स्प्लाईन (गणित): Difference between revisions

Latest revision as of 22:21, 7 December 2022

1/3 और 2/3 पर सिंगल नॉट C² पैरामीट्रिक सातत्यता के साथ तीन घन बहुपदों की स्प्लाईन स्थापित करते हैं। अंतराल के दोनों सिरों पर ट्रिपल नॉट्स सुनिश्चित करती हैं कि वक्र अंत बिंदुओं को प्रक्षेपित करता है

गणित में, स्प्लाईन एक विशेष प्रकार का फलन है जिसे बहुपदों द्वारा खंडशः परिभाषित किया जाता है। अंतर्वेशी (इंटरपोलेटिंग) समस्याओं में, स्प्लाईन अंतर्वेशन (इंटरपोलेशन) को प्रायः बहुपद अंतर्वेशन के लिए अधिमानित किया जाता है क्योंकि यह समान परिणाम प्रदान करता है, यहाँ तक कि निम्न कोटि बहुपद का उपयोग करते समय भी, उच्च कोटि के लिए रँगे की परिघटना से परिहरणित किया जाता है।

संगणक एडेड अभिकल्पना और संगणक ग्राफिक्स के संगणक विज्ञान उप-क्षेत्रों में, स्प्लाईन शब्द अधिक बार एक खंडशः बहुपद (पैरामीट्रिक) वक्र को संदर्भित करता है। इन उप-क्षेत्रों में स्प्लाईन प्रचलित वक्र हैं क्योंकि उनके निर्माण की सहजता, उनकी सुगमता और मूल्यांकन की यथार्थता, और वक्र समंजन और संवादात्मक वक्र अभिकल्पना के माध्यम से अनुमानित जटिल आकार प्रकार करने की क्षमता होती है।

स्प्लाईन शब्‍द नम्य स्प्लाईन उपकरणों से आता है जिसका उपयोग पोतनिर्माता (शिपबिल्डर्स) और नक्शानवीसों (ड्राफ्ट्समैन) द्वारा निष्कोण (स्मूथ) आकृति बनाने के लिए किया जाता है।

परिचय

"स्प्लाईन" शब्द का उपयोग फलनों की एक विस्तृत श्रेणी को संदर्भित करने के लिए किया जाता है जो डेटा अंतर्वेशन और/या स्मूथिंग की आवश्यकता वाले अनुप्रयोगों में उपयोग किए जाते हैं। डेटा एक-विमीय या बहु-विमीय हो सकता है। अंतर्वेशन के लिए स्प्लाईन फलन सामान्य रूप से अंतर्वेशन बाध्यताओं (कंस्ट्रेंट्स) के अधीन अपरिष्कृतता के उपयुक्त उपायों (उदाहरण के लिए अभिन्न वर्ग वक्रता) के न्यूनतमीकारक के रूप में निर्धारित किए जाते हैं। स्मूथिंग स्प्लाईन को अंतर्वेशन स्प्लाईन के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है जहाँ फलन प्रेक्षित डेटा और अपरिष्कृतता माप पर औसत वर्ग सन्निकटन त्रुटि के भारित संयोजन को कम करने के लिए निर्धारित किए जाते हैं। अपरिष्कृतता की माप की कई अर्थपूर्ण परिभाषाओं के लिए, स्प्लाईन फलन प्रकृति में परिमित विमीय पाए जाते हैं, जो संगणना और निरूपण में उनकी उपयोगिता का प्राथमिक कारण है। इस खंड के शेष भागो के लिए, हम पूरी तरह से एक-विमीय, बहुपद विभाजन पर ध्यान केंद्रित करते हैं और इस प्रतिबंधित अर्थ में "स्प्लाईन" शब्द का उपयोग करते हैं।

परिभाषा

हम अपनी चर्चा को एक चर में बहुपदों तक सीमित रखते हुए शुरू करते हैं। इस स्थिति में, स्प्लाईन एक खंडशः बहुपद फलन है। यह फलन, इसे S से निरूपित किया जाता है, इनके मान अंतराल [a,b] से लिए जाते है और उन्हें वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $\mathbb {R}$ पर प्रतिचित्रित करता है,

S:[a,b]\to \mathbb {R} .

हम चाहते हैं कि S को खंडश: के अनुसार परिभाषित किया जाए। इसे पूरा करने के लिए, अंतराल [a,b] को k क्रमित से समाविष्ट किया जाना चाहिए, असंयुक्‍त उप-अंतराल,

[t_{i},t_{i+1}]{\mbox{ , }}i=0,\ldots ,k-1

[a,b]=[t_{0},t_{1})\cup [t_{1},t_{2})\cup \cdots \cup [t_{k-2},t_{k-1})\cup [t_{k-1},t_{k})\cup [t_{k}]

a=t_{0}\leq t_{1}\leq \cdots \leq t_{k-1}\leq t_{k}=b

[a,b] के इन k "खंडों" में से प्रत्येक पर, हम एक बहुपद को परिभाषित करना चाहते हैं, इसे P_i से निरूपित किया जाता है।

P_{i}:[t_{i},t_{i+1}]\to \mathbb {R}

.

[a,b] के iवें उपअंतराल पर, S को P_i द्वारा परिभाषित किया गया है,

S(t)=P_{0}(t){\mbox{ , }}t_{0}\leq t<t_{1},

S(t)=P_{1}(t){\mbox{ , }}t_{1}\leq t<t_{2},

\vdots

S(t)=P_{k-1}(t){\mbox{ , }}t_{k-1}\leq t\leq t_{k}.

दिए गए k+1 बिंदु t_i को नॉट कहा जाता है। सदिश ${\mathbf {t} }=(t_{0},\dots ,t_{k})$ को स्प्लाईन के लिए नॉट सदिश कहा जाता है। यदि नॉट्स को अंतराल [a,b] में समान रूप से वितरित किया जाता है, अतः स्प्लाईन को एकसमान कहा जाता है, अन्यथा हम कहते हैं कि यह असमान है।

यदि बहुपद के खंड P_i में प्रत्येक की कोटि अधिक से अधिक n होती है, अतः स्प्लाईन को कोटि $\leq n$ (या कोटि n+1) कहा जाता है।

यदि t_i के पड़ोस में $S\in C^{r_{i}}$ है, तो t_i पर स्प्लाईन स्मूथ फलन (कम से कम) $C^{r_{i}}$ का कहा जाता है। अर्थात्, t_i पर दो बहुपद खंड P_i-1 और P_i, 0 कोटि (फलन मान) के व्युत्पन्न से क्रम r_i (दूसरे शब्दों में, दो आसन्न बहुपद खंड अधिक से अधिक n - r_i की स्मूथनेस की हानि से जुड़ते हैं) के व्युत्पन्न के माध्यम से साझा व्युत्पन्न मान साझा करते हैं।

P_{i-1}^{(0)}(t)=P_{i}^{(0)}(t)

P_{i-1}^{(1)}(t)=P_{i}^{(1)}(t)

\vdots

P_{i-1}^{(r_{i})}(t)=P_{i}^{(r_{i})}(t)

.

सदिश ${\mathbf {r} }=(r_{1},\dots ,r_{k-1})$ इस प्रकार है की स्प्लाईन में $i=1,\ldots ,k-1$ के लिए t_i पर $C^{r_{i}}$ की स्मूथनेस होती है, इसे स्प्लाईन के लिए एक स्मूथनेस सदिश कहा जाता है।

नॉट सदिश ${\mathbf {t} }$ , n कोटि, और ${\mathbf {t} }$ के लिए एक स्मूथनेस सदिश ${\mathbf {r} }$ को देखते हुए, कोई भी कोटि $\leq n$ के सभी स्प्लाईन के समुच्चय पर विचार कर सकता है जिसमें नॉट सदिश ${\mathbf {t} }$ और स्मूथनेस सदिश ${\mathbf {r} }$ हो। दो फलनों को जोड़ने (बिंदुवार जोड़) और फलनों के वास्तविक गुणकों को लेने के संचालन से सुसज्जित, यह समुच्चय एक वास्तविक सदिश समष्टि बन जाता है। इस स्प्लाईन समष्टि को सामान्यतः $S_{n}^{\mathbf {r} }({\mathbf {t} })$ से दर्शाया जाता है।

यह एक नॉट सदिश की अधिक सामान्य समझ की ओर ले जाता है। किसी भी बिंदु पर सातत्य हानि को उस बिंदु पर स्थित कई विविध नॉट्स का परिणाम माना जा सकता है, और एक स्प्लाईन प्रकार को इसकी कोटि n और इसके विस्तारित नॉट सदिश द्वारा पूरी तरह से चित्रित किया जा सकता है।

S(t)\in C^{n-j_{i}-j_{i+1}}[t_{i}=t_{i+1}],

जहाँ

j_{i}=n-r_{i}

यह एक नॉट सदिश की अधिक सामान्य समझ की ओर ले जाता है। किसी भी बिंदु पर सातत्य हानि को उस बिंदु पर स्थित कई विविध नॉट्स का परिणाम माना जा सकता है, और एक स्प्लाईन प्रकार को इसकी कोटि n और इसके विस्तारित नॉट सदिश द्वारा पूरी तरह से चित्रित किया जा सकता है

(t_{0},t_{1},\cdots ,t_{1},t_{2},\cdots ,t_{2},t_{3},\cdots ,t_{k-2},t_{k-1},\cdots ,t_{k-1},t_{k})

जहाँ t_i को $i=1,\dots ,k-1$ के लिए j_i बार पुनरावर्तित किया जाता है।

अंतराल पर पैरामीट्रिक वक्र [a,b]

G(t)=(X(t),Y(t)){\mbox{ , }}t\in [a,b]

एक स्प्लाईन वक्र है यदि X और Y दोनों उस अंतराल पर समान विस्तारित नॉट वाले सदिशों के साथ समान कोटि के स्प्लाईन फलन हैं।

उदाहरण

मान लें कि अंतराल [a,b] [0,3] है और उप-अंतराल [0,1], [1,2] और [2,3] हैं। मान लीजिए कि बहुपद के खंड की कोटि 2 हैं, और [0,1] और [1,2] पर खंड मूल्य और पहले व्युत्पन्न (t=1 पर) में सम्मिलित होना चाहिए जबकि [1,2] और [2,3] पर खंड केवल मूल्य (t = 2 पर) में सम्मिलित हो जाते हैं। यह एक प्रकार की स्प्लाईन S(t) को परिभाषित करेगा जिसके लिए

S(t)=P_{0}(t)=-1+4t-t^{2}{\mbox{ , }}0\leq t<1

S(t)=P_{1}(t)=2t{\mbox{ , }}1\leq t<2

S(t)=P_{2}(t)=2-t+t^{2}{\mbox{ , }}2\leq t\leq 3

उसी प्रकार की इकाई होगी, और साथ ही, और साथ ही

S(t)=P_{0}(t)=-2-2t^{2}{\mbox{ , }}0\leq t<1

S(t)=P_{1}(t)=1-6t+t^{2}{\mbox{ , }}1\leq t<2

S(t)=P_{2}(t)=-1+t-2t^{2}{\mbox{ , }}2\leq t\leq 3

उसी प्रकार की इकाई होगी। (ध्यान दें: जबकि बहुपद का खंड 2t द्विघात नहीं है, फिर भी परिणाम को द्विघात स्प्लाईन कहा जाता है। यह दर्शाता है कि एक स्प्लाईन की कोटि उसके बहुपद भागों की अधिकतम कोटि होती है।) इस प्रकार के स्प्लाईन के लिए विस्तारित नॉट सदिश (0, 1, 2, 2, 3) होगा।

सरलतम स्प्लाईन की कोटि 0 होती है। इसे सोपानी फलन (स्टेप फंक्शन) भी कहा जाता है। अगली सबसे साधारण स्लाइन की कोटि 1 है। इसे रैखिक स्प्लाईन भी कहा जाता है। समतल में एक संवृत रैखिक स्प्लाईन (अर्थात, पहली नॉट और अंतिम समान हैं) केवल एक बहुभुज होता है।

एक सामान्य स्प्लाईन सातत्यता C² के साथ कोटि 3 की प्राकृतिक घनाकार स्प्लाईन है। "प्राकृतिक" शब्द का अर्थ है कि स्प्लाईन बहुपदों का दूसरा व्युत्पन्न प्रक्षेप के अंतराल के अंत बिंदुओं पर शून्य के बराबर समुच्चय किया गया है।

S''(a)\,=S''(b)=0.

