परिमाणक्रम: Difference between revisions

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परिमाण का क्रम कुछ प्रासंगिक रूप से समझे जाने वाले संदर्भ मूल्य के सापेक्ष मान के लघुगणक का अनुमान है, सामान्यतः 10, लघुगणक के आधार और परिमाण के मूल्यों के प्रतिनिधि के रूप में व्याख्या की गई हैं। सामान्य अर्थों में वितरण होते हैं तथा इस प्रकार के वितरण के नमूने लिए गए मानों के परिमाण-क्रम पर विचार कर अधिक सहजज्ञान युक्त हो सकता है। जब संदर्भ मान 10 होता है, तो परिमाण के क्रम को मान के आधार-10 प्रतिनिधित्व में अंकों की संख्या के रूप में समझा जा सकता है। इसी प्रकार, यदि संदर्भ मान 2 कुछ घात में से एक है, चूंकि कंप्यूटर डेटा को बाइनरी प्रारूप में संग्रहीत करते हैं, तो परिमाण को उस मान को संग्रहीत करने के लिए आवश्यक कंप्यूटर मेमोरी की मात्रा के संदर्भ में समझा जा सकता है।
परिमाण का क्रम कुछ प्रासंगिक रूप से समझे जाने वाले संदर्भ मूल्य के सापेक्ष मान के लघुगणक का अनुमान है, सामान्यतः 10, लघुगणक के आधार और परिमाण के मूल्यों के प्रतिनिधि के रूप में व्याख्या की गई हैं। सामान्य अर्थों में वितरण होते हैं तथा इस प्रकार के वितरण के नमूने लिए गए मानों के परिमाण-क्रम पर विचार कर अधिक सहजज्ञान युक्त हो सकता है। जब संदर्भ मान 10 होता है, तो परिमाण के क्रम को मान के आधार-10 प्रतिनिधित्व में अंकों की संख्या के रूप में समझा जा सकता है। इसी प्रकार, यदि संदर्भ मान 2 कुछ घात में से एक है, चूंकि कंप्यूटर डेटा को बाइनरी प्रारूप में संग्रहीत करते हैं, तो परिमाण को उस मान को संग्रहीत करने के लिए आवश्यक कंप्यूटर मेमोरी की मात्रा के संदर्भ में समझा जा सकता है।


परिमाण के क्रम में अंतर को "[[दशकों|दशक (लॉग पैमाना)]]" (यानी, दस के कारक) में आधार -10 लघुगणकीय पैमाने पर मापा जा सकता है।<ref>{{cite web
परिमाण के क्रम में अंतर को "[[दशकों|दशक (लॉग पैमाना)]]" (यानी, दस के घटक) में आधार -10 लघुगणकीय पैमाने पर मापा जा सकता है।<ref>{{cite web
  |url        = http://public.wsu.edu/~brians/errors/orders.html
  |url        = http://public.wsu.edu/~brians/errors/orders.html
  |title      = Orders of Magnitude
  |title      = Orders of Magnitude
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सामान्यतः किसी संख्या के परिमाण का क्रम उस संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाने वाली 10 की सबसे छोटी घात होती है।<ref>{{cite web|title=Order of Magnitude|url=http://mathworld.wolfram.com/OrderofMagnitude.html|website=Wolfram MathWorld|access-date=3 January 2017|quote=Physicists and engineers use the phrase "order of magnitude" to refer to the smallest power of ten needed to represent a quantity.}}</ref> किसी संख्या <math>N</math> के परिमाण के क्रम की गणना करने के लिए, संख्या को पहले निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है:
सामान्यतः किसी संख्या के परिमाण का क्रम उस संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाने वाली 10 की सबसे छोटी घात होती है।<ref>{{cite web|title=Order of Magnitude|url=http://mathworld.wolfram.com/OrderofMagnitude.html|website=Wolfram MathWorld|access-date=3 January 2017|quote=Physicists and engineers use the phrase "order of magnitude" to refer to the smallest power of ten needed to represent a quantity.}}</ref> किसी संख्या <math>N</math> के परिमाण के क्रम की गणना करने के लिए, संख्या को पहले निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है:
:<math>N =a\times10^b</math>
:<math>N =a\times10^b</math>
जहां <math>\frac{1}{\sqrt{10}}\leq a<\sqrt{10}</math>, या लगभग <math>0.316\lesssim a \lesssim 3.16</math>.फिर, <math>b</math> संख्या के परिमाणक्रम का प्रतिनिधित्व करता है। परिमाण की कोटि किसी भी पूर्णांक की हो सकती है। नीचे दी गई तालिका इस परिभाषा के प्रकाश में कुछ संख्याओं के परिमाण के क्रम को दर्शाती है:
जहां <math>\frac{1}{\sqrt{10}}\leq a<\sqrt{10}</math>, या लगभग <math>0.316\lesssim a \lesssim 3.16</math>.फिर, <math>b</math> संख्या के परिमाणक्रम का प्रतिनिधित्व करता है। परिमाणक्रम किसी भी पूर्णांक की हो सकता है। नीचे दी गई तालिका इस परिभाषा के प्रकाश में कुछ संख्याओं के परिमाण के क्रम को दर्शाती है:
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
|-
|-
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| 1000 || 1 × 10<sup>3</sup>|| 3
| 1000 || 1 × 10<sup>3</sup>|| 3
|}
|}
<math>10^{b-1/2}</math> और <math>10^{b+1/2}</math> का ज्यामितीय मतलब है <math>10^b</math>, जिसका मतलब है कि वास्तव में मूल्य <math>10^b</math> (अर्थात., <math>a=1</math>) <math>a</math> के संभावित मूल्यों की सीमा के भीतर ज्यामितीय आधे रास्ते का प्रतिनिधित्व करता है।
<math>10^{b-1/2}</math> और <math>10^{b+1/2}</math> का ज्यामितीय मतलब है <math>10^b</math>, जिसका मतलब है कि वास्तव में मूल्य <math>10^b</math> (अर्थात., <math>a=1</math>) <math>a</math> के संभावित मूल्यों की सीमा के भीतर ज्यामितीय आधे रास्ते का प्रतिनिधित्व करता है।


