शंकु अनुकूलन: Difference between revisions

Latest revision as of 16:16, 17 February 2023

शंकु अनुकूलन उत्तल अनुकूलन का उपक्षेत्र है जो निर्गत उपक्षेत्र और उत्तल शंकु के अंतःखण्ड पर उत्तल फलन को कम करने वाली समस्याओं का अध्ययन करता है।

शंकु अनुकूलन समस्याओं के वर्ग में उत्तल अनुकूलन समस्याओं के कुछ सबसे प्रसिद्ध वर्ग सम्मलित हैं, अर्थात् रैखिक प्रोग्रामिंग और अर्ध निश्चित प्रोग्रामिंग।

परिभाषा

एक वास्तविक संख्या का मान सदिश X दिया गया है, जिसका उत्तल फलन, वास्तविक-मूल्यवान फलन (गणित)

f:C\to \mathbb {R}

उत्तल शंकु पर परिभाषित $C\subset X$ , और affine उप-स्थान ${\mathcal {H}}$ एफाइन की रूपांतरण बाधाओं के समूह द्वारा $h_{i}(x)=0\$ के रूप में परिभाषित किया जाता हैं इस बिंदु को खोजने के लिए शंकु अनुकूलन समस्या है $x$ में $C\cap {\mathcal {H}}$ के रूप में प्रर्दशित किया जाता हैं जिसके लिए संख्या $f(x)$ का मान सबसे कम होता है।

इसके उदाहरण $C$ धनात्मक और्थैन्ट $\mathbb {R} _{+}^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\,x\geq \mathbf {0} \right\}$ द्वारा सम्मलित करते हैं, धनात्मक-अर्ध-परिमित मैट्रिक्स आव्यूह $\mathbb {S} _{+}^{n}$ और दूसरे क्रम का शंकु $\left\{(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} :\lVert x\rVert \leq t\right\}$ के लिए अधिकांशतः $f\$ रेखीय फंक्शन का उपयोग किया जाता हैं, इस स्थिति में शांकव अनुकूलन समस्या क्रमशः रेखीय कार्यक्रम, अर्ध-निश्चित प्रोग्रामिंग और दूसरे क्रम के शंकु प्रोग्रामिंग में कम हो जाती है।

द्वैत

शंकु अनुकूलन समस्याओं के कुछ विशेष स्थितियों में उनकी दोहरी समस्याओं के उल्लेखनीय बंद-रूप अभिव्यक्तियां हैं।

शांकव एलपी

शंकु रैखिक कार्यक्रम का दोहरा

c^{T}x\

के मान को कम किया जाता हैं

जो

Ax=b,x\in C\

का विषय है

b^{T}y\

का अधिकतम मान उपयोग किया जाता हैं

जो

A^{T}y+s=c,s\in C^{*}\

का विषय है

जहाँ $C^{*}$ के दोहरे शंकु को $C\$ द्वारा दर्शाया जाता है।

जबकि कमजोर द्वैत शांकव रैखिक प्रोग्रामिंग में होता है, जिसके लिए मजबूत द्वैत आवश्यक नहीं है।^[1]

अर्ध-परिमित कार्यक्रम

असमानता के रूप में अर्ध-निश्चित कार्यक्रम का दोहरा

c^{T}x\

:के मान को कम करके

x_{1}F_{1}+\cdots +x_{n}F_{n}+G\leq 0

द्वारा निर्गत विषय में अभिलिखित किया जाता हैं

\mathrm {tr} \ (GZ)\

के अधिकतम मान को प्राप्त करने के लिए

\mathrm {tr} \ (F_{i}Z)+c_{i}=0,\quad i=1,\dots ,n

Z\geq 0

का मान निर्दिष्ट किया जाता हैं।

संदर्भ

↑ "Duality in Conic Programming" (PDF).

बाहरी संबंध

Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization (PDF). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. Retrieved October 15, 2011.
MOSEK Software capable of solving conic optimization problems.

[ConicDuality-1] "Duality in Conic Programming" (PDF).