यह स्प्लाईन को अंतराल के बाहर एक सीधी रेखा होने के लिए मजबूर करता है, जबकि इसकी स्मूथनेस को बाधित नहीं करता है।

प्राकृतिक घनाकार स्प्लाईन की गणना के लिए एल्गोरिद्म

घनाकार स्प्लाईन निम्नलिखित रूप ${S}_{j}\left(x\right)=a_{j}+b_{j}\left(x-x_{j}\right)+c_{j}{\left(x-x_{j}\right)}^{2}+d_{j}{\left(x-x_{j}\right)}^{3}$ में होता है।
निर्देशांक $C=\left[\left({x}_{0},{y}_{0}\right),\left({x}_{1},{y}_{1}\right),....,\left({x}_{n},{y}_{n}\right)\right]$ के दिए गए समुच्चय को हम $n\,$ के समुच्चय को खोजना चाहते हैं, $i=0,\ldots ,n-1$ के लिए ${S}_{i}\left(x\right)$ को विभाजित करते हैं।

$S_{i}\left(x_{i}\right)=y_{i}=S_{i-1}\left(x_{i}\right),i=1,\ldots ,n-1.$
$S_{0}\left(x_{0}\right)=y_{0}.$
$S_{n-1}\left(x_{n}\right)=y_{n}.$
${S'}_{i}\left(x_{i}\right)={S'}_{i-1}\left(x_{i}\right),i=1,\ldots ,n-1.$
${S''}_{i}\left(x_{i}\right)={S''}_{i-1}\left(x_{i}\right),i=1,\ldots ,n-1.$
${S''}_{0}\left(x_{0}\right)={S''}_{n-1}\left(x_{n}\right)=0$ .

आइए हम एक घनाकार स्प्लाईन $S\,$ को 5-टपल $(a,b,c,d,x_{t})\,$ के रूप में परिभाषित करते हैं जहाँ $a,b,c\,$ और $d\,$ , पहले दिखाए गए रूप में गुणांक के अनुरूप हैं और $x_{t}\,$ $x_{j}\,$ के बराबर है।

प्राकृतिक घनाकार स्प्लाईन संगणना के लिए एल्गोरिद्म:

इनपुट: $\left|C\right|=n+1$ के साथ $C\,$ निर्देशांक का समुच्चय

आउटपुट: समुच्चय स्प्लाईन जो n 5-टुपल्स से बना है।

माप n + 1 और के लिए एक नई सरणी बनाएँ $i=0,\ldots ,n$ समुच्चय $a_{i}=y_{i}\,$
n माप की नई सरणियाँ b और d बनाएँ।
माप n और के लिए नई सरणी h बनाएँ $i=0,\ldots ,n-1$ समुच्चय $h_{i}=x_{i+1}-x_{i}\,$
माप n और के लिए नई सरणी α बनाएँ $i=1,\ldots ,n-1$ समुच्चय ${\alpha }_{i}={\frac {3}{{h}_{i}}}\left({a}_{i+1}-{a}_{i}\right)-{\frac {3}{{h}_{i-1}}}\left({a}_{i}-{a}_{i-1}\right)$
नई सरणियाँ c, l, μ, और z प्रत्येक $n+1\,$ माप बनाएँ
समुच्चय $l_{0}=1,{\mu }_{0}=z_{0}=0\,$
के लिये $i=1,\ldots ,n-1\,$ $i=1,\ldots ,n-1\,$
1. समुच्चय ${l}_{i}=2\left({x}_{i+1}-{x}_{i-1}\right)-{h}_{i-1}{\mu }_{i-1}$
2. समुच्चय ${\mu }_{i}={\frac {{h}_{i}}{{l}_{i}}}$ .
3. समुच्चय ${z}_{i}={\frac {{\alpha }_{i}-{h}_{i-1}{z}_{i-1}}{{l}_{i}}}$
समुच्चय $l_{n}=1;z_{n}=c_{n}=0.\,$
के लिये $j=n-1,n-2,\ldots ,0$ $j=n-1,n-2,\ldots ,0$
1. समुच्चय $c_{j}=z_{j}-{\mu }_{j}c_{j+1}\,$
2. समुच्चय $b_{j}={\frac {{a}_{j+1}-{a}_{j}}{{h}_{j}}}-{\frac {{h}_{j}\left({c}_{j+1}+2{c}_{j}\right)}{3}}$
3. समुच्चय $d_{j}={\frac {{c}_{j+1}-{c}_{j}}{3{h}_{j}}}$
नई समुच्चय स्प्लाईन बनाएं और इसे आउटपुट_समुच्चय कहें। इसे n splines S से आबाद करें।
के लिये $i=0,\ldots ,n-1$ $i=0,\ldots ,n-1$
1. समुच्चय S_i_,a = a_i
2. समुच्चय S_i_,b = b_i
3. समुच्चय S_i_,c = c_i
4. समुच्चय एS_i_,d = d_i
5. समुच्चय S_i_,x = x_i
आउटपुट आउटपुट_समुच्चय

इस उच्च बहुलता के स्थान पर। परिपाटी के अनुसार, ऐसी कोई भी स्थिति दो निकटस्थ बहुपद खंडों के बीच एक साधारण विच्छिन्नता को इंगित करती है। इसका अर्थ यह है कि यदि एक विस्तारित नॉट सदिश में एक नॉट t_i, n + 1 बार से अधिक दिखाई देती है, तो इसके सभी उदाहरण (n + 1)वें से अधिक होने पर सभी गुणकों के बाद से स्प्लाईन के भूमिका को बदले बिना हटाया जा सकता है। n + 1, n + 2, n + 3, इत्यादि का एक ही अर्थ है। यह सामान्यतः माना जाता है कि किसी भी प्रकार की स्प्लाईन को परिभाषित करने वाले किसी भी नॉट सदिश का इस प्रकार चयन किया जा सकता है।

संख्यात्मक विश्लेषण में उपयोग की जाने वाली कोटि n के पारम्परिक स्प्लाईन प्रकार में सातत्यता होती है

S(t)\in \mathrm {C} ^{n-1}[a,b],\,

जिसका अर्थ है कि प्रत्येक दो आसन्न बहुपद खंड उनके मान में मिलते हैं और प्रत्येक नॉट पर पहले n - 1 डेरिवेटिव। गणितीय स्प्लाईन जो चपटी स्प्लाईन को सबसे नज़दीकी से प्रतिरूपित करता है, एक घन (n = 3), दो बार लगातार भिन्न होने योग्य (C²), प्राकृतिक स्प्लाईन है, जो इस शास्त्रीय प्रकार का एक स्प्लाईन है जिसमें समापन बिंदु a और b पर लगाए गए अतिरिक्त शर्तें हैं।

एक अन्य प्रकार की स्प्लाईन जो ग्राफिक्स में बहुत अधिक उपयोग की जाती है, उदाहरण के लिए एडोब सिस्टम्स से एडोब इलस्ट्रेटर जैसे ड्राइंग प्रोग्राम में, ऐसे खंड होते हैं जो घनाकार होते हैं लेकिन सातत्यता केवल अधिकतम होती है

S(t)\in \mathrm {C} ^{1}[a,b].

इस स्प्लाईन प्रकार का उपयोग पोस्टस्क्रिप्ट के साथ-साथ कुछ संगणक टाइपोग्राफिक फोंट की परिभाषा में भी किया जाता है।

कई संगणक-एडेड अभिकल्पना सिस्टम जो उच्च-अंत ग्राफिक्स और एनीमेशन के लिए अभिकल्पना किए गए हैं, विस्तारित नॉट सदिश का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए ऑटोडेस्क माया। संगणक-एडेड डिजाइन सिस्टम प्रायः एक गैर-समान तर्कसंगत बी-स्प्लाईन (एनयूआरबीएस) के रूप में जाने वाली एक स्प्लाईन की एक विस्तारित अवधारणा का उपयोग करते हैं।

यदि किसी फलन या भौतिक वस्तु से नमूनाकृत डेटा उपलब्ध है, तो स्प्लाईन अंतर्वेशन एक स्प्लाईन बनाने की एक विधि है जो उस डेटा का अनुमान लगाता है।

C² अंतर्वेशी घनाकार स्प्लाईन के लिए सामान्य व्यंजक

प्राकृतिक स्थिति के साथ एक बिंदु x पर iवें C² प्रक्षेपित घन स्प्लाईन के लिए सामान्य अभिव्यक्ति सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है

S_{i}(x)={\frac {z_{i}(x-t_{i-1})^{3}}{6h_{i}}}+{\frac {z_{i-1}(t_{i}-x)^{3}}{6h_{i}}}+\left[{\frac {f(t_{i})}{h_{i}}}-{\frac {z_{i}h_{i}}{6}}\right](x-t_{i-1})+\left[{\frac {f(t_{i-1})}{h_{i}}}-{\frac {z_{i-1}h_{i}}{6}}\right](t_{i}-x)

जहाँ

$z_{i}=f^{\prime \prime }(t_{i})$ iवें नॉट पर द्वितीय व्युत्पन्न के मान हैं।
$h_{i}^{}=t_{i}-t_{i-1}$
$f(t_{i}^{})$ iवें नॉट पर फलन के मान हैं।

निरूपण और नाम

किसी दिए गए अंतराल के लिए [a,b] और उस अंतराल पर दिए गए विस्तारित नॉट सदिश, कोटि n के स्प्लाईन एक सदिश समष्टि बनाते हैं। संक्षेप में इसका अर्थ यह है कि किसी दिए गए प्रकार के किसी भी दो स्प्लाईन को जोड़ने से उस दिए गए प्रकार के स्प्लाईन का उत्पादन होता है, और किसी दिए गए प्रकार के स्प्लाईन को किसी भी स्थिरांक से गुणा करने से उस दिए गए प्रकार का एक स्प्लाईन बनता है। एक निश्चित प्रकार के सभी स्प्लाईन युक्त स्थान का आयाम विस्तारित नॉट सदिश से गिना जा सकता है:

a=t_{0}<\underbrace {t_{1}=\cdots =t_{1}} _{j_{1}}<\cdots <\underbrace {t_{k-2}=\cdots =t_{k-2}} _{j_{k-2}}<t_{k-1}=b

j_{i}\leq n+1~,~~i=1,\ldots ,k-2.

आयाम कोटि के योग के साथ-साथ गुणकों के बराबर है

d=n+\sum _{i=1}^{k-2}j_{i}.

यदि किसी प्रकार के स्प्लाईन पर अतिरिक्त रैखिक शर्तें लागू होती हैं, तो परिणामी स्प्लाईन एक उपसमष्टि में होगी। उदाहरण के लिए, सभी प्राकृतिक घनाकार स्प्लाईनों का स्थान, सभी घनाकार C² स्प्लाईनों के स्थान का एक उपसमष्टि है।

स्प्लाईन का साहित्य विशेष प्रकार के स्प्लाईन के नामों से परिपूर्ण है। इन नामों को जोड़ा गया है:

स्प्लाईन को दर्शाने के लिए बनाए गए विकल्प, उदाहरण के लिए:
- संपूर्ण स्प्लाईन के लिए बेसिस फलन का उपयोग करना (हमें बी-स्प्लाईन नाम देना)
- प्रत्येक बहुपद खंड का प्रतिनिधित्व करने के लिए पियरे बेज़ियर द्वारा नियोजित बर्नस्टीन बहुपदों का उपयोग करना (हमें नाम बेज़ियर स्प्लाईन देना)
उदाहरण के लिए, विस्तारित नॉट सदिश बनाने में किए गए विकल्प:
- Cⁿ^-1 सातत्यता के लिए सिंगल नॉट्स का उपयोग करना और इन नॉट्स को समान रूप से [a,b] पर रखना (हमें एक समान स्प्लाईन देना)
- अंतराल पर बिना किसी प्रतिबंध के नॉट्स का उपयोग करना (हमें असमान स्प्लाईन देना)
स्प्लाईन पर लगाई गई कोई विशेष शर्तें, उदाहरण के लिए:
- ए और बी पर शून्य सेकेंड डेरिवेटिव लागू करना (हमें प्राकृतिक स्प्लाईन देना)
- आवश्यकता है कि दिए गए डेटा मान स्प्लाईन पर हों (हमें अंतर्वेशी स्प्लाईन देना)

