प्रभाव सिद्धांत: Difference between revisions

Latest revision as of 17:16, 12 February 2023

गणित में, प्रभाव सिद्धांत की क्रिया रिक्त स्थान पर रैखिक प्रभाव का अध्ययन है, जो अंतर प्रभाव और अभिन्न प्रभाव से प्रारंभ होता है। प्रभाव को उनकी विशेषताओं के अनुसार बाध्य रैखिक प्रभाव या बंद प्रभाव द्वारा संक्षेप में प्रस्तुत किया जाता है और गैर-रैखिक प्रभाव को विचार दिया जाता है। अध्ययन के अनुसार जो कार्य स्थान की सांस्थिति पर अधिक निर्भर करता है। वो कार्यात्मक विश्लेषण की शाखा होती है।

यदि संकारक का संग्रह किसी क्षेत्र पर बीजगणित बनाता है, तो यह संकारक बीजगणित होता है। जिसे प्रभाव बीजगणित के विवरण प्रभाव सिद्धांत का भाग कहते है।

प्रभाव सिद्धांत

प्रभाव सिद्धांत प्रभाव के गुण और वर्गीकरण से संबंधित होता है, जिन्हें समय के अनुसार माना जाता है। उदाहरण के लिए, प्रभाव के वर्णक्रम की स्थिति में सामान्य प्रभाव का वर्गीकरण इस श्रेणी के अंतर्गत आता है।

प्रभाव का वर्णक्रम

वर्णक्रमीय प्रमेय रैखिक प्रभाव या मैट्रिक्स (गणित) के बारे में कई परिणामों से सम्बंधित होते है।^[1] यह व्यापक शब्द में वर्णक्रमीय प्रमेय में ऐसी स्थितियाँ प्रदान करता है जिसके अनुसार प्रभाव (गणित) या मैट्रिक्स (विकर्ण मैट्रिक्स) होता है। (किसी आधार पर विकर्ण मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया गया है)। परिमित-आयामी रिक्त स्थान पर प्रभाव के लिए विकर्णकरण की यह अवधारणा अपेक्षाकृत सरल है, यद्यपि अनंत-आयामी रिक्त स्थान पर प्रभाव के लिए कुछ संशोधन की आवश्यकता होती है। सामान्यतः वर्णक्रमीय प्रमेय रैखिक प्रभाव के वर्ग का स्वीकरन करता है जिसे गुणन प्रभाव द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है, जो कि उतना ही सरल है जितना इसके अनुसंधान की अपेक्षा कर सकता है अर्थात् अधिक अमूर्त भाषा में, वर्णक्रमीय प्रमेय क्रम विनिमेयC -बीजगणित के बारे में कथनीय है। ऐतिहासिक परिप्रेक्ष्य के लिए वर्णक्रमीय सिद्धांत भी देखें।

प्रभाव के उदाहरण के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय में प्रयुक्त होता है। वे स्व-संबद्ध प्रभाव या हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर अधिक रूप से सामान्य प्रभावित होते हैं।

वर्णक्रमीय प्रमेय भी विहित रूप से अपघटन प्रदान करता है, जिसे वर्णक्रमीय अपघटन, ईजेनवैल्यू अपघटन, या मैट्रिक्स की कार्यसूची में संयोजन कहा जाता है जिसके अंतर्निहित सदिश स्थान पर प्रभाव कार्य करता है।

सामान्य प्रभाव

जटिल हिल्बर्ट के अनुसार H पर सामान्य प्रभाव निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) पर रैखिक प्रभाव NH → H है जो कम्यूटेटर अपने हर्मिटियन के साथ N अर्थात् NN* = N*N होता है।^[2]

सामान्य संकारक महत्वपूर्ण होता हैं जिससे की वर्णक्रमीय प्रमेय उनके लिए मान्य होते है। वर्तमान समय में सामान्य संचालक के अध्ययन को उचित रूप से समझा जा सकता है। जो कि सामान्य प्रभाव के उदाहरण हैं।

कियात्मक संचालक N*= N^-1
हर्मिटियन प्रभाव सेल्फ़ एड ज्वाइंट (विरोधी स्वयं संयुक्त) प्रभाव, N* = N; साथ ही, एंटी-सेल्फ़ एड जॉइंट(विरोधी स्वयं संयुक्त) प्रभाव N* = -N.
सकारात्मक संकारक N = MM*
सामान्य मैट्रिक्स को सामान्य प्रभाव के रूप में देखा जाता है यदि कोई हिल्बर्ट स्थान काC^N लेता है।

वर्णक्रमीय प्रमेय मैट्रिक्स के अधिक सामान्य वर्ग तक फैला हुआ है। A को परिमित-आयामी आंतरिक उत्पाद के स्थान के प्रभावित होता है। जिस कारण A को सामान्य मैट्रिक्स कहा जाता है। यदि A^* A =A A^{* होता है जिसमे यह देखा जा सकता है कि A सामान्य और क्रियात्मक रूप से विकर्ण होता है जिस कारण शूर अपघटन के द्वारा हमारे समक्ष A=UTU होता है जंहा U क्रियात्मक होता है और T ऊपरी त्रिकोणीय है।}

चूँकि A सामान्य T T*=T*T होता है जिस कारण T विकर्ण होता है यधपि सामान्य ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह विकर्ण को स्पष्ट करता है।

दूसरे शब्द में, A सामान्य रूप से यदि क्रियात्मक मैट्रिक्स U में उपस्तिथ होता है। जैसे कि

A=UDU^{*}

जहां डी विकर्ण मैट्रिक्स है। फिर, डी के विकर्ण की प्रविष्टियाँ ए के eigenvalue हैं। यू के स्तंभ सदिश ए के ईजेनवेक्टर हैं और वे ऑर्थोनॉर्मल हैं। हर्मिटियन स्थिति के विपरीत, D की प्रविष्टियाँ वास्तविक होने की आवश्यकता नहीं होती है।

ध्रुवीय अपघटन

जटिल हिल्बर्ट रिक्त स्थान के बीच किसी भी बंधे हुए रैखिक प्रभाव ए का ध्रुवीय अपघटन आंशिक समरूपता और गैर-नकारात्मक प्रभाव के उत्पाद के रूप में विहित गुणनखंड होता है।^[3]

