ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स: Difference between revisions

Latest revision as of 23:37, 1 December 2022

रैखिक बीजगणित में, लंबकोणीय आव्यूह, या प्रसामान्य लंबकोणीय आव्यूह, एक वास्तविक वर्ग आव्यूह है, जिसके कॉलम और पंक्तियाँ प्रसामान्य लंबकोणीय सदिश होते है।

इसे व्यक्त करने का एक तरीका है

Q^{\mathrm {T} }Q=QQ^{\mathrm {T} }=I,

जहाँ पर

Q T

का स्थानान्तरण है

Q

तथा

I

तत्समक आव्यूह है।

आव्यूह Q लंबकोणीय है यदि इसका स्थान इसके व्युत्क्रम के बराबर है, तो यह समतुल्य निरूपण की ओर जाता है।

Q^{\mathrm {T} }=Q^{-1},

जहाँ पे

Q -1

,

Q

का व्युत्क्रम है।

लंबकोणीय आव्यूह Q आवश्यक रूप से व्युत्क्रमणीय होता है। ( $Q -1 = Q T$ ), एकल आव्यूह ( $Q -1 = Q *$ ), जहाँ पे $Q *$ का हर्मिटियन आसन्न संयुग्मी परिवर्त $Q$ , है, और इसलिए ( $Q * Q = QQ *$ ) वास्तविक संख्याओं पर सामान्य है। किसी भी लंबकोणीय आव्यूह का सारणिक +1 या -1 एक रैखिक परिवर्तन के रूप में, लंबकोणीय आव्यूह सदिश के आंतरिक परिणाम को संचय करता है, और इसलिए क्रमावर्तन समष्टि एक समान दूरी के रूप में कार्य करता है, जैसे क्रमावर्तन, प्रतिबिंब या रोटर प्रतिबिम्ब के रूप में होता है अर्थात दूसरे शब्दों में, कह सकते है यह एकल परिवर्तन है।

$n \times n$ लंबकोणीय आव्यूह का समुच्चय एक समूह $O(n)$ बनाता है, जिसे लंबकोणीय समूह के रूप में जाना जाता है। निर्धारक +1 के साथ लंबकोणीय आव्यूह वाले उपसमूह $SO(n)$ को लंबकोणीय समूह कहा जाता है, और इसके प्रत्येक तत्व एक विशेष लंबकोणीय आव्यूह होते हैं। और एक रैखिक परिवर्तन के रूप में, प्रत्येक लंबकोणीय आव्यूह एक क्रमावर्तन के रूप में कार्य करता है।

अवलोकन

लंबकोणीय आव्यूह में एकात्मक आव्यूह की वास्तविक विशेषता यह है कि इसके आव्यूह सदैव सामान्य होते है। यद्यपि हम यहां केवल वास्तविक आव्यूहों को ही देखते हैं, परंतु यदि किसी क्षेत्र से प्रविष्टियों के साथ आव्यूहों के लिए इस परिभाषा का प्रयोग किया जाता है। चूँकि, लंबकोणीय आव्यूह स्वाभाविक रूप से बिंदु उत्पादों से उत्पन्न होते हैं, और सम्मिश्र संख्या के आव्यूह के कारण एकात्मक के साथ आगे बढ़ते हैं। लंबकोणीय आव्यूह, बिंदु गुणनफल को संरक्षित करते हैं।^[1] इसलिए, $n$ -आयामी वास्तविक यूक्लिडियन दूरी में सदिश के लिए $u$ तथा $v$ होते है

{\mathbf {u} }\cdot {\mathbf {v} }=\left(Q{\mathbf {u} }\right)\cdot \left(Q{\mathbf {v} }\right)

जहाँ

Q

एक लंबकोणीय आव्यूह है। आंतरिक गुणनफल संबंधन को देखने के लिए, एक n आयामी वास्तविक यूक्लिडियन दूरी में एक सदिश

v

को देखते है। प्रसामान्य लंबकोणीय विश्लेषण के संबंध में लिखा हुआ है, कि

v

वर्ग की लंबाई

v T v

है। यदि आव्यूह रूप में एक रैखिक परिवर्तन,

Q v

होता है तो फिर ये सदिश लंबाई को संरक्षित करता है।

{\mathbf {v} }^{\mathrm {T} }{\mathbf {v} }=(Q{\mathbf {v} })^{\mathrm {T} }(Q{\mathbf {v} })={\mathbf {v} }^{\mathrm {T} }Q^{\mathrm {T} }Q{\mathbf {v} }.

इस प्रकार परिमित आयामी रैखिक सममिति क्रमावर्तन प्रतिबिंब और उनके संयोजन से लंबकोणीय आव्यूहों का निर्माण होता है। और इसका व्युत्क्रम भी सत्य है, लंबकोणीय आव्यूह का अर्थ लंबकोणीय रूपांतरण है। चूँकि, रैखिक बीजगणित में स्थानों के बीच लंबकोणीय परिवर्तन सम्मिलित होता है, ये न तो परिमित-आयामी हो सकते हैं और न ही समान आयाम के हो सकते हैं, और इनमें कोई लंबकोणीय आव्यूह समतुल्य नहीं होता है।

सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों कारणों से लंबकोणीय आव्यूह महत्वपूर्ण हैं। $n \times n$ लंबकोणीय आव्यूह, आव्यूह गुणन के तहत एक समूह का निर्माण करते हैं, जो $O(n)$ , लंबकोणीय समूह द्वारा दर्शाया गया है । जिसका प्रयोग व्यापक रूप से गणित और भौतिक विज्ञान में किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक अणु का बिंदु समूह O(3) का एक उपसमूह है। क्योंकि लंबकोणीय आव्यूह के चल बिंदु संस्करणों में लाभप्रद गुण होते हैं, वे संख्यात्मक रैखिक बीजगणित में कई कलन विधि के लिए महत्वपूर्ण होते हैं, जैसे क्यूआर ( QR) अपघटन । एक अन्य उदाहरण के रूप में, उपयुक्त सामान्यीकरण के साथ असतत कोज्या परिवर्तन एमपी3 संपीड़न में प्रयुक्त लंबकोणीय आव्यूह द्वारा दर्शाया गया है।

उदाहरण

नीचे छोटे लंबकोणीय आव्यूह और संभावित व्याख्याओं के कुछ उदाहरण दिए गए हैं।

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$ (तत्समक परिवर्तन)
${\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}$ (मूल के बारे में क्रमावर्तन)
${\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}}$ (एक्स-अक्ष पर प्रतिबिंब)
${\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}$ (समन्वय अक्षों का क्रमचय)

प्राथमिक निर्माण

निचला आयाम

सबसे सरल लंबकोणीय आव्यूह हैं 1 × 1 आव्यूह [1] और [−1], जिसे हम तत्समक के रूप में व्याख्या कर सकते हैं और मूल के आर-पार वास्तविक रेखा के प्रतिबिंब के रूप में व्याख्या कर सकते हैं। 2 × 2 आव्यूह का रूप है

{\begin{bmatrix}p&t\\q&u\end{bmatrix}},

कौन सी लांबिक मांग तीन समीकरणों को संतुष्ट करती है

{\begin{aligned}1&=p^{2}+t^{2},\\1&=q^{2}+u^{2},\\0&=pq+tu.\end{aligned}}

पहले समीकरण को ध्यान में रखते हुए, व्यापकता की क्षति के बिना

p = cos θ

,

q = sin θ

; तो कोई

t = - q

,

u = p

या

t = q

,

u = - p

. हम पहली स्थिति को क्रमावर्तन के रूप में व्याख्या कर सकते हैं

θ

(जहाँ पे

θ = 0

तत्समक है), और दूसरे कोण पर एक रेखा में प्रतिबिंब के रूप में

.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}θ/2

है।

{\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\text{ (rotation), }}\qquad {\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &-\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\text{ (reflection)}}

प्रतिबिंब आव्यूह का विशेष प्रकरण जिसमें

θ = 90°

से दी गई पंक्ति के बारे में y = x द्वारा दिए गए 45° कोण पर प्रतिबिंब बनता है, और इसलिए आदान-प्रदान

x

तथा

y

यह एक क्रमचय आव्यूह है, जिसमें प्रत्येक कॉलम और पंक्ति में एक 1 और अन्यथा 0 होता है।

{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}.

तत्समक एक क्रमचय आव्यूह है।

प्रतिबिंब का अपना प्रतिलोम होता है, जिसका अर्थ है कि प्रतिबिंब आव्यूह, इसके स्थानांतरण तथा लंबकोणीय के समान सममित होता है। दो क्रमावर्तन आव्यूह का उत्पाद एक क्रमावर्तन आव्यूह है, और दो प्रतिबिंब आव्यूह का उत्पाद भी एक क्रमावर्तन आव्यूह है।

उच्च आयाम

आयाम की बात किए बिना, लंबकोणीय आव्यूह को विशुद्ध रूप से घूर्णी या नहीं के रूप में वर्गीकृत करना सदैव आसान होता है, लेकिन 3 × 3 आव्यूहों के लिए और बड़ी संख्या में घूर्णन आव्यूह परावर्तनों की अपेक्षा अधिक कठिन हो सकते हैं। उदाहरण के लिए,

{\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}{\text{ and }}{\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}

मूल बिंदु और रोटोइनवर्जन के माध्यम से एक बिंदु से व्युत्क्रम का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो क्रमश, Z- अक्ष के बारे में।

उच्च आयामों में क्रमावर्तन अधिक कठिन हो जाते हैं क्योंकि उन्हें अब एक कोण से पूरी तरह से वर्गीकृत नहीं किया जा सकता, और एक से अधिक तल क्षेत्र को प्रभावित कर सकते हैं। यह अक्ष और कोण के संदर्भ में 3 × 3 क्रमावर्तन आव्यूह का वर्णन करने के लिए सामान्य बात है, लेकिन यह केवल तीन आयामों में काम करता है। तीन आयामों से ऊपर दो या दो से अधिक कोणों की आवश्यकता होती है, जिनमें से प्रत्येक क्रमावर्तन एक समतल से जुड़ा होता है।

चूँकि, हमारे पास सामान्य रूप से लागू होने वाले क्रम परिवर्तन, प्रतिबिंब और क्रमावर्तन के लिए प्राथमिक रचक अणु होते हैं।

प्राचीन

सबसे प्राथमिक क्रमचय एक स्थानान्तरण है, जो दो पंक्तियों का आदान-प्रदान करके तत्समक आव्यूह से प्राप्त किया जाता है। कोई $n \times n$ क्रमचय आव्यूह को इससे अधिक के उत्पाद के रूप में बनाया जा सकता है $n - 1$ स्थानान्तरण के रूप में है।

हाउसहोल्ड प्रतिबिंब को गैर-शून्य सदिश $v$ से बनाया गया है।

Q=I-2{\frac {{\mathbf {v} }{\mathbf {v} }^{\mathrm {T} }}{{\mathbf {v} }^{\mathrm {T} }{\mathbf {v} }}}.

यहाँ अंश एक सममित आव्यूह है। जबकि हर संख्या $v$ का वर्ग परिमाण है। यह $v$ के समानांतर किसी भी सदिश घटक को निष्फल के लिए अधिसमतल लंबवत में प्रतिबिंब के रूप में होता है। यदि $v$ इकाई सदिश है, तो $Q = I - 2 vv T$ पर्याप्त है। एक हाउसहोल्ड प्रतिबिंब का उपयोग सामान्तया एक कॉलम के निचले हिस्से को एक साथ शून्य करने के लिए किया जाता है। आकार n × n के किसी भी लंबकोणीय आव्यूह को अधिकतर $n$ के ऐसे प्रतिबिंबों के उत्पाद के रूप में बनाया जा सकता है।

दिया गया क्रमावर्तन दो आयामी तलीय पर कार्य करता है, जो कि चयनित कोण द्वारा घूमते हुए दो समन्वय अक्षों द्वारा विस्तरित उपक्षेत्र है। यह सामान्तया एकल उपविकर्ण प्रविष्टि को शून्य करने के लिए उपयोग किया जाता है। $n \times n$ आकार के किसी भी क्रमावर्तन आव्यूह को अधिकतर $n (n - 1) / 2$ जैसे क्रमावर्तन के उत्पाद के रूप में बनाया जा सकता है। 3 × 3 आव्यूह की स्थिति में, ऐसे तीन क्रमावर्तन पर्याप्त हैं, इस प्रकार हम सभी 3 × 3 क्रमावर्तन आव्यूह का वर्णन कर सकते हैं, चूँकि यूलर कोण कहे जाने वाले तीन कोणों के संदर्भ में अद्वितीय नहीं हैं।

जैकोबी क्रमावर्तन दिए गए क्रमावर्तन के रूप में समान है, लेकिन इसका उपयोग 2 × 2 सममित उपआव्यूह की उपविकर्णों की प्रविष्टियों को शून्य करने के लिए किया जाता है।

गुण

आव्यूह गुण

एक वास्तविक वर्ग लंबकोणीय आव्यूह होता है, और यदि इसके कॉलम सामान्य यूक्लिडियन दूरी $R n$ के लंबकोणीय आधार के रूप में होते है।, इस तरह की स्थिति सिर्फ़ इसकी पंक्तियाँ $R n$ .लंबकोणीय के साथ एक आव्यूह को समझने के लिए होती है। कि लंबकोणीय ( प्रसामान्य लंबकोणीय नहीं) कॉलम वाले आव्यूह को लंबकोणीय आव्यूह के रूप में जाना जाता है, लेकिन इस प्रकार के आव्यूहों की विशेष रूचि नहीं होती और उन्हें केवल किसी विशेष नाम से संतुष्ट नहीं होते हैं। $M T M = D$ , साथ $D$ एक विकर्ण आव्यूह होते है।

किसी भी लंबकोणीय आव्यूह का सारणिक +1 या -1 होता है। यह सारणिक के बारे में मूलभूत तथ्यों से है जैसा कि नीचे दिया गया है।

1=\det(I)=\det \left(Q^{\mathrm {T} }Q\right)=\det \left(Q^{\mathrm {T} }\right)\det(Q)={\bigl (}\det(Q){\bigr )}^{2}.

इसका विलोम सही नहीं है ±1 के सारणिक होने से लांबिक का कोई आश्वासन नहीं है, यहां तक कि लंबकोणीय कॉलम के साथ भी, जैसा कि निम्नलिखित प्रत्युत्तर उदाहरण द्वारा दिखाया गया है।

{\begin{bmatrix}2&0\\0&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}

क्रमचय आव्यूह के साथ सारणिक अंकित अंक से मेल खाता है, क्रमचय की समानता के रूप में +1 या-1 को सम या विषम किया जाना पंक्तियों का वैकल्पिक कार्य है।

सारणिक प्रतिबंध से मजबूत तथ्य यह है कि एक लंबकोणीय आव्यूह सदैव अभिलक्षणिक मान और अभिलक्षणिक सदिश के पूर्ण समुच्चय को प्रदर्शित करने के लिए जटिल संख्याओं पर विकर्ण आव्यूह होता है, जिनमें से सभी का जटिल निरपेक्ष मान 1 होना चाहिए।

समूह गुण

प्रत्येक लंबकोणीय आव्यूह का प्रतिलोम पुनः लंबकोणीय होता है, जैसा कि दो लंबकोणीय आव्यूह का आव्यूह उत्पाद होता है। यथार्थ में, सभी का समुच्चय $n \times n$ लंबकोणीय आव्यूह के सभी समूह एक्सीओम्स को संतुष्ट करते है। यह आयाम का एक कॉम्पैक्ट क्षेत्र लाई समूह $n (n - 1) / 2$ है, इसे लंबकोणीय समूह कहा जाता है और $O(n)$ द्वारा दर्शाया जाता है।

लंबकोणीय आव्यूह जिसका सारणिक +1 है, और सूचकांक 2 के SO(n) के पथ से जुड़े सामान्य उपसमूह का निर्माण करते है, इसके क्रमावर्तन का विशेष लंबकोणीय समूह SO(n) है। भागफल समूह . $O(n)/SO(n)$ के लिए तुल्याकारी है $O(1)$ , सारणिक के अनुसार +1 या −1 चुनने वाले प्रक्षेपण मानचित्र के साथ होते है । सारणिक-1 के साथ लंबकोणीय आव्यूह में तत्समक सम्मिलित नहीं होते है, और इसलिए एक उपसमूह नहीं बल्कि केवल सहसमुच्चय बनाते हैं, यह अलग से भी जुड़ा हुआ है। इस प्रकार प्रत्येक लंबकोणीय समूह के दो टुकड़े हो जाते हैं, और क्योंकि प्रक्षेपण मानचित्र पर विभाजन होता है, $SO(n)$ द्वारा $O(n)$ $O(1)$ का अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद है, व्यावहारिक संदर्भ में, एक तुलनीय कथन यह है कि क्रमावर्तन आव्यूह को लेकर किसी लंबकोणीय आव्यूह का निर्माण किया जा सकता है। संभवतः इसके किसी एक कॉलम को अस्वीकार कर बनाया जाता है, जैसा कि हमने देखा 2 × 2 आव्यूह में। यदि $n$ विषम है, तो सेमीडायरेक्ट उत्पाद वास्तव में समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद है, और किसी भी लंबकोणीय आव्यूह को क्रमावर्तन आव्यूह द्वारा और संभवतः इसके सभी कॉलम को अस्वीकार कर बनाया जा सकता है। यह सारणिक की गुण धर्म का अनुसरण करता है और यह एक कॉलम को अस्वीकार कर सारणिक को निषेध करता है, और इस प्रकार कॉलम की एक विषम (लेकिन सम नहीं) संख्या को अस्वीकार कर सारणिक को निषेध करता है।

