प्रोजेक्टिव मॉड्यूल: Difference between revisions

Latest revision as of 13:15, 27 October 2023

गणित में, विशेष रूप से बीजगणित में, प्रक्षेपी मापांक का वर्ग (समूह सिद्धांत) मुक्त मापांक के कुछ मुख्य गुणों का अध्यन करते हुए, वलय (गणित) के साथ मुक्त मापांक (अर्थात, मापांक के आधार पर) के वर्ग को बढ़ाता है। इन मापांक के विभिन्न समकक्ष लक्षण नीचे प्रदर्शित हैं।

प्रत्येक मुक्त मापांक प्रक्षेपी मापांक है, लेकिन संवाद के आधार पर कुछ वलयों को धारण करने में विफल है, जैसे कि डेडेकिंड वलय जो प्रमुख आदर्श डोमेन नहीं हैं। चूंकि, प्रत्येक प्रक्षेपी मापांक मुक्त मापांक है यदि वलय प्रमुख आदर्श डोमेन है जैसे कि पूर्णांक, या बहुपद वलय (यह क्विलन -सुस्लिन प्रमेय है)।

प्रक्षेपी मापांक को प्रथम बार 1956 में हेनरी कार्टन और सैमुअल एलेनबर्ग द्वारा प्रभावशाली पुस्तक 'समरूप बीजगणित' 'में प्रस्तुत किया गया था।

परिभाषाएँ

उद्यत संपत्ति

सामान्य श्रेणी की सैद्धांतिक परिभाषा उद्यत की संपत्ति के संदर्भ में है जो मुक्त से प्रक्षेप्य मापांक तक ले जाती है: मापांक P प्रक्षेपी है यदि केवल प्रत्येक विशेषण मापांक समरूपता के लिए f : N ↠ M और प्रत्येक मापांक समरूपता g : P → M, मापांक समरूपता h : P → N उपस्थित है जैसे कि f h = g (हमें उद्यत समरूपता H की आवश्यकता नहीं है; यह सार्वभौमिक संपत्ति नहीं है।)

प्रक्षेपी की इस परिभाषा का लाभ यह है कि इसे मापांक श्रेणियों की तुलना में अधिक सामान्य श्रेणी (गणित) में किया जा सकता है: हमें मुक्त वस्तु की धारणा की आवश्यकता नहीं है। यह उभय (श्रेणी सिद्धांत) भी हो सकता है, जिससे एकत्र मापांक हो सकते हैं। भारोत्तोलन संपत्ति को प्रत्येक रूपवाद के रूप में भी उभय किया जा सकता है

P

से

M

कारक प्रत्येक एपिमोर्फिज्म के माध्यम से कारक

M

को इस प्रकार, परिभाषा के अनुसार, प्रक्षेपी मापांक R-मापांक की श्रेणी में प्रक्षेप्य वस्तुएं हैं।

विभाजित-त्रुटिहीन अनुक्रम

मापांक P प्रक्षेपी है यदि केवल मापांक प्रपत्र के प्रत्येक छोटे त्रुटिहीन अनुक्रम:

0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow P\rightarrow 0

विभाजित त्रुटिहीन अनुक्रम है। अर्थात, प्रत्येक विशेषण मापांक समरूपता के लिए f : B ↠ P खंड मानचित्र उपस्थित है, अर्थात, मापांक समरूपतावाद h : P → B ऐसा है कि fh = id_P; समान रूप से, उस स्थिति में, h(P) B का प्रत्यक्ष योग है, h, P से h(P) तक समरूपता है और h f सारांश h(P), पर प्रक्षेपण है।

B=\operatorname {Im} (h)\oplus \operatorname {Ker} (f)\ \ {\text{ where }}\operatorname {Ker} (f)\cong A\ {\text{ and }}\operatorname {Im} (h)\cong P.

मुक्त मापांक के प्रत्यक्ष सारांश

मापांक P प्रक्षेपी है यदि केवल कोई अन्य मापांक Q है जैसे कि P और Q का प्रत्यक्ष योग मुक्त मापांक है।

शुद्धता

R-मापांक P प्रक्षेपी है यदि केवल सह-संयोजक कारक Hom(P, -): R-Mod → Ab त्रुटिहीन कारक है, जहां R-Mod बाएं R-मापांक की श्रेणी है और 'Ab' एबेलियन समूहों की श्रेणी है। जब वलय R विनिमेय वलय है, तो 'Ab' को पूर्ववर्ती लक्षण वर्णन में R-Mod द्वारा लाभप्रद रूप से परिवर्तित कर दिया जाता है। यह कारक सदैव त्रुटिहीन ही विभक्त कर दिया जाता है, लेकिन, जब P प्रक्षेपी होता है, तो यह सही त्रुटिहीन भी होता है। इसका अर्थ यह है कि P प्रक्षेपी है यदि केवल यह कारक एपिमोर्फिज्म (विशेषण समरूपता) को संरक्षित करता है, या यदि परिमित कोलिमिट्स को संरक्षित करता है।

उभय आधार

मापांक P प्रक्षेपी है यदि कोई समुच्चय उपस्थित है $\{a_{i}\in P\mid i\in I\}$ और $\{f_{i}\in \mathrm {Hom} (P,R)\mid i\in I\}$ में प्रत्येक x के लिए fi (x) अत्यधिक i के लिए केवल अशून्य है, और

$x=\sum f_{i}(x)a_{i}$ ।

प्राथमिक उदाहरण और गुण

प्रक्षेपी मापांक के निम्नलिखित गुणों को प्रक्षेपी मापांक उपरोक्त (समतुल्य) परिभाषाओं में से किसी से भी शीघ्रता से घटाया जाता है:

प्रक्षेपी मापांक के प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष सारांश प्रक्षेपी होते हैं।
यदि e = e² वलय R में वर्गसम (वलय सिद्धांत) है, तब R, R पर प्रक्षेपी बाएं मापांक है।

अन्य मापांक-सिद्धांत गुणों से संबंध

मुक्त और समतल मापांक के लिए प्रक्षेपी मापांक का संबंध गुणों के निम्नलिखित आरेख में प्रस्तुत किया गया है:

बाएं-से-दाएं निहितार्थ किसी भी वलय पर सही हैं, चूंकि कुछ लेखक केवल डोमेन (वलय सिद्धांत) पर घुमाव-मुक्त मापांक को परिभाषित करते हैं। दाएं-से-बाएं निहितार्थ भी सही हैं। ऐसे और भी वलय हो सकते हैं जिन पर वे सत्य हों। उदाहरण के लिए, स्थानीय वलय या पीआईडी लेबल किए गए निहितार्थ क्षेत्र (गणित) पर बहुपद वलयों के लिए भी सही है: यह क्विलन -सुस्लिन प्रमेय है।

प्रक्षेपी विरुद्ध मुक्त मापांक

कोई भी मुक्त मापांक प्रक्षेपी है। निम्नलिखित स्थितियों में यह विपरीत सत्य है:

यदि R क्षेत्र, तिरछा क्षेत्र है: इस स्थिति में कोई भी मापांक मुक्त होता है।
यदि वलय R प्रमुख आदर्श प्रांत है। उदाहरण के लिए, यह R = Z (पूर्णांक), पर लागू होता है, इसलिए एबेलियन समूह अनुमानित है यदि केवल यह मुक्त एबेलियन समूह है। इसका कारण यह है कि प्रमुख आदर्श डोमेन पर मापांक का कोई भी उप- मापांक मुक्त है।
यदि R स्थानीय वलय है। यह तथ्य स्थानीय रूप से मुक्त = प्रक्षेप्य के अंतर्ज्ञान का आधार है। यह तथ्य सूक्ष्म रूप से उत्पन्न प्रक्षेपी मापांक के लिए सिद्ध करना गणितीय प्रमाण के लिए सरल है। सामान्यतः, यह कपलान्स्की (1958) होने के कारण है; प्रक्षेपी मापांक पर कप्लांस्की के प्रमेय को देखें।

सामान्यतः, प्रक्षेपी मापांक को मुक्त होने की आवश्यकता नहीं है:

वलय के प्रत्यक्ष उत्पाद पर R × S जहां R और S शून्य वलय हैं, दोनों R × 0 और 0 × S गैर-मुक्त प्रक्षेपी मापांक हैं।
डेडेकिंड डोमेन पर अप्रमुख आदर्श (वलय सिद्धांत) प्रायः प्रक्षेपी मापांक होता है जो मुक्त मापांक नहीं होता है।
आव्यूह वलय M_n(R) पर, प्राकृतिक मापांक Rⁿ प्रक्षेपी है लेकिन मुक्त नहीं है।^{[dubious – discuss]} सामान्यतः, किसी भी अर्ध-सरल वलय पर, प्रत्येक मापांक प्रक्षेपी होता है, लेकिनशून्य आदर्श और वलय एकमात्र मुक्त आदर्श हैं।

मुक्त और प्रक्षेपी मापांक के मध्य का अंतर, बीजगणितीय K-सिद्धांत द्वारा मापा जाता है। नीचे देखें।

प्रक्षेपी विरुद्ध समतल मापांक

प्रत्येक प्रक्षेपी C समतल मापांक है।^[1] यह सामान्य रूप से सत्य नहीं है: एबेलियन समूह Q, Z-मापांक है जो समतल है, लेकिन अनुमानित नहीं है।^[2]

इसके विपरीत, सूक्ष्म रूप से संबंधित समतल प्रक्षेपी है।^[3]

गोवरोव (1965) और लाजार्ड (1969) ने यह सिद्ध किया कि मापांक M समतल है यदि केवल यह सीमित रूप से उत्पन्न मुक्त मापांक की सरल सीमा है।

सामान्यतः, समतलता और प्रक्षेप्य के मध्य त्रुटिहीन संबंध रेनॉड & ग्रुसन (1971) द्वारा स्थापित किया गया था (यह सभी देखें ड्रिनफेल्ड (2006) और ब्रौनलिंग, ग्रोचेनिग & वोल्फसन (2016)) जिन्होंने यह प्रदर्शित किया कि मापांक M प्रक्षेपी है यदि केवल यह निम्नलिखित नियमों को संतुष्ट करता है:

M समतल है।
M गणनात्मक रूप से उत्पन्न मापांक का प्रत्यक्ष योग है।
M निश्चित मित्तग-लेफलर प्रकार की स्थिति को संतुष्ट करता है।

इस लक्षण वर्णन का उपयोग यह प्रदर्शित करने के लिए किया जा सकता है कि यदि $R\to S$ क्रम-विनिमेय वलयों का समतल रूपांतरण मानचित्र है $M$ और $R$ -मापांक, तब $M$ केवल $M\otimes _{R}S$ प्रक्षेपी है।^[4] दूसरे शब्दों में, प्रक्षेपी होने की संपत्ति समतल वंश को संतुष्ट करती है।