[1]

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-कॉनिक ऑप्टिमाइज़ेशन [[उत्तल अनुकूलन]] का एक उपक्षेत्र है जो एक [[affine उपक्षेत्र]] और [[उत्तल शंकु]] के चौराहे पर उत्तल फ़ंक्शन को कम करने वाली समस्याओं का अध्ययन करता है।
+'''शंकु अनुकूलन''' [[उत्तल अनुकूलन]] का उपक्षेत्र है जो [[affine उपक्षेत्र|निर्गत उपक्षेत्र]] और [[उत्तल शंकु]] के अंतःखण्ड पर उत्तल फलन को कम करने वाली समस्याओं का अध्ययन करता है।
-शंकु अनुकूलन समस्याओं के वर्ग में उत्तल अनुकूलन समस्याओं के कुछ सबसे प्रसिद्ध वर्ग शामिल हैं, अर्थात् [[रैखिक प्रोग्रामिंग]] और [[अर्ध निश्चित प्रोग्रामिंग]]।
+शंकु अनुकूलन समस्याओं के वर्ग में उत्तल अनुकूलन समस्याओं के कुछ सबसे प्रसिद्ध वर्ग सम्मलित हैं, अर्थात् [[रैखिक प्रोग्रामिंग]] और [[अर्ध निश्चित प्रोग्रामिंग]]।
 == परिभाषा ==
-एक [[वास्तविक संख्या]] सदिश स्थान X दिया गया है, एक उत्तल फलन, वास्तविक-मूल्यवान फलन (गणित)
+एक [[वास्तविक संख्या]] का मान सदिश X दिया गया है, जिसका उत्तल फलन, वास्तविक-मूल्यवान फलन (गणित)
 :<math>f:C \to \mathbb R</math>
-एक उत्तल शंकु पर परिभाषित <math>C \subset X</math>, और एक affine उप-स्थान <math>\mathcal{H}</math> Affine रूपांतरण बाधाओं के एक सेट द्वारा परिभाषित <math>h_i(x) = 0 \ </math>, बिंदु खोजने के लिए एक शंकु अनुकूलन समस्या है <math>x</math> में <math>C \cap \mathcal{H} </math> जिसके लिए संख्या <math>f(x)</math> सबसे छोटा है।
+उत्तल शंकु पर परिभाषित <math>C \subset X</math>, और affine उप-स्थान <math>\mathcal{H}</math> एफाइन की रूपांतरण बाधाओं के समूह द्वारा <math>h_i(x) = 0 \ </math>के रूप में परिभाषित किया जाता हैं इस बिंदु को खोजने के लिए शंकु अनुकूलन समस्या है <math>x</math> में <math>C \cap \mathcal{H} </math> के रूप में प्रर्दशित किया जाता हैं जिसके लिए संख्या <math>f(x)</math> का मान सबसे कम होता है।
-इसके उदाहरण <math> C </math> सकारात्मक [[orthant]] शामिल करें <math>\mathbb{R}_+^n = \left\{ x \in \mathbb{R}^n : \, x \geq \mathbf{0}\right\} </math>, धनात्मक-अर्ध-परिमित मैट्रिक्स आव्यूह <math>\mathbb{S}^n_{+}</math>, और दूसरे क्रम का शंकु <math>\left \{ (x,t) \in \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R} : \lVert x \rVert \leq t \right \} </math>. अक्सर <math>f \ </math> एक रेखीय कार्य है, जिस स्थिति में शांकव अनुकूलन समस्या क्रमशः एक रेखीय कार्यक्रम, एक अर्ध-निश्चित प्रोग्रामिंग और एक दूसरे क्रम के शंकु प्रोग्रामिंग में कम हो जाती है।
+इसके उदाहरण <math> C </math> धनात्मक [[orthant|और्थैन्ट]] <math>\mathbb{R}_+^n = \left\{ x \in \mathbb{R}^n : \, x \geq \mathbf{0}\right\} </math> द्वारा सम्मलित करते हैं, धनात्मक-अर्ध-परिमित मैट्रिक्स आव्यूह <math>\mathbb{S}^n_{+}</math> और दूसरे क्रम का शंकु <math>\left \{ (x,t) \in \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R} : \lVert x \rVert \leq t \right \} </math> के लिए अधिकांशतः <math>f \ </math> रेखीय फंक्शन का उपयोग किया जाता हैं, इस स्थिति में शांकव अनुकूलन समस्या क्रमशः रेखीय कार्यक्रम, अर्ध-निश्चित प्रोग्रामिंग और दूसरे क्रम के शंकु प्रोग्रामिंग में कम हो जाती है।
