अनुक्रमित वर्ग: Difference between revisions

Latest revision as of 12:25, 27 October 2023

गणित में, वर्ग, या अनुक्रमित वर्ग, अनौपचारिक रूप से वस्तुओं का संग्रह है, प्रत्येक किसी सूचकांक समुच्चय से सूचकांक द्वारा जुड़ा होता है। उदाहरण के लिए, 'वास्तविक संख्याओं का वर्ग, पूर्णांकों के समुच्चय द्वारा अनुक्रमित' वास्तविक संख्याओं का संग्रह है, जहां दिया गया फलन प्रत्येक पूर्णांक के लिए वास्तविक संख्या का चयन करता है।

अधिक औपचारिक रूप से, अनुक्रमित वर्ग फलन है और छवि $X$ के साथ गणितीय कार्य है। अधिकांशतः समुच्चय $X$ के तत्वों को वर्ग बनाने के रूप में संदर्भित किया जाता है। इस दृष्टि से, अनुक्रमित वर्गों की व्याख्या कार्यों के अतिरिक्त अनुक्रमित तत्वों के संग्रह के रूप में की जाती है। समुच्चय $I$ वर्ग का सूचकांक समुच्चय कहा जाता है, और $X$ अनुक्रमित समुच्चय है।

अनुक्रम प्रकार का वर्ग हैं जिन्हें प्राकृतिक संख्या द्वारा अनुक्रमित किया जाता है। सामान्यतः, सूचकांक समुच्चय $I$ गणनीय होने के लिए प्रतिबंधित नहीं है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित प्राकृतिक संख्याओं के उपसमुच्चय के असंख्य वर्ग पर विचार किया जा सकता है।

गणितीय कथन

परिभाषा। मान लीजिए $I$ तथा $X$ समुच्चय हो और $f$ ऐसा फलन है कि

{\begin{aligned}f\colon I&\to X\\f\colon i&\mapsto x_{i}=f(i),\end{aligned}}

जहां $i$ का तत्व है और $I$ की छवि $f(i)$ को $i$ फलन के अनुसार $f$ द्वारा $x_{i}$ निरूपित किया जाता है. उदाहरण के लिए, $f(3)$ को $x_{3}$ द्वारा निरूपित किया जाता है| प्रतीक $x_{i}$ का उपयोग यह संकेत करने के लिए किया जाता है कि $x_{i}$ , I द्वारा अनुक्रमित $X$ का तत्व है $i\in I$ . कार्यक्रम $f$ इस प्रकार $I$ द्वारा अनुक्रमित $X$ में तत्वों का वर्ग स्थापित करता है जिसे $(x_{i})_{i\in I}$ द्वारा दर्शाया जाता है , या केवल $(x i)$ यदि सूचकांक समुच्चय को ज्ञात माना जाता है। कभी-कभी कोष्ठक के अतिरिक्त कोण कोष्ठक या ब्रेसिज़ का उपयोग किया जाता है,चूंकि ब्रेसिज़ के उपयोग से अनुक्रमित वर्गों को समुच्चय के साथ भ्रमित करने का संकट होता है।

कार्य और अनुक्रमित वर्ग औपचारिक रूप से समतुल्य हैं, क्योंकि डोमेन $I$ के साथ कोई भी कार्य $f$ वर्ग को प्रेरित करता है $(f (i)) i \in I$ और इसके विपरीत। वर्ग का तत्व होना संबंधित कार्य की सीमा में होने के बराबर है। चूंकि, व्यवहार में, वर्ग को समारोह के अतिरिक्त संग्रह के रूप में देखा जाता है।

कोई भी समुच्चय $X$ वर्ग (x_x)_x∈X को उत्पन्न करता है, जहाँ X को स्वयं अनुक्रमित किया जाता है (जिसका अर्थ है कि $f$ पहचान कार्य है)।चूंकि, वर्ग समुच्चय से भिन्न होते हैं जिसमें ही वस्तु वर्ग में विभिन्न सूचकांकों के साथ कई बार दिखाई दे सकती है, जबकि समुच्चय भिन्न-भिन्न वस्तुओं का संग्रह होता है। वर्ग में कोई भी तत्व ठीक बार होता है केवल यदि संबंधित कार्य एकैकी है।

अनुक्रमित वर्ग $(x_{i})_{i\in I}$ समुच्चय परिभाषित करता है ${\mathcal {X}}=\{x_{i}:i\in I\}$ ,अर्थात $I$ की छवि $f$ के नीचे I मानचित्रण के बाद से $f$ को एकैकी फलन होने की आवश्यकता नहीं है, इसलिए $i \neq j$ के साथ सम्मलित हो सकता है I जैसे कि $x i = x j$ . इस प्रकार, $|{\mathcal {X}}|\leq |I|$ , जहां $| A |$ समुच्चय $A$ की प्रमुखता को दर्शाता हैI उदाहरण के लिए, अनुक्रम $\left((-1)^{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ प्राकृतिक संख्या द्वारा अनुक्रमित $\mathbb {N} =\{1,2,3,\dots \}$ छवि समुच्चय है $\{(-1)^{i}:i\in \mathbb {N} \}=\{-1,1\}$ . इसके अतिरिक्त समुच्चय $\{x_{i}:i\in I\}$ $I$ पर किसी भी संरचना के विषय में सूचना नहीं रखता है। इसलिए, वर्ग के अतिरिक्त समुच्चय का उपयोग करने से कुछ सूचना खो सकता है। उदाहरण के लिए, वर्ग के सूचकांक समुच्चय पर क्रमित वर्ग को प्रेरित करता है, किन्तु संबंधित छवि समुच्चय पर कोई क्रमित नहीं होता है।

