बीजगणितीय विस्तार: Difference between revisions

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गणित में, '''बीजगणितीय विस्तार''' क्षेत्र विस्तार L/K होता है जैसे कि बड़े क्षेत्र का प्रत्येक तत्व (गणित) {{mvar|L}} छोटे क्षेत्र पर [[बीजगणितीय तत्व]] है {{mvar|K}}; अर्थात, यदि प्रत्येक तत्व {{mvar|L}} में गुणांक वाले शून्येतर [[बहुपद]] का मूल है {{mvar|K}} .<ref>Fraleigh (2014), Definition 31.1, p. 283.</ref><ref>Malik, Mordeson, Sen (1997), Definition 21.1.23, p. 453.</ref> क्षेत्र विस्तार जो बीजगणितीय नहीं है, उसको पारलौकिक विस्तार कहा जाता है, और इसमें पारलौकिक तत्व होने चाहिए, अर्थात ऐसे तत्व जो बीजगणितीय नहीं हैं।<ref>Fraleigh (2014), Definition 29.6, p. 267.</ref><ref>Malik, Mordeson, Sen (1997), Theorem 21.1.8, p. 447.</ref>
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गणित में, एक बीजगणितीय विस्तार एक क्षेत्र विस्तार है {{math|''L''/''K''}} जैसे कि बड़े क्षेत्र का प्रत्येक तत्व (गणित) {{mvar|L}} छोटे क्षेत्र पर [[बीजगणितीय तत्व]] है {{mvar|K}}; यानी, अगर हर तत्व {{mvar|L}} में गुणांक वाले शून्येतर [[बहुपद]] का एक मूल है {{mvar|K}} .<ref>Fraleigh (2014), Definition 31.1, p. 283.</ref><ref>Malik, Mordeson, Sen (1997), Definition 21.1.23, p. 453.</ref> एक फ़ील्ड एक्सटेंशन जो बीजगणितीय नहीं है, उसे फ़ील्ड एक्सटेंशन#ट्रान्सेंडैंटल एक्सटेंशन कहा जाता है, और इसमें ट्रान्सेंडैंटल तत्व होने चाहिए, अर्थात ऐसे तत्व जो बीजगणितीय नहीं हैं।<ref>Fraleigh (2014), Definition 29.6, p. 267.</ref><ref>Malik, Mordeson, Sen (1997), Theorem 21.1.8, p. 447.</ref>
क्षेत्र के बीजगणितीय विस्तार <math>\Q</math> [[परिमेय संख्या]]ओं को [[बीजगणितीय संख्या क्षेत्र]] कहा जाता है और [[बीजगणितीय संख्या सिद्धांत]] के अध्ययन की मुख्य वस्तुएँ हैं। सामान्य बीजगणितीय विस्तार का एक अन्य उदाहरण विस्तार है <math>\Complex/\R</math> [[जटिल संख्या]]ओं द्वारा [[वास्तविक संख्या]]ओं का।