अब विचार करें $(n + 1) \times (n + 1)$ लंबकोणीय आव्यूह जिसमें नीचे दाहिनी प्रविष्टि 1 के बराबर है। अंतिम कॉलम और अंतिम पंक्ति का शेष शून्य होना चाहिए, और ऐसे दो आव्यूह के उत्पाद का एक ही रूप है। शेष आव्यूह एक है $n \times n$ लंबकोणीय आव्यूह, इस प्रकार $O(n)$ का एक उपसमूह है $O(n + 1)$ (और सभी उच्च समूहों के)।

{\begin{bmatrix}&&&0\\&\mathrm {O} (n)&&\vdots \\&&&0\\0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}

चूंकि, हाउसहोल्डर आव्यूह के रूप में एक प्रारंभिक प्रतिबिंब किसी भी लंबकोणीय आव्यूह को बाधित कर सकता है, और इस तरह के प्रतिबिंबों की एक श्रृंखला किसी भी लंबकोणीय आव्यूह को तत्समक में ला सकती है, इस प्रकार एक लंबकोणीय समूहप्रतिबिंब समूह होता है। और अंतिम कॉलम किसी भी इकाई सदिश के लिए तय किया जा सकता है, और प्रत्येक विकल्प की एक अलग प्रति देता है

O(n)

में

O(n + 1)

सामान्तया

O(n + 1)

इकाई गोले के ऊपर एक फाइबर बंडल

S n

है और फाइबर के साथ

O(n)

.होते है।

इसी प्रकार, $SO(n)$ का एक उपसमूह है $SO(n + 1)$ , और किसी भी विशेष लंबकोणीय आव्यूह को एक समान प्रक्रिया का उपयोग करके सपाट क्रमावर्तन द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है। इसमें बंडल की संरचना बनी रहती है, $SO(n) ↪ SO(n + 1) \to S n$ . एक एकल घुमाव अंतिम कॉलम की पहली पंक्ति में एक शून्य उत्पन्न कर सकता है, और श्रृंखला $n - 1$ क्रमावर्तन एक n × n क्रमावर्तन आव्यूह के अंतिम कॉलम की अंतिम पंक्ति को छोड़कर सभी को शून्य कर देगा। चूंकि समतल स्थिर होते हैं, इसलिए प्रत्येक क्रमावर्तन में केवल एक कोटि की स्वतंत्रता होती है, इसलिए प्रेरण में इसका कोण $SO(n)$ होता है।

(n-1)+(n-2)+\cdots +1={\frac {n(n-1)}{2}}

इसी तरह O(n) स्वतंत्रता की कोटि के रूप में कार्य.करता है।

क्रमचय आव्यूह अभी भी सरल हैं, वे लाई समूह नहीं, बल्कि केवल एक परिमित समूह बनाते हैं, क्रम फैक्टोरियल $n!$ सममित समूह $S n$ . इसी युक्ति से, $S n$ का एक उपसमूह है $S n + 1$ . सम क्रम परिवर्तन सारणिक +1 के क्रमचय आव्यूह के उपसमूह की उत्पत्ति,करते हैं, क्रम $n! / 2$ वैकल्पिक समूह के होते है।

विहित रूप

सामान्तया, किसी भी लंबकोणीय आव्यूह का प्रभाव लंबकोणीय द्वि-आयामी उप-क्षेत्रों पर स्वतंत्र क्रियाओं को अलग करता है। अर्थात, यदि Q लंबकोणीय है तो एक को सदैव लंबकोणीय आव्यूह $P$ , आधार का घूर्णी परिवर्तन मिल जाता है, जो Q को आव्यूह के विकर्ण के रूप में लाता है।

P^{\mathrm {T} }QP={\begin{bmatrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{bmatrix}}\ (n{\text{ even}}),\ P^{\mathrm {T} }QP={\begin{bmatrix}R_{1}&&&\\&\ddots &&\\&&R_{k}&\\&&&1\end{bmatrix}}\ (n{\text{ odd}}).

जहां आव्यूह

R 1, ..., R k

2 × 2 क्रमावर्तन आव्यूह हैं, और शेष प्रविष्टियों के साथ शून्य असाधारण रूप से, एक क्रमावर्तन आव्यूह के विकर्ण हो सकते है,

\pm I

. इस प्रकार, यदि आवश्यक हो तो एक कॉलम को अस्वीकारना और यह ध्यान रखना कि एक 2 × 2 प्रतिबिंब +1 और -1 के लिए आव्यूह के विकर्ण है, और किसी भी लंबकोणीय आव्यूह को क्रमबद्ध किया जा सकता है।

P^{\mathrm {T} }QP={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}},

आव्यूह

R 1, ..., R k

सम्मिश्र संख्या में इकाई वृत्त पर स्थित अभिलक्षणिक मान के संयुग्म को जोड़े देते हैं, इसलिए यह अपघटन को पुष्टि करता है कि सभी अभिलक्षणिक मान और अभिलक्षणिक सदिश का पूर्ण मान 1 है। यदि

n

विषम है, कम से कम एक वास्तविक अभिलक्षणिक मान है, +1 या -1, एक के लिए 3 × 3 क्रमावर्तन, +1 से जुड़ा अभिलक्षणिक सदिश क्रमावर्तन अक्ष का है।

लेट बीजगणित

मान लीजिए की प्रविष्टियाँ $Q$ के अलग-अलग कार्य हैं $t$ , और कि $t = 0$ देता है $Q = I$ . लंबकोणीयिटी की स्थिति को अलग करता है।

Q^{\mathrm {T} }Q=I

प्रतिफल

{\dot {Q}}^{\mathrm {T} }Q+Q^{\mathrm {T} }{\dot {Q}}=0

पर मूल्यांकन

t = 0

(

Q = I

) तो तात्पर्य है

{\dot {Q}}^{\mathrm {T} }=-{\dot {Q}}.

लाई(lie) समूह के शब्दों में, इसका मतलब है कि एक लंबकोणीय आव्यूह समूह के लाई बीजगणित में तिरछा-सममित आव्यूह होता है। और दूसरी दिशा में जा रहे हैं, किसी भी तिरछा-सममित आव्यूह का आव्यूह घातीय लंबकोणीय आव्यूह है (वास्तव में, विशेष लंबकोणीय है)।

उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी वस्तु भौतिकी कहती है कि कोणीय वेग एक विभेदक क्रमावर्तन है, इस प्रकार लाई बीजगणित में एक सदिश है ${\mathfrak {so}}(3)$ स्पर्शरेखा $SO(3)$ . दी गयी है $ω = (xθ, yθ, zθ)$ , साथ $v = (x, y, z)$ एक इकाई सदिश होने के नाते, $ω$ का सही तिरछा-सममित आव्यूह रूप है।

\Omega ={\begin{bmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{bmatrix}}.

इसका घातांक अक्ष के चारों ओर घूमने के लिए लंबकोणीय आव्यूह है

v

कोण से

θ

, स्थापना

c = cos θ / 2

,

s = sin θ / 2

है।

\exp(\Omega )={\begin{bmatrix}1-2s^{2}+2x^{2}s^{2}&2xys^{2}-2zsc&2xzs^{2}+2ysc\\2xys^{2}+2zsc&1-2s^{2}+2y^{2}s^{2}&2yzs^{2}-2xsc\\2xzs^{2}-2ysc&2yzs^{2}+2xsc&1-2s^{2}+2z^{2}s^{2}\end{bmatrix}}.

संख्यात्मक रैखिक बीजगणित

लाभ

संख्यात्मक विश्लेषण संख्यात्मक रैखिक स्वाभाविक रूप से बीजगणित के लिए लंबकोणीय आव्यूह के गुणों के लिए लाभ उत्पन्न करते हैं। उदाहरण के लिए, किसी स्थान के लिए प्रसामान्य लंबकोणीय आधार, या आधारों के लंबकोणीय परिवर्तन की गणना करना सदैव कठिन होता है, दोनों लंबकोणीय आव्यूह का रूप लेते हैं। सारणिक±1 और परिमाण 1 के सभी अभिलक्षणिक मान संख्यात्मक स्थिरता के लिए बहुत लाभ का है। एक निहितार्थ यह है कि स्थिति संख्या 1 जो न्यूनतम है, इसलिए लंबकोणीय आव्यूह के साथ गुणा करते समय त्रुटियों को बढ़ाया नहीं जाता है। कई कलन विधि लंबकोणीय आव्यूहों जैसे हाउसहोल्डर प्रतिबिंब का उपयोग करते हैं तथा इस कारण से दिए गए क्रमावर्तन का प्रयोग करते हैं। यह भी सहायक है कि न केवल लंबकोणीय आव्यूह वर्तनीय है बल्कि इसका प्रतिलोम सूचकांकों के विनिमय द्वारा अनिवार्य रूप से मुक्त भी है।

कई कलन विधि की सफलता के लिए क्रमपरिवर्तन आवश्यक हैं, जिसमें अधिक परिश्रमी व्यक्ति गौसी उन्मूलन के साथ आशिक धुरी सम्मिलित होती है (जहां क्रमपरिवर्तन धुरी का काम करते हैं)। चूँकि, वे शायद ही कभी स्पष्ट रूप से आव्यूह के रूप में प्रकट होते हैं, उनका विशेष रूप अधिक कुशल प्रतिनिधित्व की अनुमति देता है, जैसे कि की सूची $n$ सूचकांक में है।

इसी तरह, हाउसहोल्डर और दिए गए आव्यूह का उपयोग करने वाले कलन विधि अधिकांशता गुणन और संचयन के विशेष तरीकों का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, दिया गया क्रमावर्तन एक आव्यूह की दो पंक्तियों को प्रभावित करता है जो इसे गुणन करता है, और n³ क्रम के पूर्ण गुणन को और अधिक कुशल $n$ क्रम में बदल देता है। जब इन प्रतिबिंबों और क्रमावर्तन का उपयोग आव्यूह में शून्य का तत्समक करता है, तो समष्टि परिवर्तन को पुन: उत्पन्न करने के लिए पर्याप्त आँकड़े संचय करने के लिए पर्याप्त है, और यह बहुत ही तेजी से किया जा सके। स्टीवर्ट के बाद (1976) में, हम एक क्रमावर्तन कोण को संचय नहीं करते हैं, जो महंगा भी है और बुरा भी।

अपघटन

कई महत्वपूर्ण आव्यूह अपघटन (Golub & Van Loan 1996) विशेष रूप से लंबकोणीय आव्यूह में सम्मिलित है।

$QR$ अपघटन,

$M = QR$ , $Q$ लंबकोणीय, $R$ ऊपरी त्रिकोणीय

विलक्षण मान अपघटन: $M = U Σ V T$ , $U$ तथा $V$ लंबकोणीय, $Σ$ विकर्ण आव्यूह
आव्यूह का अभिलक्षणिक अपघटन ( वर्णक्रमीय प्रमेय के अनुसार अपघटन): $S = Q Λ Q T$ , $S$ सममित, $Q$ लंबकोणीय, $Λ$ विकर्ण
ध्रुवीय अपघटन: $M = QS$ , $Q$ लंबकोणीय, $S$ सममित सकारात्मक-अर्धपरिमित

उदाहरण

रैखिक समीकरणों की एक अतिनिर्धारित प्रणाली पर बातचीत करने पर, जैसा कि प्रयोगात्मक त्रुटियों की क्षतिपूर्ति के लिए भौतिक घटना के बार-बार परीक्षण से होता है। लिखे $A x = b$ , जहाँ पे $A$ है $m \times n$ , $m > n$ . ए $QR$ अपघटन कम हो जाता है। $A$ ऊपरी त्रिकोणीय के लिए $R$ . उदाहरण के लिए, यदि $A$ 5 × 3 है जो $R$ रूप में है।

R={\begin{bmatrix}\cdot &\cdot &\cdot \\0&\cdot &\cdot \\0&0&\cdot \\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.

रैखिक कम से कम वर्ग गणित समस्या x को खोजने के लिए है जो ||Ax - b|| को छोटा करता है जो A के कॉलम द्वारा $मानदंड 'ए' 'एक्स' - 'बी'$ फैलाए गए उप-स्थान पर $b$ को प्रोजेक्ट करने के बराबर है। $A$ (और इसलिए $R$ ) के कॉलम को स्वतंत्र मानते हुए, प्रक्षेपण समाधान $A T A x = A T b$ से मिलता है। अब ( $n \times n$ ) और व्युत्क्रम है, और $R T R$ के बराबर भी है। लेकिन $R$ में शून्य की निचली पंक्तियाँ उत्पाद में ज़रूरत से ज़्यादा हैं, जो इस प्रकार पहले से ही निचले-त्रिकोणीय ऊपरी-त्रिकोणीय तथ्यात्मक रूप में है, जैसा कि गाऊसी उन्मूलन (चोल्स्की अपघटन) में है। यहाँ रूढ़िवादिता न केवल $A T A = (R T Q T) QR$ में कम करने के लिए महत्वपूर्ण है, लेकिन यह संख्यात्मक समस्याओं को बढ़ाए बिना समाधान की अनुमति देने के लिए भी है।

एक रैखिक प्रणाली की स्थिति जो अनिश्चित है, या अन्यथा अपरिवर्तनीय आव्यूह का विलक्षण मान अपघटन (एसवीडी) समान रूप से उपयोगी है। साथ $A$ के रूप में कारक $U Σ V T$ , संतोषजनक समाधान मूर-पेनरोज़ का उपयोग करता है, $V Σ + U T$ , जहाँ पे $Σ +$ केवल प्रत्येक गैर-शून्य विकर्ण प्रविष्टि को उसके व्युत्क्रम से प्रतिस्थापित करता है। समूह $x$ प्रति $V Σ + U T b$ .

व्युत्क्रम आव्यूह की घटना भी महत्व रखती है। उदाहरण के लिए मान लीजिए, कि $A$ एक 3 × 3 क्रमावर्तन आव्यूह जिसकी गणना कई घुमाव और टर्न की संरचना के रूप में की गई है। चल बिंदु वास्तविक संख्याओं के गणितीय आदर्श से मेल नहीं खाते है, इसलिए $A$ धीरे-धीरे अपनी वास्तविक रूढ़िवादिता को खो दिया है। एक ग्राम-श्मिट प्रक्रिया कॉलम को लंबकोणीयाइज़ेशन कर सकती है, लेकिन यह सबसे विश्वसनीय नहीं है, और न ही सबसे कुशल, और न ही सबसे अपरिवर्तनीय विधि है।ध्रुवीय विघटन के कारण युग्म में एक आव्यूह होता है, जिनमें से एक दिए गए आव्यूह के लिए अद्वितीय निकटतम लंबकोणीय आव्यूह होता है, या दिए गए आव्यूह एकवचन है तो निकटतम में से एक होता है। निकटता को आधार के लंबकोणीय परिवर्तन के तहत किसी भी आव्यूह मानदंड अपरिवर्तनीय द्वारा मापा जा सकता है, जैसे वर्णक्रमीय मानदंड या फ्रोबेनियस मानदंड, निकट-लंबकोणीय आव्यूह के लिए, लंबकोणीय कारक के लिए तेजी से अभिसरण न्यूटन की विधि द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। हिघम (1986) (1990), आव्यूह को बार-बार इसके व्युत्क्रम स्थानांतरण के साथ औसत करता है। Dubrulle (1999) एक सुविधाजनक अभिसरण परीक्षण के साथ एक त्वरित विधि प्रकाशित की है।

उदाहरण के लिए, एक गैर-लंबकोणीय आव्यूह पर विचार करें जिसके लिए साधारण औसत कलन विधि सात चरण लेती है।

{\begin{bmatrix}3&1\\7&5\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1.8125&0.0625\\3.4375&2.6875\end{bmatrix}}\rightarrow \cdots \rightarrow {\begin{bmatrix}0.8&-0.6\\0.6&0.8\end{bmatrix}}

और कौन सा त्वरण दो चरणों में कम हो जाता है (साथ में

γ

= 0.353553, 0.565685).