प्रक्षेपी मापांक की श्रेणी

प्रक्षेपी मापांक के उप- मापांक को प्रक्षेपी होने की आवश्यकता नहीं है; वलय R जिसके लिए बाएं मापांक के प्रत्येक उप-मापांक के प्रक्षेपी होते है, उसे वंशानुगत वलय कहा जाता है।

प्रक्षेपी मापांक के भागफल मापांक को भी प्रक्षेपी होने की आवश्यकता नहीं है, उदाहरण के लिए 'z'/n 'z' का भागफल है, लेकिन घुमाव-मुक्त मापांक नहीं है। इसलिए समतल और प्रक्षेपी नहीं है।

वलय पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न प्रक्षेपी मापांक की श्रेणी त्रुटिहीन श्रेणी है।(बीजगणितीय के-सिद्धांत भी देखें)।

प्रक्षेपी संकल्प

मापांक M,को देखते हुए, M का 'प्रक्षेपी विभेदन (बीजगणित)' मापांक का अनंत त्रुटिहीन अनुक्रम है

··· → P_n → ··· → P₂ → P₁ → P₀ → M → 0,

सभी P_i; प्रक्षेपी के साथ प्रत्येक मापांक में अनुमानित विभेदन होता है। वास्तव में मुक्त विभेदन उपस्थित होता है। प्रक्षेपी मापांक के त्रुटिहीन अनुक्रम को कभी-कभी P(M) → M → 0 या P_• → M → 0 के रूप में संक्षिप्त किया जा सकता है। नियमित अनुक्रम के जटिल परिसर द्वारा प्रक्षेपी संकल्प का उत्कृष्ट उदाहरण दिया गया है, जो अनुक्रम द्वारा उत्पन्न आदर्श (वलय सिद्धांत) का मुक्त संकल्प है।

परिमित विभेदन की लंबाई सूचकांक n है जैसे कि P_n अशून्य मापांक है और P_i = 0 के लिए i n से अधिक है। यदि M परिमित प्रक्षेपी विभेदन को स्वीकार करता है, तो M के सभी परिमित प्रक्षेपी संकल्प के मध्य न्यूनतम लंबाई को इसका 'प्रक्षेपी आयाम' कहा जाता है और इसे pd(M) से निरूपित किया जाता है। यदि M परिमित प्रक्षेपी विभेदन को स्वीकार नहीं करता है, तब सम्मेलन द्वारा प्रक्षेप्य आयाम को अनंत कहा जाता है। उदाहरण के रूप में, मापांक M पर विचार करें जैसे कि pd(M) = 0, इस स्थिति में, अनुक्रम 0 →P₀ → M→ 0 की त्रुटिहीनता को प्रदर्शित करता है कि केंद्र में तीर समरूपी है, और इसलिए M स्वयं प्रक्षेपी है।

क्रम-विनिमेय वलयों पर प्रक्षेपी मापांक

क्रम-विनिमेय वलयों पर प्रक्षेपी मापांक में उत्तम गुण होते हैं।

प्रक्षेपी मापांक का स्थानीयकरण (क्रमविनिमेय बीजगणित) स्थानीयकृत वलय पर अनुमानित मापांक है।

स्थानीय वलय पर प्रक्षेपी मापांक निःशुल्क है। इस प्रकार प्रक्षेपी मापांक स्थानीय रूप से मुक्त है।

नोथेरियन वलय पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मापांक के लिए यह सत्य है: क्रमविनिमेय नोथेरियन वलय पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मापांक स्थानीय रूप से मुक्त है यदि केवल यह अनुमानित हो।

चूंकि, गैर-नोएथेरियन वलय पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मापांक के उदाहरण हैं जो स्थानीय रूप से स्वतंत्र हैं और अनुमानित नहीं हैं। उदाहरण के लिए, बूलियन वलय में दो तत्वों के क्षेत्र 'f'₂, के लिए इसके सभी स्थानीयकरण समरूपी होते हैं, इसलिए बूलियन वलय पर कोई भी मापांक स्थानीय रूप से मुक्त होता है, किन्तु बूलियन के वलयों पर कुछ गैर-प्रक्षेप्य मापांक होते हैं। उदाहरण R/I है जहां, R 'F₂' की कई प्रतियों का प्रत्यक्ष उत्पाद है और I, R के अंदर 'F₂' की कई प्रतियों का प्रत्यक्ष योग है। R-मापांक R/I स्थानीय रूप से मुक्त है क्योंकि R बूलियन है (और यह R-मापांक के रूप में भी सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होता है, आकार 1 के विस्तारित हुए समुच्चय), लेकिन R/I प्रक्षेपी नहीं है क्योंकि प्रमुख आदर्श नहीं है। (यदि भागफल मापांक R/I, किसी भी क्रम-विनिमेय वलय R और आदर्श के लिए, प्रक्षेपी R-मापांक प्रमुख है।)

चूंकि, यह सत्य है कि क्रमविनिमेय वलय R (विशेष रूप से यदि M सूक्ष्म रूप से उत्पन्न R-मापांक है और R नूथेरियन है) पर सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत मापांक के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैं।^[5]

$M$ समतल होता है।
$M$ प्रक्षेपी होता है।
$M_{\mathfrak {m}}$ इस रूप में स्वतंत्र है $R_{\mathfrak {m}}$ प्रत्येक अधिकतम आदर्श के लिए ${\mathfrak {m}}$ -R मापांक होता है।
$M_{\mathfrak {p}}$ इस रूप में स्वतंत्र है $R_{\mathfrak {p}}$ -प्रत्येक अभाज्य गुणजावली के लिए मापांक R का ${\mathfrak {p}}$ होता है।
जहाँ $f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ इकाई आदर्श उत्पन्न करता है जैसे कि $M[f_{i}^{-1}]$ के रूप में स्वतंत्र है $R[f_{i}^{-1}]$ प्रत्येक i के लिए मापांक होता है।
${\widetilde {M}}$ स्थानीय रूप से मुक्त बंडल है $\operatorname {Spec} R$ (जहां ${\widetilde {M}}$ मापांक से जुड़ा बंडल है)

इसके अतिरिक्त, यदि R नोथेरियन अभिन्न डोमेन है, तो, निराश के लेम्मा द्वारा, ये स्थितियाँ समतुल्य हैं

आयाम (सदिश स्थान) $k({\mathfrak {p}})$ -सदिश स्थल $M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})$ सभी अभाज्य गुणजावली के लिए समान है ${\mathfrak {p}}$ R, जहां $k({\mathfrak {p}})$ पर अवशेष क्षेत्र ${\mathfrak {p}}$ .^[6]है कहने का अर्थ यह है कि, M में निरंतर श्रेणी है (जैसा कि नीचे परिभाषित किया गया है)।

माना A क्रम-विनिमेय वलय है। यदि B वलय पर (संभवतः गैर-क्रमविनिमेय) A-बीजगणित है, जो उप-वलय के रूप में सूक्ष्म रूप से उत्पन्न प्रक्षेप्य A-मापांक है, तो A,B का प्रत्यक्ष कारक है।।^[7]

श्रेणी

क्रम-विनिमेय वलय R और X पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न प्रक्षेपी मापांक होता है। R वलय का स्पेक्ट्रम हो। प्रमुख आदर्श पर P की श्रेणी ${\mathfrak {p}}$ X में मुक्त की श्रेणी $R_{\mathfrak {p}}$ -मापांक का $P_{\mathfrak {p}}$ है। यह X पर स्थानीय रूप से निरंतर कार्य करता है। विशेष रूप से, यदि X जुड़ा हुआ है (अर्थात यदि R में 0 और 1 से कोई अन्य वर्गसम नहीं है), तो P निरंतर श्रेणी में है।

सदिश बंडलों और स्थानीय रूप से मुक्त मापांक

सिद्धांत की मूल प्रेरणा यह है कि प्रक्षेपी मापांक (अल्प से अल्प कुछ क्रमविनिमेय वलयों से अधिक) सदिश बंडलों के अनुरूप हैं। इसे कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के वलय के लिए त्रुटिहीन बनाया जा सकता है, (सेरे-स्वान प्रमेय देखें जो अंतरिक्ष के ऊपर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न प्रक्षेपी मापांक है) कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड विविध पर कार्यों के स्थान पर मापांक सदिश बंडल के वर्गों का स्थान है)।

सदिश बंडल स्थानीय रूप से मुक्त हैं। यदि स्थानीयकरण की कुछ धारणा है, जिसे मापांक पर ले जाया जा सकता है, जैसे कि वलय के सामान्य स्थानीयकरण, कोई स्थानीय रूप से मुक्त मापांक को परिभाषित कर सकता है, और प्रक्षेप्य मापांक तब सामान्यतः स्थानीय रूप से मुक्त मापांक के साथ मेल खाते हैं।

बहुपद वलय पर प्रक्षेपी मापांक

क्विलन -सुस्लिन प्रमेय, जो सेरे की समस्या का समाधान करता है, परिणाम यह है: यदि k क्षेत्र है, या सामान्यतः प्रमुख आदर्श डोमेन है, और R = K[X1,...,Xn] K के ऊपर बहुपद वलय है, तब R पर प्रत्येक प्रक्षेपी मापांक मुक्त होता है। इस समस्या को पहले सेरे द्वारा K A क्षेत्र (और मापांक को सूक्ष्म रूप से उत्पन्न किया जा रहा है) के साथ उठाया गया था।बास ने इसे गैर-फिनती उत्पन्न मापांक के लिए बसाया,^[8] और क्विलन और सुज़लिन ने स्वतंत्र रूप से साथ ही साथ सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मापांक की स्थिति का उपाय किया।

चूंकि प्रमुख आदर्श डोमेन पर प्रत्येक प्रक्षेपी मापांक स्वतंत्र है, कोई भी यह प्रश्न पूछ सकता है: यदि R क्रम-विनिमेय वलय है जैसे कि प्रत्येक (सूक्ष्म रूप से उत्पन्न) प्रक्षेपी R-मापांक स्वतंत्र है, तो प्रत्येक (सूक्ष्म रूप से उत्पन्न) प्रक्षेपी R[X] है। यदि मापांक का उत्तर न है। तो वक्र के स्थानीय वलय के समान R के साथ प्रतिवाद होता है y2 = x3 मूल में, इस प्रकार क्विलन-सुस्लिन प्रमेय कभी भी चर की संख्या पर साधारण गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध नहीं किया जा सकता है।

यह भी देखें

प्रोजेक्टिव कवर
शानुएल का लेम्मा
रद्दीकरण प्रमेय
मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत

↑ Hazewinkel; et al. (2004). "Corollary 5.4.5". Algebras, Rings and Modules, Part 1. p. 131.
↑ Hazewinkel; et al. (2004). "Remark after Corollary 5.4.5". Algebras, Rings and Modules, Part 1. pp. 131–132.
↑ Cohn 2003, Corollary 4.6.4
↑ "Section 10.95 (05A4): Descending properties of modules—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu (in English). Retrieved 2022-11-03.
↑ Exercises 4.11 and 4.12 and Corollary 6.6 of David Eisenbud, Commutative Algebra with a view towards Algebraic Geometry, GTM 150, Springer-Verlag, 1995. Also, Milne 1980
↑ That is, $k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ is the residue field of the local ring $R_{\mathfrak {p}}$ .
↑ Bourbaki, Algèbre commutative 1989, Ch II, §5, Exercise 4
↑ Bass, Hyman (1963). "Big projective modules are free". Illinois Journal of Mathematics. Duke University Press. 7 (1). Corollary 4.5. doi:10.1215/ijm/1255637479.

