समांतर अभ्युपगम: Difference between revisions

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{{Short description|Geometric axiom}}
[[Image:Parallel postulate en.svg|thumb|right|350px|यदि आंतरिक कोणों α और β का योग 180° से कम है, तो दो सीधी रेखाएँ, अनिश्चित रूप से बढ़ाई गई, उस ओर मिलती हैं।]][[ज्यामिति]] में, समानांतर अभिधारणा, जिसे [[यूक्लिड]] का पाँचवा अभिधारणा भी कहा जाता है, क्योंकि यह यूक्लिड के तत्वों में पाँचवा अभिधारणा है, [[यूक्लिडियन ज्यामिति]] में एक विशिष्ट [[स्वयंसिद्ध]] है। द्वि-आयामी ज्यामिति यह बताता है कि:
[[Image:Parallel postulate en.svg|thumb|right|350px|यदि आंतरिक कोणों α और β का योग 180° से कम है, तो दो सीधी रेखाएँ, अनिश्चित रूप से बढ़ाई गई, उस ओर मिलती हैं।]][[ज्यामिति]] में, समानांतर अभिधारणा, जिसे [[यूक्लिड]] का पाँचवाँ अभिधारणा भी कहा जाता है क्योंकि यह यूक्लिड के तत्वों में पाँचवाँ अभिधारणा है, [[यूक्लिडियन ज्यामिति]] में एक विशिष्ट [[स्वयंसिद्ध]] है। द्वि-आयामी ज्यामिति यह बताता है कि:


"यदि एक [[रेखा खंड]] एक ही तरफ दो आंतरिक कोण बनाने वाली दो सीधी रेखाओं को काटता है, जो दो [[समकोण|समकोणों]] से कम हो, तो दोनों रेखाएँ, यदि अनिश्चित काल तक बढ़ाई जाती हैं, तो उस तरफ मिलती हैं, जिस पर कोणों का योग दो समकोणों से कम होता है।  
"यदि एक [[रेखा खंड]] एक ही तरफ दो आंतरिक कोण बनाने वाली दो सीधी रेखाओं को काटता है, जो दो [[समकोण|समकोणों]] से कम हो, तो दोनों रेखाएँ, यदि अनिश्चित काल तक बढ़ाई जाए, तो उस तरफ मिलती हैं, जिस पर कोणों का योग दो समकोणों से कम होता है।  


यह अभिधारणा विशेष रूप से समानांतर रेखाओं के बारे में बात नहीं करती है;<ref>[https://web.archive.org/web/20170202075326/http://people.cst.cmich.edu/piate1kl/mth_553_f07/non-euclidean_geometries_small.pdf non-Euclidean geometries], by [http://people.cst.cmich.edu/piate1kl/ Dr. Katrina Piatek-Jimenez]</ref> यह केवल समांतरता से संबंधित एक अभिधारणा है। यूक्लिड ने पुस्तक I, परिभाषा 23<ref name="Clark University">{{cite web | title=यूक्लिड के तत्व, पुस्तक 1, परिभाषा 23| website=Clark University | url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/defI23.html | access-date=2022-04-19 | quote= समानांतर सीधी रेखाएँ सीधी रेखाएँ होती हैं, जो एक ही तल में होने के कारण और दोनों दिशाओं में अनिश्चित रूप से बढ़ी हुई होती हैं, किसी भी दिशा में एक दूसरे से नहीं मिलती हैं।}}</ref> में पाँच अभिधारणाओं के ठीक पहले समांतर रेखाओं की परिभाषा दी थी।<ref>[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/bookI.html Euclid's Elements, Book I]</ref>  
यह अभिधारणा विशेष रूप से समानांतर रेखाओं के बारे में बात नहीं करती है;<ref>[https://web.archive.org/web/20170202075326/http://people.cst.cmich.edu/piate1kl/mth_553_f07/non-euclidean_geometries_small.pdf non-Euclidean geometries], by [http://people.cst.cmich.edu/piate1kl/ Dr. Katrina Piatek-Jimenez]</ref> यह केवल समांतरता से संबंधित एक अभिधारणा है। यूक्लिड ने पुस्तक I, परिभाषा 23<ref name="Clark University">{{cite web | title=यूक्लिड के तत्व, पुस्तक 1, परिभाषा 23| website=Clark University | url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/defI23.html | access-date=2022-04-19 | quote= समानांतर सीधी रेखाएँ सीधी रेखाएँ होती हैं, जो एक ही तल में होने के कारण और दोनों दिशाओं में अनिश्चित रूप से बढ़ी हुई होती हैं, किसी भी दिशा में एक दूसरे से नहीं मिलती हैं।}}</ref> में पाँच अभिधारणाओं के ठीक पहले समांतर रेखाओं की परिभाषा दी थी।<ref>[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/bookI.html Euclid's Elements, Book I]</ref>  


यूक्लिडियन ज्यामिति ज्यामिति का अध्ययन है जो यूक्लिड के सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है, जिसमें समांतर अभिधारणा भी शामिल है।
यूक्लिडियन ज्यामिति, ज्यामिति का एक अध्ययन है जो यूक्लिड के सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है, जिसमें समानांतर अभिधारणा भी समिलित है।


अभिधारणा को लंबे समय तक स्पष्ट या अपरिहार्य माना जाता था, लेकिन प्रमाण मायावी थे। आखिरकार, यह पता चला कि अलग-अलग ज्यामिति के बावजूद अभिधारणा को उलटने से वैध होता है। एक ज्यामिति जहाँ समानांतर अभिधारणा धारण नहीं करती है उसे [[गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति]] के रूप में जाना जाता है। ज्यामिति जो तार्किक रूप से यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा से स्वतंत्र है (अर्थात्, केवल प्रथम चार अभिधारणाओं के आधुनिक समकक्ष को मानती है) निरपेक्ष ज्यामिति (या कभी-कभी तटस्थ ज्यामिति) के रूप में जानी जाती है।
अभिधारणा को लंबे समय तक स्पष्ट या अपरिहार्य माना जाता था, लेकिन इसके प्रमाण मायावी थे। आखिरकार, यह पता चला कि अलग-अलग ज्यामिति के बावजूद अभिधारणा को उलटने से वैध होता है। एक ज्यामिति जो समानांतर अभिधारणा धारण नहीं करती है उसे [[गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति]] के रूप में जाना जाता है। ज्यामिति जो तार्किक रूप से यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा से स्वतंत्र है (अर्थात्, केवल प्रथम चार अभिधारणाओं के आधुनिक समकक्ष को मानती है) निरपेक्ष ज्यामिति (या कभी-कभी तटस्थ ज्यामिति) के रूप में जानी जाती है।


== समतुल्य गुण ==
== समतुल्य गुण ==
संभवतः यूक्लिड की समानांतर अभिधारणा का सबसे प्रसिद्ध समतुल्य, उनकी अन्य अभिधारणाओं पर आकस्मिक, प्लेफेयर का स्वयंसिद्ध है, जिसका नाम स्कॉटिश [[गणितज्ञ]] [[जॉन प्लेफेयर]] के नाम पर रखा गया है, जो कहता है:
संभवतः यूक्लिड की समानांतर अभिधारणा का सबसे प्रसिद्ध समतुल्य, उनकी अन्य अभिधारणाओं पर आकस्मिक, प्लेफेयर का स्वयंसिद्ध है, जिसका नाम स्कॉटिश [[गणितज्ञ]] [[जॉन प्लेफेयर]] के नाम पर रखा गया है, जो कहता है:


<ब्लॉककोट>
एक समतल में, एक रेखा दी गई है और यदि एक बिंदु उस पर नहीं है, तो बिंदु के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर अधिकतम एक रेखा खींची जा सकती है।<ref>[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI30.html Euclid's Parallel Postulate and Playfair's Axiom]</ref>
एक समतल में, एक रेखा दी गई है और एक बिंदु उस पर नहीं है, बिंदु के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर अधिकतम एक रेखा खींची जा सकती है।<ref>[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI30.html Euclid's Parallel Postulate and Playfair's Axiom]</ref>
</ब्लॉककोट>


यह अभिगृहीत अपने आप में तार्किक रूप से यूक्लिडियन समानांतर अभिधारणा के समतुल्य नहीं है क्योंकि ऐसी ज्यामितियाँ हैं जिनमें एक सत्य है और दूसरी नहीं। हालांकि, शेष स्वयंसिद्धों की उपस्थिति में जो यूक्लिडियन ज्यामिति देते हैं, इनमें से प्रत्येक का उपयोग दूसरे को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है, इसलिए वे निरपेक्ष ज्यामिति के संदर्भ में समकक्ष हैं।<ref>{{harvnb|Henderson|Taimiņa|2005|loc=pg. 139}}</ref>
यह अभिगृहीत अपने आप में तार्किक रूप से यूक्लिडियन समानांतर अभिधारणा के समतुल्य नहीं है क्योंकि ऐसी ज्यामितियाँ हैं जिनमें एक सत्य है और दूसरी नहीं। हालांकि, शेष स्वयंसिद्धों की उपस्थिति में, जो यूक्लिडियन ज्यामिति देते है, इनमें से प्रत्येक का उपयोग दूसरे को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है, इसलिए वे पूर्ण ज्यामिति के संदर्भ में समतुल्य हैं<ref>{{harvnb|Henderson|Taimiņa|2005|loc=pg. 139}}</ref>।
समानांतर अभिधारणा के समतुल्य कई अन्य कथनों का सुझाव दिया गया है, उनमें से कुछ पहली बार समानांतरता से असंबंधित प्रतीत होते हैं, और कुछ इतने आत्म-साक्ष्य प्रतीत होते हैं। यूक्लिड की अन्य अभिधारणाओं से अभिधारणा। इन समकक्ष बयानों में शामिल हैं:


# एक बाहरी बिंदु के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर अधिक से अधिक एक रेखा खींची जा सकती है। (प्लेफेयर का स्वयंसिद्ध)
समानांतर अभिधारणा के समतुल्य कई अन्य कथनों द्वारा सुझाव दिया गया है कि उनमें से कुछ पहली बार समानांतरता से असंबंधित प्रतीत होते हैं, और कुछ इतने आत्म-साक्ष्य प्रतीत होते हैं कि वे अनजाने में लोगों द्वारा मान लिए गए थे, जिन्होंने यूक्लिड की अन्य अभिधारणाओं से समानांतर अभिधारणा सिद्ध करने का दावा किया था। उन समकक्ष बयानों में समिलित हैं:
# प्रत्येक त्रिभुज में [[कोण]]ों का योग 180° ([[[[त्रिकोण]] अभिधारणा]]) होता है।
 