{\begin{bmatrix}3&1\\7&5\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1.41421&-1.06066\\1.06066&1.41421\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}0.8&-0.6\\0.6&0.8\end{bmatrix}}

ग्राम-श्मिट न्यूनतम 8.12404 के बजाय 8.28659 की फ्रोबेनियस दूरी द्वारा दिखाए गए एक अवर समाधान का उत्पादन करता है।

{\begin{bmatrix}3&1\\7&5\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}0.393919&-0.919145\\0.919145&0.393919\end{bmatrix}}

यादृच्छिकीकरण

कुछ संख्यात्मक अनुप्रयोग, जैसे कि मोंटे कार्लो विधि और उच्च-आयामी आँकड़े दूरी की खोज के लिए, समान रूप से वितरित यादृच्छिक लंबकोणीय आव्यूह की उत्पति की आवश्यकता होती है। इस संदर्भ में, हार (haar) माप के संदर्भ में एकसार को परिभाषित किया गया है, जो अनिवार्य रूप से आवश्यक है कि किसी भी स्वतंत्र रूप से चुने गए लंबकोणीय आव्यूह द्वारा गुणा किए जाने पर वितरण में परिवर्तन न हो। सांख्यिकीय स्वतंत्रता के साथ लंबकोणीयाइज़िंग आव्यूह समान रूप से वितरित यादृच्छिक प्रविष्टियाँ समान रूप से वितरित लंबकोणीय आव्यूह में परिणाम नहीं देती हैं^{[citation needed]}, लेकिन $QR$ अपघटन स्वतंत्र सामान्य वितरण का अपघटन यादृच्छिक प्रविष्टि करता है, जब तक R के विकर्ण में केवल धनात्मक प्रविष्टियाँ सम्मिलित होती हैं (मेजादरी 2006 ), (स्टीवर्ट 1980) इसे एक अधिक कुशल विचार के साथ बदल दिया (डायकोनिस और शाहशाहनी 1987) बाद में उपसमूह कलन विधि के रूप में सामान्यीकृत किया गया इस रूप में यह क्रमचय और क्रमावर्तन के लिए भी काम करता है। एक $(n + 1) \times (n + 1)$ लंबकोणीय आव्यूह उत्पन्न करने के लिए, $n \times n$ एक और आयाम एक समान रूप से वितरित इकाई सदिश n + 1 से हाउसहोल्ड प्रतिबिम्ब बनाते है, फिर इसे छोटे आव्यूह पर लागू करते है। नीचे दाएं कोने में 1 के साथ बड़े आकार में सन्निहित किया गया।

कुछ संख्यात्मक अनुप्रयोगों, जैसे कि मोंटे कार्लो विधि और उच्च-आयामी आंकड़े स्थानों के अन्वेषण के लिए समान रूप से वितरित यादृच्छिक आव्यूह के उत्पादन की आवश्यकता होती है।

निकटतम लंबकोणीय आव्यूह

दिए गए आव्यूह M के निकटतम लंबकोणीय आव्यूह का Q से जुड़ी समस्या का मान ज्ञात करने के लिए उपयुक्त लंबकोणीय प्रोक्रस्ट्स इसकी समस्या से संबंधित है। अद्वितीय समाधान प्राप्त करने के कई अलग-अलग तरीके हैं, जिनमें से सबसे सरल विशिष्ट मूल्य $M$ अपघटन को प्राप्त कर विशिष्ट मूल्यों को एक साथ बदल देते हैं। एक अन्य विधि $R$ स्पष्ट रूप से व्यक्त करती है। लेकिन आव्यूह वर्गमूल के उपयोग की आवश्यकता होती है।^[2]

Q=M\left(M^{\mathrm {T} }M\right)^{-{\frac {1}{2}}}

यह पुनरावृत्ति देने के लिए एक आव्यूह का वर्गमूल निकालने के लिए बेबीलोनियन विधि के साथ जोड़ा जा सकता है जो एक लंबकोणीय आव्यूह को द्विघात रूप से अभिसरण करता है।

Q_{n+1}=2M\left(Q_{n}^{-1}M+M^{\mathrm {T} }Q_{n}\right)^{-1}

जहाँ पे

Q 0 = M

.

ये पुनरावृत्तियां स्थिर हैं बशर्ते की स्थिति संख्या $M$ तीन से कम है।^[3] व्युत्क्रम के प्रथम-क्रम के सन्निकटन का उपयोग करना और उसी आरंभीकरण के परिणामस्वरूप संशोधित पुनरावृत्ति होती है।

N_{n}=Q_{n}^{\mathrm {T} }Q_{n}

P_{n}={\frac {1}{2}}Q_{n}N_{n}

Q_{n+1}=2Q_{n}+P_{n}N_{n}-3P_{n}

स्पिन और पिन

एक सूक्ष्म तकनीकी समस्या लंबकोणीय आव्यूह के कुछ उपयोगों को प्रभावित करती है। सारणिक +1 और -1 वाले समूह घटक एक दूसरे से न केवल जुड़े नहीं हैं, यहां तक कि +1 घटक भी, $SO(n)$ , केवल जुड़ा हुआ स्थान नहीं है, SO(1) को छोड़कर, जो तुच्छ है। इस प्रकार यह कभी कभी लाभप्रद होता है, या इसके लिए एक आवरण समूह SO(n) के साथ काम करना आवश्यक होता है, स्पिन समूह, $Spin(n)$ . वैसे ही, $O(n)$ आवरण ग्रुप में,पिन समूह ,होते हैं। पिन(n) के लिये $n > 2$ , स्पिन एन $Spin(n)$ बस जुड़ा हुआ है और इस प्रकार के लिए विशवव्यापी आवरण समूह $SO(n)$ . हैं। स्पिन समूह का अब तक का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण है $Spin(3)$ , जो और कुछ नहीं $SU(2)$ , या इकाई चतुष्कोणों का समूह हैं।

पिन और स्पिन समूह क्लिफोर्ड बीजगणित के भीतर पाए जाते हैं, जो स्वयं लंबकोणीय आव्यूह से बनाए जा सकते हैं।

आयताकार आव्यूह

यदि $Q$ एक वर्ग आव्यूह नहीं है, तब स्थितियाँ $Q T Q = I$ तथा $QQ T = I$ समकक्ष नहीं हैं। स्थिति $Q T Q = I$ के अनुसार Q के लम्बवत कॉलम हैं। यह तभी हो सकता है जब $Q$ एक $m \times n$ रैखिक निर्भरता के कारण $n \leq m$ के साथ आव्यूह है। इसी प्रकार, $QQ T = I$ , $Q$ की पंक्तियां लंबकोणीय जिसके लिए हैं, $n \geq m$ .की आवश्यकता है।

इन आव्यूह के लिए कोई मानक शब्दावली नहीं है। इन्हे विभिन्न प्रकार से अर्ध-लंबकोणीय आव्यूह कहा जाता है, प्रसामान्य लंबकोणीय आव्यूह, लंबकोणीय आव्यूह, और कभी कभी सिर्फ लंबकोणीय पंक्ति कॉलम के साथ आव्यूह होता है।

इन स्थिति के लिए $n \leq m$ , प्रसामान्य लंबकोणीय कॉलम वाले आव्यूह को लंबकोणीय k- फ्रेम के रूप में संदर्भित किया जाता है| और ये स्टिफेल मैनिफोल्ड के तत्व हैं।

यह भी देखें

बायोर्थोगोनल प्रणाली

↑ "Paul's online math notes"^{[full citation needed]}, Paul Dawkins, Lamar University, 2008. Theorem 3(c)
↑ "Finding the Nearest Orthonormal Matrix", Berthold K.P. Horn, MIT.
↑ "Newton's Method for the Matrix Square Root" Archived 2011-09-29 at the Wayback Machine, Nicholas J. Higham, Mathematics of Computation, Volume 46, Number 174, 1986.

संदर्भ

Diaconis, Persi; Shahshahani, Mehrdad (1987), "The subgroup algorithm for generating uniform random variables", Probability in the Engineering and Informational Sciences, 1: 15–32, doi:10.1017/S0269964800000255, ISSN 0269-9648, S2CID 122752374
Dubrulle, Augustin A. (1999), "An Optimum Iteration for the Matrix Polar Decomposition", Electronic Transactions on Numerical Analysis, 8: 21–25
Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3/e ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9
Higham, Nicholas (1986), "Computing the Polar Decomposition—with Applications" (PDF), SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 7 (4): 1160–1174, doi:10.1137/0907079, ISSN 0196-5204
Higham, Nicholas; Schreiber, Robert (July 1990), "Fast polar decomposition of an arbitrary matrix", SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 11 (4): 648–655, CiteSeerX 10.1.1.230.4322, doi:10.1137/0911038, ISSN 0196-5204, S2CID 14268409 [1]
Stewart, G. W. (1976), "The Economical Storage of Plane Rotations", Numerische Mathematik, 25 (2): 137–138, doi:10.1007/BF01462266, ISSN 0029-599X, S2CID 120372682
Stewart, G. W. (1980), "The Efficient Generation of Random Orthogonal Matrices with an Application to Condition Estimators", SIAM Journal on Numerical Analysis, 17 (3): 403–409, Bibcode:1980SJNA...17..403S, doi:10.1137/0717034, ISSN 0036-1429
Mezzadri, Francesco (2006), "How to generate random matrices from the classical compact groups", Notices of the American Mathematical Society, 54, arXiv:math-ph/0609050, Bibcode:2006math.ph...9050M

बाहरी संबंध

"Orthogonal matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Tutorial and Interactive Program on Orthogonal Matrix

[1] "Paul's online math notes"^{[full citation needed]}, Paul Dawkins, Lamar University, 2008. Theorem 3(c)

[2] "Finding the Nearest Orthonormal Matrix", Berthold K.P. Horn, MIT.

[3] "Newton's Method for the Matrix Square Root" Archived 2011-09-29 at the Wayback Machine, Nicholas J. Higham, Mathematics of Computation, Volume 46, Number 174, 1986.

[1]

[2]

[3]

v t e Matrix classes
Explicitly constrained entries	Alternant Anti-diagonal Anti-Hermitian Anti-symmetric Arrowhead Band Bidiagonal Bisymmetric Block-diagonal Block Block tridiagonal Boolean Cauchy Centrosymmetric Conference Complex Hadamard Copositive Diagonally dominant Diagonal Discrete Fourier Transform Elementary Equivalent Frobenius Generalized permutation Hadamard Hankel Hermitian Hessenberg Hollow Integer Logical Matrix unit Metzler Moore Nonnegative Pentadiagonal Permutation Persymmetric Polynomial Quaternionic Signature Skew-Hermitian Skew-symmetric Skyline Sparse Sylvester Symmetric Toeplitz Triangular Tridiagonal Vandermonde Walsh Z
Constant	Exchange Hilbert Identity Lehmer Of ones Pascal Pauli Redheffer Shift Zero
Conditions on eigenvalues or eigenvectors	Companion Convergent Defective Definite Diagonalizable Hurwitz Positive-definite Stieltjes
Satisfying conditions on products or inverses	Congruent Idempotent or Projection Invertible Involutory Nilpotent Normal Orthogonal Unimodular Unipotent Unitary Totally unimodular Weighing
With specific applications	Adjugate Alternating sign Augmented Bézout Carleman Cartan Circulant Cofactor Commutation Confusion Coxeter Distance Duplication and elimination Euclidean distance Fundamental (linear differential equation) Generator Gram Hessian Householder Jacobian Moment Payoff Pick Random Rotation Seifert Shear Similarity Symplectic Totally positive Transformation
Used in statistics	Centering Correlation Covariance Design Doubly stochastic Fisher information Hat Precision Stochastic Transition
Used in graph theory	Adjacency Biadjacency Degree Edmonds Incidence Laplacian Seidel adjacency Tutte
Used in science and engineering	Cabibbo–Kobayashi–Maskawa Density Fundamental (computer vision) Fuzzy associative Gamma Gell-Mann Hamiltonian Irregular Overlap S State transition Substitution Z (chemistry)
Related terms	Jordan normal form Linear independence Matrix exponential Matrix representation of conic sections Perfect matrix Pseudoinverse Row echelon form Wronskian
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अवलोकन

