लघु निरस्तीकरण सिद्धांत: Difference between revisions

Latest revision as of 11:41, 16 February 2023

समूह सिद्धांत के गणितीय विषय में, छोटे निरस्तीकरण सिद्धांत स्थिति को संतुष्ट करने वाले समूह की प्रस्तुति द्वारा दिए गए समूहों का अध्ययन करता है, अर्थात जहां परिभाषित संबंधों में एक दूसरे के साथ छोटे ओवरलैप होते हैं। छोटे निरस्तीकरण की स्थिति समूह के बीजगणितीय, ज्यामितीय और एल्गोरिथम गुणों को दर्शाती है। सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत किए गए समूह पर्याप्त रूप से मजबूत लघु निरस्तीकरण स्थितियों को संतुष्ट करते हैं, ये शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूह हैं और डेहेन के एल्गोरिथ्म द्वारा हल करने योग्य समूहों के लिए शब्द समस्या है। टार्स्की मॉन्स्टर्स समूह के निर्माण के लिए और बर्नसाइड की समस्या के समाधान के लिए छोटे निरस्तीकरण विधियों का भी उपयोग किया जाता है।

इतिहास

छोटे निरस्तीकरण सिद्धांत में अंतर्निहित कुछ विचार 1910 के दशक में मैक्स डेहन के कार्य पर वापस जाते हैं।^[1] डेहेन ने प्रमाणित किया कि कम से कम दो जीनस की बंद ओरिएंटेबल सतहों के मूलभूत समूहों के लिए शब्द समस्या है जिसे अब डेहेन's कलन विधि कहा जाता है। उनके प्रमाण में अतिशयोक्तिपूर्ण कई गुना में ऐसे समूह के केली ग्राफ को चित्रित करना और केली ग्राफ में एक बंद लूप के लिए गॉस-बोनट प्रमेय के माध्यम से वक्रता अनुमान लगाना सम्मिलित है ताकि यह निष्कर्ष निकाला जा सके कि इस तरह के लूप में परिभाषित संबंध का एक बड़ा भाग (आधे से अधिक) होना चाहिए।

टार्टाकोव्स्की का 1949 का प्रकाशन^[2] छोटे निरस्तीकरण सिद्धांत के लिए एक तत्काल अग्रदूत था: इस पत्र ने समूहों के एक वर्ग के लिए शब्द समस्या का समाधान प्रदान किया, जो संयोजी स्थितियों के एक जटिल सेट को संतुष्ट करता था, जहां छोटे निरस्तीकरण प्रकार की धारणाओं ने महत्वपूर्ण भूमिका निभाई थी। छोटे निरस्तीकरण सिद्धांत का मानक संस्करण, जैसा कि आज उपयोग किया जाता है, 1960 के दशक के प्रारम्भ में मार्टिन ग्रीन्डलिंगर द्वारा पत्रों की एक श्रृंखला में विकसित किया गया था,^[3]^[4]^[5] जो मुख्य रूप से मीट्रिक लघु निरस्तीकरण स्थितियों से सम्पादित होते थे। विशेष रूप से, ग्रीन्डलिंगर ने प्रमाणित किया कि C'(1/6) लघु निरस्तीकरण स्थिति को संतुष्ट करने वाले अंतिम रूप से प्रस्तुत समूहों में डेहेन के एल्गोरिथ्म द्वारा हल की जाने वाली शब्द समस्या है। लिंडन के बाद के कार्य में सिद्धांत को और अधिक परिष्कृत और औपचारिक रूप दिया गया,^[6] रूसी^[7] और लिंडन-स्कूप,^[8]जिन्होंने गैर-मीट्रिक लघु निरस्तीकरण स्थितियों के प्रकरण का भी इलाज किया, कई गतिविधियों और एचएनएन-विस्तार के साथ मुक्त उत्पाद के लिए छोटे निरस्तीकरण सिद्धांत का एक संस्करण विकसित किया।

लघु निरसन सिद्धांत को अलेक्जेंडर ओलशांस्की द्वारा विकसित किया गया था जिन्होंने विकसित किया था^[9] सिद्धांत का एक वर्गीकृत संस्करण जहां परिभाषित संबंधों का सेट एक निस्पंदन से सुसज्जित होता है और जहां एक विशेष ग्रेड के एक परिभाषित रिलेटर को एक उच्च ग्रेड के एक परिभाषित रिलेटर के साथ एक बड़े ओवरलैप की अनुमति होती है। ओलशास्की ने टार्स्की मॉन्स्टर्स समूह सहित विभिन्न मॉन्स्टर्स समूहों के निर्माण के लिए वर्गीकृत छोटे निरस्तीकरण सिद्धांत का उपयोग किया^[10] और एक नया प्रमाण देने के लिए भी^[11] बड़े विषम घातांक की बर्नसाइड की समस्या अनंत है (यह परिणाम मूल रूप से सर्गेई एडियन और पीटर नोविकोव द्वारा 1968 में अधिक संयोजी विधियों का उपयोग करके सिद्ध किया गया था)।^[12]^[13]^[14]