मैट्रिक्स के लिए ध्रुवीय अपघटन निम्नानुसार सामान्य रूप से कार्य करता है यदि A परिबद्ध रैखिक संकारक है तो उत्पाद A = UP के रूप में A का अद्वितीय गुणनखंडन होता है, जहां U आंशिक समरूपता है, P गैर-नकारात्मक स्व-आसन्न संकारक है और प्रारंभिक U का स्थान P की सीमा का समापन है।

निम्नलिखित मुद्दे के कारण प्रभाव U को सकारात्मक के अतिरिक्त आंशिक समरूपता के लिए दुर्बल होना चाहिए। यदि A शिफ्ट प्रभाव है तब बदलाव के लिए (N), फिर |A| = (A* A)^1/2 =L² I. तो यदि A = U |A|, U को A होना चाहिए, जो सकारात्मक नहीं होता है।

ध्रुवीय अपघटन का अस्तित्व डगलस लेम्मा का परिणाम है।

लेम्मा — यदि A, B हिल्बर्ड स्पेस H, और A*A' और B*B पर बाध्य ऑपरेटर है, तो संकुचन C मौजूद है जेसे A = CB इसके अलावा, C अद्वितीय है अगर Ker(B*) ⊂ Ker(C).

प्रभाव C द्वारा परिभाषित किया जा सकता है कि $C (Bh) = Ah$ , Ran(B) के बंद होने तक निरंतरता द्वारा विस्तारित और त्रिकोणीय पूरक पर शून्य द्वारा $Ran(B)$ . प्रभाव C से विशेष प्रकार से परिभाषित है जिससे $A*A \leq B*B$ तात्पर्य $Ker(B) \subset Ker(A)$ . लेम्मा इसके पश्चात् आता है।

विशेष रूप से, यदि $A*A = B*B$ , तो C आंशिक समरूपता है, जो अद्वितीय है यदि $Ker(B*) \subset Ker(C).$

सामान्यतः किसी भी बाध्य प्रभाव A के लिए,

A^{*}A=(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}(A^{*}A)^{\frac {1}{2}},

जंहा (A * A)^1/2 सामान्य क्रियात्मक कलन द्वारा दिया जाता है जो A*A का अद्वितीय धनात्मक वर्गमूल है। तो लेम्मा द्वारा हमारे समक्ष होता है

A=U(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}

कुछ आंशिक समरूपता U के लिए, जो अद्वितीय है यदि Ker(A) ⊂ Ker(U). (टिप्पणी

Ker(A) = Ker(A*A) = Ker(B) = Ker(B*)

, जंहा

B = B* = (A*A) 1/2

.) P को (A*A)^1/2 मान लीजिए और ध्रुवीय अपघटन A = UP प्राप्त करता है। ध्यान दें कि समरूप तर्क का उपयोग A = P'U' दिखाने के लिए किया जाता है, जहाँ P' धनात्मक है और U' आंशिक सममिति है। जब H परिमित आयामी है, तो U क्रियात्मक प्रभाव तक बढ़ाया जाता है यह सामान्य रूप से सत्य नहीं है (उपरोक्त उदाहरण देखें)। वैकल्पिक रूप से, ध्रुवीय अपघटन हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर वचन मूल्य अपघटन बाउंडेड प्रभाव के प्रभाव संस्करण का उपयोग करके दिखाया जा सकता है।

निरंतर कार्यात्मक कैलकुस की संपत्ति से, |A| A द्वारा उत्पन्न C*-बीजगणित में है। आंशिक समरूपता के लिए समान दुर्बल कथन प्रयुक्त होता है। ध्रुवीय भाग U A द्वारा उत्पन्न वॉन न्यूमैन बीजगणित में है। यदि A व्युत्क्रमणीय है, तो U C*-बीजगणित में A द्वारा भी उत्पन्न किया गया होगा।

जटिल विश्लेषण के साथ संबंध

अध्ययन किए गए कई प्रभाव होलोमोर्फिक कार्य के हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर प्रभावित हैं।

प्रभाव का कार्य सिद्धांत में प्रश्न से घनिष्ठ रूप से जुड़ा हुआ है।

उदाहरण के लिए, बेर्लिंग का प्रमेय आंतरिक कार्य के संदर्भ में बदलाव के अपरिवर्तनीय उप-स्थान का वर्णन करता है, जो गोले पर लगभग हर जगह यूनिमॉड्यूलर सीमा के मान के साथ यूनिट डिस्क पर होलोमॉर्फिक क्रिया से घिरा होता है। बर्लिंग ने बदलाव को हार्डी स्पेस पर स्वतंत्र चर द्वारा गुणन के रूप में व्याख्या की।^[4] गुणन प्रभाव का अध्ययन करने में सफलता और अधिक सामान्यतः Toeplitz(तोएप्लित्ज़) प्रभाव (जो हार्डी अंतरिक्ष पर प्रक्षेपण के बाद गुणन हैं) ने बर्गमैन अंतरिक्ष जैसे अन्य स्थान पर इसी प्रकार के प्रश्नों के अध्ययन को प्रेरित किया।

प्रभाव बीजगणित

प्रभाव बीजगणित का सिद्धांत C*-बीजगणित जैसे प्रभाव के क्षेत्र में बीजगणित को सामने लाता है।

C*- बीजगणित

C*-बीजगणित, A, नक्शा (गणित) के साथ जटिल संख्याओं के क्षेत्र में प्रभाव बीजगणित है। A $* A \to A$ . A के अवयव x के प्रतिबिम्ब के लिए x* लिखते हैं। मानचित्र x* में निम्नलिखित गुण हैं।^[5]

यह A में प्रत्येक के लिए, पेचीदगी वाला अर्ध समूह है। $x^{**}=(x^{*})^{*}=x$
A में सभी, Y के लिए $(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$ $(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$
C में प्रत्येक λ और A में प्रत्येक x के लिए $(\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}.$
A में सभी के लिए $\|x^{*}x\|=\left\|x\right\|\left\|x^{*}\right\|.$

टिप्पणी। प्रथम तीन सर्वसमिकाएँ कहती हैं कि A*-बीजगणित है। अंतिम समरूपता को C* समरूपता कहा जाता है जो इसके समान्तर होती है

\|xx^{*}\|=\|x\|^{2},

C*-पहचान मजबूत आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, वर्णक्रमीय त्रिज्या के साथ, इसका तात्पर्य है कि C*-नोर्म विशिष्ट रूप से बीजगणितीय संरचना द्वारा निर्धारित किया जाता है

\|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1{\text{ is not invertible}}\}.

