नेटवर्क पर फ्रैक्टल आयाम: Difference between revisions

Latest revision as of 10:16, 14 January 2023

फ्रैक्टल विश्लेषण जटिल नेटवर्क के अध्ययन में उपयोगी है, जो कंप्यूटर सिस्टम, मस्तिष्क और सामाजिक नेटवर्क जैसे प्राकृतिक और कृत्रिम दोनों प्रणालियों में उपलब्ध है, जिससे नेटवर्क विज्ञान के क्षेत्र में और विकास होता है।

जटिल नेटवर्क की स्व-समानता

कई वास्तविक नेटवर्कों में दो मौलिक गुण होते हैं, स्केल-फ्री प्रॉपर्टी और स्माल-वर्ल्ड प्रॉपर्टी। यदि नेटवर्क का डिग्री वितरण पावर-लॉ का अनुसरण करता है, यदि किसी नेटवर्क में किन्हीं भी दो स्वेच्छाचारी नोड्स को बहुत कम चरणों में जोड़ा जा सकता है तो उसे स्केल-फ्री नेटवर्क कहते हैl

नेटवर्क के गुणों को गणितीय रूप से के औसत व्यास की धीमी वृद्धि के द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, जिसमें नोड्स की कुल संख्या $N$ ,

$\left\langle l\right\rangle \sim \ln {N}$

जहाँ $l$ दो नोड्स के बीच की सबसे छोटी दूरी है।

समतुल्य, हम प्राप्त करते हैं:

$N\sim e^{\left\langle l\right\rangle /l_{0}}$

जहाँ $l_{0}$ एक विशिष्ट लंबाई है।

स्व-समान संरचना के लिए, उपरोक्त घातीय संबंध के बजाय पावर-लॉ संबंध अपेक्षित है। इस तथ्य से, ऐसा प्रतीत होता है कि लघु-विश्व नेटवर्क लंबाई-पैमाने के परिवर्तन के तहत स्व-समान नहीं हैं।

प्रोटीन के विलायक-सुलभ सतह क्षेत्रों में स्व-समानता की खोज की गई है।^[1]^[2] क्योंकि प्रोटीन गोलाकार मुड़ी हुई जंजीरों का निर्माण करते हैं, इस खोज का प्रोटीन के विकास और प्रोटीन की गतिशीलता के लिए महत्वपूर्ण निहितार्थ है, क्योंकि इसका उपयोग प्रोटीन की कार्यक्षमता के लिए विशिष्ट गतिशील लंबाई के पैमाने को स्थापित करने के लिए किया जा सकता है।^[3]

आयाम की गणना के तरीके

समान्तयः, हम फ्रैक्टल आयाम की गणना या तो बॉक्स-गिनती विधि या क्लस्टर-ग्रोइंग विधि का उपयोग करके करते हैं।

बॉक्स गणना विधि।

File:Clustergrow.jpg

क्लस्टर बढ़ने की विधि।

बॉक्स-काउंटिंग विधि

मान लें $N_{B}$ रैखिक आकार के बक्सों की संख्या हो $l_{B}$ , दिए गए नेटवर्क को कवर करने के लिए आवश्यक है। फ्रैक्टल आयाम $d_{B}$ इसके बाद दिया जाता है

$N_{B}\sim l_{B}^{-d_{B}}$

इसका मतलब है कि शीर्षों की औसत संख्या $\left\langle M_{B}\left(l_{B}\right)\right\rangle$ आकार के एक बॉक्स के भीतर $l_{B}$

$\left\langle M_{B}\left(l_{B}\right)\right\rangle \sim l_{B}^{d_{B}}$

विभिन्न बॉक्स आकारों के लिए $N$ के वितरण को मापकर या विभिन्न बॉक्स आकारों के लिए $\left\langle M_{B}\left(l_{B}\right)\right\rangle$ के वितरण को मापकर, फ्रैक्टल आयाम $d_{B}$ को वितरण के उपयुक्त शक्ति नियम द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

क्लस्टर बढ़ने की विधि

एक बीज नोड को बेतरतीब ढंग से चुना जाता है। यदि न्यूनतम दूरी $l$ दी गई है, तो बीज नोड से अधिकतम $l$ द्वारा अलग किए गए नोड्स का समूह बन सकता है। जब तक क्लस्टर पूरे नेटवर्क को कवर नहीं करता तब तक कई बीजों को चुनकर प्रक्रिया को दोहराया जाता है। फिर आयाम $d_{f}$ की गणना की जा सकती है

$\left\langle M_{C}\right\rangle \sim l^{d_{f}}$

जहाँ $\left\langle M_{C}\right\rangle$ समूहों का औसत द्रव्यमान है, जिसे क्लस्टर में नोड्स की औसत संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है।

इन तरीकों को नेटवर्क पर लागू करना मुश्किल है क्योंकि नेटवर्क समान्तयः किसी अन्य स्थान पर एम्बेड नहीं होते हैं। नेटवर्क के भग्न आयाम को मापने के लिए हम पुनर्सामान्यीकरण की अवधारणा को जोड़ते हैं।

स्केल-फ्री नेटवर्क में फ्रैक्टल स्केलिंग

बॉक्स-गणना और नवीनीकरण

नेटवर्क में स्व-समानता की जांच करने के लिए, हम बॉक्स-काउंटिंग विधि और पुनर्सामान्यीकरण का उपयोग करते हैं। चित्र (3a) 8 नोडों से बने नेटवर्क का उपयोग करके इस प्रक्रिया को दिखाता है।