लघु निरस्तीकरण सिद्धांत ने शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के सिद्धांत के लिए उदाहरणों और विचारों का एक बुनियादी सेट प्रदान किया जो कि मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ) द्वारा 1987 के मोनोग्राफ हाइपरबोलिक समूहों में सामने रखा गया था।^[15]

मुख्य परिभाषाएँ

लिंडन और शूप की पुस्तक का V, नीचे दी गई प्रदर्शनी मुख्य रूप से Ch का अनुसरण करती है। ।^[8]

अनुभाग

$G=\langle X\mid R\rangle \qquad (*)$

एक समूह की प्रस्तुति हो जहां R ⊆ F(X) मुक्त समूह F(X) में स्वतंत्र रूप से कम किए गए और चक्रीय रूप से कम किए गए शब्दों का एक सेट है, जैसे कि R सममित है, अर्थात चक्रीय क्रमपरिवर्तन और व्युत्क्रम लेने के तहत बंद है।

f(x) में एक गैर-तुच्छ स्वतंत्र रूप से कम शब्द U को (∗) के संबंध में एक अनुभाग कहा जाता है यदि दो अलग-अलग तत्व उपलब्ध हैं R₁, R₂ में U अधिकतम साधारण प्रारंभिक खंड के रूप में है।

ध्यान दें कि अगर $G=\langle X\mid S\rangle$ एक समूह प्रस्तुति है जहां रिलेटर S को परिभाषित करने का सेट सममित नहीं है, हम सदैव S के सममित बंद R को ले सकते हैं, जहां R में S और S^-1 के तत्वों के सभी चक्रीय क्रम परिवर्तन होते हैं। फिर R सममित है और $G=\langle X\mid R\rangle$ की भी प्रस्तुति है।

मीट्रिक लघु निरस्तीकरण की शर्तें

मान लीजिए 0< λ < 1है।

प्रस्तुति (∗) जैसा कि ऊपर कहा गया है, C'(λ) लघु निरस्तीकरण स्थिति को पूरा करने के लिए कहा जाता है यदि जब भी U (∗) के संबंध में एक अनुभाग है और U कुछ R ∈ R का उपशब्द है, तो |U| < λ|R|। यहां |V| एक शब्द V की लंबाई है।

स्थिति C′(λ) को कभी-कभी मीट्रिक लघु निरस्तीकरण स्थिति कहा जाता है।

गैर-मीट्रिक लघु निरस्तीकरण शर्तें

मान लीजिए कि p ≥ 3 एक पूर्णांक है। उपरोक्त के अनुसार समूह प्रस्तुति (∗) को C(p) लघु निरस्तीकरण शर्त को पूरा करने के लिए कहा जाता है यदि जब भी r ∈ R और

r=u_{1}\dots u_{m}

जहां ui अनुभाग हैं और जहां उपरोक्त उत्पाद लिखित रूप में स्वतंत्र रूप से कम किया गया है, तो m ≥ p होगा। यही है, कोई परिभाषित संबंधक P टुकड़ों से कम के कम उत्पाद के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। देहन ने सामान्य रूप से समूहों के लिए शब्द और संयुग्मन समस्याओं को प्रस्तुत किया और एल्गोरिदम प्रदान किया जो इन समस्याओं को बंद उन्मुख द्वि-आयामी मैनिफोल्ड के मौलिक समूहों के लिए हल करता है। इन समूहों की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि (तुच्छ अपवादों के साथ) उन्हें संपत्ति के साथ एक एकल रिलेटर आर द्वारा परिभाषित किया जाता है कि यदि एस आर या आर -1 का चक्रीय संयोग है, एस ≠ आर -1 के साथ, बहुत कम रद्दीकरण होता है उत्पाद बनाने में rs. Dehn के एल्गोरिदम को प्रस्तुतियों वाले समूहों के बड़े वर्गों तक बढ़ा दिया गया है जिसमें परिभाषित संबंधों की एक समान छोटी रद्दीकरण संपत्ति है।

मान लीजिए q ≥ 3 एक पूर्णांक है। ऊपर के रूप में एक समूह प्रस्तुति (∗) को T(q) लघु निरस्तीकरण शर्त को पूरा करने के लिए कहा जाता है यदि जब भी 3 ≤ t< qऔर R₁,...,R_t R में ऐसे हैं कि R₁≠ R₂⁻¹,..., R_t≠ R₁⁻¹ तो कम से कम एक उत्पाद r₁r₂,...,R_t−1r_t, R_tr₁ लिखित रूप में स्वतंत्र रूप से कम किया जाता है।