यह भी देखें

अपरिवर्तनीय उप-स्थान
कार्यात्मक गणना
वर्णक्रमीय सिद्धांत
- संकल्प औपचारिकता
कॉम्पैक्ट प्रभाव
- अभिन्न समीकरण का फ्रेडहोम सिद्धांत
  - इंटीग्र प्रभाव
  - फ्रेडहोम प्रभाव
स्व-आसन्न प्रभाव
असीमित प्रभाव
- विभेदक प्रभाव
उम्ब्रल कैलकुलस
संकुचन मानचित्रण
हिल्बर्ट स्पेस पर सकारात्मक प्रभाव
पेरॉन-फ्रोबेनियस प्रमेय आदेशित सदिश स्थान पर भी देखें

संदर्भ

↑ Sunder, V.S. Functional Analysis: Spectral Theory (1997) Birkhäuser Verlag
↑ Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971), Linear algebra (2nd ed.), Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., p. 312, MR 0276251
↑ Conway, John B. (2000), A Course in Operator Theory, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, ISBN 0821820656
↑ Nikolski, N. (1986), A treatise on the shift operator, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0. A sophisticated treatment of the connections between Operator theory and Function theory in the Hardy space.
↑ Arveson, W. (1976), An Invitation to C*-Algebra, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0. An excellent introduction to the subject, accessible for those with a knowledge of basic functional analysis.

अग्रिम पठन

Conway, J. B. A Course in Functional Analysis, 2nd edition, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5
Yoshino, Takashi (1993). Introduction to Operator Theory. Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-0582237438.

बाहरी संबंध

History of Operator Theory

[1] Sunder, V.S. Functional Analysis: Spectral Theory (1997) Birkhäuser Verlag

[2] Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971), Linear algebra (2nd ed.), Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., p. 312, MR 0276251

[3] Conway, John B. (2000), A Course in Operator Theory, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, ISBN 0821820656

[4] Nikolski, N. (1986), A treatise on the shift operator, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0. A sophisticated treatment of the connections between Operator theory and Function theory in the Hardy space.

[5] Arveson, W. (1976), An Invitation to C*-Algebra, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0. An excellent introduction to the subject, accessible for those with a knowledge of basic functional analysis.