# एक रेखा ऐसी भी होती है जो किसी बाहरी बिंदु के माध्यम से दी गई दूसरी रेखा के समानांतर खींची जा सकती है। ([[प्लेफेयर का स्वयंसिद्ध]])
# प्रत्येक [[त्रिभुज]] के [[कोण|कोणों]] का योग 180° ([[त्रिकोण|त्रिकोण अभिधारणा]]) होता है।
# एक त्रिभुज का अस्तित्व है जिसके कोणों का योग 180° होता है।
# एक त्रिभुज का अस्तित्व है जिसके कोणों का योग 180° होता है।
# प्रत्येक त्रिभुज के कोणों का योग समान होता है।
# कोणों का योग प्रत्येक त्रिभुज के लिए समान होता है।
# [[समानता (ज्यामिति)]] की एक जोड़ी मौजूद है, लेकिन [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]], त्रिकोण नहीं है।
# [[समरूप]] त्रिभुजों का एक युग्म मौजूद है, लेकिन [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)|सर्वांगसमता]] त्रिकोण का नहीं।
# हर त्रिकोण को परिचालित किया जा सकता है।
# हर त्रिकोण को परिचालित किया जा सकता है।
# यदि किसी चतुर्भुज के तीन कोण समकोण हों, तो चौथा कोण भी समकोण होता है।
# यदि किसी चतुर्भुज के तीन कोण समकोण हों, तो चौथा कोण भी समकोण होता है।
# एक चतुर्भुज मौजूद है जिसके सभी कोण समकोण हैं, यानी एक [[आयत]] है।
# एक चतुर्भुज, जिसके सभी कोण समकोण हैं, वह एक [[आयत]] है।
# सीधी रेखाओं की एक जोड़ी मौजूद है जो एक दूसरे से निरंतर [[दूरी]] पर हैं।
# सीधी रेखाओं की एक जोड़ी मौजूद है जो एक दूसरे से निरंतर [[दूरी]] पर हैं।
# दो रेखाएँ जो एक ही रेखा के समानांतर होती हैं, एक दूसरे के समानांतर भी होती हैं।
# दो रेखाएँ जो एक ही रेखा के समानांतर होती हैं, वह दोनों एक दूसरे के समानांतर भी होती हैं।
# एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं (पाइथागोरस प्रमेय) के वर्गों के योग के बराबर होता है।<ref name=Parallel>{{Citation
# एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं (पाइथागोरस प्रमेय) के वर्गों के योग के बराबर होता है।<ref name="Parallel">{{Citation
   | title    = CRC concise encyclopedia of mathematics
   | title    = CRC concise encyclopedia of mathematics
   | author    = Eric W. Weisstein
   | author    = Eric W. Weisstein
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   | url      = https://books.google.com/books?id=8qAxk1rXIjQC&pg=PA11
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#कोसाइन का नियम, पाइथागोरस प्रमेय का एक सामान्यीकरण।
#कोसाइन का नियम, पाइथागोरस प्रमेय का एक सामान्यीकरण है।
# त्रिभुज के क्षेत्रफल (ज्यामिति) की कोई ऊपरी सीमा नहीं है। (जॉन वालिस#ज्यामिति)<ref>{{cite web
# त्रिभुज के क्षेत्रफल की कोई ऊपरी सीमा नहीं है। (वालिस स्वयंसिद्ध)<ref>{{cite web
   | url        = http://www.cut-the-knot.org/triangle/pythpar/Fifth.shtml
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   | title      = Euclid's Fifth Postulate
   | title      = Euclid's Fifth Postulate
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# सचेरी चतुर्भुज के शिखर कोण 90° हैं।
# सचेरी चतुर्भुज के शिखर कोण 90° हैं।
# यदि एक रेखा दो समानांतर रेखाओं में से एक को काटती है, जो दोनों मूल रेखा के साथ समतलीय हैं, तो यह दूसरे को भी काटती है। ([[बंद किया हुआ]] 'स्वयंसिद्ध)<ref>{{cite web
# यदि एक रेखा दो समानांतर रेखाओं में से एक को काटती है, जो दोनों मूल रेखा के साथ समतलीय हैं, तो यह दूसरे को भी काटती है। ([[प्रोक्लस का स्वयंसिद्ध)]]<ref>{{cite web
   | url        = http://mathworld.wolfram.com/ProclusAxiom.html
   | url        = http://mathworld.wolfram.com/ProclusAxiom.html
   | title      = Proclus' Axiom&nbsp;– MathWorld
   | title      = Proclus' Axiom&nbsp;– MathWorld
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   | first      = Eric W.
   | first      = Eric W.
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हालांकि, समानांतर शब्द का प्रयोग करने वाले विकल्प इतने सरल दिखाई देना बंद हो जाते हैं जब कोई यह समझाने के लिए बाध्य होता है कि समानांतर की चार सामान्य परिभाषाओं में से कौन सा मतलब है - निरंतर अलगाव, कभी न मिलना, समान कोण जहां किसी तीसरी रेखा द्वारा पार किया गया हो, या समान कोण जहां पार किया गया हो किसी भी तीसरी पंक्ति से - चूंकि इन चारों की समानता यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा के समतुल्य अनजाने में स्पष्ट धारणाओं में से एक है। उपरोक्त सूची में, इसे हमेशा गैर-प्रतिच्छेदी रेखाओं के संदर्भ में लिया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि प्लेफेयर की अभिधारणा में समानांतर शब्द का अर्थ 'निरंतर पृथक्करण' या 'समान कोण जहां किसी तीसरी रेखा द्वारा पार किया गया' है, तो यह अब यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा के समतुल्य नहीं है, और पहले चार से सिद्ध होता है। स्वयंसिद्ध कहता है 'अधिकतम एक पंक्ति है ...', जो ऐसी कोई रेखा नहीं होने के अनुरूप है)। हालाँकि, यदि परिभाषा को इस तरह लिया जाता है कि समानांतर रेखाएँ ऐसी रेखाएँ हैं जो प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, या जिनकी कुछ रेखाएँ उन्हें समान कोणों में काटती हैं, तो Playfair का स्वयंसिद्ध यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा के समतुल्य है और इस प्रकार पहले चार अभिधारणाओं से तार्किक रूप से स्वतंत्र है। ध्यान दें कि बाद की दो परिभाषाएँ समतुल्य नहीं हैं, क्योंकि अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में दूसरी परिभाषा केवल अतिपरवलयिक ज्यामिति#गैर-अन्तर्विभाजक रेखा रेखाओं के लिए है।
हालांकि, समानांतर शब्द का प्रयोग करने वाले विकल्प इतने सरल दिखाई देना बंद हो जाते हैं जब कोई यह समझाने के लिए बाध्य होता है कि "समानांतर" की चार सामान्य परिभाषाओं में से कौन सा मतलब है - निरंतर अलगाव, कभी न मिलना, समान कोण जहां किसी तीसरी रेखा द्वारा पार किया गया हो, या समान कोण जहां किसी भी तीसरी रेखा द्वारा पार किया जाता है - क्योंकि इन चारों की समानता यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा के बराबर अनजाने में स्पष्ट धारणाओं में से एक है। उपरोक्त सूची में, इसे हमेशा गैर-प्रतिच्छेदी रेखाओं के संदर्भ में लिया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि प्लेफेयर की अभिधारणा में समानांतर शब्द का अर्थ 'निरंतर अलगाव' या 'समान कोण जहां किसी तीसरी रेखा द्वारा पार किया गया' है, तो तब यह यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा के समतुल्य नहीं है, जो पहले चार सूक्तियों से सिद्ध है। (स्वयंसिद्ध कहता है 'अधिक से अधिक एक पंक्ति है', जो इस बात के अनुरूप है कि ऐसी कोई रेखा नही है)। हालाँकि, यदि परिभाषा को इस तरह लिया जाता है कि समानांतर रेखाएँ ऐसी रेखाएँ हैं जो प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, या जिनकी कुछ रेखाएँ उन्हें समान कोणों में काटती हैं, तो प्लेफेयर का स्वयंसिद्ध यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा के बराबर है और इस प्रकार पहले चार अभिधारणाओं से तार्किक रूप से स्वतंत्र है। ध्यान दें कि बाद की दो परिभाषाएँ समतुल्य नहीं हैं, क्योंकि अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में दूसरी परिभाषा केवल अतिपरवलयिक रेखाओं के लिए है।


== इतिहास ==
== इतिहास ==
प्रारंभ से ही, अभिधारणा को साबित करने योग्य माना गया, और इसलिए अभिधारणा नहीं, और दो हजार से अधिक वर्षों के लिए, यूक्लिड की पहली चार अभिधारणाओं का उपयोग करते हुए समानांतर अभिधारणा को सिद्ध करने (व्युत्पन्न) करने के लिए कई प्रयास किए गए।<ref name="Euclid Heath">{{cite book | author=Euclid | last2=Heath | first2=Thomas Little, Sir | title=यूक्लिड के तत्वों की तेरह पुस्तकें| publisher=Dover Publications | publication-place=New York | date=1956 | isbn=0-486-60088-2 | oclc=355237 | page=202}}</ref> मुख्य कारण यह है कि इस तरह के प्रमाण की इतनी अधिक मांग की गई थी कि, पहले चार अभिधारणाओं के विपरीत, समानांतर अभिधारणा स्वतः स्पष्ट नहीं है। यदि तत्वों में अभिधारणाओं को जिस क्रम में सूचीबद्ध किया गया था वह महत्वपूर्ण है, तो यह इंगित करता है कि यूक्लिड ने इस अभिधारणा को तभी शामिल किया जब उसे एहसास हुआ कि वह इसे साबित नहीं कर सकता या इसके बिना आगे नहीं बढ़ सकता।<ref>{{Citation|title=History of the Parallel Postulate|journal=The American Mathematical Monthly|volume=27|issue=1|pages=16–23|date=Jan 1920|author=Florence P. Lewis|doi=10.2307/2973238|publisher=The American Mathematical Monthly, Vol. 27, No. 1|postscript=.|jstor=2973238}}</ref>
प्रारंभ से ही, अभिधारणा साबित करने योग्य होने के कारण इसे आलोचना का सामना करना पड़ा, और इसलिए अभिधारणा नहीं है, और दो हजार से अधिक वर्षों के लिए, यूक्लिड की पहली चार अभिधारणाओं का उपयोग करते हुए समानांतर अभिधारणा को सिद्ध करने के लिए कई प्रयास किए गए।<ref name="Euclid Heath">{{cite book | author=Euclid | last2=Heath | first2=Thomas Little, Sir | title=यूक्लिड के तत्वों की तेरह पुस्तकें| publisher=Dover Publications | publication-place=New York | date=1956 | isbn=0-486-60088-2 | oclc=355237 | page=202}}</ref> मुख्य कारण यह है कि इस तरह के प्रमाण की इतनी अधिक मांग की गई थी कि, पहले चार अभिधारणाओं के विपरीत, समानांतर अभिधारणा स्वतः स्पष्ट नहीं है। यदि तत्वों में अभिधारणाओं को जिस क्रम में सूचीबद्ध किया गया था वह महत्वपूर्ण है, तो यह इंगित करता है कि यूक्लिड ने इस अभिधारणा को तभी समिलित किया जब उसे एहसास हुआ कि वह इसे साबित नहीं कर सकते या इसके बिना आगे नहीं बढ़ सकते।<ref>{{Citation|title=History of the Parallel Postulate|journal=The American Mathematical Monthly|volume=27|issue=1|pages=16–23|date=Jan 1920|author=Florence P. Lewis|doi=10.2307/2973238|publisher=The American Mathematical Monthly, Vol. 27, No. 1|postscript=.|jstor=2973238}}</ref>अन्य चार अभिधारणाओं में से पांचवीं अभिधारणा को सिद्ध करने के लिए कई प्रयास किए गए, उनमें से कई को प्रमाण के रूप में लंबे समय तक स्वीकार किया गया जब तक कि गलती का पता नहीं चला। निरपवाद रूप से गलती कुछ 'स्पष्ट' संपत्ति मान रही थी जो पाँचवीं अभिधारणा (प्लेफेयर के स्वयंसिद्ध) के समतुल्य निकली। हालांकि प्रोक्लस के समय से जाना जाता है, जॉन प्लेफेयर द्वारा 1795 में यूक्लिड पर एक प्रसिद्ध टिप्पणी लिखने के बाद इसे प्लेफेयर के स्वयंसिद्ध के रूप में जाना जाने लगा, जिसमें उन्होंने यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा को अपने स्वयं के सूक्ति द्वारा प्रतिस्थापित करने का प्रस्ताव दिया। आज, दो हजार दो सौ वर्षों के बाद भी, यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा एक अभिधारणा बनी हुई है।
अन्य चार अभिधारणाओं में से पांचवीं अभिधारणा को सिद्ध करने के लिए कई प्रयास किए गए, उनमें से कई को प्रमाण के रूप में लंबे समय तक स्वीकार किया गया जब तक कि गलती का पता नहीं चला। निरपवाद रूप से गलती कुछ 'स्पष्ट' संपत्ति मान रही थी जो पाँचवीं अभिधारणा के समतुल्य निकली (#Equivalent Properties|Playfair's axiom)। हालांकि प्रोक्लस के समय से जाना जाता है, जॉन प्लेफेयर द्वारा 1795 में यूक्लिड पर एक प्रसिद्ध टिप्पणी लिखने के बाद इसे प्लेफेयर के स्वयंसिद्ध के रूप में जाना जाने लगा, जिसमें उन्होंने यूक्लिड की पांचवीं अवधारणा को अपने स्वयं के स्वयंसिद्ध द्वारा प्रतिस्थापित करने का प्रस्ताव दिया। आज, दो हजार दो सौ वर्षों के बाद भी, यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा एक अभिधारणा बनी हुई है।
 
