सामान्य क्रम: Difference between revisions

Latest revision as of 14:08, 14 December 2023

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में क्वांटम क्षेत्रों का गुणनफल, या समकक्ष रूप से उनके निर्माण और विलोपन संक्रियकों को सामान्यतः सामान्य क्रम (जिसे विक क्रम भी कहा जाता है) कहा जाता है, जब सभी निर्माण संक्रियक गुणनफल में सभी विलोपन संक्रियकों के बाईं ओर होते हैं। किसी गुणनफल को सामान्य क्रम में रखने की प्रक्रिया को सामान्य क्रमण (जिसे विक क्रमण भी कहा जाता है) कहा जाता है। असामान्य क्रम और असामान्य क्रमण को समान रूप से परिभाषित किया गया है, जहां विलोपन संक्रियकों को निर्माण संक्रियकों के बाईं ओर रखा गया है।

क्वांटम क्षेत्र या निर्माण और विलोपन संक्रियकों के गुणनफल के सामान्य क्रम को कई वैकल्पिक परिभाषाओं में भी परिभाषित किया जा सकता है। कौन सी परिभाषा सबसे उपयुक्त है यह किसी दी गई गणना के लिए आवश्यक अपेक्षा मानों पर निर्भर करती है। इस लेख का अधिकांश भाग सामान्य क्रम की सबसे सामान्य परिभाषा का उपयोग करता है जैसा कि ऊपर दिया गया है, जो निर्माण और विलोपन संक्रियकों की निर्वात स्थिति का उपयोग करके अपेक्षा मान लेते समय उपयुक्त है।

सामान्य क्रम की प्रक्रिया क्वांटम यांत्रिकी हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण होता है। शास्त्रीय यांत्रिकी हैमिल्टनियन की मात्रा निर्धारित करते समय संक्रियक क्रम चुनते समय कुछ स्वतंत्रता होती है, और ये विकल्प शून्य-बिंदु ऊर्जा में अंतर उत्पन्न करते हैं। इसीलिए इस प्रक्रिया का उपयोग क्वांटम क्षेत्र की अनंत निर्वात ऊर्जा को समाप्त करने के लिए भी किया जा सकता है।

संकेतन

यदि ${\hat {O}}$ निर्माण और/या विलोपन संक्रियकों (या समकक्ष, क्वांटम क्षेत्र) के यादृच्छिक गुणनफल को दर्शाता है, तो ${\hat {O}}$ का सामान्य क्रमबद्ध रूप ${\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}$ द्वारा दर्शाया जाता है।

एक वैकल्पिक संकेतन ${\mathcal {N}}({\hat {O}})$ है।

ध्यान दें कि सामान्य क्रमण अवधारणा है जो मात्र संक्रियकों के गुणनफलों के लिए समझ में आती है। संक्रियकों के योग पर सामान्य क्रम लागू करने का प्रयत्न उपयोगी नहीं है क्योंकि सामान्य क्रम रैखिक क्रिया नहीं है।

बोसोन

बोसॉन वे कण हैं जो बोस-आइंस्टीन के आँकड़ों को संतुष्ट करते हैं। अब हम बोसोनिक निर्माण और विलोपन संक्रियक गुणनफलों के सामान्य क्रम की जांच करेंगे।

एकल बोसॉन

यदि हम मात्र प्रकार के बोसॉन से प्रारंभ करते हैं तो रुचि के दो संक्रियक हैं:

${\hat {b}}^{\dagger }$ : बोसॉन का निर्माण संक्रियक।
${\hat {b}}$ : बोसॉन का विलोपन संक्रियक।

ये दिक्परिवर्तक संबंध

\left[{\hat {b}}^{\dagger },{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=0

\left[{\hat {b}},{\hat {b}}\right]_{-}=0

\left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=1

को संतुष्ट करते हैं, जहां $\left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA$ दिक्परिवर्तक को दर्शाता है। अतः हम अंतिम को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं: ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1$ ।

उदाहरण

1. हम प्रथमतः सबसे सरल स्थिति पर विचार करेंगे। इस प्रकार से यह ${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$ :

{:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}

सामान्य क्रम है।

अभिव्यक्ति ${\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}$ को नहीं परिवर्तित किया गया है क्योंकि यह स्थिति से ही सामान्य क्रम में है - निर्माण संक्रियक $({\hat {b}}^{\dagger })$ स्थिति से ही विलोपन संक्रियक $({\hat {b}})$ के बाईं ओर है।

2. एक अधिक रोचक उदाहरण ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }$ :

{:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}

का सामान्य क्रम है।

यहां सामान्य क्रमण क्रिया ने ${\hat {b}}$ के बाईं ओर ${\hat {b}}^{\dagger }$ रखकर प्रतिबंधों को फिर से व्यवस्थित किया है।

इन दोनों परिणामों को

{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1={:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}\;+1

प्राप्त करने के लिए

{\hat {b}}

और

{\hat {b}}^{\dagger }

द्वारा पालन किए गए दिक्परिवर्तक संबंध के साथ जोड़ा जा सकता है।

या

{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }-{:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}=1

।

इस समीकरण का उपयोग विक प्रमेय में प्रयुक्त संकुचन को परिभाषित करने में किया जाता है।

3. एकाधिक संक्रियकों वाला उदाहरण है:

{:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}=({\hat {b}}^{\dagger })^{3}\,{\hat {b}}^{4}.

4. सरल उदाहरण से ज्ञात होता है कि सामान्य क्रम को एकपदी से सभी संक्रियकों तक रैखिकता द्वारा आत्मनिर्भर विधि से नहीं बढ़ाया जा सकता है:

{:\,}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={:\,}1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}={:\,}1{\,:}+{:\,}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}=1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}\neq {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}={:\,}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}

निहितार्थ यह है कि सामान्य क्रमण संक्रियकों पर रैखिक फलन नहीं है।

एकाधिक बोसॉन

यदि हम अब $N$ विभिन्न बोसॉन पर विचार करें तो $2N$ संक्रियक हैं:

${\hat {b}}_{i}^{\dagger }$ : $i^{th}$ बोसॉन का निर्माण संक्रियक।
${\hat {b}}_{i}$ : $i^{th}$ बोसॉन का विलोपन संक्रियक।

यहाँ $i=1,\ldots ,N$ .

ये रूपान्तरण संबंधों को संतुष्ट करते हैं:

\left[{\hat {b}}_{i}^{\dagger },{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=0

\left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\right]_{-}=0

\left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=\delta _{ij}

जहां $i,j=1,\ldots ,N$ और $\delta _{ij}$ क्रोनकर डेल्टा को दर्शाते है।

इन्हें इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:

{\hat {b}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{j}^{\dagger }={\hat {b}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{i}^{\dagger }

{\hat {b}}_{i}\,{\hat {b}}_{j}={\hat {b}}_{j}\,{\hat {b}}_{i}

{\hat {b}}_{i}\,{\hat {b}}_{j}^{\dagger }={\hat {b}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{i}+\delta _{ij}.

उदाहरण

1. दो भिन्न बोसॉन ( $N=2$ ) के लिए हमारे निकट

:{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}

:{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}

है।

2. तीन भिन्न बोसॉन ( $N=3$ ) के लिए हमारे निकट

:{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}

है।

ध्यान दें कि चूँकि (परिवर्तन संबंधों द्वारा) ${\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}$ जिस क्रम में हम विलोपन संक्रियक लिखते हैं, वह कोई अंतर नहीं रखता है।

:{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}

:{\hat {b}}_{3}{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}

बोसोनिक संक्रियक फलन

इस प्रकार से अधिष्ठान संख्या संक्रियक ${\hat {n}}={\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{\dagger }{\hat {b}}$ के साथ बोसोनिक संक्रियक फलन $f({\hat {n}})$ का सामान्य क्रम, टेलर श्रृंखला के अतिरिक्त भाज्य घात ${\hat {n}}^{\underline {k}}={\hat {n}}({\hat {n}}-1)\cdots ({\hat {n}}-k+1)$ और न्यूटन श्रृंखला का उपयोग करके पूर्ण किया जा सकता है: यह दिखाना सरल है कि कारक घात ${\hat {n}}^{k}$ ^[1] सामान्य-क्रमबद्ध (प्राकृतिक) घातांक ${\hat {n}}^{\underline {k}}$ के बराबर हैं और इसलिए निर्माण द्वारा सामान्य रूप से क्रमबद्ध हैं,

${\tilde {f}}({\hat {n}})=\sum _{k=0}^{\infty }\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0)\,{\frac {{\hat {n}}^{\underline {k}}}{k!}}$

जैसे कि एक संक्रियक फलन ${\tilde {f}}({\hat {n}})$ का न्यूटन श्रृंखला विस्तार

{\hat {n}}^{\underline {k}}={\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{\dagger k}{\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{k}={:\,}{\hat {n}}^{k}{\,:},

$n=0$ पर $k$ -वें अग्र अंतर $\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0)$ के साथ, सदैव सामान्य क्रम में होता है।

यहां, आइगेनमान समीकरण ${\hat {n}}|n\rangle =n|n\rangle$ ${\hat {n}}$ और $n$ से संबंधित है।

परिणामस्वरूप, यादृच्छिक फलन $f({\hat {n}})$ की सामान्य क्रम वाली टेलर श्रृंखला संबंधित फलन ${\tilde {f}}({\hat {n}})$ की न्यूटन श्रृंखला के बराबर होती है, जो

{\tilde {f}}({\hat {n}})={:\,}f({\hat {n}}){\,:}

को पूर्ण करती है,

यदि $f(x)$ की टेलर श्रृंखला के श्रृंखला गुणांक, निरंतर $x$ के साथ, ${\tilde {f}}(n)$ की न्यूटन श्रृंखला के गुणांक से मेल खाते हैं, पूर्णांक $n$ ,

{\begin{aligned}f(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}\,{\frac {x^{k}}{k!}},\\{\tilde {f}}(n)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}\,{\frac {n^{\underline {k}}}{k!}},\\F_{k}&=\partial _{x}^{k}f(0)=\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0),\end{aligned}}