उदाहरण

प्राथमिक निर्माण

निचला आयाम

उच्च आयाम

प्राचीन

गुण

आव्यूह गुण

समूह गुण

विहित रूप

लेट बीजगणित

संख्यात्मक रैखिक बीजगणित

लाभ

अपघटन

उदाहरण

यादृच्छिकीकरण

निकटतम लंबकोणीय आव्यूह

स्पिन और पिन

आयताकार आव्यूह

यह भी देखें

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संदर्भ

बाहरी संबंध

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Real square matrix whose columns and rows are orthogonal unit vectors}}
-{{for|matrices with orthogonality over the [[complex number]] field|unitary matrix}}
+{{for|सम्मिश्र संख्या क्षेत्र पर लंबकोणीयता के साथ आव्यूह | एकल आव्यूह }}
-रैखिक बीजगणित में, एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स, या ऑर्थोनॉर्मल मैट्रिक्स, एक वास्तविक [[ स्क्वायर मैट्रिक्स ]] है, जिसके कॉलम और पंक्तियाँ [[ ऑर्थोनॉर्मलिटी ]] [[ वेक्टर (गणित और भौतिकी) ]] हैं।
+रैखिक बीजगणित में, लंबकोणीय आव्यूह, या प्रसामान्य लंबकोणीय आव्यूह, एक वास्तविक [[ स्क्वायर मैट्रिक्स |वर्ग आव्यूह]] है, जिसके कॉलम और पंक्तियाँ  [[ ऑर्थोनॉर्मलिटी |प्रसामान्य लंबकोणीय]] [[ वेक्टर (गणित और भौतिकी) |सदिश]] होते है।
-इसे व्यक्त करने का एक तरीका है
+इसे व्यक्त करने का एक तरीका है<math display="block">Q^\mathrm{T} Q = Q Q^\mathrm{T} = I,</math>जहाँ पर {{math|''Q''<sup>T</sup>}} का स्थानान्तरण है {{mvar|Q}} तथा {{mvar|I}} [[ पहचान मैट्रिक्स |तत्समक आव्यूह]] है।
-<math display="block">Q^\mathrm{T} Q = Q Q^\mathrm{T} = I,</math>
-कहाँ पे {{math|''Q''<sup>T</sup>}} का स्थानान्तरण है {{mvar|Q}} तथा {{mvar|I}} [[ पहचान मैट्रिक्स ]] है।
-यह समान लक्षण वर्णन की ओर जाता है: एक मैट्रिक्स {{mvar|Q}} ऑर्थोगोनल है यदि इसका स्थानान्तरण इसके व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स के बराबर है:
+आव्यूह Q लंबकोणीय है यदि इसका स्थान इसके व्युत्क्रम के बराबर है, तो यह समतुल्य निरूपण की ओर जाता है।
-<math display="block">Q^\mathrm{T}=Q^{-1},</math>
-कहाँ पे {{math|''Q''<sup>−1</sup>}} का विलोम है {{mvar|Q}}.
-एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स {{mvar|Q}} अनिवार्य रूप से उलटा है (उलटा के साथ {{math|1=''Q''<sup>−1</sup> = ''Q''<sup>T</sup>}}), [[ एकात्मक मैट्रिक्स ]] ({{math|1=''Q''<sup>−1</sup> = ''Q''<sup>∗</sup>}}), कहाँ पे {{math|1=''Q''<sup>∗</sup>}} का हर्मिटियन आसन्न (संयुग्मी स्थानांतरण) है {{mvar|Q}}, और इसलिए [[ सामान्य मैट्रिक्स ]] ({{math|1=''Q''<sup>∗</sup>''Q'' = ''QQ''<sup>∗</sup>}}) [[ वास्तविक संख्या ]]ओं पर। किसी भी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का निर्धारक या तो +1 या -1 है। एक रेखीय मानचित्र के रूप में, एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स वैक्टर के आंतरिक उत्पाद को संरक्षित करता है, और इसलिए [[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष ]] की एक [[ आइसोमेट्री ]] के रूप में कार्य करता है, जैसे [[ रोटेशन (गणित) ]], [[ प्रतिबिंब (गणित) ]] या अनुचित रोटेशन। दूसरे शब्दों में, यह एक [[ एकात्मक परिवर्तन ]] है।
+<math display="block">Q^\mathrm{T}=Q^{-1},</math>जहाँ पे {{math|''Q''<sup>−1</sup>}}, {{mvar|Q}} का व्युत्क्रम है।
-के समुच्चय {{math|''n'' × ''n''}} ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस एक [[ समूह (गणित) ]] बनाता है, {{math|O(''n'')}}, ऑर्थोगोनल समूह के रूप में जाना जाता है। [[ उपसमूह ]] {{math|SO(''n'')}} सारणिक +1 के साथ ओर्थोगोनल मैट्रिसेस से मिलकर बना ऑर्थोगोनल समूह कहलाता है, और इसका प्रत्येक तत्व एक विशेष ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है। एक रैखिक परिवर्तन के रूप में, प्रत्येक विशेष ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स रोटेशन के रूप में कार्य करता है।
+लंबकोणीय आव्यूह Q आवश्यक रूप से व्युत्क्रमणीय होता है। ({{math|1=''Q''<sup>−1</sup> = ''Q''<sup>T</sup>}}), [[ एकात्मक मैट्रिक्स |एकल आव्यूह]] ({{math|1=''Q''<sup>−1</sup> = ''Q''<sup>∗</sup>}}), जहाँ पे {{math|1=''Q''<sup>∗</sup>}} का हर्मिटियन आसन्न संयुग्मी परिवर्त {{mvar|Q}}, है, और इसलिए ({{math|1=''Q''<sup>∗</sup>''Q'' = ''QQ''<sup>∗</sup>}}) [[ वास्तविक संख्या | वास्तविक संख्याओं पर सामान्य]] है। किसी भी लंबकोणीय आव्यूह का सारणिक +1 या -1 एक रैखिक परिवर्तन के रूप में, लंबकोणीय आव्यूह सदिश के आंतरिक परिणाम को संचय करता है, और इसलिए [[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष |क्रमावर्तन समष्टि]] एक [[ आइसोमेट्री |समान दूरी]] के रूप में कार्य करता है, जैसे [[ रोटेशन (गणित) |क्रमावर्तन]], [[ प्रतिबिंब (गणित) |प्रतिबिंब]] या रोटर प्रतिबिम्ब के रूप में होता है अर्थात दूसरे शब्दों में, कह सकते है यह [[ एकात्मक परिवर्तन |एकल परिवर्तन]] है।
-== सिंहावलोकन ==
+{{math|''n'' × ''n''}} लंबकोणीय आव्यूह का समुच्चय एक समूह {{math|O(''n'')}} बनाता है, जिसे लंबकोणीय समूह के रूप में जाना जाता है। निर्धारक +1 के साथ लंबकोणीय आव्यूह वाले [[उपसमूह]]  {{math|SO(''n'')}} को लंबकोणीय समूह कहा जाता है, और इसके प्रत्येक तत्व एक विशेष लंबकोणीय आव्यूह होते हैं। और एक रैखिक परिवर्तन के रूप में, प्रत्येक लंबकोणीय आव्यूह एक क्रमावर्तन के रूप में कार्य करता है।
-एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स एकात्मक मैट्रिक्स का वास्तविक विशेषज्ञता है, और इस प्रकार हमेशा एक सामान्य मैट्रिक्स होता है। यद्यपि हम यहां केवल वास्तविक आव्यूहों पर विचार करते हैं, परिभाषा का उपयोग किसी भी [[ क्षेत्र (गणित) ]] से प्रविष्टियों के साथ आव्यूहों के लिए किया जा सकता है। हालांकि, ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस स्वाभाविक रूप से [[ डॉट उत्पाद ]]ों से उत्पन्न होते हैं, और जटिल संख्याओं के मैट्रिसेस के लिए जो एकात्मक आवश्यकता के बजाय आगे बढ़ते हैं। ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस डॉट उत्पाद को संरक्षित करते हैं,<ref>[http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/LinAlg/OrthogonalMatrix.aspx "Paul's online math notes"]{{Citation broken|date=January 2013|note=See talk page.}}, Paul Dawkins, [[Lamar University]], 2008. Theorem 3(c)</ref> तो, वैक्टर के लिए {{math|'''u'''}} तथा {{math|'''v'''}} एक में {{mvar|n}}-आयामी वास्तविक यूक्लिडियन स्थान
+== अवलोकन ==
+लंबकोणीय आव्यूह में एकात्मक आव्यूह की वास्तविक विशेषता यह है कि इसके आव्यूह सदैव सामान्य होते है। यद्यपि हम यहां केवल वास्तविक आव्यूहों को ही देखते हैं, परंतु यदि किसी[[ क्षेत्र (गणित) | क्षेत्र]] से प्रविष्टियों के साथ आव्यूहों के लिए इस परिभाषा का प्रयोग किया जाता है। चूँकि, लंबकोणीय आव्यूह स्वाभाविक रूप से बिंदु उत्पादों से उत्पन्न होते हैं, और सम्मिश्र संख्या के आव्यूह के कारण एकात्मक के साथ आगे बढ़ते हैं। लंबकोणीय आव्यूह, बिंदु गुणनफल को संरक्षित करते हैं।<ref>[http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/LinAlg/OrthogonalMatrix.aspx "Paul's online math notes"]{{Citation broken|date=January 2013|note=See talk page.}}, Paul Dawkins, [[Lamar University]], 2008. Theorem 3(c)</ref> इसलिए, {{mvar|n}}-आयामी वास्तविक यूक्लिडियन दूरी में सदिश के लिए {{math|'''u'''}} तथा {{math|'''v'''}} होते है
 <math display="block">{\mathbf u} \cdot {\mathbf v} = \left(Q {\mathbf u}\right) \cdot \left(Q {\mathbf v}\right) </math>
-कहाँ पे {{mvar|Q}} एक ओर्थोगोनल मैट्रिक्स है। आंतरिक उत्पाद कनेक्शन देखने के लिए, एक वेक्टर पर विचार करें {{math|'''v'''}} एक में {{mvar|n}}-आयामी वास्तविक यूक्लिडियन स्थान। ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में लिखा गया, की लंबाई का वर्ग {{math|'''v'''}} है {{math|'''v'''<sup>T</sup>'''v'''}}. यदि एक रैखिक परिवर्तन, मैट्रिक्स रूप में {{math|''Q'''''v'''}}, फिर सदिश लंबाई को संरक्षित करता है
+जहाँ {{mvar|Q}} एक लंबकोणीय आव्यूह है। आंतरिक गुणनफल संबंधन को देखने के लिए, एक n आयामी वास्तविक यूक्लिडियन दूरी में एक सदिश {{math|'''v'''}} को देखते है। प्रसामान्य लंबकोणीय विश्लेषण के संबंध में लिखा हुआ है, कि {{math|'''v'''}} वर्ग की लंबाई {{math|'''v'''<sup>T</sup>'''v'''}} है। यदि आव्यूह रूप में एक रैखिक परिवर्तन, {{math|''Q'''''v'''}} होता है तो फिर ये सदिश लंबाई को संरक्षित करता है।
-<math display="block">{\mathbf v}^\mathrm{T}{\mathbf v} = (Q{\mathbf v})^\mathrm{T}(Q{\mathbf v}) = {\mathbf v}^\mathrm{T} Q^\mathrm{T} Q {\mathbf v} .</math>
+<math display="block">{\mathbf v}^\mathrm{T}{\mathbf v} = (Q{\mathbf v})^\mathrm{T}(Q{\mathbf v}) = {\mathbf v}^\mathrm{T} Q^\mathrm{T} Q {\mathbf v} .</math>इस प्रकार परिमित आयामी रैखिक सममिति क्रमावर्तन प्रतिबिंब और उनके संयोजन से लंबकोणीय आव्यूहों का निर्माण होता है। और इसका व्युत्क्रम भी सत्य है, लंबकोणीय आव्यूह का अर्थ लंबकोणीय रूपांतरण है। चूँकि, रैखिक बीजगणित में स्थानों के बीच लंबकोणीय परिवर्तन सम्मिलित होता है, ये न तो परिमित-आयामी हो सकते हैं और न ही समान आयाम के हो सकते हैं, और इनमें कोई लंबकोणीय आव्यूह समतुल्य नहीं होता है।
-इस प्रकार आयाम (वेक्टर स्पेस) | परिमित-आयामी रैखिक आइसोमेट्री-रोटेशन, प्रतिबिंब, और उनके संयोजन-ऑर्थोगोनल मैट्रिस का उत्पादन करते हैं। इसका विलोम भी सत्य है: ओर्थोगोनल मैट्रिसेस का अर्थ ऑर्थोगोनल ट्रांसफॉर्मेशन है। हालांकि, रैखिक बीजगणित में रिक्त स्थान के बीच ऑर्थोगोनल परिवर्तन शामिल हैं जो न तो परिमित-आयामी हो सकते हैं और न ही समान आयाम के हो सकते हैं, और इनमें कोई ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स समकक्ष नहीं है।
-सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों कारणों से ऑर्थोगोनल मैट्रिसेस कई कारणों से महत्वपूर्ण हैं। {{math|''n'' × ''n''}} }} ऑर्थोगोनल मैट्रिसेस मैट्रिक्स गुणन के तहत एक समूह (गणित) बनाते हैं, ऑर्थोगोनल समूह द्वारा दर्शाया गया है {{math|O(''n'')}}, जो—इसके उपसमूहों के साथ—गणित और भौतिक विज्ञान में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक अणु का [[ बिंदु समूह ]] O(3) का एक उपसमूह है। क्योंकि ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस के फ़्लोटिंग पॉइंट संस्करणों में लाभप्रद गुण होते हैं, वे संख्यात्मक रैखिक बीजगणित में कई एल्गोरिदम के लिए महत्वपूर्ण होते हैं, जैसे क्यूआर अपघटन |{{mvar|QR}} अपघटन। एक अन्य उदाहरण के रूप में, उपयुक्त सामान्यीकरण के साथ असतत कोज्या परिवर्तन ([[ बेचा ]] 3 संपीड़न में प्रयुक्त) एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया गया है।
+सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों कारणों से लंबकोणीय आव्यूह महत्वपूर्ण हैं। {{math|''n'' × ''n''}} लंबकोणीय आव्यूह, आव्यूह गुणन के तहत एक समूह का निर्माण करते हैं, जो {{math|O(''n'')}}, लंबकोणीय समूह द्वारा दर्शाया गया है । जिसका प्रयोग व्यापक रूप से गणित और भौतिक विज्ञान में किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक अणु का [[ बिंदु समूह |बिंदु समूह]] O(3) का एक उपसमूह है। क्योंकि लंबकोणीय आव्यूह के चल बिंदु संस्करणों में लाभप्रद गुण होते हैं, वे संख्यात्मक रैखिक बीजगणित में कई कलन विधि के लिए महत्वपूर्ण होते हैं, जैसे क्यूआर ( QR) अपघटन । एक अन्य उदाहरण के रूप में, उपयुक्त सामान्यीकरण के साथ असतत कोज्या परिवर्तन [[एमपी3]] संपीड़न में प्रयुक्त लंबकोणीय आव्यूह द्वारा दर्शाया गया है।
 == उदाहरण ==
-नीचे छोटे ओर्थोगोनल मैट्रिसेस और संभावित व्याख्याओं के कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
+नीचे छोटे लंबकोणीय आव्यूह और संभावित व्याख्याओं के कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
 *<math>
 \begin{bmatrix}
 & 0 \\
 & 1 \\
-\end{bmatrix}</math> (पहचान परिवर्तन)
+\end{bmatrix}</math> (तत्समक परिवर्तन)
 *<math>
 \begin{bmatrix}
 \cos \theta & -\sin \theta \\
 \sin \theta & \cos \theta \\
-\end{bmatrix}</math> (मूल के बारे में रोटेशन)
+\end{bmatrix}</math> (मूल के बारे में क्रमावर्तन)
 *<math>
 \begin{bmatrix}
@@ Line 52: / Line 50: @@
 === निचला आयाम ===
-सबसे सरल ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस हैं {{nowrap|1 × 1}} मैट्रिक्स [1] और [−1], जिसे हम पहचान के रूप में व्याख्या कर सकते हैं और मूल के आर-पार वास्तविक रेखा के प्रतिबिंब के रूप में व्याख्या कर सकते हैं। {{nowrap|2 × 2}} }} आव्यूह का रूप है
+सबसे सरल लंबकोणीय आव्यूह हैं {{nowrap|1 × 1}} आव्यूह [1] और [−1], जिसे हम तत्समक के रूप में व्याख्या कर सकते हैं और मूल के आर-पार वास्तविक रेखा के प्रतिबिंब के रूप में व्याख्या कर सकते हैं। {{nowrap|2 × 2}} आव्यूह का रूप है
 <math display="block">\begin{bmatrix}
 p & t\\
 q & u
 \end{bmatrix},</math>
-कौन सी ऑर्थोगोनैलिटी मांग तीन समीकरणों को संतुष्ट करती है
+कौन सी लांबिक मांग तीन समीकरणों को संतुष्ट करती है
 <math display="block">\begin{align}
 & = p^2+t^2, \\
@@ Line 63: / Line 61: @@
 & = pq+tu.
 \end{align}</math>