प्रोक्लस (410-485) ने यूक्लिड के तत्वों पर एक टिप्पणी लिखी जहां उन्होंने अन्य चार से पांचवीं अभिधारणा को निकालने के प्रयास के साक्ष्य पर टिप्पणी की; विशेष रूप से, वह नोट करता है कि [[टॉलेमी]] ने एक झूठा 'प्रमाण' प्रस्तुत किया था। इसके बाद प्रोक्लस अपना खुद का झूठा सबूत देते है। हालाँकि, उन्होंने एक अभिधारणा दी जो पाँचवीं अभिधारणा के तुल्य है।
 
एक अरब गणितज्ञ, [[इब्न अल-हेथम]] (अलहज़ेन) (965-1039) ने विरोधाभास द्वारा एक प्रमाण का उपयोग करके समानांतर अभिधारणा को साबित करने का प्रयास किया,<ref>{{harvnb|Katz|1998|loc=pg. 269}}</ref> जिसके दौरान उन्होंने ज्यामिति में गति और [[परिवर्तन (ज्यामिति)|परिवर्तन]] की अभिधारणा को पेश किया।<ref>{{Harvnb|Katz|1998|p=269}}: {{blockquote|In effect, this method characterized parallel lines as lines always equidistant from one another and also introduced the concept of motion into geometry.}}</ref> उन्होंने [[लैम्बर्ट चतुर्भुज]] तैयार किया, जिसे बोरिस अब्रामोविच रोज़ेनफेल्ड ने "इब्न अल-हेथम-लैंबर्ट चतुर्भुज" नाम दिया,<ref name=Rozenfeld>{{Harvnb|Rozenfeld|1988|p=65}}</ref> और उनके प्रयास किए गए सबूत में लैम्बर्ट चतुर्भुज और प्लेफेयर के स्वयंसिद्ध में पाए जाने वाले तत्वों के समान तत्व समिलित हैं।<ref name=Smith>{{Harvnb|Smith|1992}}</ref>


प्रोक्लस (410-485) ने यूक्लिड के तत्वों पर एक टिप्पणी लिखी जहां उन्होंने अन्य चार से पांचवीं अभिधारणा को निकालने के प्रयास के साक्ष्य पर टिप्पणी की; विशेष रूप से, वह नोट करता है कि [[टॉलेमी]] ने एक झूठा 'प्रमाण' प्रस्तुत किया था। इसके बाद प्रोक्लस अपना खुद का झूठा सबूत देता है। हालाँकि, उन्होंने एक अभिधारणा दी जो पाँचवीं अभिधारणा के तुल्य है।
फारसी गणितज्ञ, खगोलशास्त्री, दार्शनिक, और कवि उमर खय्याम (1050-1123) ने स्पष्ट रूप से दिए गए एक अन्य अभिधारणा से पाँचवीं अभिधारणा को सिद्ध करने का प्रयास किया ([[अरस्तू|ऐरिस्टोटल]] के पाँच सिद्धांतों में से चौथे पर आधारित), अर्थात्, दो अभिसरण सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं और दो अभिसारी सीधी रेखाओं का उस दिशा में विचलन करना असंभव है जिस दिशा में वे अभिसरण करती हैं।<ref>Boris A Rosenfeld and Adolf P Youschkevitch (1996), ''Geometry'', p.467 in Roshdi Rashed, Régis Morelon (1996), ''Encyclopedia of the history of Arabic science'', Routledge, {{isbn|0-415-12411-5}}.</ref> उन्होंने [[अण्डाकार ज्यामिति]] और [[अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति]] से संबंधित पहले के कुछ परिणामों को प्राप्त किया, हालांकि उनके अभिधारणा ने बाद की संभावना को बाहर कर दिया।<ref name="Rosenfeld">Boris A. Rosenfeld and Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometry", in Roshdi Rashed, ed., ''[[Encyclopedia of the History of Arabic Science]]'', Vol. 2, p. 447-494 [469], [[Routledge]], London and New York: {{blockquote|"Khayyam's postulate had excluded the case of the hyperbolic geometry whereas al-Tusi's postulate ruled out both the hyperbolic and elliptic geometries."}}</ref> सैचेरी चतुर्भुज पर भी पहली बार उमर खय्याम ने 11वीं शताब्दी के अंत में यूक्लिड की अभिधारणाओं में कठिनाइयों के स्पष्टीकरण की पुस्तक I में <ref name="Rozenfeld" />विचार किया था। खय्याम इस तरह के समानांतर सिद्धांत को साबित करने की कोशिश नहीं कर रहे थे, बल्कि इसे अपने समकक्ष सिद्धांत से प्राप्त करने की कोशिश कर रहे थे। उन्होंने माना कि यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को छोड़ने से तीन संभावनाएँ उत्पन्न हुईं; यदि एक रेखा पर दो लंब दूसरी रेखा को काटते हैं, तो अंतिम का विवेकपूर्ण चुनाव उन आंतरिक कोणों को बना सकता है जहां यह दो लंबों को बराबर करता है (यह तब पहली पंक्ति के समानांतर होता है)। यदि वे समान आंतरिक कोण समकोण हों, तो हमें यूक्लिड का पाँचवाँ अभिधारणा प्राप्त होता है, अन्यथा, वे या तो न्यून या अधिक होने चाहिए। उन्होंने दिखाया कि उनके अभिधारणा का उपयोग करते हुए तीक्ष्ण और कुंद मामलों ने विरोधाभासों को जन्म दिया, लेकिन उनकी अभिधारणा को अब पाँचवीं अभिधारणा के समतुल्य के रूप में जाना जाता है।


मध्यकालीन इस्लाम में एक गणित, [[इब्न अल-हेथम]] (अलहज़ेन) (965-1039) ने [[Reductio विज्ञापन बेतुका]] का उपयोग करके समानांतर अवधारणा को साबित करने का प्रयास किया,<ref>{{harvnb|Katz|1998|loc=pg. 269}}</ref> जिसके दौरान उन्होंने [[गति (ज्यामिति)]] और [[परिवर्तन (ज्यामिति)]] की अवधारणा को ज्यामिति में पेश किया।<ref>{{Harvnb|Katz|1998|p=269}}: {{blockquote|In effect, this method characterized parallel lines as lines always equidistant from one another and also introduced the concept of motion into geometry.}}</ref> उन्होंने [[लैम्बर्ट चतुर्भुज]] तैयार किया, जिसे बोरिस अब्रामोविच रोज़ेनफेल्ड ने इब्न अल-हेथम-लैंबर्ट चतुर्भुज नाम दिया,<ref name=Rozenfeld>{{Harvnb|Rozenfeld|1988|p=65}}</ref> और उनके प्रयास किए गए सबूत में लैम्बर्ट चतुर्भुज और प्लेफेयर के स्वयंसिद्ध में पाए जाने वाले तत्वों के समान तत्व शामिल हैं।<ref name=Smith>{{Harvnb|Smith|1992}}</ref>
[[नासिर अल-दीन अल-तुसी]] (1201–1274), अपनी अल-रिसाला अल-शफ़ियान अल-शक्क फ़ि'ल-ख़ुतुत अल-मुतावाज़िया (चर्चा जो समानांतर रेखाओं के बारे में संदेह को दूर करती है) (1250) में, एक सदी पहले समानांतर अभिधारणा और खय्याम के प्रयास प्रमाण पर विस्तृत समालोचना लिखी। नासिर अल-दीन ने समानांतर अभिधारणा के विरोधाभास द्वारा एक प्रमाण प्राप्त करने का प्रयास किया।<ref name=Katz/>उन्होंने उन मामलों पर भी विचार किया जिन्हें अब अण्डाकार और अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के रूप में जाना जाता है, हालांकि उन्होंने दोनों को ही खारिज कर दिया।<ref name=Rosenfeld/>
फारसी गणितज्ञ, खगोलशास्त्री, दार्शनिक, और कवि उमर खय्याम (1050-1123) ने स्पष्ट रूप से दिए गए एक अन्य अभिधारणा से पाँचवीं अभिधारणा को सिद्ध करने का प्रयास किया (दार्शनिक ([[अरस्तू]]) के कारण पाँच सिद्धांतों में से चौथे पर आधारित), अर्थात्, दो अभिसारी सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं और दो अभिसारी सीधी रेखाओं का उस दिशा में विचलन करना असंभव है जिस दिशा में वे अभिसरण करती हैं।<ref>Boris A Rosenfeld and Adolf P Youschkevitch (1996), ''Geometry'', p.467 in Roshdi Rashed, Régis Morelon (1996), ''Encyclopedia of the history of Arabic science'', Routledge, {{isbn|0-415-12411-5}}.</ref> उन्होंने [[अण्डाकार ज्यामिति]] और [[अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति]] से संबंधित पहले के कुछ परिणामों को प्राप्त किया, हालांकि उनके अभिधारणा ने बाद की संभावना को बाहर कर दिया।<ref name=Rosenfeld>Boris A. Rosenfeld and Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometry", in Roshdi Rashed, ed., ''[[Encyclopedia of the History of Arabic Science]]'', Vol. 2, p. 447-494 [469], [[Routledge]], London and New York: {{blockquote|"Khayyam's postulate had excluded the case of the hyperbolic geometry whereas al-Tusi's postulate ruled out both the hyperbolic and elliptic geometries."}}</ref> सैचेरी चतुर्भुज पर भी पहली बार उमर खय्याम ने 11वीं शताब्दी के अंत में यूक्लिड की अभिधारणाओं में कठिनाइयों के स्पष्टीकरण की पुस्तक I में विचार किया था।<ref name=Rozenfeld />उनके पहले और बाद में यूक्लिड पर कई टिप्पणीकारों के विपरीत ([[जियोवन्नी गिरोलामो साचेरी]] सहित), खय्याम इस तरह के समानांतर सिद्धांत को साबित करने की कोशिश नहीं कर रहे थे, बल्कि इसे अपने समकक्ष सिद्धांत से प्राप्त करने की कोशिश कर रहे थे। उन्होंने माना कि यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को छोड़ने से तीन संभावनाएँ उत्पन्न हुईं; यदि एक रेखा पर दो लंब दूसरी रेखा को काटते हैं, तो अंतिम का विवेकपूर्ण चुनाव उन आंतरिक कोणों को बना सकता है जहां यह दो लंबों को बराबर करता है (यह तब पहली पंक्ति के समानांतर होता है)। यदि वे समान आंतरिक कोण समकोण हों, तो हमें यूक्लिड का पाँचवाँ अभिधारणा प्राप्त होता है, अन्यथा, वे या तो न्यून या अधिक होने चाहिए। उन्होंने दिखाया कि उनके अभिधारणा का उपयोग करते हुए तीक्ष्ण और कुंद मामलों ने विरोधाभासों को जन्म दिया, लेकिन उनकी अभिधारणा को अब पाँचवीं अभिधारणा के समतुल्य के रूप में जाना जाता है।