के साथ, $x=0$ पर $k$ -वें आंशिक व्युत्पन्न $\partial _{x}^{k}f(0)$ के साथ। फलन $f$ और ${\tilde {f}}$ ${\mathcal {N}}[f]$ के अनुसार तथाकथित सामान्य-क्रम परिवर्तन

{\begin{aligned}{\tilde {f}}(n)&={\mathcal {N}}_{x}[f(x)](n)\\&={\frac {1}{\Gamma (-n)}}\int _{-\infty }^{0}\mathrm {d} x\,e^{x}\,f(x)\,(-x)^{-(n+1)}\\&={\frac {1}{\Gamma (-n)}}{\mathcal {M}}_{-x}[e^{x}f(x)](-n),\end{aligned}}

के माध्यम से संबंधित हैं, ${\mathcal {M}}$ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, विवरण के लिए देखें।^[1]

फर्मिअन्स

फ़र्मिअन वे कण हैं जो फ़र्मी-डिरैक आँकड़ों को संतुष्ट करते हैं। अब हम फर्मिओनिक निर्माण और विलोपन संक्रियक गुणनफलों के सामान्य क्रम की जांच करेंगे।

एकल फर्मियन

इस प्रकार से एक एकल फर्मियन के लिए रुचि के दो संक्रियक होते हैं:

${\hat {f}}^{\dagger }$ : फर्मियन का निर्माण संक्रियक।
${\hat {f}}$ : फर्मियन का विलोपन संक्रियक।

ये प्रति दिक्परिवर्तक संबंधों

\left[{\hat {f}}^{\dagger },{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=0

\left[{\hat {f}},{\hat {f}}\right]_{+}=0

\left[{\hat {f}},{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=1

को संतुष्ट करते हैं, जहां $\left[A,B\right]_{+}\equiv AB+BA$ प्रति दिक्परिवर्तक को दर्शाता है। इन्हें

{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }=0

{\hat {f}}\,{\hat {f}}=0

{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }=1-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}

के रूप में पुनः लिखा जा सकता है।

फर्मियोनिक निर्माण और विलोपन संक्रियकों के गुणनफल के सामान्य क्रम को परिभाषित करने के लिए हमें निकटवर्ती संक्रियकों के बीच दिक्परिवर्तक (गणित) की संख्या को ध्यान में रखना चाहिए। हमें ऐसे प्रत्येक दिक्परिवर्तक के लिए ऋण चिह्न मिलता है।

उदाहरण

1. हम पुनः सबसे सरल स्थिति से प्रारंभ करते हैं:

:{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}

यह अभिव्यक्ति स्थिति से ही सामान्य क्रम में है इसलिए कुछ भी नहीं परिवर्तित किया गया है। इस प्रकार से विपरीत स्थिति में, हम ऋण चिह्न प्रस्तुत करते हैं क्योंकि हमें दो संक्रियकों का क्रम परिवर्तित करना होता है:

:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}

इन्हें

{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,=1-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}=1+:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:

या

{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }-:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:=1

दिखाने के लिए, दिक्परिवर्तक संबंधों के साथ जोड़ा जा सकता है।

यह समीकरण, जो उपरोक्त बोसोनिक स्थिति के समान रूप में है, का उपयोग विक के प्रमेय में प्रयुक्त संकुचन को परिभाषित करने में किया जाता है।

2. किसी भी अधिक जटिल स्थिति का सामान्य क्रम शून्य देता है क्योंकि कम से कम निर्माण या विलोपन संक्रियक दो बार दिखाई देगा। इस प्रकार से उदाहरण के लिए:

:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}\,{\hat {f}}=0

एकाधिक फर्मियन

इस प्रकार से $N$ अलग-अलग फर्मियन के लिए $2N$ संक्रियक हैं:

${\hat {f}}_{i}^{\dagger }$ : $i^{th}$ फर्मियन का निर्माण संक्रियक।
${\hat {f}}_{i}$ : $i^{th}$ फर्मियन का विलोपन संक्रियक।

यहाँ $i=1,\ldots ,N$ ।

ये प्रति दिक्परिवर्तक संबंधों को संतुष्ट करते हैं:

\left[{\hat {f}}_{i}^{\dagger },{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=0

\left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}\right]_{+}=0

\left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=\delta _{ij}

जहां $i,j=1,\ldots ,N$ और $\delta _{ij}$ क्रोनकर डेल्टा को दर्शाते है।

इन्हें इस प्रकार से पुनः लिखा जा सकता है:

{\hat {f}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{i}^{\dagger }

{\hat {f}}_{i}\,{\hat {f}}_{j}=-{\hat {f}}_{j}\,{\hat {f}}_{i}

{\hat {f}}_{i}\,{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=\delta _{ij}-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{i}.

फ़र्मियन संक्रियकों के गुणनफलों के सामान्य क्रम की गणना करते समय हमें अभिव्यक्ति को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए आवश्यक निकटवर्ती संक्रियकों के दिक्परिवर्तक (गणित) की संख्या को ध्यान में रखना चाहिए। यह वैसा ही है जैसे हम निर्माण और विलोपन संक्रियकों को प्रति दिक्परिवर्तक का दिखावा करते हैं और फिर हम यह सुनिश्चित करने के लिए अभिव्यक्ति को पुन: व्यवस्थित करते हैं कि निर्माण संक्रियक बाईं ओर हैं और विलोपन संक्रियक दाईं ओर हैं - प्रत्येक समय प्रति दिक्परिवर्तक संबंधों को ध्यान में रखते हुए।

उदाहरण

1. दो अलग-अलग फर्मियन ( $N=2$ ) के लिए हमारे निकट

:{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}

है।

यहां अभिव्यक्ति स्थिति से ही सामान्य क्रम में है इसलिए कुछ भी नहीं परिवर्तित होता है।

:{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}

यहां हम ऋण चिह्न प्रस्तुत करते हैं क्योंकि हमने दो संक्रियकों के क्रम को आपस में परिवर्तित कर दिया है।

:{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}

ध्यान दें कि बोसोनिक स्थिति के विपरीत, जिस क्रम में हम यहां संक्रियक लिखते हैं, वह महत्वपूर्ण होता है।

2. तीन अलग-अलग फर्मियन ( $N=3$ ) के लिए हमारे निकट

:{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}

है।

ध्यान दें कि चूंकि (प्रति दिक्परिवर्तक संबंधों द्वारा) ${\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$ जिस क्रम में हम संक्रियक लिखते हैं वह इस स्थिति में महत्वपूर्ण होता है।

वैसे ही हमारे निकट

:{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}

:{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}

है।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में उपयोग

निर्माण और विलोपन संक्रियकों के सामान्य क्रमित गुणनफल का निर्वात अपेक्षा मान शून्य है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि निर्वात अवस्था को $|0\rangle$ द्वारा निरूपित करते हुए, निर्माण और विलोपन संक्रियक

\langle 0|{\hat {a}}^{\dagger }=0\qquad {\textrm {and}}\qquad {\hat {a}}|0\rangle =0

को संतुष्ट करते हैं।

(यहाँ ${\hat {a}}^{\dagger }$ और ${\hat {a}}$ निर्माण और विलोपन संक्रियक हैं (या तो बोसोनिक या फर्मियोनिक))।

मान लीजिए कि ${\hat {O}}$ निर्माण और विलोपन संक्रियकों के एक गैर-रिक्त गुणनफल को दर्शाता है। यद्यपि यह

\langle 0|{\hat {O}}|0\rangle \neq 0,

को संतुष्ट कर सकता है परंतु हमारे निकट

\langle 0|:{\hat {O}}:|0\rangle =0

है।

क्वांटम मैकेनिकल हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) को परिभाषित करते समय सामान्य क्रमित संक्रियक विशेष रूप से उपयोगी होते हैं। इस प्रकार से यदि किसी सिद्धांत का हैमिल्टनियन सामान्य क्रम में है तो मूल अवस्था ऊर्जा शून्य होगी: $\langle 0|{\hat {H}}|0\rangle =0$ .

मुक्त क्षेत्र

दो मुक्त क्षेत्र φ और χ के साथ,

:\phi (x)\chi (y):\,\,=\phi (x)\chi (y)-\langle 0|\phi (x)\chi (y)|0\rangle

जहां $|0\rangle$ फिर से निर्वात स्थिति है। जैसे-जैसे y, x के निकट पहुंचता है, दाहिनी ओर के दोनों शब्दों में से प्रत्येक सामान्यतः सीमा में परिवर्तित कर जाता है, परंतु उनके बीच के अंतर की ठीक रूप से परिभाषित सीमा होती है। उदाहरण के लिए यह हमें :φ(x)χ(x) को परिभाषित करने की अनुमति देता है।

विक की प्रमेय

विक की प्रमेय $n$ क्षेत्र के समय पर क्रमित गुणनफल और सामान्य क्रमित गुणनफल के बीच संबंध बताता है। इसे $n$ के लिए

{\begin{aligned}T\left[\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right]=&:\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n}):+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle :\phi (x_{3})\cdots \phi (x_{n}):\\&+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \langle 0|T\left[\phi (x_{3})\phi (x_{4})\right]|0\rangle :\phi (x_{5})\cdots \phi (x_{n}):\\\vdots \\&+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \cdots \langle 0|T\left[\phi (x_{n-1})\phi (x_{n})\right]|0\rangle \end{aligned}}

के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है जहां योग सभी अलग-अलग विधि से होता है जिसमें कोई क्षेत्र जोड़ सकता है। $n$ विषम का परिणाम

\sum _{\text{perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \cdots \langle 0|T\left[\phi (x_{n-2})\phi (x_{n-1})\right]|0\rangle \phi (x_{n})

