स्टाइनर इनलिप्स: Difference between revisions

Latest revision as of 10:34, 14 January 2023

स्टेनर इनेलिप्स। मार्डन प्रमेय के अनुसार शीर्षों वाला त्रिभुज दिया है

(1, 7), (7, 5), (3, 1)

दीर्घवृत्त का फोकस (ज्यामिति) हैं

(3, 5)

और

(13/3, 11/3)

, जबसे

{\begin{aligned}&D_{x}(1+7i-x)(7+5i-x)(3+i-x)\\&=-3\left({\tfrac {13}{3}}+{\tfrac {11}{3}}i-x\right)(3+5i-x)\end{aligned}}

ज्यामिति में, स्टेनर इनलिप्स,^[1] त्रिभुज का मध्यबिंदु दीर्घवृत्त, अद्वितीय दीर्घवृत्त है जो त्रिभुज में अंकित है और उनके मध्यबिंदुओं पर स्पर्शरेखा होती है। यह इनलिप्स का उदाहरण है। त्रिभुज के उत्कीर्ण वृत्त और मैंडार्ट इनलिप्से की तुलना करने से अन्य असंबद्धताएँ हैं जो भुजाओं के स्पर्शरेखा हैं, लेकिन मध्य बिंदु पर जब तक त्रिकोण समबाहु नहीं है। स्टेनर इनलिप्से का श्रेय डोर्री ^[2] ने जैकब स्टेनर को दिया है, और इसकी विशिष्टता का प्रमाण डैन कलमन द्वारा दिया गया है।^[3]

स्टाइनर इनलिप्स स्टाइनर सर्कमलिप्स के विपरीत है, जिसे केवल स्टेनर एलिप्से भी कहा जाता है, जो अद्वितीय दीर्घवृत्त है जो किसी दिए गए त्रिभुज के कोने से होकर गुजरता है और जिसका केंद्र त्रिकोण का केन्द्रक है।^[4]

परिभाषा और गुण

परिभाषा

दीर्घवृत्त जो त्रिभुज $△ ABC$ के मध्य बिंदुओं पर स्पर्शरेखा है $M_{1},M_{2},M_{3}$ को $△ ABC$ का स्टेनर इनलिप्स कहा जाता है।

आर्बिट्ररी त्रिभुज

△ ABC

स्टाइनर इनलिप्स

प्रमुख और लघु अक्ष

समबाहु त्रिभुज

△ ABC

स्टाइनर इनलिप्स

गुण:

आर्बिट्ररी त्रिभुज के लिए $△ ABC$ मध्यबिंदुओं के साथ $M_{1},M_{2},M_{3}$ इसके पक्षों के निम्नलिखित कथन सत्य हैं:
a) वहाँ एक स्टेनर इनलिप्स मौजूद है।
b) स्टेनर इनलिप्स का केंद्र $△ ABC$ का केन्द्रक $S$ है।
c1) त्रिभुज $\triangle M_{1}M_{2}M_{3}$ में केन्द्रक $S$ और स्टेनर इनलिप्स $△ ABC$ त्रिभुज का $\triangle M_{1}M_{2}M_{3}$ स्टेनर दीर्घवृत्त है।
c2) त्रिभुज का स्टेनर इनलिप्स स्केल्ड स्टेनर एलिप्से है जिसका स्केलिंग फैक्टर 1/2 है और केन्द्रक केंद्र है। इसलिए दोनों दीर्घवृत्तों की विलक्षणता समान हैं।
d) स्टेनर इनलिप्स का क्षेत्रफल ${\tfrac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$ -त्रिभुज के क्षेत्रफल का गुणा है।
e) स्टाइनर दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल त्रिभुज के सभी दीर्घवृत्तों में सबसे अधिक है।^[5]^: p.146^[6]^{: Corollary 4.2}

प्रमाण

a), b), c) के प्रमाण मानचित्रण के निम्नलिखित गुणों पर आधारित हैं: 1) किसी भी त्रिभुज को समबाहु त्रिभुज की अफीन छवि के रूप में माना जा सकता है। 2) दोनों भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मध्यबिंदु और सेंट्रोइड पर केंद्रित किया जाता है। दीर्घवृत्त का केंद्र इसकी छवि के केंद्र पर मैप किया गया है।
इसलिए समबाहु त्रिभुज के लिए गुण 'a', 'b', 'c' सिद्ध करना पर्याप्त है:
a) किसी भी समबाहु त्रिभुज के लिए त्रिभुज के अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त होते हैं। यह अपने मध्यबिंदुओं पर पक्षों को स्पर्श करता है। एक ही गुण के साथ कोई अन्य (नॉन-डीजेनरेट) शंकु अनुभाग नहीं है, क्योंकि एक शंकु अनुभाग 5 अंकों/टैंगेंट द्वारा निर्धारित होता है।
b) एक साधारण गणना द्वारा।
c) परिधि को स्केलिंग द्वारा मैप किया जाता है, कारक 1/2 और केंद्र के रूप में केंद्र के रूप में केंद्र, अंतःवृत्त पर। उत्केंद्रता अपरिवर्तनीय है।
d) क्षेत्रफल का अनुपात अपरिवर्तनीय है। तो अनुपात की गणना समबाहु त्रिभुज के लिए की जा सकती है।
e) इनलिप्स देखें।

पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व और अर्ध-अक्ष

पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व:

क्योंकि त्रिभुज का स्टेनर दीर्घवृत्त $△ ABC$ एक स्केल्ड स्टाइनर दीर्घवृत्त है (कारक 1/2, केंद्र केन्द्रक है) स्टेनर दीर्घवृत्त के त्रिकोणमितीय निरूपण से प्राप्त पैरामीट्रिक निरूपण व्युत्पन्न करता है:

{\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\overrightarrow {OS}}\;+\;{\color {blue}{\frac {1}{2}}}{\overrightarrow {SC}}\;\cos t\;+\;{\frac {1}{{\color {blue}2}{\sqrt {3}}}}{\overrightarrow {AB}}\;\sin t\;,\quad 0\leq t<2\pi \ .

स्टेनर इनलिप्स के 4 शीर्ष होते हैं

{\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}(t_{0}\pm {\frac {\pi }{2}}),\;{\vec {p}}(t_{0}+\pi ),

जहाँ

t 0

का हल है

\cot(2t_{0})={\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}-{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}\quad

साथ

\quad {\vec {f}}_{1}={\frac {1}{2}}{\vec {SC}},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}{\vec {AB}}\ .

अर्ध-अक्ष:

संक्षिप्तीकरण के साथ

{\begin{aligned}M&:={\color {blue}{\frac {1}{4}}}\left({\vec {SC}}^{2}+{\frac {1}{3}}{\vec {AB}}^{2}\right)\\N&:={\frac {1}{{\color {blue}4}{\sqrt {3}}}}\left|\det \left({\vec {SC}},{\vec {AB}}\right)\right|\end{aligned}}

अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु अक्ष

a, b

(जहां

a > b

) मिलता है::

{\begin{aligned}a&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}}\right)\\b&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}}\right)\ .\end{aligned}}

स्टेनर इनलिप्स की रेखीय उत्केन्द्रता c है

c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=\dotsb ={\sqrt {\sqrt {M^{2}-4N^{2}}}}\ .

त्रिरेखीय समीकरण

त्रिरेखीय निर्देशांक में स्टाइनर इनलिप्स का समीकरण त्रिभुज के लिए भुजाओं की लंबाई $a, b, c$ (इन मापदंडों के साथ पहले की तुलना में एक अलग अर्थ है) के साथ है^[1]: $a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}-2abxy-2bcyz-2cazx=0$

जहाँ $x$ लंबाई $a$ की तरफ से बिंदु की दूरी का यादृच्छिक घनात्मक स्थिरांक है और इसी तरह $b$ और $c$ के लिए एक ही गुणक स्थिरांक है।

अन्य गुण

भुजाओं वाले त्रिभुज के लिए अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु अक्षों की लंबाई $a, b, c$ हैं^[1]

{\frac {1}{6}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},

जहाँ

Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}}.

मार्डेन के प्रमेय के अनुसार,^[3] यदि त्रिभुज के तीन वर्टेक्स (ज्यामिति) मिश्रित संख्या बहुपद हैं तो घन बहुपद स्टेनर इनलिप्स का फोकस (ज्यामिति) के समीकरणों के व्युत्पन्न शून्य हैं।

शीर्षकों में स्टेनर का मुख्य अक्ष शीर्षकों के लिए सर्वश्रेष्ठ लंबकोणीय रेखा है।^[6]^{: Corollary 2.4}

त्रिभुज के केन्द्रक और पहले और दूसरे फर्मेट बिंदुओं को क्रमशः को $G,F_{+},F_{-}$ के रूप में निरूपित करें। त्रिभुज के स्टेनर इनलिप्स का प्रमुख अक्ष $\angle F_{+}GF_{-}$ का आंतरिक द्विभाजक है। अक्षों की लम्बाई $|GF_{-}|\pm |GF_{+}|\!;$ अर्थात् अंतर केन्द्रक से फर्मेट बिंदुओं की दूरी इंगित करता है।^[7]^{: Thm. 1}

त्रिभुज के शीर्षकों में स्टेनर के अक्ष इसके किर्ट परवलय के स्पर्शरेखा हैं, यह अद्वितीय परवलय है जो त्रिकोण के पार्श्वों की स्पर्शरेखा है और इसकी संचालिका के रूप में यूलर रेखा है।^[7]^{: Thm. 3}

त्रिभुज के टुकड़े में स्टेनर के फोसी, इनेलिप्स के प्रमुख अक्ष के प्रतिच्छेदन और लघु अक्ष पर केंद्र के साथ चक्र और फर्मेट बिंदुओं के माध्यम से जा रहे हैं।^[7]^{: Thm. 6}

जैसा कि किसी भी दीर्घवृत्त के साथ त्रिभुज $△ ABC$ में अंकित है, फोकी को $P$ और $Q$ होने दें^[8]

{\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.

