सममित घटक

विद्युत अभियन्त्रण में, सममित घटकों की विधि सामान्य और असामान्य दोनों स्थितियों के अंतर्गत असंतुलित तीन-फ़ेज विद्युत प्रणालियों के विश्लेषण को सरल बनाती है। मूल सिद्धांत यह है कि समिश्र संख्या रैखिक रूपांतरण के माध्यम से N फ़ेज के एक असममित समुच्चय को फ़ेज N के सममित समुच्चयों के एक रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। फोर्टेस्क्यू की प्रमेय (सममित घटक) अध्यारोपण सिद्धांत पर आधारित है इसलिए यह केवल रैखिक विद्युत प्रणालियों पर प्रयुक्त होती है या गैर-रैखिक विद्युत प्रणालियों के रैखिक अनुमानों पर प्रयुक्त होती है।

तीन-फ़ेज प्रणालियों की सबसे सामान्य स्थिति में, परिणामी सममित घटकों को प्रत्यक्ष या धनात्मक, उत्क्रमित या ऋणात्मक और शून्य या एकाधिक के रूप में संदर्भित किया जाता है। सममित घटकों के क्षेत्र में ऊर्जा प्रणाली का विश्लेषण बहुत सरल होता है क्योंकि, यदि परिपथ स्वयं संतुलित है तो परिणामी समीकरण पारस्परिक रूप से एकघाततः स्वतंत्र होते हैं।

विवरण

1918 में चार्ल्स लेगेट फोर्टेस्क्यू ने एक पेपर प्रस्तुत किया जिसमें दिखाया गया कि N असंतुलित फ़ेज के किसी भी समुच्चय (अर्थात, ऐसा कोई पॉलीपेज़ संकेत) N के मानों के लिए संतुलित फ़ेज N के सममित समुच्चयों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो फ़ेज द्वारा केवल एकल आवृत्ति घटक का प्रतिनिधित्व करता है।

1943 में एडिथ क्लार्क ने तीन-फ़ेज प्रणालियों के लिए सममित घटकों के उपयोग की एक विधि देते हुए एक पाठ्यपुस्तक प्रकाशित किया। जिसने मूल फोर्टेस्क पेपर की तुलना में गणनाओं को बहुत सरल बना दिया था। तीन-फ़ेज प्रणाली में, फ़ेज के एक समुच्चय में अध्ययन के अंतर्गत प्रणाली मे समान फ़ेज अनुक्रम होता है जिसे धनात्मक abc अनुक्रम कहते हैं, दूसरे समुच्चय में निश्चित फ़ेज अनुक्रम को ऋणात्मक abc अनुक्रम कहा जाता है और तीसरे समुच्चय में फ़ेज a, b और c एक दूसरे के साथ फ़ेज में होते हैं जिसे शून्य अनुक्रम या सामान्य-मोड संकेत अनुक्रम कहा जाता है। अनिवार्य रूप से, यह विधि तीन असंतुलित फ़ेज को तीन स्वतंत्र स्रोतों में परिवर्तित करती है जो असममित त्रुटि विश्लेषण को अधिक सरल बनाती है।

धनात्मक अनुक्रम, ऋणात्मक अनुक्रम और विद्युत जनित्र, परिवर्तक और ओवरहेड लाइनों और केबलों सहित अन्य उपकरणों के शून्य अनुक्रम प्रतिबाधा को दिखाने के लिए एक-पंक्ति आरेख का विस्तार करके, इस तरह की असंतुलित स्थितियों का विश्लेषण स्थिर लघु-परिपथ त्रुटि के लिए एक पंक्ति के रूप में बहुत अधिक सरलीकृत होता है। तकनीक को उच्च क्रम फ़ेज प्रणालियों तक भी विस्तृत किया जा सकता है।