[[नासिर अल-दीन अल-तुसी]] (1201–1274), अपनी अल-रिसाला अल-शफ़ियान अल-शक्क फ़ि'ल-ख़ुतुत अल-मुतावाज़िया (चर्चा जो समानांतर रेखाओं के बारे में संदेह को दूर करती है) (1250) में, विस्तृत समालोचना लिखी एक सदी पहले समानांतर अवधारणा और खय्याम के प्रयास प्रमाण पर। नासिर अल-दीन ने समानांतर अभिधारणा के विरोधाभास द्वारा एक प्रमाण प्राप्त करने का प्रयास किया।<ref name=Katz/>उन्होंने उन मामलों पर भी विचार किया जिन्हें अब अण्डाकार और अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के रूप में जाना जाता है, हालांकि उन्होंने दोनों को खारिज कर दिया।<ref name=Rosenfeld/>
[[Image:Euclidian and non euclidian geometry.png|thumb|right|350px|यूक्लिडियन, अण्डाकार और अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति। समांतर सिद्धांत केवल यूक्लिडियन ज्यामिति के मॉडल के लिए संतुष्ट है।]]नासिर अल-दीन के बेटे, सद्र अल-दीन (कभी-कभी छद्म-तुसी के रूप में जाना जाता है) ने अपने पिता के बाद के विचारों के आधार पर 1298 में इस विषय पर एक किताब लिखी, जिसने एक गैर-यूक्लिडियन परिकल्पना के समकक्ष शुरुआती तर्कों में से एक को समानांतर अभिधारणा के बराबर प्रस्तुत किया। "उन्होंने अनिवार्य रूप से एक्सिओम्स और पोस्टुलेट्स की यूक्लिडियन प्रणाली और तत्वों से कई प्रस्तावों के प्रमाणों को संशोधित किया।"<ref name=Katz/><ref>Boris A. Rosenfeld and Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometry", in Roshdi Rashed, ed., ''[[Encyclopedia of the History of Arabic Science]]'', Vol. 2, p. 447-494 [469], [[Routledge]], London and New York: {{blockquote|"In ''Pseudo-Tusi's Exposition of Euclid'', [...] another statement is used instead of a postulate. It was independent of the Euclidean postulate V and easy to prove. [...] He essentially revised both the Euclidean system of axioms and postulates and the proofs of many propositions from the ''Elements''."}}</ref> उनका काम 1594 में [[रोम]] में प्रकाशित हुआ था और यूरोपीय जियोमीटरों द्वारा इसका अध्ययन किया गया था। इस काम ने इस विषय पर सचेरी के काम के लिए शुरुआती बिंदु को चिह्नित किया<ref name=Katz>{{harvnb|Katz|1998|loc=pg.271}}: {{blockquote|"But in a manuscript probably written by his son Sadr al-Din in 1298, based on Nasir al-Din's later thoughts on the subject, there is a new argument based on another hypothesis, also equivalent to Euclid's, [...] The importance of this latter work is that it was published in Rome in 1594 and was studied by European geometers. In particular, it became the starting point for the work of Saccheri and ultimately for the discovery of non-Euclidean geometry."}}</ref> जो सदर अल-दीन के काम और वालिस के काम की आलोचना के साथ शुरू हुआ।<ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Saccheri.html MacTutor's Giovanni Girolamo Saccheri]</ref>
[[गाइओरदानो विटाली]] (1633-1711) ने अपनी पुस्तक यूक्लाइड रेस्टिटू (1680, 1686) में खय्याम-सचेरी चतुर्भुज का उपयोग यह साबित करने के लिए किया कि यदि आधार AB और शिखर CD पर तीन बिंदु समान दूरी पर हैं, तो AB और CD हर जगह समान दूरी पर होंगे। [[जेरोम सचेरी]] (1667-1733) ने एक ही तर्क में पंक्ति का अधिक अच्छी तरह से पालन किया, सही ढंग से आपत्तिजनक मामले से बेतुकापन प्राप्त किया (यूक्लिड की तरह आगे बढ़ते हुए, अंतर्निहित धारणा से कि लाइनों को अनिश्चित काल तक बढ़ाया जा सकता है और अनंत लंबाई हो सकती है), लेकिन खंडन करने में विफल तीव्र मामला (हालांकि वह गलत तरीके से खुद को मनाने में कामयाब रहा कि उसके पास था)।


[[Image:Euclidian and non euclidian geometry.png|thumb|right|350px|यूक्लिडियन, अण्डाकार और अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति। समांतर सिद्धांत केवल यूक्लिडियन ज्यामिति के मॉडल के लिए संतुष्ट है।]]नासिर अल-दीन के बेटे, सद्र अल-दीन (कभी-कभी छद्म-तुसी के रूप में जाना जाता है) ने अपने पिता के बाद के विचारों के आधार पर 1298 में इस विषय पर एक किताब लिखी, जिसने एक गैर-यूक्लिडियन परिकल्पना के समकक्ष शुरुआती तर्कों में से एक प्रस्तुत किया। समानांतर अभिधारणा। उन्होंने अनिवार्य रूप से एक्सिओम्स और पोस्टुलेट्स की यूक्लिडियन प्रणाली और तत्वों से कई प्रस्तावों के प्रमाणों को संशोधित किया।<ref name=Katz/><ref>Boris A. Rosenfeld and Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometry", in Roshdi Rashed, ed., ''[[Encyclopedia of the History of Arabic Science]]'', Vol. 2, p. 447-494 [469], [[Routledge]], London and New York: {{blockquote|"In ''Pseudo-Tusi's Exposition of Euclid'', [...] another statement is used instead of a postulate. It was independent of the Euclidean postulate V and easy to prove. [...] He essentially revised both the Euclidean system of axioms and postulates and the proofs of many propositions from the ''Elements''."}}</ref> उनका काम 1594 में [[रोम]] में प्रकाशित हुआ था और यूरोपीय जियोमीटरों द्वारा इसका अध्ययन किया गया था। इस काम ने इस विषय पर सचेरी के काम के लिए शुरुआती बिंदु को चिह्नित किया<ref name=Katz>{{harvnb|Katz|1998|loc=pg.271}}: {{blockquote|"But in a manuscript probably written by his son Sadr al-Din in 1298, based on Nasir al-Din's later thoughts on the subject, there is a new argument based on another hypothesis, also equivalent to Euclid's, [...] The importance of this latter work is that it was published in Rome in 1594 and was studied by European geometers. In particular, it became the starting point for the work of Saccheri and ultimately for the discovery of non-Euclidean geometry."}}</ref> जो सदर अल-दीन के काम और वालिस के काम की आलोचना के साथ शुरू हुआ।<ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Saccheri.html MacTutor's Giovanni Girolamo Saccheri]</ref>
1766 में [[जोहान हेनरिक लैम्बर्ट]] ने लिखा, लेकिन प्रकाशित नहीं किया, जिसमें उन्होंने प्रयास किया थ्योरी डेर पैरालेलिनियन पर, जैसा कि सचेरी ने पांचवीं अभिधारणा को साबित करने के लिए किया था। उन्होंने एक आकृति के साथ काम किया जिसे आज हम लैंबर्ट चतुर्भुज कहते हैं, तीन समकोणों वाला चतुर्भुज (इसे सैचेरी चतुर्भुज का आधा माना जा सकता है)। उन्होंने जल्दी से इस संभावना को समाप्त कर दिया कि चौथा कोण कुंद है, जैसा कि सैचेरी और खय्याम के साथ हुआ था, और फिर एक तीव्र कोण की धारणा के तहत कई प्रमेयों को साबित करने के लिए आगे बढ़े। सचेरी के विपरीत, उन्होंने कभी महसूस नहीं किया कि वह इस धारणा के साथ एक विरोधाभास पर पहुंच गए हैं। उन्होंने गैर-यूक्लिडियन परिणाम को साबित कर दिया था कि त्रिभुज के कोणों का योग त्रिकोण के क्षेत्र में कमी के रूप में बढ़ता है, और इसने उन्हें काल्पनिक त्रिज्या के एक क्षेत्र पर तीव्र मामले के मॉडल की संभावना पर अनुमान लगाने के लिए प्रेरित किया। उन्होंने इस विचार को और आगे नहीं बढ़ाया।<ref>{{cite web|last1=O'Connor|first1=J.J.| last2=Robertson |first2=E.F|title=जोहान हेनरिक लैम्बर्ट|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Lambert.html|access-date=16 September 2011}}</ref>
[[Giordano Vitale]] (1633-1711) ने अपनी पुस्तक यूक्लाइड रेस्टिटू (1680, 1686) में खय्याम-सचेरी चतुर्भुज का उपयोग यह साबित करने के लिए किया कि यदि आधार AB और शिखर CD पर तीन बिंदु समान दूरी पर हैं, तो AB और CD हर जगह समान दूरी पर हैं। [[जेरोम सचेरी]] (1667-1733) ने तर्क की एक ही पंक्ति का अधिक अच्छी तरह से पालन किया, सही ढंग से आपत्तिजनक मामले से बेतुकापन प्राप्त किया (यूक्लिड की तरह आगे बढ़ते हुए, अंतर्निहित धारणा से कि लाइनों को अनिश्चित काल तक बढ़ाया जा सकता है और अनंत लंबाई हो सकती है), लेकिन खंडन करने में विफल तीव्र मामला (हालांकि वह गलत तरीके से खुद को मनाने में कामयाब रहा कि उसके पास था)।