प्रत्येक आकार l_B के लिए, बॉक्स बेतरतीब ढंग से चुने जाते हैं (क्लस्टर बढ़ने की विधि के अनुसार) जब तक कि नेटवर्क कवर न हो जाए, एक बॉक्स में l < l_B की दूरी से अलग किए गए सभी नोड होते हैं, यानी बॉक्स में प्रत्येक जोड़ी नोड्स को अलग किया जाना चाहिए अधिकतम l_B लिंक के न्यूनतम पथ द्वारा। फिर प्रत्येक बॉक्स को नोड (पुनः सामान्यीकरण) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यदि असामान्य बक्सों के बीच कम से कम एक लिंक है, तो पुनर्सामान्यीकृत नोड जुड़े हुए हैं। यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि नेटवर्क एक नोड पर नहीं गिर जाता। इन बक्सों में से प्रत्येक का प्रभावी द्रव्यमान (इसमें नोड्स की संख्या) होता है जिसका उपयोग नेटवर्क के फ्रैक्टल आयाम को मापने के लिए ऊपर दिखाए गए अनुसार किया जा सकता है। चित्र (3b) में, l_B = 3 के लिए तीन चरणों के माध्यम से डब्ल्यूडब्ल्यूडब्ल्यू नेटवर्क पर पुनर्सामान्यीकरण लागू किया जाता है।

चित्र (5) वर्ल्ड वाइड वेब पर बॉक्स आकार के एक समारोह के रूप में किए गए पुनर्संरचना के तहत डिग्री वितरण P(k) के आक्रमण को दर्शाता है। निश्चित बॉक्स आकार l_B के लिए लागू किए गए कई रेनॉर्मलाइजेशन के तहत नेटवर्क भी अपरिवर्तनीय हैं। इस व्युत्क्रम से पता चलता है कि नेटवर्क कई लंबाई के पैमाने पर स्व-समान हैं।

File:Skeleton of a network.jpg

स्केलेटन ऑफ़ ए नेटवर्क.^[4]

स्केलेटन और फ्रैक्टल स्केलिंग

नेटवर्क के फ्रैक्टल गुण इसकी अंतर्निहित ट्री संरचना में देखे जा सकते हैं। इस दृष्टि से, नेटवर्क स्केलेटन और शॉर्टकट बने होते हैं। स्केलेटन विशेष प्रकार का फैला हुआ ट्री है, जो किनारों के बीच उच्चतम केंद्रीयता वाले किनारों से बनता है, और नेटवर्क में शेष किनारे शॉर्टकट हैं। यदि मूल नेटवर्क स्केल-फ्री है, तो इसका स्केलेटन भी पावर-लॉ डिग्री वितरण का अनुसरण करता है, जहां डिग्री मूल नेटवर्क की डिग्री से भिन्न हो सकती है। फ्रैक्टल स्केलिंग के बाद फ्रैक्टल नेटवर्क के लिए, प्रत्येक स्केलेटन मूल नेटवर्क के समान फ्रैक्टल स्केलिंग दिखाता है। स्केलेटन को ढकने के लिए बक्सों की संख्या लगभग उतनी ही होती है जितनी नेटवर्क को ढकने के लिए जरूरी होती है।^[4]

रीयल-वर्ल्ड फ्रैक्टल नेटवर्क

File:Fractal scaling analysis of WWW network.jpg

डब्ल्यूडब्ल्यूडब्ल्यू नेटवर्क का फ्रैक्टल स्केलिंग विश्लेषण। रेड-द ओरिजिनल नेटवर्क, ब्लू-द स्केलेटन, और ऑरेंज-एक रैंडम स्पैनिंग ट्री।^[5]

चूंकि फ्रैक्टल नेटवर्क और उनके कंकाल संबंध का पालन करते हैं

$\left\langle M_{B}\left(l_{B}\right)\right\rangle \sim l_{B}^{d_{B}}$ ,

हम जांच कर सकते हैं कि क्या नेटवर्क फ्रैक्टल है और नेटवर्क का फ्रैक्टल आयाम क्या है। उदाहरण के लिए, WWW, मानव मस्तिष्क, मेटाबोलिक नेटवर्क, PIN (पिन) H. सेपियन्स का प्रोटीन इंटरेक्शन नेटवर्क (PIN), और S सेरेविसिया का पिन फ्रैक्टल नेटवर्क माने जाते हैं। इसके अलावा, मापे गए फ्रैक्टल आयाम हैं $d_{B}=4.1,{\mbox{ }}3.7,{\mbox{ }}3.4,{\mbox{ }}2.0,{\mbox{ and }}1.8$ क्रमशः नेटवर्क के लिए। दूसरी ओर, इंटरनेट, अभिनेता-नेटवर्क, और कृत्रिम मॉडल (उदाहरण के लिए, बीए मॉडल) फ्रैक्टल गुण नहीं दिखाते हैं।^[5] ^[6]

नेटवर्क आयामों के लिए अन्य परिभाषाएं

किसी जटिल नेटवर्क या ग्राफ़ के लिए आयाम की सबसे अच्छी परिभाषा अनुप्रयोग पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, मीट्रिक आयाम को ग्राफ़ के रिज़ॉल्विंग सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है। दूरी के साथ ऊपर परिभाषित "द्रव्यमान" की स्केलिंग संपत्ति के आधार पर परिभाषाएं,^[7] या जटिल नेटवर्क जेटा फ़ंक्शन^[8] पर आधारित परिभाषाओं का भी अध्ययन किया गया है।