सामान्यीकरण

त्रिभुज के स्टेनर इनेलिप्स को $n$ - गॉन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है: कुछ $n$ -गोंन्स n-गॉन में आंतरिक दीर्घवृत्त है जो पक्ष के मध्य बिंदु पर प्रत्येक पक्ष के लिए स्पर्शरेखा है। मार्डेन का प्रमेय अभी भी लागू होता है: स्टेनर इनेलिप्स का बहुपद व्युत्पन्न के शून्य होते हैं जिनके शून्य $n$ -गॉन के शीर्ष हैं।^[9]

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Weisstein, E. "Steiner Inellipse" — From MathWorld, A Wolfram Web Resource, http://mathworld.wolfram.com/SteinerInellipse.html.
↑ H. Dörrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Their History and Solution (trans. D. Antin), Dover, New York, 1965, problem 98.
↑ ^3.0 ^3.1 Kalman, Dan (2008), "An elementary proof of Marden's theorem" (PDF), American Mathematical Monthly, 115 (4): 330–338, JSTOR 27642475, MR 2398412, archived from the original (PDF) on 2012-08-26.
↑ Weisstein, Eric W. "Steiner Circumellipse". MathWorld.
↑ Chakerian, G. D. (1979), "A distorted view of geometry", in Honsberger, Ross (ed.), Mathematical plums, The Dolciani Mathematical Expositions, vol. 4, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, pp. 135–136, 145–146.
↑ ^6.0 ^6.1 Minda, D.; Phelps, S. (2008), "Triangles, ellipses, and cubic polynomials" (PDF), American Mathematical Monthly, 115 (8): 679–689, MR 2456092.
↑ ^7.0 ^7.1 ^7.2 Scimemi, Benedetto, "Simple Relations Regarding the Steiner Inellipse of a Triangle", Forum Geometricorum 10, 2010: 55–77.
↑ Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, "Proving a nineteenth century ellipse identity", Mathematical Gazette 96, March 2012, 161-165.
↑ Parish, James L., "On the derivative of a vertex polynomial", Forum Geometricorum 6, 2006, pp. 285–288: Proposition 5.

[Weisstein-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Weisstein, E. "Steiner Inellipse" — From MathWorld, A Wolfram Web Resource, http://mathworld.wolfram.com/SteinerInellipse.html.

[2] H. Dörrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Their History and Solution (trans. D. Antin), Dover, New York, 1965, problem 98.

[Kalman-3] 3.0 ^3.1 Kalman, Dan (2008), "An elementary proof of Marden's theorem" (PDF), American Mathematical Monthly, 115 (4): 330–338, JSTOR 27642475, MR 2398412, archived from the original (PDF) on 2012-08-26.

[4] Weisstein, Eric W. "Steiner Circumellipse". MathWorld.

[Chakerian-5] Chakerian, G. D. (1979), "A distorted view of geometry", in Honsberger, Ross (ed.), Mathematical plums, The Dolciani Mathematical Expositions, vol. 4, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, pp. 135–136, 145–146.

[Minda-6] 6.0 ^6.1 Minda, D.; Phelps, S. (2008), "Triangles, ellipses, and cubic polynomials" (PDF), American Mathematical Monthly, 115 (8): 679–689, MR 2456092.

[Scimemi-7] 7.0 ^7.1 ^7.2 Scimemi, Benedetto, "Simple Relations Regarding the Steiner Inellipse of a Triangle", Forum Geometricorum 10, 2010: 55–77.

[8] Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, "Proving a nineteenth century ellipse identity", Mathematical Gazette 96, March 2012, 161-165.

[9] Parish, James L., "On the derivative of a vertex polynomial", Forum Geometricorum 6, 2006, pp. 285–288: Proposition 5.

[1]

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[4]

[5]

[6]

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[8]

[9]