कुछ सरल परिभाषा का उपयोग करते हैं जहां <math>0.5<a\leq 5</math>, शायद इसलिए कि अंकगणित का मतलब <math>10^b</math> और <math>10^{b+c}</math> दृष्टिकोण <math>5\times10^{b+c-1}</math> <math>c</math> को बढ़ाने के लिए{{cn|date=March 2022}} इस परिभाषा का <math>b</math> के मूल्यों को थोड़ा कम करने का प्रभाव है:
कुछ सरल परिभाषा का उपयोग करते हैं जहां <math>0.5<a\leq 5</math>, शायद इसलिए कि अंकगणित का मतलब <math>10^b</math> और <math>10^{b+c}</math> दृष्टिकोण <math>5\times10^{b+c-1}</math> <math>c</math> को बढ़ाने के लिए{{cn|date=March 2022}} इस परिभाषा का <math>b</math> के मूल्यों को थोड़ा कम करने का प्रभाव होता है:
{| class="wikitable"
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अभी तक अन्य लोगों को उन मानों के लिए <math>a</math> को प्रतिबंधित करता है जहां <math>1\leq a<10</math>,{{cn|date=March 2022}} [[ वैज्ञानिक संकेत |वैज्ञानिक संकेत]] में किसी संख्या के परिमाण के क्रम को उसके घातांक भाग के ठीक बराबर बनाना होता है।
अभी तक अन्य लोगों को उन मानों के लिए <math>a</math> को प्रतिबंधित करता है जहां <math>1\leq a<10</math>,{{cn|date=March 2022}} [[ वैज्ञानिक संकेत |वैज्ञानिक संकेत]] में किसी संख्या के परिमाण के क्रम को उसके घातांक भाग के ठीक बराबर बनाना होता है।