ज्यामितीय रूप से, स्थिति T(q) का अनिवार्य रूप से तात्पर्य यह है कि यदि D (∗) पर एक घटा हुआ वैन कम्पेन आरेख है, तो कम से कम तीन डिग्री के D के प्रत्येक आंतरिक शीर्ष में वास्तव में कम से कम q की डिग्री होती है।

उदाहरण

माना कि $G=\langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle$ रैंक दो के मुक्त एबेलियन समूह की मानक प्रस्तुति हो। फिर इस प्रस्तुति के सममित बंद होने के लिए केवल अनुभाग लंबाई 1 के शब्द हैं। यह सममित रूप C(4)–T(4) लघु निरस्तीकरण शर्तों और किसी भी 1 > λ > 1/ के लिए C′(λ) स्थिति को पूरा करता है।
माना कि $G=\langle a_{1},b_{1},\dots ,a_{k},b_{k}\mid [a_{1},b_{1}]\cdot \dots \cdot [a_{k},b_{k}]\rangle$ , जहां k ≥ 2, जीनस k की एक बंद ओरिएंटेबल सतह के मौलिक समूह की मानक प्रस्तुति हो। फिर इस प्रस्तुति के सममितीकरण के लिए केवल लंबाई 1 के शब्द हैं और यह समरूपता C'(1/7) और C(8) लघु निरस्तीकरण शर्तों को पूरा करती है।
माना कि $G=\langle a,b\mid abab^{2}ab^{3}\dots ab^{100}\rangle$ . फिर, व्युत्क्रम तक, इस प्रस्तुति के सममित संस्करण के लिए प्रत्येक भाग का रूप b है^{मैं अब^{जे </सुप> या बीⁱ, जहां 0 ≤ i,j ≤ 100। यह सममितीकरण C′(1/20) लघु निरस्तीकरण स्थिति को पूरा करता है।}}
यदि एक सममित प्रस्तुति C'(1/m) स्थिति को संतुष्ट करती है तो यह C(m) स्थिति को भी संतुष्ट करती है।
चलो r ∈ F(X) एक गैर-तुच्छ चक्रीय रूप से कम किया गया शब्द है जो F(X) में एक उचित शक्ति नहीं है और n ≥ 2 दें। फिर प्रस्तुति का सममित समापन $G=\langle X\mid r^{n}\rangle$ C(2n) को संतुष्ट करता है^[16] और C'(1/n) लघु निरस्तीकरण शर्तों को संतुष्ट करता है।

छोटे निरस्तीकरण सिद्धांत के मूल परिणाम

ग्रीनलिंगर की लेम्मा

मीट्रिक लघु निरस्तीकरण स्थिति के बारे में मुख्य परिणाम निम्न कथन है (देखें प्रमेय 4.4 के Ch. V में ^[8] जिसे सामान्यतः कहा जाता है

ग्रीन्डलिंगर की लेम्मा:

मान लीजिए (∗) एक समूह प्रस्तुति हो जैसा कि उपरोक्त C'(λ) लघु निरस्तीकरण स्थिति को संतुष्ट करता है जहां 0 ≤ λ ≤ 1/6। चलो w ∈ F(X) एक गैर-तुच्छ स्वतंत्र रूप से कम किया गया शब्द है जैसे w = 1 G में। फिर w का एक उपशब्द v है और एक परिभाषित संबंधक r ∈ R ऐसा है कि v भी r का एक उपशब्द है और ऐसा है कि

\left|v\right|>\left(1-3\lambda \right)\left|r\right|

ध्यान दें कि धारणा λ ≤ 1/6 का अर्थ है कि (1 − 3λ) ≥ 1/2, ताकि w में कुछ परिभाषित रिलेटर के आधे से अधिक उपशब्द हों।

ग्रीन्डलिंगर की लेम्मा को निम्नलिखित ज्यामितीय कथन के परिणाम के रूप में प्राप्त किया जाता है:

ग्रीन्डलिंगर के लेम्मा की धारणाओं के तहत, D को चक्रीय रूप से कम सीमा लेबल के साथ (∗) पर एक कम वैन कैम्पेन आरेख होने दें, जैसे कि D में कम से कम दो क्षेत्र सम्मिलित हैं। तब दो अलग-अलग क्षेत्र होते हैं D₁ और डी₂ D में ऐसा है कि j = 1,2 के लिए क्षेत्र D_j D के सीमा चक्र ∂D को एक साधारण चाप में काटता है जिसकी लंबाई (1 − 3λ)|∂Djसे बड़ी है।