उदाहरण

अनुक्रमित सदिश

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित वाक्य पर विचार करें:

सदिश v₁, ..., v_n रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

यहां $(v i) i \in {1, ..., n}$ सदिशों के वर्ग को दर्शाता है। $i$ i}}-वें सदिश $v i$ केवल इस वर्ग के संबंध में समझ में आता है, क्योंकि समुच्चय अनियंत्रित हैं इसलिए नहीं है $i$ समुच्चय का i-वां सदिश नहीं होता है। इसके अतिरिक्त, रैखिक स्वतंत्रता को संग्रह की संपत्ति के रूप में परिभाषित किया गया है; इसलिए यह महत्वपूर्ण है कि वे सदिश समुच्चय या वर्ग के रूप में रैखिक रूप से स्वतंत्र हों। उदाहरण के लिए, यदि $n = 2$ तथा $v 1 = v 2 = (1, 0)$ एको ही सदिश मानते हैं, तो उनके समुच्चय में केवल अवयव होता है (चूंकि समुच्चय अक्रमित विशिष्ट तत्वों का संग्रह होता है)और रैखिक रूप से स्वतंत्र होता है , किन्तु वर्ग में ही तत्व दो बार होता है (भिन्न -भिन्न अनुक्रमित होने के बाद से) और रैखिक रूप से निर्भर है (समान सदिश रैखिक रूप से निर्भर हैं)।

आव्यूह

मान लीजिए कि पाठ निम्नलिखित बताता है:

एक वर्ग मैट्रिक्स A व्युत्क्रमणीय है, यदि और केवल यदि A की पंक्तियां रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

पिछले उदाहरण की भांति, यह महत्वपूर्ण है कि A की पंक्तियाँ वर्ग के रैखिक रूप से स्वतंत्र हों, समुच्चय के रूप में नहीं। उदाहरण के लिए, आव्यूह पर विचार करें

A={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}.

पंक्तियों के समुच्चय में ही तत्व $(1, 1)$ होता है समुच्चय अद्वितीय तत्वों से बना है, इसलिए यह रैखिक रूप से स्वतंत्र है, किन्तु आव्यूह व्युत्क्रमणीय नहीं है क्योंकि आव्यूह निर्धारक 0. है। दूसरी ओर, पंक्तियों के वर्ग में दो तत्व भिन्न-भिन्न अनुक्रमित होते हैं जैसे कि पहली पंक्ति $(1, 1)$ और दूसरी पंक्ति $(1,1)$ इसलिए यह रैखिक रूप से निर्भर है। इसलिए यह कथन सही है यदि यह पंक्तियों के वर्ग को संदर्भित करता है, किन्तु गलत है यदि यह पंक्तियों के समुच्चय को संदर्भित करता है। (वर्णन तब भी सही होता है जब पंक्तियों की व्याख्या बहु समुच्चय के संदर्भ में की जाती है, जिसमें तत्वों को भी भिन्न रखा जाता है किन्तु जिसमें अनुक्रमित वर्ग की कुछ संरचना का अभाव होता है।)

अन्य उदाहरण

मान लीजिए $n$ परिमित समुच्चय ${1, 2, ..., n}$ है, जहाँ $n$ धनात्मक पूर्णांक है।

आदेशित जोड़ी (2-ट्यूपल) दो तत्वों के समुच्चय द्वारा अनुक्रमित वर्ग है, $2 = {1, 2}$ ; आदेशित जोड़ी के प्रत्येक तत्व को $2$ समुच्चय के प्रत्येक तत्व द्वारा अनुक्रमित किया जाता हैI
$n$ -टुपल वर्ग है जिसे समुच्चय $n$ द्वारा अनुक्रमित किया जाता है।
अनंत अनुक्रम प्राकृतिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित वर्ग है।
सूची अनिर्दिष्ट $n$ या अनंत अनुक्रम के लिए $n$ -टपल है।
$n \times m$ आव्यूह कार्टेशियन उत्पाद $n \times m$ द्वारा अनुक्रमित वर्ग है जो तत्वों को जोड़े का आदेश दिया जाता है, उदाहरण के लिए, $(2, 5)$ दूसरी पंक्ति और 5वें कॉलम में आव्यूह तत्व को अनुक्रमित करना।
नेट वर्ग है। जिसे निर्देशित समुच्चय द्वारा अनुक्रमित किया जाता है I

अनुक्रमित वर्गों पर संचालन

सूचकांक समूह का उपयोग प्रायः रकम और अन्य समान ऑपरेशनों में किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि $(a i) i \in I$ संख्याओं का अनुक्रमित वर्ग है, उन सभी संख्याओं का योग द्वारा निरूपित किया जाता है

\sum _{i\in I}a_{i}.