1766 में [[जोहान हेनरिक लैम्बर्ट]] ने लिखा, लेकिन प्रकाशित नहीं किया, थ्योरी डेर पैरालेलिनियन जिसमें उन्होंने प्रयास किया, जैसा कि साचेरी ने किया था, पांचवीं अभिधारणा को साबित करने के लिए। उन्होंने एक आकृति के साथ काम किया जिसे आज हम लैंबर्ट चतुर्भुज कहते हैं, तीन समकोणों वाला चतुर्भुज (इसे सैचेरी चतुर्भुज का आधा माना जा सकता है)। उन्होंने जल्दी से इस संभावना को समाप्त कर दिया कि चौथा कोण कुंद है, जैसा कि सैचेरी और खय्याम के साथ हुआ था, और फिर एक तीव्र कोण की धारणा के तहत कई प्रमेयों को साबित करने के लिए आगे बढ़े। साचेरी के विपरीत, उन्होंने कभी महसूस नहीं किया कि वह इस धारणा के साथ एक विरोधाभास पर पहुंच गए हैं। उन्होंने गैर-यूक्लिडियन परिणाम को साबित कर दिया था कि त्रिभुज के कोणों का योग त्रिकोण के क्षेत्र में कमी के रूप में बढ़ता है, और इसने उन्हें काल्पनिक त्रिज्या के एक क्षेत्र पर तीव्र मामले के मॉडल की संभावना पर अनुमान लगाने के लिए प्रेरित किया। उन्होंने इस विचार को और आगे नहीं बढ़ाया।<ref>{{cite web|last1=O'Connor|first1=J.J.| last2=Robertson |first2=E.F|title=जोहान हेनरिक लैम्बर्ट|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Lambert.html|access-date=16 September 2011}}</ref>
जहां खय्याम और सचेरी ने एकमात्र संभावित विकल्पों को खारिज करके यूक्लिड के पांचवें को साबित करने का प्रयास किया था, उन्नीसवीं शताब्दी में अंततः गणितज्ञों ने उन विकल्पों की खोज की और परिणामी [[तार्किक रूप से सुसंगत]] ज्यामिति की खोज की। 1829 में, [[निकोलाई इवानोविच लोबाचेवस्की]] ने एक अस्पष्ट रूसी पत्रिका (बाद में 1840 में जर्मन में फिर से प्रकाशित) में तीव्र ज्यामिति का एक खाता प्रकाशित किया। 1831 में, जानोस बोल्याई ने अपने पिता की एक पुस्तक में, तीव्र ज्यामिति का वर्णन करने वाला एक परिशिष्ट समिलित किया, जो निस्संदेह, उन्होंने लोबचेव्स्की से स्वतंत्र रूप से विकसित किया था। [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] ने भी समस्या का अध्ययन किया था, लेकिन उन्होंने अपना कोई परिणाम प्रकाशित नहीं किया। बोल्याई के पिता, [[फ़र्कस बोल्याई]] के एक पत्र में बोल्याई के परिणामों के बारे में सुनकर, गॉस ने कहा:
जहां खय्याम और सचेरी ने एकमात्र संभावित विकल्पों को खारिज करके यूक्लिड के पांचवें को साबित करने का प्रयास किया था, उन्नीसवीं शताब्दी में अंततः गणितज्ञों ने उन विकल्पों की खोज की और परिणामी [[तार्किक रूप से सुसंगत]] ज्यामिति की खोज की। 1829 में, [[निकोलाई इवानोविच लोबाचेवस्की]] ने एक अस्पष्ट रूसी पत्रिका (बाद में 1840 में जर्मन में फिर से प्रकाशित) में तीव्र ज्यामिति का एक खाता प्रकाशित किया। 1831 में, जानोस बोल्याई ने अपने पिता की एक पुस्तक में, तीव्र ज्यामिति का वर्णन करने वाला एक परिशिष्ट शामिल किया, जो निस्संदेह, उन्होंने लोबचेव्स्की से स्वतंत्र रूप से विकसित किया था। [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] ने भी समस्या का अध्ययन किया था, लेकिन उन्होंने अपना कोई परिणाम प्रकाशित नहीं किया। बोल्याई के पिता, [[फ़र्कस बोल्याई]] के एक पत्र में बोल्याई के परिणामों के बारे में सुनकर, गॉस ने कहा:


<blockquote> अगर मैं यह कहकर शुरू करूं कि मैं इस काम की प्रशंसा करने में असमर्थ हूं, तो आप निश्चित रूप से एक पल के लिए हैरान रह जाएंगे। लेकिन मैं अन्यथा नहीं कह सकता। तारीफ करना खुद की तारीफ करना होगा। दरअसल काम की पूरी सामग्री, आपके बेटे द्वारा लिया गया मार्ग, जिन परिणामों के लिए वह नेतृत्व कर रहा है, लगभग पूरी तरह से मेरे ध्यान के साथ मेल खाते हैं, जो पिछले तीस या पैंतीस वर्षों से आंशिक रूप से मेरे दिमाग पर कब्जा कर चुके हैं।<ref>{{harvnb|Faber|1983|loc=pg. 161}}</ref> </ब्लॉककोट>
<blockquote> अगर मैं यह कहकर शुरू करूं कि मैं इस काम की प्रशंसा करने में असमर्थ हूं, तो आप निश्चित रूप से एक पल के लिए हैरान रह जाएंगे। लेकिन मैं अन्यथा नहीं कह सकता। तारीफ करना खुद की तारीफ करना होगा। वात्सव में काम की पूरी सामग्री, आपके बेटे द्वारा लिया गया मार्ग, जिन परिणामों के लिए नेतृत्व कर रहा है, वह लगभग पूरी तरह से मेरे ध्यान के साथ मेल खाते हैं, जो पिछले तीस या पैंतीस वर्षों से आंशिक रूप से मेरे दिमाग पर कब्जा कर चुके हैं।<ref>{{harvnb|Faber|1983|loc=pg. 161}}</ref>  


परिणामी ज्यामिति को बाद में निकोलाई इवानोविच लोबचेवस्की, [[बर्नहार्ड रीमैन]] और हेनरी पॉइनकेयर द्वारा विकसित किया गया था। पॉइंकेयर को हाइपरबोलिक ज्यामिति (तीव्र मामला) और [[अण्डाकार ज्यामिति]] (कुंठित मामला) में विकसित किया गया था। यूक्लिड के अन्य अभिगृहीतों से समानांतर अवधारणा की [[स्वतंत्रता (गणितीय तर्क)]] को अंततः 1868 में [[यूजेनियो बेल्ट्रामी]] द्वारा प्रदर्शित किया गया था।
परिणामी ज्यामिति को बाद में लोबचेवस्की, [[बर्नहार्ड रीमैन]] और पॉइंकेयर को हाइपरबोलिक ज्यामिति (तीव्र मामला) और अण्डाकार ज्यामिति (कुंठित मामला) में विकसित किया गया था। यूक्लिड के अन्य स्वयंसिद्ध से समानांतर अभिधारणा की [[स्वतंत्रता (गणितीय तर्क)|स्वतंत्रता]] को अंततः 1868 में [[यूजेनियो बेल्ट्रामी]] द्वारा प्रदर्शित किया गया था।


== यूक्लिड की समानांतर अभिधारणा का विलोम ==
== यूक्लिड की समानांतर अभिधारणा का विलोम ==
[[Image:Parallel Postulate.svg|thumb|right|350px|समानांतर अभिधारणा का विलोम: यदि दो आंतरिक कोणों का योग 180° के बराबर है, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं और कभी भी प्रतिच्छेद नहीं करेंगी।]]यूक्लिड ने अपनी पांचवीं अभिधारणा के प्रमेय#विपरीत को अभिगृहीत नहीं किया, जो इयूक्लिडियन ज्यामिति को अण्डाकार ज्यामिति से अलग करने का एक तरीका है। तत्वों में एक समतुल्य कथन का प्रमाण है (पुस्तक I, प्रस्ताव 27): यदि दो सीधी रेखाओं पर पड़ने वाली एक सीधी रेखा वैकल्पिक कोणों को एक दूसरे के बराबर बनाती है, तो सीधी रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होंगी। [[अगस्त डी मॉर्गन]] के रूप में<ref>Heath, T.L., ''The thirteen books of Euclid's Elements'', Vol.1, Dover, 1956, pg.309.</ref> बताया गया है, यह तार्किक रूप से (पुस्तक I, प्रस्ताव 16) के बराबर है। ये परिणाम पाँचवीं अभिधारणा पर निर्भर नहीं करते हैं, लेकिन उन्हें दूसरी अभिधारणा की आवश्यकता होती है<ref>Coxeter, H.S.M., ''Non-Euclidean Geometry'', 6th Ed., MAA 1998, pg.3</ref> जिसका अण्डाकार ज्यामिति में उल्लंघन होता है।
[[Image:Parallel Postulate.svg|thumb|right|350px|समानांतर अभिधारणा का विलोम: यदि दो आंतरिक कोणों का योग 180° के बराबर है, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं और कभी भी प्रतिच्छेद नहीं करेंगी।]]यूक्लिड ने अपनी पांचवीं अभिधारणा के विलोम को अभिगृहीत नहीं किया, जो यूक्लिडियन ज्यामिति को अण्डाकार ज्यामिति से अलग करने का एक तरीका है। तत्वों में एक समतुल्य कथन का प्रमाण है (पुस्तक I, प्रस्ताव 27) यदि दो सीधी रेखाओं पर पड़ने वाली एक सीधी रेखा वैकल्पिक कोणों को एक दूसरे के बराबर बनाती है, तो सीधी रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होंगी। जैसा कि [[अगस्त डी मॉर्गन|डी मॉर्गन]]<ref>Heath, T.L., ''The thirteen books of Euclid's Elements'', Vol.1, Dover, 1956, pg.309.</ref> ने बताया, यह तार्किक रूप से (पुस्तक I, प्रस्ताव 16) के बराबर है। ये परिणाम पाँचवीं अभिधारणा पर निर्भर नहीं करते हैं, लेकिन उन्हें दूसरी अभिधारणा की आवश्यकता होती है<ref>Coxeter, H.S.M., ''Non-Euclidean Geometry'', 6th Ed., MAA 1998, pg.3</ref> जिसका अण्डाकार ज्यामिति में उल्लंघन होता है।


== आलोचना ==
== आलोचना ==
आठवें स्वयंसिद्ध के बजाय, समानांतर अवधारणा को तार्किक रूप से सिद्ध करने का प्रयास,<ref>Schopenhauer is referring to Euclid's Common Notion 4: Figures coinciding with one another are equal to one another.</ref> आर्थर शोपेनहावर #Mathematics in The World as Will और Idea द्वारा आलोचना की गई थी। हालाँकि, शोपेनहावर द्वारा उपयोग किया गया तर्क यह था कि अवधारणा धारणा से स्पष्ट है, यह नहीं कि यह अन्य स्वयंसिद्धों का तार्किक परिणाम नहीं था।<ref>http://www.gutenberg.org/files/40097/40097-pdf.pdf {{Bare URL PDF|date=March 2022}}</ref>
आठवें स्वयंसिद्ध के बजाय, समानांतर अभिधारणा को तार्किक रूप से सिद्ध करने का प्रयास,<ref>Schopenhauer is referring to Euclid's Common Notion 4: Figures coinciding with one another are equal to one another.</ref> द वर्ल्ड ऐज विल एंड आइडिया में लेखक शोपेनहावर द्वारा आलोचना की गई थी। हालाँकि, शोपेनहावर द्वारा उपयोग किया गया तर्क यह था कि अभिधारणा से स्पष्ट है, ऐसे कि यह अन्य स्वयंसिद्धों का तार्किक परिणाम नहीं था।<ref>http://www.gutenberg.org/files/40097/40097-pdf.pdf {{Bare URL PDF|date=March 2022}}</ref>
 