ऊपर दी गई दो या अधिक मुख्य वस्तुओं को संतुष्ट करने वाली एक प्रकार की स्प्लाईन के लिए प्रायः एक विशेष नाम चुना गया था। उदाहरण के लिए, हर्मिट स्प्लाईन एक स्प्लाईन है जिसे प्रत्येक व्यक्तिगत बहुपद खंड का प्रतिनिधित्व करने के लिए हर्मिट बहुपद का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है। ये सबसे अधिक बार n = 3 के साथ उपयोग किए जाते हैं; वह है, जैसा कि घनाकार हर्मिट स्प्लाईन। इस कोटि में उन्हें अतिरिक्त रूप से केवल स्पर्शरेखा-निरंतर (C¹) के लिए चुना जा सकता है; जिसका अर्थ है कि सभी आंतरिक नॉट द्वैत होती है। दिए गए डेटा बिंदुओं में ऐसे स्प्लाईन्स को फिट करने के लिए कई तरीकों का आविष्कार किया गया है; अर्थात्, उन्हें अंतर्वेशी स्प्लाईन बनाने के लिए, और ऐसा करने के लिए प्रशंसनीय स्पर्शरेखा मूल्यों का अनुमान लगाकर ऐसा करना जहाँ प्रत्येक दो बहुपद खंड मिलते हैं (हमें कार्डिनल स्प्लाईन, कैटमुल-रोम स्प्लाईन और कोचनक-बार्टेल्स स्प्लाईन, प्रयुक्त विधि के आधार पर)।

प्रत्येक अभ्यावेदन के लिए, मूल्यांकन के कुछ साधन अवश्य खोजे जाने चाहिए ताकि माँग पर स्प्लाईन के मूल्यों का उत्पादन किया जा सके। उन निरूपणों के लिए जो कोटि n बहुपद के लिए कुछ आधार के संदर्भ में प्रत्येक व्यक्तिगत बहुपद P_i(t) को व्यक्त करते हैं, यह वैचारिक रूप से सीधा है:

तर्क t के दिए गए मान के लिए, वह अंतराल ज्ञात कीजिए जिसमें यह $t\in [t_{i},t_{i+1}]$ स्थित है
अंतराल $P_{0},\ldots ,P_{k-2}$ के लिए चुने गए बहुपद के आधार को देखें
प्रत्येक आधार बहुपद का मान t: $P_{0}(t),\ldots ,P_{k-2}(t)$ पर ज्ञात कीजिए
उन आधार बहुपदों के रैखिक संयोजन के गुणांकों को देखें जो उस अंतराल c₀, ..., c_k_-2 पर स्प्लाईन देते हैं
t पर स्प्लाईन का मान प्राप्त करने के लिए आधार बहुपद मानों के उस रैखिक संयोजन को जोड़ें:

\sum _{j=0}^{k-2}c_{j}P_{j}(t).

हालांकि, मूल्यांकन और योग के चरणों को प्रायः निपुणता से संयुक्त होते हैं। उदाहरण के लिए, बर्नस्टीन बहुपद बहुपदों के लिए एक आधार हैं जिनका विशेष पुनरावृत्ति संबंधों का उपयोग करके रैखिक संयोजनों में कुशलतापूर्वक मूल्यांकन किया जा सकता है। यह डी कैस्टेलजौ के एल्गोरिथम का सार है, जो बेज़ियर वक्रों और बेज़ियर स्प्लाईन्स में दिखाई देता है)।

एक प्रतिनिधित्व के लिए जो आधार स्प्लाईन के एक रैखिक संयोजन के रूप में एक स्प्लाईन को परिभाषित करता है, हालांकि, कुछ अधिक परिष्कृत की आवश्यकता है। डी बूर एल्गोरिथम बी-स्प्लाईन के मूल्यांकन के लिए एक कुशल विधि है।

इतिहास

संगणक का उपयोग करने से पहले संख्यात्मक गणना हाथ से की जाती थी। हालांकि खण्डशः परिभाषित फलनों जैसे साइन फलन या सोपानी फलन का उपयोग किया गया था, बहुपदों को सामान्यतः अधिमानित किया जाता था क्योंकि उनके साथ काम करना आसान था। संगणक के आगमन के माध्यम से स्प्लाईन्स को महत्व प्राप्त हुआ है। उन्हें पहले अंतर्वेशन में बहुपदों के प्रतिस्थापन के रूप में इस्तेमाल किया गया था, फिर संगणक ग्राफिक्स में चिकनी और लचीली आकृतियों के निर्माण के लिए एक उपकरण के रूप में।

यह सामान्यतः स्वीकार किया जाता है कि स्प्लाईन का पहला गणितीय संदर्भ स्कोनबर्ग द्वारा 1946 का पेपर है, जो संभवत: पहला स्थान है जहाँ "स्प्लाईन" शब्द का प्रयोग चिकनी, खंडों के अनुसार बहुपद सन्निकटन के संबंध में किया जाता है। हालांकि, विचारों की जड़ें समतल और जहाज निर्माण उद्योग में हैं। (बार्टेल्स एट अल।, 1987) की प्रस्तावना में, रॉबिन फॉरेस्ट ने "लोफ्टिंग" का वर्णन किया है, जो द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान ब्रिटिश समतल उद्योग में इस्तेमाल की जाने वाली एक तकनीक है, जो पतली लकड़ी की पट्टियों (जिसे "स्प्लाईन" कहा जाता है) को बिंदुओं के माध्यम से हवाई जहाज के लिए टेम्पलेट बनाने के लिए उपयोग किया जाता है। एक बड़े डिजाइन के मचान के तल पर रखी गई, जहाज-पतवार डिजाइन से उधार ली गई एक तकनीक। वर्षों से जहाज डिजाइन के अभ्यास ने छोटे में डिजाइन करने के लिए मॉडल नियोजित किए थे। इसके बाद सफल डिजाइन को ग्राफ पेपर पर प्लॉट किया गया और प्लॉट के मुख्य बिंदुओं को बड़े ग्राफ पेपर पर पूर्ण आकार में फिर से प्लॉट किया गया। लकड़ी की पतली पट्टियों ने प्रमुख बिंदुओं को चिकने वक्रों में प्रक्षेपित किया। स्ट्रिप्स को असतत बिंदुओं (फॉरेस्ट द्वारा "बतख" कहा जाता है; स्कोनबर्ग ने "कुत्तों" या "चूहों" का इस्तेमाल किया) पर रखा जाएगा और इन बिंदुओं के बीच न्यूनतम तनाव ऊर्जा के आकार ग्रहण करेंगे। फॉरेस्ट के अनुसार, इस प्रक्रिया के लिए एक गणितीय मॉडल के लिए एक संभावित प्रेरणा एक पूरे समतल के लिए महत्वपूर्ण डिजाइन घटकों की संभावित हानि थी, अगर मचान दुश्मन के बम से टकरा जाए। इसने "शंकु लफ्टिंग" को जन्म दिया, जो बत्तखों के बीच वक्र की स्थिति को मॉडल करने के लिए शंकु वर्गों का उपयोग करता था। कॉनिक लोफ्टिंग को 1960 के दशक की शुरुआत में बोइंग में जे.सी. फर्ग्यूसन और (कुछ समय बाद) ब्रिटिश एयरक्राफ्ट कॉरपोरेशन में एमए सबिन द्वारा काम के आधार पर स्प्लाईन कहा जाएगा।

"स्प्लाईन" शब्द मूल रूप से एक पूर्व एंग्लियन बोली शब्द था।

ऐसा प्रतीत होता है कि ऑटोमोबाइल निकायों के मॉडलिंग के लिए स्प्लाईन के उपयोग की कई स्वतंत्र शुरुआत हुई हैं। सीट्रोएन में डी कास्टलजौ, रेनॉल्ट में पियरे बेज़ियर, और जनरल मोटर्स में बिरखॉफ, गारबेडियन और डी बूर की ओर से क्रेडिट का दावा किया जाता है (बिरखॉफ और डी बूर, 1965 देखें), सभी 1960 या 1950 के दशक के अंत में होने वाले काम के लिए। 1959 में डी कास्टलजाऊ का कम से कम एक पेपर प्रकाशित हुआ था, लेकिन व्यापक रूप से नहीं। जनरल मोटर्स में डी बूर के काम के परिणामस्वरूप 1960 के दशक की शुरुआत में कई पेपर प्रकाशित हुए, जिनमें बी-स्प्लाईन पर कुछ मौलिक फलन भी सम्मिलित थे।

प्रैट एंड व्हिटनी एयरक्राफ्ट में भी काम किया जा रहा था, जहाँ (अहल्बर्ग एट अल।, 1967) के दो लेखक - स्प्लाईन की पहली पुस्तक-लंबाई उपचार - फलनरत थे, और डेविड टेलर मॉडल बेसिन, फियोडोर थिइलहाइमर द्वारा। जनरल मोटर्स में फलन (बिरखॉफ, 1990) और (यंग, 1997) में अच्छी तरह से विस्तृत है। डेविस (1997) इस सामग्री में से कुछ का सार प्रस्तुत करता है।

संदर्भ

Ferguson, James C, Multi-variable curve interpolation, J. ACM, vol. 11, no. 2, pp. 221-228, Apr. 1964.
Ahlberg, Nielson, and Walsh, The Theory of Splines and Their Applications, 1967.
Birkhoff, Fluid dynamics, reactor computations, and surface representation, in: Steve Nash (ed.), A History of Scientific Computation, 1990.
Bartels, Beatty, and Barsky, An Introduction to Splines for Use in Computer Graphics and Geometric Modeling, 1987.
Birkhoff and de Boor, Piecewise polynomial interpolation and approximation, in: H. L. Garabedian (ed.), Proc. General Motors Symposium of 1964, pp. 164–190. Elsevier, New York and Amsterdam, 1965.
Davis, B-splines and Geometric design, SIAM News, vol. 29, no. 5, 1997.
Epperson, History of Splines, NA Digest, vol. 98, no. 26, 1998.
Stoer & Bulirsch, Introduction to Numerical Analysis. Springer-Verlag. p. 93-106. ISBN 0387904204
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Young, Garrett Birkhoff and applied mathematics, Notices of the AMS, vol. 44, no. 11, pp. 1446–1449, 1997.
Chapra, Canale, "Numerical Methods for Engineers" 5th edition.

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

अंक शास्त्र
फलन (गणित)
एक बहुपद की कोटि
बहुपद प्रक्षेप
तकनीकी चित्रकारी
खंड अनुसार
संगणक एडेड डिजाइन
univariate
अलग करना समुच्चय
पूर्वी एंग्लियन अंग्रेजी
पॉल डी कैस्टेलजौ

बाहरी संबंध

Theory

An Interactive Introduction to Splines, ibiblio.org

Excel Function

XLL Excel Addin Function Implementation of cubic spline

Online utilities

Online Cubic Spline Interpolation Utility
Learning by Simulations Interactive simulation of various cubic splines
Symmetrical Spline Curves, an animation by Theodore Gray, The Wolfram Demonstrations Project, 2007.

Computer Code

Notes, PPT, Mathcad, Maple, Mathematica, Matlab, Holistic Numerical Methods Institute
various routines, NTCC
Sisl: Opensource C-library for NURBS, SINTEF
VBA Spline Interpolation, vbnumericalmethods.com