जब $(A i) i \in I$ समुच्चयों का वर्ग है, उन सभी समुच्चयों के संघ द्वारा निरूपित किया जाता है

\bigcup _{i\in I}A_{i}.

इसी प्रकार चौराहे (समूह सिद्धांत) और कार्टेशियन उत्पादों के लिए।

अनुक्रमित उपवर्ग

अनुक्रमित वर्ग $(B i) i \in J$ अनुक्रमित वर्ग $(A i) i \in I$ का उपवर्ग है , यदि केवल यदि $J$ , $I$ का उपसमुच्चय है तथा $B i = A i$ , $J$ में सभी $i$ के लिए है।

श्रेणी सिद्धांत में उपयोग

श्रेणी सिद्धांत में समान अवधारणा को आरेख कहा जाता है। आरेख श्रेणी सिद्धांत में वस्तुओं के अनुक्रमित वर्ग को जन्म देने वाला फ़ंक्टर है $C$ , जो अन्य श्रेणी $J$ , द्वारा अनुक्रमित है, और दो सूचकांकों के आधार पर रूपवाद से संबंधित है।

यह भी देखें

सरणी डेटा प्रकार
सहगुणन
आरेख (श्रेणी सिद्धांत)
अलग संघ
सेट का वर्ग
सूचकांक अंकन
नेट (गणित)
पैरामीट्रिक वर्ग
क्रम
टैग की गई यूनियन

संदर्भ

Mathematical Society of Japan, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd edition, 2 vols., Kiyosi Itô (ed.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993. Cited as EDM (volume).