पढ़ने वाली अंतिम पंक्ति को छोड़कर समान दिखता है।

यह प्रमेय संक्रियकों के समय-क्रमित गुणनफलों के निर्वात अपेक्षा मानों की गणना के लिए सरल विधि प्रदान करता है और सामान्य क्रमण के प्रारंभ की पूर्व प्रेरणा थी।

वैकल्पिक परिभाषाएँ

सामान्य क्रम की सबसे सामान्य परिभाषा में सभी क्वांटम क्षेत्र को दो भागों (इस प्रकार से उदाहरण के लिए इवांस और स्टीयर 1996 देखें) $\phi _{i}(x)=\phi _{i}^{+}(x)+\phi _{i}^{-}(x)$ में विभाजित करना सम्मिलित है। क्षेत्र के गुणनफल में, क्षेत्र को दो भागों में विभाजित किया जाता है और $\phi ^{+}(x)$ भागों को इस प्रकार स्थानांतरित किया जाता है कि वे सदैव सभी $\phi ^{-}(x)$ भागों के बाईं ओर रहें। लेख के शेष भाग में विचारित सामान्य स्थिति में, $\phi ^{+}(x)$ में मात्र निर्माण संक्रियक सम्मिलित होते हैं, जबकि $\phi ^{-}(x)$ में मात्र विलोपन संक्रियक होते हैं। चूँकि यह गणितीय तत्समक है, कोई भी व्यक्ति किसी भी प्रकार से क्षेत्र को विभाजित कर सकता है। यद्यपि, इसे एक उपयोगी प्रक्रिया बनाने के लिए यह मांग की जाती है कि क्षेत्र के किसी भी संयोजन के सामान्य क्रमित गुणनफल में शून्य अपेक्षा मान

\langle :\phi _{1}(x_{1})\phi _{2}(x_{2})\ldots \phi _{n}(x_{n}):\rangle =0

हो।

व्यावहारिक गणना के लिए यह भी महत्वपूर्ण है कि सभी $\phi _{i}^{+}$ और $\phi _{j}^{-}$ के सभी दिक्परिवर्तक (फ़र्मोनिक क्षेत्रों के लिए प्रति-दिक्परिवर्तक) सभी c-संख्या हैं। इन दो गुणों का अर्थ है कि हम विक के प्रमेय को सामान्य विधि से लागू कर सकते हैं, क्षेत्र के समय-क्रम वाले गुणनफलों के अपेक्षित मानों को c-संख्या युग्म, संकुचन के गुणनफलों में परिवर्तन कर सकते हैं। इस सामान्यीकृत समायोजन में, संकुचन को समय-क्रमित गुणनफल और क्षेत्र के युग्मों के सामान्य क्रमित गुणनफल के बीच अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है।

सबसे सरल उदाहरण ऊष्मीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (इवांस और स्टीयर 1996) के संदर्भ में पाया जाता है। इस स्थिति में रुचि के अपेक्षित मान सांख्यिकीय समूह हैं, सभी स्थितियों पर $\exp(-\beta {\hat {H}})$ द्वारा भारित संकेत। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, एकल बोसोनिक क्वांटम प्रसंवादी दोलक के लिए हमारे निकट है कि संख्या संक्रियक का ऊष्मीय अपेक्षा मान मात्र बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी

\langle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}\rangle ={\frac {\mathrm {Tr} (e^{-\beta \omega {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}})}{\mathrm {Tr} (e^{-\beta \omega {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}})}}={\frac {1}{e^{\beta \omega }-1}}

है।

तो यहाँ संख्या संक्रियक ${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$ को लेख के शेष भागों में उपयोग किए गए सामान्य अर्थों में सामान्य रूप से क्रमबद्ध किया गया है, फिर भी इसके तापीय अपेक्षा मान शून्य नहीं हैं। विक की प्रमेय को लागू करना और इस ऊष्मीय संदर्भ में सामान्य सामान्य क्रम के साथ गणना करना संभव है परंतु अभिकलनीयतः रूप से अव्यावहारिक है। हल एक अलग क्रम को परिभाषित करना है, जैसे कि $\phi _{i}^{+}$ और $\phi _{j}^{-}$ मूल विलोपन और निर्माण संक्रियकों के रैखिक संयोजन हैं। संयोजनों को यह सुनिश्चित करने के लिए चयनित किया जाता है कि सामान्य क्रमित गुणनफलों का ऊष्मीय अपेक्षा मान सदैव शून्य होता है, इसलिए चयनित किया गया विभाजन तापमान पर निर्भर करेगा।

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 König, Jürgen; Hucht, Alfred (2021-01-13). "बोसोनिक ऑपरेटर कार्यों का न्यूटन श्रृंखला विस्तार". SciPost Physics. Stichting SciPost. 10 (1): 007. arXiv:2008.11139. Bibcode:2021ScPP...10....7K. doi:10.21468/scipostphys.10.1.007. ISSN 2542-4653. S2CID 221293056.

एफ. मंडल, जी. शॉ, क्वांटम फील्ड थ्योरी, जॉन विले एंड संस, 1984।
एस. वेनबर्ग, द क्वांटम थ्योरी ऑफ़ फील्ड्स (खंड I) कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस (1995)
T.S. Evans, D.A. Steer, Wick's theorem at finite temperature, Nucl. Phys B 474, 481-496 (1996) arXiv:hep-ph/9601268

[Hucht-1] 1.0 ^1.1 König, Jürgen; Hucht, Alfred (2021-01-13). "बोसोनिक ऑपरेटर कार्यों का न्यूटन श्रृंखला विस्तार". SciPost Physics. Stichting SciPost. 10 (1): 007. arXiv:2008.11139. Bibcode:2021ScPP...10....7K. doi:10.21468/scipostphys.10.1.007. ISSN 2542-4653. S2CID 221293056.