संदर्भ

William A. Adkins; Steven H. Weintraub (1992). Algebra: An Approach via Module Theory. Springer. Sec 3.5.
Iain T. Adamson (1972). Elementary rings and modules. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd. ISBN 0-05-002192-3.
Nicolas Bourbaki, Commutative algebra, Ch. II, §5
Braunling, Oliver; Groechenig, Michael; Wolfson, Jesse (2016), "Tate objects in exact categories", Mosc. Math. J., 16 (3), arXiv:1402.4969v4, doi:10.17323/1609-4514-2016-16-3-433-504, MR 3510209, S2CID 118374422
Paul M. Cohn (2003). Further algebra and applications. Springer. ISBN 1-85233-667-6.
Drinfeld, Vladimir (2006), "Infinite-dimensional vector bundles in algebraic geometry: an introduction", in Pavel Etingof; Vladimir Retakh; I. M. Singer (eds.), The Unity of Mathematics, Birkhäuser Boston, pp. 263–304, arXiv:math/0309155v4, doi:10.1007/0-8176-4467-9_7, ISBN 978-0-8176-4076-7, MR 2181808
Govorov, V. E. (1965), "On flat modules (Russian)", Siberian Math. J., 6: 300–304
Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Algebras, rings and modules. Springer Science. ISBN 978-1-4020-2690-4.
Kaplansky, Irving (1958), "Projective modules", Ann. of Math., 2, 68 (2): 372–377, doi:10.2307/1970252, hdl:10338.dmlcz/101124, JSTOR 1970252, MR 0100017
Lang, Serge (1993). Algebra (3rd ed.). Addison–Wesley. ISBN 0-201-55540-9.
Lazard, D. (1969), "Autour de la platitude", Bulletin de la Société Mathématique de France, 97: 81–128, doi:10.24033/bsmf.1675
Milne, James (1980). Étale cohomology. Princeton Univ. Press. ISBN 0-691-08238-3.
Donald S. Passman (2004) A Course in Ring Theory, especially chapter 2 Projective modules, pp 13–22, AMS Chelsea, ISBN 0-8218-3680-3 .
Raynaud, Michel; Gruson, Laurent (1971), "Critères de platitude et de projectivité. Techniques de "platification" d'un module", Invent. Math., 13: 1–89, Bibcode:1971InMat..13....1R, doi:10.1007/BF01390094, MR 0308104, S2CID 117528099
Paulo Ribenboim (1969) Rings and Modules, §1.6 Projective modules, pp 19–24, Interscience Publishers.
Charles Weibel, The K-book: An introduction to algebraic K-theory

[1] Hazewinkel; et al. (2004). "Corollary 5.4.5". Algebras, Rings and Modules, Part 1. p. 131.

[2] Hazewinkel; et al. (2004). "Remark after Corollary 5.4.5". Algebras, Rings and Modules, Part 1. pp. 131–132.

[3] Cohn 2003, Corollary 4.6.4

[4] "Section 10.95 (05A4): Descending properties of modules—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu (in English). Retrieved 2022-11-03.

[5] Exercises 4.11 and 4.12 and Corollary 6.6 of David Eisenbud, Commutative Algebra with a view towards Algebraic Geometry, GTM 150, Springer-Verlag, 1995. Also, Milne 1980

[6] That is, $k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ is the residue field of the local ring $R_{\mathfrak {p}}$ .

[7] Bourbaki, Algèbre commutative 1989, Ch II, §5, Exercise 4

[8] Bass, Hyman (1963). "Big projective modules are free". Illinois Journal of Mathematics. Duke University Press. 7 (1). Corollary 4.5. doi:10.1215/ijm/1255637479.