@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{distinguish|Family of sets}}
 {{Short description|Collection of objects, each associated with an element from some index set}}
-गणित में, एक परिवार, या अनुक्रमित परिवार, अनौपचारिक रूप से वस्तुओं का एक संग्रह है, प्रत्येक किसी सूचकांक समुच्चय से एक  सूचकांक द्वारा जुड़ा होता है। उदाहरण के लिए, '[[वास्तविक संख्या]]ओं का परिवार,  [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] के समुच्चय द्वारा अनुक्रमित' वास्तविक संख्याओं का एक संग्रह है, जहां एक दिया गया फलन प्रत्येक पूर्णांक (संभवतः समान) के लिए एक वास्तविक संख्या का चयन करता है।
+गणित में, वर्ग, या '''अनुक्रमित वर्ग''', अनौपचारिक रूप से वस्तुओं का संग्रह है, प्रत्येक किसी सूचकांक समुच्चय से सूचकांक द्वारा जुड़ा होता है। उदाहरण के लिए, '[[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] का वर्ग, [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] के समुच्चय द्वारा अनुक्रमित' वास्तविक संख्याओं का संग्रह है, जहां दिया गया फलन प्रत्येक पूर्णांक के लिए वास्तविक संख्या का चयन करता है।
-अधिक औपचारिक रूप से, एक अनुक्रमित परिवार एक फलन (गणित) है जो एक फलन के अपने डोमेन के साथ है {{mvar|I}} और [[छवि (गणित)]] {{mvar|X}}. (यानी, अनुक्रमित परिवार और गणितीय कार्य तकनीकी रूप से समान हैं, बस दृष्टिकोण अलग हैं।) अधिकांशतः समुच्चय का [[तत्व (गणित)]] {{mvar|X}} परिवार का निर्माण करने वाला कहा जाता है। इस दृष्टि से, अनुक्रमित परिवारों की व्याख्या कार्यों के अतिरिक्त अनुक्रमित तत्वों के संग्रह के रूप में की जाती है। समुच्चय {{mvar|I}} परिवार का सूचकांक समुच्चय कहा जाता है, और {{mvar|X}} [[क्रम|अनुक्रमित]] समुच्चय है।
+अधिक औपचारिक रूप से, अनुक्रमित वर्ग फलन है और [[छवि (गणित)|छवि]] {{mvar|X}} के साथ गणितीय कार्य है। अधिकांशतः समुच्चय {{mvar|X}} के [[तत्व (गणित)|तत्वों]] को वर्ग बनाने के रूप में संदर्भित किया जाता है। इस दृष्टि से, अनुक्रमित वर्गों की व्याख्या कार्यों के अतिरिक्त अनुक्रमित तत्वों के संग्रह के रूप में की जाती है। समुच्चय {{mvar|I}} वर्ग का सूचकांक समुच्चय कहा जाता है, और {{mvar|X}} [[क्रम|अनुक्रमित]] समुच्चय है।
-अनुक्रम [[प्राकृतिक संख्या]] द्वारा अनुक्रमित एक प्रकार के परिवार हैं। सामान्यतः, सूचकांक समुच्चय {{mvar|I}} [[गणनीय सेट|गणनीय समुच्चय]] होने के लिए प्रतिबंधित नहीं है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित प्राकृतिक संख्याओं के उपसमुच्चय के असंख्य परिवार पर विचार किया जा सकता है।
+अनुक्रम प्रकार का वर्ग हैं जिन्हें [[प्राकृतिक संख्या]] द्वारा अनुक्रमित किया जाता है। सामान्यतः, सूचकांक समुच्चय {{mvar|I}} [[गणनीय सेट|गणनीय]] होने के लिए प्रतिबंधित नहीं है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित प्राकृतिक संख्याओं के उपसमुच्चय के असंख्य वर्ग पर विचार किया जा सकता है।
 == गणितीय कथन ==
-परिभाषा। होने देना {{mvar|I}} तथा {{mvar|X}}  समुच्चय हो और {{mvar|f}} एक समारोह (गणित) ऐसा है कि
+परिभाषा। मान लीजिए {{mvar|I}} तथा {{mvar|X}} समुच्चय हो और {{mvar|f}}  ऐसा फलन है कि
 :<math>\begin{align}
   f\colon I &\to X \\
   f\colon i &\mapsto x_i = f(i),
 \end{align}</math>
-कहाँ पे <math>i</math> का एक तत्व है {{mvar|I}} और छवि <math>f(i)</math> का <math>i</math> समारोह के तहत {{mvar|f}} द्वारा निरूपित किया जाता है <math>x_i</math>. उदाहरण के लिए, <math>f(3)</math> द्वारा निरूपित किया जाता है <math>x_3</math>. प्रतीक <math>x_i</math> इंगित करने के लिए प्रयोग किया जाता है <math>x_i</math> का तत्व है {{mvar|X}} द्वारा अनुक्रमित <math>i\in I</math>. कार्यक्रम {{mvar|f}} इस प्रकार तत्वों का एक परिवार स्थापित करता है {{mvar|X}} द्वारा अनुक्रमित {{mvar|I}}, जिसे द्वारा दर्शाया गया है <math>(x_i)_{i \in I}</math>, या केवल {{math|(''x<sub>i</sub>'')}} अगर इंडेक्स समुच्चय को ज्ञात माना जाता है। कभी-कभी कोष्ठक के बजाय कोण कोष्ठक या ब्रेसिज़ का उपयोग किया जाता है, हालांकि ब्रेसिज़ के उपयोग से अनुक्रमित परिवारों को समुच्चय के साथ भ्रमित करने का जोखिम होता है।