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संकेतन

बोसोन

एकल बोसॉन

उदाहरण

एकाधिक बोसॉन

उदाहरण

बोसोनिक संक्रियक फलन

फर्मिअन्स

एकल फर्मियन

उदाहरण

एकाधिक फर्मियन

उदाहरण

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में उपयोग

मुक्त क्षेत्र

विक की प्रमेय

वैकल्पिक परिभाषाएँ

संदर्भ

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-{{Short description|Type of operator ordering in quantum field theory}}
+{{Short description|Type of operator ordering in quantum field theory}}[[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में क्वांटम क्षेत्रों का गुणनफल, या समकक्ष रूप से उनके निर्माण और विलोपन संक्रियकों को सामान्यतः '''सामान्य क्रम''' (जिसे '''विक क्रम''' भी कहा जाता है) कहा जाता है, जब सभी निर्माण संक्रियक गुणनफल में सभी विलोपन संक्रियकों के बाईं ओर होते हैं। किसी गुणनफल को सामान्य क्रम में रखने की प्रक्रिया को '''सामान्य क्रमण''' (जिसे '''विक क्रमण''' भी कहा जाता है) कहा जाता है। '''असामान्य क्रम''' और '''असामान्य क्रमण''' को समान रूप से परिभाषित किया गया है, जहां विलोपन संक्रियकों को निर्माण संक्रियकों के बाईं ओर रखा गया है।
-{{Other uses}}
-[[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में क्वांटम क्षेत्रों का उत्पाद, या समकक्ष रूप से उनके निर्माण और विनाश ऑपरेटरों को आमतौर पर सामान्य ऑर्डर (जिसे विक ऑर्डर भी कहा जाता है) कहा जाता है, जब सभी निर्माण ऑपरेटर उत्पाद में सभी विनाश ऑपरेटरों के बाईं ओर होते हैं। किसी उत्पाद को सामान्य क्रम में रखने की प्रक्रिया को सामान्य ऑर्डरिंग (जिसे विक ऑर्डरिंग भी कहा जाता है) कहा जाता है। एंटीनॉर्मल ऑर्डर और एंटीनॉर्मल ऑर्डरिंग को समान रूप से परिभाषित किया गया है, जहां विनाश ऑपरेटरों को निर्माण ऑपरेटरों के बाईं ओर रखा गया है।
+क्वांटम क्षेत्र या निर्माण और विलोपन संक्रियकों के गुणनफल के सामान्य क्रम को कई वैकल्पिक परिभाषाओं में भी परिभाषित किया जा सकता है। कौन सी परिभाषा सबसे उपयुक्त है यह किसी दी गई गणना के लिए आवश्यक [[अपेक्षा मूल्य|अपेक्षा मानों]] पर निर्भर करती है। इस लेख का अधिकांश भाग सामान्य क्रम की सबसे सामान्य परिभाषा का उपयोग करता है जैसा कि ऊपर दिया गया है, जो निर्माण और विलोपन संक्रियकों की निर्वात स्थिति का उपयोग करके अपेक्षा मान लेते समय उपयुक्त है।
-क्वांटम फ़ील्ड या निर्माण और विनाश ऑपरेटरों के उत्पाद के सामान्य क्रम को कई #वैकल्पिक परिभाषाओं में भी परिभाषित किया जा सकता है। कौन सी परिभाषा सबसे उपयुक्त है यह किसी दी गई गणना के लिए आवश्यक [[अपेक्षा मूल्य]]ों पर निर्भर करती है। इस लेख का अधिकांश भाग सामान्य क्रम की सबसे सामान्य परिभाषा का उपयोग करता है जैसा कि ऊपर दिया गया है, जो सृजन और विनाश ऑपरेटरों की निर्वात स्थिति का उपयोग करके अपेक्षा मान लेते समय उपयुक्त है।
+सामान्य क्रम की प्रक्रिया [[क्वांटम यांत्रिकी]] [[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण होता है। [[शास्त्रीय यांत्रिकी]] हैमिल्टनियन की मात्रा निर्धारित करते समय संक्रियक क्रम चुनते समय कुछ स्वतंत्रता होती है, और ये विकल्प शून्य-बिंदु ऊर्जा में अंतर उत्पन्न करते हैं। इसीलिए इस प्रक्रिया का उपयोग क्वांटम क्षेत्र की अनंत निर्वात ऊर्जा को समाप्त करने के लिए भी किया जा सकता है।
-सामान्य क्रम की प्रक्रिया [[क्वांटम यांत्रिकी]] [[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। [[शास्त्रीय यांत्रिकी]] हैमिल्टनियन की मात्रा निर्धारित करते समय ऑपरेटर ऑर्डर चुनते समय कुछ स्वतंत्रता होती है, और ये विकल्प शून्य-बिंदु ऊर्जा में अंतर पैदा करते हैं। इसीलिए इस प्रक्रिया का उपयोग क्वांटम क्षेत्र की अनंत वैक्यूम ऊर्जा को खत्म करने के लिए भी किया जा सकता है।
+==संकेतन==
+यदि <math>\hat{O}</math> निर्माण और/या विलोपन संक्रियकों (या समकक्ष, क्वांटम क्षेत्र) के यादृच्छिक गुणनफल को दर्शाता है, तो <math>\hat{O}</math> का सामान्य क्रमबद्ध रूप <math>\mathopen{:} \hat{O} \mathclose{:}</math> द्वारा दर्शाया जाता है।
-==नोटेशन==
+एक वैकल्पिक संकेतन <math> \mathcal{N}(\hat{O})</math> है।
-अगर <math>\hat{O}</math> निर्माण और/या विनाश ऑपरेटरों (या समकक्ष, क्वांटम फ़ील्ड) के मनमाने उत्पाद को दर्शाता है, फिर सामान्य क्रमबद्ध रूप <math>\hat{O}</math> द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\mathopen{:} \hat{O} \mathclose{:}</math>.
-एक वैकल्पिक संकेतन है <math> \mathcal{N}(\hat{O})</math>.
+ध्यान दें कि सामान्य क्रमण अवधारणा है जो मात्र संक्रियकों के गुणनफलों के लिए समझ में आती है। संक्रियकों के योग पर सामान्य क्रम लागू करने का प्रयत्न उपयोगी नहीं है क्योंकि सामान्य क्रम रैखिक क्रिया नहीं है।
-ध्यान दें कि सामान्य ऑर्डरिंग अवधारणा है जो केवल ऑपरेटरों के उत्पादों के लिए समझ में आती है। ऑपरेटरों के योग पर सामान्य ऑर्डर लागू करने का प्रयास उपयोगी नहीं है क्योंकि सामान्य ऑर्डर रैखिक ऑपरेशन नहीं है।
 ==बोसोन==
-बोसॉन वे कण हैं जो बोस-आइंस्टीन के आँकड़ों को संतुष्ट करते हैं। अब हम बोसोनिक निर्माण और विनाश ऑपरेटर उत्पादों के सामान्य ऑर्डर की जांच करेंगे।
+बोसॉन वे कण हैं जो बोस-आइंस्टीन के आँकड़ों को संतुष्ट करते हैं। अब हम बोसोनिक निर्माण और विलोपन संक्रियक गुणनफलों के सामान्य क्रम की जांच करेंगे।
 ===एकल बोसॉन===
-यदि हम केवल प्रकार के बोसॉन से शुरू करते हैं तो रुचि के दो ऑपरेटर हैं:
+यदि हम मात्र प्रकार के बोसॉन से प्रारंभ करते हैं तो रुचि के दो संक्रियक हैं:
-* <math>\hat{b}^\dagger</math>: बोसॉन का निर्माण संचालक।
+* <math>\hat{b}^\dagger</math>: बोसॉन का निर्माण संक्रियक।
-* <math>\hat{b}</math>: बोसॉन का विनाश संचालक।
+* <math>\hat{b}</math>: बोसॉन का विलोपन संक्रियक।
-ये [[कम्यूटेटर]] संबंध को संतुष्ट करते हैं
+ये [[कम्यूटेटर|दिक्परिवर्तक]] संबंध
 :<math>\left[\hat{b}^\dagger, \hat{b}^\dagger \right]_- = 0</math>
 :<math>\left[\hat{b}, \hat{b} \right]_- = 0</math>
 :<math>\left[\hat{b}, \hat{b}^\dagger \right]_- = 1</math>
-कहाँ <math>\left[ A, B \right]_- \equiv AB - BA</math> कम्यूटेटर को दर्शाता है. हम अंतिम को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं: <math>\hat{b}\, \hat{b}^\dagger = \hat{b}^\dagger\, \hat{b} + 1.</math>
+को संतुष्ट करते हैं, जहां <math>\left[ A, B \right]_- \equiv AB - BA</math> दिक्परिवर्तक को दर्शाता है। अतः हम अंतिम को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं: <math>\hat{b}\, \hat{b}^\dagger = \hat{b}^\dagger\, \hat{b} + 1</math>।
 ====उदाहरण====
-. हम पहले सबसे सरल मामले पर विचार करेंगे। यह सामान्य क्रम है <math>\hat{b}^\dagger \hat{b}</math>:
+. हम प्रथमतः सबसे सरल स्थिति पर विचार करेंगे। इस प्रकार से यह <math>\hat{b}^\dagger \hat{b}</math>:
-:<math> {:\,}\hat{b}^\dagger \, \hat{b}{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b}. </math>
+:<math> {:\,}\hat{b}^\dagger \, \hat{b}{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b} </math> सामान्य क्रम है।
-इजहार <math>\hat{b}^\dagger \, \hat{b}</math> बदला नहीं गया है क्योंकि यह पहले से ही सामान्य क्रम में है - निर्माण ऑपरेटर <math>(\hat{b}^\dagger)</math> यह पहले से ही विनाश ऑपरेटर के बाईं ओर है <math>(\hat{b})</math>.
+अभिव्यक्ति <math>\hat{b}^\dagger \, \hat{b}</math> को नहीं परिवर्तित किया गया है क्योंकि यह स्थिति से ही सामान्य क्रम में है - निर्माण संक्रियक <math>(\hat{b}^\dagger)</math> स्थिति से ही विलोपन संक्रियक <math>(\hat{b})</math> के बाईं ओर है।
-. अधिक दिलचस्प उदाहरण सामान्य क्रम है <math>\hat{b} \, \hat{b}^\dagger </math>:
+. एक अधिक रोचक उदाहरण <math>\hat{b} \, \hat{b}^\dagger </math>:
-:<math> {:\,}\hat{b} \, \hat{b}^\dagger{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b}. </math>
+:<math> {:\,}\hat{b} \, \hat{b}^\dagger{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b} </math> का सामान्य क्रम है।
-यहां सामान्य ऑर्डरिंग ऑपरेशन ने शर्तों को रखकर पुनः व्यवस्थित किया है <math>\hat{b}^\dagger</math> के बाईं ओर <math>\hat{b}</math>.
+यहां सामान्य क्रमण क्रिया ने <math>\hat{b}</math> के बाईं ओर <math>\hat{b}^\dagger</math> रखकर प्रतिबंधों को फिर से व्यवस्थित किया है।
