सदिश अनुकूलन: Difference between revisions
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'''सदिश अनुकूलन,''' [[गणितीय अनुकूलन]] का एक ऐसा उपक्षेत्र है जहाँ सदिश-मान उद्देश्य फलनों वाली [[अनुकूलन समस्या|अनुकूलन समस्याओं]] को दिए गए आंशिक क्रमण के सापेक्ष और कुछ बाधाओं के अधीन अनुकूलित किया जाता है। एक बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्या, सदिश अनुकूलन समस्या की एक विशेष स्थिति है: उद्देश्यीय अंतरिक्ष, एक परिमित विमाओं वाला [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडीय अंतरिक्ष]] है जो आंशिक रूप से घटक-वार "से कम या के बराबर" क्रमण से क्रमित है। | |||
== समस्या निर्माण == | == समस्या निर्माण == | ||
गणितीय शब्दों में, एक सदिश अनुकूलन समस्या को | गणितीय शब्दों में, एक सदिश अनुकूलन समस्या को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है: | ||
:<math>C\operatorname{-}\min_{x \in S} f(x)</math> | :<math>C\operatorname{-}\min_{x \in S} f(x)</math> | ||
जहाँ <math>f: X \to Z</math> आंशिक रूप से क्रमित [[सदिश स्थल|सदिश अंतरिक्ष]] <math>Z</math> के लिए। आंशिक क्रमण एक शंकु <math>C \subseteq Z</math> द्वारा प्रेरित है। <math>X</math> एक स्वेच्छ समुच्चय है और <math>S \subseteq X</math> सुसंगत समुच्चय कहलाता है। | |||
== | == हल की अवधारणाएँ == | ||
विभिन्न न्यूनता धारणाएँ अस्तित्व में हैं, जिनमें से कुछ निम्न हैं: | |||
* <math>\bar{x} \in S</math> | * <math>\bar{x} \in S</math> एक ''दुर्बलतः दक्ष बिंदु'' (दुर्बल न्यूनक) है यदि प्रत्येक <math>x \in S</math> के लिए, <math>f(x) - f(\bar{x}) \not\in -\operatorname{int} C</math> है। | ||
* <math>\bar{x} \in S</math> | * <math>\bar{x} \in S</math> एक ''दक्ष बिंदु'' (न्यूनीकारक) है यदि प्रत्येक <math>x \in S</math> के लिए, <math>f(x) - f(\bar{x}) \not\in -C \backslash \{0\}</math> है। | ||
* <math>\bar{x} \in S</math> एक | * <math>\bar{x} \in S</math> एक ''यथार्थतः दक्ष बिंदु'' (यथार्थ न्यूनक) है यदि <math>\bar{x}</math> संवृत [[उत्तल शंकु]] <math>\tilde{C}</math> के सापेक्ष एक दुर्बल दक्ष बिंदु है, जहाँ <math>C \backslash \{0\} \subseteq \operatorname{int} \tilde{C}</math>। | ||
प्रत्येक यथार्थ न्यूनक एक न्यूनक होता है। और प्रत्येक न्यूनक एक दुर्बल न्यूनक होता है।<ref name="scalar2vector">{{Cite journal | last1 = Ginchev | first1 = I. | last2 = Guerraggio | first2 = A. | last3 = Rocca | first3 = M. | title = From Scalar to Vector Optimization | doi = 10.1007/s10492-006-0002-1 | journal = Applications of Mathematics | volume = 51 | pages = 5 | year = 2006 | url = https://irinsubria.uninsubria.it/bitstream/11383/1500550/1/am51-5-GinI-GueA-RocM-06.pdf | hdl = 10338.dmlcz/134627 | hdl-access = free }}</ref> | |||