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 {{Short description|Direct summand of a free module (mathematics)}}
-गणित में, विशेष रूप से [[ बीजगणित |बीजगणित]] में, प्रक्षेपी मॉड्यूल का वर्ग (समूह सिद्धांत) मुक्त मॉड्यूल के कुछ मुख्य गुणों को ध्यान में रखते हुए, [[ अंगूठी (गणित) |छल्ला (गणित)]] के साथ[[ मुक्त मॉड्यूल | मुक्त मॉड्यूल]] (अर्थात,[[ मॉड्यूल (गणित) ]] के आधार पर) के वर्ग को बढ़ाता है। नि: शुल्क मॉड्यूल।इन मॉड्यूल के विभिन्न समकक्ष लक्षण नीचे दिखाई देते हैं।
+गणित में, विशेष रूप से [[ बीजगणित |बीजगणित]] में, प्रक्षेपी मापांक का वर्ग (समूह सिद्धांत) मुक्त मापांक के कुछ मुख्य गुणों का अध्यन करते हुए, वलय (गणित) के साथ मुक्त मापांक (अर्थात,[[ मॉड्यूल (गणित) | मापांक]] के आधार पर) के वर्ग को बढ़ाता है। इन मापांक के विभिन्न समकक्ष लक्षण नीचे प्रदर्शित हैं।
-प्रत्येक मुक्त मॉड्यूल प्रक्षेपी मॉड्यूल है, लेकिन कॉनवर्स (लॉजिक) कुछ छल्लों को पकड़ने में विफल रहता है, जैसे कि[[ डेडेकिंड रिंग | डेडेकिंड छल्ले]] जो प्रमुख आदर्श डोमेन नहीं हैं।चूंकि, प्रत्येक प्रक्षेपी मॉड्यूल एक मुक्त मॉड्यूल है यदि छल्ला एक प्रमुख आदर्श डोमेन है जैसे कि [[ पूर्णांक |पूर्णांक]], या एक बहुपद छल्ला (यह क्विलन -सुस्लिन प्रमेय है)।
+प्रत्येक मुक्त मापांक प्रक्षेपी मापांक है, लेकिन संवाद के आधार पर कुछ वलयों को धारण करने में विफल है, जैसे कि डेडेकिंड वलय जो प्रमुख आदर्श डोमेन नहीं हैं। चूंकि, प्रत्येक प्रक्षेपी मापांक मुक्त मापांक है यदि वलय प्रमुख आदर्श डोमेन है जैसे कि [[ पूर्णांक |पूर्णांक]], या बहुपद वलय (यह क्विलन -सुस्लिन प्रमेय है)।
-प्रक्षेपी मॉड्यूल को पहली बार 1956 में[[ हेनरी कार्टन ]]और [[ सैमुअल एलेनबर्ग |सैमुअल एलेनबर्ग]] द्वारा प्रभावशाली पुस्तक 'होमोलॉजिकल बीजगणित' 'में प्रस्तुत किया गया था।
+प्रक्षेपी मापांक को प्रथम बार 1956 में हेनरी कार्टन और सैमुअल एलेनबर्ग द्वारा प्रभावशाली पुस्तक 'समरूप बीजगणित' 'में प्रस्तुत किया गया था।
 == परिभाषाएँ ==
-=== उठाना संपत्ति ===
+=== '''उद्यत''' संपत्ति ===
-सामान्य श्रेणी के सिद्धांत की परिभाषा उठाने की संपत्ति के संदर्भ में है जो मुक्त से [[ सघन |सघन]] मॉड्यूल तक ले जाती है: एक मॉड्यूल पी प्रक्षेपी है यदि और केवल अगर प्रत्येक सर्जिकल[[ मॉड्यूल समरूपता ]]के लिए {{nowrap|''f'' : ''N'' ↠ ''M''}} और हर मॉड्यूल समरूपता {{nowrap|''g'' : ''P'' → ''M''}}, एक मॉड्यूल समरूपता उपस्थित है {{nowrap|''h'' : ''P'' → ''N''}} ऐसा है कि {{nowrap|1=''f''&hairsp;''h'' = ''g''}}।(हमें लिफ्टिंग होमोमोर्फिज्म एच को अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है; यह एक [[ सार्वभौमिक संपत्ति |सार्वभौमिक संपत्ति]] नहीं है।)
+सामान्य श्रेणी की सैद्धांतिक परिभाषा उद्यत की संपत्ति के संदर्भ में है जो मुक्त से प्रक्षेप्य मापांक तक ले जाती है: मापांक P प्रक्षेपी है यदि केवल प्रत्येक विशेषण मापांक समरूपता के लिए {{nowrap|''f'' : ''N'' ↠ ''M''}} और प्रत्येक मापांक समरूपता {{nowrap|''g'' : ''P'' → ''M''}}, मापांक समरूपता {{nowrap|''h'' : ''P'' → ''N''}}  उपस्थित है जैसे कि {{nowrap|1=''f''&hairsp;''h'' = ''g''}} (हमें उद्यत समरूपता H की आवश्यकता नहीं है; यह सार्वभौमिक संपत्ति नहीं है।)
-:[[Image:Projective-module-P.svg|120px]]प्रक्षेपी की इस परिभाषा का लाभ यह है कि इसे मॉड्यूल श्रेणियों की तुलना में अधिक सामान्य [[ श्रेणी (गणित) |श्रेणी (गणित)]] में किया जा सकता है: हमें मुक्त वस्तु की धारणा की आवश्यकता नहीं है।यह दोहरी (श्रेणी सिद्धांत) भी हो सकता है, जिससे [[ इंजेक्टिव मॉड्यूल |इंजेक्टिव मॉड्यूल]] हो सकते हैं।उठाने वाली संपत्ति को हर रूप से हर रूप से फिर से तैयार किया जा सकता है <math>P</math> को <math>M</math> हर एपिमोर्फिज्म के माध्यम से कारक <math>M</math>।इस प्रकार, परिभाषा के अनुसार, प्रक्षेपी मॉड्यूल ठीक से मॉड्यूल की श्रेणी में [[ प्रक्षेप्य वस्तु |प्रक्षेप्य वस्तु]] हैं। आर-मॉड्यूल की श्रेणी।
+:[[Image:Projective-module-P.svg|120px]]
+:प्रक्षेपी की इस परिभाषा का लाभ यह है कि इसे मापांक श्रेणियों की तुलना में अधिक सामान्य [[ श्रेणी (गणित) |श्रेणी (गणित)]] में किया जा सकता है: हमें मुक्त वस्तु की धारणा की आवश्यकता नहीं है। यह उभय (श्रेणी सिद्धांत) भी हो सकता है, जिससे [[ इंजेक्टिव मॉड्यूल |एकत्र मापांक]] हो सकते हैं। भारोत्तोलन संपत्ति को प्रत्येक रूपवाद के रूप में भी उभय किया जा सकता है <math>P</math> से <math>M</math> कारक प्रत्येक एपिमोर्फिज्म के माध्यम से कारक <math>M</math> को इस प्रकार, परिभाषा के अनुसार, प्रक्षेपी मापांक R-मापांक की श्रेणी में [[ प्रक्षेप्य वस्तु |प्रक्षेप्य वस्तुएं]] हैं।
-=== स्प्लिट-सटीक अनुक्रम ===
+=== विभाजित-त्रुटिहीन अनुक्रम ===
-एक मॉड्यूल पी प्रक्षेपी है यदि और केवल यदि फॉर्म के मॉड्यूल के प्रत्येक छोटे सटीक अनुक्रम
+मापांक P प्रक्षेपी है यदि केवल मापांक प्रपत्र के प्रत्येक छोटे त्रुटिहीन अनुक्रम:
 :<math>0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow P\rightarrow 0</math>
-एक विभाजित सटीक अनुक्रम है।अर्थात, हर सर्जिकल मॉड्यूल होमोमोर्फिज्म के लिए {{nowrap|''f'' : ''B'' ↠ ''P''}} वहाँ एक खंड मानचित्र उपस्थित है, अर्थात, एक मॉड्यूल समरूपतावाद {{nowrap|''h'' : ''P'' → ''B''}} ऐसा कि f & hairsp; h = id<sub>''P''</sub>& hairsp ;;उस स्थिति में, {{nowrap|''h''(''P'')}} बी का एक सीधा सारांश है, एच पी से एक[[ समाकृतिकता ]]है {{nowrap|''h''(''P'')}}, और {{nowrap|''h''&hairsp;''f''}} सारांश पर एक [[ प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) |प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित)]] है {{nowrap|''h''(''P'')}}।समान रूप से,
+विभाजित त्रुटिहीन अनुक्रम है। अर्थात, प्रत्येक विशेषण मापांक समरूपता के लिए {{nowrap|''f'' : ''B'' ↠ ''P''}} खंड मानचित्र उपस्थित है, अर्थात, मापांक समरूपतावाद {{nowrap|''h'' : ''P'' → ''B''}} ऐसा है कि fh = id<sub>''P''</sub>; समान रूप से, उस स्थिति में, {{nowrap|''h''(''P'')}} B का प्रत्यक्ष योग है, h, P से h(P) तक[[ समाकृतिकता | समरूपता]] है और {{nowrap|''h''&hairsp;''f''}}  सारांश {{nowrap|''h''(''P'')}}, पर [[ प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) |प्रक्षेपण]] है।
 :<math>B = \operatorname{Im}(h) \oplus \operatorname{Ker}(f) \ \
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-=== मुक्त मॉड्यूल के प्रत्यक्ष सारांश ===
+=== मुक्त मापांक के प्रत्यक्ष सारांश ===
-एक मॉड्यूल पी प्रक्षेपी है यदि और केवल यदि कोई अन्य मॉड्यूल क्यू है जैसे कि पी और क्यू के [[ मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग |मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग]] एक मुक्त मॉड्यूल है।
+मापांक P प्रक्षेपी है यदि केवल कोई अन्य मापांक Q है जैसे कि P और Q का [[ मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग |प्रत्यक्ष योग]] मुक्त मापांक है।
-=== सटीकता ===
+=== शुद्धता ===
-एक आर-मॉड्यूल पी प्रक्षेपी है यदि और केवल यदि सहसंयोजक [[ फंक्टर |फंक्टर]] {{nowrap|Hom(''P'', -): ''R''-'''Mod''' → '''Ab'''}} एक[[ सटीक फंक्टर ]]है, जहां {{nowrap|''R''-'''Mod'''}} बाएं आर-मॉड्यूल की श्रेणी है और 'एबी' [[ एबेलियन समूहों की श्रेणी |एबेलियन समूहों की श्रेणी]] है।जब रिंग आर [[ कम्यूटेटिव रिंग |कम्यूटेटिव रिंग]] है, तो 'एबी' को लाभप्रद रूप से प्रतिस्थापित किया जाता है {{nowrap|''R''-'''Mod'''}} पूर्ववर्ती लक्षण वर्णन में।यह फ़ंक्टर हमेशा सटीक फंक्शनर छोड़ दिया जाता है, लेकिन, जब P प्रक्षेपी होता है, तो यह भी सही सटीक होता है।इसका अर्थ यह है कि पी प्रक्षेपी है यदि और केवल यदि यह फंक्शनर [[ उपदेशता |उपदेशता]] (सर्जिकल होमोमोर्फिज्म) को संरक्षित करता है, या यदि यह परिमित [[ कोलिमिट ]]्स को संरक्षित करता है।
+R-मापांक P प्रक्षेपी है यदि केवल सह-संयोजक [[ फंक्टर |कारक]] {{nowrap|Hom(''P'', -): ''R''-'''Mod''' → '''Ab'''}} [[ सटीक फंक्टर | त्रुटिहीन]] [[ फंक्टर |कारक]] है, जहां {{nowrap|''R''-'''Mod'''}} बाएं R-मापांक की श्रेणी है और 'Ab' [[ एबेलियन समूहों की श्रेणी |एबेलियन समूहों की श्रेणी]] है। जब वलय R [[ कम्यूटेटिव रिंग |विनिमेय वलय]] है, तो 'Ab' को पूर्ववर्ती लक्षण वर्णन में {{nowrap|''R''-'''Mod'''}} द्वारा लाभप्रद रूप से परिवर्तित कर दिया जाता है। यह कारक सदैव त्रुटिहीन ही विभक्त कर दिया जाता है, लेकिन, जब P प्रक्षेपी होता है, तो यह सही त्रुटिहीन भी होता है। इसका अर्थ यह है कि P प्रक्षेपी है यदि केवल यह कारक [[ उपदेशता |एपिमोर्फिज्म]] (विशेषण समरूपता) को संरक्षित करता है, या यदि परिमित[[ कोलिमिट | कोलिमिट्स]] को संरक्षित करता है।
-=== दोहरी आधार ===
+=== उभय आधार ===
-एक मॉड्यूल पी प्रक्षेपी है यदि और केवल यदि कोई समुच्चय उपस्थित है <math>\{a_i \in P \mid i \in I\}</math> और एक समुच्चय <math>\{f_i\in \mathrm{Hom}(P,R) \mid i\in I\}</math> जैसे कि पी, एफ में हर एक्स के लिए<sub>''i''&hairsp;&hairsp;</sub>(x) केवल कई के लिए नॉनज़ेरो है, और <math>x=\sum f_i(x)a_i</math>।
+मापांक P प्रक्षेपी है यदि कोई समुच्चय उपस्थित है <math>\{a_i \in P \mid i \in I\}</math> और  <math>\{f_i\in \mathrm{Hom}(P,R) \mid i\in I\}</math> में प्रत्येक x के लिए fi  (x) अत्यधिक i के लिए केवल अशून्य है, और
+<math>x=\sum f_i(x)a_i</math>।
 == प्राथमिक उदाहरण और गुण ==
-प्रक्षेपी मॉड्यूल के निम्नलिखित गुणों को जल्दी से किसी भी (समतुल्य) प्रक्षेपी मॉड्यूल की परिभाषाओं में से किसी भी से घटाया जाता है:
+प्रक्षेपी मापांक के निम्नलिखित गुणों को प्रक्षेपी मापांक उपरोक्त (समतुल्य) परिभाषाओं में से किसी से भी शीघ्रता से घटाया जाता है:
-* प्रक्षेपी मॉड्यूल के प्रत्यक्ष रकम और प्रत्यक्ष सारांश प्रोजेक्टिव हैं।
+* प्रक्षेपी मापांक के प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष सारांश प्रक्षेपी होते हैं।
-* यदि {{nowrap|1=''e'' = ''e''<sup>2</sup>}} रिंग आर में एक idempotent (रिंग थ्योरी) है, तो आर। आर। पर एक प्रक्षेपी लेफ्ट मॉड्यूल है।
+* यदि {{nowrap|1=''e'' = ''e''<sup>2</sup>}} वलय R में वर्गसम (वलय सिद्धांत) है, तब R, R पर प्रक्षेपी बाएं मापांक है।
+== अन्य मापांक-सिद्धांत गुणों से संबंध ==
+मुक्त और[[ फ्लैट मॉड्यूल | समतल मापांक]] के लिए प्रक्षेपी मापांक का संबंध गुणों के निम्नलिखित आरेख में प्रस्तुत किया गया है:
+[[Image:Module properties in commutative algebra.svg|कम्यूटेटिव बीजगणित में मॉड्यूल गुण]]
-== अन्य मॉड्यूल-सिद्धांत गुणों से संबंध ==
+बाएं-से-दाएं निहितार्थ किसी भी वलय पर सही हैं, चूंकि कुछ लेखक केवल [[ डोमेन (रिंग सिद्धांत) |डोमेन (वलय सिद्धांत)]] पर घुमाव-मुक्त मापांक को परिभाषित करते हैं। दाएं-से-बाएं निहितार्थ भी सही हैं। ऐसे और भी वलय हो सकते हैं जिन पर वे सत्य हों। उदाहरण के लिए, स्थानीय वलय या पीआईडी लेबल किए गए निहितार्थ [[ क्षेत्र (गणित) |क्षेत्र (गणित)]] पर बहुपद वलयों के लिए भी सही है: यह क्विलन -सुस्लिन प्रमेय है।
-मुक्त और[[ फ्लैट मॉड्यूल ]]मॉड्यूल के लिए प्रक्षेपी मॉड्यूल का संबंध मॉड्यूल गुणों के निम्नलिखित आरेख में प्रस्तुत किया गया है:
+=== प्रक्षेपी विरुद्ध मुक्त मापांक ===
+कोई भी मुक्त मापांक प्रक्षेपी है। निम्नलिखित स्थितियों में यह विपरीत सत्य है:
+* यदि R क्षेत्र,[[ तिरछा क्षेत्र | तिरछा क्षेत्र]] है: इस स्थिति में कोई भी मापांक मुक्त होता है।
+* यदि वलय R प्रमुख आदर्श प्रांत है। उदाहरण के लिए, यह {{nowrap|1=''R'' = '''Z'''}} (पूर्णांक), पर लागू होता है, इसलिए एबेलियन समूह अनुमानित है यदि केवल यह [[ मुक्त एबेलियन समूह |मुक्त एबेलियन समूह]] है। इसका कारण यह है कि प्रमुख आदर्श डोमेन पर मापांक का कोई भी[[ सबल | उप- मापांक]] मुक्त है।
+* यदि R स्थानीय वलय है। यह तथ्य स्थानीय रूप से मुक्त = प्रक्षेप्य के अंतर्ज्ञान का आधार है। यह तथ्य सूक्ष्म रूप से उत्पन्न प्रक्षेपी मापांक के लिए सिद्ध करना [[ गणितीय प्रमाण |गणितीय प्रमाण]] के लिए सरल है। सामान्यतः, यह {{harvtxt|कपलान्स्की|1958}} होने के कारण है; प्रक्षेपी मापांक पर कप्लांस्की के प्रमेय को देखें।
-[[Image:Module properties in commutative algebra.svg|कम्यूटेटिव बीजगणित में मॉड्यूल गुण]]बाएं-से-दाएं निहितार्थ किसी भी अंगूठी पर सच हैं, चूंकि कुछ लेखक केवल एक [[ डोमेन (रिंग सिद्धांत) |डोमेन (रिंग सिद्धांत)]] पर मरोड़-मुक्त मॉड्यूल को परिभाषित करते हैं।राइट-टू-लेफ्ट के निहितार्थ उन्हें लेबल करने वाले छल्ले पर सही हैं।ऐसे अन्य छल्ले हो सकते हैं जिन पर वे सच हैं।उदाहरण के लिए, स्थानीय रिंग या पीआईडी लेबल किए गए निहितार्थ एक [[ क्षेत्र (गणित) |क्षेत्र (गणित)]] पर बहुपद के छल्ले के लिए भी सही है: यह क्विलन -सुस्लिन प्रमेय है।
+सामान्यतः, प्रक्षेपी मापांक को मुक्त होने की आवश्यकता नहीं है:
+* वलय के प्रत्यक्ष उत्पाद पर {{nowrap|''R'' × ''S''}} जहां R और S शून्य वलय हैं, दोनों {{nowrap|''R'' × 0}} और {{nowrap|0 × ''S''}} गैर-मुक्त प्रक्षेपी मापांक हैं।
+* [[ डेडेकिंड डोमेन |डेडेकिंड डोमेन]] पर अप्रमुख आदर्श (वलय सिद्धांत) प्रायः प्रक्षेपी मापांक होता है जो मुक्त मापांक नहीं होता है।
+* [[ मैट्रिक्स रिंग |आव्यूह]] [[ डेडेकिंड रिंग |वलय]] M<sub>''n''</sub>(''R'') पर, प्राकृतिक मापांक ''R''<sup> ''n''</sup> प्रक्षेपी है लेकिन मुक्त नहीं है।{{dubious|reason=Needs qualification, e.g., 'for n&gt;1': n=1 is a clear counterexample.|date=May 2022}} सामान्यतः, किसी भी [[ सेमीसिम्पल रिंग |अर्ध-सरल]] [[ डेडेकिंड रिंग |वलय]] पर, प्रत्येक मापांक प्रक्षेपी होता है, लेकिन[[ शून्य आदर्श ]]और वलय एकमात्र मुक्त आदर्श हैं।
+मुक्त और प्रक्षेपी मापांक के मध्य का अंतर, बीजगणितीय K-सिद्धांत द्वारा मापा जाता है। नीचे देखें।
-=== प्रक्षेपी बनाम फ्री मॉड्यूल ===
+=== प्रक्षेपी विरुद्ध समतल मापांक ===
-कोई भी मुफ्त मॉड्यूल प्रक्षेपी है।निम्नलिखित स्थितियों में यह सच है:
+प्रत्येक प्रक्षेपी C समतल मापांक है।<ref>{{cite book|author=Hazewinkel |display-authors=etal |title=Algebras, Rings and Modules, Part 1|year=2004|contribution=Corollary 5.4.5|url={{Google books|plainurl=y|id=AibpdVNkFDYC|page=131|text=Every projective module is flat}}|page=131}}</ref> यह सामान्य रूप से सत्य नहीं है: एबेलियन समूह Q, Z-मापांक है जो समतल है, लेकिन अनुमानित नहीं है।<ref>{{cite book|author=Hazewinkel |display-authors=etal |year=2004|contribution=Remark after Corollary 5.4.5|title=Algebras, Rings and Modules, Part 1|url={{Google books|plainurl=y|id=AibpdVNkFDYC|page=132|text=Q is flat but it is not projective}}|pages=131–132}}</ref>
-* यदि आर एक क्षेत्र या[[ तिरछा क्षेत्र ]]है: इस स्थिति में कोई भी मॉड्यूल मुक्त है।
-* यदि रिंग आर एक प्रमुख आदर्श डोमेन है।उदाहरण के लिए, यह लागू होता है {{nowrap|1=''R'' = '''Z'''}} (पूर्णांक), इसलिए एक एबेलियन समूह अनुमानित है यदि और केवल अगर यह एक [[ मुक्त एबेलियन समूह |मुक्त एबेलियन समूह]] है।कारण यह है कि एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर एक मुक्त मॉड्यूल का कोई भी[[ सबल | सबल]] मुक्त है।
-* यदि रिंग आर एक स्थानीय अंगूठी है।यह तथ्य स्थानीय रूप से मुक्त = प्रक्षेप्य के अंतर्ज्ञान का आधार है।यह तथ्य बारीक रूप से उत्पन्न मॉड्यूल प्रक्षेपी मॉड्यूल के लिए [[ गणितीय प्रमाण |गणितीय प्रमाण]] के लिए आसान है।सामान्यतः, यह होने के कारण है {{harvtxt|Kaplansky|1958}};प्रक्षेपी मॉड्यूल पर कप्लांस्की के प्रमेय को देखें।
-सामान्यतः, प्रक्षेपी मॉड्यूल को मुक्त होने की आवश्यकता नहीं है:
+इसके विपरीत, सूक्ष्म रूप से संबंधित समतल प्रक्षेपी है।<ref>{{harvnb|Cohn|2003|loc=Corollary 4.6.4}}</ref>
-* छल्ले के प्रत्यक्ष उत्पाद पर {{nowrap|''R'' × ''S''}} जहां आर और एस शून्य रिंग रिंग हैं, दोनों {{nowrap|''R'' × 0}} और {{nowrap|0 × ''S''}} गैर-मुक्त प्रक्षेपी मॉड्यूल हैं।
-* एक [[ डेडेकिंड डोमेन |डेडेकिंड डोमेन]] पर एक गैर-प्रासीपल आदर्श आदर्श (रिंग थ्योरी) हमेशा एक प्रक्षेपी मॉड्यूल है जो एक मुक्त मॉड्यूल नहीं है।
-* एक [[ मैट्रिक्स रिंग |मैट्रिक्स रिंग]] एम पर<sub>''n''</sub>(आर), प्राकृतिक मॉड्यूल आर<sup>& hairsp; n </sup> प्रक्षेपी है लेकिन मुक्त नहीं है।{{dubious|reason=Needs qualification, e.g., 'for n&gt;1': n=1 is a clear counterexample.|date=May 2022}} सामान्यतः, किसी भी [[ सेमीसिम्पल रिंग |सेमीसिम्पल रिंग]] पर, प्रत्येक मॉड्यूल प्रक्षेपी होता है, लेकिन[[ शून्य आदर्श ]]और रिंग ही एकमात्र मुक्त आदर्श हैं।
-मुक्त और प्रक्षेप्य मॉड्यूल के बीच का अंतर, एक अर्थ में, बीजगणितीय K-Therory द्वारा मापा जाता है। बीजगणितीय K-Therory Group (गणित) k<sub>0</sub>(आर);नीचे देखें।
-=== प्रक्षेपी बनाम फ्लैट मॉड्यूल ===
+{{harvtxt|गोवरोव|1965}} और {{harvtxt|लाजार्ड|1969}} ने यह सिद्ध किया कि मापांक M समतल है यदि केवल यह सीमित रूप से उत्पन्न मुक्त मापांक की सरल सीमा है।
-प्रत्येक प्रक्षेपी मॉड्यूल फ्लैट मॉड्यूल है।<ref>{{cite book|author=Hazewinkel |display-authors=etal |title=Algebras, Rings and Modules, Part 1|year=2004|contribution=Corollary 5.4.5|url={{Google books|plainurl=y|id=AibpdVNkFDYC|page=131|text=Every projective module is flat}}|page=131}}</ref> यह सामान्य रूप से सच नहीं है: एबेलियन समूह क्यू एक जेड-मॉड्यूल है जो सपाट है, लेकिन अनुमानित नहीं है।<ref>{{cite book|author=Hazewinkel |display-authors=etal |year=2004|contribution=Remark after Corollary 5.4.5|title=Algebras, Rings and Modules, Part 1|url={{Google books|plainurl=y|id=AibpdVNkFDYC|page=132|text=Q is flat but it is not projective}}|pages=131–132}}</ref>
-इसके विपरीत, एक बारीक संबंधित मॉड्यूल फ्लैट मॉड्यूल प्रक्षेपी है।<ref>{{harvnb|Cohn|2003|loc=Corollary 4.6.4}}</ref>
-{{harvtxt|Govorov|1965}} और {{harvtxt|Lazard|1969}} यह साबित हुआ कि एक मॉड्यूल एम सपाट है यदि और केवल अगर यह बारीक रूप से उत्पन्न मॉड्यूल की एक सीधी सीमा है।
+सामान्यतः, समतलता और प्रक्षेप्य के मध्य त्रुटिहीन संबंध {{harvtxt|रेनॉड|ग्रुसन|1971}} द्वारा स्थापित किया गया था (यह सभी देखें {{harvtxt|ड्रिनफेल्ड|2006}} और {{harvtxt|ब्रौनलिंग|ग्रोचेनिग|वोल्फसन|2016}}) जिन्होंने यह प्रदर्शित किया कि मापांक M प्रक्षेपी है यदि केवल यह निम्नलिखित नियमों को संतुष्ट करता है:
+*M समतल है।
+*M[[ गिनती योग्य सेट | गणनात्मक रूप से]] उत्पन्न मापांक का प्रत्यक्ष योग है।
+*M निश्चित मित्तग-लेफलर प्रकार की स्थिति को संतुष्ट करता है।
+इस लक्षण वर्णन का उपयोग यह प्रदर्शित करने के लिए किया जा सकता है कि यदि <math>R \to S</math> क्रम-विनिमेय वलयों का समतल रूपांतरण मानचित्र है <math>M</math> और <math>R</math>-मापांक, तब <math>M</math>  केवल  <math>M \otimes_R S</math> प्रक्षेपी है।<ref>{{Cite web |title=Section 10.95 (05A4): Descending properties of modules—The Stacks project |url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/05A4 |access-date=2022-11-03 |website=stacks.math.columbia.edu |language=en}}</ref> दूसरे शब्दों में, प्रक्षेपी होने की संपत्ति[[ ईमानदारी से सपाट वंश |  समतल वंश]] को संतुष्ट करती है।
-सामान्यतः, सपाटता और प्रोजेक्टिविटी के बीच सटीक संबंध स्थापित किया गया था {{harvtxt|रेनॉड|ग्रुसन|1971}} (यह सभी देखें {{harvtxt|ड्रिनफेल्ड|2006}} और {{harvtxt|ब्रौनलिंग|ग्रोचेनिग|वोल्फसन|2016}}) किसने दिखाया कि एक मॉड्यूल एम प्रक्षेपी है यदि और केवल अगर यह निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करता है:
+== प्रक्षेपी मापांक की श्रेणी ==
-*एम सपाट है,
+प्रक्षेपी मापांक के उप- मापांक को प्रक्षेपी होने की आवश्यकता नहीं है; वलय R जिसके लिए बाएं मापांक के प्रत्येक उप-मापांक के प्रक्षेपी होते है, उसे वंशानुगत वलय कहा जाता है।
-*एम [[ गिनती योग्य सेट ]] उत्पन्न मॉड्यूल का एक सीधा योग है,
-*एम एक निश्चित मितग-लेफलर प्रकार की स्थिति को संतुष्ट करता है।
-इस लक्षण वर्णन का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि अगर <math>R \to S</math> कम्यूटेटिव रिंग्स का एक ईमानदारी से सपाट रूपांतरण मानचित्र है और <math>M</math> एक <math>R</math>-Module, फिर <math>M</math> यदि और केवल यदि और केवल यदि <math>M \otimes_R S</math> प्रक्षेपी  है।<ref>{{Cite web |title=Section 10.95 (05A4): Descending properties of modules—The Stacks project |url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/05A4 |access-date=2022-11-03 |website=stacks.math.columbia.edu |language=en}}</ref> दूसरे शब्दों में, प्रक्षेपी होने की संपत्ति[[ ईमानदारी से सपाट वंश | ईमानदारी से सपाट वंश]] को संतुष्ट करती है।