-इन दोनों परिणामों को पालन किए गए रूपान्तरण संबंध के साथ जोड़ा जा सकता है <math>\hat{b}</math> और <math>\hat{b}^\dagger</math> पाने के
+इन दोनों परिणामों को
-:<math> \hat{b} \, \hat{b}^\dagger = \hat{b}^\dagger \, \hat{b} + 1 = {:\,}\hat{b} \, \hat{b}^\dagger{\,:} \; + 1.</math>
+:<math> \hat{b} \, \hat{b}^\dagger = \hat{b}^\dagger \, \hat{b} + 1 = {:\,}\hat{b} \, \hat{b}^\dagger{\,:} \; + 1</math> प्राप्त करने के लिए <math>\hat{b}</math> और <math>\hat{b}^\dagger</math> द्वारा पालन किए गए दिक्परिवर्तक संबंध के साथ जोड़ा जा सकता है।
 या
-:<math> \hat{b} \, \hat{b}^\dagger -  {:\,}\hat{b} \, \hat{b}^\dagger{\,:} = 1.</math>
+:<math> \hat{b} \, \hat{b}^\dagger -  {:\,}\hat{b} \, \hat{b}^\dagger{\,:} = 1</math>।
 इस समीकरण का उपयोग विक प्रमेय में प्रयुक्त संकुचन को परिभाषित करने में किया जाता है।
-. एकाधिक ऑपरेटरों वाला उदाहरण है:
+. एकाधिक संक्रियकों वाला उदाहरण है:
 :<math> {:\,}\hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b}{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b} = (\hat{b}^\dagger)^3 \, \hat{b}^4.</math>
-. सरल उदाहरण से पता चलता है कि सामान्य क्रम को एकपदी से सभी ऑपरेटरों तक रैखिकता द्वारा आत्मनिर्भर तरीके से नहीं बढ़ाया जा सकता है:
+. सरल उदाहरण से ज्ञात होता है कि सामान्य क्रम को एकपदी से सभी संक्रियकों तक रैखिकता द्वारा आत्मनिर्भर विधि से नहीं बढ़ाया जा सकता है:
 :<math> {:\,}\hat{b} \hat{b}^\dagger{\,:} = {:\,}1 + \hat{b}^\dagger \hat{b}{\,:} = {:\,}1{\,:} + {:\,}\hat{b}^\dagger \hat{b}{\,:} =
 + \hat{b}^\dagger \hat{b} \ne \hat{b}^\dagger \hat{b}={:\,}\hat{b} \hat{b}^\dagger{\,:}</math>
-निहितार्थ यह है कि सामान्य ऑर्डरिंग ऑपरेटरों पर रैखिक कार्य नहीं है।
+निहितार्थ यह है कि सामान्य क्रमण संक्रियकों पर रैखिक फलन नहीं है।
 ===एकाधिक बोसॉन===
-अगर अब हम विचार करें <math>N</math> वहाँ विभिन्न बोसोन हैं <math>2 N</math> ऑपरेटर:
+यदि हम अब <math>N</math> विभिन्न बोसॉन पर विचार करें तो <math>2 N</math> संक्रियक हैं:
-* <math>\hat{b}_i^\dagger</math>: द <math>i^{th}</math> बोसॉन का निर्माण संचालक।
+* <math>\hat{b}_i^\dagger</math>: <math>i^{th}</math> बोसॉन का निर्माण संक्रियक।
-* <math>\hat{b}_i</math>: द <math>i^{th}</math> बोसॉन का विनाश संचालक।
+* <math>\hat{b}_i</math>: <math>i^{th}</math> बोसॉन का विलोपन संक्रियक।
 यहाँ <math>i = 1,\ldots,N</math>.
@@ Line 67: / Line 64: @@
 :<math>\left[\hat{b}_i, \hat{b}_j \right]_- = 0 </math>
 :<math>\left[\hat{b}_i, \hat{b}_j^\dagger \right]_- = \delta_{ij} </math>
-कहाँ <math>i,j = 1,\ldots,N</math> और <math>\delta_{ij}</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] को दर्शाता है।
+जहां <math>i,j = 1,\ldots,N</math> और <math>\delta_{ij}</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] को दर्शाते है।
 इन्हें इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:
@@ Line 74: / Line 71: @@
 :<math>\hat{b}_i \,\hat{b}_j^\dagger = \hat{b}_j^\dagger \,\hat{b}_i + \delta_{ij}.</math>
 ====उदाहरण====
-. दो अलग-अलग बोसॉन के लिए (<math>N=2</math>) हमारे पास है
+. दो भिन्न बोसॉन (<math>N=2</math>) के लिए हमारे निकट
 :<math> : \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 </math>
-:<math> : \hat{b}_2 \, \hat{b}_1^\dagger  : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 </math>
+:<math> : \hat{b}_2 \, \hat{b}_1^\dagger  : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 </math> है।
-. तीन अलग-अलग बोसॉन के लिए (<math>N=3</math>) हमारे पास है
+. तीन भिन्न बोसॉन (<math>N=3</math>) के लिए हमारे निकट
-:<math> : \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \,\hat{b}_3 : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \,\hat{b}_3</math>
+:<math> : \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \,\hat{b}_3 : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \,\hat{b}_3</math> है।
-ध्यान दें कि चूँकि (परिवर्तन संबंधों द्वारा) <math>\hat{b}_2 \,\hat{b}_3 = \hat{b}_3 \,\hat{b}_2</math> जिस क्रम में हम विनाश संचालक लिखते हैं, उससे कोई फर्क नहीं पड़ता।
+ध्यान दें कि चूँकि (परिवर्तन संबंधों द्वारा) <math>\hat{b}_2 \,\hat{b}_3 = \hat{b}_3 \,\hat{b}_2</math> जिस क्रम में हम विलोपन संक्रियक लिखते हैं, वह कोई अंतर नहीं रखता है।
 :<math> : \hat{b}_2 \, \hat{b}_1^\dagger \, \hat{b}_3  : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \, \hat{b}_3 </math>
 :<math> : \hat{b}_3 \hat{b}_2 \, \hat{b}_1^\dagger  : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \, \hat{b}_3 </math>
-===बोसोनिक ऑपरेटर फ़ंक्शन===
+===बोसोनिक संक्रियक फलन===
-बोसोनिक ऑपरेटर कार्यों का सामान्य क्रम <math>f(\hat n)</math>, व्यवसाय संख्या ऑपरेटर के साथ <math>\hat n=\hat b\vphantom{\hat n}^\dagger \hat b</math>, [[ भाज्य शक्ति ]]|(गिरती) फैक्टोरियल शक्तियों का उपयोग करके पूरा किया जा सकता है <math>\hat n^{\underline{k}}=\hat n(\hat n-1)\cdots(\hat n-k+1)</math> और [[टेलर श्रृंखला]] के बजाय न्यूटन श्रृंखला:
+इस प्रकार से अधिष्ठान संख्या संक्रियक <math>\hat n=\hat b\vphantom{\hat n}^\dagger \hat b</math> के साथ बोसोनिक संक्रियक फलन <math>f(\hat n)</math> का सामान्य क्रम, [[टेलर श्रृंखला]] के अतिरिक्त [[ भाज्य शक्ति |भाज्य घात]]<math>\hat n^{\underline{k}}=\hat n(\hat n-1)\cdots(\hat n-k+1)</math> और न्यूटन श्रृंखला का उपयोग करके पूर्ण किया जा सकता है: यह दिखाना सरल है कि कारक घात <math>\hat n^{k}</math><ref name="Hucht">{{cite journal | last1=König | first1=Jürgen | last2=Hucht | first2=Alfred | title=बोसोनिक ऑपरेटर कार्यों का न्यूटन श्रृंखला विस्तार| journal=SciPost Physics | publisher=Stichting SciPost | volume=10 | issue=1 | date=2021-01-13 | issn=2542-4653 | doi=10.21468/scipostphys.10.1.007 | page=007| arxiv=2008.11139 | bibcode=2021ScPP...10....7K | s2cid=221293056 | doi-access=free }}</ref> सामान्य-क्रमबद्ध (प्राकृतिक) [[घातांक]] <math>\hat n^{\underline{k}}</math> के बराबर हैं और इसलिए निर्माण द्वारा सामान्य रूप से क्रमबद्ध हैं,
-यह दिखाना आसान है
- <ref name="Hucht">{{cite journal | last1=König | first1=Jürgen | last2=Hucht | first2=Alfred | title=बोसोनिक ऑपरेटर कार्यों का न्यूटन श्रृंखला विस्तार| journal=SciPost Physics | publisher=Stichting SciPost | volume=10 | issue=1 | date=2021-01-13 | issn=2542-4653 | doi=10.21468/scipostphys.10.1.007 | page=007| arxiv=2008.11139 | bibcode=2021ScPP...10....7K | s2cid=221293056 | doi-access=free }}</ref> वह तथ्यात्मक शक्तियाँ <math>\hat n^{\underline{k}}</math> सामान्य-क्रमबद्ध (कच्चे) [[घातांक]] के बराबर हैं <math>\hat n^{k}</math> और इसलिए निर्माण द्वारा सामान्य रूप से आदेश दिया जाता है,
+<math>
+\tilde f(\hat n) = \sum_{k=0}^\infty \Delta_n^k \tilde f(0) \, \frac{\hat n^{\underline{k}}}{k!}
+</math>
+जैसे कि एक संक्रियक फलन <math>\tilde f(\hat n)</math> का न्यूटन श्रृंखला विस्तार
 : <math>
 \hat{n}^{\underline{k}}
@@ Line 93: / Line 93: @@
   = {:\,}\hat n^k{\,:},
 </math>
-जैसे कि न्यूटन श्रृंखला का विस्तार
+<math>n=0</math> पर <math>k</math>-वें [[आगे का अंतर|अग्र अंतर]] <math>\Delta_n^k \tilde f(0)</math> के साथ, सदैव सामान्य क्रम में होता है।
-: <math>
+यहां, आइगेनमान समीकरण <math>\hat n |n\rangle = n |n\rangle</math> <math>\hat n</math> और <math>n</math> से संबंधित है।
-\tilde f(\hat n) = \sum_{k=0}^\infty \Delta_n^k \tilde f(0) \, \frac{\hat n^{\underline{k}}}{k!}
-</math>
-एक ऑपरेटर फ़ंक्शन का <math>\tilde f(\hat n)</math>, साथ <math>k</math>-वें [[आगे का अंतर]] <math>\Delta_n^k \tilde f(0)</math> पर <math>n=0</math>, हमेशा सामान्य ऑर्डर दिया जाता है। यहां, दूसरा परिमाणीकरण#Action_on_Fock_states <math>\hat n |n\rangle = n |n\rangle</math> संबंधित <math>\hat n</math> और <math>n</math>.
