समस्थेयता सिद्धांत: Difference between revisions

Latest revision as of 17:25, 28 August 2023

गणित में, समस्थेयता सिद्धांत उन स्थितियों का एक व्यवस्थित अध्ययन है जिसमें मानचित्र उनके बीच समस्थेयताओं के साथ आ सकते हैं। यह बीजगणितीय सांस्थितिकी में एक विषय के रूप में उत्पन्न हुआ था लेकिन आजकल इसे एक स्वतंत्र विषय के रूप में अध्ययन किया जाता है। बीजगणितीय सांस्थितिकी के अलावा, सिद्धांत का उपयोग गणित के अन्य क्षेत्रों में भी किया गया है जैसे कि बीजगणितीय ज्यामिति (उदाहरण के लिए, A¹ समस्थेयता सिद्धांत) और श्रेणी सिद्धांत (विशेष रूप से उच्च श्रेणियों का अध्ययन)।

अवधारणाएं

अंतराल और मानचित्र

समस्थेयता सिद्धांत और बीजगणितीय सांस्थितिकी में, "अंतराल" शब्द एक सांस्थितिक अंतराल को दर्शाता है। पैथोलॉजी से बचने के लिए, शायद ही कोई यादृच्छिक अंंतराल के साथ काम करता है इसके स्थान पर, किसी को अतिरिक्त बाधाओं को पूरा करने के लिए अंतराल की आवश्यकता होती है, जैसे सघन रूप से उत्पन्न किया जाना, या हॉसडॉर्फ़, या सीडब्ल्यू (CW) संकुल।

उपरोक्त के समान ही, "मानचित्र" एक सतत फलन है, संभवतः कुछ अतिरिक्त बाधाओं के साथ।

प्रायः, कोई एक सुस्पष्ट अंतराल के साथ काम करता है - अर्थात्, एक "विशिष्ट बिंदु" वाला अंतराल, जिसे आधार बिंदु कहा जाता है। एक सुस्पष्ट मानचित्र तब मानचित्र होता है जो आधार बिंदुओं को संरक्षित करता है अर्थात, यह प्रक्षेत्र के आधार बिंदु को सहप्रक्षेत्र के आधार बिंदु को भेजता है। इसके विपरीत, स्वतंत्र मानचित्र वह होता है जिसे आधार बिंदुओं को संरक्षित करने की आवश्यकता नहीं होती है।

समस्थेयता

मान लीजिए कि I इकाई अंतराल को निरूपित करता है। I, $h_{t}:X\to Y$ द्वारा अनुक्रमित मानचित्रोंं की श्रेणी को $h_{0}$ से $h_{1}$ तक समस्थेयता कहा जाता है यदि $h:I\times X\to Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)$ मानचित्र है (उदाहरण के लिए, यह एक सतत फलन होना चाहिए)। जब X, Y सुस्पष्ट अंतराल होते हैं, तो आधार बिंदुओं को संरक्षित करने के लिए $h_{t}$ की आवश्यकता होती है। समस्थेयता को समतुल्यता संबंध के रूप में दिखाया जा सकता है। सुस्पष्ट अंतराल X और पूर्णांक $n\geq 1$ को देखते हुए, $\pi _{n}(X)=[S^{n},X]_{*}$ को (सुस्पष्ट) n-क्षेत्र $S^{n}$ से X तक आधारित मानचित्रों $S^{n}\to X$ के समस्थेयता वर्ग मान लीजिए। जैसा कि यह पता चला है, $\pi _{n}(X)$ समूह हैं विशेष रूप से, $\pi _{1}(X)$ को X का आधारभूत समूह कहा जाता है।

यदि कोई सुस्पष्ट अंतराल के स्थान पर एक अंतराल के साथ काम करना पसंद करता है, तो परिभाषा के अनुसार आधारभूत समूह (और उच्च भिन्नरूप) की धारणा है, अंतराल X का आधारभूत समूह वह वर्ग है जहाँ वस्तुएँ X के बिंदु हैं और आकारिकी पथ हैं।

कोफिब्रेशन और फाइब्रेशन

मानचित्र $f:A\to X$ को कोफिब्रेशन कहा जाता है यदि (1) मानचित्र $h_{0}:X\to Z$ और (2) समस्थेयता $g_{t}:A\to Z$ दी गई हो, समस्थेयता $h_{t}:X\to Z$ उपस्थित है जो $h_{0}$ को बढ़ाता है और इस प्रकार कि $h_{t}\circ f=g_{t}$ है। कुछ अस्पष्ट अर्थों के लिए, यह संक्षेप बीजगणित में अंतःक्षेपक प्रतिरूपक के परिभाषित आरेख के अनुरूप है। सबसे मूल उदाहरण सीडब्ल्यू (CW) युग्म $(X,A)$ है चूंकि कई सीडब्ल्यू (CW) संकुलों के साथ ही काम करते हैं, इसलिए कोफिब्रेशन की धारणा प्रायः अंतर्निहित होती है।