भौतिक रूप से तीन-फ़ेज प्रणाली में, धाराओं का एक धनात्मक अनुक्रम समुच्चय एक सामान्य घूर्णन क्षेत्र उत्पन्न करता है और ऋणात्मक अनुक्रम समुच्चय के विपरीत घूर्णन के साथ एक क्षेत्र को उत्पन्न करता है और शून्य अनुक्रम समुच्चय एक ऐसा क्षेत्र उत्पन्न करता है जो दोलन करता है लेकिन फ़ेज कुंडली के बीच घूर्णन नहीं करता है। चूंकि इन प्रभावों को भौतिक रूप से अनुक्रम फ़ेज के साथ यह पता लगाया जा सकता है कि गणितीय उपकरण सुरक्षात्मक रिले की संरचना का मूल आधार है, जो ऋणात्मक-अनुक्रम वोल्टेज और धाराओं को त्रुटि की स्थिति के विश्वसनीय संकेतक के रूप में उपयोग करता है। इस प्रकार के रिले का उपयोग परिपथ वियोजक का खंडन करने या विद्युत प्रणाली की सुरक्षा करने के लिए किया जा सकता है।

विश्लेषणात्मक तकनीक को सामान्य विद्युत और वेस्टिंगहाउस में इंजीनियरों द्वारा स्वीकृत और प्रस्तुत किया गया था जो द्वितीय विश्व युद्ध के बाद से यह असममित त्रुटि विश्लेषण के लिए एक स्वीकृत तरीका बन गया है।

जैसा कि ऊपर दाईं ओर के चित्र में दिखाया गया है कि सममित घटकों के तीन समुच्चय (धनात्मक, ऋणात्मक और शून्य अनुक्रम) तीन असंतुलित फ़ेजों को प्रणाली बनाने के लिए जोड़ते हैं जैसा कि आरेख के निचले भाग में चित्रित किया गया है। सदिश के समुच्चय के बीच परिमाण और फ़ेज परिवर्तन में अंतर के कारण फ़ेज के बीच असंतुलन उत्पन्न होता है। ध्यान दें कि अलग-अलग अनुक्रम सदिश के रंग (लाल, नीला और पीला) तीन अलग-अलग फ़ेज (उदाहरण के लिए ए, बी और सी) के अनुरूप हैं। अंतिम आलेख पर अभिगमन के लिए, प्रत्येक फ़ेज के सदिशों के योग की गणना की जाती है। यह परिणामी सदिश उस विशेष फ़ेज का प्रभावी फ़ेजर प्रतिनिधित्व होता है। यह प्रक्रिया, बार-बार तीन-फ़ेजों में से प्रत्येक के लिए फ़ेजर का निर्माण करती है।

तीन-फ़ेज की स्थिति

तीन-फ़ेज विद्युत ऊर्जा प्रणालियों के विश्लेषण के लिए सममित घटकों का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। किसी बिंदु पर तीन-फ़ेज प्रणाली के वोल्टेज या धारा को तीन-फ़ेज द्वारा इंगित किया जा सकता है जिसे वोल्टेज या धारा के तीन फ़ेज घटक के रूप मे जाना जाता है।

यह लेख वोल्टेज पर चर्चा करता है हालाँकि, ये निर्धारित धारा पर भी प्रयुक्त होते हैं। और पूर्ण रूप से संतुलित तीन-फ़ेज विद्युत प्रणाली में, वोल्टेज फ़ेजर घटकों के समान परिमाण मे होते हैं लेकिन 120 डिग्री अलग होते हैं। एक असंतुलित प्रणाली में, वोल्टेज फ़ेजर घटकों के परिमाण और फ़ेज भिन्न होते हैं। वोल्टेज फ़ेजर घटकों को सममित घटकों के एक समुच्चय में विघटित करने से प्रणाली का विश्लेषण और साथ-साथ किसी भी असंतुलन की कल्पना करने में सहायता प्राप्त होती है। यदि तीन वोल्टेज घटकों को फ़ेज (जो समिश्र संख्याएं हैं) के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो एक समिश्र सदिश बनाया जा सकता है जिसमें तीन-फ़ेज घटक सदिश के मुख्य घटक होते हैं। तीन-फ़ेज वोल्टेज घटकों को एक समिश्र सदिश के रूप में लिखा जा सकता है।