-== प्रोजेक्टिव मॉड्यूल की श्रेणी ==
+प्रक्षेपी मापांक के [[ भागफल मॉड्यूल |भागफल मापांक]] को भी प्रक्षेपी होने की आवश्यकता नहीं है, उदाहरण के लिए 'z'/n 'z' का भागफल है, लेकिन घुमाव-मुक्त मापांक नहीं है। इसलिए समतल और प्रक्षेपी नहीं है।
-प्रोजेक्टिव मॉड्यूल के सबमॉड्यूल्स को प्रोजेक्टिव नहीं होना चाहिए;एक रिंग आर जिसके लिए एक प्रोजेक्टिव लेफ्ट मॉड्यूल के प्रत्येक सबमॉड्यूल को प्रोजेक्टिव होता है, उसे वंशानुगत रिंग कहा जाता है।
-प्रोजेक्टिव मॉड्यूल के [[ भागफल मॉड्यूल ]] को भी प्रोजेक्टिव होने की आवश्यकता नहीं है, उदाहरण के लिए 'z'/n 'z' का एक भागफल है, लेकिन मरोड़-मुक्त मॉड्यूल नहीं है। मरोड़-मुक्त, इसलिए सपाट नहीं है, और इसलिए प्रोजेक्टिव नहीं है।
+वलय पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न प्रक्षेपी मापांक की श्रेणी [[ सटीक श्रेणी |त्रुटिहीन श्रेणी]] है।([[ बीजगणित |बीजगणितीय]] के-सिद्धांत भी देखें)।
-एक अंगूठी पर बारीक रूप से उत्पन्न प्रोजेक्टिव मॉड्यूल की श्रेणी एक [[ सटीक श्रेणी ]] है।([[ बीजगणित ]]ीय के-थ्योरी भी देखें)।
+== प्रक्षेपी संकल्प ==
+{{Main|प्रक्षेपी संकल्प}}
+मापांक M,को देखते हुए, M का 'प्रक्षेपी विभेदन (बीजगणित)' मापांक का अनंत [[ सटीक अनुक्रम |त्रुटिहीन अनुक्रम]] है
+: ··· → ''P<sub>n</sub>'' → ··· → ''P''<sub>2</sub> → ''P''<sub>1</sub> → ''P''<sub>0</sub> → ''M'' → 0,
+सभी P<sub>''i''</sub>; प्रक्षेपी के साथ प्रत्येक मापांक में अनुमानित विभेदन होता है। वास्तव में मुक्त विभेदन उपस्थित होता है। प्रक्षेपी मापांक के त्रुटिहीन अनुक्रम को कभी-कभी {{nowrap|''P''(''M'') → ''M'' → 0}} या {{nowrap|''P''<sub>•</sub> → ''M'' → 0}} के रूप में संक्षिप्त किया जा सकता है। [[ नियमित अनुक्रम |नियमित अनुक्रम]] के[[ जटिल शर्ट | जटिल परिसर]] द्वारा प्रक्षेपी संकल्प का उत्कृष्ट उदाहरण दिया गया है, जो अनुक्रम द्वारा उत्पन्न आदर्श (वलय सिद्धांत) का मुक्त संकल्प है।
-== प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन ==
+परिमित विभेदन की लंबाई सूचकांक n है जैसे कि P<sub>''n''</sub> [[ शून्य मॉड्यूल |अशून्य मापांक]] है और {{nowrap|1=''P''<sub>''i''</sub> = 0}} के लिए  ''i'' n से अधिक है। यदि M परिमित प्रक्षेपी विभेदन को स्वीकार करता है, तो M के सभी परिमित प्रक्षेपी संकल्प के मध्य   न्यूनतम लंबाई को इसका 'प्रक्षेपी आयाम' कहा जाता है और इसे pd(M) से निरूपित किया जाता है। यदि M परिमित प्रक्षेपी विभेदन को स्वीकार नहीं करता है, तब सम्मेलन द्वारा प्रक्षेप्य आयाम को अनंत कहा जाता है। उदाहरण के रूप में, मापांक M पर विचार करें जैसे कि {{nowrap|1=pd(''M'') = 0}}, इस स्थिति में, अनुक्रम 0 →P<sub>0</sub> → M→ 0 की त्रुटिहीनता को प्रदर्शित करता है  कि केंद्र में तीर समरूपी है, और इसलिए M स्वयं प्रक्षेपी है।
-{{Main|Projective resolution}}
-एक मॉड्यूल को देखते हुए, एम, एम का एक 'प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन (बीजगणित)' मॉड्यूल का एक अनंत [[ सटीक अनुक्रम ]] है
-: & middot; & middot; & middot;→ पी<sub>''n''</sub> → & middot; & middot; & middot;→ पी<sub>2</sub> → पी<sub>1</sub> → पी<sub>0</sub> → एम → 0,
-सभी पी के साथ<sub>''i''</sub>& thinsp; प्रोजेक्टिव।प्रत्येक मॉड्यूल में एक अनुमानित संकल्प होता है।वास्तव में एक मुक्त संकल्प (मुक्त मॉड्यूल द्वारा संकल्प) मौजूद है।प्रोजेक्टिव मॉड्यूल के सटीक अनुक्रम को कभी -कभी संक्षिप्त किया जा सकता है {{nowrap|''P''(''M'') → ''M'' → 0}} या {{nowrap|''P''<sub>•</sub> → ''M'' → 0}}।एक [[ नियमित अनुक्रम ]] के [[ जटिल शर्ट ]] द्वारा एक प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन का एक क्लासिक उदाहरण दिया गया है, जो अनुक्रम द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग थ्योरी) का एक मुक्त संकल्प है।
-एक परिमित संकल्प की लंबाई सूचकांक n है जैसे कि पी<sub>''n''</sub> [[ शून्य मॉड्यूल ]] है और {{nowrap|1=''P''<sub>''i''</sub> = 0}} के लिए मैं n से बड़ा।यदि M एक परिमित प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन को स्वीकार करता है, तो M के सभी परिमित प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन के बीच न्यूनतम लंबाई को इसका 'प्रोजेक्टिव डाइमेंशन' कहा जाता है और पीडी (एम) को निरूपित किया जाता है।यदि M एक परिमित प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन को स्वीकार नहीं करता है, तो कन्वेंशन द्वारा प्रक्षेप्य आयाम को अनंत कहा जाता है।एक उदाहरण के रूप में, एक मॉड्यूल एम पर विचार करें जैसे कि {{nowrap|1=pd(''M'') = 0}}।इस स्थिति में, अनुक्रम की सटीकता 0 → पी<sub>0</sub> → एम → 0 इंगित करता है कि केंद्र में तीर एक आइसोमोर्फिज्म है, और इसलिए एम स्वयं प्रोजेक्टिव है।
+== क्रम-विनिमेय वलयों पर प्रक्षेपी मापांक ==
+क्रम-विनिमेय वलयों पर प्रक्षेपी मापांक में उत्तम गुण होते हैं।
-== कम्यूटेटिव रिंग्स पर प्रोजेक्टिव मॉड्यूल ==
+प्रक्षेपी मापांक का [[ स्थानीयकरण |स्थानीयकरण]] (क्रमविनिमेय बीजगणित) स्थानीयकृत वलय पर अनुमानित मापांक है।
-कम्यूटेटिव रिंग्स पर प्रोजेक्टिव मॉड्यूल में अच्छे गुण होते हैं।
-एक प्रोजेक्टिव मॉड्यूल का [[ स्थानीयकरण ]] (कम्यूटेटिव बीजगणित) स्थानीयकृत रिंग पर एक अनुमानित मॉड्यूल है।
+स्थानीय वलय पर प्रक्षेपी मापांक निःशुल्क है। इस प्रकार प्रक्षेपी मापांक स्थानीय रूप से मुक्त है।
-एक स्थानीय रिंग पर एक प्रोजेक्टिव मॉड्यूल मुफ्त है।इस प्रकार एक प्रोजेक्टिव मॉड्यूल स्थानीय रूप से मुक्त है (इस अर्थ में कि प्रत्येक प्रमुख आदर्श पर इसका स्थानीयकरण रिंग के संबंधित स्थानीयकरण पर मुक्त है)।
-Noetherian Rings पर बारीक रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए यह सच है: एक कम्यूटेटिव Noetherian रिंग पर एक बारीक रूप से उत्पन्न मॉड्यूल स्थानीय रूप से मुक्त है यदि और केवल अगर यह अनुमानित है।
+नोथेरियन वलय पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मापांक के लिए यह सत्य है: क्रमविनिमेय नोथेरियन वलय पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मापांक स्थानीय रूप से मुक्त है यदि केवल यह अनुमानित हो।
-हालांकि, एक [[ नथियन रिंग ]] पर बारीक रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के उदाहरण हैं जो स्थानीय रूप से स्वतंत्र हैं और अनुमानित नहीं हैं।उदाहरण के लिए,
+चूंकि, [[ नथियन रिंग |गैर-नोएथेरियन वलय]] पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मापांक के उदाहरण हैं जो स्थानीय रूप से स्वतंत्र हैं और अनुमानित नहीं हैं। उदाहरण के लिए, [[ बूलियन रिंग |बूलियन वलय]] में दो तत्वों के क्षेत्र 'f'<sub>2</sub>, के लिए इसके सभी स्थानीयकरण समरूपी होते हैं, इसलिए बूलियन वलय पर कोई भी मापांक स्थानीय रूप से मुक्त होता है, किन्तु बूलियन के वलयों पर कुछ गैर-प्रक्षेप्य मापांक होते हैं। उदाहरण R/I है जहां, R 'F<sub>2</sub>' की कई प्रतियों का प्रत्यक्ष उत्पाद है और I, R के अंदर  'F<sub>2</sub>' की कई प्रतियों का प्रत्यक्ष योग है। R-मापांक R/I स्थानीय रूप से मुक्त है क्योंकि R बूलियन है (और यह R-मापांक के रूप में भी सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होता है, आकार 1 के विस्तारित हुए समुच्चय), लेकिन R/I प्रक्षेपी नहीं है क्योंकि प्रमुख आदर्श नहीं है। (यदि भागफल मापांक R/I, किसी भी क्रम-विनिमेय वलय R और आदर्श के लिए, प्रक्षेपी R-मापांक प्रमुख है।)
-एक [[ बूलियन रिंग ]] में इसके सभी स्थानीयकरण isomorphic हैं 'f'<sub>2</sub>, दो तत्वों का क्षेत्र, इसलिए एक बूलियन रिंग पर कोई भी मॉड्यूल स्थानीय रूप से मुक्त है, लेकिन
-बूलियन के छल्ले पर कुछ गैर-प्रक्षेप्य मॉड्यूल हैं।एक उदाहरण आर/आई है जहां
-आर 'एफ' की कई प्रतियों का एक प्रत्यक्ष उत्पाद है<sub>2</sub> और मैं 'एफ' की कई प्रतियों का सीधा योग है<sub>2</sub> आर के अंदर आर।
-आर-मॉड्यूल आर/आई स्थानीय रूप से मुक्त है क्योंकि आर बूलियन है (और यह आर-मॉड्यूल के रूप में भी बारीक रूप से उत्पन्न होता है, आकार 1 के एक फैले हुए सेट के साथ), लेकिन आर/आई प्रोजेक्टिव नहीं है क्योंकि
-मैं एक प्रमुख आदर्श नहीं है।(यदि एक भागफल मॉड्यूल r/i, किसी भी कम्यूटेटिव रिंग R और आदर्श I के लिए, एक अनुमानित R- मॉड्यूल है तो मैं प्रिंसिपल है।)
-हालांकि, यह सच है कि एक कम्यूटेटिव रिंग आर (विशेष रूप से यदि एम एक बारीक रूप से उत्पन्न आर-मॉड्यूल है और आर नूथेरियन है) पर [[ बारीक रूप से प्रस्तुत मॉड्यूल ]] के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैं।<ref>Exercises 4.11 and 4.12 and Corollary 6.6 of David Eisenbud, ''Commutative Algebra with a view towards Algebraic Geometry'', GTM 150, Springer-Verlag, 1995. Also, {{harvnb|Milne|1980}}</ref>
+चूंकि, यह सत्य है कि क्रमविनिमेय वलय R (विशेष रूप से यदि M सूक्ष्म रूप से उत्पन्न R-मापांक है और R नूथेरियन है) पर[[ बारीक रूप से प्रस्तुत मॉड्यूल | सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत मापांक]] के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैं।<ref>Exercises 4.11 and 4.12 and Corollary 6.6 of David Eisenbud, ''Commutative Algebra with a view towards Algebraic Geometry'', GTM 150, Springer-Verlag, 1995. Also, {{harvnb|Milne|1980}}</ref>
-#<math>M</math> सपाट है।
+#<math>M</math> समतल होता है।
-#<math>M</math> प्रोजेक्टिव है।
+#<math>M</math> प्रक्षेपी होता है।
-#<math>M_\mathfrak{m}</math> के रूप में स्वतंत्र है <math>R_\mathfrak{m}</math>प्रत्येक [[ अधिकतम आदर्श ]] के लिए -मॉड्यूल <math>\mathfrak{m}</math> आर।
+#<math>M_\mathfrak{m}</math> इस रूप में स्वतंत्र है <math>R_\mathfrak{m}</math> प्रत्येक [[ अधिकतम आदर्श |अधिकतम आदर्श]] के लिए <math>\mathfrak{m}</math>-R मापांक होता है।
-#<math>M_\mathfrak{p}</math> के रूप में स्वतंत्र है <math>R_\mathfrak{p}</math>-मिड्यूल हर प्राइम आइडियल के लिए <math>\mathfrak{p}</math> आर।
+#<math>M_\mathfrak{p}</math> इस रूप में स्वतंत्र है <math>R_\mathfrak{p}</math>-प्रत्येक अभाज्य गुणजावली के लिए मापांक R का <math>\mathfrak{p}</math> होता है।
-#वहां है <math>f_1,\ldots,f_n \in R</math> यूनिट आदर्श को उत्पन्न करना जैसे कि <math>M[f_i^{-1}]</math> के रूप में स्वतंत्र है <math>R[f_i^{-1}]</math>प्रत्येक के लिए -मॉड्यूल।