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 {{Short description|Mathematical field of study}}
-गणित में, ऑपरेटर सिद्धांत फ़ंक्शन रिक्त स्थान पर [[रैखिक ऑपरेटर]]ों का अध्ययन है, जो [[अंतर ऑपरेटर]]ों और अभिन्न ऑपरेटरों से शुरू होता है। ऑपरेटरों को उनकी विशेषताओं, जैसे बाध्य रैखिक ऑपरेटरों या [[बंद ऑपरेटर]]ों द्वारा संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है, और गैर-रैखिक ऑपरेटरों को विचार दिया जा सकता है। अध्ययन, जो कार्य स्थान की [[टोपोलॉजी]] पर बहुत अधिक निर्भर करता है, [[कार्यात्मक विश्लेषण]] की एक शाखा है।
+गणित में, प्रभाव सिद्धांत की क्रिया रिक्त स्थान पर [[रैखिक ऑपरेटर|रैखिक प्रभाव]] का अध्ययन है, जो [[अंतर ऑपरेटर|अंतर प्रभाव]] और अभिन्न प्रभाव से प्रारंभ होता है। प्रभाव को उनकी विशेषताओं के अनुसार बाध्य रैखिक प्रभाव या [[बंद ऑपरेटर|बंद प्रभाव]] द्वारा संक्षेप में प्रस्तुत किया जाता है और गैर-रैखिक प्रभाव को विचार दिया जाता है। अध्ययन के अनुसार जो कार्य स्थान की [[टोपोलॉजी|सांस्थिति]] पर अधिक निर्भर करता है। वो [[कार्यात्मक विश्लेषण]] की शाखा होती है।
-यदि संकारकों का संग्रह किसी क्षेत्र पर बीजगणित बनाता है, तो यह संकारक बीजगणित है। [[ऑपरेटर बीजगणित]] का विवरण ऑपरेटर सिद्धांत का हिस्सा है।
+यदि संकारक का संग्रह किसी क्षेत्र पर बीजगणित बनाता है, तो यह संकारक बीजगणित होता है। जिसे [[ऑपरेटर बीजगणित|प्रभाव बीजगणित]] के विवरण प्रभाव सिद्धांत का भाग कहते है।
-== एकल ऑपरेटर सिद्धांत ==
+== प्रभाव सिद्धांत ==
-एकल ऑपरेटर सिद्धांत ऑपरेटरों के गुणों और वर्गीकरण से संबंधित है, जिन्हें एक समय में एक माना जाता है। उदाहरण के लिए, एक ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम के मामले में [[सामान्य ऑपरेटर]]ों का वर्गीकरण इस श्रेणी में आता है।
+प्रभाव सिद्धांत प्रभाव के गुण और वर्गीकरण से संबंधित होता है, जिन्हें समय के अनुसार माना जाता है। उदाहरण के लिए, प्रभाव के वर्णक्रम की स्थिति में [[सामान्य ऑपरेटर|सामान्य प्रभाव]] का वर्गीकरण इस श्रेणी के अंतर्गत आता है।
-=== ऑपरेटरों का स्पेक्ट्रम ===
+=== प्रभाव का वर्णक्रम ===
-{{Main article|Spectral theorem}}
+{{Main article|वर्णक्रमीय प्रमेय}}
-स्पेक्ट्रल प्रमेय रैखिक ऑपरेटरों या [[मैट्रिक्स (गणित)]] के बारे में कई परिणामों में से एक है।<ref>Sunder, V.S. ''Functional Analysis: Spectral Theory (1997) Birkhäuser Verlag</ref> व्यापक शब्दों में वर्णक्रमीय [[प्रमेय]] ऐसी स्थितियाँ प्रदान करता है जिसके तहत एक [[ऑपरेटर (गणित)]] या एक मैट्रिक्स [[[[विकर्ण मैट्रिक्स]]]] हो सकता है (अर्थात, किसी आधार पर विकर्ण मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया गया है)। परिमित-आयामी रिक्त स्थान पर ऑपरेटरों के लिए विकर्णकरण की यह अवधारणा अपेक्षाकृत सरल है, लेकिन अनंत-आयामी रिक्त स्थान पर ऑपरेटरों के लिए कुछ संशोधन की आवश्यकता है। सामान्य तौर पर, स्पेक्ट्रल प्रमेय रैखिक ऑपरेटरों के एक वर्ग की पहचान करता है जिसे गुणन ऑपरेटरों द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है, जो उतना ही सरल है जितना कोई खोजने की उम्मीद कर सकता है। अधिक अमूर्त भाषा में, वर्णक्रमीय प्रमेय क्रमविनिमेय [[C*-algebra]]s के बारे में एक कथन है। ऐतिहासिक परिप्रेक्ष्य के लिए स्पेक्ट्रल सिद्धांत भी देखें।
-ऑपरेटरों के उदाहरण जिनके लिए स्पेक्ट्रल प्रमेय लागू होता है वे स्व-संबद्ध ऑपरेटर या हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर अधिक सामान्यतः सामान्य ऑपरेटर होते हैं।
+वर्णक्रमीय प्रमेय रैखिक प्रभाव या [[मैट्रिक्स (गणित)]] के बारे में कई परिणामों से सम्बंधित होते है।<ref>Sunder, V.S. ''Functional Analysis: Spectral Theory (1997) Birkhäuser Verlag</ref> यह व्यापक शब्द में वर्णक्रमीय [[प्रमेय]] में ऐसी स्थितियाँ प्रदान करता है जिसके अनुसार [[ऑपरेटर (गणित)|प्रभाव (गणित)]] या मैट्रिक्स ([[विकर्ण मैट्रिक्स]]) होता है। (किसी आधार पर विकर्ण मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया गया है)। परिमित-आयामी रिक्त स्थान पर प्रभाव के लिए विकर्णकरण की यह अवधारणा अपेक्षाकृत सरल है, यद्यपि अनंत-आयामी रिक्त स्थान पर प्रभाव के लिए कुछ संशोधन की आवश्यकता होती है। सामान्यतः वर्णक्रमीय प्रमेय रैखिक प्रभाव के वर्ग का स्वीकरन करता है जिसे गुणन प्रभाव द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है, जो कि उतना ही सरल है जितना इसके अनुसंधान की अपेक्षा कर सकता है अर्थात् अधिक अमूर्त भाषा में, वर्णक्रमीय प्रमेय क्रम विनिमेयC [[C*-algebra|-बीजगणित]] के बारे में कथनीय है। ऐतिहासिक परिप्रेक्ष्य के लिए वर्णक्रमीय सिद्धांत भी देखें।
-वर्णक्रमीय प्रमेय भी एक विहित रूप अपघटन प्रदान करता है, जिसे वर्णक्रमीय अपघटन, ईजेनवैल्यू अपघटन, या एक मैट्रिक्स का ईजेन्डेकम्पोजीशन कहा जाता है, अंतर्निहित सदिश स्थान जिस पर ऑपरेटर कार्य करता है।