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Mathematical function defined piecewise by polynomials}}
-{{For|आलेखन उपकरण|सपाट तख़्ता}}
+{{For|आलेखन उपकरण|समतल स्प्लाईन}}
-[[Image:Parametic Cubic Spline.svg|thumb|1/3 और 2/3 पर सिंगल नॉट सी के साथ मिलने वाले तीन घन बहुपदों की एक स्प्लाईन स्थापित करते हैं<sup>2</sup> निरंतरता। अंतराल के दोनों सिरों पर ट्रिपल समुद्री मील सुनिश्चित करते हैं कि वक्र अंत बिंदुओं को प्रक्षेपित करता है]]गणित में, '''स्प्लाईन''' एक विशेष प्रकार का फलन है जिसे [[बहुपद|बहुपदों]] द्वारा खंडशः परिभाषित किया जाता है। [[प्रक्षेप|अंतर्वेशी]] (इंटरपोलेटिंग) समस्याओं में, [[तख़्ता प्रक्षेप|स्प्लाईन अंतर्वेशन]] (इंटरपोलेशन) को प्रायः बहुपद अंतर्वेशन के लिए अधिमानित किया जाता है क्योंकि यह समान परिणाम प्रदान करता है, यहाँ तक कि निम्न कोटि बहुपद का उपयोग करते समय भी, उच्च कोटि के लिए रँगे की परिघटना से परिहरणित किया जाता है।
+[[Image:Parametic Cubic Spline.svg|thumb|1/3 और 2/3 पर सिंगल नॉट C<sup>2</sup> पैरामीट्रिक सातत्यता के साथ तीन घन बहुपदों की स्प्लाईन स्थापित करते हैं। अंतराल के दोनों सिरों पर ट्रिपल नॉट्स सुनिश्चित करती हैं कि वक्र अंत बिंदुओं को प्रक्षेपित करता है]]गणित में, '''स्प्लाईन''' एक विशेष प्रकार का फलन है जिसे [[बहुपद|बहुपदों]] द्वारा खंडशः परिभाषित किया जाता है। [[प्रक्षेप|अंतर्वेशी]] (इंटरपोलेटिंग) समस्याओं में, [[तख़्ता प्रक्षेप|स्प्लाईन अंतर्वेशन]] (इंटरपोलेशन) को प्रायः बहुपद अंतर्वेशन के लिए अधिमानित किया जाता है क्योंकि यह समान परिणाम प्रदान करता है, यहाँ तक कि निम्न कोटि बहुपद का उपयोग करते समय भी, उच्च कोटि के लिए रँगे की परिघटना से परिहरणित किया जाता है।
-संगणक सहाय अभिकल्पना और [[कंप्यूटर ग्राफिक्स|संगणक ग्राफिक्स]] के [[कंप्यूटर विज्ञान|संगणक विज्ञान]] उप-क्षेत्रों में, ''स्प्लाईन'' शब्द अधिक बार एक खंडशः बहुपद ([[पैरामीट्रिक समीकरण|पैरामीट्रिक]]) वक्र को संदर्भित करता है। इन उप-क्षेत्रों में स्प्लाईन प्रचलित वक्र हैं क्योंकि उनके निर्माण की सहजता, उनकी सुगमता और मूल्यांकन की यथार्थता, और [[वक्र फिटिंग|वक्र समंजन]] और संवादात्मक वक्र अभिकल्पना के माध्यम से अनुमानित जटिल आकार प्रकार करने की क्षमता होती है।
+संगणक एडेड अभिकल्पना और [[कंप्यूटर ग्राफिक्स|संगणक ग्राफिक्स]] के [[कंप्यूटर विज्ञान|संगणक विज्ञान]] उप-क्षेत्रों में, ''स्प्लाईन'' शब्द अधिक बार एक खंडशः बहुपद ([[पैरामीट्रिक समीकरण|पैरामीट्रिक]]) वक्र को संदर्भित करता है। इन उप-क्षेत्रों में स्प्लाईन प्रचलित वक्र हैं क्योंकि उनके निर्माण की सहजता, उनकी सुगमता और मूल्यांकन की यथार्थता, और [[वक्र फिटिंग|वक्र समंजन]] और संवादात्मक वक्र अभिकल्पना के माध्यम से अनुमानित जटिल आकार प्रकार करने की क्षमता होती है।
 स्प्लाईन शब्‍द नम्य [[सपाट तख़्ता|स्प्लाईन]] उपकरणों से आता है जिसका उपयोग पोतनिर्माता (शिपबिल्डर्स) और नक्शानवीसों (ड्राफ्ट्समैन) द्वारा निष्कोण (स्मूथ) आकृति बनाने के लिए किया जाता है।
@@ Line 14: / Line 14: @@
 == परिभाषा ==
 {{Confusing|date=फरवरी 2009}}
-हम अपनी चर्चा को एक चर में बहुपदों तक सीमित रखते हुए शुरू करते हैं। इस स्थिति में, स्प्लाईन एक खंडशः बहुपद फलन है। यह फलन, इसे ''S''  से निरूपित किया जाता है, इनके मान अंतराल [''a,b''] से लिए जाते है और उन्हें [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] के समुच्चय <math>\mathbb{R}</math> पर प्रतिचित्रित करता है,
+हम अपनी चर्चा को एक चर में बहुपदों तक सीमित रखते हुए शुरू करते हैं। इस स्थिति में, स्प्लाईन एक खंडशः बहुपद फलन है। यह फलन, इसे ''S'' से निरूपित किया जाता है, इनके मान अंतराल [''a,b''] से लिए जाते है और उन्हें [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] के समुच्चय <math>\mathbb{R}</math> पर प्रतिचित्रित करता है,
 :<math>S: [a,b]\to \mathbb{R}.</math>
-हम चाहते हैं कि S को खंडश: के अनुसार परिभाषित किया जाए। इसे पूरा करने के लिए, अंतराल [''a,b''] को के आदेश से कवर किया जाना चाहिए, उप-अंतरालों को तोड़ना चाहिए,
+हम चाहते हैं कि S को खंडश: के अनुसार परिभाषित किया जाए। इसे पूरा करने के लिए, अंतराल [''a,b''] को ''k'' क्रमित से समाविष्ट किया जाना चाहिए, असंयुक्‍त उप-अंतराल,
 :<math>[t_i, t_{i+1}] \mbox{ , } i = 0,\ldots, k-1</math>
 :<math>[a,b] = [t_0,t_1) \cup [t_1,t_2) \cup \cdots \cup [t_{k-2},t_{k-1}) \cup [t_{k-1},t_k) \cup [t_k]</math>
 :<math>a = t_0 \le t_1 \le \cdots \le t_{k-1} \le t_k = b</math>
-[a,b] के इन k टुकड़ों में से प्रत्येक पर, हम एक बहुपद को परिभाषित करना चाहते हैं, इसे P कहते हैं<sub>''i''</sub><br>
+[''a,b''] के इन k "खंडों" में से प्रत्येक पर, हम एक बहुपद को परिभाषित करना चाहते हैं, इसे ''P<sub>i</sub>'' से निरूपित किया जाता है।
 :<math>P_i: [t_i, t_{i+1}]\to \mathbb{R}</math>.
-[a,b] के iवें उपअंतराल पर, S को P द्वारा परिभाषित किया गया है<sub>''i''</sub>,<br>
+[''a,b''] के ''i''वें उपअंतराल पर, S को ''P<sub>i</sub>'' द्वारा परिभाषित किया गया है,
 :<math>S(t) = P_0 (t) \mbox{ , } t_0 \le t < t_1,</math>
 :<math>S(t) = P_1 (t) \mbox{ , } t_1 \le t < t_2,</math>
 :<math>\vdots</math>
 :<math>S(t) = P_{k-1} (t) \mbox{ , } t_{k-1} \le t \le t_k.</math>
-दिए गए k+1 अंक ti को गांठ कहा जाता है। सदिश <math>{\mathbf  t}=(t_0, \dots, t_k)</math> को स्प्लाईन के लिए गाँठ सदिश कहा जाता है। यदि गांठों को अंतराल [''a'',''b''] में समान रूप से वितरित किया जाता है, तो हम कहते हैं कि स्प्लाईन एकसमान है, अन्यथा हम कहते हैं कि यह असमान है।
+दिए गए ''k+1'' बिंदु ''t<sub>i</sub>'' को '''नॉट''' कहा जाता है। सदिश <math>{\mathbf  t}=(t_0, \dots, t_k)</math> को स्प्लाईन के लिए '''नॉट सदिश''' कहा जाता है। यदि नॉट्स को अंतराल [''a'',''b''] में समान रूप से वितरित किया जाता है, अतः स्प्लाईन को '''एकसमान''' कहा जाता है, अन्यथा हम कहते हैं कि यह '''असमान''' है।
-यदि बहुपद के टुकड़े ''P''<sub>''i''</sub> में प्रत्येक की कोटि अधिक से अधिक n है, तो स्प्लाईन को <math>\leq n</math> कोटि (या ऑर्डर n+1) कहा जाता है।
+यदि बहुपद के खंड ''P''<sub>''i''</sub> में प्रत्येक की कोटि अधिक से अधिक ''n'' होती है, अतः स्प्लाईन को '''कोटि''' <math>\leq n</math> (या कोटि n+1) कहा जाता है।
-यदि ती के पड़ोस में <math>S\in C^{r_i}</math> है, तो ती पर स्प्लाईन [[चिकना कार्य|चिकना फलन]] (कम से कम) <math>C^{r_i}</math> का कहा जाता है। अर्थात्, ti पर दो बहुपद टुकड़े Pi-1 और Pi क्रम 0 (फलन मान) के व्युत्पन्न से क्रम ri (दूसरे शब्दों में, दो आसन्न बहुपद टुकड़े अधिक से अधिक n - ri की चिकनाई के नुकसान से जुड़ते हैं) के व्युत्पन्न के माध्यम से साझा व्युत्पन्न मान साझा करते हैं।
+यदि ''t<sub>i</sub>'' के पड़ोस में <math>S\in C^{r_i}</math> है, तो ''t<sub>i</sub>'' पर स्प्लाईन [[चिकना कार्य|स्मूथ फलन]] (कम से कम) <math>C^{r_i}</math> का कहा जाता है। अर्थात्, ''t<sub>i</sub>'' पर दो बहुपद खंड ''P<sub>i-1</sub>'' और ''P<sub>i</sub>,'' 0 कोटि (फलन मान) के व्युत्पन्न से क्रम ''r<sub>i</sub>'' (दूसरे शब्दों में, दो आसन्न बहुपद खंड अधिक से अधिक ''n'' - ''r<sub>i</sub>'' की '''स्मूथनेस की हानि''' से जुड़ते हैं) के व्युत्पन्न के माध्यम से साझा व्युत्पन्न मान साझा करते हैं।
 :<math>P_{i-1}^{(0)}(t) = P_{i}^{(0)} (t)</math>
@@ Line 38: / Line 38: @@
 :<math>P_{i-1}^{(r_i)}(t) = P_{i}^{(r_i)} (t)</math>.
-एक सदिश <math>{\mathbf  r}=(r_1, \dots, r_{k-1})</math> ऐसा है कि स्प्लाईन में <math>i = 1,\ldots, k-1</math> के लिए ती पर <math>C^{r_i}</math> की चिकनाई होती है, इसे स्प्लाईन के लिए एक चिकनाई वेक्टर कहा जाता है।
+सदिश <math>{\mathbf  r}=(r_1, \dots, r_{k-1})</math> इस प्रकार है की स्प्लाईन में <math>i = 1,\ldots, k-1</math> के लिए ''t<sub>i</sub>'' पर <math>C^{r_i}</math> की स्मूथनेस होती है, इसे स्प्लाईन के लिए एक '''स्मूथनेस सदिश''' कहा जाता है।
-एक नॉट वेक्टर <math>{\mathbf  t}</math>, एक कोटि एन, और <math>{\mathbf  t}</math> के लिए एक स्मूथनेस वेक्टर <math>{\mathbf  r}</math> को देखते हुए, कोई भी कोटि <math>\leq n</math>  के सभी स्प्लिन के समुच्चय पर विचार कर सकता है जिसमें नॉट वेक्टर <math>{\mathbf  t}</math> और स्मूथनेस वेक्टर <math>{\mathbf  r}</math> हो। दो फलनों को जोड़ने (बिंदुवार जोड़) और फलनों के वास्तविक गुणकों को लेने के संचालन से सुसज्जित, यह समुच्चय एक वास्तविक वेक्टर स्थान बन जाता है। इस स्प्लाईन स्थान को आमतौर पर <math>S^{\mathbf  r}_n({\mathbf  t})</math> से दर्शाया जाता है।