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 & D_x(1+7i-x)(7+5i-x)(3+i-x) \\
 & = -3\left(\tfrac{13}{3}+\tfrac{11}{3}i-x\right)(3+5i-x)
-\end{align}</math>]][[ज्यामिति]] में, स्टेनर इनलिप्स,<ref name=Weisstein>Weisstein, E. "Steiner Inellipse" — From MathWorld, A Wolfram Web Resource, http://mathworld.wolfram.com/SteinerInellipse.html.</ref> त्रिभुज का [[मध्य]]बिंदु [[दीर्घवृत्त]], या मध्यबिंदु दीर्घवृत्त त्रिभुज में खुदा हुआ अद्वितीय दीर्घवृत्त होता है और उनके मध्यबिंदुओं पर भुजाओं को स्पर्श करता है। यह एक [[अंडाकार]] का उदाहरण है। एक त्रिभुज के खुदे हुए वृत्त और [[मैंडार्ट इनलिप्से]] की तुलना करके अन्य असंयम हैं जो पक्षों के [[स्पर्शरेखा]] हैं, लेकिन मध्यबिंदुओं पर नहीं जब तक कि त्रिभुज समबाहु त्रिभुज न हो। स्टेनर इनलिप्स का श्रेय डोर्री को जाता है<ref>H. Dörrie, ''100 Great Problems of Elementary Mathematics, Their History and Solution'' (trans. D. Antin), Dover, New York, 1965, problem 98.</ref> [[जैकब स्टेनर]] को, और इसकी विशिष्टता का एक प्रमाण डैन कलमन द्वारा दिया गया है।<ref name=Kalman>{{citation
+\end{align}</math>]][[ज्यामिति]] में, स्टेनर इनलिप्स,<ref name=Weisstein>Weisstein, E. "Steiner Inellipse" — From MathWorld, A Wolfram Web Resource, http://mathworld.wolfram.com/SteinerInellipse.html.</ref> त्रिभुज का [[मध्य]]बिंदु [[दीर्घवृत्त]], अद्वितीय दीर्घवृत्त है जो त्रिभुज में अंकित है और उनके मध्यबिंदुओं पर स्पर्शरेखा होती है। यह इनलिप्स का उदाहरण है। त्रिभुज के उत्कीर्ण वृत्त और [[मैंडार्ट इनलिप्से]] की तुलना करने से अन्य असंबद्धताएँ हैं जो भुजाओं के [[स्पर्शरेखा]] हैं, लेकिन मध्य बिंदु पर जब तक त्रिकोण समबाहु नहीं है। स्टेनर इनलिप्से का श्रेय डोर्री <ref>H. Dörrie, ''100 Great Problems of Elementary Mathematics, Their History and Solution'' (trans. D. Antin), Dover, New York, 1965, problem 98.</ref> ने [[जैकब स्टेनर]] को दिया है, और इसकी विशिष्टता का प्रमाण डैन कलमन द्वारा दिया गया है।<ref name=Kalman>{{citation
   |last        = Kalman
   |first       = Dan
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   |archivedate = 2012-08-26
 }}.</ref>
-स्टाइनर इनलिप्स [[स्टाइनर सर्कमलिप्स]] के विपरीत है, जिसे केवल स्टाइनर दीर्घवृत्त भी कहा जाता है, जो अद्वितीय दीर्घवृत्त है जो किसी दिए गए त्रिभुज के कोने से होकर गुजरता है और जिसका केंद्र त्रिभुज का [[केन्द्रक]] है।<ref>{{mathworld|title=Steiner Circumellipse|urlname=SteinerCircumellipse}}</ref>
+स्टाइनर इनलिप्स [[स्टाइनर सर्कमलिप्स]] के विपरीत है, जिसे केवल स्टेनर एलिप्से भी कहा जाता है, जो अद्वितीय दीर्घवृत्त है जो किसी दिए गए त्रिभुज के कोने से होकर गुजरता है और जिसका केंद्र त्रिकोण का [[केन्द्रक]] है।<ref>{{mathworld|title=Steiner Circumellipse|urlname=SteinerCircumellipse}}</ref>
 == परिभाषा और गुण ==
 ;परिभाषा
-एक दीर्घवृत्त जो त्रिभुज की भुजाओं को स्पर्श करता है {{math|△''ABC''}} इसके मध्यबिंदुओं पर <math>M_1,M_2,M_3</math> का स्टेनर इनलिप्स कहा जाता है {{math|△''ABC''}}.
+दीर्घवृत्त जो त्रिभुज {{math|△''ABC''}} के मध्य बिंदुओं पर स्पर्शरेखा है <math>M_1,M_2,M_3</math> को {{math|△''ABC''}} का स्टेनर इनलिप्स कहा जाता है।
 [[File:Steiner-inellipse-1.svg|thumb|
-{{legend-line|solid #333333|Arbitrary triangle {{math|△''ABC''}}}}
+{{legend-line|solid #333333|आर्बिट्ररी त्रिभुज {{math|△''ABC''}}}}
-{{legend-line|solid blue|Steiner inellipse}}
+{{legend-line|solid blue|
-{{legend-line|solid red|Steiner ellipse}}
+स्टाइनर इनलिप्स}}