बदले में यह परिणाम D के लिए एक दोहरे आरेख पर विचार करके सिद्ध किया गया है। वहां एक वक्रता की संयोजन धारणा को परिभाषित करता है (जो कि, लघु निरस्तीकरण धारणाओं द्वारा, प्रत्येक आंतरिक शीर्ष पर नकारात्मक है), और फिर गॉस का संयोजन संस्करण प्राप्त करता है- बोनट प्रमेय। ग्रीन्डलिंगर की लेम्मा इस विश्लेषण के परिणाम के रूप में प्रमाणित हुई है और इस तरह सबूत सतह समूहों के प्रकरण के लिए डेहेन के मूल सबूत के विचारों को उजागर करता है।

डेहेन का एल्गोरिथम

किसी भी सममित समूह प्रस्तुति (∗) के लिए, निम्नलिखित अमूर्त प्रक्रिया को डेहेन का एल्गोरिथम कहा जाता है:

'X±1पर एक मुक्त रूप से कम किया हुआ शब्द w दिया गया है, स्वतंत्र रूप से कम किए गए शब्दों का एक क्रम बनाएं w = w₀, में₁, में₂,..., का एक क्रम इस प्रकार बनाएं।
मान लीजिए wj पहले से ही निर्मित है। यदि यह खाली शब्द है, तो एल्गोरिथम को समाप्त करें। अन्यथा जांचें कि क्या wj इसमें एक सबवर्ड v होता है जैसे कि v भी कुछ डिफाइनिंग रिलेटर r = vu ∈ R का एक सबवर्ड होता है जैसे कि |v| >>|R|/2. यदि नहीं, तो आउटपुट w के साथ एल्गोरिथ्म को समाप्त करें_j.

यदि हां, wj में v को u−1 से प्रतिस्थापित करें, फिर स्वतंत्र रूप से कम करें, परिणामी मुक्त रूप से घटाए गए शब्द को wj+1 से निरूपित करें और एल्गोरिथम के अगले चरण पर जाएं।

ध्यान दें कि हमारे पास हमेशा होता है

|w0| > |w1| > |w2| >..

जिसका तात्पर्य है कि प्रक्रिया को अधिकतम |w| कदम में समाप्त होना चाहिए। इसके अतिरिक्त, सभी शब्द wj, G के उसी तत्व का प्रतिनिधित्व करते हैं जो w करता है और इसलिए यदि प्रक्रिया खाली शब्द के साथ समाप्त होती है, तो w, G के पहचान तत्व का प्रतिनिधित्व करता है।

एक का कहना है कि एक सममित प्रस्तुति के लिए (∗) डेहेन का एल्गोरिथ्म G में समूहों के लिए शब्द समस्या को हल करता है यदि विलोम भी सत्य है, अर्थात यदि F(X) में किसी मुक्त रूप से घटाए गए शब्द w के लिए यह शब्द G के पहचान तत्व का प्रतिनिधित्व करता है ' यदि और केवल यदि देह का एल्गोरिथ्म, w से शुरू होकर, खाली शब्द में समाप्त होता है।

ग्रीन्डलिंगर की लेम्मा का तात्पर्य है कि C'(1/6) प्रस्तुति के लिए डेहेन का एल्गोरिथ्म शब्द समस्या को हल करता है।

यदि एक C'(1/6) प्रस्तुति (∗) परिमित है (अर्थात् X और R दोनों परिमित हैं), तो डेहेन का एल्गोरिथ्म एक वास्तविक गैर-नियतात्मक कलन विधि है। पुनरावर्तन सिद्धांत के अर्थ में गैर-नियतात्मक एल्गोरिथम है। हालाँकि, भले ही (∗) एक अनंत C′(1/6) प्रस्तुति हो, डेहेन का एल्गोरिथ्म, जिसे एक अमूर्त प्रक्रिया के रूप में समझा जाता है, फिर भी सही ढंग से तय करता है कि जनरेटर X±1 में कोई शब्द है या नहीं G के तत्समक तत्व का प्रतिनिधित्व करता है।

S्फेरिसिटी

मान लीजिए (∗) एक C'(1/6) या, अधिक सामान्यतः, C(6) प्रस्तुति जहां प्रत्येक r ∈ R F(X) में एक उचित शक्ति नहीं है तो G निम्नलिखित अर्थों में एस्फेरिकल स्पेस है। R के एक न्यूनतम उपसमुच्चय S पर विचार करें जैसे कि S का सममित समापन R के बराबर है। इस प्रकार यदि r और s, S के विशिष्ट तत्व हैं तो r, s±1 का चक्रीय क्रमचय नहीं है और $G=\langle X\mid S\rangle$ G के लिए एक और प्रस्तुति है। इस प्रस्तुति के लिए Y को प्रस्तुतिकरण जटिल होना चाहिए। तब (देखें ^[17] और प्रमेय 13.3 में ^[9]), उपरोक्त मान्यताओं के तहत (∗), Y, G के लिए एक वर्गीकरण स्थान है, अर्थात G = π₁(Y) और Y का सार्वभौमिक आवरण सिकुड़ा हुआ स्थान है। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है कि G मरोड़-मुक्त है और इसका कोहोलॉजिकल आयाम दो है।