क्षेत्र के बीजगणितीय विस्तार <math>\Q</math> [[परिमेय संख्या]] को [[बीजगणितीय संख्या क्षेत्र]] कहा जाता है और [[बीजगणितीय संख्या सिद्धांत]] के अध्ययन की मुख्य वस्तुएँ हैं। सामान्य बीजगणितीय विस्तार का अन्य उदाहरण विस्तार है <math>\Complex/\R</math> [[जटिल संख्या]]ओं द्वारा [[वास्तविक संख्या]]ओं का है।
== कुछ गुण ==
== कुछ गुण ==
सभी पारलौकिक विस्तार एक क्षेत्र विस्तार की अनंत डिग्री के हैं। इसका तात्पर्य यह है कि सभी परिमित विस्तार बीजगणितीय हैं।<ref>See also Hazewinkel et al. (2004), p. 3.</ref> आक्षेप (तर्क) हालांकि सत्य नहीं है: ऐसे अनंत विस्तार हैं जो बीजगणितीय हैं।<ref>Fraleigh (2014), Theorem 31.18, p. 288.</ref> उदाहरण के लिए, सभी [[बीजगणितीय संख्या]]ओं का क्षेत्र परिमेय संख्याओं का एक अनंत बीजगणितीय विस्तार है।<ref>Fraleigh (2014), Corollary 31.13, p. 287.</ref>
सभी पारलौकिक विस्तार क्षेत्र विस्तार की अनंत डिग्री के हैं। इसका तात्पर्य यह है कि सभी परिमित विस्तार बीजगणितीय हैं।<ref>See also Hazewinkel et al. (2004), p. 3.</ref> आक्षेप (तर्क) यद्यपि सत्य नहीं है: ऐसे अनंत विस्तार हैं जो कि बीजगणितीय हैं।<ref>Fraleigh (2014), Theorem 31.18, p. 288.</ref> उदाहरण के लिए, सभी [[बीजगणितीय संख्या]]ओं का क्षेत्र परिमेय संख्याओं का अनंत बीजगणितीय विस्तार है।<ref>Fraleigh (2014), Corollary 31.13, p. 287.</ref>
मान लीजिए E, K का एक विस्तार क्षेत्र है, और एक ∈ E. यदि a, K पर बीजगणितीय है, तो K(a), k में गुणांक वाले a में सभी बहुपदों का समुच्चय, न केवल एक वलय (गणित) है, बल्कि एक क्षेत्र भी है। : K(a) K का एक बीजगणितीय विस्तार है जिसकी K पर परिमित डिग्री है।<ref>Fraleigh (2014), Theorem 30.23, p. 280.</ref> इसका उलट सत्य नहीं है। Q[π] और Q[e] क्षेत्र हैं लेकिन π और e, Q के ऊपर पारलौकिक हैं।<ref>Fraleigh (2014), Example 29.8, p. 268.</ref>
मान लीजिए कि E, K का विस्तार क्षेत्र है, और ∈ E. यदि a, K पर बीजगणितीय है, तो K(a), k में गुणांक वाले a में सभी बहुपदों का समुच्चय, न केवल वलय (गणित) है, अपितु क्षेत्र भी है। : K(a) K का बीजगणितीय विस्तार है जिसकी K पर परिमित डिग्री है।<ref>Fraleigh (2014), Theorem 30.23, p. 280.</ref> इसका उलट सत्य नहीं है। Q[π] और Q[e] क्षेत्र हैं लेकिन π और e, Q के ऊपर पारलौकिक हैं।<ref>Fraleigh (2014), Example 29.8, p. 268.</ref>
एक बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड F का कोई उचित बीजगणितीय विस्तार नहीं है, अर्थात, F <E के साथ कोई बीजगणितीय विस्तार नहीं है।<ref>Fraleigh (2014), Corollary 31.16, p. 287.</ref> एक उदाहरण जटिल संख्याओं का क्षेत्र है। प्रत्येक क्षेत्र में एक बीजगणितीय विस्तार होता है जो बीजगणितीय रूप से बंद होता है (इसे [[बीजगणितीय समापन]] कहा जाता है), लेकिन [[गणितीय प्रमाण]] के लिए सामान्य रूप से पसंद के स्वयंसिद्ध के कुछ रूप की आवश्यकता होती है।<ref>Fraleigh (2014), Theorem 31.22, p. 290.</ref>
एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र F का कोई उचित बीजगणितीय विस्तार नहीं है, अर्थात, F < E के साथ कोई बीजगणितीय विस्तार नहीं है।<ref>Fraleigh (2014), Corollary 31.16, p. 287.</ref> उदाहरण जटिल संख्याओं का क्षेत्र है। तथा प्रत्येक क्षेत्र में बीजगणितीय विस्तार होता है जो कि बीजगणितीय रूप से बंद होता है (इसे [[बीजगणितीय समापन]] कहा जाता है), लेकिन [[गणितीय प्रमाण]] के लिए सामान्य रूप से पसंद के स्वयंसिद्ध के कुछ रूप की आवश्यकता होती है।<ref>Fraleigh (2014), Theorem 31.22, p. 290.</ref>
एक विस्तार एल/के बीजगणितीय है [[अगर और केवल अगर]] एल के एक क्षेत्र पर प्रत्येक उप के-बीजगणित एक क्षेत्र है।
एक विस्तार L/K बीजगणितीय है [[Index.php?title=यदि और केवल यदि|यदि और केवल यदि]] L के क्षेत्र पर प्रत्येक उप K-बीजगणित क्षेत्र है।