== उपयोग करता है ==
== उपयोग ==
परिमाणक्रम के आदेश का प्रयोग अनुमानित तुलना करने के लिए किया जाता है। यदि संख्याएँ परिमाण के एक क्रम से भिन्न होती हैं, तो x, y की तुलना में मात्रा से लगभग दस गुना भिन्न होता है। यदि मान परिमाण के दो क्रमों से भिन्न होते हैं, तो वे लगभग 100 के कारक से भिन्न होते हैं। परिमाण के समान क्रम की दो संख्याओं का पैमाना लगभग समान होता है: बड़ा मान छोटे मान के दस गुना से कम होता है। इंटरनेट डेटा की बढ़ती मात्रा ने हाल ही 2022 में समय के साथ नए '''एसआई''' उपसर्गों को जोड़ा है।<ref>{{cite journal
परिमाणक्रम के आदेश का प्रयोग अनुमानित तुलना करने के लिए किया जाता है। यदि संख्याएँ परिमाण के क्रम से भिन्न होती हैं, तो x, y की तुलना में मात्रा से लगभग दस गुना भिन्न होता है। यदि मान परिमाण के दो क्रमों से भिन्न होते हैं, तो वे लगभग 100 के घटक से भिन्न होते हैं। परिमाण के समान क्रम की दो संख्याओं का पैमाना लगभग समान होता है: बड़ा मान छोटे मान के दस गुना से कम होता है। इंटरनेट डेटा की बढ़ती मात्रा ने हाल ही 2022 में समय के साथ नए '''एसआई''' उपसर्गों को जोड़ा गया है।<ref>{{cite journal
  |url        = https://www.nature.com/articles/d41586-022-03747-9
  |url        = https://www.nature.com/articles/d41586-022-03747-9
  |title      = How many yottabytes in a quettabyte? Extreme numbers get new names
  |title      = How many yottabytes in a quettabyte? Extreme numbers get new names
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! परिमाणक्रम
! परिमाणक्रम
|-
|-
|nonillionth
|नॉनिलियनथ
|quecto- (q)
|क्वेक्टो- (क्यू)
| align=right | {{val|0.000000000000000000000000000001}}
| align=right | {{val|0.000000000000000000000000000001}}
| 10<sup>−30</sup>
| 10<sup>−30</sup>
| −30
| −30
|-
|-
|octillionth
|ऑक्टिलियनथ
|ronto- (r)
|रोंटो- (आर)
| align=right | {{val|0.000000000000000000000000001}}
| align=right | {{val|0.000000000000000000000000001}}
| 10<sup>−27</sup>
| 10<sup>−27</sup>
| −27
| −27
|-
|-
| septillionth
| सेप्टिल्यनथ
| yocto- (y)
| योक्टो- (वाई)
| align=right | {{val|0.000000000000000000000001}}
| align=right | {{val|0.000000000000000000000001}}
| 10<sup>−24</sup>
| 10<sup>−24</sup>
| −24
| −24
|-
|-
| sextillionth
| सेक्सटिलियनथ
| zepto- (z)
| ज़ेप्टो- (जेड)
| align=right | {{val|0.000000000000000000001}}
| align=right | {{val|0.000000000000000000001}}
| 10<sup>−21</sup>
| 10<sup>−21</sup>
| −21
| −21
|-
|-
| quintillionth
| क्विंटिलियनथ
| atto- (a)
| अट्टो- (ए)
| align=right | {{val|0.000000000000000001}}
| align=right | {{val|0.000000000000000001}}
| 10<sup>−18</sup>
| 10<sup>−18</sup>
| −18
| −18
|-
|-
| quadrillionth
| क्वाड्रिलियनथ
| femto- (f)
| फेम्टो- (एफ)
| align=right | {{val|0.000000000000001}}
| align=right | {{val|0.000000000000001}}
| 10<sup>−15</sup>
| 10<sup>−15</sup>
| −15
| −15
|-
|-
| trillionth
| ट्रिलियनथ
| pico- (p)
| पिको- (पी)
| align=right | {{val|0.000000000001}}
| align=right | {{val|0.000000000001}}
| 10<sup>−12</sup>
| 10<sup>−12</sup>
| −12
| −12
|-
|-
| billionth
| बिलियनथ
| nano- (n)
| नैनो- (एन)
| align=right | {{val|0.000000001}}
| align=right | {{val|0.000000001}}
| 10<sup>−9</sup>
| 10<sup>−9</sup>
| −9
| −9
|-
|-
| millionth
| मिलियनथ
| [[micro-]] ([[Mu (letter)|µ]])
| [[माइक्रो- (µ)]]
| align=right | {{val|0.000001}}
| align=right | {{val|0.000001}}
| 10<sup>−6</sup>
| 10<sup>−6</sup>
| −6
| −6
|-
|-
| thousandth
| थाउज़न्ड्थ
| milli- (m)
| मिली- (एम)
| align=right | 0.001
| align=right | 0.001
| 10<sup>−3</sup>
| 10<sup>−3</sup>
| −3
| −3
|-
|-
| hundredth
| हन्ड्रड्थ
| centi- (c)
| सेंटी- (सी)
| align=right | 0.01
| align=right | 0.01
| 10<sup>−2</sup>
| 10<sup>−2</sup>
| −2
| −2
|-
|-
| tenth
| टेन्थ
| deci- (d)
| डेसी- (डी)
| align=right | 0.1
| align=right | 0.1
| 10<sup>−1</sup>
| 10<sup>−1</sup>
| −1
| −1
|-
|-
| one
| वन
| &nbsp;
|
| align=right | 1
| align=right | 1
| 10<sup>0</sup>
| 10<sup>0</sup>
| 0
| 0
|-
|-
| ten
| टेन
| [[deca-]] (da)
| डेका- (दा)
| align=right | 10
| align=right | 10
| 10<sup>1</sup>
| 10<sup>1</sup>
| 1
| 1
|-
|-
| hundred
| हन्ड्रड
| hecto- (h)
| हेक्टो- (एच)
| align=right | 100
| align=right | 100
| 10<sup>2</sup>
| 10<sup>2</sup>
| 2
| 2
|-
|-
| thousand
| थाउज़न्ड
| kilo- (k)
| किलो- (के)
| align=right | {{val|1000|fmt=none}}
| align=right | {{val|1000|fmt=none}}
| 10<sup>3</sup>
| 10<sup>3</sup>
| 3
| 3
|-
|-
| million
| मिलियन
| mega- (M)
| मेगा- (एम)
| align=right | {{val|1000000}}
| align=right | {{val|1000000}}
| 10<sup>6</sup>
| 10<sup>6</sup>
| 6
| 6
|-
|-
| billion
| बिलियन
| giga- (G)
| गीगा- (जी)
| align=right | {{val|1000000000}}
| align=right | {{val|1000000000}}
| 10<sup>9</sup>
| 10<sup>9</sup>
| 9
| 9
|-
|-
| trillion
| ट्रिलियन
| tera- (T)
| टेरा- (टी)
| align=right | {{val|1000000000000}}
| align=right | {{val|1000000000000}}
| 10<sup>12</sup>
| 10<sup>12</sup>
| 12
| 12
|-
|-
| quadrillion
| क्वाड्रिलियन
| peta- (P)
| पेटा- (पी)
| align=right | {{val|1000000000000000}}
| align=right | {{val|1000000000000000}}
| 10<sup>15</sup>
| 10<sup>15</sup>
| 15
| 15
|-
|-
| quintillion
| क्विंटिलियन
| exa- (E)
| एक्सा- (ई)
| align=right | {{val|1000000000000000000}}
| align=right | {{val|1000000000000000000}}
| 10<sup>18</sup>
| 10<sup>18</sup>
| 18
| 18
|-
|-
| sextillion
| सेक्सटिलियन
| zetta- (Z)
| जीटा- (जेड)
| align=right | {{val|1000000000000000000000}}
| align=right | {{val|1000000000000000000000}}
| 10<sup>21</sup>
| 10<sup>21</sup>
| 21
| 21
|-
|-
| septillion
| सेप्टिल्यन
| yotta- (Y)
| योटा- (वाई)
| align=right | {{val|1000000000000000000000000}}
| align=right | {{val|1000000000000000000000000}}
| 10<sup>24</sup>
| 10<sup>24</sup>
| 24
| 24
|-
|-
| octillion
| ऑक्टिलियन
| ronna- (R)
| रोन्ना- (आर)
| align=right | {{val|1000000000000000000000000000}}
| align=right | {{val|1000000000000000000000000000}}
| 10<sup>27</sup>
| 10<sup>27</sup>
| 27
| 27
|-
|-
| nonillion
| नॉनिलियन
| quetta- (Q)
| क्वेटा- (क्यू)
| align=right | {{val|1000000000000000000000000000000}}
| align=right | {{val|1000000000000000000000000000000}}
| 10<sup>30</sup>
| 10<sup>30</sup>
Line 239: Line 239:
|}
|}
=== परिमाण के क्रम की गणना ===
=== परिमाण के क्रम की गणना ===
किसी संख्या के परिमाण के क्रम को अंतःतया कहते हुए, संख्या में निहित 10 शक्तियों की संख्या है। अधिक सटीक रूप से, किसी संख्या के परिमाण के क्रम को सामान्य लघुगणक के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, आमतौर पर लघुगणक के पूर्णांक भाग के रूप में, जो ट्रंकेशन द्वारा प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, संख्या 4000000 में 6.602 का लघुगणक (आधार 10) है;इसके परिमाण के क्रम 6 है। काट-छाँट करते समय, परिमाण के इस क्रम की संख्या 10<sup>6</sup> और 10<sup>7</sup> के बीच होती है। इसी तरह के उदाहरण में, "उसके पास सात-आंकड़ा आय" वाक्यांश के साथ, परिमाण का क्रम संख्याओं की संख्या घटाकर एक है, इसलिए यह कैलकुलेटर के बिना 6 तक आसानी से निर्धारित किया जाता है। परिमाण का क्रम लघुगणकीय पैमाने पर अनुमानित स्थिति है।
किसी संख्या के परिमाण के क्रम को अंतःतया कहते हुए, संख्या में निहित 10 घतकों की संख्या है। अधिक सटीक रूप से, किसी संख्या के परिमाण के क्रम को सामान्य लघुगणक के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, सामान्यतः लघुगणक के पूर्णांक भाग के रूप में, जो ट्रंकेशन द्वारा प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, संख्या 4000000 में 6.602 का लघुगणक (आधार 10) है;इसके परिमाण के क्रम 6 है। काट-छाँट करते समय, परिमाण के इस क्रम की संख्या 10<sup>6</sup> और 10<sup>7</sup> के बीच होती है। इसी तरह के उदाहरण में, "उसके पास सात-आंकड़ा आय" वाक्यांश के साथ, परिमाण का क्रम संख्याओं की संख्या घटाकर एक है, इसलिए यह कैलकुलेटर के बिना 6 तक आसानी से निर्धारित किया जाता है। परिमाण का क्रम लघुगणकीय पैमाने पर अनुमानित स्थिति होती है।