सेरे के अर्थ में फ़िब्रेशन कोफ़िब्रेशन की दोहरी धारणा है- अर्थात, मानचित्र $p:X\to B$ फ़ाइब्रेशन है यदि दिया गया है (1) मानचित्र $Z\to X$ और (2) समस्थेयता $g_{t}:Z\to B$ , समस्थेयता $h_{t}:Z\to X$ उपस्थित है इस प्रकार कि $h_{0}$ दिया हुआ है और $p\circ h_{t}=g_{t}$ है। मूल उदाहरण एक आच्छादन मानचित्र (वास्तव में, फ़िब्रेशन आच्छादन मानचित्र का सामान्यीकरण है) है। यदि $E$ प्रमुख जी (G)-बंडल है, जो कि सांस्थितिक) समूह की स्वतंत्र और सकर्मक (सांस्थितिक) समूह क्रिया के साथ एक अंतराल है, तो प्रक्षेपण मानचित्र $p:E\to X$ फाइब्रेशन का उदाहरण है।

अंतराल और समस्थेयता संचालन का वर्गीकरण

सांस्थितिक समूह जी (G) को देखते हुए, प्रमुख जी(G)-बंडलों के लिए वर्गीकृत अंतराल ("समतुल्यता तक") एक अंतराल $BG$ है, जैसे कि प्रत्येक अंतराल X के लिए,

[X,BG]=

{एक्स पर प्रमुख जी (G)-बंडल} / ~

,\,\,[f]\mapsto f^{*}EG

जहाँ

बाईं ओर $X\to BG$ मानचित्रों के समस्थेयता वर्गों का समूह है,
~ बंडलों की समरूपता को संदर्भित करता है, और
= $BG$ पर विशिष्ट बंडल $EG$ को पश्‍चकर्षी द्वारा दिया जाता है (जिसे सार्वभौमिक बंडल कहा जाता है) मानचित्र $X\to BG$ के साथ।

ब्राउन की प्रतिनिधित्व क्षमता प्रमेय वर्गीकरण अंतराल के अस्तित्व का आश्वासन देता है।

स्पेक्ट्रम और सामान्यीकृत सह समरूपता

यह विचार कि वर्गीकृत अंतराल प्रमुख बंडलों को वर्गीकृत करता है, को और आगे बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गणित में विनिमेय समूह A (जैसे $\mathbb {Z}$ ) को देखते हुए सह समरूपता वर्गों को वर्गीकृत करने का प्रयास किया जा सकता है।

[X,K(A,n)]=\operatorname {H} ^{n}(X;A)

जहाँ $K(A,n)$ ईलेनबर्ग-मैकलेन अंतराल है। उपरोक्त समीकरण एक सामान्यीकृत सह समरूपता सिद्धांत की धारणा की ओर ले जाता है, अर्थात, अंतराल की श्रेणी से गणित में विनिमेय समूहों की श्रेणी का प्रतिपरिवर्तक प्रकार्यक जो साधारण सह समरूपता सिद्धांत को सामान्य बनाने वाले स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। जैसा कि यह पता चला है, इस तरह के एक प्रकार्यक को किसी अंतराल द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, लेकिन इसे सदैव स्पेक्ट्रम नामक संरचना मानचित्रों के साथ (सुस्पष्ट) अंतराल के अनुक्रम द्वारा दर्शाया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सामान्यीकृत सह समरूपता सिद्धांत देने के लिए एक स्पेक्ट्रम देना है।

स्पेक्ट्रम का मूल उदाहरण गोलाकार स्पेक्ट्रम $S^{0}\to S^{1}\to S^{2}\to \cdots$ है।

प्रमुख प्रमेय

सीफ़र्ट-वैन कम्पेन प्रमेय
समस्थेयता उच्छेदन प्रमेय
फ्रायडेंथल निलंबन प्रमेय (उच्छेदन प्रमेय का एक परिणाम)
लैंडवेबर सटीक प्रकार्यक प्रमेय
डॉल्ड-कान समतुल्यता
एकमैन-हिल्टन तर्क - उदाहरण के लिए यह दिखाता है कि उच्च समस्थेयता समूह गणित में विनिमेय समूह हैं।
सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय

व्यवधान सिद्धांत और विशेषता वर्ग

यह भी देखें- अभिलक्षणिक वर्ग, पोस्टनिकोव टॉवर, व्हाइटहेड आघूर्ण बल

अंतराल का स्थानीयकरण और समापन

विशिष्ट सिद्धांत

कई विशिष्ट सिद्धांत हैं।

समस्थेयता परिकल्पना

समस्थेयता सिद्धांत की नींव में मूल प्रश्नों में से अंतराल की प्रकृति है। समस्थेयता परिकल्पना अपेक्षा करती है कि क्या कोई अंतराल मौलिक रूप से बीजगणितीय है।

संक्षेप समस्थेयता सिद्धांत

अवधारणाएं

मॉडल श्रेणियाँ

प्रतिसमुच्‍चीय समस्थेयता सिद्धांत

प्रतिसमुच्‍चीय समस्थेयता

यह भी देखें

संदर्भ

May, J. A Concise Course in Algebraic Topology
George William Whitehead (1978). Elements of homotopy theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 61 (3rd ed.). New York-Berlin: Springer-Verlag. pp. xxi+744. ISBN 978-0-387-90336-1. MR 0516508. Retrieved September 6, 2011.
Ronald Brown, Topology and groupoids (2006) Booksurge LLC ISBN 1-4196-2722-8.

अग्रिम पठन

Cisinski's notes
http://ncatlab.org/nlab/files/Abstract-Homotopy.pdf
Math 527 - Homotopy Theory Spring 2013, Section F1, lectures by Martin Frankland

