और
 * <math>\mathbb P(C) \le \mathbb P(A) \mathbb P(B).</math>
-</ब्लॉककोट>
+</blockquote>
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वैन डेन बर्ग-केस्टेन असमानता: Difference between revisions

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