===परिमाण का क्रम===
===परिमाण का क्रम===
किसी चर का परिमाण-कोटि-अनुमान, जिसका सटीक मूल्य अज्ञात होता है, वह दस की निकटतम शक्ति के आधार पर किया गया अनुमान है। उदाहरण के लिए, लगभग 3 अरब और 30 अरब (जैसे कि पृथ्वी की [[मानव]] आबादी) के बीच एक चर के लिए परिमाण का क्रम अनुमान 10 अरब है। किसी संख्या को उसके परिमाण के निकटतम अनुक्रम में राउंड करने के लिए, सके लघुगणक को निकटतम पूर्णांक में घेरता है। इस प्रकार 4000000, जिसका लघुगणक (आधार 10 में) 6.602 है, इसकी परिमाण के निकटतम क्रम के रूप में 7 है, क्योंकि "निकटतम" का तात्पर्य ट्रंकेशन के बजाय गोलाई से है। वैज्ञानिक संकेतन में लिखी गई संख्या के लिए, इस लघुगणकिक राउंडिंग स्केल को दस की अगली शक्ति तक पूर्णांकित करने की आवश्यकता होती है, जब गुणक दस के वर्गमूल (लगभग 3.162) से अधिक होता है। उदाहरण के लिए, 1.7×10<sup>8</sup> के परिमाण की निकटतम कोटि 8 है, जबकि 3.7×10<sup>8</sup> के लिए परिमाण की निकटतम कोटि 9 है। परिमाण के क्रम अनुमान को कभी-कभी शून्य क्रम सन्निकटन भी कहा जाता है।
किसी चर का परिमाण-कोटि-अनुमान, जिसका सटीक मूल्य अज्ञात होता है, वह दस की निकटतम घात के आधार पर किया गया अनुमान है। उदाहरण के लिए, लगभग 3 अरब और 30 अरब (जैसे कि पृथ्वी की [[मानव]] आबादी) के बीच एक चर के लिए परिमाण का क्रम अनुमान 10 अरब है। किसी संख्या को उसके परिमाण के निकटतम अनुक्रम में राउंड करने के लिए, लघुगणक को निकटतम पूर्णांक में घेरता है। इस प्रकार 4000000, जिसका लघुगणक (आधार 10 में) 6.602 है, इसकी परिमाण के निकटतम क्रम के रूप में 7 है, क्योंकि "निकटतम" का तात्पर्य ट्रंकेशन के बजाय गोलाई से है। वैज्ञानिक संकेतन में लिखी गई संख्या के लिए, इस लघुगणकिक राउंडिंग स्केल को दस की अगली घात तक पूर्णांकित करने की आवश्यकता होती है, जब गुणक दस के वर्गमूल (लगभग 3.162) से अधिक होता है। उदाहरण के लिए, 1.7×10<sup>8</sup> के परिमाण की निकटतम कोटि 8 है, जबकि 3.7×10<sup>8</sup> के लिए परिमाण की निकटतम कोटि 9 है। परिमाण के क्रम अनुमान को कभी-कभी शून्य क्रम सन्निकटन भी कहा जाता है।


=== परिमाण अंतर का क्रम ===
=== परिमाण अंतर का क्रम ===
Line 250: Line 250:
{{See also|लघुगणकीय मापक्रम}}
{{See also|लघुगणकीय मापक्रम}}