अधिक सामान्य वक्रता

अधिक सामान्यतः, किसी भी वैन कम्पेन आरेख पर विभिन्न प्रकार के स्थानीय वक्रता को परिभाषित करना संभव है - बहुत मुख्य रूप से - औसत अतिरिक्त vertices + faces − edges (जो, यूलर के सूत्र द्वारा, कुल 2 होना चाहिए) और, एक विशेष समूह में दिखाकर, कि यह सदैव गैर-सकारात्मक (या – इससे भी बेहतर – नकारात्मक) आंतरिक रूप से दिखाता है कि वक्रता सभी सीमा पर या उसके पास होनी चाहिए और इस प्रकार शब्द समस्या का समाधान प्राप्त करने का प्रयास करें। इसके अतिरिक्त , कोई भी उन आरेखों पर ध्यान केंद्रित कर सकता है जिनमें क्षेत्रों का कोई सेट सम्मिलित नहीं होता है जैसे कि एक ही सीमा के साथ एक "छोटा" क्षेत्र होता है।

छोटे निरस्तीकरण समूहों के अन्य बुनियादी गुण

मान लीजिए (∗) एक C′(1/6) प्रस्तुति है। तब G में एक तत्व g का क्रम n > 1 होता है यदि और केवल यदि R में r = s के रूप में कोई रिलेटर होता हैⁿ F(X) में ऐसा है कि g, G में s के लिए संयुग्मी वर्ग है। विशेष रूप से, यदि R के सभी तत्व F(X) में उचित शक्तियाँ नहीं हैं तो G मरोड़-मुक्त है।
यदि (∗) एक परिमित C′(1/6) प्रस्तुति है, तो समूह G शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूह है|
यदि R और S, F(X) के समान सामान्य बंद (समूह सिद्धांत) के साथ F(X) के परिमित सममित उपसमुच्चय हैं, जैसे कि दोनों प्रस्तुतियाँ $\langle X\mid R\rangle$ और $\langle X\mid S\rangle$ C′(1/6) स्थिति को पूरा करें तो R = S|
यदि एक परिमित प्रस्तुति (∗) C′(1/6), C′(1/4)–T(4), C(6), C(4)–T(4), C(3) में से किसी एक को संतुष्ट करती है )–T(6) तो समूह G में समूहों के लिए हल करने योग्य शब्द समस्या और हल करने योग्य संयुग्मन समस्या है|

अनुप्रयोग

लघु निरस्तीकरण सिद्धांत के अनुप्रयोगों के उदाहरणों में सम्मिलित हैं:

वैकल्पिक गांठों के समूहों के लिए संयुग्मन समस्या का समाधान (देखें^[18]^[19] और अध्याय V, प्रमेय 8.5 इंच ^[8]), यह दिखाते हुए कि ऐसी गांठों के लिए संवर्धित गाँठ समूह C(4)–T(4) प्रस्तुतियों को स्वीकार करते हैं।
सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत C′(1/6) छोटे निरस्तीकरण समूह शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के मूल उदाहरण हैं। शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के समतुल्य लक्षणों में से एक यह है कि वे परिमित प्रस्तुतियों को स्वीकार करते हैं जहां डेहेन के एल्गोरिदम समूहों के लिए शब्द समस्या हल करते हैं।
परिमित C(4) – T(4) प्रस्तुतियों द्वारा दिए गए सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह जहां प्रत्येक अनुभाग की लंबाई एक है सी ए टी(0) समूहों के मूल उदाहरण हैं: इस तरह की प्रस्तुति के लिए प्रस्तुति परिसर का सार्वभौमिक आवरण सी ए टी(K) है अंतरिक्ष | सी ए टी (0) वर्ग परिसर।
छोटे निरस्तीकरण सिद्धांत के प्रारंभिक अनुप्रयोगों में विभिन्न अंतःस्थापन परिणाम प्राप्त करना सम्मिलित है। उदाहरणों में 1974 का प्रकाशन सम्मिलित है^[20] Sacerdote और Schupp के प्रमाण के साथ कि कम से कम तीन जनरेटर वाला प्रत्येक एक-रिलेटर समूह SQ सार्वभौमिक समूह है। SQ-सार्वभौमिक और Schupp का 1976 का प्रकाशन^[21] इस प्रमाण के साथ कि प्रत्येक गणनीय समूह को क्रम दो के तत्व और क्रम तीन के तत्व द्वारा उत्पन्न एक साधारण समूह में सन्निहित किया जा सकता है।
तथाकथित रिप्स निर्माण, एलियाहू चीरता है के कारण,^[22] शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के विभिन्न उपसमूह गुणों के बारे में काउंटर-उदाहरणों का एक समृद्ध स्रोत प्रदान करता है: मनमाने ढंग से प्रस्तुत समूह क्U को देखते हुए, निर्माण एक छोटा सटीक अनुक्रम उत्पन्न करता है $1\to K\to G\to Q\to 1$ जहाँ K दो-उत्पन्न होता है और जहाँ G मरोड़-मुक्त होता है और एक परिमित C′ (1/6) -प्रस्तुति द्वारा दिया जाता है (और इस प्रकार G शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण है)। निर्माण उपसमूह सदस्यता समस्या, पीढ़ी की समस्या और समूह के रैंक सहित शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के लिए कई एल्गोरिथम समस्याओं की असम्बद्धता का प्रमाण देता है।^[23] साथ ही, कुछ अपवादों के साथ, रिप्स निर्माण में समूह K अंतिम रूप से प्रस्तुत समूह नहीं है। इसका तात्पर्य यह है कि ऐसे शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूह उपलब्ध हैं जो सुसंगत नहीं हैं, जिनमें उपसमूह होते हैं जो सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होते हैं लेकिन अंतिम रूप से प्रस्तुत करने योग्य नहीं होते हैं।
लघु निरस्तीकरण विधियों (अनंत प्रस्तुतियों के लिए) का उपयोग ओल्शांस्की द्वारा किया गया था^[9]तर्स्की मॉन्स्टर्स समूह सहित विभिन्न मॉन्स्टर्स समूहों का निर्माण करने के लिए और एक प्रमाण देने के लिए कि बड़े विषम घातांक के मुक्त बर्नसाइड समूह अनंत हैं (एक समान परिणाम मूल रूप से 1968 में एडियन और नोविकोव द्वारा अधिक संयोजी विधियों का उपयोग करके सिद्ध किया गया था)। इस पद्धति का उपयोग करके ओल्शांस्की द्वारा निर्मित कुछ अन्य मॉन्स्टर्स समूहों में सम्मिलित हैं: एक अनंत सरल समूह नोथेरियन समूह; एक अनंत समूह जिसमें प्रत्येक उचित उपसमूह का प्रधान क्रम होता है और एक ही क्रम के दो उपसमूह संयुग्मित होते हैं; एक अनुकूल समूह जहां हर उचित उपसमूह चक्रीय है; और दूसरे।^[24]
ब्रायन बॉडिच^[25] यह प्रमाणित करने के लिए अनंत लघु निरस्तीकरण प्रस्तुतियों का उपयोग किया गया है कि दो-जनरेटर समूहों के लगातार कई अर्ध isometry | अर्ध-आइसोमेट्री प्रकार उपलब्ध हैं।
थॉमस और वेलिकोविच ने निर्माण के लिए लघु निरस्तीकरण सिद्धांत का उपयोग किया^[26] दो गैर-होमियोमॉर्फिक स्पर्शोन्मुख शंकुओं के साथ एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न समूह, इस प्रकार मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ) के एक प्रश्न का उत्तर दे रहा है।
मैककैमोंड और वाइज ने दिखाया कि कैसे रिप्स निर्माण द्वारा उत्पन्न कठिनाइयों को दूर किया जाए और छोटे निरस्तीकरण समूहों के बड़े वर्गों का उत्पादन किया जाए जो सुसंगत हैं (अर्थात जहां सभी सूक्ष्म रूप से उत्पन्न उपसमूहों को सूक्ष्मता से प्रस्तुत किया जाता है) और, इसके अतिरिक्त , स्थानीय रूप से क्वासिकोनवेक्स (अर्थात जहां सभी सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होते हैं) उपसमूह क्वासिकोनवेक्स हैं)।^[27]^[28]
जेनेरिक या रैंडम समूह के विभिन्न मॉडलों के अध्ययन में निरस्तीकरण के छोटे तरीके महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं यादृच्छिक रूप से प्रस्तुत समूह (देखें ^[29]). विशेष रूप से, जनरेटर की एक निश्चित संख्या m ≥ 2 और संबंधों को परिभाषित करने की एक निश्चित संख्या t ≥ 1 के लिए और किसी भी λ < 1 के लिए एक यादृच्छिक एम-जनरेटर टी-रिलेटर समूह C′(λ) लघु निरस्तीकरण स्थिति को संतुष्ट करता है। भले ही परिभाषित संबंधों की संख्या t निश्चित न हो लेकिन (2m − 1) के रूप में बढ़ती है^εn (जहां ε ≥ 0 यादृच्छिक समूहों के ग्रोमोव के घनत्व मॉडल में निश्चित घनत्व पैरामीटर है, और जहां $n\to \infty$ परिभाषित संबंधों की लंबाई है), तो एक ε-यादृच्छिक समूह प्रदान की गई C′(1/6) शर्त को पूरा करता है ε< 1/12।
मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ)^[30]एक सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह के अस्तित्व को प्रमाणित करने के लिए एक ग्राफ के संबंध में छोटे निरस्तीकरण सिद्धांत के एक संस्करण का उपयोग किया जिसमें (उचित अर्थ में) विस्तारक ग्राफ का एक अनंत अनुक्रम होता है और इसलिए हिल्बर्ट अंतरिक्ष में एक समान एम्बेडिंग को स्वीकार नहीं करता है। यह परिणाम नोविकोव अनुमान के प्रति-उदाहरणों की तलाश के लिए एक दिशा प्रदान करता है (अब तक केवल एक ही उपलब्ध है)।
ओसिन^[31]अपेक्षाकृत हाइपरबोलिक समूहों के लिए थर्स्टन की हाइपरबोलिक डेन सर्जरी प्रमेय।