$\mathbf {v} _{abc}={\begin{bmatrix}V_{a}\\V_{b}\\V_{c}\end{bmatrix}}$

यह सदिश को तीन सममित घटकों में विघटित कर देता है

${\begin{bmatrix}V_{a}\\V_{b}\\V_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{a,0}\\V_{b,0}\\V_{c,0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{a,1}\\V_{b,1}\\V_{c,1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{a,2}\\V_{b,2}\\V_{c,2}\end{bmatrix}}$

जहां 0, 1 और 2 क्रमशः शून्य, धनात्मक और ऋणात्मक अनुक्रम घटकों को संदर्भित करते हैं। अनुक्रम घटक केवल उनके फ़ेज कोणों से भिन्न होते हैं, जो सममित हैं और इसलिए $\scriptstyle {\frac {2}{3}}\pi$ रेडियंस या 120° के होते हैं।

आव्यूह

फ़ेजर घूर्णन संचालक $\alpha$ को परिभाषित करें, जो फ़ेजर सदिश को इसके द्वारा गुणा किए जाने पर वामावर्त 120 डिग्री पर घुमाता है:

$\alpha \equiv e^{{\frac {2}{3}}\pi i}$.

ध्यान दें कि $\alpha ^{3}=1$ ताकि $\alpha ^{-1}=\alpha ^{2}$

जिनका शून्य अनुक्रम घटकों में समान परिमाण होता है और एक दूसरे के साथ फ़ेज में होते हैं, इसलिए:

$V_{0}\equiv V_{a,0}=V_{b,0}=V_{c,0}$

और अन्य अनुक्रम घटकों का परिमाण समान होता है, लेकिन उनके फ़ेज कोणों में 120° का अंतर होता है। यदि वोल्टेज फ़ेज के मूल असंतुलित समुच्चय में धनात्मक या abc फ़ेज अनुक्रम होते है, तो:

${\begin{aligned}V_{1}&\equiv V_{a,1}=\alpha V_{b,1}=\alpha ^{2}V_{c,1}\end{aligned}}$,

${\begin{aligned}V_{2}&\equiv V_{a,2}=\alpha ^{2}V_{b,2}=\alpha V_{c,2}\end{aligned}}$,

जिसका अर्थ है कि

${\begin{aligned}V_{b,1}=\alpha ^{2}V_{1}\end{aligned}}$,

${\begin{aligned}V_{c,1}=\alpha V_{1}\end{aligned}}$,

${\begin{aligned}V_{b,2}=\alpha V_{2}\end{aligned}}$,

${\begin{aligned}V_{c,2}=\alpha ^{2}V_{2}\end{aligned}}$.

इसी प्रकार,

${\begin{aligned}\mathbf {v} _{abc}&={\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{0}\\V_{0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{1}\\\alpha ^{2}V_{1}\\\alpha V_{1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{2}\\\alpha V_{2}\\\alpha ^{2}V_{2}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha ^{2}&\alpha \\1&\alpha &\alpha ^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}\\&={\textbf {A}}\mathbf {v} _{012}\end{aligned}}$

जहाँ पर,

$\mathbf {v} _{012}={\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}},{\textbf {A}}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha ^{2}&\alpha \\1&\alpha &\alpha ^{2}\end{bmatrix}}$

यदि इसके अतिरिक्त वोल्टेज फ़ेज के मूल असंतुलित समुच्चय में ऋणात्मक या abc फ़ेज अनुक्रम होता है, तो निम्न आव्यूह समान रूप से प्राप्त किया जा सकता है:

${\textbf {A}}_{acb}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha &\alpha ^{2}\\1&\alpha ^{2}&\alpha \end{bmatrix}}$