विश्व की विभिन्न [[दशमलव]] संख्या पद्धति संख्या के आकार की बेहतर परिकल्पना करने के लिए बड़े आधार का प्रयोग करती है और इसी बड़े आधार की शक्तियों के नाम उत्पन्न करती है। तालिका दर्शाती है कि आधार 10 और आधार 1000000 के लिए परिमाण का क्रम किस संख्या पर लक्षित है। यह देखा जा सकता है कि परिमाण के क्रम को इस उदाहरण में संख्या नाम में शामिल किया गया है, क्योंकि द्वि- का अर्थ 2 और त्रि- का अर्थ 3 है (ये केवल लंबे पैमाने में समझ में आता है), और प्रत्यय-बिलियन बताता है कि आधार 1000000 है। लेकिन संख्या नाम बिलियन, ट्रिलियन खुद (यहां पहले अध्याय की तुलना में अन्य अर्थों के साथ) परिमाण के आदेश के नाम नहीं हैं, वे "परिमाण" के नाम हैं, अर्थात संख्या 1000000000000 आदि है।
विश्व की विभिन्न [[दशमलव]] संख्या पद्धति संख्या के आकार की बेहतर परिकल्पना करने के लिए बड़े आधार का प्रयोग करती है और इसी बड़े आधार की घातयों के नाम उत्पन्न करती है। तालिका दर्शाती है कि आधार 10 और आधार 1000000 के लिए परिमाण का क्रम किस संख्या पर लक्षित है। यह देखा जा सकता है कि परिमाण के क्रम को इस उदाहरण में संख्या नाम में सम्मलित किया गया है, क्योंकि द्वि- का अर्थ 2 और त्रि- का अर्थ 3 है (ये केवल लंबे पैमाने में समझ में आता है), और प्रत्यय-बिलियन बताता है कि आधार 1000000 है। लेकिन संख्या नाम बिलियन, ट्रिलियन खुद (यहां पहले अध्याय की तुलना में अन्य अर्थों के साथ) परिमाण के आदेश के नाम नहीं हैं, वे "परिमाण" के नाम हैं, अर्थात संख्या 1000000000000 आदि है।


{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
! परिमाणक्रम !! Is [[Common logarithm|log<sub>10</sub>]] of !! Is log<sub>{{val|1000000}}</sub> of !! छोटा पैमाना !! लंबा पैमाना
! परिमाणक्रम !! [[लॉग10|लॉग<sub>10</sub>]] का है !! लॉग1000000 का है !! छोटा पैमाना !! लंबा पैमाना
|-
|-
| 1 || align=right |  {{val|10}}          || align=right |            {{val|1000000}} || align=right |    मिलियन || align="right" |  मिलियन
| 1 || align=right |  {{val|10}}          || align=right |            {{val|1000000}} || align=right |    मिलियन || align="right" |  मिलियन
Line 276: Line 276:
:0-<sup>0</sup>10, <sup>0</sup>10–<sup>1</sup>10, <sup>1</sup>10–<sup>2</sup>10, <sup>2</sup>10–<sup>3</sup>10, <sup>3</sup>10–<sup>4</sup>10, ...
:0-<sup>0</sup>10, <sup>0</sup>10–<sup>1</sup>10, <sup>1</sup>10–<sup>2</sup>10, <sup>2</sup>10–<sup>3</sup>10, <sup>3</sup>10–<sup>4</sup>10, ...


मध्य बिंदु जो यह निर्धारित करते हैं कि कौन सी गोल संख्या पहले मामले में निकट है:
मध्य बिंदु जो यह निर्धारित करते हैं कि कौन सी गोल संख्या पहले की स्थिति में निकट है:
:1.076, 2.071, 1453, {{val|4.20|e=31}}, {{val|1.69|e=316}},...
:1.076, 2.071, 1453, {{val|4.20|e=31}}, {{val|1.69|e=316}},...
और, दूसरे मामले में प्रक्षेप विधि के आधार पर
और, दूसरी स्थिति में प्रक्षेप विधि के आधार पर
: -0.301, 0.5, 3.162, {{val|1453|fmt=none}}, {{val|1|e=1453|fmt=none}}, <math>(10 \uparrow)^1 10^{1453}</math>, <math>(10 \uparrow)^2 10^{1453}</math>,... (अत्यंत बड़ी संख्या की संकेतन देखें)
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अत्यधिक छोटी संख्याओं के लिए (शून्य के करीब के अर्थ में) कोई भी विधि प्रत्यक्ष रूप से उपयुक्त नहीं है, परंतु व्युत्क्रम के परिमाण के सामान्यीकृत क्रम पर विचार किया जा सकता है।
अत्यधिक छोटी संख्याओं के लिए (शून्य के करीब के अर्थ में) कोई भी विधि प्रत्यक्ष रूप से उपयुक्त नहीं है, परंतु व्युत्क्रम के परिमाण के सामान्यीकृत क्रम पर विचार किया जा सकता है।


