गैर-विमीयकरण

चर के उपयुक्त प्रतिस्थापन द्वारा भौतिक मात्राओं को सम्मिलित करने वाले समीकरण से भौतिक आयामों का आंशिक या पूर्ण निष्कासन गैर-विमीयकरण है। यह तकनीक उन समस्याओं को सरल और मानकीकृत कर सकती है जहाँ मापी गई इकाइयां सम्मिलित हैं। यह आयामी विश्लेषण से निकटता से संबंधित है। कुछ भौतिक प्रणालियों में, प्रवर्धन शब्द का प्रयोग 'अविआयामीकरण' के साथ एक दूसरे के रूप में किया जाता है, ताकि यह सुझाव दिया जा सके कि कुछ परिमाप कुछ उपयुक्त इकाई के सापेक्ष अपेक्षाकृत अधिक अच्छे से मापी जाती हैं। ये इकाइयां एसआई इकाइयों जैसी इकाइयों के अतिरिक्त प्रणाली के आंतरिक मात्राओं को संदर्भित करती हैं। गैर-विमीयकरण एक समीकरण में व्यापक परिणाम को गहन परिणाम में परिवर्तित करने के समान नहीं है, क्योंकि बाद की प्रक्रिया के परिणामस्वरूप वे चर होते हैं जो अभी भी इकाइयों को ले जाते हैं।

गैर-विमीयकरण एक प्रणाली के विशिष्ट गुणों को भी पुनर्प्राप्त कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी प्रणाली में आंतरिक अनुनाद, लंबाई, या समय स्थिर है, तो गैर-विमीयकरण इन मानों को पुनर्प्राप्त कर सकता है। तकनीक विशेष रूप से उन प्रणालियों के लिए उपयोगी है जिन्हें अवकलन समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है। नियंत्रण प्रणालियों के विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण उपयोग है।

सबसे सरल विशेषता इकाइयों में से एक है घातीय वृद्धि का अनुभव करने वाली प्रणाली का दोहरीकरण समय, या इसके विपरीत घातीय शून्यीकरण का अनुभव करने वाली प्रणाली का अर्ध जीवन काल; विशेषता इकाइयों की एक अधिक प्राकृतिक जोड़ी औसत आयु/औसत जीवनकाल है, जो आधार 2 के अतिरिक्त आधार 'ई' के अनुरूप है।

गैर-विमीयकरण के कई उदाहरण उदाहरण अवकलन समीकरणों को सरल बनाने से उत्पन्न होते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि अवकलन समीकरणों के संदर्भ में भौतिक समस्याओं का एक बड़ा समूह तैयार किया जा सकता है। निम्न पर विचार करें:

• गतिक प्रणाली और अवकल समीकरण विषयों की सूची
• आंशिक अवकलन समीकरण विषयों की सूची
• गणितीय भौतिकी के विभेदक समीकरण

हालांकि इन समस्याओं के लिए गैर-विमीयकरण अच्छी तरह से अनुकूलित है, यह उन तक ही सीमित नहीं है। एक गैर-अवकलन-समीकरण अनुप्रयोग का एक उदाहरण विमीय विश्लेषण है; एक अन्य उदाहरण आँकड़ों में सामान्यीकरण (सांख्यिकी) है।

मापने के उपकरण दैनिक जीवन में होने वाले गैर-विमीयकरण के व्यावहारिक उदाहरण हैं। मापने वाले उपकरणों को कुछ ज्ञात इकाई के सापेक्ष अंशांकित किया जाता है। बाद के माप इस मानक के सापेक्ष किए जाते हैं। फिर, माप के पूर्ण मूल्य को मानक के संबंध में अनुमापन करके पुनर्प्राप्त किया जाता है।

सामान्य कारण

मान लीजिए एक लोलक एक विशेष आवर्तकाल T से दोलन कर रहा है। ऐसी प्रणाली के लिए, T के सापेक्ष दोलन से संबंधित गणना करना लाभप्रद है। कुछ अर्थों में, यह अवधि के संबंध में माप को सामान्य कर रहा है।