संदर्भ

↑ Moret, M. A.; Zebende, G. F. (2007-01-19). "अमीनो एसिड हाइड्रोफोबिसिटी और सुलभ सतह क्षेत्र". Physical Review E. American Physical Society (APS). 75 (1): 011920. Bibcode:2007PhRvE..75a1920M. doi:10.1103/physreve.75.011920. ISSN 1539-3755. PMID 17358197.
↑ Phillips, J.C. (2014). "फ्रैक्टल्स और प्रोटीन में स्व-संगठित क्रांति". Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications. Elsevier BV. 415: 440–448. Bibcode:2014PhyA..415..440P. doi:10.1016/j.physa.2014.08.034. ISSN 0378-4371.
↑ 3. Phillips, J. C. Quantitative molecular scaling theory of protein amino acid sequences, structure, and functionality. arXiv 1606.1004116 (2016)
↑ ^4.0 ^4.1 K.-I. Goh, G. Salvi, B. Kahng and D. Kim, Skeleton and Fractal Scaling in Complex Networks, Phys. Rev. Lett. 96, 018701 (2006), http://iopscience.iop.org/article/10.1088/1367-2630/9/6/177/pdf
↑ ^5.0 ^5.1 J.S. Kim et al.,Fractality in complex networks: critical and supercritical skeletons, 2006, arXiv:cond-mat/0605324
↑ F. Klimm; Danielle S. Bassett; Jean M. Carlson; Peter J. Mucha (2014). "नेटवर्क मॉडल और मस्तिष्क में संरचनात्मक परिवर्तनशीलता को हल करना". PLOS Computational Biology. 10 (3): e1003491. arXiv:1306.2893. Bibcode:2014PLSCB..10E3491K. doi:10.1371/journal.pcbi.1003491. PMC 3967917. PMID 24675546.
↑ Shanker, O. (2007). "एक जटिल नेटवर्क के आयाम को परिभाषित करना". Modern Physics Letters B. 21 (6): 321–326. Bibcode:2007MPLB...21..321S. doi:10.1142/S0217984907012773.
↑ Shanker, O. (2007). "जटिल नेटवर्क का ग्राफ़ जीटा प्रकार्य और आयाम". Modern Physics Letters B. 21 (11): 639–644. Bibcode:2007MPLB...21..639S. doi:10.1142/S0217984907013146.

श्रेणी:नेटवर्क सिद्धांत

[1] Moret, M. A.; Zebende, G. F. (2007-01-19). "अमीनो एसिड हाइड्रोफोबिसिटी और सुलभ सतह क्षेत्र". Physical Review E. American Physical Society (APS). 75 (1): 011920. Bibcode:2007PhRvE..75a1920M. doi:10.1103/physreve.75.011920. ISSN 1539-3755. PMID 17358197.

[2] Phillips, J.C. (2014). "फ्रैक्टल्स और प्रोटीन में स्व-संगठित क्रांति". Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications. Elsevier BV. 415: 440–448. Bibcode:2014PhyA..415..440P. doi:10.1016/j.physa.2014.08.034. ISSN 0378-4371.

[3] 3. Phillips, J. C. Quantitative molecular scaling theory of protein amino acid sequences, structure, and functionality. arXiv 1606.1004116 (2016)

[goh-4] 4.0 ^4.1 K.-I. Goh, G. Salvi, B. Kahng and D. Kim, Skeleton and Fractal Scaling in Complex Networks, Phys. Rev. Lett. 96, 018701 (2006), http://iopscience.iop.org/article/10.1088/1367-2630/9/6/177/pdf

[kim-5] 5.0 ^5.1 J.S. Kim et al.,Fractality in complex networks: critical and supercritical skeletons, 2006, arXiv:cond-mat/0605324

[6] F. Klimm; Danielle S. Bassett; Jean M. Carlson; Peter J. Mucha (2014). "नेटवर्क मॉडल और मस्तिष्क में संरचनात्मक परिवर्तनशीलता को हल करना". PLOS Computational Biology. 10 (3): e1003491. arXiv:1306.2893. Bibcode:2014PLSCB..10E3491K. doi:10.1371/journal.pcbi.1003491. PMC 3967917. PMID 24675546.

[Shankera-7] Shanker, O. (2007). "एक जटिल नेटवर्क के आयाम को परिभाषित करना". Modern Physics Letters B. 21 (6): 321–326. Bibcode:2007MPLB...21..321S. doi:10.1142/S0217984907012773.

[Shankerb-8] Shanker, O. (2007). "जटिल नेटवर्क का ग्राफ़ जीटा प्रकार्य और आयाम". Modern Physics Letters B. 21 (11): 639–644. Bibcode:2007MPLB...21..639S. doi:10.1142/S0217984907013146.