सामान्यीकरण

मुफ्त उत्पाद और एचएनएन एक्सटेंशन के भागफल समूहों के लिए छोटे निरस्तीकरण सिद्धांत का एक संस्करण Sacerdote और Schupp के प्रकाशन में और फिर लिंडन और Schupp की पुस्तक में विकसित किया गया था।^[8]* रिप्स ^[32] और ओलशांस्की^[9]छोटे निरस्तीकरण सिद्धांत का एक स्तरीकृत संस्करण विकसित किया गया है, जहां रिलेटर्स के सेट को स्ट्रैट के Rोही संघ के रूप में फ़िल्टर किया जाता है (प्रत्येक स्ट्रैटम एक लघु निरस्तीकरण स्थिति को संतुष्ट करता है) और कुछ स्ट्रैटम से एक रिलेटर R के लिए और एक उच्च स्तर से एक रिलेटर के लिए उनके ओवरलैप की आवश्यकता होती है |s| के संबंध में छोटा होना लेकिन |r| के संबंध में बड़े होने की अनुमति है। इस सिद्धांत ने ओल्शांस्की को तार्स्की मॉन्स्टर्स समूह सहित विभिन्न मॉन्स्टर्स समूहों का निर्माण करने और एक नया प्रमाण देने की अनुमति दी कि बड़े विषम घातांक के मुक्त बर्नसाइड समूह अनंत हैं।
ओलशांस्की^[33] और डेलजेंट^[34] बाद में शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के भागफल के लिए छोटे निरस्तीकरण सिद्धांत के विकसित संस्करण।
मैककैमोंड ने छोटे रद्दकरण सिद्धांत का एक उच्च-आयामी संस्करण प्रदान किया।^[35]
मैककैमोंड और वाइज ने छोटे निरस्तीकरण प्रस्तुतियों पर वैन कैम्पेन आरेखों की ज्यामिति के संबंध में मानक छोटे निरस्तीकरण सिद्धांत (जैसे ग्रीन्डलिंगर की लेम्मा) के बुनियादी परिणामों को काफी हद तक आगे बढ़ाया।^[36]
मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ) ने प्रमाणित करने के लिए एक ग्राफ के संबंध में लघु निरसन सिद्धांत के एक संस्करण का उपयोग किया^[30] एक सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह का अस्तित्व जिसमें (उचित अर्थ में) विस्तारकों का एक अनंत अनुक्रम होता है और इसलिए हिल्बर्ट अंतरिक्ष में एक समान एम्बेडिंग को स्वीकार नहीं करता है।^[37]
आंशिक रूप से^[31] अपेक्षाकृत अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के उद्धरणों के लिए छोटे निरस्तीकरण सिद्धांत का एक संस्करण दिया और इसका उपयोग हाइपरबोलिक डेहन सर्जरी के अपेक्षाकृत हाइपरबोलिक सामान्यीकरण को प्राप्त करने के लिए किया। थर्स्टन की हाइपरबोलिक डेन सर्जरी प्रमेय।

मूल संदर्भ

रोजर लिंडन और पॉल शूप, कॉम्बिनेटरियल ग्रुप थ्योरी। 1977 संस्करण का पुनर्मुद्रण। गणित में क्लासिक्स। स्प्रिंगर-वर्लाग, बर्लिन, 2001। ISBN 3-540-41158-5.
अलेक्जेंडर यू. ओलशांस्की, समूहों में संबंधों को परिभाषित करने की ज्यामिति। 1989 के रूसी मूल से U द्वारा अनुवादित। ए बख्तूरिन। गणित और इसके अनुप्रयोग (सोवियत श्रृंखला), 70। क्लूवर शैक्षणिक प्रकाशक समूह, डॉर्ड्रेक्ट, 1991। ISBN 0-7923-1394-1.
राल्फ स्ट्रेबेल, परिशिष्ट। छोटे निरस्तीकरण समूह। माइकल ग्रोमोव (बर्न, 1988) के अनुसार अतिपरवलयिक समूहों पर, पीपी। 227–273, गणित में प्रगति, 83, बिरखौसर बोस्टन, बोस्टन, मैसाचुसेट्स, 1990। ISBN 0-8176-3508-4.
मिले क्रेजेव्स्की, कैंसलेशन+कंडीशन्स%27%27 प्लेन की टाइलिंग, हाइपरबोलिक ग्रुप्स और स्मॉल कैंसलेशन कंडीशंस। मेमोयर्स ऑफ द अमेरिकन मैथमैटिकल सोसाइटी, वॉल्यूम। 154 (2001), नहीं। 733.