एक प्रणाली की एक आंतरिक गुण के सापेक्ष किए गए माप अन्य प्रणालियों पर लागू होंगे जिनके पास समान आंतरिक गुण भी है। यह एक ही प्रणाली के विभिन्न कार्यान्वयनों की एक सामान्य गुण की तुलना करने की भी स्वीकृति देता है। प्रणाली के आंतरिक गुणों के पूर्व ज्ञान पर अधिक निर्भर किए बिना, गैर-विमीयकरण एक प्रणाली की 'विशिष्ट इकाइयों' का उपयोग करने के लिए एक व्यवस्थित तरीके से निर्धारित करता है। (किसी तंत्र की विशिष्ट इकाइयों को प्रकृति की प्राकृतिक इकाइयों के साथ भ्रमित नहीं करना चाहिए)। वास्तव में, गैर-विमीयकरण उन मापदंडों का सुझाव दे सकता है जिनका उपयोग किसी प्रणाली के विश्लेषण के लिए किया जाना चाहिए। हालांकि, एक समीकरण से प्रारंभ करना जरूरी है जो प्रणाली का उपयुक्त वर्णन करता है।

गैर-आयामीकरण चरण

समीकरणों की एक प्रणाली को गैर-विमीय बनाने के लिए, निम्न कार्य करना चाहिए:

1. सभी स्वतंत्र और आश्रित चरों की पहचान करें;
2. उनमें से प्रत्येक को निर्धारित की जाने वाली माप की एक विशिष्ट इकाई के सापेक्ष मापे गए परिणाम से परिवर्तित करे;
3. उच्चतम क्रम बहुपद या व्युत्पन्न शब्द के गुणांक द्वारा विभाजित करें;
4. विवेकपूर्ण रूप से प्रत्येक चर के लिए विशेषता इकाई की परिभाषा चुनें ताकि अधिक से अधिक पदों के गुणांक 1 हो जाएं;
5. समीकरणों की प्रणाली को उनकी नई आयाम रहित मात्राओं के संदर्भ में पुनः लिखें।

अंतिम तीन चरण सामान्य रूप से उस समस्या के लिए विशिष्ट होते हैं जहां गैर-विमीयकरण लागू किया जाता है। हालाँकि, लगभग सभी प्रणालियों को निष्पादित करने के लिए पहले दो चरणों की आवश्यकता होती है।

कन्वेंशन (संकेत)

x और t को प्रतिस्थापित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले चर नामों पर कोई प्रतिबंध नहीं है। हालांकि, उन्हें सामान्य रूप से चयन किया जाता है ताकि समस्या के लिए उपयोग करना सुविधाजनक और आसान हो। उदाहरण के लिए, यदि x द्रव्यमान का प्रतिनिधित्व करता है, तो आयाम रहित द्रव्यमान परिणाम का प्रतिनिधित्व करने के लिए अक्षर m एक उपयुक्त प्रतीक हो सकता है।

इस लेख में, निम्नलिखित नियमो का उपयोग किया गया है:

• t - स्वतंत्र चर का प्रतिनिधित्व करता है - सामान्य रूप से एक समय राशि। इसका $\tau$ अआयामी समकक्ष है।
• x - आश्रित चर का प्रतिनिधित्व करता है - द्रव्यमान, विद्युत् दाब या कोई मापने योग्य परिणाम हो सकता है। इसका $\chi$ अआयामी समकक्ष है।

परिणाम के चर नाम में जोड़ा गया एक अधोलिखित c उस परिणाम को अनुमापन करने के लिए उपयोग की जाने वाली विशेषता इकाई को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि x एक परिणाम है, तो x_cइसे अनुमापन करने के लिए उपयोग की जाने वाली विशेषता इकाई है।