लघुगणकीय मापक्रम के समान ही लघुगणक मापक्रम दोहरा (यहाँ दिया गया उदाहरण) तथा अतिलघुगणकीय मापनी कर सकता है। सब से ऊपर के अंतराल की लंबाई उन पर समान होती है और "मध्य बिन्दु" वास्तव में बीच में होती है। अधिक आम तौर पर, दो बिंदुओं के बीच का एक बिंदु सामान्यीकृत f-माध्य से मिलता जुलता है जिसमें f(x) संबंधित फ़ंक्शन लॉग लॉग x या स्लॉग x होता है। लॉग लॉग एक्स के मामले में, दो संख्याओं का यह मतलब (उदाहरण के लिए 2 और 16, 4 देता है) लघुगणक के आधार पर निर्भर नहीं होता है, जैसे लॉग एक्स के मामले में (ज्यामितीय मतलब, 2 और 8 जो है 4 देते हैं), लेकिन लॉग लॉग लॉग एक्स के मामले में विपरीत (4 और 65536 जो है 16 देता है यदि आधार 2 है, लेकिन अन्यथा नहीं) होता है।
लघुगणकीय मापक्रम के समान ही लघुगणक मापक्रम दोहरा (यहाँ दिया गया उदाहरण) तथा अतिलघुगणकीय मापनी कर सकता है। सब से ऊपर के अंतराल की लंबाई उन पर समान होती है और "मध्य बिन्दु" वास्तव में बीच में होती है। अधिक सामान्यतः, दो बिंदुओं के बीच का एक बिंदु सामान्यीकृत f-माध्य से मिलता जुलता है जिसमें f(x) संबंधित फ़ंक्शन लॉग लॉग x या स्लॉग x होता है। लॉग लॉग एक्स की स्थिति में, दो संख्याओं का यह मतलब (उदाहरण के लिए 2 और 16, 4 देता है) लघुगणक के आधार पर निर्भर नहीं होता है, जैसे लॉग एक्स की स्थिति में (ज्यामितीय मतलब, 2 और 8 जो है 4 देते हैं), लेकिन लॉग लॉग लॉग एक्स की स्थिति में विपरीत (4 और 65536 जो है 16 देता है यदि आधार 2 है, लेकिन अन्यथा नहीं) होता है।


== यह भी देखें ==
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* सीजेके संगतता में यूनिट प्रतीकों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली शामिल है
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* मूल्यांकन (बीजगणित), परिमाण के क्रम का एक बीजगणितीय सामान्यीकरण
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* स्केल (विश्लेषणात्मक उपकरण)
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Latest revision as of 11:53, 24 January 2023

For other uses, see परिमाणक्रम (disambiguation).

परिमाण का क्रम कुछ प्रासंगिक रूप से समझे जाने वाले संदर्भ मूल्य के सापेक्ष मान के लघुगणक का अनुमान है, सामान्यतः 10, लघुगणक के आधार और परिमाण के मूल्यों के प्रतिनिधि के रूप में व्याख्या की गई हैं। सामान्य अर्थों में वितरण होते हैं तथा इस प्रकार के वितरण के नमूने लिए गए मानों के परिमाण-क्रम पर विचार कर अधिक सहजज्ञान युक्त हो सकता है। जब संदर्भ मान 10 होता है, तो परिमाण के क्रम को मान के आधार-10 प्रतिनिधित्व में अंकों की संख्या के रूप में समझा जा सकता है। इसी प्रकार, यदि संदर्भ मान 2 कुछ घात में से एक है, चूंकि कंप्यूटर डेटा को बाइनरी प्रारूप में संग्रहीत करते हैं, तो परिमाण को उस मान को संग्रहीत करने के लिए आवश्यक कंप्यूटर मेमोरी की मात्रा के संदर्भ में समझा जा सकता है।

परिमाण के क्रम में अंतर को "दशक (लॉग पैमाना)" (यानी, दस के घटक) में आधार -10 लघुगणकीय पैमाने पर मापा जा सकता है।[1] विभिन्न परिमाणों की संख्याओं के उदाहरण परिमाण (संख्या) के आदेशों पर पाये जा सकते हैं।

परिभाषा

सामान्यतः किसी संख्या के परिमाण का क्रम उस संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाने वाली 10 की सबसे छोटी घात होती है।[2] किसी संख्या के परिमाण के क्रम की गणना करने के लिए, संख्या को पहले निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है:

जहां , या लगभग .फिर, संख्या के परिमाणक्रम का प्रतिनिधित्व करता है। परिमाणक्रम किसी भी पूर्णांक की हो सकता है। नीचे दी गई तालिका इस परिभाषा के प्रकाश में कुछ संख्याओं के परिमाण के क्रम को दर्शाती है:

संख्या अभिव्यक्ति में परिमाणक्रम
0.2 2 × 10−1 −1
1 1 × 100 0
5 0.5 × 101 1
6 0.6 × 101 1
31 3.1 × 101 1
32 0.32 × 102 2
999 0.999 × 103 3
1000 1 × 103 3

और का ज्यामितीय मतलब है , जिसका मतलब है कि वास्तव में मूल्य (अर्थात., ) के संभावित मूल्यों की सीमा के भीतर ज्यामितीय आधे रास्ते का प्रतिनिधित्व करता है।

कुछ सरल परिभाषा का उपयोग करते हैं जहां , शायद इसलिए कि अंकगणित का मतलब और दृष्टिकोण को बढ़ाने के लिए[citation needed] इस परिभाषा का के मूल्यों को थोड़ा कम करने का प्रभाव होता है:

संख्या अभिव्यक्ति में परिमाणक्रम
0.2 2 × 10−1 −1
1 1 × 100 0
5 5 × 100 0
6 0.6 × 101 1
31 3.1 × 101 1
32 3.2 × 101 1
999 0.999 × 103 3
1000 1 × 103 3

अभी तक अन्य लोगों को उन मानों के लिए को प्रतिबंधित करता है जहां ,[citation needed] वैज्ञानिक संकेत में किसी संख्या के परिमाण के क्रम को उसके घातांक भाग के ठीक बराबर बनाना होता है।

उपयोग

परिमाणक्रम के आदेश का प्रयोग अनुमानित तुलना करने के लिए किया जाता है। यदि संख्याएँ परिमाण के क्रम से भिन्न होती हैं, तो x, y की तुलना में मात्रा से लगभग दस गुना भिन्न होता है। यदि मान परिमाण के दो क्रमों से भिन्न होते हैं, तो वे लगभग 100 के घटक से भिन्न होते हैं। परिमाण के समान क्रम की दो संख्याओं का पैमाना लगभग समान होता है: बड़ा मान छोटे मान के दस गुना से कम होता है। इंटरनेट डेटा की बढ़ती मात्रा ने हाल ही 2022 में समय के साथ नए एसआई उपसर्गों को जोड़ा गया है।[3]