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-फ्रैक्टल विश्लेषण [[जटिल नेटवर्क]] के अध्ययन में उपयोगी है, जो कंप्यूटर सिस्टम, मस्तिष्क और सामाजिक नेटवर्क जैसे प्राकृतिक और कृत्रिम दोनों प्रणालियों में मौजूद है, जिससे [[नेटवर्क विज्ञान]] में क्षेत्र के और विकास की अनुमति मिलती है।
+फ्रैक्टल विश्लेषण [[जटिल नेटवर्क]] के अध्ययन में उपयोगी है, जो कंप्यूटर सिस्टम, मस्तिष्क और सामाजिक नेटवर्क जैसे प्राकृतिक और कृत्रिम दोनों प्रणालियों में उपलब्ध है, जिससे [[नेटवर्क विज्ञान]] के क्षेत्र में और विकास होता है।
 == जटिल नेटवर्क की स्व-समानता ==
-कई वास्तविक नेटवर्क में दो मौलिक गुण होते हैं, [[स्केल-फ्री नेटवर्क]] | स्केल-फ्री प्रॉपर्टी और [[छोटी दुनिया का नेटवर्क]] | स्मॉल-वर्ल्ड प्रॉपर्टी। यदि नेटवर्क का [[डिग्री वितरण]] पावर-लॉ का अनुसरण करता है, तो नेटवर्क स्केल-फ्री होता है; यदि किसी नेटवर्क में किन्हीं दो स्वैच्छिक नोड्स को बहुत कम चरणों में जोड़ा जा सकता है, तो नेटवर्क को छोटी दुनिया कहा जाता है।
+कई वास्तविक नेटवर्कों में दो मौलिक गुण होते हैं, [[स्केल-फ्री नेटवर्क|स्केल-फ्री]] प्रॉपर्टी और स्माल-वर्ल्ड प्रॉपर्टी। यदि नेटवर्क का [[डिग्री वितरण]] पावर-लॉ का अनुसरण करता है, यदि किसी नेटवर्क में किन्हीं भी दो स्वेच्छाचारी नोड्स को बहुत कम चरणों में जोड़ा जा सकता है तो उसे स्केल-फ्री नेटवर्क कहते हैl
-छोटी दुनिया के गुणों को गणितीय रूप से नेटवर्क की औसत [[दूरी (ग्राफ सिद्धांत)]] की धीमी वृद्धि से व्यक्त किया जा सकता है, जिसमें नोड्स की कुल संख्या होती है <math>N</math>,
+नेटवर्क के गुणों को गणितीय रूप से के औसत व्यास की धीमी वृद्धि के द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, जिसमें नोड्स की कुल संख्या <math>N</math>,
-<डिव वर्ग = केंद्र><math>\left\langle l\right\rangle\sim\ln{N}</math></div>
+<math>\left\langle l\right\rangle\sim\ln{N}</math>
-कहां <math>l</math> दो नोड्स के बीच सबसे छोटी दूरी है।
+जहाँ <math>l</math> दो नोड्स के बीच की सबसे छोटी दूरी है।
-समान रूप से, हम प्राप्त करते हैं:
+समतुल्य, हम प्राप्त करते हैं:
-<डिव वर्ग = केंद्र><math>N\sim e^{\left\langle l\right\rangle/l_0}</math></div>
+<math>N\sim e^{\left\langle l\right\rangle/l_0}</math>
-कहां <math>l_0</math> एक विशिष्ट लंबाई है।
+जहाँ <math>l_0</math> एक विशिष्ट लंबाई है।
-एक [[आत्म समानता]] | स्व-समान संरचना के लिए, उपरोक्त घातीय संबंध के बजाय एक शक्ति-कानून संबंध की अपेक्षा की जाती है। इस तथ्य से, ऐसा प्रतीत होता है कि लघु-विश्व नेटवर्क लंबाई-पैमाने के परिवर्तन के तहत स्व-समान नहीं हैं।
+स्व-समान संरचना के लिए, उपरोक्त घातीय संबंध के बजाय पावर-लॉ संबंध अपेक्षित है। इस तथ्य से, ऐसा प्रतीत होता है कि लघु-विश्व नेटवर्क लंबाई-पैमाने के परिवर्तन के तहत स्व-समान नहीं हैं।
-[[प्रोटीन]] के विलायक-सुलभ सतह क्षेत्रों में स्व-समानता की खोज की गई है।<ref>{{cite journal | last1=Moret | first1=M. A. | last2=Zebende | first2=G. F. | title=अमीनो एसिड हाइड्रोफोबिसिटी और सुलभ सतह क्षेत्र| journal=Physical Review E | publisher=American Physical Society (APS) | volume=75 | issue=1 | date=2007-01-19 | issn=1539-3755 | doi=10.1103/physreve.75.011920 | page=011920| pmid=17358197 | bibcode=2007PhRvE..75a1920M }}</ref><ref>{{cite journal | last=Phillips | first=J.C. | title=फ्रैक्टल्स और प्रोटीन में स्व-संगठित क्रांति| journal=Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications | publisher=Elsevier BV | volume=415 | year=2014 | issn=0378-4371 | doi=10.1016/j.physa.2014.08.034 | pages=440–448| bibcode=2014PhyA..415..440P }}</ref> क्योंकि प्रोटीन गोलाकार [[प्रोटीन की तह]] चेन बनाते हैं, इस खोज में [[प्रोटीन विकास]] और प्रोटीन गतिशीलता के लिए महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ते हैं, क्योंकि इसका उपयोग प्रोटीन कार्यक्षमता के लिए विशेषता गतिशील लंबाई के पैमाने को स्थापित करने के लिए किया जा सकता है।<ref>3.	Phillips, J. C.  Quantitative molecular scaling theory of protein amino acid sequences, structure, and functionality.  arXiv 1606.1004116 (2016) </ref>