एक उदाहरण के रूप में, स्थिर गुणांक वाले पहले क्रम के अवकलन समीकरण पर विचार करें:

$$a{\frac {dx}{dt}}+bx=Af(t).$$

1. इस समीकरण में स्वतंत्र चर यहाँ t है, और आश्रित चर x है।
2. श्रेणी $x=\chi x_{c},\ t=\tau t_{c}$ इसका परिणाम समीकरण में होता है
   $$a{\frac {x_{c}}{t_{c}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+bx_{c}\chi =Af(\tau t_{c})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ AF(\tau ).$$
3. उच्चतम आदेशित पद का गुणांक पहले व्युत्पन्न पद के सामने है। इससे भाग देने पर मिलता है
   $${\frac {d\chi }{d\tau }}+{\frac {bt_{c}}{a}}\chi ={\frac {At_{c}}{ax_{c}}}F(\tau ).$$
4. सामने गुणांक $\chi$ केवल एक अभिलाक्षणिक चर t_c समाहित करता है, इसलिए इसे पहले इकाई पर स्थापित करना सबसे आसान है:
   $${\frac {bt_{c}}{a}}=1\Rightarrow t_{c}={\frac {a}{b}}.$$
   बाद में,
   $${\frac {At_{c}}{ax_{c}}}={\frac {A}{bx_{c}}}=1\Rightarrow x_{c}={\frac {A}{b}}.$$
5. इस स्थिति में अंतिम आयाम रहित समीकरण इकाइयों के साथ किसी भी पैरामीटर से पूरी तरह स्वतंत्र हो जाता है:
   $${\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).$$

प्रतिस्थापन

सरलता के लिए मान लीजिए कि एक निश्चित प्रणाली को दो चरों की विशेषता है - एक आश्रित चर x और एक स्वतंत्र चर t, जहाँ x, t का एक फलन (गणित) है। दोनों x और t इकाइयों के साथ परिणाम का प्रतिनिधित्व करते हैं। इन दो चरों को अनुमापन करने के लिए, मान लें कि माप x_c की दो आंतरिक इकाइयाँ हैं और t_c क्रमशः x और t जैसी ही इकाइयों के साथ, जैसे कि ये शर्तें हैं:

$$\tau ={\frac {t}{t_{c}}}\Rightarrow t=\tau t_{c}$$

$$\chi ={\frac {x}{x_{c}}}\Rightarrow x=\chi x_{c}.$$

इन समीकरणों का उपयोग x और t को प्रतिस्थापित करने के लिए किया जाता है जब गैर-विमीयकरण होता है। यदि सामान्य प्रणाली का वर्णन करने के लिए अवकलन परिचालक की आवश्यकता होती है, तो उनके अनुमापन किए गए समकक्ष आयाम रहित अवकलन परिचालक बन जाते हैं।

विभेदक संचालक

संबंध पर विचार करें

$$\,\!t=\tau t_{c}\Rightarrow dt=t_{c}d\tau \Rightarrow {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{t_{c}}}.$$

स्वतंत्र चर के संबंध में विमाहीन अवकल परिचालक बन जाता है

$${\frac {d}{dt}}={\frac {d\tau }{dt}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {1}{t_{c}}}{\frac {d}{d\tau }}\Rightarrow {\frac {d^{n}}{dt^{n}}}=\left({\frac {d}{dt}}\right)^{n}=\left({\frac {1}{t_{c}}}{\frac {d}{d\tau }}\right)^{n}={\frac {1}{t_{c}^{n}}}{\frac {d^{n}}{d\tau ^{n}}}.$$

प्रेरक फलन

यदि किसी प्रणाली में एक प्रेरक फलन (अवकल समीकरण) है $\,\!f(t)$ तब

$$\,\!f(t)=f(\tau t_{c})=f(t(\tau ))=F(\tau ).$$

इसलिए, नया प्रेरक फलन $\,\!F$ आयामहीन परिणाम $\,\!\tau$ पर निर्भर होने के लिए बनाया गया है।

निरंतर गुणांक वाले रैखिक अवकलन समीकरण

पहला कोटि प्रणाली

पहले कोटि प्रणाली के लिए अवकलन समीकरण पर विचार करें:

$$a{\frac {dx}{dt}}+bx=Af(t).$$

इस प्रणाली के लिए विशेषता इकाइयों की व्युत्पत्ति देता है

$$t_{c}={\frac {a}{b}},\ x_{c}={\frac {A}{b}}.$$

दूसरा कोटि प्रणाली

एक दूसरे कोटि प्रणाली का रूप है

$$a{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+b{\frac {dx}{dt}}+cx=Af(t).$$

प्रतिस्थापन चरण

चर x और t को उनकी अनुमापन की गई परिणाम से परिवर्तित करे। तो समीकरण बन जाता है

$$a{\frac {x_{c}}{t_{c}^{2}}}{\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+b{\frac {x_{c}}{t_{c}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+cx_{c}\chi =Af(\tau t_{c})=AF(\tau ).$$