== गुण ==
== गुण ==
निम्नलिखित तीन गुण धारण करते हैं:<ref>Lang (2002) p.228</ref>
निम्नलिखित तीन गुण धारण करते हैं:<ref>Lang (2002) p.228</ref>
# यदि E, F का बीजगणितीय विस्तार है और F, K का बीजगणितीय विस्तार है, तो E, K का बीजगणितीय विस्तार है।
# यदि E, F का बीजगणितीय विस्तार है और F, K का बीजगणितीय विस्तार है, तो E, K का बीजगणितीय विस्तार है।
# यदि ई और एफ एक सामान्य ओवरफील्ड सी में के के बीजगणितीय विस्तार हैं, तो [[संयुक्त]] ईएफ के के बीजगणितीय विस्तार है।
# यदि ई और एफ सामान्य ओवरफील्ड C में K के बीजगणितीय विस्तार हैं, तो [[संयुक्त]] EF K का बीजगणितीय विस्तार है।
# यदि E, F का बीजगणितीय विस्तार है और E > K > F तो E, K का बीजगणितीय विस्तार है।
# यदि E, F का बीजगणितीय विस्तार है और E > K > F तो E, K का बीजगणितीय विस्तार है।


इन अंतिम परिणामों को ट्रांसफिनिट इंडक्शन का उपयोग करके सामान्यीकृत किया जा सकता है:
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यह तथ्य, ज़ोर्न के लेम्मा (उचित रूप से चयन किए गए [[Index.php?title=आंशिकतः क्रमित समुच्चय|आंशिकतः क्रमित समुच्चय]] पर क्रियान्वित ) के साथ, बीजगणितीय समापन के अस्तित्व को स्थापित करता है।
यह तथ्य, ज़ोर्न के लेम्मा (उचित रूप से चुने गए [[poset]] पर लागू) के साथ, बीजगणितीय समापन के अस्तित्व को स्थापित करता है।


== सामान्यीकरण ==
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[[मॉडल सिद्धांत]] स्वैच्छिक सिद्धांतों के लिए बीजगणितीय विस्तार की धारणा को सामान्यीकृत करता है: एन में एम के एक [[एम्बेडिंग]] को 'बीजीय विस्तार' कहा जाता है यदि एन में प्रत्येक एक्स के लिए एम में पैरामीटर के साथ एक [[अच्छी तरह से गठित सूत्र]] पी है, जैसे कि पी (एक्स) सच है और सेट है
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:<math>\left\{y\in N \mid p(y)\right\}</math>
:<math>\left\{y\in N \mid p(y)\right\}</math>
परिमित है। यह पता चला है कि इस परिभाषा को क्षेत्रों के सिद्धांत पर लागू करने से बीजगणितीय विस्तार की सामान्य परिभाषा मिलती है। एन ओवर एम के गैलोज़ समूह को फिर से [[automorphism]] के [[समूह (गणित)]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, और यह पता चला है कि सामान्य मामले के लिए गैलोज़ समूहों के अधिकांश सिद्धांत विकसित किए जा सकते हैं।
परिमित है। यह ज्ञात हुआ है कि इस परिभाषा को क्षेत्रों के सिद्धांत पर क्रियान्वित करने से बीजगणितीय विस्तार की सामान्य परिभाषा मिलती है। एन ओवर एम के गैलोज़ समूह को पुनः [[Index.php?title=स्वाकारिता|स्वाकारिता]] के [[समूह (गणित)]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, और यह ज्ञात हुआ है कि सामान्य स्थिति के लिए गैलोज़ समूहों के अधिकांश सिद्धांत विकसित किए जा सकते हैं।