-परिणामस्वरूप, मनमाना फ़ंक्शन की सामान्य-क्रम वाली टेलर श्रृंखला <math>f(\hat n)</math> किसी संबद्ध फ़ंक्शन की न्यूटन श्रृंखला के बराबर है <math>\tilde f(\hat n)</math>, पूर्ति
+परिणामस्वरूप, यादृच्छिक फलन <math>f(\hat n)</math> की सामान्य क्रम वाली टेलर श्रृंखला संबंधित फलन <math>\tilde f(\hat n)</math> की न्यूटन श्रृंखला के बराबर होती है, जो
 : <math>
-\tilde f(\hat n) = {:\,} f(\hat n) {\,:},
+\tilde f(\hat n) = {:\,} f(\hat n) {\,:}
-</math>
+</math> को पूर्ण करती है,
-यदि टेलर श्रृंखला की श्रृंखला गुणांक <math>f(x)</math>, निरंतर के साथ <math>x</math>, न्यूटन श्रृंखला के गुणांकों का मिलान करें <math>\tilde f(n)</math>, पूर्णांक के साथ <math>n</math>,
+यदि <math>f(x)</math> की टेलर श्रृंखला के श्रृंखला गुणांक, निरंतर <math>x</math> के साथ, <math>\tilde f(n)</math> की न्यूटन श्रृंखला के गुणांक से मेल खाते हैं, पूर्णांक <math>n</math>,
 : <math>
@@ Line 114: / Line 111: @@
 \end{align}
 </math>
-साथ <math>k</math>-वां [[आंशिक व्युत्पन्न]] <math>\partial_x^k f(0)</math> पर <math>x=0</math>.
+के साथ, <math>x=0</math> पर <math>k</math>-वें [[आंशिक व्युत्पन्न]] <math>\partial_x^k f(0)</math> के साथ। फलन <math>f</math> और <math>\tilde f</math> <math>\mathcal N[f]</math> के अनुसार तथाकथित [[सामान्य-क्रम परिवर्तन]]
-कार्य <math>f</math> और <math>\tilde f</math> तथाकथित [[सामान्य-क्रम परिवर्तन]] के माध्यम से संबंधित हैं <math>\mathcal N[f]</math> के अनुसार
 : <math>
@@ Line 124: / Line 120: @@
 \end{align}
 </math>
-जिसे मेलिन परिवर्तन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है <math>\mathcal M</math>, देखना <ref name="Hucht"/>जानकारी के लिए।
+के माध्यम से संबंधित हैं, <math>\mathcal M</math> के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, विवरण के लिए देखें।<ref name="Hucht" />
 ==फर्मिअन्स==
-फ़र्मिअन वे कण हैं जो फ़र्मी-डिराक आँकड़ों को संतुष्ट करते हैं। अब हम फर्मिओनिक निर्माण और विनाश ऑपरेटर उत्पादों के सामान्य क्रम की जांच करेंगे।
+फ़र्मिअन वे कण हैं जो फ़र्मी-डिरैक आँकड़ों को संतुष्ट करते हैं। अब हम फर्मिओनिक निर्माण और विलोपन संक्रियक गुणनफलों के सामान्य क्रम की जांच करेंगे।
 ===एकल फर्मियन===
-एक एकल फर्मियन के लिए रुचि के दो संचालक होते हैं:
+इस प्रकार से एक एकल फर्मियन के लिए रुचि के दो संक्रियक होते हैं:
-* <math>\hat{f}^\dagger</math>: फर्मियन का निर्माण संचालक।
+* <math>\hat{f}^\dagger</math>: फर्मियन का निर्माण संक्रियक।
-* <math>\hat{f}</math>: फर्मियन का विनाश संचालिका।
+* <math>\hat{f}</math>: फर्मियन का विलोपन संक्रियक।
-ये [[एंटीकम्यूटेटर]] संबंधों को संतुष्ट करते हैं
+ये [[एंटीकम्यूटेटर|प्रति दिक्परिवर्तक]] संबंधों
 :<math>\left[\hat{f}^\dagger, \hat{f}^\dagger \right]_+ = 0</math>
 :<math>\left[\hat{f}, \hat{f} \right]_+ = 0</math>
 :<math>\left[\hat{f}, \hat{f}^\dagger \right]_+ = 1</math>
-कहाँ <math>\left[A, B \right]_+ \equiv AB + BA</math> एंटीकम्यूटेटर को दर्शाता है। इन्हें इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है
+को संतुष्ट करते हैं, जहां <math>\left[A, B \right]_+ \equiv AB + BA</math> प्रति दिक्परिवर्तक को दर्शाता है। इन्हें
 :<math>\hat{f}^\dagger\, \hat{f}^\dagger =  0 </math>
 :<math>\hat{f} \,\hat{f}  =  0 </math>
-:<math>\hat{f} \,\hat{f}^\dagger =  1 - \hat{f}^\dagger \,\hat{f} .</math>
+:<math>\hat{f} \,\hat{f}^\dagger =  1 - \hat{f}^\dagger \,\hat{f} </math> के रूप में पुनः लिखा जा सकता है।
-फर्मियोनिक निर्माण और विनाश ऑपरेटरों के उत्पाद के सामान्य क्रम को परिभाषित करने के लिए हमें पड़ोसी ऑपरेटरों के बीच ट्रांसपोज़िशन (गणित) की संख्या को ध्यान में रखना चाहिए। हमें ऐसे प्रत्येक इंटरचेंज के लिए ऋण चिह्न मिलता है।
+फर्मियोनिक निर्माण और विलोपन संक्रियकों के गुणनफल के सामान्य क्रम को परिभाषित करने के लिए हमें निकटवर्ती संक्रियकों के बीच दिक्परिवर्तक (गणित) की संख्या को ध्यान में रखना चाहिए। हमें ऐसे प्रत्येक दिक्परिवर्तक के लिए ऋण चिह्न मिलता है।
 ====उदाहरण====
-. हम फिर से सबसे सरल मामलों से शुरू करते हैं:
+. हम पुनः सबसे सरल स्थिति से प्रारंभ करते हैं:
 :<math> : \hat{f}^\dagger \, \hat{f} : \,= \hat{f}^\dagger \, \hat{f} </math>
-यह अभिव्यक्ति पहले से ही सामान्य क्रम में है इसलिए कुछ भी नहीं बदला गया है। विपरीत स्थिति में, हम ऋण चिह्न प्रस्तुत करते हैं क्योंकि हमें दो ऑपरेटरों का क्रम बदलना होता है:
+यह अभिव्यक्ति स्थिति से ही सामान्य क्रम में है इसलिए कुछ भी नहीं परिवर्तित किया गया है। इस प्रकार से विपरीत स्थिति में, हम ऋण चिह्न प्रस्तुत करते हैं क्योंकि हमें दो संक्रियकों का क्रम परिवर्तित करना होता है:
 :<math> : \hat{f} \, \hat{f}^\dagger : \,= -\hat{f}^\dagger \, \hat{f} </math>
-दिखाने के लिए इन्हें एंटीकम्युटेशन संबंधों के साथ जोड़ा जा सकता है
+इन्हें
 :<math> \hat{f} \, \hat{f}^\dagger \,= 1 - \hat{f}^\dagger \, \hat{f} = 1 + :\hat{f} \,\hat{f}^\dagger :</math>
 या
-:<math> \hat{f} \, \hat{f}^\dagger -  : \hat{f} \, \hat{f}^\dagger : = 1.</math>
+:<math> \hat{f} \, \hat{f}^\dagger -  : \hat{f} \, \hat{f}^\dagger : = 1</math> दिखाने के लिए, दिक्परिवर्तक संबंधों के साथ जोड़ा जा सकता है।
-यह समीकरण, जो उपरोक्त बोसोनिक मामले के समान रूप में है, का उपयोग विक के प्रमेय में प्रयुक्त संकुचन को परिभाषित करने में किया जाता है।
+यह समीकरण, जो उपरोक्त बोसोनिक स्थिति के समान रूप में है, का उपयोग विक के प्रमेय में प्रयुक्त संकुचन को परिभाषित करने में किया जाता है।
-. किसी भी अधिक जटिल मामले का सामान्य क्रम शून्य देता है क्योंकि कम से कम सृजन या विनाश ऑपरेटर दो बार दिखाई देगा। उदाहरण के लिए:
+. किसी भी अधिक जटिल स्थिति का सामान्य क्रम शून्य देता है क्योंकि कम से कम निर्माण या विलोपन संक्रियक दो बार दिखाई देगा। इस प्रकार से उदाहरण के लिए:
 :<math> : \hat{f}\,\hat{f}^\dagger \, \hat{f} \hat{f}^\dagger  : \,= -\hat{f}^\dagger \,\hat{f}^\dagger \,\hat{f}\,\hat{f} = 0 </math>
 ===एकाधिक फर्मियन===
-के लिए <math>N</math> वहाँ विभिन्न फर्मियन हैं <math>2 N</math> ऑपरेटर:
+इस प्रकार से <math>N</math> अलग-अलग फर्मियन के लिए <math>2 N</math> संक्रियक हैं:
-* <math>\hat{f}_i^\dagger</math>: द <math>i^{th}</math> फर्मियन का निर्माण संचालक।
+* <math>\hat{f}_i^\dagger</math>: <math>i^{th}</math> फर्मियन का निर्माण संक्रियक।
-* <math>\hat{f}_i</math>: द <math>i^{th}</math> फर्मियन का विनाश संचालिका।
+* <math>\hat{f}_i</math>: <math>i^{th}</math> फर्मियन का विलोपन संक्रियक।
-यहाँ <math>i = 1,\ldots,N</math>.
+यहाँ <math>i = 1,\ldots,N</math>।
-ये कम्युटेशन-विरोधी संबंधों को संतुष्ट करते हैं:
+ये प्रति दिक्परिवर्तक संबंधों को संतुष्ट करते हैं:
 :<math>\left[\hat{f}_i^\dagger, \hat{f}_j^\dagger \right]_+ = 0 </math>
 :<math>\left[\hat{f}_i, \hat{f}_j \right]_+ = 0 </math>
 :<math>\left[\hat{f}_i, \hat{f}_j^\dagger \right]_+ = \delta_{ij} </math>
-कहाँ <math>i,j = 1,\ldots,N</math> और <math>\delta_{ij}</math> क्रोनकर डेल्टा को दर्शाता है।
+जहां <math>i,j = 1,\ldots,N</math> और <math>\delta_{ij}</math> क्रोनकर डेल्टा को दर्शाते है।
-इन्हें इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:
+इन्हें इस प्रकार से पुनः लिखा जा सकता है:
 :<math>\hat{f}_i^\dagger \, \hat{f}_j^\dagger = -\hat{f}_j^\dagger \, \hat{f}_i^\dagger </math>
 :<math>\hat{f}_i \, \hat{f}_j = -\hat{f}_j \, \hat{f}_i </math>
 :<math>\hat{f}_i \,\hat{f}_j^\dagger = \delta_{ij} - \hat{f}_j^\dagger \,\hat{f}_i .</math>
-फ़र्मियन ऑपरेटरों के उत्पादों के सामान्य क्रम की गणना करते समय हमें अभिव्यक्ति को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए आवश्यक पड़ोसी ऑपरेटरों के ट्रांसपोज़िशन (गणित) की संख्या को ध्यान में रखना चाहिए। यह वैसा ही है जैसे हम निर्माण और संहार संचालकों को एंटीकम्यूटेशन का दिखावा करते हैं और फिर हम यह सुनिश्चित करने के लिए अभिव्यक्ति को पुन: व्यवस्थित करते हैं कि निर्माण संचालक बाईं ओर हैं और विनाश संचालक दाईं ओर हैं - हर समय एंटीकम्यूटेशन संबंधों को ध्यान में रखते हुए।