+जहां <math>i</math> का तत्व है और {{mvar|I}} की छवि <math>f(i)</math> को <math>i</math> फलन के अनुसार {{mvar|f}} द्वारा <math>x_i</math> निरूपित किया जाता है. उदाहरण के लिए, <math>f(3)</math> को <math>x_3</math> द्वारा निरूपित किया जाता है| प्रतीक <math>x_i</math> का उपयोग यह संकेत करने के लिए किया जाता है कि <math>x_i</math>, I द्वारा अनुक्रमित {{mvar|X}} का तत्व है <math>i\in I</math>. कार्यक्रम {{mvar|f}} इस प्रकार {{mvar|I}} द्वारा अनुक्रमित {{mvar|X}} में तत्वों का वर्ग स्थापित करता है जिसे <math>(x_i)_{i \in I}</math> द्वारा दर्शाया जाता है , या केवल {{math|(''x<sub>i</sub>'')}} यदि सूचकांक समुच्चय को ज्ञात माना जाता है। कभी-कभी कोष्ठक के अतिरिक्त कोण कोष्ठक या ब्रेसिज़ का उपयोग किया जाता है,चूंकि ब्रेसिज़ के उपयोग से अनुक्रमित वर्गों को समुच्चय के साथ भ्रमित करने का संकट होता है।
-फ़ंक्शन (गणित) और अनुक्रमित परिवार किसी भी फ़ंक्शन के बाद से औपचारिक रूप से समतुल्य हैं {{math|''f''}} किसी फ़ंक्शन के डोमेन के साथ {{math|''I''}} परिवार को प्रवृत्त करता है {{math|(''f''(''i''))<sub>''i''∈''I''</sub>}} और इसके विपरीत। एक परिवार का एक तत्व होना संबंधित कार्य की सीमा में होने के बराबर है। हालाँकि, व्यवहार में, एक परिवार को एक समारोह के बजाय एक संग्रह के रूप में देखा जाता है।
+कार्य और अनुक्रमित वर्ग औपचारिक रूप से समतुल्य हैं, क्योंकि डोमेन {{math|''I''}} के साथ कोई भी कार्य {{math|''f''}}  वर्ग को प्रेरित करता है {{math|(''f''(''i''))<sub>''i''∈''I''</sub>}} और इसके विपरीत। वर्ग का तत्व होना संबंधित कार्य की सीमा में होने के बराबर है। चूंकि, व्यवहार में, वर्ग को समारोह के अतिरिक्त संग्रह के रूप में देखा जाता है।
-कोई भी समुच्चय {{mvar|X}} एक परिवार को जन्म देता है {{math|(''x<sub>x</sub>'')<sub>''x''∈''X''</sub>}}, कहाँ पे {{mvar|X}} स्वयं द्वारा अनुक्रमित किया जाता है (जिसका अर्थ है कि <math>f</math> पहचान कार्य है)।
+कोई भी समुच्चय {{mvar|X}} वर्ग (''x<sub>x</sub>'')<sub>''x''∈''X''</sub> को उत्पन्न करता है, जहाँ X को स्वयं अनुक्रमित किया जाता है (जिसका अर्थ है कि <math>f</math> पहचान कार्य है)।चूंकि, वर्ग समुच्चय से भिन्न होते हैं जिसमें ही वस्तु वर्ग में विभिन्न सूचकांकों के साथ कई बार दिखाई दे सकती है, जबकि समुच्चय भिन्न-भिन्न वस्तुओं का संग्रह होता है। वर्ग में कोई भी तत्व ठीक बार होता है केवल यदि संबंधित कार्य [[इंजेक्शन|एकैकी]] है।
-हालाँकि, परिवार समुच्चय से भिन्न होते हैं जिसमें एक ही वस्तु एक परिवार में विभिन्न सूचकांकों के साथ कई बार दिखाई दे सकती है, जबकि एक समुच्चय अलग-अलग वस्तुओं का एक संग्रह होता है। एक परिवार में कोई भी तत्व ठीक एक बार होता है यदि और केवल यदि संबंधित कार्य [[इंजेक्शन]] है।
-एक अनुक्रमित परिवार <math>(x_i)_{i \in I}</math> एक  समुच्चय परिभाषित करता है <math>\mathcal{X} = \{ x_i : i \in I \}</math>, यानी की छवि {{mvar|I}} नीचे {{mvar|f}}. मैपिंग के बाद से {{mvar|f}} [[इंजेक्शन समारोह]] होने की आवश्यकता नहीं है, वहां मौजूद हो सकता है <math>i,j \in I </math> साथ {{math|''i'' ≠ ''j''}} ऐसा है कि {{math|1=''x<sub>i</sub>'' = ''x<sub>j</sub>''}}. इस प्रकार, <math>| \mathcal{X}| \leq |I|</math>, कहाँ पे {{math|{{abs|''A''}}}}  समुच्चय की [[प्रमुखता]] को दर्शाता है {{mvar|A}}. उदाहरण के लिए, अनुक्रम <math>\left( (-1)^i \right)_{i\in \N} </math> प्राकृतिक संख्या द्वारा अनुक्रमित <math>\N = \{1,2,3,\dots\}</math> छवि सेट है <math>\{(-1)^i : i \in \N\} = \{-1,1\}</math>. इसके अलावा समुच्चय <math>\{ x_i : i \in I \}</math> किसी भी संरचना के बारे में जानकारी नहीं रखता है {{mvar|I}}. इसलिए, परिवार के बजाय समुच्चय का उपयोग करने से कुछ जानकारी खो सकती है। उदाहरण के लिए, परिवार के इंडेक्स समुच्चय पर ऑर्डरिंग परिवार पर ऑर्डरिंग को प्रेरित करती है, लेकिन संबंधित छवि समुच्चय पर कोई ऑर्डरिंग नहीं होती है।