+[[प्रोटीन]] के विलायक-सुलभ सतह क्षेत्रों में स्व-समानता की खोज की गई है।<ref>{{cite journal | last1=Moret | first1=M. A. | last2=Zebende | first2=G. F. | title=अमीनो एसिड हाइड्रोफोबिसिटी और सुलभ सतह क्षेत्र| journal=Physical Review E | publisher=American Physical Society (APS) | volume=75 | issue=1 | date=2007-01-19 | issn=1539-3755 | doi=10.1103/physreve.75.011920 | page=011920| pmid=17358197 | bibcode=2007PhRvE..75a1920M }}</ref><ref>{{cite journal | last=Phillips | first=J.C. | title=फ्रैक्टल्स और प्रोटीन में स्व-संगठित क्रांति| journal=Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications | publisher=Elsevier BV | volume=415 | year=2014 | issn=0378-4371 | doi=10.1016/j.physa.2014.08.034 | pages=440–448| bibcode=2014PhyA..415..440P }}</ref> क्योंकि प्रोटीन गोलाकार मुड़ी हुई जंजीरों का निर्माण करते हैं, इस खोज का [[प्रोटीन विकास|प्रोटीन]] के विकास और प्रोटीन की गतिशीलता के लिए महत्वपूर्ण निहितार्थ है, क्योंकि इसका उपयोग प्रोटीन की कार्यक्षमता के लिए विशिष्ट गतिशील लंबाई के पैमाने को स्थापित करने के लिए किया जा सकता है।<ref>3.	Phillips, J. C.  Quantitative molecular scaling theory of protein amino acid sequences, structure, and functionality.  arXiv 1606.1004116 (2016) </ref>
+== आयाम की गणना के तरीके ==
+समान्तयः, हम फ्रैक्टल आयाम की गणना या तो [[बॉक्स की गिनती|बॉक्स-गिनती]] विधि या क्लस्टर-ग्रोइंग विधि का उपयोग करके करते हैं।
-== आयाम की गणना के तरीके ==
+[[Image:boxcounting.jpg|thumb|left|175px|{{center|[[बॉक्स गणना]] विधि।}}]]
+[[Image:clustergrow.jpg|thumb|right|200px|{{center|क्लस्टर बढ़ने की विधि।}}]]
-आम तौर पर हम या तो [[बॉक्स की गिनती]] विधि या क्लस्टर ग्रोइंग विधि का उपयोग करके फ्रैक्टल आयाम की गणना करते हैं।
+=== बॉक्स-काउंटिंग विधि ===
-[[Image:boxcounting.jpg|thumb|left|175px|{{center|[[Box counting]] method.}}]]
+मान लें <math>N_B</math> रैखिक आकार के बक्सों की संख्या हो <math>l_B</math>, दिए गए नेटवर्क को कवर करने के लिए आवश्यक है। फ्रैक्टल आयाम <math>d_B</math> इसके बाद दिया जाता है
-[[Image:clustergrow.jpg|thumb|right|200px|{{center|Cluster growing method.}}]]
-=== बॉक्स गिनती विधि ===
+<math>N_B\sim l_B^{-d_B}</math>
-होने देना  <math>N_B</math> रैखिक आकार के बक्सों की संख्या हो <math>l_B</math>, दिए गए नेटवर्क को कवर करने के लिए आवश्यक है। भग्न आयाम <math>d_B</math> इसके बाद दिया जाता है
+इसका मतलब है कि शीर्षों की औसत संख्या <math>\left\langle M_B\left(l_B\right)\right\rangle</math> आकार के एक बॉक्स के भीतर <math>l_B</math>
-<डिव वर्ग = केंद्र><math>N_B\sim l_B^{-d_B}</math></div>
-इसका मतलब है कि शीर्षों की औसत संख्या <math>\left\langle M_B\left(l_B\right)\right\rangle</math> आकार के एक बॉक्स के भीतर <math>l_B</math>
+<math>\left\langle M_B\left(l_B\right)\right\rangle \sim l_B^{d_B}</math>
-<डिव वर्ग = केंद्र><math>\left\langle M_B\left(l_B\right)\right\rangle \sim l_B^{d_B}</math></div>
-के वितरण को मापने के द्वारा <math>N</math> विभिन्न बॉक्स आकारों के लिए या के वितरण को मापने के द्वारा <math>\left\langle M_B\left(l_B\right)\right\rangle</math> विभिन्न बॉक्स आकारों के लिए, भग्न आयाम <math>d_B</math> वितरण के अनुकूल एक शक्ति कानून द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
+विभिन्न बॉक्स आकारों के लिए <math>N</math> के वितरण को मापकर या विभिन्न बॉक्स आकारों के लिए <math>\left\langle M_B\left(l_B\right)\right\rangle</math>के वितरण को मापकर, फ्रैक्टल आयाम <math>d_B</math> को वितरण के उपयुक्त शक्ति नियम द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
 === क्लस्टर बढ़ने की विधि ===
-एक बीज नोड को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। यदि न्यूनतम दूरी <math>l</math> दिया जाता है, नोड्स का एक समूह जो सबसे अधिक से अलग होता है <math>l</math> बीज नोड से बन सकता है। जब तक क्लस्टर पूरे नेटवर्क को कवर नहीं कर लेते, तब तक कई बीजों को चुनकर प्रक्रिया को दोहराया जाता है। फिर आयाम <math>d_f</math> द्वारा गणना की जा सकती है
+एक बीज नोड को बेतरतीब ढंग से चुना जाता है। यदि न्यूनतम दूरी <math>l</math> दी गई है, तो बीज नोड से अधिकतम <math>l</math> द्वारा अलग किए गए नोड्स का समूह बन सकता है। जब तक क्लस्टर पूरे नेटवर्क को कवर नहीं करता तब तक कई बीजों को चुनकर प्रक्रिया को दोहराया जाता है। फिर आयाम <math>d_f</math> की गणना की जा सकती है