+प्रभाव के उदाहरण के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय में प्रयुक्त होता है। वे स्व-संबद्ध प्रभाव या हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर अधिक रूप से सामान्य प्रभावित होते हैं।
-==== सामान्य ऑपरेटर ====
+वर्णक्रमीय प्रमेय भी विहित रूप से अपघटन प्रदान करता है, जिसे वर्णक्रमीय अपघटन, ईजेनवैल्यू अपघटन, या मैट्रिक्स की कार्यसूची में संयोजन कहा जाता है जिसके अंतर्निहित सदिश स्थान पर प्रभाव कार्य करता है।
-{{main article|Normal operator}}
-एक जटिल हिल्बर्ट स्पेस ''एच'' पर एक सामान्य ऑपरेटर एक [[निरंतर कार्य (टोपोलॉजी)]] रैखिक ऑपरेटर ''एन'' : ''एच'' → ''एच'' है जो [[कम्यूटेटर]] अपने हर्मिटियन के साथ ''एन*' ', यानी: ''एनएन*'' = ''एन*एन''।<ref>{{citation
+==== सामान्य प्रभाव ====
+{{main article|सामान्य संचालिका}}
+जटिल हिल्बर्ट के अनुसार  H पर सामान्य प्रभाव [[निरंतर कार्य (टोपोलॉजी)]] पर रैखिक प्रभाव NH → H है जो [[कम्यूटेटर]] अपने हर्मिटियन के साथ N अर्थात् NN*'' = ''N*N होता है।''<ref>{{citation
   | last1 = Hoffman | first1 = Kenneth
   | last2 = Kunze | first2 = Ray | author2-link = Ray Kunze
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   | publisher = Prentice-Hall, Inc.
   | title = Linear algebra
-  | year = 1971}}</ref>
+  | year = 1971}}</ref>''
-सामान्य संकारक महत्वपूर्ण हैं क्योंकि [[वर्णक्रमीय प्रमेय]] उनके लिए मान्य है। आज सामान्य संचालकों की क्लास अच्छी तरह समझ में आ रही है। सामान्य ऑपरेटरों के उदाहरण हैं
-* [[एकात्मक संचालक]]: एन * = एन<sup>-1</sup>
+सामान्य संकारक महत्वपूर्ण होता हैं जिससे की [[वर्णक्रमीय प्रमेय]] उनके लिए मान्य होते है। वर्तमान समय में सामान्य संचालक के अध्ययन को उचित रूप से समझा जा सकता है। जो कि सामान्य प्रभाव के उदाहरण हैं।
-* [[हर्मिटियन ऑपरेटर]]्स (अर्थात, सेल्फ़एडज्वाइंट ऑपरेटर्स: N* = N; साथ ही, एंटी-सेल्फ़एडजॉइंट ऑपरेटर्स: N* = -N)
+* [[कियात्मक]] [[एकात्मक संचालक|संचालक]]  N*= N<sup>-1</sup>
-* सकारात्मक संकारक: N = MM*<!-- where M stands for what? -->
+* [[हर्मिटियन ऑपरेटर|हर्मिटियन प्रभाव]] सेल्फ़ एड ज्वाइंट (विरोधी स्वयं संयुक्त) प्रभाव, N* = N; साथ ही, एंटी-सेल्फ़ एड जॉइंट(विरोधी स्वयं संयुक्त) प्रभाव  N* = -N.
-* [[सामान्य मैट्रिक्स]] को सामान्य ऑपरेटर के रूप में देखा जा सकता है यदि कोई हिल्बर्ट स्थान को सी लेता है<sup>एन</sup>.
+* सकारात्मक संकारक  N = MM*
+* [[सामान्य मैट्रिक्स]] को सामान्य प्रभाव के रूप में देखा जाता है यदि कोई हिल्बर्ट स्थान काC<sup>N</sup> लेता है।
-वर्णक्रमीय प्रमेय मैट्रिसेस के अधिक सामान्य वर्ग तक फैला हुआ है। A को परिमित-आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान पर एक ऑपरेटर होने दें। A को सामान्य मैट्रिक्स कहा जाता है यदि A<sup>*</sup> ए = ए ए<sup>*</सुप>. कोई दिखा सकता है कि ए सामान्य है अगर और केवल अगर यह एकात्मक रूप से विकर्ण है: [[शूर अपघटन]] द्वारा, हमारे पास ए = यू टी यू है<sup>*</sup>, जहां U एकात्मक है और T ऊपरी-त्रिकोणीय है।
+वर्णक्रमीय प्रमेय मैट्रिक्स के अधिक सामान्य वर्ग तक फैला हुआ है। A को परिमित-आयामी आंतरिक उत्पाद के स्थान के प्रभावित होता है। जिस कारण A को सामान्य मैट्रिक्स कहा जाता है। यदि A<sup>*</sup> A =A A<sup>* होता है जिसमे यह देखा जा सकता है कि A सामान्य और क्रियात्मक रूप से विकर्ण होता है जिस कारण शूर अपघटन के द्वारा हमारे समक्ष A=UTU होता है जंहा U क्रियात्मक होता है और T ऊपरी त्रिकोणीय है।
-चूँकि A सामान्य है, T T<sup>*</सुप> = टी<sup>*</sup> टी। इसलिए, टी को विकर्ण होना चाहिए क्योंकि सामान्य ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह विकर्ण होते हैं। उलटा स्पष्ट है।
-दूसरे शब्दों में, ए सामान्य है अगर और केवल अगर एक [[एकात्मक मैट्रिक्स]] यू मौजूद है जैसे कि
+चूँकि A सामान्य T T*=T*T होता है जिस कारण T विकर्ण होता है यधपि सामान्य ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह विकर्ण को स्पष्ट करता है।
-<math display="block">A = U D U^* </math>
-जहां डी एक विकर्ण मैट्रिक्स है। फिर, डी के विकर्ण की प्रविष्टियाँ ए के [[eigenvalue]] हैं। यू के कॉलम वैक्टर ए के ईजेनवेक्टर हैं और वे ऑर्थोनॉर्मल हैं। हर्मिटियन मामले के विपरीत, D की प्रविष्टियाँ वास्तविक होने की आवश्यकता नहीं है।
+दूसरे शब्द में, A सामान्य रूप से यदि क्रियात्मक [[एकात्मक मैट्रिक्स|मैट्रिक्स]] U में उपस्तिथ होता है। जैसे कि<math display="block">A = U D U^* </math><br />जहां डी विकर्ण मैट्रिक्स है। फिर, डी के विकर्ण की प्रविष्टियाँ ए के [[eigenvalue]] हैं। यू के स्तंभ सदिश ए के ईजेनवेक्टर हैं और वे ऑर्थोनॉर्मल हैं। हर्मिटियन स्थिति के विपरीत, D की प्रविष्टियाँ वास्तविक होने की आवश्यकता नहीं होती है।
 === ध्रुवीय अपघटन ===
-{{Main article|Polar decomposition}}