+फ़र्मियन संक्रियकों के गुणनफलों के सामान्य क्रम की गणना करते समय हमें अभिव्यक्ति को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए आवश्यक निकटवर्ती संक्रियकों के दिक्परिवर्तक (गणित) की संख्या को ध्यान में रखना चाहिए। यह वैसा ही है जैसे हम निर्माण और विलोपन संक्रियकों को प्रति दिक्परिवर्तक का दिखावा करते हैं और फिर हम यह सुनिश्चित करने के लिए अभिव्यक्ति को पुन: व्यवस्थित करते हैं कि निर्माण संक्रियक बाईं ओर हैं और विलोपन संक्रियक दाईं ओर हैं - प्रत्येक समय प्रति दिक्परिवर्तक संबंधों को ध्यान में रखते हुए।
 ====उदाहरण====
-. दो अलग-अलग फर्मियन के लिए (<math>N=2</math>) हमारे पास है
+. दो अलग-अलग फर्मियन (<math>N=2</math>) के लिए हमारे निकट
-:<math> : \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 : \,= \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 </math>
+:<math> : \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 : \,= \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 </math> है।
-यहां अभिव्यक्ति पहले से ही सामान्य क्रम में है इसलिए कुछ भी नहीं बदलता है।
+यहां अभिव्यक्ति स्थिति से ही सामान्य क्रम में है इसलिए कुछ भी नहीं परिवर्तित होता है।
 :<math> : \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger  : \,= -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 </math>
-यहां हम ऋण चिह्न प्रस्तुत करते हैं क्योंकि हमने दो ऑपरेटरों के क्रम को आपस में बदल दिया है।
+यहां हम ऋण चिह्न प्रस्तुत करते हैं क्योंकि हमने दो संक्रियकों के क्रम को आपस में परिवर्तित कर दिया है।
 :<math> : \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}^\dagger_2  : \,= \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}_2^\dagger \,\hat{f}_2 = -\hat{f}_2^\dagger \, \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2  </math>
-ध्यान दें कि बोसोनिक मामले के विपरीत, जिस क्रम में हम यहां ऑपरेटर लिखते हैं, वह मायने रखता है।
+ध्यान दें कि बोसोनिक स्थिति के विपरीत, जिस क्रम में हम यहां संक्रियक लिखते हैं, वह महत्वपूर्ण होता है।
-. तीन अलग-अलग फर्मियन के लिए (<math>N=3</math>) हमारे पास है
+. तीन अलग-अलग फर्मियन (<math>N=3</math>) के लिए हमारे निकट
-:<math> : \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}_2 \, \hat{f}_3 : \,= \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 \,\hat{f}_3 = -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_3 \,\hat{f}_2</math>
+:<math> : \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}_2 \, \hat{f}_3 : \,= \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 \,\hat{f}_3 = -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_3 \,\hat{f}_2</math> है।
-ध्यान दें कि चूंकि (एंटीकम्यूटेशन संबंधों द्वारा) <math>\hat{f}_2 \,\hat{f}_3 = -\hat{f}_3 \,\hat{f}_2</math> जिस क्रम में हम ऑपरेटर लिखते हैं वह इस मामले में मायने रखता है।
+ध्यान दें कि चूंकि (प्रति दिक्परिवर्तक संबंधों द्वारा) <math>\hat{f}_2 \,\hat{f}_3 = -\hat{f}_3 \,\hat{f}_2</math> जिस क्रम में हम संक्रियक लिखते हैं वह इस स्थिति में महत्वपूर्ण होता है।
-वैसे ही हमारे पास है
+वैसे ही हमारे निकट
 :<math> : \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}_3  : \,= -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 \, \hat{f}_3 = \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_3 \, \hat{f}_2</math>
-:<math> : \hat{f}_3 \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger  : \,= \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_3 \, \hat{f}_2 = -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 \, \hat{f}_3 </math>
+:<math> : \hat{f}_3 \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger  : \,= \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_3 \, \hat{f}_2 = -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 \, \hat{f}_3 </math> है।
 ==क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में उपयोग==
-सृजन और विनाश संचालकों के सामान्य ऑर्डर किए गए उत्पाद का [[निर्वात अपेक्षा मूल्य]] शून्य है। इसका कारण यह है कि, [[निर्वात अवस्था]] को द्वारा निरूपित किया जाता है <math>|0\rangle</math>, सृजन और प्रलय संचालक संतुष्ट होते हैं
+निर्माण और विलोपन संक्रियकों के सामान्य क्रमित गुणनफल का [[निर्वात अपेक्षा मूल्य|निर्वात अपेक्षा मान]] शून्य है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि [[निर्वात अवस्था]] को <math>|0\rangle</math> द्वारा निरूपित करते हुए, निर्माण और विलोपन संक्रियक
-:<math>\langle 0 | \hat{a}^\dagger = 0 \qquad \textrm{and} \qquad \hat{a} |0\rangle = 0</math>
+:<math>\langle 0 | \hat{a}^\dagger = 0 \qquad \textrm{and} \qquad \hat{a} |0\rangle = 0</math> को संतुष्ट करते हैं।
-(यहाँ <math>\hat{a}^\dagger</math> और <math>\hat{a}</math> सृजन और विनाश संचालक हैं (या तो बोसोनिक या फर्मियोनिक))।
+(यहाँ <math>\hat{a}^\dagger</math> और <math>\hat{a}</math> निर्माण और विलोपन संक्रियक हैं (या तो बोसोनिक या फर्मियोनिक))।
-होने देना <math>\hat{O}</math> सृजन और विनाश संचालकों के गैर-रिक्त उत्पाद को निरूपित करें। हालाँकि इससे संतुष्टि हो सकती है
+मान लीजिए कि <math>\hat{O}</math> निर्माण और विलोपन संक्रियकों के एक गैर-रिक्त गुणनफल को दर्शाता है। यद्यपि यह
 :<math>\langle 0 | \hat{O} | 0 \rangle \neq 0,</math>
-हमारे पास है
+को संतुष्ट कर सकता है परंतु हमारे निकट
-:<math>\langle 0 | :\hat{O}: | 0 \rangle = 0.</math>
+:<math>\langle 0 | :\hat{O}: | 0 \rangle = 0</math> है।
-क्वांटम मैकेनिकल हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) को परिभाषित करते समय सामान्य आदेशित ऑपरेटर विशेष रूप से उपयोगी होते हैं। यदि किसी सिद्धांत का हैमिल्टनियन सामान्य क्रम में है तो जमीनी अवस्था ऊर्जा शून्य होगी:
+क्वांटम मैकेनिकल हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) को परिभाषित करते समय सामान्य क्रमित संक्रियक विशेष रूप से उपयोगी होते हैं। इस प्रकार से यदि किसी सिद्धांत का हैमिल्टनियन सामान्य क्रम में है तो मूल अवस्था ऊर्जा शून्य होगी: <math>\langle 0 |\hat{H}|0\rangle = 0</math>.
-<math>\langle 0 |\hat{H}|0\rangle = 0</math>.
-===मुक्त फ़ील्ड===
+===मुक्त क्षेत्र===
-दो मुक्त फ़ील्ड φ और χ के साथ,
+दो मुक्त क्षेत्र φ और χ के साथ,
 :<math>:\phi(x)\chi(y):\,\,=\phi(x)\chi(y)-\langle 0|\phi(x)\chi(y)| 0\rangle</math>
-कहाँ <math>|0\rangle</math> पुनः निर्वात अवस्था है। जैसे-जैसे y, x के करीब पहुंचता है, दाहिनी ओर के दोनों शब्दों में से प्रत्येक आमतौर पर सीमा में बदल जाता है, लेकिन उनके बीच के अंतर की अच्छी तरह से परिभाषित सीमा होती है। यह हमें :φ(x)χ(x) को परिभाषित करने की अनुमति देता है।
+जहां <math>|0\rangle</math> फिर से निर्वात स्थिति है। जैसे-जैसे y, x के निकट पहुंचता है, दाहिनी ओर के दोनों शब्दों में से प्रत्येक सामान्यतः सीमा में परिवर्तित कर जाता है, परंतु उनके बीच के अंतर की ठीक रूप से परिभाषित सीमा होती है। उदाहरण के लिए यह हमें :φ(x)χ(x) को परिभाषित करने की अनुमति देता है।
-===विक का प्रमेय===
+===विक की प्रमेय===
-{{Main|Wick's theorem}}
+{{Main|विक की प्रमेय}}
-विक का प्रमेय समय के आदेशित उत्पाद के बीच संबंध बताता है <math>n</math> फ़ील्ड और का योग
+विक की प्रमेय <math>n</math> क्षेत्र के समय पर क्रमित गुणनफल और सामान्य क्रमित गुणनफल के बीच संबंध बताता है। इसे <math>n</math> के लिए
-सामान्य ऑर्डर किए गए उत्पाद। इसके लिए व्यक्त किया जा सकता है <math>n</math> यहां तक कि के रूप में भी
 :<math>\begin{align}
@@ Line 229: / Line 223: @@
 &+\sum_\textrm{perm}\langle 0 |T\left[\phi(x_1)\phi(x_2)\right]|0\rangle\cdots \langle 0 |T\left[\phi(x_{n-1})\phi(x_n)\right]|0\rangle
 \end{align}</math>
-जहां उन सभी अलग-अलग तरीकों का योग होता है जिनसे कोई फ़ील्ड जोड़ सकता है। के लिए परिणाम <math>n</math> अजीब जैसा दिखता है