+नॉट सदिश <math>{\mathbf  t}</math>, ''n'' कोटि, और <math>{\mathbf  t}</math> के लिए एक स्मूथनेस सदिश <math>{\mathbf  r}</math> को देखते हुए, कोई भी कोटि <math>\leq n</math>  के सभी स्प्लाईन के समुच्चय पर विचार कर सकता है जिसमें नॉट सदिश <math>{\mathbf  t}</math> और स्मूथनेस सदिश <math>{\mathbf  r}</math> हो। दो फलनों को जोड़ने (बिंदुवार जोड़) और फलनों के वास्तविक गुणकों को लेने के संचालन से सुसज्जित, यह समुच्चय एक वास्तविक सदिश समष्टि बन जाता है। इस '''स्प्लाईन समष्टि''' को सामान्यतः <math>S^{\mathbf  r}_n({\mathbf  t})</math> से दर्शाया जाता है।
-यह एक गाँठ सदिश की अधिक सामान्य समझ की ओर ले जाता है। किसी भी बिंदु पर निरंतरता के नुकसान को उस बिंदु पर स्थित कई समुद्री मील का परिणाम माना जा सकता है, और एक स्प्लाईन प्रकार को इसकी कोटि एन और इसके विस्तारित गाँठ वेक्टर द्वारा पूरी तरह से चित्रित किया जा सकता है।
+यह एक नॉट सदिश की अधिक सामान्य समझ की ओर ले जाता है। किसी भी बिंदु पर सातत्य हानि को उस बिंदु पर स्थित कई विविध नॉट्स का परिणाम माना जा सकता है, और एक स्प्लाईन प्रकार को इसकी कोटि ''n'' और इसके विस्तारित नॉट सदिश द्वारा पूरी तरह से चित्रित किया जा सकता है।
 :<math> S(t) \in C^{n-j_i-j_{i+1}} [t_i = t_{i+1}],</math> जहाँ <math>j_i = n - r_i</math>
-यह एक गाँठ सदिश की अधिक सामान्य समझ की ओर ले जाता है। किसी भी बिंदु पर निरंतरता के नुकसान को उस बिंदु पर स्थित कई समुद्री मील का परिणाम माना जा सकता है, और एक स्प्लाईन प्रकार को इसकी कोटि एन और इसके विस्तारित गाँठ वेक्टर द्वारा पूरी तरह से चित्रित किया जा सकता है।
+यह एक नॉट सदिश की अधिक सामान्य समझ की ओर ले जाता है। किसी भी बिंदु पर सातत्य हानि को उस बिंदु पर स्थित कई विविध नॉट्स का परिणाम माना जा सकता है, और एक स्प्लाईन प्रकार को इसकी कोटि ''n'' और इसके '''विस्तारित''' नॉट सदिश द्वारा पूरी तरह से चित्रित किया जा सकता है
 :<math>
 (t_0 , t_1 , \cdots , t_1 , t_2, \cdots , t_2 , t_3 , \cdots , t_{k-2} , t_{k-1} , \cdots , t_{k-1} , t_k)
 </math>
-जहाँ ti को <math>i = 1, \dots , k-1</math> के लिए ji बार दोहराया जाता है।
+जहाँ ''t<sub>i</sub>'' को <math>i = 1, \dots , k-1</math> के लिए ''j<sub>i</sub>'' बार पुनरावर्तित किया जाता है।
-अंतराल पर [[पैरामीट्रिक वक्र]] [a,b]
+अंतराल पर [[पैरामीट्रिक वक्र]] [''a,b'']
 :<math>G(t) = ( X(t), Y(t) ) \mbox{ , } t \in [ a , b ]</math>
-एक स्प्लाईन वक्र है यदि X और Y दोनों उस अंतराल पर समान विस्तारित गाँठ वाले सदिशों के साथ समान कोटि के स्प्लाईन फलन हैं।
+एक '''स्प्लाईन वक्र''' है यदि ''X'' और ''Y'' दोनों उस अंतराल पर समान विस्तारित नॉट वाले सदिशों के साथ समान कोटि के स्प्लाईन फलन हैं।
 == उदाहरण ==
-मान लें कि अंतराल [a,b] [0,3] है और उप-अंतराल [0,1], [1,2] और [2,3] हैं। मान लीजिए कि बहुपद के टुकड़े कोटि 2 के हैं, और [0,1] और [1,2] पर टुकड़े मूल्य और पहले व्युत्पन्न (टी = 1 पर) में शामिल होना चाहिए जबकि [1,2] और [2,3] पर टुकड़े केवल मूल्य (टी = 2 पर) में शामिल हो जाते हैं। यह एक प्रकार की स्प्लाईन S(t) को परिभाषित करेगा जिसके लिए
+मान लें कि अंतराल [''a,b''] [0,3] है और उप-अंतराल [0,1], [1,2] और [2,3] हैं। मान लीजिए कि बहुपद के खंड की कोटि 2 हैं, और [0,1] और [1,2] पर खंड मूल्य और पहले व्युत्पन्न (''t''=1 पर) में सम्मिलित होना चाहिए जबकि [1,2] और [2,3] पर खंड केवल मूल्य (''t'' = 2 पर) में सम्मिलित हो जाते हैं। यह एक प्रकार की स्प्लाईन ''S(t)'' को परिभाषित करेगा जिसके लिए
 :<math>S(t) = P_0 (t) = -1+4t-t^2 \mbox{ , } 0 \le t < 1</math>
 :<math>S(t) = P_1 (t) = 2t \mbox{ , } 1 \le t < 2</math>
 :<math>S(t) = P_2 (t) = 2-t+t^2 \mbox{ , } 2 \le t \le 3</math>
-उस प्रकार का सदस्य होगा, और भी
+उसी प्रकार की इकाई होगी, और साथ ही, और साथ ही
 :<math>S(t) = P_0 (t) = -2-2t^2 \mbox{ , } 0 \le t < 1</math>
 :<math>S(t) = P_1 (t) = 1-6t+t^2 \mbox{ , } 1 \le t < 2</math>
 :<math>S(t) = P_2 (t) = -1+t-2t^2 \mbox{ , } 2 \le t \le 3</math>
-प्रकार का सदस्य होगा। (ध्यान दें: जबकि बहुपद का टुकड़ा 2t द्विघात नहीं है, फिर भी परिणाम को द्विघात स्प्लाईन कहा जाता है। यह दर्शाता है कि एक स्प्लाईन की कोटि उसके बहुपद भागों की अधिकतम कोटि है।) इस प्रकार के स्प्लाईन के लिए विस्तारित नॉट वेक्टर (0, 1, 2, 2, 3) होगा।
+उसी प्रकार की इकाई होगी। (ध्यान दें: जबकि बहुपद का खंड ''2t'' द्विघात नहीं है, फिर भी परिणाम को द्विघात स्प्लाईन कहा जाता है। यह दर्शाता है कि एक स्प्लाईन की कोटि उसके बहुपद भागों की अधिकतम कोटि होती है।) इस प्रकार के स्प्लाईन के लिए विस्तारित नॉट सदिश (0, 1, 2, 2, 3) होगा।
-सरलतम स्प्लाईन की कोटि 0 होती है। इसे [[समारोह की ओर कदम बढ़ाएं|स्टेप फंक्शन]] भी कहा जाता है। अगली सबसे साधारण स्लाइन की कोटि 1 है। इसे लीनियर स्प्लाईन भी कहा जाता है। विमान में एक बंद रेखीय स्प्लाईन (यानी, पहली गाँठ और अंतिम समान हैं) सिर्फ एक [[बहुभुज]] है।
+सरलतम स्प्लाईन की कोटि 0 होती है। इसे [[समारोह की ओर कदम बढ़ाएं|सोपानी फलन]] (स्टेप फंक्शन) भी कहा जाता है। अगली सबसे साधारण स्लाइन की कोटि 1 है। इसे '''रैखिक स्प्लाईन''' भी कहा जाता है। समतल में एक संवृत रैखिक स्प्लाईन (अर्थात, पहली नॉट और अंतिम समान हैं) केवल एक [[बहुभुज]] होता है।
-एक सामान्य स्प्लाईन निरंतरता C2 के साथ कोटि 3 की प्राकृतिक घन रेखा है। "प्राकृतिक" शब्द का अर्थ है कि स्प्लाईन बहुपदों का दूसरा व्युत्पन्न प्रक्षेप के अंतराल के अंत बिंदुओं पर शून्य के बराबर समुच्चय किया गया है।
+एक सामान्य स्प्लाईन सातत्यता ''C''<sup>2</sup> के साथ कोटि 3 की '''प्राकृतिक घनाकार स्प्लाईन''' है। "प्राकृतिक" शब्द का अर्थ है कि स्प्लाईन बहुपदों का दूसरा व्युत्पन्न प्रक्षेप के अंतराल के अंत बिंदुओं पर शून्य के बराबर समुच्चय किया गया है।
 :<math>S''(a) \, = S''(b) = 0.</math>
-यह स्प्लाईन को अंतराल के बाहर एक सीधी रेखा होने के लिए मजबूर करता है, जबकि इसकी चिकनाई को बाधित नहीं करता है।
+यह स्प्लाईन को अंतराल के बाहर एक सीधी रेखा होने के लिए मजबूर करता है, जबकि इसकी स्मूथनेस को बाधित नहीं करता है।
-=== प्राकृतिक क्यूबिक स्प्लिन की गणना के लिए एल्गोरिद्म ===
+=== प्राकृतिक घनाकार स्प्लाईन की गणना के लिए एल्गोरिद्म ===
-क्यूबिक स्प्लाईन फॉर्म के होते हैं <math>{S}_{j} \left ( x  \right ) =  a_j + b_j \left ( x-x_j \right ) +  c_j  {\left ( x-x_j \right ) }^{2} + d_j {\left ( x-x_j \right ) }^{3}</math><br />
+घनाकार स्प्लाईन निम्नलिखित रूप <math>{S}_{j} \left ( x  \right ) =  a_j + b_j \left ( x-x_j \right ) +  c_j  {\left ( x-x_j \right ) }^{2} + d_j {\left ( x-x_j \right ) }^{3}</math> में होता है।<br />निर्देशांक <math>C=  \left[    \left ( {x}_{0},{y}_{0}  \right ) ,  \left ( {x}_{1},{y}_{1}   \right ) , .... ,  \left ( {x}_{n},{y}_{n}  \right ) \right ]</math> के दिए गए समुच्चय को हम <math>n \,</math> के समुच्चय को खोजना चाहते हैं, <math>i = 0 , \ldots , n-1</math> के लिए <math>{S}_{i} \left ( x  \right )</math> को विभाजित करते हैं।
-दिए गए निर्देशांक का समुच्चय <math>C=  \left[    \left ( {x}_{0},{y}_{0}  \right ) ,  \left ( {x}_{1},{y}_{1}   \right ) , .... ,  \left ( {x}_{n},{y}_{n}  \right ) \right ]</math> हम का समुच्चय खोजना चाहते हैं <math>n \,</math> splines <math>{S}_{i} \left ( x  \right )</math> के लिये <math>i = 0 , \ldots , n-1.</math>
-इन्हें संतुष्ट करना चाहिए:
 *<math> S_i \left (x_i \right) = y_i = S_{i-1}\left (x_i \right ), i = 1 , \ldots , n-1.</math>
 *<math> S_{0}\left (x_0 \right ) = y_0 .</math>
@@ Line 85: / Line 83: @@
 *<math>{S''}_0 \left (x_0 \right) = {S''}_{n-1} \left (x_n \right ) =0</math>.
-आइए हम एक क्यूबिक स्प्लाईन <math>S \,</math> को 5-ट्यूपल <math>(a,b,c,d,x_t) \,</math> के रूप में परिभाषित करते हैं जहाँ <math>a,b,c \,</math> और <math>d \,</math>, पहले दिखाए गए रूप में गुणांक के अनुरूप हैं और <math>x_t \,</math> <math>x_j \,</math> के बराबर है
+आइए हम एक घनाकार स्प्लाईन <math>S \,</math> को 5-टपल <math>(a,b,c,d,x_t) \,</math> के रूप में परिभाषित करते हैं जहाँ <math>a,b,c \,</math> और <math>d \,</math>, पहले दिखाए गए रूप में गुणांक के अनुरूप हैं और <math>x_t \,</math> <math>x_j \,</math> के बराबर है।
-==== नेचुरल क्यूबिक स्प्लाईन्स की गणना के लिए एल्गोरिद्म: ====
+==== प्राकृतिक घनाकार स्प्लाईन संगणना के लिए एल्गोरिद्म: ====
 इनपुट: <math>\left | C  \right | =n+1</math> के साथ <math>C \,</math> निर्देशांक का समुच्चय
 आउटपुट: समुच्चय स्प्लाईन जो n 5-टुपल्स से बना है।
-# आकार n + 1 और के लिए एक नया सरणी बनाएँ <math>i = 0 , \ldots , n</math> समूह <math>a_i = y_i \,</math>
+# माप ''n + 1'' और के लिए एक नई सरणी बनाएँ <math>i = 0 , \ldots , n</math> समुच्चय  <math>a_i = y_i \,</math>
-# n आकार की नई सरणियाँ b और d बनाएँ।