+अनुक्रमित वर्ग <math>(x_i)_{i \in I}</math>  समुच्चय परिभाषित करता है <math>\mathcal{X} = \{ x_i : i \in I \}</math>,अर्थात {{mvar|I}} की छवि {{mvar|f}} के नीचे I मानचित्रण के बाद से {{mvar|f}} को [[इंजेक्शन समारोह|एकैकी फलन]] होने की आवश्यकता नहीं है, इसलिए {{math|''i'' ≠ ''j''}} के साथ सम्मलित हो सकता है I जैसे कि {{math|1=''x<sub>i</sub>'' = ''x<sub>j</sub>''}}. इस प्रकार, <math>| \mathcal{X}| \leq |I|</math>, जहां {{math|{{abs|''A''}}}} समुच्चय {{mvar|A}} की [[प्रमुखता]] को दर्शाता हैI उदाहरण के लिए, अनुक्रम <math>\left( (-1)^i \right)_{i\in \N} </math> प्राकृतिक संख्या द्वारा अनुक्रमित <math>\N = \{1,2,3,\dots\}</math> छवि समुच्चय है <math>\{(-1)^i : i \in \N\} = \{-1,1\}</math>. इसके अतिरिक्त समुच्चय <math>\{ x_i : i \in I \}</math> {{mvar|I}} पर किसी भी संरचना के विषय में सूचना नहीं रखता है। इसलिए, वर्ग के अतिरिक्त समुच्चय का उपयोग करने से कुछ सूचना खो सकता है। उदाहरण के लिए, वर्ग के सूचकांक समुच्चय पर क्रमित वर्ग को प्रेरित करता है, किन्तु संबंधित छवि समुच्चय पर कोई क्रमित नहीं होता है।
 == उदाहरण ==
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 उदाहरण के लिए, निम्नलिखित वाक्य पर विचार करें:
 {{Quote
-|text=The vectors ''v''<sub>1</sub>, ..., ''v''<sub>''n''</sub> are linearly independent.
+|text=सदिश ''v''<sub>1</sub>, ..., ''v''<sub>''n''</sub> रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।
 }}
-यहां {{math|(''v''<sub>''i''</sub>)<sub>''i'' ∈ {1, ..., ''n''}</sub>}} सदिश के एक परिवार को दर्शाता है। {{mvar|i}}<nowiki>i}}-वें सदिश </nowiki>{{math|''v''<sub>''i''</sub>}} केवल इस परिवार के संबंध में समझ में आता है, क्योंकि समुच्चय अनियंत्रित हैं इसलिए नहीं है {{mvar|i}} समुच्चय का -वां सदिश। इसके अतिरिक्त, [[रैखिक स्वतंत्रता]] को एक संग्रह की संपत्ति के रूप में परिभाषित किया गया है; इसलिए यह महत्वपूर्ण है कि वे सदिश समुच्चय या परिवार के रूप में रैखिक रूप से स्वतंत्र हों। उदाहरण के लिए, यदि हम विचार करें {{math|1=''n'' = 2}} तथा {{math|1=''v''<sub>1</sub> = ''v''<sub>2</sub> = (1, 0)}} एक ही सदिश के रूप में, फिर उनमें से समुच्चय में केवल एक तत्व होता है (एक समुच्चय (गणित के रूप में) अनियंत्रित विशिष्ट तत्वों का संग्रह होता है) और रैखिक रूप से स्वतंत्र होता है, लेकिन परिवार में एक ही तत्व दो बार होता है (अलग-अलग अनुक्रमित होने के बाद से) और  रैखिक रूप से निर्भर है (समान सदिश रैखिक रूप से निर्भर हैं)।
+यहां {{math|(''v''<sub>''i''</sub>)<sub>''i'' ∈ {1, ..., ''n''}</sub>}} सदिशों के वर्ग को दर्शाता है। {{mvar|i}}<nowiki>i}}-वें सदिश </nowiki>{{math|''v''<sub>''i''</sub>}} केवल इस वर्ग के संबंध में समझ में आता है, क्योंकि समुच्चय अनियंत्रित हैं इसलिए नहीं है {{mvar|i}} समुच्चय का i-वां सदिश नहीं होता है। इसके अतिरिक्त, [[रैखिक स्वतंत्रता]] को संग्रह की संपत्ति के रूप में परिभाषित किया गया है; इसलिए यह महत्वपूर्ण है कि वे सदिश समुच्चय या वर्ग के रूप में रैखिक रूप से स्वतंत्र हों। उदाहरण के लिए, यदि {{math|1=''n'' = 2}} तथा {{math|1=''v''<sub>1</sub> = ''v''<sub>2</sub> = (1, 0)}} एको ही सदिश मानते हैं, तो उनके समुच्चय में केवल अवयव होता है (चूंकि समुच्चय अक्रमित विशिष्ट तत्वों का संग्रह होता है)और रैखिक रूप से स्वतंत्र होता है , किन्तु वर्ग में ही तत्व दो बार होता है (भिन्न -भिन्न  अनुक्रमित होने के बाद से) और रैखिक रूप से निर्भर है (समान सदिश रैखिक रूप से निर्भर हैं)।
 === आव्यूह ===
-मान लीजिए कि एक पाठ निम्नलिखित बताता है:
+मान लीजिए कि पाठ निम्नलिखित बताता है:
 {{Quote
-|text=A square matrix ''A'' is invertible, [[if and only if]] the rows of ''A'' are linearly independent.
+|text=एक वर्ग मैट्रिक्स ''A'' व्युत्क्रमणीय है, [[यदि और केवल यदि]] ''A'' की पंक्तियां रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।
 }}
-पिछले उदाहरण की तरह, यह महत्वपूर्ण है कि A की पंक्तियाँ एक परिवार के रूप में रैखिक रूप से स्वतंत्र हों, एक समुच्चय के रूप में नहीं। उदाहरण के लिए, आव्यूह पर विचार करें
+पिछले उदाहरण की भांति, यह महत्वपूर्ण है कि A की पंक्तियाँ वर्ग के रैखिक रूप से स्वतंत्र हों, समुच्चय के रूप में नहीं। उदाहरण के लिए, आव्यूह पर विचार करें
 :<math> A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}. </math>
