स्वतुल्य संबंध

गणित में, एक समुच्चय(गणित) x पर एक द्विआधारी संबंध r 'प्रतिवर्त' होता है यदि यह x के प्रत्येक तत्व को स्वयं से संबंधित करता है। वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर स्वतुल्य संबंध का एक उदाहरण "के बराबर है" क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या स्वयं के बराबर होती है। कहा जाता है कि एक प्रतिवर्ती सम्बन्ध में प्रतिवर्ती गुण या रिफ्लेक्सिविटी होती है। समरूपता और संक्रामकता के साथ-साथ रिफ्लेक्सीविटी तुल्यता संबंधों को परिभाषित करने वाले तीन गुणों में से एक है।

परिभाषाएँ

माना कि $R$ एक समूह $X,$ पर एक द्विआधारी संबंध है, जो परिभाषा के अनुसार $X\times X.$ का एक उपसमुच्चय है। किसी के लिए $x,y\in X,$ अंकन $xRy$ मतलब कि $(x,y)\in R$ जबकि नहीं $xRy$मतलब कि $(x,y)\not \in R.$ सम्बन्ध $R$ कहा जाता है reflexive अगर $xRx$ हरएक के लिए $x\in X$ या समतुल्य रूप से, अगर $\operatorname {I} _{X}\subseteq R$ कहाँ पे $\operatorname {I} _{X}:=\{(x,x)~:~x\in X\}$ पर पहचान के संबंध को दर्शाता है $X.$

$R$ का स्वतुल्य संवरक $R\cup \operatorname {I} _{X},$ संघ है जिसे समतुल्य रूप से ($\subseteq$ के संबंध में) $X$ में सबसे छोटे स्वतुल्य संबंध जो $R$ के अधिसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। संबंध $R.$ स्वतुल्य तभी है अगर यह केवल अपने स्वतुल्य संवरक के समान है। $R$ का स्वतुल्य घटाव या अपरिवर्तनीय कर्नल $X$ में सबसे छोटा (संबंध के साथ $\subseteq$)संबंध है जिसका $R.$ के रूप में स्वतुल्य संवरक है। जो बराबर है $R\setminus \operatorname {I} _{X}=\{(x,y)\in R~:~x\neq y\}.$ की अकाट्य कर्नेल एक अर्थ में $R$, का अप्रासंगिक कर्नेल, एक निर्माण के रूप में देखा जा सकता है जो $R.$ के प्रतिवर्ती समापन होने के "विपरीत" है। उदाहरण के लिए, वास्तविक $\mathbb {R}$ पर विहित सख्त असमानता $<$ का प्रतिवर्ती समापन है $\leq$ जबकि रिफ्लेक्टिव कमी $\leq$ है $<.$

संबंधित परिभाषाएँ

प्रतिवर्ती गुण से संबंधित अनेक परिभाषाएँ हैं। सम्बन्ध $R$ कहा जाता है:

अकाट्य,एंटी-रिफ्लेक्सिव या अन्योन्याश्रित

यदि यह किसी भी तत्व को अपने आप से संबंधित नहीं करता है, तो प्रत्येक $x\in X.$ के लिए $xRx$ नहीं है। एक संबंध अपरिवर्तनीय है यदि और केवल अगर $X\times X$ में इसका पूरक प्रतिवर्ती है। असममित संबंध आवश्यक रूप से अपरिवर्तनीय है। एक सकर्मक और अप्रतिवर्ती संबंध आवश्यक रूप से असममित होता है।

वाम अर्ध-प्रतिवर्त

यदि जब भी $x,y\in X$ ऐसा हो कि $xRy,$ तो अनिवार्य रूप से $xRx.$ होगा।

दाँयाँ अर्ध-प्रतिवर्त

यदि जब भी $x,y\in X$ ऐसा हो कि $xRy,$ तो अनिवार्य रूप से $yRy.$होगा।

अर्ध-प्रतिवर्त

यदि हर तत्व जो कुछ संबंध का हिस्सा है, तो वह स्वयं से संबंधित है। स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ यह है कि जब भी $x,y\in X$ ऐसा होता है कि $xRy,$ तो अनिवार्य रूप से $xRx$ and $yRy.$ होता है। समतुल्य रूप से, एक द्विआधारी संबंध अर्ध-प्रतिवर्त है यदि और केवल यदि यह दोनों अर्ध-प्रतिवर्त और दायां अर्ध-प्रतिवर्त है। एक संबंध $R$ अर्ध-प्रतिवर्ती है यदि और केवल यदि इसका सममित संवरण $R\cup R^{\operatorname {T} }$ बाएं (या दाएं) अर्ध-प्रतिवर्ती है।

प्रतिसममित संबंध:

यदि जब भी $x,y\in X$ ऐसा हो कि $xRy{\text{ and }}yRx,$ तो अनिवार्य रूप से $x=y.$ होगा।

सहप्रतिवर्ती: यदि जब भी $x,y\in X$ ऐसा हो कि $xRy,$ तो अनिवार्य रूप से $x=y.$होगा। एक संबंध $R$ सहप्रतिवर्ती है अगर और केवल अगर इसकी सममित बंद विरोधी-सममित है।