-{{legend-line|dashed #e053bb 2px|Major and minor axes}}]]
+{{legend-line|solid red|
+स्टाइनर इनलिप्स}}
+{{legend-line|dashed #e053bb 2px|प्रमुख और लघु अक्ष}}]]
 [[File:Steiner-inellipse-0.svg|thumb|
-{{legend-line|solid #333333|[[Equilateral triangle]] {{math|△''ABC''}}}}
+{{legend-line|solid #333333|[[समबाहु त्रिभुज]] {{math|△''ABC''}}}}
-{{legend-line|solid blue|Steiner inellipse}}
+{{legend-line|solid blue|स्टाइनर इनलिप्स}}
-{{legend-line|solid red|Steiner ellipse}}]]गुण:<br />
+{{legend-line|solid red|स्टाइनर इनलिप्स}}]]'''गुण:'''<br />
-एक मनमाना त्रिकोण के लिए {{math|△''ABC''}} मध्यबिंदुओं के साथ <math>M_1,M_2,M_3</math> इसके पक्षों के निम्नलिखित कथन सत्य हैं:<br />
+आर्बिट्ररी त्रिभुज के लिए {{math|△''ABC''}} मध्यबिंदुओं के साथ <math>M_1,M_2,M_3</math> इसके पक्षों के निम्नलिखित कथन सत्य हैं:<br />a) वहाँ एक स्टेनर इनलिप्स मौजूद है।<br />b) स्टेनर इनलिप्स का केंद्र {{math|△''ABC''}} का केन्द्रक {{mvar|S}} है।<br>c1) त्रिभुज <math>\triangle M_1M_2M_3</math> में केन्द्रक {{mvar|S}} और स्टेनर इनलिप्स {{math|△''ABC''}} त्रिभुज का <math>\triangle M_1M_2M_3</math> स्टेनर दीर्घवृत्त है। <br/>c2) त्रिभुज का स्टेनर इनलिप्स स्केल्ड स्टेनर एलिप्से है जिसका स्केलिंग फैक्टर 1/2 है और केन्द्रक केंद्र है। इसलिए दोनों दीर्घवृत्तों की [[Index.php?title=विलक्षणता|विलक्षणता]] समान हैं।<br />d) स्टेनर इनलिप्स का क्षेत्रफल <math>\tfrac{\pi}{3 \sqrt{3}}</math>-त्रिभुज के क्षेत्रफल का गुणा है।<br />e) स्टाइनर दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल त्रिभुज के सभी दीर्घवृत्तों में सबसे अधिक है।<ref name=Chakerian>{{citation
-a) बिल्कुल एक स्टेनर इनलिप्स मौजूद है।<br />
-b) स्टेनर इनलिप्स का केंद्र केन्द्रक है {{mvar|S}} का {{math|△''ABC''}}<br>
-c1) त्रिभुज <math>\triangle M_1M_2M_3</math> समान केन्द्रक होता है {{mvar|S}} और स्टेनर इनलिप्स {{math|△''ABC''}} त्रिभुज का स्टेनर दीर्घवृत्त है <math>\triangle M_1M_2M_3.</math> <br/>
-c2) त्रिभुज का स्टेनर इनलिप्स स्केल्ड स्टेनर एलिप्स है जिसका स्केलिंग फैक्टर 1/2 है और सेंट्रोइड केंद्र है। इसलिए दोनों दीर्घवृत्तों की [[विलक्षणता (गणित)]] समान है, समान हैं।<br />
-d) स्टेनर इनलिप्स का क्षेत्रफल है <math>\tfrac{\pi}{3 \sqrt{3}}</math>-त्रिभुज के क्षेत्रफल का गुणा।<br />
-e) स्टाइनर दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल त्रिभुज के सभी दीर्घवृत्तों में सबसे अधिक है।
-<ref name=Chakerian>{{citation
   | last = Chakerian | first = G. D.
   | editor-last = Honsberger | editor-first = Ross
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   | volume = 4
   | year = 1979}}.</ref>{{rp|p.146}}<ref name=Minda/>{{rp|Corollary 4.2}}
-;सबूत
+;प्रमाण
-गुण a), b), c) के प्रमाण एक affine मानचित्रण के निम्नलिखित गुणों पर आधारित हैं: 1) किसी भी त्रिभुज को एक समबाहु त्रिभुज की एक affine छवि के रूप में माना जा सकता है। 2) भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मध्यबिंदुओं पर और सेंट्रोइड्स पर सेंट्रोइड्स पर मैप किया जाता है। दीर्घवृत्त के केंद्र को उसकी छवि के केंद्र पर मैप किया जाता है।<br>