== समान्तर अभिधारणा का अपघटन ==
== समान्तर अभिधारणा का अपघटन ==


समांतर अवधारणा समतुल्य है, जैसा कि दिखाया गया है,<ref name=VP1>{{citation|first=Victor|last=Pambuccian|title=Zum Stufenaufbau des Parallelenaxioms|journal=Journal of Geometry|volume=51 |year=1994|issue=1–2|pages=79–88|doi=10.1007/BF01226859|hdl=2027.42/43033|s2cid=28056805|url=https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01226859|hdl-access=free}}</ref> [[साहुल अभिगृहीत]] और अरस्तू के स्वयंसिद्ध के संयोजन के लिए। पूर्व में कहा गया है कि एक समकोण की भुजाओं के लंबवत प्रतिच्छेद करते हैं, जबकि उत्तरार्द्ध कहता है कि कोण के पैर से दूसरे पैर तक की दूरी की लंबाई के लिए कोई ऊपरी सीमा नहीं है। के रूप में दिखाया गया,<ref name=PS2>{{citation|first1=Victor|last1=Pambuccian|first2=Celia|last2=Schacht|title= The ubiquitous axiom|journal=Results in Mathematics|volume=76|year=2021|issue=3|pages=1–39|doi=10.1007/s00025-021-01424-3|s2cid=236236967|url=https://link.springer.com/article/10.1007/s00025-021-01424-3}}</ref> समांतर अभिधारणा निम्न घटना-ज्यामितीय रूपों के संयोजन के समतुल्य है, जो कि लॉट्सचिटैक्सिओम और अरस्तू के स्वयंसिद्ध हैं:
समान्तर अभिधारणा समतुल्य है, जैसा कि<ref name="VP1">{{citation|first=Victor|last=Pambuccian|title=Zum Stufenaufbau des Parallelenaxioms|journal=Journal of Geometry|volume=51 |year=1994|issue=1–2|pages=79–88|doi=10.1007/BF01226859|hdl=2027.42/43033|s2cid=28056805|url=https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01226859|hdl-access=free}}</ref> में दिखाया गया है, लोत्स्चिनिटैक्सिओम और ऐरिस्टोटल के स्वयंसिद्ध संयोजन के लिए। पूर्व में कहा गया है कि एक समकोण की भुजाओं के लंबवत प्रतिच्छेद करते हैं, जबकि उत्तरार्द्ध कहता है कि कोण के पैर से दूसरे पैर तक की दूरी की लंबाई के लिए कोई उपरी सीमा नहीं है। जैसा की <ref name="PS2">{{citation|first1=Victor|last1=Pambuccian|first2=Celia|last2=Schacht|title= The ubiquitous axiom|journal=Results in Mathematics|volume=76|year=2021|issue=3|pages=1–39|doi=10.1007/s00025-021-01424-3|s2cid=236236967|url=https://link.springer.com/article/10.1007/s00025-021-01424-3}}</ref> में दिखाया गया है, समांनतर अभिधारणा निम्न घटना-ज्यामितीय रूपों के संयोजन के समतुल्य है, जो कि लॉट्सचिटैक्सिओम और ऐरिस्टोटल के स्वयंसिद्ध हैं:


तीन समानांतर रेखाएँ दी गई हैं, एक रेखा है जो इन तीनों को काटती है।
तीन समानांतर रेखाएँ दी गई हैं, उसमें से एक रेखा है जो इन तीनों को काटती है।


एक रेखा a और दो अलग-अलग अन्तर्विभाजक रेखाएँ m और n दी गई हैं, प्रत्येक a से भिन्न है, एक रेखा g मौजूद है जो a और m को प्रतिच्छेद करती है, लेकिन n नहीं।
एक रेखा a और दो अलग-अलग अन्तर्विभाजक रेखाएँ m और n दी गई हैं, प्रत्येक a से भिन्न है, एक रेखा g मौजूद है जो a और m को प्रतिच्छेद करती है, लेकिन n को नहीं।


के रूप में दिखाया गया,<ref name=P2>{{citation|first1=Victor|last1=Pambuccian|title= On a splitting of the parallel postulate|journal=Journal of Geometry|volume=113|year=2022|issue=1|pages= 1–13|doi=10.1007/s00022-022-00626-6|s2cid=246281748 |url=https://link.springer.com/article/10.1007/s00022-022-00626-6}}</ref> इन आपतन-ज्यामितीय स्वयंसिद्धों के संयोजन में समानांतर अभिधारणा का विभाजन पूर्ण ज्यामिति की उपस्थिति में ही संभव है।
जैसा की<ref name="P2">{{citation|first1=Victor|last1=Pambuccian|title= On a splitting of the parallel postulate|journal=Journal of Geometry|volume=113|year=2022|issue=1|pages= 1–13|doi=10.1007/s00022-022-00626-6|s2cid=246281748 |url=https://link.springer.com/article/10.1007/s00022-022-00626-6}}</ref> में दिखाया गया है, इन आपतन-ज्यामितीय स्वयंसिद्धों के संयोजन में समानांतर अभिधारणा का विभाजन केवल पूर्ण ज्यामिति की उपस्थिति में ही संभव है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
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Latest revision as of 11:18, 19 October 2023

यदि आंतरिक कोणों α और β का योग 180° से कम है, तो दो सीधी रेखाएँ, अनिश्चित रूप से बढ़ाई गई, उस ओर मिलती हैं।

ज्यामिति में, समानांतर अभिधारणा, जिसे यूक्लिड का पाँचवा अभिधारणा भी कहा जाता है, क्योंकि यह यूक्लिड के तत्वों में पाँचवा अभिधारणा है, यूक्लिडियन ज्यामिति में एक विशिष्ट स्वयंसिद्ध है। द्वि-आयामी ज्यामिति यह बताता है कि:

"यदि एक रेखा खंड एक ही तरफ दो आंतरिक कोण बनाने वाली दो सीधी रेखाओं को काटता है, जो दो समकोणों से कम हो, तो दोनों रेखाएँ, यदि अनिश्चित काल तक बढ़ाई जाए, तो उस तरफ मिलती हैं, जिस पर कोणों का योग दो समकोणों से कम होता है।

यह अभिधारणा विशेष रूप से समानांतर रेखाओं के बारे में बात नहीं करती है;[1] यह केवल समांतरता से संबंधित एक अभिधारणा है। यूक्लिड ने पुस्तक I, परिभाषा 23[2] में पाँच अभिधारणाओं के ठीक पहले समांतर रेखाओं की परिभाषा दी थी।[3]

यूक्लिडियन ज्यामिति, ज्यामिति का एक अध्ययन है जो यूक्लिड के सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है, जिसमें समानांतर अभिधारणा भी समिलित है।

अभिधारणा को लंबे समय तक स्पष्ट या अपरिहार्य माना जाता था, लेकिन इसके प्रमाण मायावी थे। आखिरकार, यह पता चला कि अलग-अलग ज्यामिति के बावजूद अभिधारणा को उलटने से वैध होता है। एक ज्यामिति जो समानांतर अभिधारणा धारण नहीं करती है उसे गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के रूप में जाना जाता है। ज्यामिति जो तार्किक रूप से यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा से स्वतंत्र है (अर्थात्, केवल प्रथम चार अभिधारणाओं के आधुनिक समकक्ष को मानती है) निरपेक्ष ज्यामिति (या कभी-कभी तटस्थ ज्यामिति) के रूप में जानी जाती है।

समतुल्य गुण

संभवतः यूक्लिड की समानांतर अभिधारणा का सबसे प्रसिद्ध समतुल्य, उनकी अन्य अभिधारणाओं पर आकस्मिक, प्लेफेयर का स्वयंसिद्ध है, जिसका नाम स्कॉटिश गणितज्ञ जॉन प्लेफेयर के नाम पर रखा गया है, जो कहता है:

एक समतल में, एक रेखा दी गई है और यदि एक बिंदु उस पर नहीं है, तो बिंदु के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर अधिकतम एक रेखा खींची जा सकती है।[4]

यह अभिगृहीत अपने आप में तार्किक रूप से यूक्लिडियन समानांतर अभिधारणा के समतुल्य नहीं है क्योंकि ऐसी ज्यामितियाँ हैं जिनमें एक सत्य है और दूसरी नहीं। हालांकि, शेष स्वयंसिद्धों की उपस्थिति में, जो यूक्लिडियन ज्यामिति देते है, इनमें से प्रत्येक का उपयोग दूसरे को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है, इसलिए वे पूर्ण ज्यामिति के संदर्भ में समतुल्य हैं[5]।

समानांतर अभिधारणा के समतुल्य कई अन्य कथनों द्वारा सुझाव दिया गया है कि उनमें से कुछ पहली बार समानांतरता से असंबंधित प्रतीत होते हैं, और कुछ इतने आत्म-साक्ष्य प्रतीत होते हैं कि वे अनजाने में लोगों द्वारा मान लिए गए थे, जिन्होंने यूक्लिड की अन्य अभिधारणाओं से समानांतर अभिधारणा सिद्ध करने का दावा किया था। उन समकक्ष बयानों में समिलित हैं:

  1. एक रेखा ऐसी भी होती है जो किसी बाहरी बिंदु के माध्यम से दी गई दूसरी रेखा के समानांतर खींची जा सकती है। (प्लेफेयर का स्वयंसिद्ध)
  2. प्रत्येक त्रिभुज के कोणों का योग 180° (त्रिकोण अभिधारणा) होता है।
  3. एक त्रिभुज का अस्तित्व है जिसके कोणों का योग 180° होता है।
  4. कोणों का योग प्रत्येक त्रिभुज के लिए समान होता है।
  5. समरूप त्रिभुजों का एक युग्म मौजूद है, लेकिन सर्वांगसमता त्रिकोण का नहीं।
  6. हर त्रिकोण को परिचालित किया जा सकता है।
  7. यदि किसी चतुर्भुज के तीन कोण समकोण हों, तो चौथा कोण भी समकोण होता है।
  8. एक चतुर्भुज, जिसके सभी कोण समकोण हैं, वह एक आयत है।
  9. सीधी रेखाओं की एक जोड़ी मौजूद है जो एक दूसरे से निरंतर दूरी पर हैं।
  10. दो रेखाएँ जो एक ही रेखा के समानांतर होती हैं, वह दोनों एक दूसरे के समानांतर भी होती हैं।
  11. एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं (पाइथागोरस प्रमेय) के वर्गों के योग के बराबर होता है।[6][7]
  12. कोसाइन का नियम, पाइथागोरस प्रमेय का एक सामान्यीकरण है।
  13. त्रिभुज के क्षेत्रफल की कोई ऊपरी सीमा नहीं है। (वालिस स्वयंसिद्ध)[8]
  14. सचेरी चतुर्भुज के शिखर कोण 90° हैं।
  15. यदि एक रेखा दो समानांतर रेखाओं में से एक को काटती है, जो दोनों मूल रेखा के साथ समतलीय हैं, तो यह दूसरे को भी काटती है। (प्रोक्लस का स्वयंसिद्ध)[9]