यह नवीन समीकरण आयामहीन नहीं है, हालांकि इकाइयों के साथ सभी चर गुणांक में पृथक हैं। उच्चतम आदेशित पद के गुणांक से भाग देने पर समीकरण बन जाता है

$${\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+t_{c}{\frac {b}{a}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+t_{c}^{2}{\frac {c}{a}}\chi ={\frac {At_{c}^{2}}{ax_{c}}}F(\tau ).$$

अब x_c की परिमाप ज्ञात करना आवश्यक है और t_c ताकि गुणांक सामान्यीकृत हो जाएं। चूंकि दो मुक्त पैरामीटर हैं, अधिक से अधिक केवल दो गुणांक समान इकाई के लिए बनाए जा सकते हैं।

चारित्रिक इकाइयों का निर्धारण

चर t पर विचार करें_c:

1. यदि $t_{c}={\frac {a}{b}}$ पहला क्रम अवधि सामान्यीकृत है।
2. यदि $t_{c}={\sqrt {\frac {a}{c}}}$ शून्य क्रम अवधि सामान्यीकृत है।

दोनों प्रतिस्थापन स्वीकृत हैं। हालांकि, शैक्षणिक कारणों के लिए, बाद के प्रतिस्थापन का उपयोग दूसरे कोटि प्रणाली के लिए किया जाता है। इस प्रतिस्थापन को चयन करने से x_c की स्वीकृति मिलती है प्रेरक फलन के गुणांक को सामान्य करके निर्धारित किया जाना:

$$1={\frac {At_{c}^{2}}{ax_{c}}}={\frac {A}{cx_{c}}}\Rightarrow x_{c}={\frac {A}{c}}.$$

अवकल समीकरण बन जाता है

$${\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+{\frac {b}{\sqrt {ac}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).$$

प्रथम कोटि पद का गुणांक इकाई रहित होता है। परिभाषित करना

$$2\zeta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {b}{\sqrt {ac}}}.$$

कारक 2 सम्मिलित है ताकि समाधानों को ζ के संदर्भ में प्राचलीकृत किया जा सके। यांत्रिक या विद्युत प्रणालियों के संदर्भ में, ζ को अवमंदन अनुपात के रूप में जाना जाता है, और नियंत्रण प्रणालियों के विश्लेषण में आवश्यक एक महत्वपूर्ण पैरामीटर है। इसीलिए 2ζ को प्रणाली के रेखा विस्तार के रूप में भी जाना जाता है। अतः परिभाषा का परिणाम सार्वभौमिक दोलक समीकरण है।

$${\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).$$

उच्च कोटि प्रणाली

निरंतर गुणांक वाले सामान्य n-वें क्रम रैखिक अवकलन समीकरण का रूप है:

$$a_{n}{\frac {d^{n}x(t)}{dt^{n}}}+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}x(t)}{dt^{n-1}}}+\ldots +a_{1}{\frac {dx(t)}{dt}}+a_{0}x(t)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}{\frac {d^{k}x(t)}{dt^{k}}}=Af(t).$$

फलन f(t) को प्रेरक फलन (अवकलन समीकरण) के रूप में जाना जाता है।

यदि अवकलन समीकरण में केवल वास्तविक (जटिल नहीं) गुणांक होते हैं, तो ऐसी प्रणाली के गुण केवल पहले और दूसरे कोटि के प्रणाली के समुच्चय के रूप में व्यवहार करते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि इसकी विशिष्ट बहुपद के मूल या तो वास्तविक हैं, या जटिल संयुग्म जोड़े हैं। इसलिए, यह समझना कि कैसे पहले और दूसरे व्यवस्थित प्रणाली पर गैर-विमीयकरण लागू होता है, अधिस्थापन सिद्धांत के माध्यम से उच्च कोटि प्रणाली के गुणों को निर्धारित करने की स्वीकृति देता है।