+a), b), c) के प्रमाण मानचित्रण के निम्नलिखित गुणों पर आधारित हैं: 1) किसी भी त्रिभुज को समबाहु त्रिभुज की अफीन छवि के रूप में माना जा सकता है। 2) दोनों भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मध्यबिंदु और सेंट्रोइड पर केंद्रित किया जाता है। दीर्घवृत्त का केंद्र इसकी छवि के केंद्र पर मैप किया गया है।<br>इसलिए समबाहु त्रिभुज के लिए गुण 'a', 'b', 'c' सिद्ध करना पर्याप्त है:<br>a) किसी भी समबाहु त्रिभुज के लिए [[त्रिभुज के अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त]] होते हैं। यह अपने मध्यबिंदुओं पर पक्षों को स्पर्श करता है। एक ही गुण के साथ कोई अन्य (नॉन-डीजेनरेट) शंकु अनुभाग नहीं है, क्योंकि एक शंकु अनुभाग 5 अंकों/टैंगेंट द्वारा निर्धारित होता है।<br />b) एक साधारण गणना द्वारा।<br />c) परिधि को स्केलिंग द्वारा मैप किया जाता है, कारक 1/2 और केंद्र के रूप में केंद्र के रूप में केंद्र, अंतःवृत्त पर। उत्केंद्रता अपरिवर्तनीय है।<br/>d) क्षेत्रफल का अनुपात अपरिवर्तनीय है। तो अनुपात की गणना समबाहु त्रिभुज के लिए की जा सकती है।<br />e) इनलिप्स देखें।
-इसलिए गुणों को साबित करने के लिए पर्याप्त है a),b),c) एक समबाहु त्रिभुज के लिए:<br>
-a) किसी भी समबाहु त्रिभुज के लिए एक [[त्रिभुज के अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त]] होते हैं। यह अपने मध्यबिंदुओं पर पक्षों को छूता है। समान गुणों वाला कोई अन्य (गैर-डीजेनरेट) शांकव खंड नहीं है, क्योंकि एक शंकु खंड 5 बिंदुओं/स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्धारित होता है।<br />
-बी) एक साधारण गणना द्वारा।<br />
-c) परिवृत्त को एक स्केलिंग द्वारा मैप किया जाता है, कारक 1/2 और केन्द्रक को केंद्र के रूप में, अंतःवृत्त पर। सनकीपन एक अपरिवर्तनीय है।<br/>
-डी) क्षेत्रों का अनुपात परिवर्तन को प्रभावित करने के लिए अपरिवर्तनीय है। तो समबाहु त्रिभुज के लिए अनुपात की गणना की जा सकती है।<br />
-ई) सबसे बड़े क्षेत्र के साथ Inellipse#Inellipse देखें।
 == पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व और अर्ध-अक्ष ==
 पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व:
-* क्योंकि एक त्रिभुज का स्टेनर दीर्घवृत्त {{math|△''ABC''}} एक स्केल्ड स्टाइनर दीर्घवृत्त है (कारक 1/2, केंद्र केन्द्रक है) स्टेनर दीर्घवृत्त के त्रिकोणमितीय निरूपण से प्राप्त एक पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व प्राप्त करता है#पैरामीट्रिक निरूपण और समीकरण:
+* क्योंकि त्रिभुज का स्टेनर दीर्घवृत्त {{math|△''ABC''}} एक स्केल्ड स्टाइनर दीर्घवृत्त है (कारक 1/2, केंद्र केन्द्रक है) स्टेनर दीर्घवृत्त के त्रिकोणमितीय निरूपण से प्राप्त पैरामीट्रिक निरूपण व्युत्पन्न करता है:
 ::<math>\vec x =\vec p(t)=\overrightarrow{OS}\; +\; {\color{blue}\frac 1 2 }\overrightarrow{SC}\; \cos t \;+\; \frac{1}{{\color{blue}2}\sqrt{3}}\overrightarrow{AB}\; \sin t \; , \quad 0\le t <2\pi\ .</math>
 * स्टेनर इनलिप्स के 4 शीर्ष होते हैं
 ::<math>\vec p(t_0),\; \vec p(t_0\pm\frac{\pi}{2}),\; \vec p(t_0+\pi),</math>
-:कहां {{math|''t''{{sub|0}}}} का समाधान है
+:जहाँ {{math|''t''{{sub|0}}}} का हल है
 ::<math>\cot (2t_0)= \tfrac{\vec f_1^{\, 2}-\vec f_2^{\, 2}}{2\vec f_1 \cdot \vec f_2}\quad</math> साथ <math>\quad \vec f_1=\frac 1 2 \vec{SC},\quad \vec f_2=\frac{1}{2\sqrt{3}}\vec{AB}\ .</math>
 अर्ध-अक्ष:
-* संक्षेप के साथ
+* संक्षिप्तीकरण के साथ
 ::<math>\begin{align}
 M &:= {\color{blue} \frac 1 4} \left(\vec{SC}^2+\frac{1}{3}\vec{AB}^2 \right) \\
 N &:= \frac{1}{{\color{blue}4}\sqrt{3}} \left|\det \left(\vec{SC},\vec{AB} \right)\right|
 \end{align}</math>
-: [[अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु अक्ष]]|सेमी-एक्सिस के लिए एक मिलता है {{mvar|a, b}} (कहां {{math|''a'' > ''b''}}):
+: [[अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु अक्ष]] {{mvar|a, b}} (जहां {{math|''a'' > ''b''}}) मिलता है::
 ::<math>\begin{align}
 a &= \frac{1}{2} \left(\sqrt{M+2N}+\sqrt{M-2N} \right) \\