यह भी देखें

ज्यामितीय समूह सिद्धांत
शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूह
तर्स्की मॉन्स्टर्स समूह
बर्नसाइड की समस्या
अंतिम रूप से प्रस्तुत समूह
समूहों के लिए शब्द समस्या
वैन कम्पेन Rेख

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[1] Bruce Chandler and Wilhelm Magnus, The history of combinatorial group theory. A case study in the history of ideas. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, 9. Springer-Verlag, New York, 1982. ISBN 0-387-90749-1.

[2] V. A. Tartakovskii, Solution of the word problem for groups with a k-reduced basis for k>6. (Russian) Izvestiya Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat., vol. 13, (1949), pp. 483–494.

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[15] M. Gromov, Hyperbolic Groups, in "Essays in Group Theory" (G. M. Gersten, ed.), MSRI Publ. 8, 1987, pp. 75-263.

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[32] Rips, Eliyahu (1982). "Generalized small cancellation theory and applications I". Israel Journal of Mathematics. 41: 1–146. doi:10.1007/BF02760660.

[33] Olʹshanskii, A. Yu. (1993). "On residualing homomorphisms and G-subgroups of hyperbolic groups". International Journal of Algebra and Computation. 3 (4): 365–409. doi:10.1142/S0218196793000251.

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[35] McCammond, Jonathan P. (2000). "A general small cancellation theory". International Journal of Algebra and Computation. 10 (1): 1–172.

[36] McCammond, Jonathan P.; Wise, Daniel T. (2002). "Fans and ladders in small cancellation theory". Proceedings of the London Mathematical Society. 84 (3): 599–644. doi:10.1112/S0024611502013424.

[37] For more details on small cancellation theory with respect to a graph, see also Ollivier, Yann (2006). "On a small cancellation theorem of Gromov". Bulletin of the Belgian Mathematical Society. 13 (1): 75–89. doi:10.36045/bbms/1148059334.

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 मान लीजिए कि p ≥ 3 एक पूर्णांक है। उपरोक्त के अनुसार समूह प्रस्तुति (∗) को C(p) लघु निरस्तीकरण शर्त को पूरा करने के लिए कहा जाता है यदि जब भी r ∈ R और
-:<math>r=u_1\dots u_m</math> जहां ui अनुभाग हैं और जहां उपरोक्त उत्पाद लिखित रूप में स्वतंत्र रूप से कम किया गया है, तो m ≥ p होगा। यही है, कोई परिभाषित संबंधक P टुकड़ों से कम के कम उत्पाद के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।
+:<math>r=u_1\dots u_m</math> जहां ui अनुभाग हैं और जहां उपरोक्त उत्पाद लिखित रूप में स्वतंत्र रूप से कम किया गया है, तो m ≥ p होगा। यही है, कोई परिभाषित संबंधक P टुकड़ों से कम के कम उत्पाद के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। देहन ने सामान्य रूप से समूहों के लिए शब्द और संयुग्मन समस्याओं को प्रस्तुत किया और एल्गोरिदम प्रदान किया जो इन समस्याओं को बंद उन्मुख द्वि-आयामी मैनिफोल्ड के मौलिक समूहों के लिए हल करता है। इन समूहों की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि (तुच्छ अपवादों के साथ) उन्हें संपत्ति के साथ एक एकल रिलेटर आर द्वारा परिभाषित किया जाता है कि यदि एस आर या आर -1 का चक्रीय संयोग है, एस ≠ आर -1 के साथ, बहुत कम रद्दीकरण होता है उत्पाद बनाने में rs. Dehn के एल्गोरिदम को प्रस्तुतियों वाले समूहों के बड़े वर्गों तक बढ़ा दिया गया है जिसमें परिभाषित संबंधों की एक समान छोटी रद्दीकरण संपत्ति है।
 मान लीजिए q ≥ 3 एक पूर्णांक है। ऊपर के रूप में एक समूह प्रस्तुति (∗) को T(q) लघु निरस्तीकरण शर्त को पूरा करने के लिए कहा जाता है यदि जब भी 3 ≤ t< qऔर R<sub>1</sub>,...,R<sub>t</sub> R में ऐसे हैं कि R<sub>1</sub>≠ R<sub>2</sub><sup>−1</sup>,...,
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 ==टिप्पणियाँ==
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