बाहरी संबंध

https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+theory

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 {{Short description|Branch of mathematics}}
-गणित में, समरूपता सिद्धांत उन स्थितियों का एक व्यवस्थित अध्ययन है जिसमें मानचित्र (गणित) उनके बीच समरूपता के साथ आ सकता है। यह [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] में एक विषय के रूप में उत्पन्न हुआ था लेकिन आजकल एक स्वतंत्र अनुशासन के रूप में अध्ययन किया जाता है। बीजगणितीय टोपोलॉजी के अलावा, सिद्धांत का उपयोग गणित के अन्य क्षेत्रों में भी किया गया है जैसे कि [[बीजगणितीय ज्यामिति]] (उदाहरण के लिए, A1 [[होमोटॉपी]] सिद्धांत | A<sup>1</sup> समरूपता सिद्धांत) और [[श्रेणी सिद्धांत]] (विशेष रूप से [[उच्च श्रेणी सिद्धांत]] का अध्ययन)।
+गणित में, '''समस्थेयता सिद्धांत''' उन स्थितियों का एक व्यवस्थित अध्ययन है जिसमें मानचित्र उनके बीच समस्थेयताओं के साथ आ सकते हैं। यह [[बीजगणितीय टोपोलॉजी|बीजगणितीय सांस्थितिकी]] में एक विषय के रूप में उत्पन्न हुआ था लेकिन आजकल इसे एक स्वतंत्र विषय के रूप में अध्ययन किया जाता है। बीजगणितीय सांस्थितिकी के अलावा, सिद्धांत का उपयोग गणित के अन्य क्षेत्रों में भी किया गया है जैसे कि [[बीजगणितीय ज्यामिति]] (उदाहरण के लिए, A<sup>1</sup> [[होमोटॉपी|समस्थेयता]] सिद्धांत) और [[श्रेणी सिद्धांत]] (विशेष रूप से [[उच्च श्रेणी सिद्धांत|उच्च श्रेणियों]] का अध्ययन)।
 == अवधारणाएं ==
-=== रिक्त स्थान और मानचित्र ===
+=== अंतराल और मानचित्र ===
-होमोटोपी सिद्धांत और बीजगणितीय टोपोलॉजी में, शब्द स्थान एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] को दर्शाता है। [[पैथोलॉजिकल (गणित)]] से बचने के लिए, शायद ही कोई मनमाना रिक्त स्थान के साथ काम करता है; इसके बजाय, किसी को अतिरिक्त बाधाओं को पूरा करने के लिए रिक्त स्थान की आवश्यकता होती है, जैसे [[कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न स्थान]], या हौसडॉर्फ स्थान, या [[सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स]]।
+समस्थेयता सिद्धांत और बीजगणितीय सांस्थितिकी में, "अंतराल" शब्द एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक अंतराल]] को दर्शाता है। [[पैथोलॉजिकल (गणित)|पैथोलॉजी]] से बचने के लिए, शायद ही कोई यादृच्छिक अंंतराल के साथ काम करता है इसके स्थान पर, किसी को अतिरिक्त बाधाओं को पूरा करने के लिए अंतराल की आवश्यकता होती है, जैसे [[कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न स्थान|सघन रूप से उत्पन्न किया जाना]], या हॉसडॉर्फ़, या [[सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स|सीडब्ल्यू (CW) संकुल]]।
-उपरोक्त के समान ही, एक मानचित्र (गणित) एक सतत कार्य है, संभवतः कुछ अतिरिक्त बाधाओं के साथ।
+उपरोक्त के समान ही, "मानचित्र" एक सतत फलन है, संभवतः कुछ अतिरिक्त बाधाओं के साथ।
-अक्सर, कोई एक नुकीले स्थान के साथ काम करता है -- अर्थात, एक विशिष्ट बिंदु वाला स्थान, जिसे आधार बिंदु कहा जाता है। एक नुकीला नक्शा तब एक नक्शा होता है जो बेसपॉइंट्स को संरक्षित करता है; अर्थात, यह डोमेन के बेसपॉइंट को कोडोमेन के बेसपॉइंट को भेजता है। इसके विपरीत, एक मुफ़्त मानचित्र वह होता है जिसे आधार बिंदुओं को संरक्षित करने की आवश्यकता नहीं होती है।
+प्रायः, कोई एक सुस्पष्ट अंतराल के साथ काम करता है - अर्थात्, एक "विशिष्ट बिंदु" वाला अंतराल, जिसे आधार बिंदु कहा जाता है। एक सुस्पष्ट मानचित्र तब मानचित्र होता है जो आधार बिंदुओं को संरक्षित करता है अर्थात, यह प्रक्षेत्र के आधार बिंदु को सहप्रक्षेत्र के आधार बिंदु को भेजता है। इसके विपरीत, स्वतंत्र मानचित्र वह होता है जिसे आधार बिंदुओं को संरक्षित करने की आवश्यकता नहीं होती है।
-=== होमोटॉपी ===
+=== समस्थेयता ===
-{{main|Homotopy}}
+{{main|समस्थेयता}}