एक प्रणाली के एक गैर-आयामी रूप में मुक्त मापदंडों की संख्या इसके क्रम के साथ बढ़ जाती है। इस कारण से, उच्च क्रम अवकलन समीकरणों के लिए गैर-विमीयकरण का उपयोग संभव्यता ही कभी किया जाता है। अतः प्रतीकात्मक संगणना के उपस्थिति के साथ इस प्रक्रिया की आवश्यकता भी कम हो गई है।

विशेषता इकाइयों को पुनर्प्राप्त करने के उदाहरण

विभिन्न प्रकार की प्रणालियों को पहले या दूसरे क्रम के प्रणाली के रूप में अनुमानित किया जा सकता है। इनमें यांत्रिक दिष्टकारी, विद्युत, तरलिकी, ऊष्मीय और विमोटन प्रणाली सम्मिलित हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि इनमें से प्रत्येक उदाहरण में सम्मिलित मूलभूत भौतिक परिमाप पहले और दूसरे क्रम के व्युत्पन्न के माध्यम से संबंधित हैं।

यांत्रिक दोलन

एक द्रव्यमान एक स्प्रिंग और एक अवमंदक से जुड़ा हुआ है।

मान लीजिए कि हमारे पास एक स्प्रिंग और एक अवमंदक से जुड़ा द्रव्यमान है, जो विपरीत में एक दीवार से जुड़ा हुआ है, और एक ही रेखा के साथ द्रव्यमान पर कार्य करने वाला बल है।

परिभाषित करना

• $x$ = संतुलन से विस्थापन [m]
• $t$ = समय [s]
• $f$ = बाहरी बल या ''विक्षोभ'' प्रणाली पर लागू [kg⋅m⋅s]⁻²
• $m$ = पिण्डक का द्रव्यमान [किग्रा]
• $B$ = प्रघातरोधी का अवमंदन स्थिरांक [kg⋅s⁻¹]
• $k$ = स्प्रिंग का बल स्थिरांक [kg⋅s⁻²]

मान लीजिए कि लगाया गया बल एक ज्यावक्रीय F = F₀ cos(ωt) है, और पिण्डक की गति का वर्णन करने वाला अवकलन समीकरण है

$$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+B{\frac {dx}{dt}}+kx=F_{0}\cos(\omega t)$$

इस समीकरण को उसी तरह से गैर-विमीय बनाना, जैसा कि द्वितीय कोटि प्रणाली के अंतर्गत वर्णित है, अतः प्रणाली की कई विशेषताओं को उत्पन्न करता है।

आंतरिक इकाई x_c प्रति इकाई बल पर पिण्डक कितनी दूरी से चलता है, उससे समानता है

$$x_{c}={\frac {F_{0}}{k}}.$$

विशिष्ट चर t_c दोलनों की अवधि के समरूप है

$$t_{c}={\sqrt {\frac {m}{k}}}$$

और आयाम रहित चर 2ζ प्रणाली के रेखा-विस्तार से समानता है। ζ ही अवमंदन अनुपात है।

$$2\zeta ={\frac {B}{\sqrt {mk}}}$$

विद्युत दोलन

प्रथम क्रम श्रृंखला प्रतिरोधक संधारित्र परिपथ

बिजली की आपूर्ति से जुड़ी श्रृंखला प्रतिरोधक संधारित्र परिपथ के लिए

$$R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}=V(t)\Rightarrow {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau )$$

प्रतिस्थापन के साथ

$$Q=\chi x_{c},\ t=\tau t_{c},\ x_{c}=CV_{0},\ t_{c}=RC,\ F=V.$$

पहली विशेषता इकाई परिपथ में कुल विद्युत आवेश से समानता है। और दूसरी विशेषता इकाई प्रणाली के लिए स्थिर समय से समानता है।

द्वितीय क्रम श्रृंखला प्रतिरोधक प्रेरक संधारित्र परिपथ

R, C, L घटकों की एक श्रृंखला विन्यास के लिए जहां Q प्रणाली में आवेश है

$$L{\frac {d^{2}Q}{dt^{2}}}+R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}=V_{0}\cos(\omega t)\Rightarrow {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =\cos(\Omega \tau )$$

प्रतिस्थापन के साथ

$$Q=\chi x_{c},\ t=\tau t_{c},\ \ x_{c}=CV_{0},\ t_{c}={\sqrt {LC}},\ 2\zeta =R{\sqrt {\frac {C}{L}}},\ \Omega =t_{c}\omega .$$