 b &= \frac{1}{2} \left(\sqrt{M+2N}-\sqrt{M-2N} \right)\ .
 \end{align}</math>
-* रैखिक विलक्षणता {{mvar|c}} स्टेनर इनलिप्स का है
+* स्टेनर इनलिप्स की रेखीय उत्केन्द्रता c है
 ::<math>c=\sqrt{a^2-b^2}=\dotsb=\sqrt{\sqrt{M^2-4N^2}}\ .</math>
@@ Line 87: / Line 76: @@
 == त्रिरेखीय समीकरण ==
-पार्श्व लंबाई वाले त्रिभुज के लिए [[ट्रिलिनियर निर्देशांक]] में स्टेनर इनलिप्स का समीकरण {{mvar|a, b, c}} (इन मापदंडों के साथ पहले की तुलना में एक अलग अर्थ है) है<ref name=Weisstein/>:<math>a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2-2abxy-2bcyz-2cazx = 0</math>
+[[ट्रिलिनियर निर्देशांक|त्रिरेखीय निर्देशांक]] में स्टाइनर इनलिप्स का समीकरण त्रिभुज के लिए भुजाओं की लंबाई {{mvar|a, b, c}} (इन मापदंडों के साथ पहले की तुलना में एक अलग अर्थ है) के साथ है<ref name=Weisstein/>:<math>a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2-2abxy-2bcyz-2cazx = 0</math>
-कहां {{mvar|x}} लंबाई के किनारे से एक बिंदु की दूरी का एक मनमाना सकारात्मक स्थिरांक है {{mvar|a}}, और इसी तरह के लिए {{mvar|b}} और {{mvar|c}} समान गुणक स्थिरांक के साथ।
+जहाँ {{mvar|x}} लंबाई {{mvar|a}} की तरफ से बिंदु की दूरी का यादृच्छिक घनात्मक स्थिरांक है और इसी तरह {{mvar|b}} और {{mvar|c}} के लिए एक ही गुणक स्थिरांक है।
 == अन्य गुण ==
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 :<math>\frac{1}{6}\sqrt{a^2+b^2+c^2 \pm 2Z},</math>
-कहां
+जहाँ
 :<math>Z=\sqrt{a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2}.</math>
-मार्डेन के प्रमेय के अनुसार,<ref name=Kalman/>यदि त्रिभुज के तीन [[वर्टेक्स (ज्यामिति)]] [[जटिल संख्या]] [[बहुपद]] हैं # एक घन बहुपद के बहुपद समीकरणों को हल करना, तो स्टेनर इनलिप्स का फोकस (ज्यामिति) बहुपद के व्युत्पन्न के शून्य हैं।
+मार्डेन के प्रमेय के अनुसार,<ref name=Kalman/> यदि त्रिभुज के तीन [[वर्टेक्स (ज्यामिति)]] [[जटिल संख्या|मिश्रित संख्या]] [[बहुपद]] हैं तो घन बहुपद स्टेनर इनलिप्स का फोकस (ज्यामिति) के समीकरणों के व्युत्पन्न शून्य हैं।
-स्टेनर इनलिप्स की प्रमुख धुरी शीर्षों के लिए [[डेमिंग प्रतिगमन]] है।<ref name=Minda>{{citation
+शीर्षकों में स्टेनर का मुख्य अक्ष शीर्षकों के लिए सर्वश्रेष्ठ [[डेमिंग प्रतिगमन|लंबकोणीय रेखा]] है।<ref name=Minda>{{citation
   | last1 = Minda | first1 = D. | author1-link = David Minda
   | last2 = Phelps | first2 = S.
@@ Line 111: / Line 101: @@
   | volume = 115
   | year = 2008}}.</ref>{{rp|Corollary 2.4}}
-एक त्रिकोण के केंद्रक और पहले और दूसरे [[फर्मेट बिंदु]]ओं को निरूपित करें {{tmath|G,F_+,F_-}} क्रमश। त्रिभुज के स्टेनर इनलिप्स का प्रमुख अक्ष का आंतरिक द्विभाजक है {{tmath|\angle F_+GF_-.}} अक्षों की लम्बाई हैं <math>|GF_-| \pm |GF_+|\! ;</math> अर्थात्, फर्मेट की दूरियों का योग और अंतर केन्द्रक से इंगित करता है।<ref name=Scimemi>[http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201008.pdf Scimemi, Benedetto, "Simple Relations Regarding the Steiner Inellipse of a Triangle", ''Forum Geometricorum'' 10, 2010: 55–77.]</ref>{{rp|Thm. 1}}
-एक त्रिकोण के स्टाइनर इनलिप्स की कुल्हाड़ियाँ उसके कीपर्ट परवलय के लिए स्पर्शरेखा हैं, अद्वितीय परवलय जो त्रिभुज के किनारों पर स्पर्शरेखा है और इसकी डायरेक्ट्रिक्स (शंकु खंड) के रूप में यूलर रेखा है।<ref name=Scimemi/>{{rp|Thm. 3}}