== सापेक्ष बीजगणितीय समापन ==
== सापेक्ष बीजगणितीय समापन ==
एक क्षेत्र k और एक क्षेत्र K युक्त k दिया गया है, K में k के 'सापेक्ष बीजगणितीय बंद' को K के उपक्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें K के सभी तत्व शामिल हैं जो k के ऊपर बीजगणितीय हैं, जो कि K के सभी तत्व हैं जो एक हैं k में गुणांक वाले कुछ शून्येतर बहुपद का मूल।
एक क्षेत्र k और क्षेत्र K युक्त k दिया गया है, K में k के 'सापेक्ष बीजगणितीय समापन' को K के उपक्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें K के सभी तत्व सम्मिलित हैं जो k के ऊपर बीजगणितीय हैं, वह K के सभी अवयव हैं जो k में गुणांक वाले किसी शून्येतर बहुपद के मूल हैं।


== यह भी देखें ==
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* {{citation|first=Joseph J.|last=Rotman|title=Advanced Modern Algebra|year=2002|publisher=Prentice Hall|isbn=9780130878687}}
* {{citation|first=Joseph J.|last=Rotman|title=Advanced Modern Algebra|year=2002|publisher=Prentice Hall|isbn=9780130878687}}


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Latest revision as of 17:03, 31 January 2023

गणित में, बीजगणितीय विस्तार क्षेत्र विस्तार L/K होता है जैसे कि बड़े क्षेत्र का प्रत्येक तत्व (गणित) L छोटे क्षेत्र पर बीजगणितीय तत्व है K; अर्थात, यदि प्रत्येक तत्व L में गुणांक वाले शून्येतर बहुपद का मूल है K .[1][2] क्षेत्र विस्तार जो बीजगणितीय नहीं है, उसको पारलौकिक विस्तार कहा जाता है, और इसमें पारलौकिक तत्व होने चाहिए, अर्थात ऐसे तत्व जो बीजगणितीय नहीं हैं।[3][4]

क्षेत्र के बीजगणितीय विस्तार परिमेय संख्या को बीजगणितीय संख्या क्षेत्र कहा जाता है और बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के अध्ययन की मुख्य वस्तुएँ हैं। सामान्य बीजगणितीय विस्तार का अन्य उदाहरण विस्तार है जटिल संख्याओं द्वारा वास्तविक संख्याओं का है।

कुछ गुण

सभी पारलौकिक विस्तार क्षेत्र विस्तार की अनंत डिग्री के हैं। इसका तात्पर्य यह है कि सभी परिमित विस्तार बीजगणितीय हैं।[5] आक्षेप (तर्क) यद्यपि सत्य नहीं है: ऐसे अनंत विस्तार हैं जो कि बीजगणितीय हैं।[6] उदाहरण के लिए, सभी बीजगणितीय संख्याओं का क्षेत्र परिमेय संख्याओं का अनंत बीजगणितीय विस्तार है।[7] मान लीजिए कि E, K का विस्तार क्षेत्र है, और ∈ E. यदि a, K पर बीजगणितीय है, तो K(a), k में गुणांक वाले a में सभी बहुपदों का समुच्चय, न केवल वलय (गणित) है, अपितु क्षेत्र भी है। : K(a) K का बीजगणितीय विस्तार है जिसकी K पर परिमित डिग्री है।[8] इसका उलट सत्य नहीं है। Q[π] और Q[e] क्षेत्र हैं लेकिन π और e, Q के ऊपर पारलौकिक हैं।[9] एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र F का कोई उचित बीजगणितीय विस्तार नहीं है, अर्थात, F < E के साथ कोई बीजगणितीय विस्तार नहीं है।[10] उदाहरण जटिल संख्याओं का क्षेत्र है। तथा प्रत्येक क्षेत्र में बीजगणितीय विस्तार होता है जो कि बीजगणितीय रूप से बंद होता है (इसे बीजगणितीय समापन कहा जाता है), लेकिन गणितीय प्रमाण के लिए सामान्य रूप से पसंद के स्वयंसिद्ध के कुछ रूप की आवश्यकता होती है।[11] एक विस्तार L/K बीजगणितीय है यदि और केवल यदि L के क्षेत्र पर प्रत्येक उप K-बीजगणित क्षेत्र है।

गुण

निम्नलिखित तीन गुण धारण करते हैं:[12]