+के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है जहां योग सभी अलग-अलग विधि से होता है जिसमें कोई क्षेत्र जोड़ सकता है। <math>n</math> विषम का परिणाम
-अंतिम पंक्ति को छोड़कर जो पढ़ता है
 :<math>
-\sum_\text{perm}\langle 0 |T\left[\phi(x_1)\phi(x_2)\right]|0\rangle\cdots\langle 0 | T\left[\phi(x_{n-2})\phi(x_{n-1})\right]|0\rangle\phi(x_n).
+\sum_\text{perm}\langle 0 |T\left[\phi(x_1)\phi(x_2)\right]|0\rangle\cdots\langle 0 | T\left[\phi(x_{n-2})\phi(x_{n-1})\right]|0\rangle\phi(x_n)
-</math>
+</math> पढ़ने वाली अंतिम पंक्ति को छोड़कर समान दिखता है।
-यह प्रमेय ऑपरेटरों के समय-ऑर्डर किए गए उत्पादों के वैक्यूम अपेक्षा मूल्यों की गणना के लिए सरल विधि प्रदान करता है और सामान्य ऑर्डरिंग की शुरुआत के पीछे प्रेरणा थी।
+यह प्रमेय संक्रियकों के समय-क्रमित गुणनफलों के निर्वात अपेक्षा मानों की गणना के लिए सरल विधि प्रदान करता है और सामान्य क्रमण के प्रारंभ की पूर्व प्रेरणा थी।
 ==वैकल्पिक परिभाषाएँ==
-सामान्य क्रम की सबसे सामान्य परिभाषा में सभी क्वांटम फ़ील्ड को दो भागों में विभाजित करना शामिल है (उदाहरण के लिए इवांस और स्टीयर 1996 देखें)
+सामान्य क्रम की सबसे सामान्य परिभाषा में सभी क्वांटम क्षेत्र को दो भागों (इस प्रकार से उदाहरण के लिए इवांस और स्टीयर 1996 देखें) <math>\phi_i(x)=\phi^+_i(x)+\phi^-_i(x)</math> में विभाजित करना सम्मिलित है। क्षेत्र के गुणनफल में, क्षेत्र को दो भागों में विभाजित किया जाता है और <math>\phi^+(x)</math> भागों को इस प्रकार स्थानांतरित किया जाता है कि वे सदैव सभी <math>\phi^-(x)</math> भागों के बाईं ओर रहें। लेख के शेष भाग में विचारित सामान्य स्थिति में, <math>\phi^+(x)</math> में मात्र निर्माण संक्रियक सम्मिलित होते हैं, जबकि <math>\phi^-(x)</math> में मात्र विलोपन संक्रियक होते हैं। चूँकि यह गणितीय तत्समक है, कोई भी व्यक्ति किसी भी प्रकार से क्षेत्र को विभाजित कर सकता है। यद्यपि, इसे एक उपयोगी प्रक्रिया बनाने के लिए यह मांग की जाती है कि क्षेत्र के किसी भी संयोजन के सामान्य क्रमित गुणनफल में शून्य अपेक्षा मान
-<math>\phi_i(x)=\phi^+_i(x)+\phi^-_i(x)</math>.
-फ़ील्ड के उत्पाद में, फ़ील्ड को दो भागों में विभाजित किया जाता है और <math>\phi^+(x)</math> भागों को इस तरह से स्थानांतरित किया जाता है कि वे हमेशा सभी के बाईं ओर रहें <math>\phi^-(x)</math> भागों. लेख के शेष भाग में विचारित सामान्य मामले में, <math>\phi^+(x)</math> इसमें केवल निर्माण ऑपरेटर शामिल हैं, जबकि <math>\phi^-(x)</math> इसमें केवल विनाश संचालक शामिल हैं। चूँकि यह गणितीय पहचान है, कोई भी व्यक्ति किसी भी तरह से फ़ील्ड को विभाजित कर सकता है। हालाँकि, इसे उपयोगी प्रक्रिया बनाने के लिए यह मांग की जाती है कि फ़ील्ड के किसी भी संयोजन के सामान्य ऑर्डर किए गए उत्पाद का अपेक्षित मूल्य शून्य हो
-:<math>\langle :\phi_1(x_1)\phi_2(x_2)\ldots\phi_n(x_n):\rangle=0</math>
+:<math>\langle :\phi_1(x_1)\phi_2(x_2)\ldots\phi_n(x_n):\rangle=0</math> हो।
-व्यावहारिक गणना के लिए यह भी महत्वपूर्ण है कि सभी कम्यूटेटर (फ़र्मोनिक क्षेत्रों के लिए एंटी-कम्यूटेटर) <math>\phi^+_i</math> और <math>\phi^-_j</math> सभी सी-नंबर हैं। इन दो गुणों का मतलब है कि हम विक के प्रमेय को सामान्य तरीके से लागू कर सकते हैं, फ़ील्ड के समय-क्रम वाले उत्पादों के अपेक्षित मूल्यों को सी-नंबर जोड़े, संकुचन के उत्पादों में बदल सकते हैं। इस सामान्यीकृत सेटिंग में, संकुचन को समय-ऑर्डर किए गए उत्पाद और फ़ील्ड की जोड़ी के सामान्य ऑर्डर किए गए उत्पाद के बीच अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है।
+व्यावहारिक गणना के लिए यह भी महत्वपूर्ण है कि सभी <math>\phi^+_i</math> और <math>\phi^-_j</math> के सभी दिक्परिवर्तक (फ़र्मोनिक क्षेत्रों के लिए प्रति-दिक्परिवर्तक) सभी c-संख्या हैं। इन दो गुणों का अर्थ है कि हम विक के प्रमेय को सामान्य विधि से लागू कर सकते हैं, क्षेत्र के समय-क्रम वाले गुणनफलों के अपेक्षित मानों को c-संख्या युग्म, संकुचन के गुणनफलों में परिवर्तन कर सकते हैं। इस सामान्यीकृत समायोजन में, संकुचन को समय-क्रमित गुणनफल और क्षेत्र के युग्मों के सामान्य क्रमित गुणनफल के बीच अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है।
-सबसे सरल उदाहरण [[थर्मल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] (इवांस और स्टीयर 1996) के संदर्भ में पाया जाता है। इस मामले में रुचि के अपेक्षित मूल्य सांख्यिकीय समूह हैं, सभी राज्यों पर भारित निशान  <math>\exp (-\beta \hat{H})</math>. उदाहरण के लिए, एकल बोसोनिक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए हमारे पास है कि संख्या ऑपरेटर का थर्मल अपेक्षा मूल्य केवल बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी | बोस-आइंस्टीन वितरण है
+सबसे सरल उदाहरण [[थर्मल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत|ऊष्मीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] (इवांस और स्टीयर 1996) के संदर्भ में पाया जाता है। इस स्थिति में रुचि के अपेक्षित मान सांख्यिकीय समूह हैं, सभी स्थितियों पर <math>\exp (-\beta \hat{H})</math> द्वारा भारित संकेत। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, एकल बोसोनिक क्वांटम प्रसंवादी दोलक के लिए हमारे निकट है कि संख्या संक्रियक का ऊष्मीय अपेक्षा मान मात्र बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी
 :<math>\langle\hat{b}^\dagger \hat{b}\rangle
   = \frac{\mathrm{Tr} (e^{-\beta \omega \hat{b}^\dagger \hat{b}} \hat{b}^\dagger \hat{b} )}{\mathrm{Tr} (e^{-\beta \omega \hat{b}^\dagger \hat{b} })}
   = \frac{1}{e^{\beta \omega}-1}
-</math>
+</math> है।
-तो यहाँ नंबर ऑपरेटर है <math>\hat{b}^\dagger \hat{b}</math> लेख के शेष भाग में प्रयुक्त सामान्य अर्थ में सामान्य क्रम दिया गया है, फिर भी इसके तापीय अपेक्षा मान शून्य नहीं हैं। विक के प्रमेय को लागू करना और इस थर्मल संदर्भ में सामान्य सामान्य क्रम के साथ गणना करना संभव है लेकिन कम्प्यूटेशनल रूप से अव्यावहारिक है। समाधान अलग क्रम को परिभाषित करना है, जैसे कि <math>\phi^+_i</math> और <math>\phi^-_j</math> मूल विनाश और सृजन संचालकों के रैखिक संयोजन हैं। संयोजनों को यह सुनिश्चित करने के लिए चुना जाता है कि सामान्य ऑर्डर किए गए उत्पादों का थर्मल अपेक्षा मूल्य हमेशा शून्य होता है, इसलिए चुना गया विभाजन तापमान पर निर्भर करेगा।
+तो यहाँ संख्या संक्रियक <math>\hat{b}^\dagger \hat{b}</math> को लेख के शेष भागों में उपयोग किए गए सामान्य अर्थों में सामान्य रूप से क्रमबद्ध किया गया है, फिर भी इसके तापीय अपेक्षा मान शून्य नहीं हैं। विक की प्रमेय को लागू करना और इस ऊष्मीय संदर्भ में सामान्य सामान्य क्रम के साथ गणना करना संभव है परंतु अभिकलनीयतः रूप से अव्यावहारिक है। हल एक अलग क्रम को परिभाषित करना है, जैसे कि <math>\phi^+_i</math> और <math>\phi^-_j</math> मूल विलोपन और निर्माण संक्रियकों के रैखिक संयोजन हैं। संयोजनों को यह सुनिश्चित करने के लिए चयनित किया जाता है कि सामान्य क्रमित गुणनफलों का ऊष्मीय अपेक्षा मान सदैव शून्य होता है, इसलिए चयनित किया गया विभाजन तापमान पर निर्भर करेगा।
 ==संदर्भ==
 {{Reflist}}
-* F. Mandl, G. Shaw, Quantum Field Theory, John Wiley & Sons, 1984.
+* एफ. मंडल, जी. शॉ, क्वांटम फील्ड थ्योरी, जॉन विले एंड संस, 1984।
-* S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields (Volume I) Cambridge University Press (1995)
+* एस. वेनबर्ग, द क्वांटम थ्योरी ऑफ़ फील्ड्स (खंड I) कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस (1995)
 * T.S. Evans, D.A. Steer, [https://arxiv.org/abs/hep-ph/9601268 Wick's theorem at finite temperature], Nucl. Phys B 474, 481-496 (1996) [https://arxiv.org/abs/hep-ph/9601268 arXiv:hep-ph/9601268]
@@ Line 267: / Line 258: @@
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बोसोन

एकल बोसॉन

उदाहरण

एकाधिक बोसॉन

उदाहरण

बोसोनिक संक्रियक फलन

फर्मिअन्स

एकल फर्मियन

उदाहरण

एकाधिक फर्मियन

उदाहरण

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में उपयोग

मुक्त क्षेत्र

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