अरिक्त समूह $X$ पर एक प्रतिवर्ती संबंध न तो अपरिवर्तनीय हो सकता है, और न ही असममित ($R$ को असममित कहा जाता है यदि $xRy$ का तात्पर्य $yRx$ नहीं है ), और न ही प्रतिसंक्रमणीय ($R$ प्रतिसंक्रमणीय है यदि $xRy{\text{ and }}yRz$ का अर्थ $xRz$ नहीं है )।

उदाहरण

रिफ्लेक्सिव संबंधों के उदाहरणों में सम्मिलित हैं:

• के बराबर है (समानता (गणित))
• का एक उपसमुच्चय है (समूह समावेशन)
• विभाजन (विभाजक)
• से अधिक या बराबर है
• से कम या उसके बराबर है

अकाट्य संबंधों के उदाहरणों में सम्मिलित हैं::

• के बराबर नहीं है
• 1 से बड़े पूर्णांक पर कॉपीरीट है
• का उचित उपसमुच्चय है
• से बड़ा है
• से छोटा है

अपरिवर्तनीय संबंध का एक उदाहरण जिसका अर्थ है कि यह किसी भी तत्व को स्वयं से संबंधित नहीं करता है, वास्तविक संख्याओं पर "से बड़ा" संबंध ($x>y$) है। प्रत्येक संबंध जो प्रतिवर्ती नहीं, अप्रतिवर्ती है, ऐसे संबंधों को परिभाषित करना संभव है जहां कुछ तत्व स्वयं से संबंधित हैं, लेकिन अन्य नहीं हैं (अर्थात, न तो सभी और न ही कोई भी)। उदाहरण के लिए, द्विआधारी संबंध $x$ और $y$ का गुणनफल सम है" विषम संख्याओं के समुच्चय पर सम संख्याओं के समुच्चय पर अपवर्तक है, और प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर न तो प्रतिवर्ती है और न ही अप्रतिवर्ती है।

अर्ध-प्रतिवर्त संबंध $R$ का एक उदाहरण वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों के सेट पर "समान सीमा है": प्रत्येक अनुक्रम की सीमा नहीं होती है और इस प्रकार संबंध प्रतिवर्ती नहीं होता है, लेकिन यदि किसी अनुक्रम की सीमा कुछ के समान होती है, तो इसकी वही सीमा है जो स्वयं अनुक्रम की सीमा है। एक बाएं अर्ध-पुनर्विचार संबंध का एक उदाहरण एक बाएं यूक्लिडियन संबंध है, जो हमेशा अर्ध-प्रतिवर्त होता है, लेकिन जरूरी नहीं कि सही अर्ध-प्रतिवर्त हो और इस प्रकार जरूरी नहीं कि अर्ध-प्रतिवर्त हो।

सहप्रतिवर्ती संबंध का एक उदाहरण पूर्णांक पर संबंध है जिसमें प्रत्येक विषम संख्या स्वयं से संबंधित होती है और कोई अन्य संबंध नहीं होता है। समानता संबंध एक प्रतिवर्ती और सहप्रतिवर्ती संबंध दोनों का एकमात्र उदाहरण है, और कोई भी सहप्रतिवर्ती सम्बंधित पहचान का एक समूह है। एक सकर्मक संबंध और एक ही समूह पर एक सकर्मक संबंध का मिलन हमेशा सकर्मक होता है।

रिफ्लेक्टिव संबंधों की संख्या

एक $n$-तत्व समुच्चय पर स्वतुल्य संबंधों $2^{n^{2}-n}.$ की संख्या है

Number of n-element binary relations of different types

Elem­ents	Any	Transitive	Reflexive	Symmetric	Preorder	Partial order	Total preorder	Total order	Equivalence relation
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	2	1	1	1	1	1
2	16	13	4	8	4	3	3	2	2
3	512	171	64	64	29	19	13	6	5
4	65,536	3,994	4,096	1,024	355	219	75	24	15
n	2n2		2n2−n	2n(n+1)/2			${\textstyle \sum _{k=0}^{n}k!S(n,k)}$	n!	${\textstyle \sum _{k=0}^{n}S(n,k)}$
OEIS	A002416	A006905	A053763	A006125	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

Note that S(n, k) refers to Stirling numbers of the second kind.

दार्शनिक तर्क

प्रायः दार्शनिक तर्कशास्त्र के लेखक विभिन्न शब्दावली का प्रयोग करते हैं। गणितीय अर्थ में बाध्य संबंधों को दार्शनिक तर्क में पूरी तरह से रिफ्लेक्सिव कहा जाता है, और अर्ध-बाध्य संबंधों को रिफ्लेक्सिव कहा जाता है।

संदर्भ

• Levy, A. (1979) Basic Set Theory, Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Verlag. Reprinted 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5
• Lidl, R. and Pilz, G. (1998). Applied abstract algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag. ISBN 0-387-98290-6
• Quine, W. V. (1951). Mathematical Logic, Revised Edition. Reprinted 2003, Harvard University Press. ISBN 0-674-55451-5
• Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.

बाहरी कड़ियाँ

• "Reflexivity", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]