+{{Main article|ध्रुवीय अपघटन}}
-जटिल हिल्बर्ट रिक्त स्थान के बीच किसी भी बंधे हुए रैखिक ऑपरेटर ''ए'' का ध्रुवीय अपघटन एक [[आंशिक आइसोमेट्री]] और एक गैर-नकारात्मक ऑपरेटर के उत्पाद के रूप में एक विहित गुणनखंड है।<ref>{{citation|title=A Course in Operator Theory | series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|first=John B. |last=Conway|publisher=American Mathematical Society|year= 2000 | isbn=0821820656}}</ref>
+जटिल हिल्बर्ट रिक्त स्थान के बीच किसी भी बंधे हुए रैखिक प्रभाव ए का ध्रुवीय अपघटन [[आंशिक आइसोमेट्री|आंशिक समरूपता]] और गैर-नकारात्मक प्रभाव के उत्पाद के रूप में विहित गुणनखंड होता है।<ref>{{citation|title=A Course in Operator Theory | series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|first=John B. |last=Conway|publisher=American Mathematical Society|year= 2000 | isbn=0821820656}}</ref>
-मेट्रिसेस के लिए ध्रुवीय अपघटन निम्नानुसार सामान्य करता है: यदि A एक परिबद्ध रैखिक संकारक है तो उत्पाद A = UP के रूप में A का एक अद्वितीय गुणनखंडन होता है, जहां U एक आंशिक आइसोमेट्री है, P एक गैर-नकारात्मक स्व-आसन्न संकारक है और प्रारंभिक U का स्थान P की सीमा का समापन है।
-निम्नलिखित मुद्दों के कारण ऑपरेटर यू को एकात्मक के बजाय एक आंशिक आइसोमेट्री के लिए कमजोर होना चाहिए। अगर ए [[शिफ्ट ऑपरेटर]] है | एल पर एक तरफा शिफ्ट{{i sup|2}}(एन), फिर |''ए''| = (''ए * ए'')<sup>1/2</sup> = I. तो यदि A = U |A|, U को A होना चाहिए, जो एकात्मक नहीं है।
+मैट्रिक्स के लिए ध्रुवीय अपघटन निम्नानुसार सामान्य रूप से कार्य करता है यदि A परिबद्ध रैखिक संकारक है तो उत्पाद A = UP के रूप में A का अद्वितीय गुणनखंडन होता है, जहां U आंशिक समरूपता है, P गैर-नकारात्मक स्व-आसन्न संकारक है और प्रारंभिक U का स्थान P की सीमा का समापन है।
-ध्रुवीय अपघटन का अस्तित्व डगलस लेम्मा का परिणाम है:
+निम्नलिखित मुद्दे के कारण प्रभाव U को सकारात्मक के अतिरिक्त आंशिक समरूपता के लिए दुर्बल होना चाहिए। यदि A [[शिफ्ट ऑपरेटर|शिफ्ट प्रभाव]] है तब  बदलाव के लिए (N), फिर |A| = (A''* A'')<sup>1/2</sup> =L{{i sup|2}} I. तो यदि A = U |A|, U को A होना चाहिए, जो सकारात्मक नहीं होता है।
-{{math theorem | name = Lemma | math_statement = If ''A'', ''B'' are bounded operators on a Hilbert space ''H'', and ''A*A'' ≤ ''B*B'', then there exists a contraction ''C'' such that ''A'' = ''CB''. Furthermore, ''C'' is unique if ''Ker''(''B*'') ⊂ ''Ker''(''C'').}}
-ऑपरेटर सी द्वारा परिभाषित किया जा सकता है {{math|1=''C''(''Bh'') = ''Ah''}}, रैन (बी) के बंद होने तक निरंतरता द्वारा विस्तारित, और के ऑर्थोगोनल पूरक पर शून्य द्वारा {{math|Ran(''B'')}}. ऑपरेटर सी तब से अच्छी तरह से परिभाषित है {{math|''A*A'' ≤ ''B*B''}} तात्पर्य {{math|Ker(''B'') ⊂ Ker(''A'')}}. लेम्मा इसके बाद आता है।
-विशेष रूप से, अगर {{math|1=''A*A'' = ''B*B''}}, तो C एक आंशिक आइसोमेट्री है, जो अद्वितीय है यदि {{math|Ker(''B*'') ⊂ Ker(''C'').}}
+ध्रुवीय अपघटन का अस्तित्व डगलस लेम्मा का परिणाम है।
-सामान्य तौर पर, किसी भी बाध्य ऑपरेटर ए के लिए,
+{{math theorem | name = लेम्मा | math_statement = यदि ''A'', ''B'' हिल्बर्ड स्पेस ''H'', और ''A*A' और ''B*B'' पर बाध्य ऑपरेटर है, तो संकुचन ''C'' मौजूद है जेसे  ''A'' = ''CB'' इसके अलावा, ''C'' अद्वितीय है अगर  ''Ker''(''B*'') ⊂ ''Ker''(''C'').}}
-<math display="block">A^*A = (A^*A)^{\frac{1}{2}} (A^*A)^{\frac{1}{2}},</math>
+प्रभाव C द्वारा परिभाषित किया जा सकता है कि {{math|1=''C''(''Bh'') = ''Ah''}}, Ran(B) के बंद होने तक निरंतरता द्वारा विस्तारित और त्रिकोणीय पूरक पर शून्य द्वारा {{math|Ran(''B'')}}. प्रभाव C से विशेष प्रकार से परिभाषित है जिससे {{math|''A*A'' ≤ ''B*B''}} तात्पर्य {{math|Ker(''B'') ⊂ Ker(''A'')}}. लेम्मा इसके पश्चात् आता है।
-कहाँ (ए * ए)<sup>1/2</sup> सामान्य क्रियात्मक कलन द्वारा दिया गया A*A का अद्वितीय धनात्मक वर्गमूल है। तो लेम्मा द्वारा, हमारे पास है
-<math display="block">A = U (A^*A)^{\frac{1}{2}}</math>
-कुछ आंशिक आइसोमेट्री U के लिए, जो अद्वितीय है यदि Ker(A) ⊂ Ker(U). (टिप्पणी {{math|1=Ker(''A'') = Ker(''A*A'') = Ker(''B'') = Ker(''B*'')}}, कहाँ {{math|1=''B'' = ''B*'' = (''A*A'')<sup>1/2</sup>}}.) P को (A*A) मान लीजिए<sup>1/2</sup> और एक ध्रुवीय अपघटन A = UP प्राप्त करता है। ध्यान दें कि एक समरूप तर्क का उपयोग A = P'U' दिखाने के लिए किया जा सकता है, जहाँ P' धनात्मक है और U' एक आंशिक सममिति है।
-जब एच परिमित आयामी है, तो यू को एकात्मक ऑपरेटर तक बढ़ाया जा सकता है; यह सामान्य रूप से सत्य नहीं है (उपरोक्त उदाहरण देखें)। वैकल्पिक रूप से, ध्रुवीय अपघटन हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर एकवचन मूल्य अपघटन # बाउंडेड ऑपरेटरों के ऑपरेटर संस्करण का उपयोग करके दिखाया जा सकता है।