-पंक्तियों के समुच्चय में एक ही तत्व होता है {{math|(1, 1)}} एक समुच्चय अद्वितीय तत्वों से बना है, इसलिए यह रैखिक रूप से स्वतंत्र है, लेकिन  आव्यूह व्युत्क्रमणीय नहीं है क्योंकि आव्यूह निर्धारक 0. है। दूसरी ओर, पंक्तियों के परिवार में दो तत्व अलग-अलग अनुक्रमित होते हैं जैसे कि पहली पंक्ति {{math|(1, 1)}} और दूसरी पंक्ति {{math|(1,1)}} इसलिए यह रैखिक रूप से निर्भर है। इसलिए यह कथन सही है यदि यह पंक्तियों के परिवार को संदर्भित करता है, लेकिन गलत है यदि यह पंक्तियों के समुच्चय को संदर्भित करता है। (बयान तब भी सही होता है जब पंक्तियों की व्याख्या  [[multiset|मल्टीसेट]] के संदर्भ में की जाती है, जिसमें तत्वों को भी अलग रखा जाता है लेकिन जिसमें अनुक्रमित परिवार की कुछ संरचना का अभाव होता है।)
+पंक्तियों के समुच्चय में ही तत्व {{math|(1, 1)}} होता है समुच्चय अद्वितीय तत्वों से बना है, इसलिए यह रैखिक रूप से स्वतंत्र है, किन्तु आव्यूह व्युत्क्रमणीय नहीं है क्योंकि आव्यूह निर्धारक 0. है। दूसरी ओर, पंक्तियों के वर्ग में दो तत्व भिन्न-भिन्न अनुक्रमित होते हैं जैसे कि पहली पंक्ति {{math|(1, 1)}} और दूसरी पंक्ति {{math|(1,1)}} इसलिए यह रैखिक रूप से निर्भर है। इसलिए यह कथन सही है यदि यह पंक्तियों के वर्ग को संदर्भित करता है, किन्तु गलत है यदि यह पंक्तियों के समुच्चय को संदर्भित करता है। (वर्णन तब भी सही होता है जब पंक्तियों की व्याख्या [[multiset|बहु समुच्चय]] के संदर्भ में की जाती है, जिसमें तत्वों को भी भिन्न रखा जाता है किन्तु जिसमें अनुक्रमित वर्ग की कुछ संरचना का अभाव होता है।)
 === अन्य उदाहरण ===
-मान लीजिए {{math|'''n'''}} परिमित समुच्चय{{math|{{mset|1, 2, ..., ''n''}}}} है, जहाँ {{mvar|n}} एक धनात्मक पूर्णांक है।
+मान लीजिए {{math|'''n'''}} परिमित समुच्चय{{math|{{mset|1, 2, ..., ''n''}}}} है, जहाँ {{mvar|n}} धनात्मक पूर्णांक है।
-* एक आदेशित जोड़ी (2-[[टपल|ट्यूपल]]) दो तत्वों के समुच्चय द्वारा अनुक्रमित एक परिवार है, {{math|1='''2''' = {1, 2}<nowiki/>}}; आदेशित जोड़ी के प्रत्येक तत्व को  {{math|'''2'''}} समुच्चय के प्रत्येक तत्व द्वारा अनुक्रमित किया जाता है.
+* आदेशित जोड़ी (2-[[टपल|ट्यूपल]]) दो तत्वों के समुच्चय द्वारा अनुक्रमित वर्ग है, {{math|1='''2''' = {1, 2}<nowiki/>}}; आदेशित जोड़ी के प्रत्येक तत्व को {{math|'''2'''}} समुच्चय के प्रत्येक तत्व द्वारा अनुक्रमित किया जाता हैI
-* एक टपल |{{mvar|n}}-टुपल समुच्चय द्वारा अनुक्रमित एक परिवार है {{math|'''n'''}}.
+* {{mvar|n}}-टुपल  वर्ग है जिसे समुच्चय {{math|'''n'''}} द्वारा अनुक्रमित किया जाता है।
-* एक अनंत अनुक्रम [[प्राकृतिक संख्या]]ओं द्वारा अनुक्रमित एक परिवार है।
+* अनंत अनुक्रम [[प्राकृतिक संख्या]]ओं द्वारा अनुक्रमित वर्ग है।
-* एक टपल एक है {{mvar|n}}-टपल एक अनिर्दिष्ट के लिए {{mvar|n}}, या एक अनंत क्रम।
+* सूची अनिर्दिष्ट {{mvar|n}} या अनंत अनुक्रम के लिए {{mvar|n}}-टपल है।
-* एक {{math|''n''×''m''}} [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] कार्टेशियन उत्पाद द्वारा अनुक्रमित एक परिवार है {{math|'''n'''×'''m'''}} कौन से तत्व क्रमित युग्म हैं, उदा., {{math|(2, 5)}} दूसरी पंक्ति और 5वें कॉलम में आव्यूह तत्व को अनुक्रमित करना।
+* {{math|''n''×''m''}} आव्यूह कार्टेशियन उत्पाद {{math|'''n'''×'''m'''}} द्वारा अनुक्रमित वर्ग है जो तत्वों को जोड़े का आदेश दिया जाता है, उदाहरण के लिए, {{math|(2, 5)}} दूसरी पंक्ति और 5वें कॉलम में आव्यूह तत्व को अनुक्रमित करना।
-* एक [[नेट (गणित)]] एक [[निर्देशित सेट|निर्देशित समुच्चय]] द्वारा अनुक्रमित एक परिवार है।
+* [[नेट (गणित)|नेट]]  वर्ग है। जिसे [[निर्देशित सेट|निर्देशित समुच्चय]] द्वारा अनुक्रमित किया जाता है I
-== अनुक्रमित परिवारों पर संचालन ==
+== अनुक्रमित वर्गों पर संचालन ==
-सूचकांक समूह का उपयोग अक्सर रकम और अन्य समान ऑपरेशनों में किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि {{math|(''a''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''∈''I''</sub>}} संख्याओं का एक अनुक्रमित परिवार है, उन सभी संख्याओं का योग द्वारा निरूपित किया जाता है