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* रैखिक | * ''रैखिक'' सदिश अनुकूलन समस्याओं के लिए बेन्सन का एल्गोरिदम।<ref name="Lohne">{{cite book|title=Vector Optimization with Infimum and Supremum|author=Andreas Löhne|publisher=Springer|year=2011|isbn=9783642183508}}</ref> | ||
== बहु-उद्देश्यीय अनुकूलन से संबंध == | |||
किसी भी बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्या को निम्न रूप में लिखा जा सकता है | |||
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किसी भी बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्या को | |||
:<math>\mathbb{R}^d_+\operatorname{-}\min_{x \in M} f(x)</math> | :<math>\mathbb{R}^d_+\operatorname{-}\min_{x \in M} f(x)</math> | ||
जहाँ <math>f: X \to \mathbb{R}^d</math> और <math>\mathbb{R}^d_+</math>, <math>\mathbb{R}^d</math> का गैर-ऋणात्मक [[orthant|ऑर्थेंट (अधिअष्टांश)]] है। इस प्रकार पैरेटो दक्ष बिंदु, इस सदिश अनुकूलन समस्या के न्यूनक हैं। | |||
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सदिश अनुकूलन, गणितीय अनुकूलन का एक ऐसा उपक्षेत्र है जहाँ सदिश-मान उद्देश्य फलनों वाली अनुकूलन समस्याओं को दिए गए आंशिक क्रमण के सापेक्ष और कुछ बाधाओं के अधीन अनुकूलित किया जाता है। एक बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्या, सदिश अनुकूलन समस्या की एक विशेष स्थिति है: उद्देश्यीय अंतरिक्ष, एक परिमित विमाओं वाला यूक्लिडीय अंतरिक्ष है जो आंशिक रूप से घटक-वार "से कम या के बराबर" क्रमण से क्रमित है।
समस्या निर्माण
गणितीय शब्दों में, एक सदिश अनुकूलन समस्या को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:
जहाँ आंशिक रूप से क्रमित सदिश अंतरिक्ष के लिए। आंशिक क्रमण एक शंकु द्वारा प्रेरित है। एक स्वेच्छ समुच्चय है और सुसंगत समुच्चय कहलाता है।
हल की अवधारणाएँ
विभिन्न न्यूनता धारणाएँ अस्तित्व में हैं, जिनमें से कुछ निम्न हैं:
- एक दुर्बलतः दक्ष बिंदु (दुर्बल न्यूनक) है यदि प्रत्येक के लिए, है।
- एक दक्ष बिंदु (न्यूनीकारक) है यदि प्रत्येक के लिए, है।
- एक यथार्थतः दक्ष बिंदु (यथार्थ न्यूनक) है यदि संवृत उत्तल शंकु के सापेक्ष एक दुर्बल दक्ष बिंदु है, जहाँ ।
प्रत्येक यथार्थ न्यूनक एक न्यूनक होता है। और प्रत्येक न्यूनक एक दुर्बल न्यूनक होता है।[1]
आधुनिक हल अवधारणाओं में न केवल न्यूनता की धारणाएँ सम्मिलित हैं बल्कि न्यूनतम दक्षता को भी ध्यान में रखा जाता है।[2]
हल करने की विधियाँ
- रैखिक सदिश अनुकूलन समस्याओं के लिए बेन्सन का एल्गोरिदम।[2]
बहु-उद्देश्यीय अनुकूलन से संबंध
किसी भी बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्या को निम्न रूप में लिखा जा सकता है
जहाँ और , का गैर-ऋणात्मक ऑर्थेंट (अधिअष्टांश) है। इस प्रकार पैरेटो दक्ष बिंदु, इस सदिश अनुकूलन समस्या के न्यूनक हैं।
संदर्भ
- ↑ Ginchev, I.; Guerraggio, A.; Rocca, M. (2006). "From Scalar to Vector Optimization" (PDF). Applications of Mathematics. 51: 5. doi:10.1007/s10492-006-0002-1. hdl:10338.dmlcz/134627.
- ↑ 2.0 2.1 Andreas Löhne (2011). Vector Optimization with Infimum and Supremum. Springer. ISBN 9783642183508.