-<डिव वर्ग = केंद्र><math>\left\langle M_C\right\rangle \sim l^{d_f}</math></div>
+<math>\left\langle M_C\right\rangle \sim l^{d_f}</math>
-कहां <math>\left\langle M_C\right\rangle</math> क्लस्टर का औसत द्रव्यमान है, जिसे क्लस्टर में नोड्स की औसत संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है।
+जहाँ <math>\left\langle M_C\right\rangle</math> समूहों का औसत द्रव्यमान है, जिसे क्लस्टर में नोड्स की औसत संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है।
-इन तरीकों को नेटवर्क पर लागू करना मुश्किल है क्योंकि नेटवर्क आमतौर पर किसी अन्य स्थान में एम्बेड नहीं होते हैं। नेटवर्क के भग्न आयाम को मापने के लिए हम पुनर्सामान्यीकरण की अवधारणा को जोड़ते हैं।
+इन तरीकों को नेटवर्क पर लागू करना मुश्किल है क्योंकि नेटवर्क समान्तयः किसी अन्य स्थान पर एम्बेड नहीं होते हैं। नेटवर्क के भग्न आयाम को मापने के लिए हम पुनर्सामान्यीकरण की अवधारणा को जोड़ते हैं।
 == स्केल-फ्री नेटवर्क में फ्रैक्टल स्केलिंग ==
-===बॉक्स-गिनती और पुनर्सामान्यीकरण ===
+===बॉक्स-गणना और नवीनीकरण ===
-नेटवर्क में [[स्व-समानता]] की जांच करने के लिए, हम बॉक्स काउंटिंग | बॉक्स-काउंटिंग विधि और रीनॉर्मलाइजेशन का उपयोग करते हैं। चित्र (3ए) 8 नोड्स से बने नेटवर्क का उपयोग करके इस प्रक्रिया को दिखाता है।
+नेटवर्क में [[स्व-समानता]] की जांच करने के लिए, हम बॉक्स-काउंटिंग विधि और पुनर्सामान्यीकरण का उपयोग करते हैं। चित्र (3a) 8 नोडों से बने नेटवर्क का उपयोग करके इस प्रक्रिया को दिखाता है।
-प्रत्येक आकार एल के लिए<sub>''B''</sub>, बॉक्स बेतरतीब ढंग से चुने जाते हैं (जैसा कि क्लस्टर बढ़ने की विधि में होता है) जब तक कि नेटवर्क को कवर नहीं किया जाता है, एक बॉक्स में नोड्स होते हैं जो l <<l की दूरी से अलग होते हैं<sub>''B''</sub>, यानी बॉक्स में नोड्स की प्रत्येक जोड़ी को अधिकतम एल के न्यूनतम पथ से अलग किया जाना चाहिए<sub>''B''</sub> लिंक। फिर प्रत्येक बॉक्स को एक नोड (पुनः सामान्यीकरण) द्वारा बदल दिया जाता है। असामान्य बक्से के बीच कम से कम एक लिंक होने पर पुनर्सामान्यीकृत नोड्स जुड़े हुए हैं। यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि नेटवर्क एक नोड तक गिर न जाए। इन बक्सों में से प्रत्येक में एक प्रभावी द्रव्यमान (इसमें नोड्स की संख्या) होता है जिसका उपयोग ऊपर दिखाए गए अनुसार नेटवर्क के भग्न आयाम को मापने के लिए किया जा सकता है। अंजीर में। (3 बी), एल के लिए तीन चरणों के माध्यम से डब्ल्यूडब्ल्यूडब्ल्यू नेटवर्क पर पुनर्सामान्यीकरण लागू किया जाता है<sub>''B''</sub>= 3।
+प्रत्येक आकार ''l<sub>B</sub>'' के लिए, बॉक्स बेतरतीब ढंग से चुने जाते हैं (क्लस्टर बढ़ने की विधि के अनुसार) जब तक कि नेटवर्क कवर न हो जाए, एक बॉक्स में ''l'' < ''l<sub>B</sub>'' की दूरी से अलग किए गए सभी नोड होते हैं, यानी बॉक्स में प्रत्येक जोड़ी नोड्स को अलग किया जाना चाहिए अधिकतम ''l<sub>B</sub>'' लिंक के न्यूनतम पथ द्वारा। फिर प्रत्येक बॉक्स को नोड (पुनः सामान्यीकरण) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यदि असामान्य बक्सों के बीच कम से कम एक लिंक है, तो पुनर्सामान्यीकृत नोड जुड़े हुए हैं। यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि नेटवर्क एक नोड पर नहीं गिर जाता। इन बक्सों में से प्रत्येक का प्रभावी द्रव्यमान (इसमें नोड्स की संख्या) होता है जिसका उपयोग नेटवर्क के फ्रैक्टल आयाम को मापने के लिए ऊपर दिखाए गए अनुसार किया जा सकता है। चित्र (3b) में, ''l<sub>B</sub>'' = 3 के लिए तीन चरणों के माध्यम से डब्ल्यूडब्ल्यूडब्ल्यू नेटवर्क पर पुनर्सामान्यीकरण लागू किया जाता है।
-अंजीर। (5) वर्ल्ड वाइड वेब पर बॉक्स आकार के एक समारोह के रूप में किए गए पुनर्संरचना के तहत डिग्री वितरण पी (के) के आक्रमण को दर्शाता है। एक निश्चित बॉक्स आकार l के लिए लागू किए गए कई पुनर्सामान्यीकरण के तहत नेटवर्क भी अपरिवर्तनीय हैं<sub>''B''</sub>. इस व्युत्क्रम से पता चलता है कि नेटवर्क स्वयं समानता हैं | कई लंबाई के पैमाने पर स्व-समान हैं।
+चित्र (5) वर्ल्ड वाइड वेब पर बॉक्स आकार के एक समारोह के रूप में किए गए पुनर्संरचना के तहत डिग्री वितरण ''P''(''k'') के आक्रमण को दर्शाता है। निश्चित बॉक्स आकार ''l<sub>B</sub>'' के लिए लागू किए गए कई रेनॉर्मलाइजेशन के तहत नेटवर्क भी अपरिवर्तनीय हैं। इस व्युत्क्रम से पता चलता है कि नेटवर्क कई लंबाई के पैमाने पर स्व-समान हैं।