-आइए मैं इकाई अंतराल को निरूपित करता हूं। I द्वारा अनुक्रमित मानचित्रों का एक परिवार, <math>h_t : X \to Y</math> से होमोटोपी कहा जाता है <math>h_0</math> को <math>h_1</math> अगर <math>h : I \times X \to Y, (t, x) \mapsto h_t(x)</math> एक नक्शा है (उदाहरण के लिए, यह एक सतत कार्य होना चाहिए (टोपोलॉजी))। जब X, Y नुकीले स्थान हैं, तो <math>h_t</math> आधार बिंदुओं को संरक्षित करने की आवश्यकता है। समरूपता को एक [[तुल्यता संबंध]] के रूप में दिखाया जा सकता है। एक नुकीला स्थान X और एक [[पूर्णांक]] दिया गया है <math>n \ge 1</math>, होने देना <math>\pi_n(X) = [S^n, X]_*</math> आधारित मानचित्रों की होमोटोपी कक्षाएं बनें <math>S^n \to X</math> एक (नुकीले) n-गोले से <math>S^n</math> एक्स के लिए। जैसा कि यह निकला, <math>\pi_n(X)</math> [[समूह (गणित)]] हैं; विशेष रूप से, <math>\pi_1(X)</math> X का [[[[मौलिक समूह]]]] कहा जाता है।
-यदि कोई एक नुकीले स्थान के बजाय एक स्थान के साथ काम करना पसंद करता है, तो एक मौलिक समूह (और उच्च संस्करण) की धारणा है: परिभाषा के अनुसार, एक स्थान X का मौलिक समूह [[श्रेणी (गणित)]] है जहां [[वस्तु (श्रेणी सिद्धांत)]] ) X के बिंदु हैं और आकारिकी पथ हैं।
+मान लीजिए कि ''I'' इकाई अंतराल को निरूपित करता है। ''I'', <math>h_t : X \to Y</math> द्वारा अनुक्रमित मानचित्रोंं की श्रेणी को <math>h_0</math> से <math>h_1</math> तक समस्थेयता कहा जाता है यदि <math>h : I \times X \to Y, (t, x) \mapsto h_t(x)</math> मानचित्र है (उदाहरण के लिए, यह एक सतत फलन होना चाहिए)। जब ''X'', ''Y''  सुस्पष्ट अंतराल होते हैं, तो आधार बिंदुओं को संरक्षित करने के लिए <math>h_t</math> की आवश्यकता होती है। समस्थेयता को [[तुल्यता संबंध|समतुल्यता संबंध]] के रूप में दिखाया जा सकता है। सुस्पष्ट अंतराल ''X'' और [[पूर्णांक]] <math>n \ge 1</math> को देखते हुए, <math>\pi_n(X) = [S^n, X]_*</math> को (सुस्पष्ट) ''n''-क्षेत्र <math>S^n</math> से ''X'' तक आधारित मानचित्रों <math>S^n \to X</math> के समस्थेयता वर्ग मान लीजिए। जैसा कि यह पता चला है, <math>\pi_n(X)</math> [[समूह (गणित)|समूह]] हैं विशेष रूप से, <math>\pi_1(X)</math> को ''X'' का [[मौलिक समूह|आधारभूत समूह]] कहा जाता है।
+यदि कोई सुस्पष्ट अंतराल के स्थान पर एक अंतराल के साथ काम करना पसंद करता है, तो परिभाषा के अनुसार आधारभूत समूह (और उच्च भिन्नरूप) की धारणा है, अंतराल X का आधारभूत समूह वह [[श्रेणी (गणित)|वर्ग]] है जहाँ [[वस्तु (श्रेणी सिद्धांत)|वस्तुएँ]] ''X'' के बिंदु हैं और आकारिकी पथ हैं।
 === कोफिब्रेशन और फाइब्रेशन ===
-नक्षा <math>f: A \to X</math> [[cofibration]] कहा जाता है अगर दिया गया हो (1) एक नक्शा <math>h_0 : X \to Z</math> और (2) एक समरूपता <math>g_t : A \to Z</math>, एक समरूपता मौजूद है <math>h_t : X \to Z</math> जो फैलता है <math>h_0</math> और ऐसा है <math>h_t \circ f = g_t</math>. कुछ ढीले अर्थों के लिए, यह अमूर्त बीजगणित में एक [[इंजेक्शन मॉड्यूल]] के परिभाषित आरेख का एक एनालॉग है। सबसे बुनियादी उदाहरण एक [[सीडब्ल्यू जोड़ी]] है <math>(X, A)</math>; चूंकि कई सीडब्ल्यू परिसरों के साथ ही काम करते हैं, इसलिए कॉफिब्रेशन की धारणा अक्सर अंतर्निहित होती है।
+मानचित्र <math>f: A \to X</math> को [[cofibration|कोफिब्रेशन]] कहा जाता है यदि (1) मानचित्र <math>h_0 : X \to Z</math> और (2) समस्थेयता <math>g_t : A \to Z</math> दी गई हो, समस्थेयता <math>h_t : X \to Z</math> उपस्थित है जो <math>h_0</math> को बढ़ाता है और इस प्रकार कि <math>h_t \circ f = g_t</math> है। कुछ अस्पष्ट अर्थों के लिए, यह संक्षेप बीजगणित में [[इंजेक्शन मॉड्यूल|अंतःक्षेपक प्रतिरूपक]] के परिभाषित आरेख के अनुरूप है। सबसे मूल उदाहरण [[सीडब्ल्यू जोड़ी|सीडब्ल्यू (CW) युग्म]] <math>(X, A)</math> है चूंकि कई सीडब्ल्यू (CW) संकुलों के साथ ही काम करते हैं, इसलिए कोफिब्रेशन की धारणा प्रायः अंतर्निहित होती है।