हालांकि, समानांतर शब्द का प्रयोग करने वाले विकल्प इतने सरल दिखाई देना बंद हो जाते हैं जब कोई यह समझाने के लिए बाध्य होता है कि "समानांतर" की चार सामान्य परिभाषाओं में से कौन सा मतलब है - निरंतर अलगाव, कभी न मिलना, समान कोण जहां किसी तीसरी रेखा द्वारा पार किया गया हो, या समान कोण जहां किसी भी तीसरी रेखा द्वारा पार किया जाता है - क्योंकि इन चारों की समानता यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा के बराबर अनजाने में स्पष्ट धारणाओं में से एक है। उपरोक्त सूची में, इसे हमेशा गैर-प्रतिच्छेदी रेखाओं के संदर्भ में लिया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि प्लेफेयर की अभिधारणा में समानांतर शब्द का अर्थ 'निरंतर अलगाव' या 'समान कोण जहां किसी तीसरी रेखा द्वारा पार किया गया' है, तो तब यह यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा के समतुल्य नहीं है, जो पहले चार सूक्तियों से सिद्ध है। (स्वयंसिद्ध कहता है 'अधिक से अधिक एक पंक्ति है', जो इस बात के अनुरूप है कि ऐसी कोई रेखा नही है)। हालाँकि, यदि परिभाषा को इस तरह लिया जाता है कि समानांतर रेखाएँ ऐसी रेखाएँ हैं जो प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, या जिनकी कुछ रेखाएँ उन्हें समान कोणों में काटती हैं, तो प्लेफेयर का स्वयंसिद्ध यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा के बराबर है और इस प्रकार पहले चार अभिधारणाओं से तार्किक रूप से स्वतंत्र है। ध्यान दें कि बाद की दो परिभाषाएँ समतुल्य नहीं हैं, क्योंकि अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में दूसरी परिभाषा केवल अतिपरवलयिक रेखाओं के लिए है।

इतिहास

प्रारंभ से ही, अभिधारणा साबित करने योग्य होने के कारण इसे आलोचना का सामना करना पड़ा, और इसलिए अभिधारणा नहीं है, और दो हजार से अधिक वर्षों के लिए, यूक्लिड की पहली चार अभिधारणाओं का उपयोग करते हुए समानांतर अभिधारणा को सिद्ध करने के लिए कई प्रयास किए गए।[10] मुख्य कारण यह है कि इस तरह के प्रमाण की इतनी अधिक मांग की गई थी कि, पहले चार अभिधारणाओं के विपरीत, समानांतर अभिधारणा स्वतः स्पष्ट नहीं है। यदि तत्वों में अभिधारणाओं को जिस क्रम में सूचीबद्ध किया गया था वह महत्वपूर्ण है, तो यह इंगित करता है कि यूक्लिड ने इस अभिधारणा को तभी समिलित किया जब उसे एहसास हुआ कि वह इसे साबित नहीं कर सकते या इसके बिना आगे नहीं बढ़ सकते।[11]अन्य चार अभिधारणाओं में से पांचवीं अभिधारणा को सिद्ध करने के लिए कई प्रयास किए गए, उनमें से कई को प्रमाण के रूप में लंबे समय तक स्वीकार किया गया जब तक कि गलती का पता नहीं चला। निरपवाद रूप से गलती कुछ 'स्पष्ट' संपत्ति मान रही थी जो पाँचवीं अभिधारणा (प्लेफेयर के स्वयंसिद्ध) के समतुल्य निकली। हालांकि प्रोक्लस के समय से जाना जाता है, जॉन प्लेफेयर द्वारा 1795 में यूक्लिड पर एक प्रसिद्ध टिप्पणी लिखने के बाद इसे प्लेफेयर के स्वयंसिद्ध के रूप में जाना जाने लगा, जिसमें उन्होंने यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा को अपने स्वयं के सूक्ति द्वारा प्रतिस्थापित करने का प्रस्ताव दिया। आज, दो हजार दो सौ वर्षों के बाद भी, यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा एक अभिधारणा बनी हुई है।

प्रोक्लस (410-485) ने यूक्लिड के तत्वों पर एक टिप्पणी लिखी जहां उन्होंने अन्य चार से पांचवीं अभिधारणा को निकालने के प्रयास के साक्ष्य पर टिप्पणी की; विशेष रूप से, वह नोट करता है कि टॉलेमी ने एक झूठा 'प्रमाण' प्रस्तुत किया था। इसके बाद प्रोक्लस अपना खुद का झूठा सबूत देते है। हालाँकि, उन्होंने एक अभिधारणा दी जो पाँचवीं अभिधारणा के तुल्य है।

एक अरब गणितज्ञ, इब्न अल-हेथम (अलहज़ेन) (965-1039) ने विरोधाभास द्वारा एक प्रमाण का उपयोग करके समानांतर अभिधारणा को साबित करने का प्रयास किया,[12] जिसके दौरान उन्होंने ज्यामिति में गति और परिवर्तन की अभिधारणा को पेश किया।[13] उन्होंने लैम्बर्ट चतुर्भुज तैयार किया, जिसे बोरिस अब्रामोविच रोज़ेनफेल्ड ने "इब्न अल-हेथम-लैंबर्ट चतुर्भुज" नाम दिया,[14] और उनके प्रयास किए गए सबूत में लैम्बर्ट चतुर्भुज और प्लेफेयर के स्वयंसिद्ध में पाए जाने वाले तत्वों के समान तत्व समिलित हैं।[15]

फारसी गणितज्ञ, खगोलशास्त्री, दार्शनिक, और कवि उमर खय्याम (1050-1123) ने स्पष्ट रूप से दिए गए एक अन्य अभिधारणा से पाँचवीं अभिधारणा को सिद्ध करने का प्रयास किया (ऐरिस्टोटल के पाँच सिद्धांतों में से चौथे पर आधारित), अर्थात्, दो अभिसरण सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं और दो अभिसारी सीधी रेखाओं का उस दिशा में विचलन करना असंभव है जिस दिशा में वे अभिसरण करती हैं।[16] उन्होंने अण्डाकार ज्यामिति और अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति से संबंधित पहले के कुछ परिणामों को प्राप्त किया, हालांकि उनके अभिधारणा ने बाद की संभावना को बाहर कर दिया।[17] सैचेरी चतुर्भुज पर भी पहली बार उमर खय्याम ने 11वीं शताब्दी के अंत में यूक्लिड की अभिधारणाओं में कठिनाइयों के स्पष्टीकरण की पुस्तक I में [14]विचार किया था। खय्याम इस तरह के समानांतर सिद्धांत को साबित करने की कोशिश नहीं कर रहे थे, बल्कि इसे अपने समकक्ष सिद्धांत से प्राप्त करने की कोशिश कर रहे थे। उन्होंने माना कि यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को छोड़ने से तीन संभावनाएँ उत्पन्न हुईं; यदि एक रेखा पर दो लंब दूसरी रेखा को काटते हैं, तो अंतिम का विवेकपूर्ण चुनाव उन आंतरिक कोणों को बना सकता है जहां यह दो लंबों को बराबर करता है (यह तब पहली पंक्ति के समानांतर होता है)। यदि वे समान आंतरिक कोण समकोण हों, तो हमें यूक्लिड का पाँचवाँ अभिधारणा प्राप्त होता है, अन्यथा, वे या तो न्यून या अधिक होने चाहिए। उन्होंने दिखाया कि उनके अभिधारणा का उपयोग करते हुए तीक्ष्ण और कुंद मामलों ने विरोधाभासों को जन्म दिया, लेकिन उनकी अभिधारणा को अब पाँचवीं अभिधारणा के समतुल्य के रूप में जाना जाता है।

नासिर अल-दीन अल-तुसी (1201–1274), अपनी अल-रिसाला अल-शफ़ियान अल-शक्क फ़ि'ल-ख़ुतुत अल-मुतावाज़िया (चर्चा जो समानांतर रेखाओं के बारे में संदेह को दूर करती है) (1250) में, एक सदी पहले समानांतर अभिधारणा और खय्याम के प्रयास प्रमाण पर विस्तृत समालोचना लिखी। नासिर अल-दीन ने समानांतर अभिधारणा के विरोधाभास द्वारा एक प्रमाण प्राप्त करने का प्रयास किया।[18]उन्होंने उन मामलों पर भी विचार किया जिन्हें अब अण्डाकार और अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के रूप में जाना जाता है, हालांकि उन्होंने दोनों को ही खारिज कर दिया।[17]

यूक्लिडियन, अण्डाकार और अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति। समांतर सिद्धांत केवल यूक्लिडियन ज्यामिति के मॉडल के लिए संतुष्ट है।

नासिर अल-दीन के बेटे, सद्र अल-दीन (कभी-कभी छद्म-तुसी के रूप में जाना जाता है) ने अपने पिता के बाद के विचारों के आधार पर 1298 में इस विषय पर एक किताब लिखी, जिसने एक गैर-यूक्लिडियन परिकल्पना के समकक्ष शुरुआती तर्कों में से एक को समानांतर अभिधारणा के बराबर प्रस्तुत किया। "उन्होंने अनिवार्य रूप से एक्सिओम्स और पोस्टुलेट्स की यूक्लिडियन प्रणाली और तत्वों से कई प्रस्तावों के प्रमाणों को संशोधित किया।"[18][19] उनका काम 1594 में रोम में प्रकाशित हुआ था और यूरोपीय जियोमीटरों द्वारा इसका अध्ययन किया गया था। इस काम ने इस विषय पर सचेरी के काम के लिए शुरुआती बिंदु को चिह्नित किया[18] जो सदर अल-दीन के काम और वालिस के काम की आलोचना के साथ शुरू हुआ।[20]

गाइओरदानो विटाली (1633-1711) ने अपनी पुस्तक यूक्लाइड रेस्टिटू (1680, 1686) में खय्याम-सचेरी चतुर्भुज का उपयोग यह साबित करने के लिए किया कि यदि आधार AB और शिखर CD पर तीन बिंदु समान दूरी पर हैं, तो AB और CD हर जगह समान दूरी पर होंगे। जेरोम सचेरी (1667-1733) ने एक ही तर्क में पंक्ति का अधिक अच्छी तरह से पालन किया, सही ढंग से आपत्तिजनक मामले से बेतुकापन प्राप्त किया (यूक्लिड की तरह आगे बढ़ते हुए, अंतर्निहित धारणा से कि लाइनों को अनिश्चित काल तक बढ़ाया जा सकता है और अनंत लंबाई हो सकती है), लेकिन खंडन करने में विफल तीव्र मामला (हालांकि वह गलत तरीके से खुद को मनाने में कामयाब रहा कि उसके पास था)।

1766 में जोहान हेनरिक लैम्बर्ट ने लिखा, लेकिन प्रकाशित नहीं किया, जिसमें उन्होंने प्रयास किया थ्योरी डेर पैरालेलिनियन पर, जैसा कि सचेरी ने पांचवीं अभिधारणा को साबित करने के लिए किया था। उन्होंने एक आकृति के साथ काम किया जिसे आज हम लैंबर्ट चतुर्भुज कहते हैं, तीन समकोणों वाला चतुर्भुज (इसे सैचेरी चतुर्भुज का आधा माना जा सकता है)। उन्होंने जल्दी से इस संभावना को समाप्त कर दिया कि चौथा कोण कुंद है, जैसा कि सैचेरी और खय्याम के साथ हुआ था, और फिर एक तीव्र कोण की धारणा के तहत कई प्रमेयों को साबित करने के लिए आगे बढ़े। सचेरी के विपरीत, उन्होंने कभी महसूस नहीं किया कि वह इस धारणा के साथ एक विरोधाभास पर पहुंच गए हैं। उन्होंने गैर-यूक्लिडियन परिणाम को साबित कर दिया था कि त्रिभुज के कोणों का योग त्रिकोण के क्षेत्र में कमी के रूप में बढ़ता है, और इसने उन्हें काल्पनिक त्रिज्या के एक क्षेत्र पर तीव्र मामले के मॉडल की संभावना पर अनुमान लगाने के लिए प्रेरित किया। उन्होंने इस विचार को और आगे नहीं बढ़ाया।[21]