पहला चर परिपथ में संग्रहीत अधिकतम आवेश से समानता है। अनुनाद आवृत्ति विशेषता समय के व्युत्क्रम द्वारा दी जाती है। अंतिम अभिव्यक्ति प्रणाली की रेखा-विस्तार है। Ω को सामान्यीकृत प्रेरक फलन आवृत्ति के रूप में माना जा सकता है।

क्वांटम यांत्रिकी

क्वांटम आवर्ती दोलक

एक आयामी समय स्वतंत्र क्वांटम आवर्ती दोलक के लिए श्रोडिंगर समीकरण है

$$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).$$

तरंग क्रिया का मापांक वर्ग |ψ(x)|² संभाव्यता घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है, xजब एकीकृत होता है, एक आयामहीन संभावना देता है। इसलिए, |ψ(x)|² व्युत्क्रम लंबाई की इकाइयाँ हैं। इसे अआयामी बनाने के लिए, इसे एक आयाम रहित चर के फलन के रूप में पुनः लिखा जाना चाहिए। ऐसा करने के लिए, जिसे हम प्रतिस्थापन करते हैं

$${\tilde {x}}\equiv {\frac {x}{x_{\text{c}}}},$$

कहां x_c इस प्रणाली की कुछ विशिष्ट लंबाई है। यह हमें एक आयाम रहित तरंग फलन देता है जिसे ${\tilde {\psi }}$ द्वारा परिभाषित किया गया है

$$\psi (x)=\psi ({\tilde {x}}x_{\text{c}})=\psi (x(x_{\text{c}}))={\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).$$

अवकलन समीकरण तब बन जाता है

$$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{x_{\text{c}}^{2}}}{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x_{\text{c}}^{2}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})=E\,{\tilde {\psi }}({\tilde {x}})\Rightarrow \left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{\text{c}}^{4}}{\hbar ^{2}}}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})={\frac {2mx_{\text{c}}^{2}E}{\hbar ^{2}}}{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).$$

के सामने शब्द बनाने के लिए ${\tilde {x}}^{2}$ आयाम रहित, श्रेणी

$${\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{\text{c}}^{4}}{\hbar ^{2}}}=1\Rightarrow x_{\text{c}}={\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}.$$

पूरी तरह से गैर-आयामी समीकरण है

$$\left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})={\tilde {E}}{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}),$$

जहां हमने परिभाषित किया है

$$E\equiv {\frac {\hbar \omega }{2}}{\tilde {E}}.$$

${\tilde {E}}$ कारक सामने है वास्तव में (संयोग से) आवर्ती दोलक की निम्नतम अवस्था ऊर्जा है। सामान्य रूप से, ऊर्जा शब्द को आयाम रहित नहीं बनाया जाता है क्योंकि हम क्वांटम अवस्थाओं की ऊर्जा निर्धारित करने में अनुरक्त रखते हैं। पहले समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, आवर्ती दोलक के लिए परिचित समीकरण बन जाता है

$${\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})=E{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).$$

सांख्यिकीय समानता

मुख्य लेख: सामान्यीकरण (सांख्यिकी)

आँकड़ों में, समानता प्रक्रिया सामान्य रूप से एक पैमाने कारक (सांख्यिकीय विस्तार का एक उपाय) द्वारा एक अवकलन (एक दूरी) को विभाजित कर रही है, जो एक आयाम रहित संख्या उत्पन्न करती है, जिसे सामान्यीकरण कहा जाता है। प्रायः, यह मानक विचलन या नमूना मानक विचलन द्वारा क्रमशः त्रुटियों या अवशेष को विभाजित कर रहा है, मानक प्राप्‍तांक और छात्रकृत अवशेष प्राप्त कर रहा है।

यह सभी देखें

• बकिंघम π प्रमेय
• आयाम रहित संख्या

• प्राकृतिक इकाइयाँ
• प्रणाली समानता
• तार्किक समीकरण
• प्रतिरोधक प्रेरक संधारित्र परिपथ
• प्रतिरोधक प्रेरक परिपथ
• प्रतिरोधक संधारित्र परिपथ