-पहले समीकरण को ध्यान में रखते हुए, व्यापकता के नुकसान के बिना {{math|1=''p'' = cos ''θ''}}, {{math|1=''q'' = sin ''θ''}}; तो कोई {{math|1=''t'' = −''q''}}, {{math|1=''u'' = ''p''}} या {{math|1=''t'' = ''q''}}, {{math|1=''u'' = −''p''}}. हम पहले मामले को रोटेशन के रूप में व्याख्या कर सकते हैं {{mvar|θ}} (कहाँ पे {{math|1=''θ'' = 0}} पहचान है), और दूसरा कोण पर एक रेखा में प्रतिबिंब के रूप में {{math|{{sfrac|''θ''|2}}}}.
+पहले समीकरण को ध्यान में रखते हुए, व्यापकता की क्षति के बिना {{math|1=''p'' = cos ''θ''}}, {{math|1=''q'' = sin ''θ''}}; तो कोई {{math|1=''t'' = −''q''}}, {{math|1=''u'' = ''p''}} या {{math|1=''t'' = ''q''}}, {{math|1=''u'' = −''p''}}. हम पहली स्थिति को क्रमावर्तन के रूप में व्याख्या कर सकते हैं {{mvar|θ}} (जहाँ पे {{math|1=''θ'' = 0}} तत्समक है), और दूसरे कोण पर एक रेखा में प्रतिबिंब के रूप में {{math|{{sfrac|''θ''|2}}}} है।
 <math display="block">
@@ Line 75: / Line 73: @@
 \end{bmatrix}\text{ (reflection)}
 </math>
-प्रतिबिंब मैट्रिक्स का विशेष मामला {{math|1=''θ'' = 90°}} द्वारा दिए गए 45° पर रेखा के बारे में प्रतिबिंब उत्पन्न करता है {{math|1=''y'' = ''x''}} और इसलिए आदान-प्रदान {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}}; यह एक [[ क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स ]] है, प्रत्येक कॉलम और पंक्ति में एक 1 (और अन्यथा 0) के साथ:
+प्रतिबिंब आव्यूह का विशेष प्रकरण जिसमें {{math|1=''θ'' = 90°}} से दी गई पंक्ति के बारे में y = x द्वारा दिए गए 45° कोण पर प्रतिबिंब बनता है, और इसलिए आदान-प्रदान {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} यह एक [[ क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स | क्रमचय आव्यूह]]  है, जिसमें प्रत्येक कॉलम और पंक्ति में एक 1 और अन्यथा 0 होता है।
 <math display="block">\begin{bmatrix}
 & 1\\
 & 0
-\end{bmatrix}.</math> पहचान भी एक क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स है।
+\end{bmatrix}.</math> तत्समक एक क्रमचय आव्यूह है।
-एक प्रतिबिंब अनैच्छिक मैट्रिक्स है, जिसका तात्पर्य है कि एक प्रतिबिंब मैट्रिक्स [[ सममित मैट्रिक्स ]] (इसके स्थानान्तरण के बराबर) के साथ-साथ ऑर्थोगोनल भी है। दो [[ रोटेशन मैट्रिक्स ]] का उत्पाद एक रोटेशन मैट्रिक्स है, और दो प्रतिबिंब मैट्रिक्स का उत्पाद भी एक रोटेशन मैट्रिक्स है।
+प्रतिबिंब का अपना प्रतिलोम होता है, जिसका अर्थ है कि [[प्रतिबिंब मैट्रिक्स|प्रतिबिंब आव्यूह]], इसके स्थानांतरण तथा लंबकोणीय के समान सममित होता है। दो [[ रोटेशन मैट्रिक्स |क्रमावर्तन आव्यूह]] का उत्पाद एक क्रमावर्तन आव्यूह है, और दो प्रतिबिंब आव्यूह का उत्पाद भी एक क्रमावर्तन आव्यूह है।
 === उच्च आयाम ===
-आयाम के बावजूद, ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस को विशुद्ध रूप से घूर्णी या नहीं के रूप में वर्गीकृत करना हमेशा संभव होता है, लेकिन इसके लिए {{nowrap|3 × 3}} आव्यूह और गैर-घूर्णी आव्यूह बड़े प्रतिबिंबों की तुलना में अधिक जटिल हो सकते हैं। उदाहरण के लिए,
+आयाम की बात किए बिना, लंबकोणीय आव्यूह को विशुद्ध रूप से घूर्णी या नहीं के रूप में वर्गीकृत करना सदैव आसान होता है, लेकिन {{nowrap|3 × 3}} आव्यूहों के लिए और बड़ी संख्या में घूर्णन आव्यूह परावर्तनों की अपेक्षा अधिक कठिन हो सकते हैं। उदाहरण के लिए,
 <math display="block">
 \begin{bmatrix}
@@ Line 96: / Line 94: @@
 & 0 & -1
 \end{bmatrix}</math>
-मूल के माध्यम से एक बिंदु में एक व्युत्क्रम और क्रमशः एक अनुचित घुमाव का प्रतिनिधित्व करते हैं {{math|z}}-एक्सिस।
-उच्च आयामों में घुमाव अधिक जटिल हो जाते हैं; वे अब पूरी तरह से एक कोण से चित्रित नहीं किए जा सकते हैं, और एक से अधिक प्लानर उप-स्थान को प्रभावित कर सकते हैं। ए का वर्णन करना आम बात है {{nowrap|3 × 3}} धुरी और कोण के संदर्भ में रोटेशन मैट्रिक्स, लेकिन यह केवल तीन आयामों में काम करता है। तीन आयामों से ऊपर दो या दो से अधिक कोणों की आवश्यकता होती है, जिनमें से प्रत्येक रोटेशन के एक विमान से जुड़ा होता है।
-हालांकि, हमारे पास सामान्य रूप से लागू होने वाले क्रमपरिवर्तन, प्रतिबिंब और घूर्णन के लिए प्राथमिक बिल्डिंग ब्लॉक हैं।
-=== आदिम ===
+मूल बिंदु और रोटोइनवर्जन के माध्यम से एक बिंदु से व्युत्क्रम का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो क्रमश, Z- अक्ष के बारे में।
-सबसे प्राथमिक क्रमचय एक स्थानान्तरण है, जो दो पंक्तियों का आदान-प्रदान करके पहचान मैट्रिक्स से प्राप्त किया जाता है। कोई {{math|''n'' × ''n''}} क्रमचय मैट्रिक्स को इससे अधिक के उत्पाद के रूप में बनाया जा सकता है {{math|''n'' − 1}} स्थानान्तरण।
+उच्च आयामों में क्रमावर्तन अधिक कठिन हो जाते हैं क्योंकि उन्हें अब एक कोण से पूरी तरह से वर्गीकृत नहीं किया जा सकता, और एक से अधिक तल क्षेत्र को प्रभावित कर सकते हैं। यह अक्ष और कोण के संदर्भ में 3 × 3 क्रमावर्तन आव्यूह का वर्णन करने के लिए सामान्य बात है, लेकिन यह केवल तीन आयामों में काम करता है। तीन आयामों से ऊपर दो या दो से अधिक कोणों की आवश्यकता होती है, जिनमें से प्रत्येक क्रमावर्तन एक समतल से जुड़ा होता है।
+चूँकि, हमारे पास सामान्य रूप से लागू होने वाले क्रम परिवर्तन, प्रतिबिंब और क्रमावर्तन के लिए प्राथमिक रचक अणु होते हैं।
+=== प्राचीन ===
+सबसे प्राथमिक क्रमचय एक स्थानान्तरण है, जो दो पंक्तियों का आदान-प्रदान करके तत्समक आव्यूह से प्राप्त किया जाता है। कोई {{math|''n'' × ''n''}} क्रमचय आव्यूह को इससे अधिक के उत्पाद के रूप में बनाया जा सकता है {{math|''n'' − 1}} स्थानान्तरण के रूप में है।
+हाउसहोल्ड प्रतिबिंब को गैर-शून्य सदिश {{math|'''v'''}} से बनाया गया है।
-एक गैर-शून्य वेक्टर से एक हाउसहोल्डर प्रतिबिंब का निर्माण किया जाता है {{math|'''v'''}} जैसा
 <math display="block">Q = I - 2 \frac{{\mathbf v}{\mathbf v}^\mathrm{T}}{{\mathbf v}^\mathrm{T}{\mathbf v}} .</math>
-यहाँ अंश एक सममित मैट्रिक्स है जबकि भाजक एक संख्या है, का वर्ग परिमाण {{math|'''v'''}}. यह के लंबवत हाइपरप्लेन में एक प्रतिबिंब है {{math|'''v'''}} (किसी भी सदिश घटक को समानांतर नकारना {{math|'''v'''}}). यदि {{math|'''v'''}} एक इकाई वेक्टर है, तो {{math|1=''Q'' = ''I'' − 2'''vv'''<sup>T</sup>}} पर्याप्त एक हाउसहोल्डर प्रतिबिंब का उपयोग आमतौर पर एक कॉलम के निचले हिस्से को एक साथ शून्य करने के लिए किया जाता है। आकार का कोई भी ओर्थोगोनल मैट्रिक्स {{nowrap|''n'' × ''n''}} अधिकतम के उत्पाद के रूप में निर्मित किया जा सकता है {{mvar|n}} ऐसे प्रतिबिंब।
-एक [[ गिवेंस रोटेशन ]] एक दो-आयामी (प्लानर) उप-स्थान पर कार्य करता है जो दो समन्वित अक्षों द्वारा फैला हुआ है, एक चुने हुए कोण से घूमता है। यह आम तौर पर एक एकल सबडायगोनल प्रविष्टि को शून्य करने के लिए उपयोग किया जाता है। आकार का कोई भी रोटेशन मैट्रिक्स {{math|''n'' × ''n''}} अधिकतम के उत्पाद के रूप में निर्मित किया जा सकता है {{math|{{sfrac|''n''(''n'' − 1)|2}}}} ऐसे घुमाव। के मामले में {{nowrap|3 × 3}} मैट्रिसेस, ऐसे तीन घुमाव पर्याप्त हैं; और इस क्रम को ठीक करके हम सभी का वर्णन कर सकते हैं {{nowrap|3 × 3}} उपयोग किए गए तीन कोणों के संदर्भ में रोटेशन मैट्रिसेस (हालांकि विशिष्ट रूप से नहीं), जिन्हें अक्सर [[ यूलर कोण ]] कहा जाता है।
-एक [[ जैकोबी रोटेशन ]] का एक गिवेंस रोटेशन के रूप में एक ही रूप है, लेकिन इसका उपयोग एक के दोनों ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियों को शून्य करने के लिए किया जाता है {{nowrap|2 × 2}} सममित सबमैट्रिक्स।
+यहाँ अंश एक सममित आव्यूह है। जबकि हर संख्या {{math|'''v'''}} का वर्ग परिमाण है। यह {{math|'''v'''}} के समानांतर किसी भी सदिश घटक को निष्फल के लिए अधिसमतल लंबवत में प्रतिबिंब के रूप में होता है। यदि {{math|'''v'''}} इकाई सदिश है, तो {{math|1=''Q'' = ''I'' − 2'''vv'''<sup>T</sup>}} पर्याप्त है। एक हाउसहोल्ड प्रतिबिंब का उपयोग सामान्तया एक कॉलम के निचले हिस्से को एक साथ शून्य करने के लिए किया जाता है। आकार {{nowrap|''n'' × ''n''}} के किसी भी लंबकोणीय आव्यूह को अधिकतर {{mvar|n}} के ऐसे प्रतिबिंबों के उत्पाद के रूप में बनाया जा सकता है।
+दिया गया [[क्रमावर्तन]] दो आयामी तलीय पर कार्य करता है, जो कि चयनित कोण द्वारा घूमते हुए दो समन्वय अक्षों द्वारा विस्तरित उपक्षेत्र है। यह सामान्तया एकल उपविकर्ण प्रविष्टि को शून्य करने के लिए उपयोग किया जाता है। {{math|''n'' × ''n''}} आकार के किसी भी क्रमावर्तन आव्यूह को अधिकतर {{math|{{sfrac|''n''(''n'' − 1)|2}}}} जैसे क्रमावर्तन के उत्पाद के रूप में बनाया जा सकता है। 3 × 3 आव्यूह की स्थिति में, ऐसे तीन क्रमावर्तन पर्याप्त हैं, इस प्रकार हम सभी 3 × 3 क्रमावर्तन आव्यूह का वर्णन कर सकते हैं, चूँकि यूलर कोण कहे जाने वाले तीन कोणों के संदर्भ में अद्वितीय नहीं हैं।
+[[जैकोबी क्रमावर्तन]] दिए गए क्रमावर्तन के रूप में समान है, लेकिन इसका उपयोग 2 × 2 सममित उपआव्यूह की उपविकर्णों की प्रविष्टियों को शून्य करने के लिए किया जाता है।
 == गुण ==
-=== मैट्रिक्स गुण ===
+=== आव्यूह गुण ===
-एक वास्तविक वर्ग मैट्रिक्स ओर्थोगोनल है [[ अगर और केवल अगर ]] इसके कॉलम यूक्लिडियन स्पेस का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} साधारण यूक्लिडियन डॉट उत्पाद के साथ, जो कि केवल तभी होता है जब इसकी पंक्तियाँ एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाती हैं {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}. यह मान लेना आकर्षक हो सकता है कि ऑर्थोगोनल (ऑर्थोनॉर्मल नहीं) कॉलम वाले मैट्रिक्स को ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स कहा जाएगा, लेकिन ऐसे मैट्रिक्स में कोई विशेष रुचि नहीं है और कोई विशेष नाम नहीं है; वे केवल संतुष्ट {{math|1=''M''<sup>T</sup>''M'' = ''D''}}, साथ {{mvar|D}} एक [[ विकर्ण मैट्रिक्स ]]।
+एक वास्तविक वर्ग लंबकोणीय आव्यूह होता है, और यदि इसके कॉलम सामान्य यूक्लिडियन दूरी {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} के लंबकोणीय आधार के रूप में होते है।, इस तरह की स्थिति सिर्फ़ इसकी पंक्तियाँ {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}.लंबकोणीय के साथ एक आव्यूह को समझने के लिए होती है। कि लंबकोणीय ( प्रसामान्य लंबकोणीय नहीं) कॉलम वाले आव्यूह को लंबकोणीय आव्यूह के रूप में जाना जाता है, लेकिन इस प्रकार के आव्यूहों की विशेष रूचि नहीं होती और उन्हें केवल किसी विशेष नाम से संतुष्ट नहीं होते हैं। {{math|1=''M''<sup>T</sup>''M'' = ''D''}}, साथ {{mvar|D}} एक [[ विकर्ण मैट्रिक्स | विकर्ण आव्यूह]] होते है।
-किसी भी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का निर्धारक +1 या -1 है। यह निर्धारकों के बारे में बुनियादी तथ्यों से निम्नानुसार है:
+किसी भी लंबकोणीय आव्यूह का सारणिक +1 या -1 होता है। यह सारणिक के बारे में मूलभूत तथ्यों से है जैसा कि नीचे दिया गया है।
 <math display="block">1=\det(I)=\det\left(Q^\mathrm{T}Q\right)=\det\left(Q^\mathrm{T}\right)\det(Q)=\bigl(\det(Q)\bigr)^2 .</math>
-इसका उलट सत्य नहीं है; ± 1 का एक निर्धारक होने से ऑर्थोगोनलिटी की कोई गारंटी नहीं है, यहां तक कि ऑर्थोगोनल कॉलम के साथ भी, जैसा कि निम्नलिखित काउंटर उदाहरण द्वारा दिखाया गया है।
+इसका विलोम सही नहीं है ±1 के सारणिक होने से लांबिक का कोई आश्वासन नहीं है, यहां तक कि लंबकोणीय कॉलम के साथ भी, जैसा कि निम्नलिखित प्रत्युत्तर उदाहरण द्वारा दिखाया गया है।
 <math display="block">\begin{bmatrix}
 & 0 \\
 & \frac{1}{2}
 \end{bmatrix}</math>
-क्रमचय मेट्रिसेस के साथ निर्धारक [[ सम और विषम क्रमपरिवर्तन ]] से मेल खाता है, +1 या -1 होने के कारण क्रमचय की समानता सम या विषम है, क्योंकि निर्धारक पंक्तियों का एक वैकल्पिक कार्य है।
-निर्धारक प्रतिबंध से मजबूत तथ्य यह है कि एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स हमेशा ईजेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर के पूर्ण सेट को प्रदर्शित करने के लिए [[ जटिल संख्या ]]ओं पर विकर्ण मैट्रिक्स हो सकता है, जिनमें से सभी का (जटिल) निरपेक्ष मान 1 होना चाहिए।
+क्रमचय आव्यूह के साथ सारणिक अंकित अंक से मेल खाता है, क्रमचय की समानता के रूप में +1 या-1 को सम या विषम किया जाना पंक्तियों का वैकल्पिक कार्य है।
+सारणिक प्रतिबंध से मजबूत तथ्य यह है कि एक लंबकोणीय आव्यूह सदैव अभिलक्षणिक मान और अभिलक्षणिक सदिश के पूर्ण समुच्चय को प्रदर्शित करने के लिए [[ जटिल संख्या | जटिल संख्याओं]] पर विकर्ण आव्यूह होता है, जिनमें से सभी का जटिल निरपेक्ष मान 1 होना चाहिए।
 === समूह गुण ===
-प्रत्येक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का व्युत्क्रम फिर से ऑर्थोगोनल होता है, जैसा कि दो ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का मैट्रिक्स उत्पाद होता है। वास्तव में, सभी का सेट {{math|''n'' × ''n''}} ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस एक समूह (गणित) के सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। यह आयाम का एक [[ कॉम्पैक्ट स्पेस ]] लाई समूह है {{math|{{sfrac|''n''(''n'' − 1)|2}}}}, ओर्थोगोनल समूह कहा जाता है और द्वारा निरूपित किया जाता है {{math|O(''n'')}}.
+प्रत्येक लंबकोणीय आव्यूह का प्रतिलोम पुनः लंबकोणीय होता है, जैसा कि दो लंबकोणीय आव्यूह का आव्यूह उत्पाद होता है। यथार्थ में, सभी का समुच्चय {{math|''n'' × ''n''}} लंबकोणीय आव्यूह के सभी समूह एक्सीओम्स को संतुष्ट करते है। यह आयाम का एक [[ कॉम्पैक्ट स्पेस |कॉम्पैक्ट क्षेत्र]] लाई समूह {{math|{{sfrac|''n''(''n'' − 1)|2}}}} है, इसे लंबकोणीय समूह कहा जाता है और {{math|O(''n'')}} द्वारा दर्शाया जाता है।