-[[File:Skeleton of a network.jpg|thumb|left|300px|{{center|Skeleton of a network.<ref name=goh>K.-I. Goh, G. Salvi, B. Kahng and D. Kim, ''Skeleton and Fractal Scaling in Complex Networks'', Phys. Rev. Lett. 96, 018701 (2006), http://iopscience.iop.org/article/10.1088/1367-2630/9/6/177/pdf</ref>}}]]
+[[File:Skeleton of a network.jpg|thumb|left|300px|{{center|स्केलेटन ऑफ़ ए नेटवर्क.<ref name=goh>K.-I. Goh, G. Salvi, B. Kahng and D. Kim, ''Skeleton and Fractal Scaling in Complex Networks'', Phys. Rev. Lett. 96, 018701 (2006), http://iopscience.iop.org/article/10.1088/1367-2630/9/6/177/pdf</ref>}}]]
-=== कंकाल और फ्रैक्टल स्केलिंग ===
+=== स्केलेटन और फ्रैक्टल स्केलिंग ===
-नेटवर्क के [[भग्न]] गुणों को इसकी अंतर्निहित वृक्ष संरचना में देखा जा सकता है। इस दृष्टि से, नेटवर्क में कंकाल और शॉर्टकट होते हैं। कंकाल एक विशेष प्रकार का फैला हुआ पेड़ है, जो उच्चतम केंद्रीयता वाले किनारों से बनता है, और नेटवर्क में शेष किनारे शॉर्टकट हैं।
-यदि मूल नेटवर्क स्केल-फ्री है, तो इसका कंकाल भी एक पावर-लॉ डिग्री वितरण का अनुसरण करता है, जहां डिग्री मूल नेटवर्क की डिग्री से भिन्न हो सकती है। फ्रैक्टल स्केलिंग के बाद फ्रैक्टल नेटवर्क के लिए, प्रत्येक कंकाल मूल नेटवर्क के समान फ्रैक्टल स्केलिंग दिखाता है। कंकाल को कवर करने के लिए बक्सों की संख्या लगभग उतनी ही है जितनी नेटवर्क को कवर करने के लिए आवश्यक है।<ref name=goh/>
+नेटवर्क के [[भग्न|फ्रैक्टल]] गुण इसकी अंतर्निहित ट्री संरचना में देखे जा सकते हैं। इस दृष्टि से, नेटवर्क स्केलेटन और शॉर्टकट बने होते हैं। स्केलेटन विशेष प्रकार का फैला हुआ ट्री है, जो किनारों के बीच उच्चतम केंद्रीयता वाले किनारों से बनता है, और नेटवर्क में शेष किनारे शॉर्टकट हैं। यदि मूल नेटवर्क स्केल-फ्री है, तो इसका स्केलेटन भी पावर-लॉ डिग्री वितरण का अनुसरण करता है, जहां डिग्री मूल नेटवर्क की डिग्री से भिन्न हो सकती है। फ्रैक्टल स्केलिंग के बाद फ्रैक्टल नेटवर्क के लिए, प्रत्येक स्केलेटन मूल नेटवर्क के समान फ्रैक्टल स्केलिंग दिखाता है। स्केलेटन को ढकने के लिए बक्सों की संख्या लगभग उतनी ही होती है जितनी नेटवर्क को ढकने के लिए जरूरी होती है।<ref name=goh/>
 == रीयल-वर्ल्ड फ्रैक्टल नेटवर्क ==
-[[File:Fractal scaling analysis of WWW network.jpg|thumb|300px|WWW नेटवर्क का फ्रैक्टल स्केलिंग विश्लेषण। रेड-द ओरिजिनल नेटवर्क, ब्लू-द स्केलेटन, और ऑरेंज-एक रैंडम स्पैनिंग ट्री।<ref name="kim">J.S. Kim et al.,''Fractality in complex networks:  critical and supercritical skeletons'', 2006, {{arXiv|cond-mat/0605324}}</ref>]]चूंकि भग्न नेटवर्क और उनके कंकाल संबंध का अनुसरण करते हैं
+[[File:Fractal scaling analysis of WWW network.jpg|thumb|300px|डब्ल्यूडब्ल्यूडब्ल्यू नेटवर्क का फ्रैक्टल स्केलिंग विश्लेषण। रेड-द ओरिजिनल नेटवर्क, ब्लू-द स्केलेटन, और ऑरेंज-एक रैंडम स्पैनिंग ट्री।<ref name="kim">J.S. Kim et al.,''Fractality in complex networks:  critical and supercritical skeletons'', 2006, {{arXiv|cond-mat/0605324}}</ref>]]चूंकि फ्रैक्टल नेटवर्क और उनके कंकाल संबंध का पालन करते हैं
-<डिव वर्ग = केंद्र><math>\left\langle M_B\left(l_B\right)\right\rangle\sim l_B^{d_B}</math>,</div>
-हम जांच कर सकते हैं कि क्या नेटवर्क फ्रैक्टल है और नेटवर्क का फ्रैक्टल आयाम क्या है। उदाहरण के लिए, WWW, मानव मस्तिष्क, मेटाबोलिक नेटवर्क, H. सेपियन्स का प्रोटीन इंटरेक्शन नेटवर्क (PIN), और S. cerevisiaeare का पिन फ्रैक्टल नेटवर्क माना जाता है। इसके अलावा, फ्रैक्टल आयामों को मापा जाता है <math>d_B = 4.1,\mbox{ } 3.7,\mbox{ } 3.4,\mbox{ } 2.0, \mbox{ and } 1.8</math> क्रमशः नेटवर्क के लिए। दूसरी ओर, इंटरनेट, अभिनेता नेटवर्क, और कृत्रिम मॉडल (उदाहरण के लिए, बीए मॉडल) फ्रैक्टल#विशेषताएं नहीं दिखाते हैं।<ref name=kim/> <ref>{{cite journal |author1=F. Klimm |author2=Danielle S. Bassett |author3=Jean M. Carlson |author-link3=Jean M. Carlson|author4=Peter J. Mucha |year= 2014 |title= नेटवर्क मॉडल और मस्तिष्क में संरचनात्मक परिवर्तनशीलता को हल करना|journal= PLOS Computational Biology|volume= 10|issue= 3|pages=e1003491 |doi= 10.1371/journal.pcbi.1003491 |pmid=24675546 |pmc=3967917 |arxiv=1306.2893|bibcode=2014PLSCB..10E3491K}}</ref>