+विशेष रूप से, यदि {{math|1=''A*A'' = ''B*B''}}, तो C आंशिक समरूपता है, जो अद्वितीय है यदि {{math|Ker(''B*'') ⊂ Ker(''C'').}}
-निरंतर कार्यात्मक कैलकुस की संपत्ति से, |ए| ए द्वारा उत्पन्न सी*-बीजगणित में है। आंशिक आइसोमेट्री के लिए एक समान लेकिन कमजोर बयान लागू होता है: ध्रुवीय भाग यू ए द्वारा उत्पन्न [[वॉन न्यूमैन बीजगणित]] में है। यदि ए व्युत्क्रमणीय है, तो यू सी*-बीजगणित में होगा ए द्वारा भी उत्पन्न किया गया है।
+सामान्यतः किसी भी बाध्य प्रभाव A के लिए,<math display="block">A^*A = (A^*A)^{\frac{1}{2}} (A^*A)^{\frac{1}{2}},</math>
+जंहा (A * A)<sup>1/2</sup> सामान्य क्रियात्मक कलन द्वारा दिया जाता है जो A*A का अद्वितीय धनात्मक वर्गमूल है। तो लेम्मा द्वारा हमारे समक्ष होता है<math display="block">A = U (A^*A)^{\frac{1}{2}}</math><br />कुछ आंशिक समरूपता U के लिए, जो अद्वितीय है यदि Ker(A) ⊂ Ker(U). (टिप्पणी {{math|1=Ker(''A'') = Ker(''A*A'') = Ker(''B'') = Ker(''B*'')}}, जंहा {{math|1=''B'' = ''B*'' = (''A*A'')<sup>1/2</sup>}}.) P को (A*A)<sup>1/2</sup> मान लीजिए और ध्रुवीय अपघटन A = UP प्राप्त करता है। ध्यान दें कि समरूप तर्क का उपयोग A = P'U' दिखाने के लिए किया जाता है, जहाँ P' धनात्मक है और U' आंशिक सममिति है।
+जब H परिमित आयामी है, तो U क्रियात्मक प्रभाव तक बढ़ाया जाता है यह सामान्य रूप से सत्य नहीं है (उपरोक्त उदाहरण देखें)। वैकल्पिक रूप से, ध्रुवीय अपघटन हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर वचन मूल्य अपघटन बाउंडेड प्रभाव के प्रभाव संस्करण का उपयोग करके दिखाया जा सकता है।
+निरंतर कार्यात्मक कैलकुस की संपत्ति से, |A| A द्वारा उत्पन्न C*-बीजगणित में है। आंशिक समरूपता के लिए समान दुर्बल कथन प्रयुक्त होता है। ध्रुवीय भाग U A द्वारा उत्पन्न [[वॉन न्यूमैन बीजगणित]] में है। यदि A व्युत्क्रमणीय है, तो U C*-बीजगणित में A द्वारा भी उत्पन्न किया गया होगा।
 === जटिल विश्लेषण के साथ संबंध ===
-अध्ययन किए गए कई ऑपरेटर होलोमोर्फिक कार्यों के हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर ऑपरेटर हैं, और अध्ययन
+अध्ययन किए गए कई प्रभाव होलोमोर्फिक कार्य के हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर प्रभावित हैं।
-ऑपरेटर का कार्य सिद्धांत में प्रश्नों से घनिष्ठ रूप से जुड़ा हुआ है।
-उदाहरण के लिए, बेर्लिंग का प्रमेय आंतरिक कार्यों के संदर्भ में एकतरफा बदलाव के अपरिवर्तनीय उप-स्थान का वर्णन करता है, जो सर्कल पर लगभग हर जगह यूनिमॉड्यूलर सीमा मानों के साथ यूनिट डिस्क पर [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] से घिरा होता है। बर्लिंग ने एकतरफा बदलाव को [[हार्डी स्पेस]] पर स्वतंत्र चर द्वारा गुणन के रूप में व्याख्या की।<ref>{{citation|first=N.|last=Nikolski|title=A treatise on the shift operator|publisher=Springer-Verlag|year=1986| isbn=0-387-90176-0}}. A sophisticated treatment of the connections between Operator theory and Function theory in the [[Hardy space]].</ref> गुणन ऑपरेटरों का अध्ययन करने में सफलता, और अधिक आम तौर पर Toeplitz ऑपरेटर (जो गुणन हैं, हार्डी अंतरिक्ष पर प्रक्षेपण के बाद) ने बर्गमैन अंतरिक्ष जैसे अन्य स्थानों पर इसी तरह के प्रश्नों के अध्ययन को प्रेरित किया है।
-== ऑपरेटर बीजगणित ==
+प्रभाव का कार्य सिद्धांत में प्रश्न से घनिष्ठ रूप से जुड़ा हुआ है।
-ऑपरेटर बीजगणित का सिद्धांत सी * - बीजगणित जैसे ऑपरेटरों के क्षेत्रों में बीजगणित को सामने लाता है।
-===सी * - बीजगणित ===
+उदाहरण के लिए, बेर्लिंग का प्रमेय आंतरिक कार्य के संदर्भ में बदलाव के अपरिवर्तनीय उप-स्थान का वर्णन करता है, जो गोले पर लगभग हर जगह यूनिमॉड्यूलर सीमा के मान के साथ यूनिट डिस्क पर [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन|होलोमॉर्फिक क्रिया]] से घिरा होता है। बर्लिंग ने बदलाव को [[हार्डी स्पेस]] पर स्वतंत्र चर द्वारा गुणन के रूप में व्याख्या की।<ref>{{citation|first=N.|last=Nikolski|title=A treatise on the shift operator|publisher=Springer-Verlag|year=1986| isbn=0-387-90176-0}}. A sophisticated treatment of the connections between Operator theory and Function theory in the [[Hardy space]].</ref> गुणन प्रभाव का अध्ययन करने में सफलता और अधिक सामान्यतः Toeplitz(तोएप्लित्ज़) प्रभाव (जो हार्डी अंतरिक्ष पर प्रक्षेपण के बाद गुणन हैं) ने बर्गमैन अंतरिक्ष जैसे अन्य स्थान पर इसी प्रकार के प्रश्नों के अध्ययन को प्रेरित किया।
-{{Main article|C*-algebra}}