+#जहाँ  <math>f_1,\ldots,f_n \in R</math> इकाई आदर्श उत्पन्न करता है जैसे कि <math>M[f_i^{-1}]</math> के रूप में स्वतंत्र है <math>R[f_i^{-1}]</math> प्रत्येक i के लिए मापांक होता है।
-#<math>\widetilde{M}</math> एक स्थानीय रूप से मुक्त शीफ है <math>\operatorname{Spec}R</math> (कहां <math>\widetilde{M}</math> एक मॉड्यूल एम से जुड़ा शीफ है)
+#<math>\widetilde{M}</math> स्थानीय रूप से मुक्त बंडल है <math>\operatorname{Spec}R</math> (जहां <math>\widetilde{M}</math> मापांक से जुड़ा बंडल है)
-इसके अलावा, यदि आर एक नॉटेथियन [[ अभिन्न डोमेन ]] है, तो, नाकायमा के लेम्मा द्वारा, ये शर्तें बराबर हैं
+इसके अतिरिक्त, यदि R नोथेरियन [[ अभिन्न डोमेन |अभिन्न डोमेन]] है, तो, निराश के लेम्मा द्वारा, ये स्थितियाँ समतुल्य हैं
-*का आयाम (वेक्टर स्पेस) <math>k(\mathfrak{p})</math>-[[ सदिश स्थल ]] <math>M \otimes_R k(\mathfrak{p})</math> सभी प्रमुख आदर्शों के लिए समान है <math>\mathfrak{p}</math> आर, जहां <math>k(\mathfrak{p})</math> पर अवशेष क्षेत्र है <math>\mathfrak{p}</math>.<ref>That is, <math>k(\mathfrak{p})=R_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}R_\mathfrak{p}</math> is the residue field of the local ring <math>R_\mathfrak{p}</math>.</ref> यह कहना है, एम में निरंतर रैंक है (जैसा कि नीचे परिभाषित किया गया है)।
+*आयाम (सदिश स्थान) <math>k(\mathfrak{p})</math>-[[ सदिश स्थल ]] <math>M \otimes_R k(\mathfrak{p})</math> सभी अभाज्य गुणजावली के लिए समान है <math>\mathfrak{p}</math> R, जहां <math>k(\mathfrak{p})</math> पर अवशेष क्षेत्र  <math>\mathfrak{p}</math>.<ref>That is, <math>k(\mathfrak{p})=R_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}R_\mathfrak{p}</math> is the residue field of the local ring <math>R_\mathfrak{p}</math>.</ref>है कहने का अर्थ यह है कि, M में निरंतर श्रेणी है (जैसा कि नीचे परिभाषित किया गया है)।
-एक कम्यूटेटिव रिंग होने दें।यदि B एक रिंग पर एक (संभवतः गैर-कम्यूटेटिव) ए-बीजगणित है, जो एक [[ सबरिंग ]] के रूप में एक बारीक रूप से उत्पन्न प्रक्षेप्य ए-मॉड्यूल है, तो ए बी का एक सीधा कारक है। बी।<ref>{{harvnb|Bourbaki, Algèbre commutative|1989|loc=Ch II, §5, Exercise 4}}</ref>
+माना A क्रम-विनिमेय वलय है। यदि B वलय पर (संभवतः गैर-क्रमविनिमेय) A-बीजगणित है, जो [[ सबरिंग |उप-वलय]] के रूप में  सूक्ष्म रूप से उत्पन्न प्रक्षेप्य A-मापांक है, तो A,B का प्रत्यक्ष कारक है।।<ref>{{harvnb|Bourbaki, Algèbre commutative|1989|loc=Ch II, §5, Exercise 4}}</ref>
-=== रैंक ===
+=== श्रेणी ===
-चलो एक कम्यूटेटिव रिंग आर और एक्स पर एक बारीक रूप से उत्पन्न प्रोजेक्टिव मॉड्यूल हो। आर। की एक रिंग का स्पेक्ट्रम हो। एक प्रमुख आदर्श पर पी का रैंक <math>\mathfrak{p}</math> एक्स में फ्री का रैंक है <math>R_{\mathfrak{p}}</math>-मापांक <math>P_{\mathfrak{p}}</math>।यह X पर एक स्थानीय रूप से निरंतर कार्य है। विशेष रूप से, यदि X जुड़ा हुआ है (अर्थात अगर R में 0 और 1 से कोई अन्य idempotent नहीं है), तो P में निरंतर रैंक है।
+क्रम-विनिमेय वलय R और X पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न प्रक्षेपी मापांक होता है। R वलय का स्पेक्ट्रम हो। प्रमुख आदर्श पर P की श्रेणी <math>\mathfrak{p}</math> X में मुक्त की श्रेणी  <math>R_{\mathfrak{p}}</math>-मापांक का <math>P_{\mathfrak{p}}</math> है। यह X पर स्थानीय रूप से निरंतर कार्य करता है। विशेष रूप से, यदि X जुड़ा हुआ है (अर्थात यदि R में 0 और 1 से कोई अन्य वर्गसम नहीं है), तो P निरंतर श्रेणी में है।
-== वेक्टर बंडलों और स्थानीय रूप से मुक्त मॉड्यूल ==
+== सदिश बंडलों और स्थानीय रूप से मुक्त मापांक ==
-{{more citations needed section|date=July 2008}}
+सिद्धांत की मूल प्रेरणा यह है कि प्रक्षेपी मापांक (अल्प से अल्प कुछ क्रमविनिमेय वलयों से अधिक)[[ वेक्टर बंडल | सदिश बंडलों]] के अनुरूप हैं। इसे [[ कॉम्पैक्ट स्पेस |कॉम्पैक्ट]] [[ हौसडॉर्फ स्पेस |हौसडॉर्फ स्पेस]] निरंतर वास्तविक-मूल्यवान [[ सतत कार्य (टोपोलॉजी) |कार्यों]] के वलय के लिए त्रुटिहीन बनाया जा सकता है, (सेरे-स्वान प्रमेय देखें जो अंतरिक्ष के ऊपर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न प्रक्षेपी मापांक है) कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड [[ विविध |विविध]] पर  कार्यों के स्थान पर मापांक सदिश बंडल के वर्गों का स्थान है)।
-सिद्धांत की एक बुनियादी प्रेरणा यह है कि प्रोजेक्टिव मॉड्यूल (कम से कम कुछ कम्यूटेटिव रिंग्स से अधिक) [[ वेक्टर बंडल ]]ों के एनालॉग हैं।यह एक [[ कॉम्पैक्ट स्पेस ]] [[ हौसडॉर्फ स्पेस ]] पर रिंग ऑफ [[ सतत कार्य (टोपोलॉजी) ]] रिंग ऑफ़ कंटीन्यूअस फंक्शन (टोपोलॉजी) के लिए सटीक बनाया जा सकता है, साथ ही साथ एक गुना पर चिकनी कार्यों की अंगूठी के लिए (सेर्रे-वैन प्रमेय देखें जो एक बारीक रूप से उत्पन्न प्रक्षेप्य कहता हैएक कॉम्पैक्ट [[ विविध ]] पर चिकनी कार्यों के स्थान पर मॉड्यूल एक चिकनी वेक्टर बंडल के चिकनी वर्गों का स्थान है)।
-वेक्टर बंडल स्थानीय रूप से मुक्त हैं।यदि स्थानीयकरण की कुछ धारणा है, जिसे मॉड्यूल पर ले जाया जा सकता है, जैसे कि एक रिंग के सामान्य स्थानीयकरण, कोई स्थानीय रूप से मुक्त मॉड्यूल को परिभाषित कर सकता है, और प्रक्षेप्य मॉड्यूल तब आमतौर पर स्थानीय रूप से मुक्त मॉड्यूल के साथ मेल खाते हैं।
+सदिश बंडल स्थानीय रूप से मुक्त हैं। यदि स्थानीयकरण की कुछ धारणा है, जिसे मापांक पर ले जाया जा सकता है, जैसे कि वलय के सामान्य स्थानीयकरण, कोई स्थानीय रूप से मुक्त मापांक को परिभाषित कर सकता है, और प्रक्षेप्य मापांक तब सामान्यतः स्थानीय रूप से मुक्त मापांक के साथ मेल खाते हैं।
-== एक बहुपद छल्ले पर प्रक्षेपी मॉड्यूल ==
+== बहुपद वलय पर प्रक्षेपी मापांक ==
-क्विलन -सुस्लिन प्रमेय, जो सेरे की समस्या को हल करता है, एक और गहरा परिणाम है: यदि k एक क्षेत्र है, या सामान्यतः एक प्रमुख आदर्श डोमेन है, और {{nowrap|1=''R'' = ''K''[''X''<sub>1</sub>,...,''X''<sub>''n''</sub>]}} K के ऊपर एक बहुपद छल्ला है, तब R पर प्रत्येक प्रक्षेपी मॉड्यूल मुक्त है।
+क्विलन -सुस्लिन प्रमेय, जो सेरे की समस्या का समाधान करता है, परिणाम यह है: यदि k क्षेत्र है, या सामान्यतः प्रमुख आदर्श डोमेन है, और R = K[X1,...,Xn] K के ऊपर बहुपद वलय है, तब R पर प्रत्येक प्रक्षेपी मापांक मुक्त होता है। इस समस्या को पहले सेरे द्वारा K A क्षेत्र (और मापांक को सूक्ष्म रूप से उत्पन्न किया जा रहा है) के साथ उठाया गया था।बास ने इसे गैर-फिनती उत्पन्न मापांक के लिए बसाया,<ref>{{cite journal|title=Big projective modules are free|last=Bass|first=Hyman|journal=Illinois Journal of Mathematics|volume=7|number=1|year=1963|publisher=Duke University Press|doi=10.1215/ijm/1255637479|at=Corollary 4.5}}</ref> और क्विलन और सुज़लिन ने स्वतंत्र रूप से साथ ही साथ सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मापांक की स्थिति का उपाय किया।
-इस समस्या को पहले सेरे द्वारा K A FIELD (और मॉड्यूल को बारीक रूप से उत्पन्न किया जा रहा है) के साथ उठाया गया था।बास ने इसे गैर-फिनती उत्पन्न मॉड्यूल के लिए बसाया,<ref>{{cite journal|title=Big projective modules are free|last=Bass|first=Hyman|journal=Illinois Journal of Mathematics|volume=7|number=1|year=1963|publisher=Duke University Press|doi=10.1215/ijm/1255637479|at=Corollary 4.5}}</ref> और क्विलन और सुज़लिन ने स्वतंत्र रूप से और साथ ही साथ बारीक रूप से उत्पन्न मॉड्यूल की स्थिति का इलाज किया।
-चूंकि एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर प्रत्येक प्रक्षेपी मॉड्यूल स्वतंत्र है, कोई भी यह सवाल पूछ सकता है: यदि आर एक कम्यूटेटिव रिंग है जैसे कि हर (बारीक रूप से उत्पन्न) प्रक्षेपी आर-मॉड्यूल स्वतंत्र है, तो हर (बारीक रूप से उत्पन्न) प्रक्षेपी आर [एक्स] है।-मॉड्यूल मुक्त?जवाब न है।वक्र के स्थानीय रिंग के बराबर आर के साथ एक[[ प्रतिवाद | प्रतिवाद]] होता है {{nowrap|1=''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup>}} मूल में।इस प्रकार क्विलन-सुस्लिन प्रमेय कभी भी चर की संख्या पर एक साधारण गणितीय प्रेरण द्वारा साबित नहीं किया जा सकता है।
+चूंकि प्रमुख आदर्श डोमेन पर प्रत्येक प्रक्षेपी मापांक स्वतंत्र है, कोई भी यह प्रश्न पूछ सकता है: यदि R क्रम-विनिमेय वलय है जैसे कि प्रत्येक (सूक्ष्म रूप से उत्पन्न) प्रक्षेपी R-मापांक स्वतंत्र है, तो प्रत्येक (सूक्ष्म रूप से उत्पन्न) प्रक्षेपी R[X] है। यदि मापांक का उत्तर न है। तो वक्र के स्थानीय वलय के समान R के साथ[[ प्रतिवाद | प्रतिवाद]] होता है y2 = x3 मूल में, इस प्रकार क्विलन-सुस्लिन प्रमेय कभी भी चर की संख्या पर साधारण गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध नहीं किया जा सकता है।
 == यह भी देखें ==
-{{Wikibooks|Commutative Algebra|Torsion-free, flat, projective and free modules}}
+*प्रोजेक्टिव कवर
-*[[ प्रोजेक्टिव कवर ]]
 *शानुएल का लेम्मा
-*[[ बास रद्दीकरण प्रमेय ]]
+*रद्दीकरण प्रमेय
-*[[ मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत ]]<!-- in this theory, it is important to understand/study projective modules - right? - so it makes sense to have some mention of a projective module in this theory -->
+*[[मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत]]
@@ Line 141: / Line 140: @@
 {{Reflist}}
-*
 ==संदर्भ==
 * {{cite book | author1=William A. Adkins |author2=Steven H. Weintraub |title=Algebra: An Approach via Module Theory | url=https://archive.org/details/springer_10.1007-978-1-4612-0923-2 |publisher=Springer |year=1992 |at=Sec 3.5}}
@@ Line 163: / Line 159: @@
 {{Authority control}}
-[[श्रेणी: होमोलॉजिकल बीजगणित]]
+[[Category:All accuracy disputes]]
-[[श्रेणी: मॉड्यूल सिद्धांत]]]
+[[Category:Articles with disputed statements from May 2022]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:Articles with invalid date parameter in template]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
 [[Category:Created On 04/01/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
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Latest revision as of 13:15, 27 October 2023