+# ''n'' माप की नई सरणियाँ ''b'' और ''d'' बनाएँ।
-# आकार n और के लिए नया सरणी h बनाएँ <math>i = 0 , \ldots , n-1</math> समूह <math>h_i = x_{i+1} - x_i \,</math>
+# माप ''n'' और के लिए नई सरणी ''h'' बनाएँ <math>i = 0 , \ldots , n-1</math> समुच्चय  <math>h_i = x_{i+1} - x_i \,</math>
-# आकार n और के लिए नया सरणी α बनाएँ <math>i = 1 , \ldots , n-1</math> समूह <math>{ \alpha }_{i}= \frac{3 }{{h}_{i} }  \left (  {a}_{i+1}-{a}_{i} \right )  -  \frac{3 }{{h}_{i-1} }  \left (  {a}_{i}-{a}_{i-1} \right ) </math>.
+# माप ''n'' और के लिए नई सरणी ''α'' बनाएँ <math>i = 1 , \ldots , n-1</math> समुच्चय  <math>{ \alpha }_{i}= \frac{3 }{{h}_{i} }  \left (  {a}_{i+1}-{a}_{i} \right )  -  \frac{3 }{{h}_{i-1} }  \left (  {a}_{i}-{a}_{i-1} \right ) </math>
-# नई सरणियाँ c, l, μ, और z प्रत्येक आकार बनाएँ <math>n+1 \,</math>.
+# नई सरणियाँ ''c, l, μ'', और ''z'' प्रत्येक <math>n+1 \,</math> माप बनाएँ
-# समूह <math> l_0 = 1, {\mu}_0 = z_0 = 0 \,</math>
+# समुच्चय  <math> l_0 = 1, {\mu}_0 = z_0 = 0 \,</math>
 # के लिये <math> i = 1 , \ldots , n-1 \,</math>
-## समूह  <math>{ l}_{i } =2 \left ( {x}_{i+1}-{x}_{i-1}  \right ) - {h}_{i-1}{\mu}_{i-1}</math>.
+## समुच्चय <math>{ l}_{i } =2 \left ( {x}_{i+1}-{x}_{i-1}  \right ) - {h}_{i-1}{\mu}_{i-1}</math>
-## समूह <math>{\mu}_{i}= \frac{ {h}_{i}}{{l}_{i} } </math>.
+## समुच्चय <math>{\mu}_{i}= \frac{ {h}_{i}}{{l}_{i} } </math>.
-## समूह <math>{z}_{i} =  \frac{ {\alpha}_{i}-{h}_{i-1}{z}_{i-1}}{{l}_{i} } </math>.
+## समुच्चय  <math>{z}_{i} =  \frac{ {\alpha}_{i}-{h}_{i-1}{z}_{i-1}}{{l}_{i} } </math>
-# समूह <math> l_n = 1; z_n = c_n = 0. \,</math>
+# समुच्चय <math> l_n = 1; z_n = c_n = 0. \,</math>
 # के लिये <math> j = n-1 , n-2 , \ldots , 0 </math>
-## समूह <math> c_j = z_j - {\mu}_j c_{j+1} \,</math>
+## समुच्चय <math> c_j = z_j - {\mu}_j c_{j+1} \,</math>
-## समूह <math> b_j = \frac{{a}_{j+1}-{a}_{j} }{{h}_{j} } -  \frac{ {h}_{j} \left ( {c}_{j+1} +2{c}_{j}  \right ) }{ 3} </math>
+## समुच्चय <math> b_j = \frac{{a}_{j+1}-{a}_{j} }{{h}_{j} } -  \frac{ {h}_{j} \left ( {c}_{j+1} +2{c}_{j}  \right ) }{ 3} </math>
-## समूह <math> d_j = \frac{{c}_{j+1}-{c}_{j} }{3{h}_{j} } </math>
+## समुच्चय <math> d_j = \frac{{c}_{j+1}-{c}_{j} }{3{h}_{j} } </math>
-# नया समुच्चय स्प्लाईन बनाएं और इसे आउटपुट_समुच्चय कहें। इसे n splines S से आबाद करें।
+# नई समुच्चय स्प्लाईन बनाएं और इसे आउटपुट_समुच्चय कहें। इसे n splines S से आबाद करें।
 # के लिये <math>i = 0 , \ldots , n-1</math>
-## समुच्चय एस<sub>''i'',''a''</sub> = ए<sub>''i''</sub>
+## समुच्चय ''S<sub>i</sub>''<sub>,''a''</sub> = ''a<sub>i</sub>''
-## समुच्चय एस<sub>''i'',''b''</sub> = ख<sub>''i''</sub>
+## समुच्चय ''S<sub>i</sub>''<sub>,''b''</sub> = ''b<sub>i</sub>''
-## समुच्चय एस<sub>''i'',''c''</sub> = सी<sub>''i''</sub>
+## समुच्चय ''S<sub>i</sub>''<sub>,''c''</sub> = ''c<sub>i</sub>''
-## समुच्चय एस<sub>''i'',''d''</sub> = घ<sub>''i''</sub>
+## समुच्चय ए''S<sub>i</sub>''<sub>,''d''</sub> = ''d<sub>i</sub>''
-## समुच्चय एस<sub>''i'',''x''</sub> = एक्स<sub>''i''</sub>
+## समुच्चय ''S<sub>i</sub>''<sub>,''x''</sub> = ''x<sub>i</sub>''
 # आउटपुट आउटपुट_समुच्चय
 ==टिप्पणियाँ==
-यह पूछा जा सकता है कि एक गाँठ सदिश में n एकाधिक गांठों से अधिक का क्या अर्थ है, क्योंकि इससे निरंतरता बनी रहेगी
+यह पूछा जा सकता है कि एक नॉट सदिश में ''n'' एकाधिक नॉट्स से अधिक का क्या अर्थ है, क्योंकि इससे सातत्यता बनी रहेगी
 :<math>S(t) \in C^{-m} \mbox{ , } m > 0</math>
-इस उच्च बहुतायत के स्थान पर। परिपाटी के अनुसार, ऐसी कोई भी स्थिति दो निकटस्थ बहुपद टुकड़ों के बीच एक साधारण विच्छिन्नता को इंगित करती है। इसका मतलब यह है कि यदि एक विस्तारित गाँठ सदिश में एक गाँठ टी n + 1 बार से अधिक दिखाई देती है, तो इसके सभी उदाहरण (n + 1) वें से अधिक होने पर सभी गुणकों n + के बाद से स्प्लाईन के चरित्र को बदले बिना हटाया जा सकता है। 1, n + 2, n + 3, इत्यादि का एक ही अर्थ है। यह आमतौर पर माना जाता है कि किसी भी प्रकार की स्प्लाईन को परिभाषित करने वाले किसी भी गाँठ वेक्टर को इस तरह से चुना गया है।
+इस उच्च बहुलता के स्थान पर। परिपाटी के अनुसार, ऐसी कोई भी स्थिति दो निकटस्थ बहुपद खंडों के बीच एक साधारण विच्छिन्नता को इंगित करती है। इसका अर्थ यह है कि यदि एक विस्तारित नॉट सदिश में एक नॉट ''t<sub>i</sub>, n + 1'' बार से अधिक दिखाई देती है, तो इसके सभी उदाहरण (''n + 1'')वें से अधिक होने पर सभी गुणकों के बाद से स्प्लाईन के भूमिका को बदले बिना हटाया जा सकता है। ''n'' + 1, ''n'' + 2, ''n'' + 3, इत्यादि का एक ही अर्थ है। यह सामान्यतः माना जाता है कि किसी भी प्रकार की स्प्लाईन को परिभाषित करने वाले किसी भी नॉट सदिश का इस प्रकार चयन किया जा सकता है।
-संख्यात्मक विश्लेषण में उपयोग की जाने वाली कोटि एन के क्लासिकल स्प्लाईन प्रकार में निरंतरता है
+संख्यात्मक विश्लेषण में उपयोग की जाने वाली कोटि ''n'' के पारम्परिक स्प्लाईन प्रकार में सातत्यता होती है
 :<math>S(t) \in \mathrm{C}^{n-1} [a,b],\,</math>
-जिसका अर्थ है कि प्रत्येक दो आसन्न बहुपद टुकड़े उनके मान में मिलते हैं और प्रत्येक गाँठ पर पहले n - 1 डेरिवेटिव। गणितीय स्प्लाईन जो [[flat spline|चपटी स्प्लाईन]] को सबसे नज़दीकी से प्रतिरूपित करता है, एक घन (n = 3), दो बार लगातार भिन्न होने योग्य (C2), प्राकृतिक स्प्लाईन है, जो इस शास्त्रीय प्रकार का एक स्प्लाईन है जिसमें समापन बिंदु a और b पर लगाए गए अतिरिक्त शर्तें हैं।
+जिसका अर्थ है कि प्रत्येक दो आसन्न बहुपद खंड उनके मान में मिलते हैं और प्रत्येक नॉट पर पहले ''n - 1'' डेरिवेटिव। गणितीय स्प्लाईन जो [[flat spline|चपटी स्प्लाईन]] को सबसे नज़दीकी से प्रतिरूपित करता है, एक घन (''n = 3''), दो बार लगातार भिन्न होने योग्य (''C''<sup>2</sup>), प्राकृतिक स्प्लाईन है, जो इस शास्त्रीय प्रकार का एक स्प्लाईन है जिसमें समापन बिंदु ''a'' और ''b'' पर लगाए गए अतिरिक्त शर्तें हैं।
-एक अन्य प्रकार की स्प्लाईन जो ग्राफिक्स में बहुत अधिक उपयोग की जाती है, उदाहरण के लिए [[Adobe Systems|एडोब सिस्टम्स]] से [[Adobe Illustrator|एडोब इलस्ट्रेटर]] जैसे ड्राइंग प्रोग्राम में, ऐसे टुकड़े होते हैं जो क्यूबिक होते हैं लेकिन निरंतरता केवल अधिकतम होती है
+एक अन्य प्रकार की स्प्लाईन जो ग्राफिक्स में बहुत अधिक उपयोग की जाती है, उदाहरण के लिए [[Adobe Systems|एडोब सिस्टम्स]] से [[Adobe Illustrator|एडोब इलस्ट्रेटर]] जैसे ड्राइंग प्रोग्राम में, ऐसे खंड होते हैं जो घनाकार होते हैं लेकिन सातत्यता केवल अधिकतम होती है
 :<math>S(t) \in \mathrm{C}^{1} [a,b].</math>
 इस स्प्लाईन प्रकार का उपयोग [[PostScript|पोस्टस्क्रिप्ट]] के साथ-साथ कुछ संगणक टाइपोग्राफिक फोंट की परिभाषा में भी किया जाता है।
-कई संगणक-एडेड अभिकल्पना सिस्टम जो उच्च-अंत ग्राफिक्स और एनीमेशन के लिए अभिकल्पना किए गए हैं, विस्तारित गाँठ वैक्टर का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए [[Autodesk Maya|ऑटोडेस्क माया]]। संगणक-एडेड डिजाइन सिस्टम प्रायः एक [[Nonuniform rational B-spline|गैर-समान तर्कसंगत बी-स्प्लाईन]] (एनयूआरबीएस) के रूप में जाने वाली एक स्प्लाईन की एक विस्तारित अवधारणा का उपयोग करते हैं।
+कई संगणक-एडेड अभिकल्पना सिस्टम जो उच्च-अंत ग्राफिक्स और एनीमेशन के लिए अभिकल्पना किए गए हैं, विस्तारित नॉट सदिश का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए [[Autodesk Maya|ऑटोडेस्क माया]]। संगणक-एडेड डिजाइन सिस्टम प्रायः एक [[Nonuniform rational B-spline|गैर-समान तर्कसंगत बी-स्प्लाईन]] (एनयूआरबीएस) के रूप में जाने वाली एक स्प्लाईन की एक विस्तारित अवधारणा का उपयोग करते हैं।
-यदि किसी फलन या भौतिक वस्तु से नमूनाकृत डेटा उपलब्ध है, तो [[spline interpolation|स्प्लाईन अंतर्वेशन]] एक स्प्लाईन बनाने का एक तरीका है जो उस डेटा का अनुमान लगाता है।
+यदि किसी फलन या भौतिक वस्तु से नमूनाकृत डेटा उपलब्ध है, तो [[spline interpolation|स्प्लाईन अंतर्वेशन]] एक स्प्लाईन बनाने की एक विधि है जो उस डेटा का अनुमान लगाता है।
-== C2 इंटरपोलिंग क्यूबिक स्प्लाईन के लिए सामान्य एक्सप्रेशन ==
+== ''C''<sup>2</sup> अंतर्वेशी घनाकार स्प्लाईन के लिए सामान्य व्यंजक ==
-प्राकृतिक स्थिति के साथ एक बिंदु x पर iवें C2 प्रक्षेपित घन स्प्लाईन के लिए सामान्य अभिव्यक्ति सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है
+प्राकृतिक स्थिति के साथ एक बिंदु ''x'' पर ''i''वें ''C''<sup>2</sup> प्रक्षेपित घन स्प्लाईन के लिए सामान्य अभिव्यक्ति सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है