+सेरे के अर्थ में फ़िब्रेशन कोफ़िब्रेशन की दोहरी धारणा है- अर्थात, मानचित्र <math>p : X \to B</math> फ़ाइब्रेशन है यदि दिया गया है (1) मानचित्र <math>Z \to X</math> और (2) समस्थेयता <math>g_t : Z \to B</math>, समस्थेयता <math>h_t: Z \to X</math> उपस्थित है इस प्रकार कि <math>h_0</math> दिया हुआ है और <math>p \circ h_t = g_t</math> है। मूल उदाहरण एक आच्छादन मानचित्र (वास्तव में, फ़िब्रेशन आच्छादन मानचित्र का सामान्यीकरण है) है। यदि <math>E</math> प्रमुख जी (''G)''-बंडल है, जो कि [[टोपोलॉजिकल समूह|सांस्थितिक]]) समूह की स्वतंत्र और सकर्मक (सांस्थितिक) [[समूह क्रिया]] के साथ एक अंतराल है, तो प्रक्षेपण मानचित्र <math>p: E \to X</math> फाइब्रेशन का उदाहरण है।
-सेरे के अर्थ में एक [[कंपन]] एक कोफ़िब्रेशन की दोहरी धारणा है: यानी एक नक्शा <math>p : X \to B</math> एक तंतु है अगर दिया (1) एक नक्शा <math>Z \to X</math> और (2) एक समरूपता <math>g_t : Z \to B</math>, एक समरूपता मौजूद है <math>h_t: Z \to X</math> ऐसा है कि <math>h_0</math> दिया गया है और <math>p \circ h_t = g_t</math>. एक मूल उदाहरण एक कवरिंग मैप है (वास्तव में, एक फ़िब्रेशन एक कवरिंग मैप का सामान्यीकरण है)। अगर <math>E</math> एक प्रिंसिपल बंडल है | प्रिंसिपल जी-बंडल, यानी, ग्रुप_एक्शन # टाइप्स_ऑफ_एक्शन्स (टोपोलॉजिकल) [[समूह क्रिया]] के साथ एक स्पेस ([[टोपोलॉजिकल समूह]]) ग्रुप, फिर प्रोजेक्शन मैप <math>p: E \to X</math> फाइब्रेशन का उदाहरण है।
+=== अंतराल और समस्थेयता संचालन का वर्गीकरण ===
+सांस्थितिक समूह जी (''G)'' को देखते हुए, प्रमुख जी(''G'')-बंडलों के लिए वर्गीकृत अंतराल ("समतुल्यता तक") एक अंतराल <math>BG</math> है, जैसे कि प्रत्येक अंतराल ''X'' के लिए,
+:<math>[X, BG] = </math> {एक्स पर प्रमुख जी (''G)''-बंडल} / ~ <math>, \,\, [f] \mapsto f^* EG</math>
+जहाँ
+*बाईं ओर <math>X \to BG</math> मानचित्रों के समस्थेयता वर्गों का समूह है,
+*~ बंडलों की समरूपता को संदर्भित करता है, और
+*= <math>BG</math> पर विशिष्ट बंडल <math>EG</math> को पश्‍चकर्षी द्वारा दिया जाता है (जिसे सार्वभौमिक बंडल कहा जाता है) मानचित्र <math>X \to BG</math> के साथ।
+ब्राउन की प्रतिनिधित्व क्षमता प्रमेय वर्गीकरण अंतराल के अस्तित्व का आश्वासन देता है।
-=== वर्गीकरण रिक्त स्थान और होमोटॉपी संचालन ===
+=== स्पेक्ट्रम और सामान्यीकृत सह समरूपता ===
-एक टोपोलॉजिकल समूह जी दिया गया है, मुख्य बंडल के लिए वर्गीकरण स्थान | प्रमुख जी-बंडल (समतुल्यता तक) एक स्थान है <math>BG</math> जैसे कि, प्रत्येक स्थान X के लिए,
+{{main|स्पेक्ट्रम (बीजगणितीय सांस्थितिकी)|सामान्यीकृत सह समरूपता}}
-:<math>[X, BG] = </math> {एक्स पर प्रिंसिपल जी-बंडल} / ~ <math>, \,\, [f] \mapsto f^* EG</math>
-कहाँ
-*बाईं ओर नक्शे के होमोटॉपी वर्गों का सेट है <math>X \to BG</math>,
-*~ बंडलों के समरूपता को संदर्भित करता है, और
-*= विशिष्ट बंडल को वापस खींचकर दिया जाता है <math>EG</math> पर <math>BG</math> (सार्वभौमिक बंडल कहा जाता है) एक मानचित्र के साथ <math>X \to BG</math>.
-ब्राउन की प्रतिनिधित्व क्षमता प्रमेय वर्गीकरण रिक्त स्थान के अस्तित्व की गारंटी देता है।
-=== स्पेक्ट्रम और सामान्यीकृत कोहोलॉजी ===
+यह विचार कि वर्गीकृत अंतराल प्रमुख बंडलों को वर्गीकृत करता है, को और आगे बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, [[एबेलियन समूह|गणित में विनिमेय समूह]] ''A'' (जैसे <math>\mathbb{Z}</math>) को देखते हुए सह समरूपता वर्गों को वर्गीकृत करने का प्रयास किया जा सकता है।
-{{main|Spectrum (algebraic topology)|Generalized cohomology}}