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परिभाषाएँ

उद्यत संपत्ति

विभाजित-त्रुटिहीन अनुक्रम

मुक्त मापांक के प्रत्यक्ष सारांश

शुद्धता

उभय आधार

प्राथमिक उदाहरण और गुण

अन्य मापांक-सिद्धांत गुणों से संबंध

प्रक्षेपी विरुद्ध मुक्त मापांक

प्रक्षेपी विरुद्ध समतल मापांक

प्रक्षेपी मापांक की श्रेणी

प्रक्षेपी संकल्प

क्रम-विनिमेय वलयों पर प्रक्षेपी मापांक

श्रेणी

सदिश बंडलों और स्थानीय रूप से मुक्त मापांक

बहुपद वलय पर प्रक्षेपी मापांक

यह भी देखें

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प्रोजेक्टिव मॉड्यूल: Difference between revisions

Latest revision as of 13:15, 27 October 2023

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उद्यत संपत्ति

विभाजित-त्रुटिहीन अनुक्रम

मुक्त मापांक के प्रत्यक्ष सारांश

शुद्धता

उभय आधार

प्राथमिक उदाहरण और गुण

अन्य मापांक-सिद्धांत गुणों से संबंध

प्रक्षेपी विरुद्ध मुक्त मापांक

प्रक्षेपी विरुद्ध समतल मापांक

प्रक्षेपी मापांक की श्रेणी

प्रक्षेपी संकल्प

क्रम-विनिमेय वलयों पर प्रक्षेपी मापांक

श्रेणी

सदिश बंडलों और स्थानीय रूप से मुक्त मापांक

बहुपद वलय पर प्रक्षेपी मापांक

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