-ऑर्थोगोनल मैट्रिसेस जिसका निर्धारक +1 है, एक [[ कनेक्टेड स्पेस ]] बनाता है | पथ से जुड़ा [[ सामान्य उपसमूह ]] {{math|O(''n'')}} एक उपसमूह 2 के सूचकांक का, विशेष ओर्थोगोनल समूह {{math|SO(''n'')}} घुमावों का। [[ भागफल समूह ]] {{math|O(''n'')/SO(''n'')}} के लिए आइसोमोर्फिक है {{math|O(1)}}, निर्धारक के अनुसार [+1] या [−1] चुनने वाले प्रक्षेपण मानचित्र के साथ। निर्धारक -1 के साथ ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस में पहचान शामिल नहीं है, और इसलिए एक उपसमूह नहीं बल्कि केवल एक सहसमुच्चय बनाते हैं; यह भी (अलग से) जुड़ा हुआ है। इस प्रकार प्रत्येक ओर्थोगोनल समूह के दो टुकड़े हो जाते हैं; और क्योंकि प्रक्षेपण नक्शा सटीक अनुक्रम, {{math|O(''n'')}} का अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद है {{math|SO(''n'')}} द्वारा {{math|O(1)}}. व्यावहारिक रूप में, एक तुलनीय कथन यह है कि किसी भी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स को एक रोटेशन मैट्रिक्स लेकर और संभवतः इसके किसी एक कॉलम को नकार कर बनाया जा सकता है, जैसा कि हमने देखा {{nowrap|2 × 2}} मैट्रिक्स। यदि {{mvar|n}} विषम है, तो सेमीडायरेक्ट उत्पाद वास्तव में [[ समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद ]] है, और किसी भी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स को रोटेशन मैट्रिक्स लेकर और संभवतः इसके सभी स्तंभों को नकार कर बनाया जा सकता है। यह निर्धारकों की संपत्ति से अनुसरण करता है कि एक स्तंभ को नकारना निर्धारक को नकारता है, और इस प्रकार स्तंभों की एक विषम (लेकिन सम नहीं) संख्या को नकारना निर्धारक को नकारता है।
+लंबकोणीय आव्यूह जिसका सारणिक +1 है, और सूचकांक 2 के SO(n) के पथ से [[जुड़े]] [[सामान्य उपसमूह]] का निर्माण करते है, इसके क्रमावर्तन का विशेष लंबकोणीय समूह SO(n) है। [[ भागफल समूह |भागफल समूह]] .{{math|O(''n'')/SO(''n'')}} के लिए तुल्याकारी है {{math|O(1)}}, सारणिक के अनुसार +1 या −1 चुनने वाले प्रक्षेपण मानचित्र के साथ होते है । सारणिक-1 के साथ लंबकोणीय आव्यूह में तत्समक सम्मिलित नहीं होते है, और इसलिए एक उपसमूह नहीं बल्कि केवल सहसमुच्चय बनाते हैं, यह अलग से भी जुड़ा हुआ है। इस प्रकार प्रत्येक लंबकोणीय समूह के दो टुकड़े हो जाते हैं, और क्योंकि प्रक्षेपण मानचित्र पर विभाजन होता है, {{math|SO(''n'')}} द्वारा {{math|O(''n'')}} {{math|O(1)}} का अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद है, व्यावहारिक संदर्भ में, एक तुलनीय कथन यह है कि क्रमावर्तन आव्यूह को लेकर किसी लंबकोणीय आव्यूह का निर्माण किया जा सकता है। संभवतः इसके किसी एक कॉलम को अस्वीकार कर बनाया जाता है, जैसा कि हमने देखा {{nowrap|2 × 2}} आव्यूह में। यदि {{mvar|n}} विषम है, तो सेमीडायरेक्ट उत्पाद वास्तव में [[ समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद |समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद]] है, और किसी भी लंबकोणीय आव्यूह को क्रमावर्तन आव्यूह द्वारा और संभवतः इसके सभी कॉलम को अस्वीकार कर बनाया जा सकता है। यह सारणिक की गुण धर्म का अनुसरण करता है और यह एक कॉलम को अस्वीकार कर सारणिक को निषेध करता है, और इस प्रकार कॉलम की एक विषम (लेकिन सम नहीं) संख्या को अस्वीकार कर सारणिक को निषेध करता है।
-अब विचार करें {{math|(''n'' + 1) × (''n'' + 1)}} ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस जिसमें नीचे दाहिनी प्रविष्टि 1 के बराबर है। अंतिम कॉलम (और अंतिम पंक्ति) का शेष शून्य होना चाहिए, और ऐसे दो मैट्रिक्स के उत्पाद का एक ही रूप है। शेष मैट्रिक्स एक है {{math|''n'' × ''n''}} ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स; इस प्रकार {{math|O(''n'')}} का एक उपसमूह है {{math|O(''n'' + 1)}} (और सभी उच्च समूहों के)।
+अब विचार करें {{math|(''n'' + 1) × (''n'' + 1)}} लंबकोणीय आव्यूह जिसमें नीचे दाहिनी प्रविष्टि 1 के बराबर है। अंतिम कॉलम और अंतिम पंक्ति का शेष शून्य होना चाहिए, और ऐसे दो आव्यूह के उत्पाद का एक ही रूप है। शेष आव्यूह एक है {{math|''n'' × ''n''}} लंबकोणीय आव्यूह, इस प्रकार {{math|O(''n'')}} का एक उपसमूह है {{math|O(''n'' + 1)}} (और सभी उच्च समूहों के)।
 <math display="block">\begin{bmatrix}
@@ Line 142: / Line 150: @@
 & \cdots & 0 & 1
 \end{bmatrix}</math>
-चूंकि [[ गृहस्थ मैट्रिक्स ]] के रूप में एक प्राथमिक प्रतिबिंब किसी भी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स को इस विवश रूप में कम कर सकता है, ऐसे प्रतिबिंबों की एक श्रृंखला किसी भी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स को पहचान में ला सकती है; इस प्रकार एक ओर्थोगोनल समूह एक [[ प्रतिबिंब समूह ]] है। अंतिम स्तंभ किसी भी इकाई वेक्टर के लिए तय किया जा सकता है, और प्रत्येक विकल्प की एक अलग प्रति देता है {{math|O(''n'')}} में {{math|O(''n'' + 1)}}; तौर पर {{math|O(''n'' + 1)}} इकाई गोले के ऊपर एक [[ फाइबर बंडल ]] है {{math|''S''<sup>''n''</sup>}} फाइबर के साथ {{math|O(''n'')}}.
+चूंकि, [[हाउसहोल्डर]] आव्यूह के रूप में एक प्रारंभिक प्रतिबिंब किसी भी लंबकोणीय आव्यूह को बाधित कर सकता है, और इस तरह के प्रतिबिंबों की एक श्रृंखला किसी भी लंबकोणीय आव्यूह को तत्समक में ला सकती है, इस प्रकार एक लंबकोणीय समूह[[ प्रतिबिंब समूह ]] होता है। और अंतिम कॉलम किसी भी इकाई सदिश के लिए तय किया जा सकता है, और प्रत्येक विकल्प की एक अलग प्रति देता है {{math|O(''n'')}} में {{math|O(''n'' + 1)}} सामान्तया {{math|O(''n'' + 1)}} इकाई गोले के ऊपर एक [[ फाइबर बंडल ]] {{math|''S''<sup>''n''</sup>}} है और फाइबर के साथ {{math|O(''n'')}}.होते है।
-इसी प्रकार, {{math|SO(''n'')}} का एक उपसमूह है {{math|SO(''n'' + 1)}}; और किसी भी विशेष ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स को एक समान प्रक्रिया का उपयोग करके गिवेंस रोटेशन द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है। बंडल संरचना बनी रहती है: {{math|SO(''n'') ↪ SO(''n'' + 1) → ''S''<sup>''n''</sup>}}. एक एकल घुमाव अंतिम कॉलम की पहली पंक्ति में एक शून्य उत्पन्न कर सकता है, और की श्रृंखला {{math|''n'' − 1}} घूर्णन an . के अंतिम स्तंभ की अंतिम पंक्ति को छोड़कर सभी को शून्य कर देगा {{math|''n'' × ''n''}} रोटेशन मैट्रिक्स। चूंकि विमान स्थिर हैं, प्रत्येक घूर्णन में केवल एक डिग्री की स्वतंत्रता होती है, इसका कोण। प्रेरण द्वारा, {{math|SO(''n'')}} इसलिए है
+इसी प्रकार, {{math|SO(''n'')}} का एक उपसमूह है {{math|SO(''n'' + 1)}}, और किसी भी विशेष लंबकोणीय आव्यूह को एक समान प्रक्रिया का उपयोग करके सपाट क्रमावर्तन द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है। इसमें बंडल की संरचना बनी रहती है, {{math|SO(''n'') ↪ SO(''n'' + 1) → ''S''<sup>''n''</sup>}}. एक एकल घुमाव अंतिम कॉलम की पहली पंक्ति में एक शून्य उत्पन्न कर सकता है, और श्रृंखला {{math|''n'' − 1}} क्रमावर्तन एक n × n क्रमावर्तन आव्यूह के अंतिम कॉलम की अंतिम पंक्ति को छोड़कर सभी को शून्य कर देगा। चूंकि समतल स्थिर होते हैं, इसलिए प्रत्येक क्रमावर्तन में केवल एक कोटि की स्वतंत्रता होती है, इसलिए प्रेरण में इसका कोण {{math|SO(''n'')}} होता है।
 <math display="block">(n-1) + (n-2) + \cdots + 1 = \frac{n(n-1)}{2}</math>
-स्वतंत्रता की डिग्री, और इसलिए करता है {{math|O(''n'')}}.
+इसी तरह O(n) स्वतंत्रता की कोटि के रूप में कार्य.करता है।
-क्रमपरिवर्तन आव्यूह अभी भी सरल हैं; वे लाई समूह नहीं, बल्कि केवल एक परिमित समूह बनाते हैं, ऑर्डर फैक्टोरियल|{{math|''n''!}}[[ सममित समूह ]] {{math|S<sub>''n''</sub>}}. इसी तर्क से, {{math|S<sub>''n''</sub>}} का एक उपसमूह है {{math|S<sub>''n'' + 1</sub>}}. सम क्रमपरिवर्तन निर्धारक +1 के क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स के उपसमूह का उत्पादन करते हैं, क्रम {{math|{{sfrac|''n''!|2}}}} [[ वैकल्पिक समूह ]]।
+क्रमचय आव्यूह अभी भी सरल हैं, वे लाई समूह नहीं, बल्कि केवल एक परिमित समूह बनाते हैं, क्रम फैक्टोरियल {{math|''n''!}}[[ सममित समूह ]]{{math|S<sub>''n''</sub>}}. इसी युक्ति से, {{math|S<sub>''n''</sub>}} का एक उपसमूह है {{math|S<sub>''n'' + 1</sub>}}. सम क्रम परिवर्तन सारणिक +1 के क्रमचय आव्यूह के उपसमूह की उत्पत्ति,करते हैं, क्रम {{math|{{sfrac|''n''!|2}}}}[[ वैकल्पिक समूह ]] के होते है।
 === विहित रूप ===
-अधिक मोटे तौर पर, किसी भी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का प्रभाव ऑर्थोगोनल द्वि-आयामी उप-स्थानों पर स्वतंत्र क्रियाओं में अलग हो जाता है। यानी अगर {{mvar|Q}} विशेष ऑर्थोगोनल है तो कोई हमेशा एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स ढूंढ सकता है {{mvar|P}}, (घूर्णी) आधार का परिवर्तन, जो लाता है {{mvar|Q}} ब्लॉक विकर्ण रूप में:
+सामान्तया, किसी भी लंबकोणीय आव्यूह का प्रभाव लंबकोणीय द्वि-आयामी उप-क्षेत्रों पर स्वतंत्र क्रियाओं को अलग करता है। अर्थात, यदि Q लंबकोणीय है तो एक को सदैव लंबकोणीय आव्यूह {{mvar|P}}, आधार का घूर्णी परिवर्तन मिल जाता है, जो Q को आव्यूह के विकर्ण के रूप में लाता है।
 <math display="block">P^\mathrm{T}QP = \begin{bmatrix}
@@ Line 159: / Line 167: @@
 R_1 & & & \\ & \ddots & & \\ & & R_k & \\ & & & 1
 \end{bmatrix}\ (n\text{ odd}).</math>
-जहां मैट्रिसेस {{math|''R''<sub>1</sub>, ..., ''R''<sub>''k''</sub>}} हैं {{nowrap|2 × 2}} रोटेशन मैट्रिसेस, और शेष प्रविष्टियों के साथ शून्य। असाधारण रूप से, एक रोटेशन ब्लॉक विकर्ण हो सकता है, {{math|±''I''}}. इस प्रकार, यदि आवश्यक हो तो एक कॉलम को नकारना और यह ध्यान रखना कि a {{nowrap|2 × 2}} प्रतिबिंब एक +1 और -1 के लिए विकर्ण करता है, किसी भी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स को फॉर्म में लाया जा सकता है
+जहां आव्यूह {{math|''R''<sub>1</sub>, ..., ''R''<sub>''k''</sub>}} {{nowrap|2 × 2}} क्रमावर्तन आव्यूह हैं, और शेष प्रविष्टियों के साथ शून्य असाधारण रूप से, एक क्रमावर्तन आव्यूह के विकर्ण हो सकते है, {{math|±''I''}}. इस प्रकार, यदि आवश्यक हो तो एक कॉलम को अस्वीकारना और यह ध्यान रखना कि एक {{nowrap|2 × 2}} प्रतिबिंब +1 और -1 के लिए आव्यूह के विकर्ण है, और किसी भी लंबकोणीय आव्यूह को क्रमबद्ध किया जा सकता है।
 <math display="block">P^\mathrm{T}QP = \begin{bmatrix}
 \begin{matrix}R_1 & & \\ & \ddots & \\ & & R_k\end{matrix} & 0 \\
 & \begin{matrix}\pm 1 & & \\ & \ddots & \\ & & \pm 1\end{matrix} \\
 \end{bmatrix},</math>
-मेट्रिसेस {{math|''R''<sub>1</sub>, ..., ''R''<sub>''k''</sub>}} सम्मिश्र संख्या में इकाई वृत्त पर स्थित eigenvalues के संयुग्म जोड़े दें; इसलिए यह अपघटन पुष्टि करता है कि सभी आइगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर का पूर्ण मान 1 है। यदि {{mvar|n}} विषम है, कम से कम एक वास्तविक आइगेनमान है, +1 या -1; एक के लिए {{nowrap|3 × 3}} रोटेशन, +1 से जुड़ा ईजेनवेक्टर रोटेशन अक्ष है।
+आव्यूह {{math|''R''<sub>1</sub>, ..., ''R''<sub>''k''</sub>}} सम्मिश्र संख्या में इकाई वृत्त पर स्थित अभिलक्षणिक मान के संयुग्म को जोड़े देते हैं, इसलिए यह अपघटन को पुष्टि करता है कि सभी अभिलक्षणिक मान और अभिलक्षणिक सदिश का पूर्ण मान 1 है। यदि {{mvar|n}} विषम है, कम से कम एक वास्तविक अभिलक्षणिक मान है, +1 या -1, एक के लिए {{nowrap|3 × 3}} क्रमावर्तन, +1 से जुड़ा अभिलक्षणिक सदिश क्रमावर्तन अक्ष का है।
 === लेट बीजगणित ===
-मान लीजिए की प्रविष्टियाँ {{mvar|Q}} के अलग-अलग कार्य हैं {{mvar|t}}, और कि {{math|1=''t'' = 0}} देता है {{math|1=''Q'' = ''I''}}. ऑर्थोगोनलिटी की स्थिति को अलग करना
+मान लीजिए की प्रविष्टियाँ {{mvar|Q}} के अलग-अलग कार्य हैं {{mvar|t}}, और कि {{math|1=''t'' = 0}} देता है {{math|1=''Q'' = ''I''}}. लंबकोणीयिटी की स्थिति को अलग करता है।
 <math display="block">Q^\mathrm{T} Q = I </math>
-पैदावार
+प्रतिफल
 <math display="block">\dot{Q}^\mathrm{T} Q + Q^\mathrm{T} \dot{Q} = 0</math>
 पर मूल्यांकन {{math|1=''t'' = 0}} ({{math|1=''Q'' = ''I''}}) तो तात्पर्य है
 <math display="block">\dot{Q}^\mathrm{T} = -\dot{Q} .</math>
-झूठ समूह के शब्दों में, इसका मतलब है कि एक ओर्थोगोनल मैट्रिक्स समूह के झूठ बीजगणित में [[ तिरछा-सममित मैट्रिक्स ]] | तिरछा-सममित मैट्रिक्स होता है। दूसरी दिशा में जा रहे हैं, किसी भी तिरछा-सममित मैट्रिक्स का मैट्रिक्स घातीय एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स (वास्तव में, विशेष ऑर्थोगोनल) है।
+लाई(lie) समूह के शब्दों में, इसका मतलब है कि एक लंबकोणीय आव्यूह समूह के लाई बीजगणित में [[ तिरछा-सममित मैट्रिक्स | तिरछा-सममित आव्यूह]] होता है। और दूसरी दिशा में जा रहे हैं, किसी भी तिरछा-सममित आव्यूह का आव्यूह घातीय लंबकोणीय आव्यूह है (वास्तव में, विशेष लंबकोणीय है)।
-उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी वस्तु भौतिकी कॉल कोणीय वेग एक अंतर रोटेशन है, इस प्रकार झूठ बीजगणित में एक वेक्टर <math>\mathfrak{so}(3)</math> स्पर्शरेखा {{math|SO(3)}}. दिया गया {{math|1='''ω''' = (''xθ'', ''yθ'', ''zθ'')}}, साथ {{math|1='''v''' = (''x'', ''y'', ''z'')}} एक इकाई वेक्टर होने के नाते, का सही तिरछा-सममित मैट्रिक्स रूप है {{mvar|'''ω'''}} है
+उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी वस्तु भौतिकी कहती है कि कोणीय वेग एक विभेदक क्रमावर्तन है, इस प्रकार लाई बीजगणित में एक सदिश है <math>\mathfrak{so}(3)</math> स्पर्शरेखा {{math|SO(3)}}. दी गयी है {{math|1='''ω''' = (''xθ'', ''yθ'', ''zθ'')}}, साथ {{math|1='''v''' = (''x'', ''y'', ''z'')}} एक इकाई सदिश होने के नाते, {{mvar|'''ω'''}} का सही तिरछा-सममित आव्यूह रूप है। <math display="block">
-<math display="block">
 \Omega = \begin{bmatrix}
 & -z\theta & y\theta \\
@@ Line 182: / Line 189: @@
 -y\theta & x\theta & 0
 \end{bmatrix} .</math>
-इसका घातांक अक्ष के चारों ओर घूमने के लिए ओर्थोगोनल मैट्रिक्स है {{math|'''v'''}} कोण से {{mvar|θ}}; स्थापना {{math|1=''c'' = cos {{sfrac|''θ''|2}}}}, {{math|1=''s'' = sin {{sfrac|''θ''|2}}}},
+इसका घातांक अक्ष के चारों ओर घूमने के लिए लंबकोणीय आव्यूह है {{math|'''v'''}} कोण से {{mvar|θ}}, स्थापना {{math|1=''c'' = cos {{sfrac|''θ''|2}}}}, {{math|1=''s'' = sin {{sfrac|''θ''|2}}}} है।
 <math display="block">\exp(\Omega) = \begin{bmatrix}
   -  2s^2  +  2x^2 s^2  &  2xy s^2  -  2z sc  &  2xz s^2  +  2y sc\\
@@ Line 193: / Line 200: @@
 ===लाभ ===
-[[ संख्यात्मक विश्लेषण ]] संख्यात्मक रैखिक बीजगणित के लिए ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के कई गुणों का लाभ उठाता है, और वे स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, किसी स्थान के लिए ऑर्थोनॉर्मल आधार, या आधारों के ऑर्थोगोनल परिवर्तन की गणना करना अक्सर वांछनीय होता है; दोनों ओर्थोगोनल मैट्रिसेस का रूप लेते हैं। निर्धारक ±1 और परिमाण 1 के सभी eigenvalues [[ संख्यात्मक स्थिरता ]] के लिए बहुत लाभ का है। एक निहितार्थ यह है कि स्थिति संख्या 1 है (जो न्यूनतम है), इसलिए ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के साथ गुणा करते समय त्रुटियों को बढ़ाया नहीं जाता है। कई एल्गोरिदम इस कारण से होमहोल्डर प्रतिबिंब और गिवेंस रोटेशन जैसे ऑर्थोगोनल मैट्रिस का उपयोग करते हैं। यह भी मददगार है कि, न केवल एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स उलटा है, बल्कि इसका उलटा सूचकांकों का आदान-प्रदान करके अनिवार्य रूप से मुक्त उपलब्ध है।
+[[ संख्यात्मक विश्लेषण ]] संख्यात्मक रैखिक स्वाभाविक रूप से बीजगणित के लिए लंबकोणीय आव्यूह के गुणों के लिए लाभ उत्पन्न करते हैं। उदाहरण के लिए, किसी स्थान के लिए प्रसामान्य लंबकोणीय आधार, या आधारों के लंबकोणीय परिवर्तन की गणना करना सदैव कठिन होता है, दोनों लंबकोणीय आव्यूह का रूप लेते हैं। सारणिक±1 और परिमाण 1 के सभी अभिलक्षणिक मान [[ संख्यात्मक स्थिरता ]] के लिए बहुत लाभ का है। एक निहितार्थ यह है कि स्थिति संख्या 1 जो न्यूनतम है, इसलिए लंबकोणीय आव्यूह के साथ गुणा करते समय त्रुटियों को बढ़ाया नहीं जाता है। कई कलन विधि लंबकोणीय आव्यूहों जैसे हाउसहोल्डर प्रतिबिंब का उपयोग करते हैं तथा इस कारण से दिए गए क्रमावर्तन का प्रयोग करते हैं। यह भी सहायक है कि न केवल लंबकोणीय आव्यूह वर्तनीय है बल्कि इसका प्रतिलोम सूचकांकों के विनिमय द्वारा अनिवार्य रूप से मुक्त भी है।
-कई एल्गोरिदम की सफलता के लिए क्रमपरिवर्तन आवश्यक हैं, जिसमें पिवट तत्व # आंशिक और पूर्ण पिवोटिंग के साथ वर्कहॉर्स गॉसियन उन्मूलन शामिल है (जहां क्रमपरिवर्तन धुरी करते हैं)। हालांकि, वे शायद ही कभी स्पष्ट रूप से मैट्रिसेस के रूप में प्रकट होते हैं; उनका विशेष रूप अधिक कुशल प्रतिनिधित्व की अनुमति देता है, जैसे कि की सूची {{mvar|n}} सूचकांक।
+कई कलन विधि की सफलता के लिए क्रमपरिवर्तन आवश्यक हैं, जिसमें अधिक परिश्रमी व्यक्ति गौसी उन्मूलन के साथ आशिक धुरी सम्मिलित होती है (जहां क्रमपरिवर्तन धुरी का काम करते हैं)। चूँकि, वे शायद ही कभी स्पष्ट रूप से आव्यूह के रूप में प्रकट होते हैं, उनका विशेष रूप अधिक कुशल प्रतिनिधित्व की अनुमति देता है, जैसे कि की सूची {{mvar|n}} सूचकांक में है।
-इसी तरह, हाउसहोल्डर और गिवेंस मैट्रिसेस का उपयोग करने वाले एल्गोरिदम आमतौर पर गुणन और भंडारण के विशेष तरीकों का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, एक गिवेंस रोटेशन एक मैट्रिक्स की केवल दो पंक्तियों को प्रभावित करता है जो इसे गुणा करता है, क्रम के पूर्ण [[ मैट्रिक्स गुणन ]] को बदलता है {{math|''n''<sup>3</sup>}} बहुत अधिक कुशल आदेश के लिए {{mvar|n}}. जब इन प्रतिबिंबों और घुमावों का उपयोग एक मैट्रिक्स में शून्य का परिचय देता है, तो रिक्त स्थान परिवर्तन को पुन: उत्पन्न करने के लिए पर्याप्त डेटा संग्रहीत करने के लिए पर्याप्त होता है, और ऐसा मजबूती से करता है। (निम्नलिखित {{harvtxt|Stewart|1976}}, हम एक रोटेशन एंगल स्टोर नहीं करते हैं, जो महंगा और खराब व्यवहार दोनों है।)
+इसी तरह, हाउसहोल्डर और दिए गए आव्यूह का उपयोग करने वाले कलन विधि अधिकांशता गुणन और संचयन के विशेष तरीकों का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, दिया गया क्रमावर्तन एक [[आव्यूह]] की दो पंक्तियों को प्रभावित करता है जो इसे गुणन करता है, और ''n''<sup>3</sup> क्रम के पूर्ण [[गुणन]] को और अधिक कुशल {{mvar|n}} क्रम में बदल देता है। जब इन प्रतिबिंबों और क्रमावर्तन का उपयोग आव्यूह में शून्य का तत्समक करता है, तो समष्टि परिवर्तन को पुन: उत्पन्न करने के लिए पर्याप्त आँकड़े संचय करने के लिए पर्याप्त है, और यह बहुत ही तेजी से किया जा सके। [[स्टीवर्ट के बाद (1976) में]], हम एक क्रमावर्तन कोण को संचय नहीं करते हैं, जो महंगा भी है और बुरा भी।
 ===अपघटन ===
-कई महत्वपूर्ण [[ मैट्रिक्स अपघटन ]] {{harv|Golub|Van Loan|1996}} विशेष रूप से ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस शामिल करें:
+कई महत्वपूर्ण [[ मैट्रिक्स अपघटन | आव्यूह अपघटन]] {{harv|Golub|Van Loan|1996}} विशेष रूप से लंबकोणीय आव्यूह में सम्मिलित है।
-क्यूआर अपघटन |{{mvar|QR}} अपघटन: {{math|1=''M'' = ''QR''}}, {{mvar|Q}} ओर्थोगोनल, {{mvar|R}} ऊपरी त्रिकोणीय
+{{mvar|QR}} अपघटन,
-;[[ विलक्षण मान अपघटन ]] : {{math|1=''M'' = ''U''Σ''V''<sup>T</sup>}}, {{mvar|U}} तथा {{mvar|V}} ओर्थोगोनल, {{math|Σ}} विकर्ण मैट्रिक्स
-;मैट्रिक्स का ईजेनडीकम्पोज़िशन ([[ वर्णक्रमीय प्रमेय ]] के अनुसार अपघटन): {{math|1=''S'' = ''Q''Λ''Q''<sup>T</sup>}}, {{mvar|S}} सममित, {{mvar|Q}} ओर्थोगोनल, {{math|Λ}} विकर्ण
+{{math|1=''M'' = ''QR''}}, {{mvar|Q}} लंबकोणीय, {{mvar|R}} ऊपरी त्रिकोणीय
-;[[ ध्रुवीय अपघटन ]] : {{math|1=''M'' = ''QS''}}, {{mvar|Q}} ओर्थोगोनल, {{mvar|S}} सममित सकारात्मक-अर्धपरिमित
+;[[ विलक्षण मान अपघटन | विलक्षण मान अपघटन]]: {{math|1=''M'' = ''U''Σ''V''<sup>T</sup>}}, {{mvar|U}} तथा {{mvar|V}} लंबकोणीय, {{math|Σ}} विकर्ण आव्यूह
+;आव्यूह का अभिलक्षणिक अपघटन ([[ वर्णक्रमीय प्रमेय | वर्णक्रमीय प्रमेय]] के अनुसार अपघटन): {{math|1=''S'' = ''Q''Λ''Q''<sup>T</sup>}}, {{mvar|S}} सममित, {{mvar|Q}} लंबकोणीय, {{math|Λ}} विकर्ण
+;[[ ध्रुवीय अपघटन | ध्रुवीय अपघटन]]: {{math|1=''M'' = ''QS''}}, {{mvar|Q}} लंबकोणीय, {{mvar|S}} सममित सकारात्मक-अर्धपरिमित
 ==== उदाहरण ====
-रैखिक समीकरणों की एक अतिनिर्धारित प्रणाली पर विचार करें, जैसा कि प्रयोगात्मक त्रुटियों की भरपाई के लिए भौतिक घटना के बार-बार माप के साथ हो सकता है। लिखना {{math|1=''A'''''x''' = '''b'''}}, कहाँ पे {{mvar|A}} है {{math|''m'' × ''n''}}, {{math|''m'' > ''n''}}.
+रैखिक समीकरणों की एक अतिनिर्धारित प्रणाली पर बातचीत करने पर, जैसा कि प्रयोगात्मक त्रुटियों की क्षतिपूर्ति के लिए भौतिक घटना के बार-बार परीक्षण से होता है। लिखे {{math|1=''A'''''x''' = '''b'''}}, जहाँ पे {{mvar|A}} है {{math|''m'' × ''n''}}, {{math|''m'' > ''n''}}.
-ए {{mvar|QR}} अपघटन कम हो जाता है {{mvar|A}} ऊपरी त्रिकोणीय के लिए {{mvar|R}}. उदाहरण के लिए, यदि {{mvar|A}} है {{nowrap|5 × 3}} फिर {{mvar|R}} रूप है
+ए {{mvar|QR}} अपघटन कम हो जाता है। {{mvar|A}} ऊपरी त्रिकोणीय के लिए {{mvar|R}}. उदाहरण के लिए, यदि {{mvar|A}} {{nowrap|5 × 3}} है जो {{mvar|R}} रूप में है।
 <math display="block">R = \begin{bmatrix}
 \cdot & \cdot & \cdot \\
@@ Line 217: / Line 226: @@
 & 0 & 0
 \end{bmatrix}.</math>
-[[ रैखिक कम से कम वर्ग (गणित) ]] समस्या को खोजने के लिए है {{math|'''x'''}} जो कम करता है {{math|{{norm|''A'''''x''' − '''b'''}}}}, जो प्रक्षेपित करने के बराबर है {{math|'''b'''}} उप-स्थान के लिए के स्तंभों द्वारा फैलाया गया {{mvar|A}}. के स्तंभों को मानते हुए {{mvar|A}} (और इसलिए {{mvar|R}}) स्वतंत्र हैं, प्रक्षेपण समाधान से पाया जाता है {{math|1=''A''<sup>T</sup>''A'''''x''' = ''A''<sup>T</sup>'''b'''}}. अब {{math|''A''<sup>T</sup>''A''}} वर्गाकार है ({{math|''n'' × ''n''}}) और उलटा, और बराबर भी {{math|''R''<sup>T</sup>''R''}}. लेकिन शून्य की निचली पंक्तियों में {{mvar|R}} उत्पाद में अतिश्योक्तिपूर्ण हैं, जो इस प्रकार पहले से ही निचले-त्रिकोणीय ऊपरी-त्रिकोणीय कारक रूप में है, जैसा कि गाऊसी उन्मूलन ([[ चोल्स्की अपघटन ]]) में है। यहां रूढ़िवादिता न केवल कम करने के लिए महत्वपूर्ण है {{math|1=''A''<sup>T</sup>''A'' = (''R''<sup>T</sup>''Q''<sup>T</sup>)''QR''}} प्रति {{math|''R''<sup>T</sup>''R''}}, बल्कि संख्यात्मक समस्याओं को बढ़ाए बिना समाधान की अनुमति देने के लिए भी।
-एक रैखिक प्रणाली के मामले में जो कम निर्धारित है, या अन्यथा गैर-उलटा मैट्रिक्स, एकवचन मूल्य अपघटन (एसवीडी) समान रूप से उपयोगी है। साथ {{mvar|A}} के रूप में कारक {{math|''U''Σ''V''<sup>T</sup>}}, एक संतोषजनक समाधान मूर-पेनरोज़ [[ छद्म उलटा ]] का उपयोग करता है, {{math|''V''Σ<sup>+</sup>''U''<sup>T</sup>}}, कहाँ पे {{math|Σ<sup>+</sup>}} केवल प्रत्येक गैर-शून्य विकर्ण प्रविष्टि को उसके व्युत्क्रम से प्रतिस्थापित करता है। समूह {{math|'''x'''}} प्रति {{math|''V''Σ<sup>+</sup>''U''<sup>T</sup>'''b'''}}.
+[[ रैखिक कम से कम वर्ग (गणित) |रैखिक कम से कम वर्ग गणित]] समस्या x को खोजने के लिए है जो ||Ax - b|| को छोटा करता है जो A के कॉलम द्वारा {{math|मानदंड 'ए' 'एक्स' − 'बी'}} फैलाए गए उप-स्थान पर {{math|'''b'''}} को प्रोजेक्ट करने के बराबर है। {{mvar|A}} (और इसलिए {{mvar|R}}) के कॉलम को स्वतंत्र मानते हुए, प्रक्षेपण समाधान {{math|1=''A''<sup>T</sup>''A'''''x''' = ''A''<sup>T</sup>'''b'''}} से मिलता है। अब ({{math|''n'' × ''n''}}) और व्युत्क्रम है, और {{math|''R''<sup>T</sup>''R''}} के बराबर भी है। लेकिन {{mvar|R}} में शून्य की निचली पंक्तियाँ उत्पाद में ज़रूरत से ज़्यादा हैं, जो इस प्रकार पहले से ही निचले-त्रिकोणीय ऊपरी-त्रिकोणीय तथ्यात्मक रूप में है, जैसा कि गाऊसी उन्मूलन ([[ चोल्स्की अपघटन |चोल्स्की अपघटन]]) में है। यहाँ रूढ़िवादिता न केवल {{math|1=''A''<sup>T</sup>''A'' = (''R''<sup>T</sup>''Q''<sup>T</sup>)''QR''}} में कम करने के लिए महत्वपूर्ण है, लेकिन यह संख्यात्मक समस्याओं को बढ़ाए बिना समाधान की अनुमति देने के लिए भी है।
-वर्ग उलटा मैट्रिक्स का मामला भी रुचि रखता है। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, कि {{mvar|A}} एक है {{nowrap|3 × 3}} रोटेशन मैट्रिक्स जिसकी गणना कई ट्विस्ट और टर्न की संरचना के रूप में की गई है। फ़्लोटिंग पॉइंट वास्तविक संख्याओं के गणितीय आदर्श से मेल नहीं खाता है, इसलिए {{mvar|A}} धीरे-धीरे अपनी वास्तविक रूढ़िवादिता को खो दिया है। एक ग्राम-श्मिट प्रक्रिया स्तंभों को [[ ऑर्थोगोनलाइज़ेशन ]] कर सकती है, लेकिन यह सबसे विश्वसनीय, न ही सबसे कुशल, और न ही सबसे अपरिवर्तनीय विधि है। ध्रुवीय अपघटन एक मैट्रिक्स को एक जोड़ी में कारक बनाता है, जिनमें से एक दिए गए मैट्रिक्स के लिए अद्वितीय निकटतम ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है, या यदि दिया गया मैट्रिक्स एकवचन है तो निकटतम में से एक है। (निकटता को आधार के ऑर्थोगोनल परिवर्तन के तहत किसी भी [[ मैट्रिक्स मानदंड ]] अपरिवर्तनीय द्वारा मापा जा सकता है, जैसे वर्णक्रमीय मानदंड या फ्रोबेनियस मानदंड।) निकट-ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के लिए, ऑर्थोगोनल कारक के लिए तेजी से अभिसरण न्यूटन की विधि दृष्टिकोण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। प्रति {{harvtxt|Higham|1986}} (# CITEREFHigham1990), बार-बार मैट्रिक्स को इसके व्युत्क्रम स्थानान्तरण के साथ औसत करता है। {{harvtxt|Dubrulle|1999}} सुविधाजनक अभिसरण परीक्षण के साथ एक त्वरित विधि प्रकाशित की है।
+एक रैखिक प्रणाली की स्थिति जो अनिश्चित है, या अन्यथा अपरिवर्तनीय आव्यूह का विलक्षण मान अपघटन (एसवीडी) समान रूप से उपयोगी है। साथ {{mvar|A}} के रूप में कारक {{math|''U''Σ''V''<sup>T</sup>}}, संतोषजनक समाधान मूर-पेनरोज़ का उपयोग करता है, {{math|''V''Σ<sup>+</sup>''U''<sup>T</sup>}}, जहाँ पे {{math|Σ<sup>+</sup>}} केवल प्रत्येक गैर-शून्य विकर्ण प्रविष्टि को उसके व्युत्क्रम से प्रतिस्थापित करता है। समूह {{math|'''x'''}} प्रति {{math|''V''Σ<sup>+</sup>''U''<sup>T</sup>'''b'''}}.
-उदाहरण के लिए, एक गैर-ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स पर विचार करें जिसके लिए साधारण औसत एल्गोरिथ्म सात कदम उठाता है