अपघटन

अनुक्रम घटक विश्लेषण समीकरण से प्राप्त होते हैं

$\mathbf {v} _{012}={\textbf {A}}^{-1}\mathbf {v} _{abc}$

जहाँ पर,

${\textbf {A}}^{-1}={\frac {1}{3}}{\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha &\alpha ^{2}\\1&\alpha ^{2}&\alpha \end{bmatrix}}$

उपरोक्त दो समीकरण यह प्रदर्शित करते हैं कि तीन-फ़ेज के एक विषम समुच्चय के अनुरूप सममित घटकों को कैसे प्राप्त किया जाए:

• अनुक्रम 0 मूल तीन-फ़ेज के योग का एक तिहाई है।
• अनुक्रम 1 वामावर्त 0°, 120°, और 240° घुमाए गए मूल तीन-फ़ेज के योग का एक-तिहाई है।
• अनुक्रम 2 वामावर्त 0°, 240°, और 120° घुमाए गए मूल तीन-फ़ेज के योग का एक-तिहाई है।

सामान्यतः यदि मूल घटक सममित अनुक्रम 0 और 2 हैं, तो प्रत्येक त्रिभुज का योग शून्य होगा और अनुक्रम 1 घटक एक सीधी रेखा का योग होगा।

अंतर्ज्ञान

नेपोलियन की प्रमेय: यदि L, M, और N पर केन्द्रित त्रिभुज समबाहु हैं, तो हरा त्रिभुज भी ऐसा ही है।

फ़ेज $\scriptstyle V_{(ab)}=V_{(a)}-V_{(b)};\;V_{(bc)}=V_{(b)}-V_{(c)};\;V_{(ca)}=V_{(c)}-V_{(a)}$ एक सवृत त्रिकोण बनाते है (उदाहरण के लिए, बाहरी वोल्टेज या लाइन से लाइन वोल्टेज।) फ़ेज के समकालिक और व्युत्क्रम घटकों को खोजने के लिए, बाहरी त्रिकोण के किसी भी पक्ष का चयन करे और चयनित पक्ष को आधार के रूप में साझा करते हुए दो संभावित समबाहु त्रिभुज बनाएं। ये दो समबाहु त्रिभुज समकालिक और एक व्युत्क्रम प्रणाली का प्रतिनिधित्व करते हैं।

यदि फ़ेज V पूरी तरह से समकालिक प्रणाली है तो आधार रेखा पर बाहरी त्रिभुज का शीर्ष उसी स्थिति में नहीं होता है जैसा कि समकालिक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करने वाले समबाहु त्रिभुज के संगत कोण शीर्ष पर होता है। व्युत्क्रम घटक के किसी भी योग का अर्थ इस स्थिति से विचलन होता है। जैसे कि विचलन व्युत्क्रम फ़ेज घटक का ठीक 3 गुना है।

समकालिक घटक उसी प्रकार से व्युत्क्रम समबाहु त्रिभुज से विचलन का 3 गुना है। जिस प्रकार संगत फ़ेज के लिए इन घटकों के निर्देश सही हैं। जिससे यह प्रतीत होता है कि यह सभी तीन-फ़ेज के लिए कार्य करते है, चयनित पक्ष की उपेक्षा के साथ यह इस चित्रण की सुंदरता है। ग्राफिक नेपोलियन की प्रमेय के अनुसार, यह एक ग्राफिकल गणना तकनीक के अनुरूप है जो कभी-कभी पुरानी संदर्भ पुस्तकों में प्रदर्शित होता है।

पॉली-फ़ेज कारक

यह देखा जा सकता है कि उपरोक्त रूपांतरण आव्यूह एक असतत फूरियर रूपांतरण है और इस प्रकार, किसी भी बहु-फ़ेज प्रणाली के लिए सममित घटकों की गणना की जा सकती है।