 :<math>S_i(x)= \frac{z_i(x-t_{i-1})^3}{6h_i} +\frac{z_{i-1}(t_i-x)^3}{6h_i}+\left[ \frac{f(t_i)}{h_i}-\frac{z_ih_i}{6}\right](x-t_{i-1})+\left[ \frac{f(t_{i-1})}{h_i}-\frac{z_{i-1}h_i}{6}\right](t_i-x)</math>
 जहाँ
-* <math>z_i = f^{\prime\prime}(t_i)</math> iवें गाँठ पर दूसरे अवकलज के मान हैं।
+* <math>z_i = f^{\prime\prime}(t_i)</math> ''i''वें नॉट पर द्वितीय व्युत्पन्न के मान हैं।
 * <math> h_i^{} = t_i-t_{i-1} </math>
-* <math> f(t_i^{}) </math> iवें गाँठ पर फलन के मान हैं।
+* <math> f(t_i^{}) </math> ''i''वें नॉट पर फलन के मान हैं।
-== प्रतिनिधित्व और नाम ==
+== निरूपण और नाम ==
-किसी दिए गए अंतराल के लिए [a,b] और उस अंतराल पर दिए गए विस्तारित गाँठ वेक्टर, कोटि एन के स्प्लिन एक [[सदिश स्थल|वेक्टर स्थान]] बनाते हैं। संक्षेप में इसका मतलब यह है कि किसी दिए गए प्रकार के किसी भी दो स्प्लिन को जोड़ने से उस दिए गए प्रकार के स्प्लाईन का उत्पादन होता है, और किसी दिए गए प्रकार के स्प्लाईन को किसी भी स्थिरांक से गुणा करने से उस दिए गए प्रकार का एक स्प्लाईन बनता है। एक निश्चित प्रकार के सभी स्प्लिन युक्त स्थान का आयाम विस्तारित गाँठ वेक्टर से गिना जा सकता है:
+किसी दिए गए अंतराल के लिए [''a,b''] और उस अंतराल पर दिए गए विस्तारित नॉट सदिश, कोटि ''n'' के स्प्लाईन एक [[सदिश स्थल|सदिश समष्टि]] बनाते हैं। संक्षेप में इसका अर्थ यह है कि किसी दिए गए प्रकार के किसी भी दो स्प्लाईन को जोड़ने से उस दिए गए प्रकार के स्प्लाईन का उत्पादन होता है, और किसी दिए गए प्रकार के स्प्लाईन को किसी भी स्थिरांक से गुणा करने से उस दिए गए प्रकार का एक स्प्लाईन बनता है। एक निश्चित प्रकार के सभी स्प्लाईन युक्त स्थान का आयाम विस्तारित नॉट सदिश से गिना जा सकता है:
 :<math>
 a = t_0
@@ Line 155: / Line 153: @@
 आयाम कोटि के योग के साथ-साथ गुणकों के बराबर है
 :<math>d = n + \sum_{i=1}^{k-2} j_i.</math>
-यदि किसी प्रकार के स्प्लाईन पर अतिरिक्त रेखीय शर्तें लागू होती हैं, तो परिणामी स्प्लाईन एक उप-स्पेस में होगी। उदाहरण के लिए, सभी प्राकृतिक क्यूबिक स्प्लाईनों का स्थान, सभी क्यूबिक C2 स्प्लाईनों के स्थान का एक उप-स्थान है।
+यदि किसी प्रकार के स्प्लाईन पर अतिरिक्त रैखिक शर्तें लागू होती हैं, तो परिणामी स्प्लाईन एक उपसमष्टि में होगी। उदाहरण के लिए, सभी प्राकृतिक घनाकार स्प्लाईनों का स्थान, सभी घनाकार ''C''<sup>2</sup> स्प्लाईनों के स्थान का एक उपसमष्टि है।
-स्प्लाईन का साहित्य विशेष प्रकार के स्प्लाईन के नामों से भरा हुआ है। इन नामों को जोड़ा गया है:
+स्प्लाईन का साहित्य विशेष प्रकार के स्प्लाईन के नामों से परिपूर्ण है। इन नामों को जोड़ा गया है:
-* उदाहरण के लिए, स्प्लाईन का प्रतिनिधित्व करने के लिए किए गए विकल्प:
+* स्प्लाईन को दर्शाने के लिए बनाए गए विकल्प, उदाहरण के लिए:
-** संपूर्ण स्प्लाईन के लिए [[आधार (रैखिक बीजगणित)|आधार]] फलन का उपयोग करना (हमें [[बी-पट्टी|बी-स्प्लाईन]] नाम देना)
+** संपूर्ण स्प्लाईन के लिए [[आधार (रैखिक बीजगणित)|बेसिस]] फलन का उपयोग करना (हमें [[बी-पट्टी|बी-स्प्लाईन]] नाम देना)
-**प्रत्येक बहुपद टुकड़े का प्रतिनिधित्व करने के लिए पियरे बेज़ियर द्वारा नियोजित [[बर्नस्टीन बहुपद|बर्नस्टीन बहुपदों]] का उपयोग करना (हमें नाम बेज़ियर स्प्लिन देना)
+**प्रत्येक बहुपद खंड का प्रतिनिधित्व करने के लिए पियरे बेज़ियर द्वारा नियोजित [[बर्नस्टीन बहुपद|बर्नस्टीन बहुपदों]] का उपयोग करना (हमें नाम बेज़ियर स्प्लाईन देना)
-* उदाहरण के लिए, विस्तारित गाँठ सदिश बनाने में किए गए विकल्प:
+* उदाहरण के लिए, विस्तारित नॉट सदिश बनाने में किए गए विकल्प:
-** Cn-1 निरंतरता के लिए सिंगल नॉट्स का उपयोग करना और इन नॉट्स को समान रूप से [a,b] पर रखना (हमें एक समान स्प्लिन देना)
+** ''C<sup>n</sup>''<sup>-1</sup> सातत्यता के लिए सिंगल नॉट्स का उपयोग करना और इन नॉट्स को समान रूप से [''a,b''] पर रखना (हमें '''एक समान स्प्लाईन''' देना)
-** अंतराल पर बिना किसी प्रतिबंध के गांठों का उपयोग करना (हमें गैर-समान स्प्लिन देना)
+** अंतराल पर बिना किसी प्रतिबंध के नॉट्स का उपयोग करना (हमें '''असमान स्प्लाईन''' देना)
 * स्प्लाईन पर लगाई गई कोई विशेष शर्तें, उदाहरण के लिए:
-** ए और बी पर शून्य सेकेंड डेरिवेटिव लागू करना (हमें प्राकृतिक विभाजन देना)
+** ए और बी पर शून्य सेकेंड डेरिवेटिव लागू करना (हमें '''प्राकृतिक स्प्लाईन''' देना)
-** आवश्यकता है कि दिए गए डेटा मान स्प्लाईन पर हों (हमें अंतर्वेशी स्प्लिन दें)
+** आवश्यकता है कि दिए गए डेटा मान स्प्लाईन पर हों (हमें '''अंतर्वेशी स्प्लाईन''' देना)
-ऊपर दी गई दो या अधिक मुख्य वस्तुओं को संतुष्ट करने वाली एक प्रकार की स्प्लाईन के लिए प्रायः एक विशेष नाम चुना गया था। उदाहरण के लिए, [[साधु तख़्ता|हर्मिट स्प्लाईन]] एक स्प्लाईन है जिसे प्रत्येक व्यक्तिगत बहुपद टुकड़े का प्रतिनिधित्व करने के लिए हर्मिट बहुपद का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है। ये सबसे अधिक बार n = 3 के साथ उपयोग किए जाते हैं; वह है, जैसा कि [[क्यूबिक हर्मिट स्पलाइन|क्यूबिक हर्मिट स्प्लाईन]]। इस कोटि में उन्हें अतिरिक्त रूप से केवल स्पर्शरेखा-निरंतर (C1) के लिए चुना जा सकता है; जिसका अर्थ है कि सभी आंतरिक गांठें दोहरी हैं। दिए गए डेटा बिंदुओं में ऐसे स्प्लाईन्स को फिट करने के लिए कई तरीकों का आविष्कार किया गया है; अर्थात्, उन्हें अंतर्वेशी स्प्लाईन बनाने के लिए, और ऐसा करने के लिए प्रशंसनीय स्पर्शरेखा मूल्यों का अनुमान लगाकर ऐसा करना जहाँ प्रत्येक दो बहुपद टुकड़े मिलते हैं (हमें [[कार्डिनल स्पलाइन|कार्डिनल स्प्लाईन]], [[कैटमुल-रोम स्पलाइन|कैटमुल-रोम स्प्लाईन]] और [[प्रेमी-Bartels पट्टी|कोचनक-बार्टेल्स स्प्लाईन]], प्रयुक्त विधि के आधार पर)।
+ऊपर दी गई दो या अधिक मुख्य वस्तुओं को संतुष्ट करने वाली एक प्रकार की स्प्लाईन के लिए प्रायः एक विशेष नाम चुना गया था। उदाहरण के लिए, [[साधु तख़्ता|हर्मिट स्प्लाईन]] एक स्प्लाईन है जिसे प्रत्येक व्यक्तिगत बहुपद खंड का प्रतिनिधित्व करने के लिए हर्मिट बहुपद का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है। ये सबसे अधिक बार ''n = 3'' के साथ उपयोग किए जाते हैं; वह है, जैसा कि [[क्यूबिक हर्मिट स्पलाइन|घनाकार हर्मिट स्प्लाईन]]। इस कोटि में उन्हें अतिरिक्त रूप से केवल स्पर्शरेखा-निरंतर (''C''<sup>1</sup>) के लिए चुना जा सकता है; जिसका अर्थ है कि सभी आंतरिक नॉट द्वैत होती है। दिए गए डेटा बिंदुओं में ऐसे स्प्लाईन्स को फिट करने के लिए कई तरीकों का आविष्कार किया गया है; अर्थात्, उन्हें अंतर्वेशी स्प्लाईन बनाने के लिए, और ऐसा करने के लिए प्रशंसनीय स्पर्शरेखा मूल्यों का अनुमान लगाकर ऐसा करना जहाँ प्रत्येक दो बहुपद खंड मिलते हैं (हमें [[कार्डिनल स्पलाइन|कार्डिनल स्प्लाईन]], [[कैटमुल-रोम स्पलाइन|कैटमुल-रोम स्प्लाईन]] और [[प्रेमी-Bartels पट्टी|कोचनक-बार्टेल्स स्प्लाईन]], प्रयुक्त विधि के आधार पर)।
-प्रत्येक अभ्यावेदन के लिए, मूल्यांकन के कुछ साधन अवश्य खोजे जाने चाहिए ताकि माँग पर स्प्लाईन के मूल्यों का उत्पादन किया जा सके। उन निरूपणों के लिए जो कोटि एन बहुपद के लिए कुछ आधार के संदर्भ में प्रत्येक व्यक्तिगत बहुपद पाई (टी) को व्यक्त करते हैं, यह वैचारिक रूप से सीधा है:
+प्रत्येक अभ्यावेदन के लिए, मूल्यांकन के कुछ साधन अवश्य खोजे जाने चाहिए ताकि माँग पर स्प्लाईन के मूल्यों का उत्पादन किया जा सके। उन निरूपणों के लिए जो कोटि ''n'' बहुपद के लिए कुछ आधार के संदर्भ में प्रत्येक व्यक्तिगत बहुपद ''P<sub>i</sub>''(''t'') को व्यक्त करते हैं, यह वैचारिक रूप से सीधा है:
-* तर्क t के दिए गए मान के लिए, वह अंतराल ज्ञात कीजिए जिसमें यह <math>t \in [t_i,t_{i+1}]</math> स्थित है
+* तर्क ''t'' के दिए गए मान के लिए, वह अंतराल ज्ञात कीजिए जिसमें यह <math>t \in [t_i,t_{i+1}]</math> स्थित है
 *अंतराल <math>P_0, \ldots, P_{k-2}</math> के लिए चुने गए बहुपद के आधार को देखें
 * प्रत्येक आधार बहुपद का मान t: <math>P_0(t), \ldots, P_{k-2}(t)</math> पर ज्ञात कीजिए
-* उन आधार बहुपदों के रैखिक संयोजन के गुणांकों को देखें जो उस अंतराल c0, ..., ck-2 पर स्प्लाईन देते हैं
+* उन आधार बहुपदों के रैखिक संयोजन के गुणांकों को देखें जो उस अंतराल ''c''<sub>0</sub>, ..., ''c<sub>k</sub>''<sub>-2</sub> पर स्प्लाईन देते हैं
-* t पर स्प्लाईन का मान प्राप्त करने के लिए आधार बहुपद मानों के उस रैखिक संयोजन को जोड़ें:
+* ''t'' पर स्प्लाईन का मान प्राप्त करने के लिए आधार बहुपद मानों के उस रैखिक संयोजन को जोड़ें:
 :<math>\sum_{j=0}^{k-2} c_j P_j(t).</math>
-हालांकि, मूल्यांकन और सारांश चरण प्रायः चतुर तरीके से संयुक्त होते हैं। उदाहरण के लिए, बर्नस्टीन बहुपद बहुपदों के लिए एक आधार हैं जिनका विशेष पुनरावृत्ति संबंधों का उपयोग करके रैखिक संयोजनों में कुशलतापूर्वक मूल्यांकन किया जा सकता है। यह डी कैस्टेलजौ के एल्गोरिथम का सार है, जो बेज़ियर कर्व्स और बेज़ियर स्प्लाईन्स में दिखाई देता है)।