+त्रिभुज के केन्द्रक और पहले और दूसरे [[फर्मेट बिंदु|फर्मेट बिंदुओं]] को क्रमशः को {{tmath|G,F_+,F_-}} के रूप में निरूपित करें। त्रिभुज के स्टेनर इनलिप्स का प्रमुख अक्ष  {{tmath|\angle F_+GF_-}} का आंतरिक द्विभाजक है। अक्षों की लम्बाई  <math>|GF_-| \pm |GF_+|\! ;</math> अर्थात् अंतर केन्द्रक से फर्मेट बिंदुओं की दूरी इंगित करता है।<ref name="Scimemi">[http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201008.pdf Scimemi, Benedetto, "Simple Relations Regarding the Steiner Inellipse of a Triangle", ''Forum Geometricorum'' 10, 2010: 55–77.]</ref>{{rp|Thm. 1}}
-एक त्रिकोण के स्टाइनर इनलिप्स का फॉसी इनेलिप्स के प्रमुख अक्ष के चौराहे हैं और छोटे अक्ष पर केंद्र के साथ चक्र और फर्मेट बिंदुओं के माध्यम से जा रहे हैं।<ref name=Scimemi/>{{rp|Thm. 6}}
-जैसा कि किसी त्रिभुज में खुदा हुआ कोई दीर्घवृत्त होता है {{math|△''ABC''}}, फोकस होने दें {{mvar|P}} और {{mvar|Q}} अपने पास<ref>Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, "Proving a nineteenth century ellipse identity", ''[[Mathematical Gazette]]'' 96, March 2012, 161-165.</ref>
+त्रिभुज के शीर्षकों में स्टेनर के अक्ष इसके किर्ट परवलय के स्पर्शरेखा हैं, यह अद्वितीय परवलय है जो त्रिकोण के पार्श्वों की स्पर्शरेखा है और इसकी संचालिका के रूप में यूलर रेखा है।<ref name="Scimemi" />{{rp|Thm. 3}}
+त्रिभुज के टुकड़े में स्टेनर के फोसी, इनेलिप्स के प्रमुख अक्ष के प्रतिच्छेदन और लघु अक्ष पर केंद्र के साथ चक्र और फर्मेट बिंदुओं के माध्यम से जा रहे हैं।<ref name="Scimemi" />{{rp|Thm. 6}}
+जैसा कि किसी भी दीर्घवृत्त के साथ त्रिभुज {{math|△''ABC''}} में अंकित है, फोकी को {{mvar|P}} और {{mvar|Q}}  होने दें<ref>Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, "Proving a nineteenth century ellipse identity", ''[[Mathematical Gazette]]'' 96, March 2012, 161-165.</ref>
 :<math>\frac{\overline{PA} \cdot \overline{QA}}{\overline{CA} \cdot \overline{AB}} + \frac{\overline{PB} \cdot \overline{QB}}{\overline{AB} \cdot \overline{BC}} + \frac{\overline{PC} \cdot \overline{QC}}{\overline{BC} \cdot \overline{CA}} = 1.</math>
+== सामान्यीकरण ==
+त्रिभुज के स्टेनर इनेलिप्स को {{mvar|n}}- गॉन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है: कुछ {{mvar|n}}-गोंन्स n-गॉन में आंतरिक दीर्घवृत्त है जो पक्ष के मध्य बिंदु पर प्रत्येक पक्ष के लिए स्पर्शरेखा है। मार्डेन का प्रमेय अभी भी लागू होता है: स्टेनर इनेलिप्स का बहुपद व्युत्पन्न के शून्य होते हैं जिनके शून्य {{mvar|n}}-गॉन के शीर्ष हैं।<ref>[http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200633.pdf Parish, James L., "On the derivative of a vertex polynomial", ''Forum Geometricorum'' 6, 2006, pp. 285–288: Proposition 5.]</ref>
-== सामान्यीकरण ==
-त्रिभुज के स्टेनर इनलिप्स को सामान्यीकृत किया जा सकता है {{mvar|n}}- गुलजार: कुछ {{mvar|n}}-गोंन्स में एक आंतरिक दीर्घवृत्त होता है जो प्रत्येक पक्ष के मध्य बिंदु पर स्पर्शरेखा होता है। मार्डन की प्रमेय अभी भी लागू होती है: स्टाइनर इनलिप्स की नाभि बहुपद के व्युत्पन्न के शून्य हैं जिनके शून्य बहुपद के शीर्ष हैं {{mvar|n}}-गॉन।<ref>[http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200633.pdf Parish, James L., "On the derivative of a vertex polynomial", ''Forum Geometricorum'' 6, 2006, pp. 285–288: Proposition 5.]</ref>
+==संदर्भ ==
+{{reflist}}
+{{DEFAULTSORT:Steiner Inellipse}}
 [[Category:Articles with short description|Steiner Inellipse]]
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+[[Category:CS1 maint]]
+[[Category:CS1 Ελληνικά-language sources (el)]]
+[[Category:Citation Style 1 templates|W]]
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