3-फ़ेज विद्युत प्रणालियों में सममित घटकों के लिए हार्मोनिक्स का योगदान

गैर-रैखिक भार के परिणामस्वरूप हार्मोनिक्स (विद्युत ऊर्जा) प्रायः विद्युत प्रणालियों में होते हैं। हार्मोनिक्स का प्रत्येक क्रम विभिन्न अनुक्रम घटकों में योगदान देता है। अनुक्रम के मूल और $\scriptstyle 3n+1$ हार्मोनिक्स धनात्मक अनुक्रम घटक में योगदान देता है और अनुक्रम $\scriptstyle 3n-1$ के हार्मोनिक्स ऋणात्मक अनुक्रम में योगदान देता है। जो अनुक्रम $\scriptstyle 3n$ हार्मोनिक्स शून्य अनुक्रम में योगदान देता है।

ध्यान दें कि उपरोक्त नियम केवल तभी प्रयुक्त होते हैं जब प्रत्येक फ़ेज में फ़ेज मान (या विरूपण) पूर्णतः समान हों। कृपया आगे ध्यान दें कि ऊर्जा प्रणाली में हार्मोनिक्स भी सामान्य नहीं हैं।

विद्युत प्रणालियों में शून्य अनुक्रम घटक का परिणाम

शून्य अनुक्रम असंतुलित फ़ेज के घटक का प्रतिनिधित्व करता है जो परिमाण और फ़ेज में बराबर होता है। क्योंकि वे फ़ेज शून्य अनुक्रम में हैं और एक n-फ़ेज नेटवर्क के माध्यम से प्रवाहित होने वाली धाराएँ विशेष शून्य अनुक्रम धाराओं के घटकों के परिमाण का n गुना योग करती है जो सामान्य परिचालन स्थितियों के अंतर्गत यह राशि नगण्य होने के लिए अपेक्षाकृत छोटी होती है। हालांकि, बड़े शून्य अनुक्रम की घटनाओं जैसे कि विद्युत आघात के समय, धाराओं का यह गैर-शून्य योग फ़ेज सुचालकों की तुलना में तटस्थ सुचालक के माध्यम से अत्यधिक प्रवाह उत्पन्न कर सकता है। क्योंकि तटस्थ सुचालक सामान्यतः मुख्य फ़ेज सुचालकों से बड़े नहीं होते हैं और प्रायः इन सुचालकों की तुलना में छोटे होते हैं एक बड़ा शून्य अनुक्रम घटक तटस्थ सुचालकों और ऊष्मा के अधितापन का कारण बन सकता है।

बड़े शून्य अनुक्रम धाराओं को स्थगित करने का एक अन्य तरीका डेल्टा संयोजन का उपयोग करना है, जो शून्य अनुक्रम धाराओं के लिए एक विवृत परिपथ के रूप में प्रकट होता है। इस कारण से, डेल्टा का उपयोग करके अधिकांश संचार और उप-संचार प्रयुक्त किया जाता है। डेल्टा का उपयोग करके बहुत अधिक वितरण भी प्रयुक्त किया जाता है ताकि लाइन की क्षमता को कम परिवर्तित लागत पर बढ़ाया जा सके, लेकिन इसकी लागत पर एक उच्च केंद्रीय स्टेशन सुरक्षात्मक रिले लागत थी। हालांकि पुरानी कार्य वितरण प्रणाली को कभी-कभी वाईड-अप (डेल्टा-वाई परिवर्तक से डेल्टा-वाई परिवर्तक में परिवर्तित) किया जाता है।

यह भी देखें

• समरूपता
• डको रूपांतरण
• अल्फा-बीटा रूपांतरण

संदर्भ

Notes

Bibliography

• J. Lewis Blackburn Symmetrical Components for Power Systems Engineering, Marcel Dekker, New York (1993). ISBN 0-8247-8767-6
• William D. Stevenson, Jr. Elements of Power System Analysis Third Edition, McGraw-Hill, New York (1975). ISBN 0-07-061285-4.
• History article from IEEE on early development of symmetrical components, retrieved May 12, 2005.
• Westinghouse Corporation, Applied Protective Relaying, 1976, Westinghouse Corporation, no ISBN, Library of Congress card no. 76-8060 - a standard reference on electromechanical protective relays