जहां खय्याम और सचेरी ने एकमात्र संभावित विकल्पों को खारिज करके यूक्लिड के पांचवें को साबित करने का प्रयास किया था, उन्नीसवीं शताब्दी में अंततः गणितज्ञों ने उन विकल्पों की खोज की और परिणामी तार्किक रूप से सुसंगत ज्यामिति की खोज की। 1829 में, निकोलाई इवानोविच लोबाचेवस्की ने एक अस्पष्ट रूसी पत्रिका (बाद में 1840 में जर्मन में फिर से प्रकाशित) में तीव्र ज्यामिति का एक खाता प्रकाशित किया। 1831 में, जानोस बोल्याई ने अपने पिता की एक पुस्तक में, तीव्र ज्यामिति का वर्णन करने वाला एक परिशिष्ट समिलित किया, जो निस्संदेह, उन्होंने लोबचेव्स्की से स्वतंत्र रूप से विकसित किया था। कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने भी समस्या का अध्ययन किया था, लेकिन उन्होंने अपना कोई परिणाम प्रकाशित नहीं किया। बोल्याई के पिता, फ़र्कस बोल्याई के एक पत्र में बोल्याई के परिणामों के बारे में सुनकर, गॉस ने कहा:

अगर मैं यह कहकर शुरू करूं कि मैं इस काम की प्रशंसा करने में असमर्थ हूं, तो आप निश्चित रूप से एक पल के लिए हैरान रह जाएंगे। लेकिन मैं अन्यथा नहीं कह सकता। तारीफ करना खुद की तारीफ करना होगा। वात्सव में काम की पूरी सामग्री, आपके बेटे द्वारा लिया गया मार्ग, जिन परिणामों के लिए नेतृत्व कर रहा है, वह लगभग पूरी तरह से मेरे ध्यान के साथ मेल खाते हैं, जो पिछले तीस या पैंतीस वर्षों से आंशिक रूप से मेरे दिमाग पर कब्जा कर चुके हैं।[22]

परिणामी ज्यामिति को बाद में लोबचेवस्की, बर्नहार्ड रीमैन और पॉइंकेयर को हाइपरबोलिक ज्यामिति (तीव्र मामला) और अण्डाकार ज्यामिति (कुंठित मामला) में विकसित किया गया था। यूक्लिड के अन्य स्वयंसिद्ध से समानांतर अभिधारणा की स्वतंत्रता को अंततः 1868 में यूजेनियो बेल्ट्रामी द्वारा प्रदर्शित किया गया था।

यूक्लिड की समानांतर अभिधारणा का विलोम

समानांतर अभिधारणा का विलोम: यदि दो आंतरिक कोणों का योग 180° के बराबर है, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं और कभी भी प्रतिच्छेद नहीं करेंगी।

यूक्लिड ने अपनी पांचवीं अभिधारणा के विलोम को अभिगृहीत नहीं किया, जो यूक्लिडियन ज्यामिति को अण्डाकार ज्यामिति से अलग करने का एक तरीका है। तत्वों में एक समतुल्य कथन का प्रमाण है (पुस्तक I, प्रस्ताव 27) यदि दो सीधी रेखाओं पर पड़ने वाली एक सीधी रेखा वैकल्पिक कोणों को एक दूसरे के बराबर बनाती है, तो सीधी रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होंगी। जैसा कि डी मॉर्गन[23] ने बताया, यह तार्किक रूप से (पुस्तक I, प्रस्ताव 16) के बराबर है। ये परिणाम पाँचवीं अभिधारणा पर निर्भर नहीं करते हैं, लेकिन उन्हें दूसरी अभिधारणा की आवश्यकता होती है[24] जिसका अण्डाकार ज्यामिति में उल्लंघन होता है।

आलोचना

आठवें स्वयंसिद्ध के बजाय, समानांतर अभिधारणा को तार्किक रूप से सिद्ध करने का प्रयास,[25] द वर्ल्ड ऐज विल एंड आइडिया में लेखक शोपेनहावर द्वारा आलोचना की गई थी। हालाँकि, शोपेनहावर द्वारा उपयोग किया गया तर्क यह था कि अभिधारणा से स्पष्ट है, ऐसे कि यह अन्य स्वयंसिद्धों का तार्किक परिणाम नहीं था।[26]

समान्तर अभिधारणा का अपघटन

समान्तर अभिधारणा समतुल्य है, जैसा कि[27] में दिखाया गया है, लोत्स्चिनिटैक्सिओम और ऐरिस्टोटल के स्वयंसिद्ध संयोजन के लिए। पूर्व में कहा गया है कि एक समकोण की भुजाओं के लंबवत प्रतिच्छेद करते हैं, जबकि उत्तरार्द्ध कहता है कि कोण के पैर से दूसरे पैर तक की दूरी की लंबाई के लिए कोई उपरी सीमा नहीं है। जैसा की [28] में दिखाया गया है, समांनतर अभिधारणा निम्न घटना-ज्यामितीय रूपों के संयोजन के समतुल्य है, जो कि लॉट्सचिटैक्सिओम और ऐरिस्टोटल के स्वयंसिद्ध हैं:

तीन समानांतर रेखाएँ दी गई हैं, उसमें से एक रेखा है जो इन तीनों को काटती है।

एक रेखा a और दो अलग-अलग अन्तर्विभाजक रेखाएँ m और n दी गई हैं, प्रत्येक a से भिन्न है, एक रेखा g मौजूद है जो a और m को प्रतिच्छेद करती है, लेकिन n को नहीं।

जैसा की[29] में दिखाया गया है, इन आपतन-ज्यामितीय स्वयंसिद्धों के संयोजन में समानांतर अभिधारणा का विभाजन केवल पूर्ण ज्यामिति की उपस्थिति में ही संभव है।

यह भी देखें

  • रेखा अनंत पर
  • गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति


टिप्पणियाँ

  1. ↑ non-Euclidean geometries, by Dr. Katrina Piatek-Jimenez
  2. ↑ "यूक्लिड के तत्व, पुस्तक 1, परिभाषा 23". Clark University. Retrieved 2022-04-19. समानांतर सीधी रेखाएँ सीधी रेखाएँ होती हैं, जो एक ही तल में होने के कारण और दोनों दिशाओं में अनिश्चित रूप से बढ़ी हुई होती हैं, किसी भी दिशा में एक दूसरे से नहीं मिलती हैं।
  3. ↑ Euclid's Elements, Book I
  4. ↑ Euclid's Parallel Postulate and Playfair's Axiom
  5. ↑ Henderson & Taimiņa 2005, pg. 139
  6. ↑ Eric W. Weisstein (2003), CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd ed.), p. 2147, ISBN 1-58488-347-2, The parallel postulate is equivalent to the Equidistance postulate, Playfair axiom, Proclus axiom, the Triangle postulate and the Pythagorean theorem.
  7. ↑ Alexander R. Pruss (2006), The principle of sufficient reason: a reassessment, Cambridge University Press, p. 11, ISBN 0-521-85959-X, We could include...the parallel postulate and derive the Pythagorean theorem. Or we could instead make the Pythagorean theorem among the other axioms and derive the parallel postulate.
  8. ↑ Bogomolny, Alexander. "Euclid's Fifth Postulate". Cut The Knot. Retrieved 30 September 2011.
  9. ↑ Weisstein, Eric W. "Proclus' Axiom – MathWorld". Retrieved 2009-09-05.
  10. ↑ Euclid; Heath, Thomas Little, Sir (1956). यूक्लिड के तत्वों की तेरह पुस्तकें. New York: Dover Publications. p. 202. ISBN 0-486-60088-2. OCLC 355237.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  11. ↑ Florence P. Lewis (Jan 1920), "History of the Parallel Postulate", The American Mathematical Monthly, The American Mathematical Monthly, Vol. 27, No. 1, 27 (1): 16–23, doi:10.2307/2973238, JSTOR 2973238.
  12. ↑ Katz 1998, pg. 269
  13. ↑ Katz 1998, p. 269:

    In effect, this method characterized parallel lines as lines always equidistant from one another and also introduced the concept of motion into geometry.
  14. ↑ 14.0 14.1 Rozenfeld 1988, p. 65
  15. ↑ Smith 1992
  16. ↑ Boris A Rosenfeld and Adolf P Youschkevitch (1996), Geometry, p.467 in Roshdi Rashed, Régis Morelon (1996), Encyclopedia of the history of Arabic science, Routledge, ISBN 0-415-12411-5.
  17. ↑ 17.0 17.1 Boris A. Rosenfeld and Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometry", in Roshdi Rashed, ed., Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 2, p. 447-494 [469], Routledge, London and New York:

    "Khayyam's postulate had excluded the case of the hyperbolic geometry whereas al-Tusi's postulate ruled out both the hyperbolic and elliptic geometries."
  18. ↑ 18.0 18.1 18.2 Katz 1998, pg.271:

    "But in a manuscript probably written by his son Sadr al-Din in 1298, based on Nasir al-Din's later thoughts on the subject, there is a new argument based on another hypothesis, also equivalent to Euclid's, [...] The importance of this latter work is that it was published in Rome in 1594 and was studied by European geometers. In particular, it became the starting point for the work of Saccheri and ultimately for the discovery of non-Euclidean geometry."
  19. ↑ Boris A. Rosenfeld and Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometry", in Roshdi Rashed, ed., Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 2, p. 447-494 [469], Routledge, London and New York:

    "In Pseudo-Tusi's Exposition of Euclid, [...] another statement is used instead of a postulate. It was independent of the Euclidean postulate V and easy to prove. [...] He essentially revised both the Euclidean system of axioms and postulates and the proofs of many propositions from the Elements."
  20. ↑ MacTutor's Giovanni Girolamo Saccheri
  21. ↑ O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. "जोहान हेनरिक लैम्बर्ट". Retrieved 16 September 2011.
  22. ↑ Faber 1983, pg. 161
  23. ↑ Heath, T.L., The thirteen books of Euclid's Elements, Vol.1, Dover, 1956, pg.309.
  24. ↑ Coxeter, H.S.M., Non-Euclidean Geometry, 6th Ed., MAA 1998, pg.3
  25. ↑ Schopenhauer is referring to Euclid's Common Notion 4: Figures coinciding with one another are equal to one another.
  26. ↑ http://www.gutenberg.org/files/40097/40097-pdf.pdf[bare URL PDF]
  27. ↑ Pambuccian, Victor (1994), "Zum Stufenaufbau des Parallelenaxioms", Journal of Geometry, 51 (1–2): 79–88, doi:10.1007/BF01226859, hdl:2027.42/43033, S2CID 28056805
  28. ↑ Pambuccian, Victor; Schacht, Celia (2021), "The ubiquitous axiom", Results in Mathematics, 76 (3): 1–39, doi:10.1007/s00025-021-01424-3, S2CID 236236967
  29. ↑ Pambuccian, Victor (2022), "On a splitting of the parallel postulate", Journal of Geometry, 113 (1): 1–13, doi:10.1007/s00022-022-00626-6, S2CID 246281748


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बाहरी संबंध

Eder, Michelle (2000), Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam, Rutgers University, retrieved 2008-01-23

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