+सूचकांक समूह का उपयोग प्रायः रकम और अन्य समान ऑपरेशनों में किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि {{math|(''a''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''∈''I''</sub>}} संख्याओं का अनुक्रमित वर्ग है, उन सभी संख्याओं का योग द्वारा निरूपित किया जाता है
 :<math> \sum_{i\in I} a_i. </math>
-जब {{math|(''A''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''∈''I''</sub>}} समुच्चयों का एक परिवार है, उन सभी समुच्चयों के [[संघ (सेट सिद्धांत)|संघ (समुच्चय सिद्धांत)]] द्वारा निरूपित किया जाता है
+जब {{math|(''A''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''∈''I''</sub>}} समुच्चयों का वर्ग है, उन सभी समुच्चयों के संघ द्वारा निरूपित किया जाता है
 :<math>\bigcup_{i\in I} A_i. </math>
-इसी प्रकार चौराहे (सेट सिद्धांत) और कार्टेशियन उत्पादों के लिए।
+इसी प्रकार चौराहे (समूह सिद्धांत) और कार्टेशियन उत्पादों के लिए।
-== अनुक्रमित उपपरिवार ==
+== अनुक्रमित उपवर्ग ==
-एक अनुक्रमित परिवार {{math|(''B''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''∈''J''</sub>}} एक अनुक्रमित परिवार का उपपरिवार है {{math|(''A''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''∈''I''</sub>}}, यदि और केवल यदि {{mvar|J}} का उपसमुच्चय है {{mvar|I}} तथा {{math|1=''B<sub>i</sub>'' = ''A<sub>i</sub>''}} सभी के लिए रखता है {{mvar|i}} में {{mvar|J}}.
+अनुक्रमित वर्ग {{math|(''B''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''∈''J''</sub>}} अनुक्रमित वर्ग {{math|(''A''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''∈''I''</sub>}} का उपवर्ग है , यदि केवल यदि {{mvar|J}} ,{{mvar|I}} का उपसमुच्चय है तथा {{math|1=''B<sub>i</sub>'' = ''A<sub>i</sub>''}}, {{mvar|J}} में सभी {{mvar|i}} के लिए है।
 == श्रेणी सिद्धांत में उपयोग ==
-{{main|Diagram (category theory)}}
+{{main|आरेख (श्रेणी सिद्धांत)}}
-[[श्रेणी सिद्धांत]] में समान अवधारणा को [[आरेख (श्रेणी सिद्धांत)]] कहा जाता है। एक आरेख श्रेणी सिद्धांत में वस्तुओं के एक अनुक्रमित परिवार को जन्म देने वाला एक फ़ंक्टर है {{math|'''''C'''''}}, अन्य श्रेणी द्वारा अनुक्रमित {{math|'''''J'''''}}, और दो सूचकांकों के आधार पर [[morphism|रूपवाद]] से संबंधित है।
+[[श्रेणी सिद्धांत]] में समान अवधारणा को [[आरेख (श्रेणी सिद्धांत)|आरेख]] कहा जाता है। आरेख श्रेणी सिद्धांत में वस्तुओं के अनुक्रमित वर्ग को जन्म देने वाला फ़ंक्टर है {{math|'''''C'''''}}, जो अन्य श्रेणी {{math|'''''J'''''}} , द्वारा अनुक्रमित है, और दो सूचकांकों के आधार पर [[morphism|रूपवाद]] से संबंधित है।
 == यह भी देखें ==
 * [[सरणी डेटा प्रकार]]
-* [[सहउत्पाद]]
+* [[सहउत्पाद|सहगुणन]]
 * आरेख (श्रेणी सिद्धांत)
 * [[अलग संघ]]
-* सेट का परिवार
+* सेट का वर्ग
 * [[सूचकांक अंकन]]
 * नेट (गणित)
-* [[पैरामीट्रिक परिवार]]
+* [[पैरामीट्रिक परिवार|पैरामीट्रिक वर्ग]]
 * क्रम
 * [[टैग की गई यूनियन]]
-==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==
-*अंक शास्त्र
-*समारोह (गणित)
-*किसी फ़ंक्शन का डोमेन
-*अगर और केवल अगर
-*सेट (गणित)
-*सिद्ध
-*क्रमित युग्म
-*कार्तीय गुणन
-*सेट का परिवार
-*चौराहा (सेट सिद्धांत)
-*ऑपरेटर
 ==संदर्भ==
-* [[Mathematical Society of Japan]], ''Encyclopedic Dictionary of Mathematics'', 2nd edition, 2 vols., Kiyosi Itô (ed.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993.  Cited as EDM (volume).
+* [[Mathematical Society of Japan]], ''Encyclopedic Dictionary of Mathematics'', 2nd edition, 2 vols., Kiyosi Itô (ed.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993. Cited as EDM (volume).
-[[Category:गणितीय संकेतन]]
-[[Category: समुच्चय सिद्धांत में मूलभूत अवधारणा]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:Articles with short description]]
 [[Category:Created On 25/11/2022]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
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+[[Category:गणितीय संकेतन]]
+[[Category:समुच्चय सिद्धांत में मूलभूत अवधारणा]]

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