  1. यदि E, F का बीजगणितीय विस्तार है और F, K का बीजगणितीय विस्तार है, तो E, K का बीजगणितीय विस्तार है।
  2. यदि ई और एफ सामान्य ओवरफील्ड C में K के बीजगणितीय विस्तार हैं, तो संयुक्त EF K का बीजगणितीय विस्तार है।
  3. यदि E, F का बीजगणितीय विस्तार है और E > K > F तो E, K का बीजगणितीय विस्तार है।

इन अंतिम परिणामों को पारपरिमित आगमन का उपयोग करके सामान्यीकृत किया जा सकता है:

  1. संघ एक आधार क्षेत्र पर बीजगणितीय विस्तार की किसी भी श्रृंखला का स्वयं उसी आधार क्षेत्र पर एक बीजगणितीय विस्तार है।

यह तथ्य, ज़ोर्न के लेम्मा (उचित रूप से चयन किए गए आंशिकतः क्रमित समुच्चय पर क्रियान्वित ) के साथ, बीजगणितीय समापन के अस्तित्व को स्थापित करता है।

सामान्यीकरण

Main article: अधोसंरचना (गणित)

आदर्श सिद्धांत स्वैच्छिक सिद्धांतों के लिए बीजगणितीय विस्तार की धारणा को सामान्यीकृत करता है: एन में एम के अंतः स्थापन को 'बीजीय विस्तार' कहा जाता है यदि एन में प्रत्येक एक्स के लिए एम में पैरामीटर के साथ अच्छी तरह से गठित सूत्र पी है, जैसे कि पी (एक्स) सत्य है और समूह है

परिमित है। यह ज्ञात हुआ है कि इस परिभाषा को क्षेत्रों के सिद्धांत पर क्रियान्वित करने से बीजगणितीय विस्तार की सामान्य परिभाषा मिलती है। एन ओवर एम के गैलोज़ समूह को पुनः स्वाकारिता के समूह (गणित) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, और यह ज्ञात हुआ है कि सामान्य स्थिति के लिए गैलोज़ समूहों के अधिकांश सिद्धांत विकसित किए जा सकते हैं।

सापेक्ष बीजगणितीय समापन

एक क्षेत्र k और क्षेत्र K युक्त k दिया गया है, K में k के 'सापेक्ष बीजगणितीय समापन' को K के उपक्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें K के सभी तत्व सम्मिलित हैं जो k के ऊपर बीजगणितीय हैं, वह K के सभी अवयव हैं जो k में गुणांक वाले किसी शून्येतर बहुपद के मूल हैं।

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. ↑ Fraleigh (2014), Definition 31.1, p. 283.
  2. ↑ Malik, Mordeson, Sen (1997), Definition 21.1.23, p. 453.
  3. ↑ Fraleigh (2014), Definition 29.6, p. 267.
  4. ↑ Malik, Mordeson, Sen (1997), Theorem 21.1.8, p. 447.
  5. ↑ See also Hazewinkel et al. (2004), p. 3.
  6. ↑ Fraleigh (2014), Theorem 31.18, p. 288.
  7. ↑ Fraleigh (2014), Corollary 31.13, p. 287.
  8. ↑ Fraleigh (2014), Theorem 30.23, p. 280.
  9. ↑ Fraleigh (2014), Example 29.8, p. 268.
  10. ↑ Fraleigh (2014), Corollary 31.16, p. 287.
  11. ↑ Fraleigh (2014), Theorem 31.22, p. 290.
  12. ↑ Lang (2002) p.228


संदर्भ

  • Fraleigh, John B. (2014), A First Course in Abstract Algebra, Pearson, ISBN 978-1-292-02496-7
  • Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Algebras, rings and modules, vol. 1, Springer, ISBN 1-4020-2690-0
  • Lang, Serge (1993), "V.1:Algebraic Extensions", Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, pp. 223ff, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
  • Malik, D. B.; Mordeson, John N.; Sen, M. K. (1997), Fundamentals of Abstract Algebra, McGraw-Hill, ISBN 0-07-040035-0
  • McCarthy, Paul J. (1991) [corrected reprint of 2nd edition, 1976], Algebraic extensions of fields, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-66651-4, Zbl 0768.12001
  • Roman, Steven (1995), Field Theory, GTM 158, Springer-Verlag, ISBN 9780387944081
  • Rotman, Joseph J. (2002), Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, ISBN 9780130878687
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