+<math>\left\langle M_B\left(l_B\right)\right\rangle\sim l_B^{d_B}</math>,
+हम जांच कर सकते हैं कि क्या नेटवर्क फ्रैक्टल है और नेटवर्क का फ्रैक्टल आयाम क्या है। उदाहरण के लिए, WWW, मानव मस्तिष्क, मेटाबोलिक नेटवर्क, PIN (पिन) H. सेपियन्स का प्रोटीन इंटरेक्शन नेटवर्क (PIN), और S सेरेविसिया का पिन फ्रैक्टल नेटवर्क माने जाते हैं। इसके अलावा, मापे गए फ्रैक्टल आयाम हैं <math>d_B = 4.1,\mbox{ } 3.7,\mbox{ } 3.4,\mbox{ } 2.0, \mbox{ and } 1.8</math> क्रमशः नेटवर्क के लिए। दूसरी ओर, इंटरनेट, अभिनेता-नेटवर्क, और कृत्रिम मॉडल (उदाहरण के लिए, बीए मॉडल) फ्रैक्टल गुण नहीं दिखाते हैं।<ref name="kim" /> <ref>{{cite journal |author1=F. Klimm |author2=Danielle S. Bassett |author3=Jean M. Carlson |author-link3=Jean M. Carlson|author4=Peter J. Mucha |year= 2014 |title= नेटवर्क मॉडल और मस्तिष्क में संरचनात्मक परिवर्तनशीलता को हल करना|journal= PLOS Computational Biology|volume= 10|issue= 3|pages=e1003491 |doi= 10.1371/journal.pcbi.1003491 |pmid=24675546 |pmc=3967917 |arxiv=1306.2893|bibcode=2014PLSCB..10E3491K}}</ref>
 ==नेटवर्क आयामों के लिए अन्य परिभाषाएं==
-किसी जटिल [[मीट्रिक आयाम (ग्राफ़ सिद्धांत)]] के लिए आयाम की सर्वोत्तम परिभाषा अनुप्रयोग पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, मेट्रिक डायमेंशन (ग्राफ़ सिद्धांत) को ग्राफ़ के रिज़ॉल्विंग सेट के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। दूरी के साथ ऊपर परिभाषित द्रव्यमान की स्केलिंग संपत्ति के आधार पर परिभाषाएँ,<ref name="Shankera">{{cite journal|author=Shanker, O.|year=2007|title=एक जटिल नेटवर्क के आयाम को परिभाषित करना|journal=[[Modern Physics Letters B]]|volume= 21|pages=321–326|doi=10.1142/S0217984907012773 | issue=6 |bibcode=2007MPLB...21..321S}}</ref>
+किसी जटिल नेटवर्क या ग्राफ़ के लिए आयाम की सबसे अच्छी परिभाषा अनुप्रयोग पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, [[मीट्रिक आयाम (ग्राफ़ सिद्धांत)|मीट्रिक आयाम]] को ग्राफ़ के रिज़ॉल्विंग सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है। दूरी के साथ ऊपर परिभाषित "द्रव्यमान" की स्केलिंग संपत्ति के आधार पर परिभाषाएं,<ref name="Shankera">{{cite journal|author=Shanker, O.|year=2007|title=एक जटिल नेटवर्क के आयाम को परिभाषित करना|journal=[[Modern Physics Letters B]]|volume= 21|pages=321–326|doi=10.1142/S0217984907012773 | issue=6 |bibcode=2007MPLB...21..321S}}</ref> या जटिल नेटवर्क जेटा फ़ंक्शन<ref name="Shankerb">{{cite journal|author=Shanker, O.|year=2007|title=जटिल नेटवर्क का ग्राफ़ जीटा प्रकार्य और आयाम|journal=[[Modern Physics Letters B]]|volume= 21|pages=639–644|doi=10.1142/S0217984907013146 | issue=11|bibcode=2007MPLB...21..639S}}</ref> पर आधारित परिभाषाओं का भी अध्ययन किया गया है।
-या जटिल नेटवर्क जेटा फ़ंक्शन के आधार पर<ref name="Shankerb">{{cite journal|author=Shanker, O.|year=2007|title=जटिल नेटवर्क का ग्राफ़ जीटा प्रकार्य और आयाम|journal=[[Modern Physics Letters B]]|volume= 21|pages=639–644|doi=10.1142/S0217984907013146 | issue=11|bibcode=2007MPLB...21..639S}}</ref> अध्ययन भी किया गया है।
-==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==
-*भग्न विश्लेषण
-*शक्ति नियम
-*प्रोटीन गतिकी
-*भग्न आयाम
-*केन्द्रीयता
-*ग्राफ सिद्धांत
-*जटिल नेटवर्क जीटा समारोह
 ==संदर्भ==
 <references/>
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 {{DEFAULTSORT:Fractal Dimension On Networks}}[[श्रेणी:नेटवर्क सिद्धांत]]
+[[Category:Created On 26/12/2022|Fractal Dimension On Networks]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Machine Translated Page|Fractal Dimension On Networks]]
-[[Category:Created On 26/12/2022]]
+[[Category:Pages with broken file links|Fractal Dimension On Networks]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready|Fractal Dimension On Networks]]

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नेटवर्क पर फ्रैक्टल आयाम: Difference between revisions

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जटिल नेटवर्क की स्व-समानता