-यह विचार कि एक वर्गीकृत स्थान प्रमुख बंडलों को वर्गीकृत करता है, को और आगे बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कोई कोहोलॉजी कक्षाओं को वर्गीकृत करने का प्रयास कर सकता है: एक [[एबेलियन समूह]] ए (जैसे <math>\mathbb{Z}</math>),
 :<math>[X, K(A, n)] = \operatorname{H}^n(X; A)</math>
-कहाँ <math>K(A, n)</math> इलेनबर्ग-मैकलेन स्थान है। उपरोक्त समीकरण एक सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांत की धारणा की ओर ले जाता है; यानी, रिक्त स्थान की श्रेणी से [[एबेलियन समूहों की श्रेणी]] का एक प्रतिपरिवर्तक फ़ंक्टर जो साधारण कोहोलॉजी सिद्धांत को सामान्य बनाने वाले स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। जैसा कि यह पता चला है, ऐसा फ़ैक्टर किसी स्थान द्वारा प्रतिनिधित्व करने योग्य फ़ंक्टर नहीं हो सकता है, लेकिन इसे हमेशा स्पेक्ट्रम नामक संरचना मानचित्रों के साथ (नुकीले) रिक्त स्थान के अनुक्रम द्वारा दर्शाया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांत देने के लिए एक स्पेक्ट्रम देना है।
+जहाँ <math>K(A, n)</math> ईलेनबर्ग-मैकलेन अंतराल है। उपरोक्त समीकरण एक सामान्यीकृत सह समरूपता सिद्धांत की धारणा की ओर ले जाता है, अर्थात, अंतराल की श्रेणी से [[एबेलियन समूहों की श्रेणी|गणित में विनिमेय समूहों की श्रेणी]] का प्रतिपरिवर्तक प्रकार्यक जो साधारण सह समरूपता सिद्धांत को सामान्य बनाने वाले स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। जैसा कि यह पता चला है, इस तरह के एक प्रकार्यक को किसी अंतराल द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, लेकिन इसे सदैव स्पेक्ट्रम नामक संरचना मानचित्रों के साथ (सुस्पष्ट) अंतराल के अनुक्रम द्वारा दर्शाया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सामान्यीकृत सह समरूपता सिद्धांत देने के लिए एक स्पेक्ट्रम देना है।
-एक स्पेक्ट्रम का एक मूल उदाहरण एक [[गोलाकार स्पेक्ट्रम]] है: <math>S^0 \to S^1 \to S^2 \to \cdots</math>
+स्पेक्ट्रम का मूल उदाहरण [[गोलाकार स्पेक्ट्रम]] <math>S^0 \to S^1 \to S^2 \to \cdots</math> है।
 == प्रमुख प्रमेय ==
 * सीफ़र्ट-वैन कम्पेन प्रमेय
-* [[होमोटोपी छांटना प्रमेय]]
+* [[होमोटोपी छांटना प्रमेय|समस्थेयता उच्छेदन प्रमेय]]
-* [[फ्रायडेंथल निलंबन प्रमेय]] (छांटना प्रमेय का एक परिणाम)
+* [[फ्रायडेंथल निलंबन प्रमेय]] (उच्छेदन प्रमेय का एक परिणाम)
-* लैंडवेबर सटीक फ़ैक्टर प्रमेय
+* लैंडवेबर सटीक प्रकार्यक प्रमेय
-* डोल-कान पत्राचार
+* डॉल्ड-कान समतुल्यता
-* एकमैन-हिल्टन तर्क - उदाहरण के लिए यह दर्शाता है कि उच्च होमोटॉपी समूह एबेलियन समूह हैं।
+* एकमैन-हिल्टन तर्क - उदाहरण के लिए यह दिखाता है कि उच्च समस्थेयता समूह गणित में विनिमेय समूह हैं।
 *[[सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय]]
-== बाधा सिद्धांत और विशेषता वर्ग ==
+== व्यवधान सिद्धांत और विशेषता वर्ग ==
-{{expand section|date=May 2020}}
+यह भी देखें- [[विशेषता वर्ग|अभिलक्षणिक वर्ग]], [[पोस्टनिकोव टॉवर]], [[व्हाइटहेड मरोड़|व्हाइटहेड आघूर्ण बल]]
-यह भी देखें: [[विशेषता वर्ग]], [[पोस्टनिकोव टॉवर]], [[व्हाइटहेड मरोड़]]
-== स्थान का स्थानीयकरण और पूर्णता ==
-{{expand section|date=May 2020}}
-{{main|Localization of a topological space}}
+== अंतराल का स्थानीयकरण और समापन ==
+{{main|सांस्थितिक अंतराल का स्थानीयकरण}}
+== विशिष्ट सिद्धांत ==
+कई विशिष्ट सिद्धांत हैं।
+* [[सरल समरूपता सिद्धांत|सरल समस्थेयता सिद्धांत]]
+* [[स्थिर समरूपता सिद्धांत|स्थिर समस्थेयता सिद्धांत]]
+* [[रंगीन समरूपता सिद्धांत|वर्णीय]] [[स्थिर समरूपता सिद्धांत|समस्थेयता]] सिद्धांत
+*[[तर्कसंगत समरूपता सिद्धांत|तर्कसंगत]] [[स्थिर समरूपता सिद्धांत|समस्थेयता]] सिद्धांत
+*[[पी-एडिक समरूपता सिद्धांत|पी-एडिक]] [[तर्कसंगत समरूपता सिद्धांत|समस्थेयता]] सिद्धांत
+* [[समपरिवर्तक समरूपता सिद्धांत|समपरिवर्तक]] [[तर्कसंगत समरूपता सिद्धांत|समस्थेयता]] सिद्धांत