+व्युत्क्रम आव्यूह की घटना भी महत्व रखती है। उदाहरण के लिए मान लीजिए, कि {{mvar|A}} एक 3 × 3 क्रमावर्तन आव्यूह जिसकी गणना कई घुमाव और टर्न की संरचना के रूप में की गई है। चल बिंदु वास्तविक संख्याओं के गणितीय आदर्श से मेल नहीं खाते है, इसलिए {{mvar|A}} धीरे-धीरे अपनी वास्तविक रूढ़िवादिता को खो दिया है। एक ग्राम-श्मिट प्रक्रिया कॉलम को [[ ऑर्थोगोनलाइज़ेशन | लंबकोणीयाइज़ेशन]] कर सकती है, लेकिन यह सबसे विश्वसनीय नहीं है, और न ही सबसे कुशल, और न ही सबसे अपरिवर्तनीय विधि है।ध्रुवीय विघटन के कारण युग्म में एक आव्यूह होता है, जिनमें से एक दिए गए आव्यूह के लिए अद्वितीय निकटतम लंबकोणीय आव्यूह होता है, या दिए गए आव्यूह एकवचन है तो निकटतम में से एक होता है। निकटता को आधार के लंबकोणीय परिवर्तन के तहत किसी भी [[ मैट्रिक्स मानदंड | आव्यूह मानदंड]]  अपरिवर्तनीय द्वारा मापा जा सकता है, जैसे वर्णक्रमीय मानदंड या फ्रोबेनियस मानदंड, निकट-लंबकोणीय आव्यूह के लिए, लंबकोणीय कारक के लिए तेजी से अभिसरण न्यूटन की विधि द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। हिघम (1986) (1990), आव्यूह को बार-बार इसके व्युत्क्रम स्थानांतरण के साथ औसत करता है। {{harvtxt|Dubrulle|1999}} एक सुविधाजनक अभिसरण परीक्षण के साथ एक त्वरित विधि प्रकाशित की है।
-<math display="block">\begin{bmatrix}3 & 1\\7 & 5\end{bmatrix}
+उदाहरण के लिए, एक गैर-लंबकोणीय आव्यूह पर विचार करें जिसके लिए साधारण औसत कलन विधि सात चरण लेती है।<math display="block">\begin{bmatrix}3 & 1\\7 & 5\end{bmatrix}
 \rightarrow
 \begin{bmatrix}1.8125 & 0.0625\\3.4375 & 2.6875\end{bmatrix}
@@ Line 244: / Line 253: @@
 ===यादृच्छिकीकरण===
-कुछ संख्यात्मक अनुप्रयोग, जैसे कि [[ मोंटे कार्लो विधि ]] तरीके और उच्च-आयामी डेटा रिक्त स्थान की खोज, [[ समान वितरण (निरंतर) ]] यादृच्छिक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स की पीढ़ी की आवश्यकता होती है। इस संदर्भ में, हार माप के संदर्भ में वर्दी को परिभाषित किया गया है, जो अनिवार्य रूप से आवश्यक है कि किसी भी स्वतंत्र रूप से चुने गए ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स द्वारा गुणा किए जाने पर वितरण में परिवर्तन न हो। [[ सांख्यिकीय स्वतंत्रता ]] के साथ ऑर्थोगोनलाइज़िंग मेट्रिसेस समान रूप से वितरित रैंडम प्रविष्टियाँ समान रूप से वितरित ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस में परिणाम नहीं देती हैं{{Citation needed|date=June 2009}}, लेकिन क्यूआर अपघटन|{{mvar|QR}} स्वतंत्र [[ सामान्य वितरण ]] का अपघटन यादृच्छिक प्रविष्टि करता है, जब तक कि का विकर्ण {{mvar|R}} केवल सकारात्मक प्रविष्टियां शामिल हैं {{harv|Mezzadri|2006}}. {{harvtxt|Stewart|1980}} इसे एक अधिक कुशल विचार के साथ बदल दिया {{harvtxt|Diaconis|Shahshahani|1987}} बाद में उपसमूह एल्गोरिथ्म के रूप में सामान्यीकृत किया गया (जिस रूप में यह क्रमपरिवर्तन और घुमाव के लिए भी काम करता है)। एक उत्पन्न करने के लिए {{math|(''n'' + 1) × (''n'' + 1)}} ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स, एक ले लो {{math|''n'' × ''n''}} एक और आयाम का एक समान रूप से वितरित इकाई वेक्टर {{nowrap|''n'' + 1}}. वेक्टर से हाउसहोल्डर रिफ्लेक्शन बनाएं, फिर इसे छोटे मैट्रिक्स पर लागू करें (नीचे दाएं कोने में 1 के साथ बड़े आकार में एम्बेड किया गया)।
+कुछ संख्यात्मक अनुप्रयोग, जैसे कि [[ मोंटे कार्लो विधि ]] और उच्च-आयामी आँकड़े दूरी की खोज के लिए, [[ समान वितरण (निरंतर) |समान रूप से वितरित]] यादृच्छिक लंबकोणीय आव्यूह की उत्पति की आवश्यकता होती है। इस संदर्भ में, हार (haar) माप के संदर्भ में एकसार को परिभाषित किया गया है, जो अनिवार्य रूप से आवश्यक है कि किसी भी स्वतंत्र रूप से चुने गए लंबकोणीय आव्यूह द्वारा गुणा किए जाने पर वितरण में परिवर्तन न हो। [[ सांख्यिकीय स्वतंत्रता ]] के साथ लंबकोणीयाइज़िंग आव्यूह समान रूप से वितरित यादृच्छिक प्रविष्टियाँ समान रूप से वितरित लंबकोणीय आव्यूह में परिणाम नहीं देती हैं{{Citation needed|date=June 2009}}, लेकिन {{mvar|QR}} अपघटन स्वतंत्र [[ सामान्य वितरण ]] का अपघटन यादृच्छिक प्रविष्टि करता है, जब तक R के विकर्ण में केवल धनात्मक प्रविष्टियाँ सम्मिलित होती हैं [[(मेजादरी 2006 ), (स्टीवर्ट 1980)]] इसे एक अधिक कुशल विचार के साथ बदल दिया [[(डायकोनिस और शाहशाहनी 1987)]] बाद में उपसमूह कलन विधि के रूप में सामान्यीकृत किया गया इस रूप में यह क्रमचय और क्रमावर्तन के लिए भी काम करता है। एक  {{math|(''n'' + 1) × (''n'' + 1)}} लंबकोणीय आव्यूह उत्पन्न करने के लिए, {{math|''n'' × ''n''}} एक और आयाम एक समान रूप से वितरित इकाई सदिश {{nowrap|''n'' + 1}} से हाउसहोल्ड प्रतिबिम्ब बनाते है, फिर इसे छोटे आव्यूह पर लागू करते है। नीचे दाएं कोने में 1 के साथ बड़े आकार में सन्निहित किया गया।
+कुछ संख्यात्मक अनुप्रयोगों, जैसे कि मोंटे कार्लो विधि और उच्च-आयामी आंकड़े स्थानों के अन्वेषण के लिए समान रूप से वितरित यादृच्छिक आव्यूह के उत्पादन की आवश्यकता होती है।
-=== निकटतम ओर्थोगोनल मैट्रिक्स ===
+=== निकटतम लंबकोणीय आव्यूह ===
+दिए गए आव्यूह M के निकटतम लंबकोणीय आव्यूह का Q से जुड़ी समस्या का मान ज्ञात करने के लिए उपयुक्त [[लंबकोणीय प्रोक्रस्ट्स]] इसकी [[समस्या]] से संबंधित है। अद्वितीय समाधान प्राप्त करने के कई अलग-अलग तरीके हैं, जिनमें से सबसे सरल विशिष्ट मूल्य {{mvar|M}} अपघटन को प्राप्त कर विशिष्ट मूल्यों को एक साथ बदल देते हैं। एक अन्य विधि {{mvar|R}} स्पष्ट रूप से व्यक्त करती है। लेकिन [[ मैट्रिक्स वर्गमूल | आव्यूह वर्गमूल]] के उपयोग की आवश्यकता होती है।<ref>[http://people.csail.mit.edu/bkph/articles/Nearest_Orthonormal_Matrix.pdf "Finding the Nearest Orthonormal Matrix"], [[Berthold K.P. Horn]], [[MIT]].</ref>
-ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स खोजने की समस्या {{mvar|Q}} किसी दिए गए मैट्रिक्स के निकटतम {{mvar|M}} [[ ऑर्थोगोनल प्रोक्रस्ट्स समस्या ]] से संबंधित है। अद्वितीय समाधान प्राप्त करने के कई अलग-अलग तरीके हैं, जिनमें से सबसे सरल एकवचन मान का अपघटन ले रहा है {{mvar|M}} और एकवचन मूल्यों को लोगों के साथ बदलना। एक अन्य विधि व्यक्त करती है {{mvar|R}} स्पष्ट रूप से लेकिन [[ मैट्रिक्स वर्गमूल ]] के उपयोग की आवश्यकता है:<ref>[http://people.csail.mit.edu/bkph/articles/Nearest_Orthonormal_Matrix.pdf "Finding the Nearest Orthonormal Matrix"], [[Berthold K.P. Horn]], [[MIT]].</ref>
 <math display="block">Q = M \left(M^\mathrm{T} M\right)^{-\frac 1 2}</math>
-यह पुनरावृत्ति देने के लिए एक मैट्रिक्स के वर्गमूल को निकालने के लिए बेबीलोनियन विधि के साथ जोड़ा जा सकता है जो एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स को द्विघात रूप से अभिसरण करता है:
+यह पुनरावृत्ति देने के लिए एक आव्यूह का वर्गमूल निकालने के लिए बेबीलोनियन विधि के साथ जोड़ा जा सकता है जो एक लंबकोणीय आव्यूह को द्विघात रूप से अभिसरण करता है।
 <math display="block">Q_{n + 1} = 2 M \left(Q_n^{-1} M + M^\mathrm{T} Q_n\right)^{-1}</math>
-कहाँ पे {{math|1=''Q''<sub>0</sub> = ''M''}}.
+जहाँ पे {{math|1=''Q''<sub>0</sub> = ''M''}}.
 ये पुनरावृत्तियां स्थिर हैं बशर्ते की स्थिति संख्या {{mvar|M}} तीन से कम है।<ref>[http://www.maths.manchester.ac.uk/~nareports/narep91.pdf "Newton's Method for the Matrix Square Root"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110929131330/http://www.maths.manchester.ac.uk/~nareports/narep91.pdf |date=2011-09-29 }}, Nicholas J. Higham, Mathematics of Computation, Volume 46, Number 174, 1986.</ref>
-व्युत्क्रम के प्रथम-क्रम के सन्निकटन का उपयोग करना और उसी आरंभीकरण के परिणामस्वरूप संशोधित पुनरावृत्ति होती है:
+व्युत्क्रम के प्रथम-क्रम के सन्निकटन का उपयोग करना और उसी आरंभीकरण के परिणामस्वरूप संशोधित पुनरावृत्ति होती है।
 <math display="block">N_{n} = Q_n^\mathrm{T} Q_n</math>
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 == स्पिन और पिन ==
-एक सूक्ष्म तकनीकी समस्या ऑर्थोगोनल मैट्रिसेस के कुछ उपयोगों को प्रभावित करती है। निर्धारक +1 और -1 के साथ समूह घटक न केवल एक दूसरे से जुड़े हुए स्थान हैं, यहां तक कि +1 घटक भी, {{math|SO(''n'')}}, केवल जुड़ा हुआ स्थान नहीं है (SO(1) को छोड़कर, जो तुच्छ है)। इस प्रकार कभी-कभी एसओ (एन), [[ स्पिनर समूह ]] के [[ कवरिंग मैप ]] के साथ काम करना फायदेमंद या आवश्यक भी होता है, {{math|Spin(''n'')}}. वैसे ही, {{math|O(''n'')}} कवरिंग ग्रुप, [[ पिन समूह ]], पिन (एन) है। के लिये {{math|''n'' > 2}}, {{math|Spin(''n'')}} बस जुड़ा हुआ है और इस प्रकार के लिए सार्वभौमिक कवरिंग समूह {{math|SO(''n'')}}. स्पिन समूह का अब तक का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण है {{math|Spin(3)}}, जो और कुछ नहीं {{math|SU(2)}}, या इकाई चतुष्कोणों का समूह।
+एक सूक्ष्म तकनीकी समस्या लंबकोणीय आव्यूह के कुछ उपयोगों को प्रभावित करती है। सारणिक +1 और -1 वाले समूह घटक एक दूसरे से न केवल जुड़े नहीं हैं, यहां तक कि +1 घटक भी, {{math|SO(''n'')}}, केवल जुड़ा हुआ स्थान नहीं है, SO(1) को छोड़कर, जो तुच्छ है। इस प्रकार यह कभी कभी लाभप्रद होता है, या इसके लिए एक [[आवरण समूह]] SO(''n'') के साथ काम करना आवश्यक होता है, स्पिन समूह, {{math|Spin(''n'')}}. वैसे ही, {{math|O(''n'')}} आवरण ग्रुप में,[[ पिन समूह ]],होते हैं। पिन(''n'') के लिये {{math|''n'' > 2}}, स्पिन एन {{math|Spin(''n'')}} बस जुड़ा हुआ है और इस प्रकार के लिए विशवव्यापी आवरण समूह {{math|SO(''n'')}}. हैं। स्पिन समूह का अब तक का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण है {{math|Spin(3)}}, जो और कुछ नहीं {{math|SU(2)}}, या इकाई चतुष्कोणों का समूह हैं।
-पिन और स्पिन समूह क्लिफोर्ड बीजगणित के भीतर पाए जाते हैं, जो स्वयं ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस से बनाए जा सकते हैं।
+पिन और स्पिन समूह क्लिफोर्ड बीजगणित के भीतर पाए जाते हैं, जो स्वयं लंबकोणीय आव्यूह से बनाए जा सकते हैं।
-==आयताकार मैट्रिक्स ==
+==आयताकार आव्यूह ==
-{{Main|Semi-orthogonal matrix}}
+{{Main|सेमी-ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स}}
-यदि {{mvar|Q}} एक वर्ग मैट्रिक्स नहीं है, तो शर्तें {{math|1=''Q''<sup>T</sup>''Q'' = ''I''}} तथा {{math|1=''QQ''<sup>T</sup> = ''I''}} समकक्ष नहीं हैं। स्थिति {{math|1=''Q''<sup>T</sup>''Q'' = ''I''}} कहता है कि Q के स्तंभ लम्बवत हैं। यह तभी हो सकता है जब {{mvar|Q}} एक {{math|''m'' × ''n''}} मैट्रिक्स के साथ {{math|''n'' ≤ ''m''}} (रैखिक निर्भरता के कारण)। इसी प्रकार, {{math|1=''QQ''<sup>T</sup> = ''I''}} कहते हैं कि की पंक्तियाँ {{mvar|Q}} ऑर्थोनॉर्मल हैं, जिनकी आवश्यकता है {{math|''n'' ≥ ''m''}}.
+यदि {{mvar|Q}} एक वर्ग आव्यूह नहीं है, तब स्थितियाँ {{math|1=''Q''<sup>T</sup>''Q'' = ''I''}} तथा {{math|1=''QQ''<sup>T</sup> = ''I''}} समकक्ष नहीं हैं। स्थिति {{math|1=''Q''<sup>T</sup>''Q'' = ''I''}} के अनुसार Q के लम्बवत कॉलम हैं। यह तभी हो सकता है जब {{mvar|Q}} एक {{math|''m'' × ''n''}} रैखिक निर्भरता के कारण {{math|''n'' ≤ ''m''}} के साथ आव्यूह है। इसी प्रकार, {{math|1=''QQ''<sup>T</sup> = ''I''}}, {{mvar|Q}} की पंक्तियां लंबकोणीय जिसके लिए हैं, {{math|''n'' ≥ ''m''}}.की आवश्यकता है।
-इन मैट्रिक्स के लिए कोई मानक शब्दावली नहीं है। उन्हें अर्ध-ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स, ऑर्थोनॉर्मल मैट्रिक्स, ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स, और कभी-कभी ऑर्थोनॉर्मल पंक्तियों/स्तंभों के साथ बस मैट्रिक्स कहा जाता है।
+इन आव्यूह के लिए कोई मानक शब्दावली नहीं है। इन्हे विभिन्न प्रकार से अर्ध-लंबकोणीय आव्यूह कहा जाता है, प्रसामान्य लंबकोणीय आव्यूह, लंबकोणीय आव्यूह, और कभी कभी सिर्फ लंबकोणीय पंक्ति कॉलम के साथ आव्यूह होता है।
-मामले के लिए {{math|''n'' ≤ ''m''}}, ऑर्थोनॉर्मल कॉलम वाले मैट्रिस को k-फ्रेम के रूप में संदर्भित किया जा सकता है| ऑर्थोगोनल [[ कश्मीर फ्रेम ]] और वे [[ स्टिफ़ेल कई गुना ]] के तत्व हैं।
+इन स्थिति के लिए {{math|''n'' ≤ ''m''}}, प्रसामान्य लंबकोणीय कॉलम वाले आव्यूह को लंबकोणीय k- फ्रेम के रूप में संदर्भित किया जाता है| और ये [[स्टिफेल]] [[मैनिफोल्ड]] के तत्व हैं।
 == यह भी देखें ==
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 {{Matrix classes}}
-[[Category: आव्यूह]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:All articles with unsourced statements]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:Articles with short description]]
+[[Category:Articles with unsourced statements from June 2009]]
+[[Category:Collapse templates]]
 [[Category:Created On 14/11/2022]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
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ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स: Difference between revisions

Latest revision as of 23:37, 1 December 2022

अवलोकन

उदाहरण

प्राथमिक निर्माण

निचला आयाम

उच्च आयाम

प्राचीन

गुण

आव्यूह गुण

समूह गुण

विहित रूप

लेट बीजगणित

संख्यात्मक रैखिक बीजगणित

लाभ

अपघटन

उदाहरण

यादृच्छिकीकरण

निकटतम लंबकोणीय आव्यूह

स्पिन और पिन

आयताकार आव्यूह

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

बाहरी संबंध

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