-ए सी*-बीजगणित, ए, एक [[नक्शा (गणित)]] के साथ [[जटिल संख्या]]ओं के क्षेत्र में एक बानाच बीजगणित है {{math|1=* : ''A'' → ''A''}}. A के अवयव x के प्रतिबिम्ब के लिए x* लिखते हैं। मानचित्र * में निम्नलिखित गुण हैं:<ref>{{citation |first=W. | last=Arveson| title=An Invitation to C*-Algebra| publisher=Springer-Verlag | year=1976 |isbn=0-387-90176-0}}. An excellent introduction to the subject, accessible for those with a knowledge of basic [[functional analysis]].</ref>
+== प्रभाव बीजगणित ==
-* यह ए में प्रत्येक एक्स के लिए, इनवोल्यूशन वाला एक सेमीग्रुप है <math display="block"> x^{**} = (x^*)^* =  x </math>
+प्रभाव बीजगणित का सिद्धांत C*-बीजगणित जैसे प्रभाव के क्षेत्र में बीजगणित को सामने लाता है।
-* ए में सभी एक्स, वाई के लिए: <math display="block"> (x + y)^* = x^* + y^* </math> <math display="block"> (x y)^* = y^* x^*</math>
-* C में प्रत्येक λ और ''A'' में प्रत्येक ''x'' के लिए: <math display="block"> (\lambda x)^* = \overline{\lambda} x^* .</math>
+===C*- बीजगणित ===
-* ए में सभी एक्स के लिए: <math display="block"> \|x^* x \| = \left\|x\right\| \left\|x^*\right\|.</math>
+{{Main article|C*-बीजगणित}}
-टिप्पणी। पहली तीन सर्वसमिकाएँ कहती हैं कि ''A'' एक *-बीजगणित है। अंतिम पहचान को सी * पहचान कहा जाता है और इसके बराबर है:
+C*-बीजगणित, A, [[नक्शा (गणित)]] के साथ [[जटिल संख्या|जटिल संख्याओं]] के क्षेत्र में प्रभाव बीजगणित है। A{{math|1=* ''A'' → ''A''}}. A के अवयव x के प्रतिबिम्ब के लिए x* लिखते हैं। मानचित्र x* में निम्नलिखित गुण हैं।<ref>{{citation |first=W. | last=Arveson| title=An Invitation to C*-Algebra| publisher=Springer-Verlag | year=1976 |isbn=0-387-90176-0}}. An excellent introduction to the subject, accessible for those with a knowledge of basic [[functional analysis]].</ref>
+* यह A में प्रत्येक के लिए, पेचीदगी वाला अर्ध समूह है। <math display="block"> x^{**} = (x^*)^* =  x </math>
+* A में सभी, Y के लिए <math display="block"> (x + y)^* = x^* + y^* </math><math display="block"> (x y)^* = y^* x^*</math>
+* C में प्रत्येक λ और ''A'' में प्रत्येक ''x'' के लिए <math display="block"> (\lambda x)^* = \overline{\lambda} x^* .</math>
+* A में सभी के लिए  <math display="block"> \|x^* x \| = \left\|x\right\| \left\|x^*\right\|.</math>
+टिप्पणी। प्रथम तीन सर्वसमिकाएँ कहती हैं कि ''A''*-बीजगणित है। अंतिम समरूपता को C* समरूपता कहा जाता है जो इसके समान्तर होती है
 <math display="block">\|xx^*\| = \|x\|^2,</math>
-सी*-पहचान एक बहुत मजबूत आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, [[वर्णक्रमीय त्रिज्या]] के साथ, इसका तात्पर्य है कि सी * -नोर्म विशिष्ट रूप से बीजगणितीय संरचना द्वारा निर्धारित किया जाता है:
+C*-पहचान मजबूत आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, [[वर्णक्रमीय त्रिज्या]] के साथ, इसका तात्पर्य है कि C*-नोर्म विशिष्ट रूप से बीजगणितीय संरचना द्वारा निर्धारित किया जाता है
 <math display="block"> \|x\|^2 = \|x^* x\| = \sup\{|\lambda| : x^* x - \lambda \,1 \text{ is not invertible} \}.</math>
 == यह भी देखें ==
 * अपरिवर्तनीय उप-स्थान
@@ Line 88: / Line 89: @@
 * वर्णक्रमीय सिद्धांत
 ** [[संकल्प औपचारिकता]]
-* [[कॉम्पैक्ट ऑपरेटर]]
+* [[कॉम्पैक्ट ऑपरेटर|कॉम्पैक्ट प्रभाव]]
-** [[अभिन्न समीकरण]]ों का [[फ्रेडहोम सिद्धांत]]
+** [[अभिन्न समीकरण]] का [[फ्रेडहोम सिद्धांत]]
-*** इंटीग्रल ऑपरेटर
+*** इंटीग्र प्रभाव
-*** [[फ्रेडहोम ऑपरेटर]]
+*** [[फ्रेडहोम ऑपरेटर|फ्रेडहोम प्रभाव]]
-* स्व-आसन्न ऑपरेटर
+* स्व-आसन्न प्रभाव
-* [[असीमित ऑपरेटर]]
+* [[असीमित ऑपरेटर|असीमित प्रभाव]]
-** विभेदक ऑपरेटर
+** विभेदक प्रभाव
 * [[उम्ब्रल कैलकुलस]]
 * [[संकुचन मानचित्रण]]
-* हिल्बर्ट स्पेस पर सकारात्मक ऑपरेटर
+* हिल्बर्ट स्पेस पर सकारात्मक प्रभाव
-* पेरॉन-फ्रोबेनियस प्रमेय# एक आदेशित सदिश स्थान पर भी देखें
+* पेरॉन-फ्रोबेनियस प्रमेय आदेशित सदिश स्थान पर भी देखें
 ==संदर्भ==
@@ Line 105: / Line 106: @@
 ==अग्रिम पठन==
-* [[John B. Conway|Conway, J. B.]]: ''A Course in Functional Analysis'', 2nd edition, Springer-Verlag, 1994, {{isbn|0-387-97245-5}}
+* [[John B. Conway|Conway, J. B.]]  ''A Course in Functional Analysis'', 2nd edition, Springer-Verlag, 1994, {{isbn|0-387-97245-5}}
 * {{cite book | isbn = 978-0582237438 | title = Introduction to Operator Theory | last1 = Yoshino | first1 = Takashi | year = 1993 | publisher = Chapman and Hall/CRC  }}
@@ Line 112: / Line 113: @@
 * [http://www.mathphysics.com/opthy/OpHistory.html History of Operator Theory]
-{{Functional Analysis}}
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
-[[Category: संचालक सिद्धांत | संचालक सिद्धांत ]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 03/02/2023]]
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