 == द्वैत ==
-शंकु अनुकूलन समस्याओं के कुछ विशेष मामलों में उनकी दोहरी समस्याओं के उल्लेखनीय बंद-रूप अभिव्यक्तियां हैं।
+शंकु अनुकूलन समस्याओं के कुछ विशेष स्थितियों में उनकी दोहरी समस्याओं के उल्लेखनीय बंद-रूप अभिव्यक्तियां हैं।
 === शांकव एलपी ===
 शंकु रैखिक कार्यक्रम का दोहरा
-:छोटा करना <math>c^T x \ </math>
+:<math>c^T x \ </math> के मान को कम किया जाता हैं
-:का विषय है <math>Ax = b, x \in C \ </math>
+:जो <math>Ax = b, x \in C \ </math> का विषय है
-है
-: अधिकतम करें <math>b^T y \ </math>
-:का विषय है <math>A^T y + s= c, s \in C^* \ </math>
-कहाँ <math>C^*</math> के दोहरे शंकु को दर्शाता है <math>C \ </math>.
-जबकि कमजोर द्वैत शांकव रैखिक प्रोग्रामिंग में होता है, मजबूत द्वैत जरूरी नहीं है।<ref name="ConicDuality" />
+: <math>b^T y \ </math> का अधिकतम मान उपयोग किया जाता हैं
+:जो <math>A^T y + s= c, s \in C^* \ </math>का विषय है
+जहाँ <math>C^*</math> के दोहरे शंकु को <math>C \ </math> द्वारा दर्शाया जाता है।
+जबकि कमजोर द्वैत शांकव रैखिक प्रोग्रामिंग में होता है, जिसके लिए मजबूत द्वैत आवश्यक नहीं है।<ref name="ConicDuality" />
 === अर्ध-परिमित कार्यक्रम ===
-असमानता के रूप में एक अर्ध-निश्चित कार्यक्रम का दोहरा
+असमानता के रूप में अर्ध-निश्चित कार्यक्रम का दोहरा
-: छोटा करना <math>c^T x \ </math> : का विषय है <math>x_1 F_1 + \cdots + x_n F_n + G \leq 0</math>
+: <math>c^T x \ </math> :के मान को कम करके <math>x_1 F_1 + \cdots + x_n F_n + G \leq 0</math> द्वारा निर्गत विषय में अभिलिखित किया जाता हैं
-द्वारा दिया गया है
-: अधिकतम करें <math>\mathrm{tr}\ (GZ)\ </math> : का विषय है <math>\mathrm{tr}\ (F_i Z) +c_i =0,\quad i=1,\dots,n</math>
+: <math>\mathrm{tr}\ (GZ)\ </math>के अधिकतम मान को प्राप्त करने के लिए <math>\mathrm{tr}\ (F_i Z) +c_i =0,\quad i=1,\dots,n</math>
-: <math>Z \geq0</math>
+: <math>Z \geq0</math> का मान निर्दिष्ट किया जाता हैं।
 ==संदर्भ==
 {{Reflist|refs=
@@ Line 46: / Line 42: @@
 * {{cite book|title=Convex Optimization|first1=Stephen P.|last1=Boyd|first2=Lieven|last2=Vandenberghe|year=2004|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-83378-3|url=https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf |accessdate=October 15, 2011}}
 * [http://www.mosek.com MOSEK] Software capable of solving conic optimization problems.
-[[Category: उत्तल अनुकूलन]]
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