-== विशिष्ट सिद्धांत ==
+== समस्थेयता परिकल्पना ==
-कई विशिष्ट सिद्धांत हैं
+{{main|समस्थेयता परिकल्पना}}
-* [[सरल समरूपता सिद्धांत]]
-* [[स्थिर समरूपता सिद्धांत]]
-* [[रंगीन समरूपता सिद्धांत]]
-*[[तर्कसंगत समरूपता सिद्धांत]]
-*[[पी-एडिक समरूपता सिद्धांत]]
-* [[समपरिवर्तक समरूपता सिद्धांत]]
-== होमोटॉपी परिकल्पना ==
+समस्थेयता सिद्धांत की नींव में मूल प्रश्नों में से अंतराल की प्रकृति है। [[होमोटॉपी परिकल्पना|समस्थेयता परिकल्पना]] अपेक्षा करती है कि क्या कोई अंतराल मौलिक रूप से बीजगणितीय है।
-{{main|Homotopy hypothesis}}
-समरूपता सिद्धांत की नींव में मूल प्रश्नों में से एक अंतरिक्ष की प्रकृति है। [[होमोटॉपी परिकल्पना]] पूछती है कि क्या कोई स्थान मौलिक रूप से बीजगणितीय है।
-== सार समरूपता सिद्धांत ==
+== संक्षेप समस्थेयता सिद्धांत ==
 === अवधारणाएं ===
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 * [[कोफाइबर अनुक्रम]]
-=== मॉडल श्रेणियां ===
+=== मॉडल श्रेणियाँ ===
-{{expand section|date=May 2020}}
+{{main|मॉडल श्रेणी}}
-{{main|Model category}}
+=== प्रतिसमुच्‍चीय समस्थेयता सिद्धांत ===
+* प्रतिसमुच्‍चीय समस्थेयता
-=== सिंपल होमोटॉपी थ्योरी ===
-* सिंपल होमोटॉपी
 == यह भी देखें ==
-* [[अत्यधिक संरचित रिंग स्पेक्ट्रम]]
+* [[अत्यधिक संरचित रिंग स्पेक्ट्रम|उच्च संरचित वलय स्पेक्ट्रम]]
-* [[होमोटॉपी प्रकार सिद्धांत]]
+* [[होमोटॉपी प्रकार सिद्धांत|समस्थेयता प्रकार सिद्धांत]]
-* [[स्टैक का पीछा करना]]
+* [[स्टैक का पीछा करना|अनुसरण स्टैक]]
 == संदर्भ ==
@@ Line 94: / Line 88: @@
 *{{cite book|author=George William Whitehead|author-link=George W. Whitehead|title=Elements of homotopy theory|url=https://books.google.com/books?id=wlrvAAAAMAAJ|access-date=September 6, 2011|edition=3rd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=61|year=1978|publisher=Springer-Verlag|location=New York-Berlin|isbn=978-0-387-90336-1|pages=xxi+744|mr=0516508 }}
 *Ronald Brown, ''[http://arquivo.pt/wayback/20160514115224/http://www.bangor.ac.uk/r.brown/topgpds.html Topology and groupoids]'' (2006) Booksurge LLC {{ISBN|1-4196-2722-8}}.
 == अग्रिम पठन ==
 *[http://www.math.univ-toulouse.fr/~dcisinsk/1097.pdf Cisinski's notes]
 *http://ncatlab.org/nlab/files/Abstract-Homotopy.pdf
 *[https://uregina.ca/~franklam/Math527/Math527.html Math 527 - Homotopy Theory Spring 2013, Section F1], lectures by Martin Frankland
 == बाहरी संबंध ==
 *https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+theory
-[[Category: होमोटॉपी सिद्धांत | होमोटॉपी सिद्धांत ]]
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Contents

अवधारणाएं

अंतराल और मानचित्र

समस्थेयता

कोफिब्रेशन और फाइब्रेशन

अंतराल और समस्थेयता संचालन का वर्गीकरण

स्पेक्ट्रम और सामान्यीकृत सह समरूपता

प्रमुख प्रमेय

व्यवधान सिद्धांत और विशेषता वर्ग

अंतराल का स्थानीयकरण और समापन

विशिष्ट सिद्धांत

समस्थेयता परिकल्पना

संक्षेप समस्थेयता सिद्धांत

अवधारणाएं

मॉडल श्रेणियाँ

प्रतिसमुच्‍चीय समस्थेयता सिद्धांत

यह भी देखें

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अग्रिम पठन

बाहरी संबंध

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समस्थेयता सिद्धांत: Difference between revisions

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समस्थेयता

कोफिब्रेशन और फाइब्रेशन

अंतराल और समस्थेयता संचालन का वर्गीकरण

स्पेक्ट्रम और सामान्यीकृत सह समरूपता

प्रमुख प्रमेय

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समस्थेयता परिकल्पना

संक्षेप समस्थेयता सिद्धांत

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