शब्दों में उपसर्ग (प्रतीक) दशमलव दस की घात परिमाणक्रम
नॉनिलियनथ क्वेक्टो- (क्यू) 0.000000000000000000000000000001 10−30 −30
ऑक्टिलियनथ रोंटो- (आर) 0.000000000000000000000000001 10−27 −27
सेप्टिल्यनथ योक्टो- (वाई) 0.000000000000000000000001 10−24 −24
सेक्सटिलियनथ ज़ेप्टो- (जेड) 0.000000000000000000001 10−21 −21
क्विंटिलियनथ अट्टो- (ए) 0.000000000000000001 10−18 −18
क्वाड्रिलियनथ फेम्टो- (एफ) 0.000000000000001 10−15 −15
ट्रिलियनथ पिको- (पी) 0.000000000001 10−12 −12
बिलियनथ नैनो- (एन) 0.000000001 10−9 −9
मिलियनथ माइक्रो- (µ) 0.000001 10−6 −6
थाउज़न्ड्थ मिली- (एम) 0.001 10−3 −3
हन्ड्रड्थ सेंटी- (सी) 0.01 10−2 −2
टेन्थ डेसी- (डी) 0.1 10−1 −1
वन 1 100 0
टेन डेका- (दा) 10 101 1
हन्ड्रड हेक्टो- (एच) 100 102 2
थाउज़न्ड किलो- (के) 1000 103 3
मिलियन मेगा- (एम) 1000000 106 6
बिलियन गीगा- (जी) 1000000000 109 9
ट्रिलियन टेरा- (टी) 1000000000000 1012 12
क्वाड्रिलियन पेटा- (पी) 1000000000000000 1015 15
क्विंटिलियन एक्सा- (ई) 1000000000000000000 1018 18
सेक्सटिलियन जीटा- (जेड) 1000000000000000000000 1021 21
सेप्टिल्यन योटा- (वाई) 1000000000000000000000000 1024 24
ऑक्टिलियन रोन्ना- (आर) 1000000000000000000000000000 1027 27
नॉनिलियन क्वेटा- (क्यू) 1000000000000000000000000000000 1030 30
शब्दों में उपसर्ग (प्रतीक) दशमलव दस की घात परिमाणक्रम

परिमाण के क्रम की गणना

किसी संख्या के परिमाण के क्रम को अंतःतया कहते हुए, संख्या में निहित 10 घतकों की संख्या है। अधिक सटीक रूप से, किसी संख्या के परिमाण के क्रम को सामान्य लघुगणक के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, सामान्यतः लघुगणक के पूर्णांक भाग के रूप में, जो ट्रंकेशन द्वारा प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, संख्या 4000000 में 6.602 का लघुगणक (आधार 10) है;इसके परिमाण के क्रम 6 है। काट-छाँट करते समय, परिमाण के इस क्रम की संख्या 106 और 107 के बीच होती है। इसी तरह के उदाहरण में, "उसके पास सात-आंकड़ा आय" वाक्यांश के साथ, परिमाण का क्रम संख्याओं की संख्या घटाकर एक है, इसलिए यह कैलकुलेटर के बिना 6 तक आसानी से निर्धारित किया जाता है। परिमाण का क्रम लघुगणकीय पैमाने पर अनुमानित स्थिति होती है।

परिमाण का क्रम

किसी चर का परिमाण-कोटि-अनुमान, जिसका सटीक मूल्य अज्ञात होता है, वह दस की निकटतम घात के आधार पर किया गया अनुमान है। उदाहरण के लिए, लगभग 3 अरब और 30 अरब (जैसे कि पृथ्वी की मानव आबादी) के बीच एक चर के लिए परिमाण का क्रम अनुमान 10 अरब है। किसी संख्या को उसके परिमाण के निकटतम अनुक्रम में राउंड करने के लिए, लघुगणक को निकटतम पूर्णांक में घेरता है। इस प्रकार 4000000, जिसका लघुगणक (आधार 10 में) 6.602 है, इसकी परिमाण के निकटतम क्रम के रूप में 7 है, क्योंकि "निकटतम" का तात्पर्य ट्रंकेशन के बजाय गोलाई से है। वैज्ञानिक संकेतन में लिखी गई संख्या के लिए, इस लघुगणकिक राउंडिंग स्केल को दस की अगली घात तक पूर्णांकित करने की आवश्यकता होती है, जब गुणक दस के वर्गमूल (लगभग 3.162) से अधिक होता है। उदाहरण के लिए, 1.7×108 के परिमाण की निकटतम कोटि 8 है, जबकि 3.7×108 के लिए परिमाण की निकटतम कोटि 9 है। परिमाण के क्रम अनुमान को कभी-कभी शून्य क्रम सन्निकटन भी कहा जाता है।

परिमाण अंतर का क्रम

दो मानों के बीच परिमाण-क्रम का अंतर 10 का गुणक है। उदाहरण के लिए, शनि ग्रह का द्रव्यमान पृथ्वी के द्रव्यमान का 95 गुना है, इसलिए शनि पृथ्वी की तुलना में अधिक विशाल परिमाण के दो आदेश हैं। लघुगणकीय पैमाने पर मापे जाने पर क्रम-परिमाण के अंतर को दशक कहा जाता है।