+हालांकि, मूल्यांकन और योग के चरणों को प्रायः निपुणता से संयुक्त होते हैं। उदाहरण के लिए, बर्नस्टीन बहुपद बहुपदों के लिए एक आधार हैं जिनका विशेष पुनरावृत्ति संबंधों का उपयोग करके रैखिक संयोजनों में कुशलतापूर्वक मूल्यांकन किया जा सकता है। यह डी कैस्टेलजौ के एल्गोरिथम का सार है, जो बेज़ियर वक्रों और बेज़ियर स्प्लाईन्स में दिखाई देता है)।
-एक प्रतिनिधित्व के लिए जो आधार स्प्लाईन के एक रैखिक संयोजन के रूप में एक स्प्लाईन को परिभाषित करता है, हालांकि, कुछ अधिक परिष्कृत की आवश्यकता है। [[दे बूर अल्गोरिथम|डी बूर एल्गोरिथम]] बी-स्प्लिन के मूल्यांकन के लिए एक कुशल तरीका है।
+एक प्रतिनिधित्व के लिए जो आधार स्प्लाईन के एक रैखिक संयोजन के रूप में एक स्प्लाईन को परिभाषित करता है, हालांकि, कुछ अधिक परिष्कृत की आवश्यकता है। [[दे बूर अल्गोरिथम|डी बूर एल्गोरिथम]] बी-स्प्लाईन के मूल्यांकन के लिए एक कुशल विधि है।
 == इतिहास ==
-संगणक का उपयोग करने से पहले संख्यात्मक गणना हाथ से की जाती थी। हालांकि टुकड़े-टुकड़े परिभाषित फलनों जैसे [[साइन समारोह|साइन फलन]] या चरण फलन का उपयोग किया गया था, बहुपदों को आम तौर पर पसंद किया जाता था क्योंकि उनके साथ काम करना आसान था। संगणक के आगमन के माध्यम से स्प्लाईन्स को महत्व प्राप्त हुआ है। उन्हें पहले अंतर्वेशन में बहुपदों के प्रतिस्थापन के रूप में इस्तेमाल किया गया था, फिर संगणक ग्राफिक्स में चिकनी और लचीली आकृतियों के निर्माण के लिए एक उपकरण के रूप में।
+संगणक का उपयोग करने से पहले संख्यात्मक गणना हाथ से की जाती थी। हालांकि खण्डशः परिभाषित फलनों जैसे [[साइन समारोह|साइन फलन]] या सोपानी फलन का उपयोग किया गया था, बहुपदों को सामान्यतः अधिमानित किया जाता था क्योंकि उनके साथ काम करना आसान था। संगणक के आगमन के माध्यम से स्प्लाईन्स को महत्व प्राप्त हुआ है। उन्हें पहले अंतर्वेशन में बहुपदों के प्रतिस्थापन के रूप में इस्तेमाल किया गया था, फिर संगणक ग्राफिक्स में चिकनी और लचीली आकृतियों के निर्माण के लिए एक उपकरण के रूप में।
-यह आमतौर पर स्वीकार किया जाता है कि स्प्लाईन का पहला गणितीय संदर्भ [[इसहाक जैकब स्कोनबर्ग|स्कोनबर्ग]] द्वारा 1946 का पेपर है, जो संभवत: पहला स्थान है जहाँ "स्प्लाईन" शब्द का प्रयोग चिकनी, टुकड़ों के अनुसार बहुपद सन्निकटन के संबंध में किया जाता है। हालांकि, विचारों की जड़ें विमान और जहाज निर्माण उद्योग में हैं। (बार्टेल्स एट अल।, 1987) की प्रस्तावना में, [[रॉबिन फॉरेस्ट]] ने "लोफ्टिंग" का वर्णन किया है, जो [[द्वितीय विश्व युद्ध]] के दौरान ब्रिटिश विमान उद्योग में इस्तेमाल की जाने वाली एक तकनीक है, जो पतली लकड़ी की पट्टियों (जिसे "स्प्लिन" कहा जाता है) को बिंदुओं के माध्यम से हवाई जहाज के लिए टेम्पलेट बनाने के लिए उपयोग किया जाता है। एक बड़े डिजाइन के [[मचान]] के तल पर रखी गई, जहाज-पतवार डिजाइन से उधार ली गई एक तकनीक। वर्षों से जहाज डिजाइन के अभ्यास ने छोटे में डिजाइन करने के लिए मॉडल नियोजित किए थे। इसके बाद सफल डिजाइन को ग्राफ पेपर पर प्लॉट किया गया और प्लॉट के मुख्य बिंदुओं को बड़े ग्राफ पेपर पर पूर्ण आकार में फिर से प्लॉट किया गया। लकड़ी की पतली पट्टियों ने प्रमुख बिंदुओं को चिकने वक्रों में प्रक्षेपित किया। स्ट्रिप्स को असतत बिंदुओं (फॉरेस्ट द्वारा "बतख" कहा जाता है; स्कोनबर्ग ने "कुत्तों" या "चूहों" का इस्तेमाल किया) पर रखा जाएगा और इन बिंदुओं के बीच न्यूनतम तनाव ऊर्जा के आकार ग्रहण करेंगे। फॉरेस्ट के अनुसार, इस प्रक्रिया के लिए एक गणितीय मॉडल के लिए एक संभावित प्रेरणा एक पूरे विमान के लिए महत्वपूर्ण डिजाइन घटकों की संभावित हानि थी, अगर मचान दुश्मन के बम से टकरा जाए। इसने "शंकु लफ्टिंग" को जन्म दिया, जो बत्तखों के बीच वक्र की स्थिति को मॉडल करने के लिए शंकु वर्गों का उपयोग करता था। कॉनिक लोफ्टिंग को 1960 के दशक की शुरुआत में [[बोइंग]] में जे.सी. फर्ग्यूसन और (कुछ समय बाद) [[ब्रिटिश विमान निगम|ब्रिटिश एयरक्राफ्ट कॉरपोरेशन]] में एमए सबिन द्वारा काम के आधार पर स्प्लिन कहा जाएगा।
+यह सामान्यतः स्वीकार किया जाता है कि स्प्लाईन का पहला गणितीय संदर्भ [[इसहाक जैकब स्कोनबर्ग|स्कोनबर्ग]] द्वारा 1946 का पेपर है, जो संभवत: पहला स्थान है जहाँ "स्प्लाईन" शब्द का प्रयोग चिकनी, खंडों के अनुसार बहुपद सन्निकटन के संबंध में किया जाता है। हालांकि, विचारों की जड़ें समतल और जहाज निर्माण उद्योग में हैं। (बार्टेल्स एट अल।, 1987) की प्रस्तावना में, [[रॉबिन फॉरेस्ट]] ने "लोफ्टिंग" का वर्णन किया है, जो [[द्वितीय विश्व युद्ध]] के दौरान ब्रिटिश समतल उद्योग में इस्तेमाल की जाने वाली एक तकनीक है, जो पतली लकड़ी की पट्टियों (जिसे "स्प्लाईन" कहा जाता है) को बिंदुओं के माध्यम से हवाई जहाज के लिए टेम्पलेट बनाने के लिए उपयोग किया जाता है। एक बड़े डिजाइन के [[मचान]] के तल पर रखी गई, जहाज-पतवार डिजाइन से उधार ली गई एक तकनीक। वर्षों से जहाज डिजाइन के अभ्यास ने छोटे में डिजाइन करने के लिए मॉडल नियोजित किए थे। इसके बाद सफल डिजाइन को ग्राफ पेपर पर प्लॉट किया गया और प्लॉट के मुख्य बिंदुओं को बड़े ग्राफ पेपर पर पूर्ण आकार में फिर से प्लॉट किया गया। लकड़ी की पतली पट्टियों ने प्रमुख बिंदुओं को चिकने वक्रों में प्रक्षेपित किया। स्ट्रिप्स को असतत बिंदुओं (फॉरेस्ट द्वारा "बतख" कहा जाता है; स्कोनबर्ग ने "कुत्तों" या "चूहों" का इस्तेमाल किया) पर रखा जाएगा और इन बिंदुओं के बीच न्यूनतम तनाव ऊर्जा के आकार ग्रहण करेंगे। फॉरेस्ट के अनुसार, इस प्रक्रिया के लिए एक गणितीय मॉडल के लिए एक संभावित प्रेरणा एक पूरे समतल के लिए महत्वपूर्ण डिजाइन घटकों की संभावित हानि थी, अगर मचान दुश्मन के बम से टकरा जाए। इसने "शंकु लफ्टिंग" को जन्म दिया, जो बत्तखों के बीच वक्र की स्थिति को मॉडल करने के लिए शंकु वर्गों का उपयोग करता था। कॉनिक लोफ्टिंग को 1960 के दशक की शुरुआत में [[बोइंग]] में जे.सी. फर्ग्यूसन और (कुछ समय बाद) [[ब्रिटिश विमान निगम|ब्रिटिश एयरक्राफ्ट कॉरपोरेशन]] में एमए सबिन द्वारा काम के आधार पर स्प्लाईन कहा जाएगा।
 "स्प्लाईन" शब्द मूल रूप से एक पूर्व एंग्लियन बोली शब्द था।
-ऐसा प्रतीत होता है कि ऑटोमोबाइल निकायों के मॉडलिंग के लिए स्प्लिन के उपयोग की कई स्वतंत्र शुरुआत हुई हैं। सीट्रोएन में डी कास्टलजौ, [[Renault|रेनॉल्ट]] में पियरे बेज़ियर, और जनरल मोटर्स में बिरखॉफ, [[Garabedian|गारबेडियन]] और डी बूर की ओर से क्रेडिट का दावा किया जाता है ([[Garrett Birkhoff|बिरखॉफ]] और डी बूर, 1965 देखें), सभी 1960 या 1950 के दशक के अंत में होने वाले काम के लिए। 1959 में डी कास्टलजाऊ का कम से कम एक पेपर प्रकाशित हुआ था, लेकिन व्यापक रूप से नहीं। [[जनरल मोटर्स कॉर्पोरेशन|जनरल मोटर्स]] में डी बूर के काम के परिणामस्वरूप 1960 के दशक की शुरुआत में कई पेपर प्रकाशित हुए, जिनमें बी-स्प्लाईन पर कुछ मौलिक फलन भी शामिल थे।
+ऐसा प्रतीत होता है कि ऑटोमोबाइल निकायों के मॉडलिंग के लिए स्प्लाईन के उपयोग की कई स्वतंत्र शुरुआत हुई हैं। सीट्रोएन में डी कास्टलजौ, [[Renault|रेनॉल्ट]] में पियरे बेज़ियर, और जनरल मोटर्स में बिरखॉफ, [[Garabedian|गारबेडियन]] और डी बूर की ओर से क्रेडिट का दावा किया जाता है ([[Garrett Birkhoff|बिरखॉफ]] और डी बूर, 1965 देखें), सभी 1960 या 1950 के दशक के अंत में होने वाले काम के लिए। 1959 में डी कास्टलजाऊ का कम से कम एक पेपर प्रकाशित हुआ था, लेकिन व्यापक रूप से नहीं। [[जनरल मोटर्स कॉर्पोरेशन|जनरल मोटर्स]] में डी बूर के काम के परिणामस्वरूप 1960 के दशक की शुरुआत में कई पेपर प्रकाशित हुए, जिनमें बी-स्प्लाईन पर कुछ मौलिक फलन भी सम्मिलित थे।
 प्रैट एंड व्हिटनी एयरक्राफ्ट में भी काम किया जा रहा था, जहाँ (अहल्बर्ग एट अल।, 1967) के दो लेखक - स्प्लाईन की पहली पुस्तक-लंबाई उपचार - फलनरत थे, और [[डेविड टेलर मॉडल बेसिन]], फियोडोर थिइलहाइमर द्वारा। जनरल मोटर्स में फलन (बिरखॉफ, 1990) और (यंग, 1997) में अच्छी तरह से विस्तृत है। डेविस (1997) इस सामग्री में से कुछ का सार प्रस्तुत करता है।
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 * [http://www.sintef.no/sisl Sisl: Opensource C-library for NURBS], SINTEF
 * [http://www.vbnumericalmethods.com/math/ VBA Spline Interpolation], vbnumericalmethods.com
-[[Category:स्पलाइन्स (गणित)| ]]
-[[Category: प्रक्षेप]]
+[[Category:All Wikipedia articles needing clarification]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:Articles with invalid date parameter in template]]
+[[Category:Articles with short description]]
 [[Category:Created On 25/11/2022]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Short description with empty Wikidata description]]
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प्राकृतिक घनाकार स्प्लाईन की गणना के लिए एल्गोरिद्म

प्राकृतिक घनाकार स्प्लाईन संगणना के लिए एल्गोरिद्म:

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