परिमाण के गैर-दशमलव क्रम

See also: लघुगणकीय मापक्रम

विश्व की विभिन्न दशमलव संख्या पद्धति संख्या के आकार की बेहतर परिकल्पना करने के लिए बड़े आधार का प्रयोग करती है और इसी बड़े आधार की घातयों के नाम उत्पन्न करती है। तालिका दर्शाती है कि आधार 10 और आधार 1000000 के लिए परिमाण का क्रम किस संख्या पर लक्षित है। यह देखा जा सकता है कि परिमाण के क्रम को इस उदाहरण में संख्या नाम में सम्मलित किया गया है, क्योंकि द्वि- का अर्थ 2 और त्रि- का अर्थ 3 है (ये केवल लंबे पैमाने में समझ में आता है), और प्रत्यय-बिलियन बताता है कि आधार 1000000 है। लेकिन संख्या नाम बिलियन, ट्रिलियन खुद (यहां पहले अध्याय की तुलना में अन्य अर्थों के साथ) परिमाण के आदेश के नाम नहीं हैं, वे "परिमाण" के नाम हैं, अर्थात संख्या 1000000000000 आदि है।

परिमाणक्रम लॉग10 का है लॉग1000000 का है छोटा पैमाना लंबा पैमाना
1 10 1000000 मिलियन मिलियन
2 100 1000000000000 ट्रिलियन बिलियन
3 1000 1000000000000000000 क्विंटिलियन ट्रिलियन

दाईं ओर तालिका में एसआई इकाइयों का उपयोग एसआई उपसर्गों के साथ किया जाता है, जो मुख्य रूप से आधार 1000 परिमाणों को ध्यान में रखते हुए तैयार किए गए थे। आधार 1024 के साथ आईईसी मानक उपसर्गों का आविष्कार इलेक्ट्रॉनिक प्रौद्योगिकी में उपयोग के लिए किया गया था।

तारों की चमक के लिए प्राचीन स्पष्ट परिमाण आधार का उपयोग करता है और उलटा होता है। आधुनिक संस्करण हालांकि गैर-पूर्णांक मानों के साथ लघुगणकीय पैमाने में बदल जाता है।

बहुत बड़ी संख्या

अत्यधिक बड़ी संख्या के लिए, परिमाण का सामान्यीकृत क्रम उनके दोहरे लघुगणक या अति-लघुगणक पर आधारित हो सकता है। इन्हें नीचे से पूर्णांक में पूर्णांकित करने से बहुत "गोल संख्याओं" के मध्य वर्ग प्राप्त होता है, उन्हें निकटतम पूर्णांक में पूर्णन तथा प्रतिलोम फलन के प्रयोग से "निकटतम" गोल संख्या प्राप्त होती है।

दोहरे लघुगणक से श्रेणियां प्राप्त होती हैं:

..., 1.0023–1.023, 1.023–1.26, 1.26–10, 10–1010, 1010–10100, 10100–101000,...

(पहले दो का उल्लेख किया गया है, और बाईं ओर का विस्तार, बहुत उपयोगी नहीं हो सकता है, वे केवल यह प्रदर्शित करते हैं कि अनुक्रम गणितीय रूप से बाईं ओर कैसे जारी रहता है)।

अति-लघुगणक श्रेणियों का उत्पादन करता है:

0–1, 1–10, 10–1010, 1010–101010, 101010–10101010, ... अथवा
0-010, 010–110, 110–210, 210–310, 310–410, ...

मध्य बिंदु जो यह निर्धारित करते हैं कि कौन सी गोल संख्या पहले की स्थिति में निकट है:

1.076, 2.071, 1453, 4.20×1031, 1.69×10316,...

और, दूसरी स्थिति में प्रक्षेप विधि के आधार पर

-0.301, 0.5, 3.162, 1453, 1×101453, , ,... (अत्यंत बड़ी संख्या की संकेतन देखें)

अत्यधिक छोटी संख्याओं के लिए (शून्य के करीब के अर्थ में) कोई भी विधि प्रत्यक्ष रूप से उपयुक्त नहीं है, परंतु व्युत्क्रम के परिमाण के सामान्यीकृत क्रम पर विचार किया जा सकता है।

लघुगणकीय मापक्रम के समान ही लघुगणक मापक्रम दोहरा (यहाँ दिया गया उदाहरण) तथा अतिलघुगणकीय मापनी कर सकता है। सब से ऊपर के अंतराल की लंबाई उन पर समान होती है और "मध्य बिन्दु" वास्तव में बीच में होती है। अधिक सामान्यतः, दो बिंदुओं के बीच का एक बिंदु सामान्यीकृत f-माध्य से मिलता जुलता है जिसमें f(x) संबंधित फ़ंक्शन लॉग लॉग x या स्लॉग x होता है। लॉग लॉग एक्स की स्थिति में, दो संख्याओं का यह मतलब (उदाहरण के लिए 2 और 16, 4 देता है) लघुगणक के आधार पर निर्भर नहीं होता है, जैसे लॉग एक्स की स्थिति में (ज्यामितीय मतलब, 2 और 8 जो है 4 देते हैं), लेकिन लॉग लॉग लॉग एक्स की स्थिति में विपरीत (4 और 65536 जो है 16 देता है यदि आधार 2 है, लेकिन अन्यथा नहीं) होता है।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Brians, Paus. "Orders of Magnitude". Retrieved 9 May 2013.
  2. ↑ "Order of Magnitude". Wolfram MathWorld. Retrieved 3 January 2017. Physicists and engineers use the phrase "order of magnitude" to refer to the smallest power of ten needed to represent a quantity.
  3. ↑ Gibney, Elizabeth (2022). "How many yottabytes in a quettabyte? Extreme numbers get new names". Nature. doi:10.1038/d41586-022-03747-9. PMID 36400954. S2CID 253671538. Retrieved 20 November 2022.


आगे की पढाई


बाहरी कड़ियाँ

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