पूर्णतया अवयव: Difference between revisions

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गणित में, एक शोषक तत्व (या नष्ट करने वाला तत्व) उस समुच्चय पर [[बाइनरी ऑपरेशन]] के संबंध में एक [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] का एक विशेष प्रकार का तत्व है। समुच्चय के किसी भी तत्व के साथ अवशोषक तत्व के संयोजन का परिणाम अवशोषी तत्व ही है। [[ semigroup |अर्धसमूह]] सिद्धांत में, अवशोषक तत्व को शून्य तत्व कहा जाता है<ref>J.M. Howie, pp. 2–3</ref><ref name=kkm>M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev pp. 14–15</ref> क्योंकि उल्लेखनीय अपवाद के साथ, [[शून्य तत्व]] के साथ भ्रम का कोई खतरा नहीं है: योगात्मक संकेतन के अनुसार शून्य स्वाभाविक रूप से, एक मोनोइड के तटस्थ तत्व को निरूपित कर सकता है। इस लेख में शून्य तत्व और शोषक तत्व पर्यायवाची हैं।
गणित में, एक पूर्णतया अवयव (या नष्ट करने वाला तत्व) उस समुच्चय पर [[बाइनरी ऑपरेशन]] के संबंध में एक [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] का एक विशेष प्रकार का तत्व है। समुच्चय के किसी भी तत्व के साथ अपूर्णतया अवयव के संयोजन का परिणाम अवशोषी तत्व ही है। [[ semigroup |अर्धसमूह]] सिद्धांत में, अपूर्णतया अवयव को शून्य तत्व कहा जाता है<ref>J.M. Howie, pp. 2–3</ref><ref name=kkm>M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev pp. 14–15</ref> क्योंकि उल्लेखनीय अपवाद के साथ, [[शून्य तत्व]] के साथ भ्रम का कोई खतरा नहीं है: योगात्मक संकेतन के अनुसार शून्य स्वाभाविक रूप से, एक मोनोइड के तटस्थ तत्व को निरूपित कर सकता है। इस लेख में शून्य तत्व और पूर्णतया अवयव पर्यायवाची हैं।


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
औपचारिक रूप से, चलो {{nowrap|(''S'', •)}} एक समुच्चय S है जिसमें एक बंद बाइनरी ऑपरेशन • ([[मैग्मा (बीजगणित)]] के रूप में जाना जाता है) हैं। 'शून्य तत्व' एक ऐसा तत्व z है, जो S, {{nowrap|1=''z'' • ''s'' = ''s'' • ''z'' = ''z''}} में सभी s के लिए है। इस धारणा को बाएँ शून्य की धारणाओं में परिष्कृत किया जा सकता है, जहाँ किसी को केवल {{nowrap|1=''z'' • ''s'' = ''z''}}, और दाएँ शून्य उसकी आवश्यकता होती है, जहाँ {{nowrap|1=''s'' • ''z'' = ''z''}} है।<ref name=kkm/>
औपचारिक रूप से, मान लो {{nowrap|(''S'', •)}} एक समुच्चय S है जिसमें एक बंद बाइनरी ऑपरेशन • ([[मैग्मा (बीजगणित)]] के रूप में जाना जाता है) हैं। 'शून्य तत्व' एक ऐसा तत्व z है, जो S, {{nowrap|1=''z'' • ''s'' = ''s'' • ''z'' = ''z''}} में सभी s के लिए है। इस धारणा को बाएँ शून्य की धारणाओं में परिष्कृत किया जा सकता है, जहाँ किसी को केवल {{nowrap|1=''z'' • ''s'' = ''z''}}, और दाएँ शून्य उसकी आवश्यकता होती है, जहाँ {{nowrap|1=''s'' • ''z'' = ''z''}} है।<ref name=kkm/>


शोषक करने वाले तत्व विशेष रूप से उपसमूह, विशेष रूप से [[मोटी हो जाओ|अर्धवलय]] के गुणक उपसमूह के लिए रोचक होते हैं। 0 के साथ अर्धवलय के स्थिति में, अवशोषक तत्व की परिभाषा कभी-कभी निश्चित होती है ताकि 0 को शोषक करने की आवश्यकता न हो; अन्यथा, 0 ही एकमात्र अवशोषक तत्व होगा।<ref>J.S. Golan p. 67</ref>
शोषक करने वाले तत्व विशेष रूप से उपसमूह, विशेष रूप से [[मोटी हो जाओ|अर्धवलय]] के गुणक उपसमूह के लिए रोचक होते हैं। 0 के साथ अर्धवलय के स्थिति में, अपूर्णतया अवयव की परिभाषा कभी-कभी निश्चित होती है जिससे 0 को शोषक करने की आवश्यकता न हो; अन्यथा, 0 ही एकमात्र अपूर्णतया अवयव होगा।<ref>J.S. Golan p. 67</ref>




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== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
* अवशोषक तत्व का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण प्राथमिक बीजगणित से आता है, जहां किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर शून्य के बराबर होता है। शून्य इस प्रकार एक अवशोषक तत्व है।
* अपूर्णतया अवयव का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण प्राथमिक बीजगणित से आता है, जहां किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर शून्य के बराबर होता है। शून्य इस प्रकार एक अपूर्णतया अवयव है।
*किसी भी वलय (गणित) का शून्य भी अवशोषक तत्व होता है। वलय R के एक तत्व r के लिए, r0=r(0+0)=r0+r0, इसलिए 0=r0, क्योंकि शून्य अद्वितीय तत्व a है जिसके लिए r-r=a वलय R में किसी भी r के लिए है। यह गुण धारण करता है rng (गणित) में भी सत्य है क्योंकि गुणात्मक पहचान की आवश्यकता नहीं है।
*किसी भी वलय (गणित) का शून्य भी अपूर्णतया अवयव होता है। वलय R के एक तत्व r के लिए, r0=r(0+0)=r0+r0, इसलिए 0=r0, क्योंकि शून्य अद्वितीय तत्व a है जिसके लिए r-r=a वलय R में किसी भी r के लिए है। यह गुण धारण करता है rng (गणित) में भी सत्य है क्योंकि गुणात्मक पहचान की आवश्यकता नहीं है।
*आईईईई-754 मानक में परिभाषित [[तैरनेवाला स्थल|फ़्लोटिंग पॉइंट]] अंकगणित में विशेष मान होता है जिसे Not-a-Number ( NaN ) कहा जाता है। यह हर ऑपरेशन के लिए अवशोषक तत्व है; अर्थात।, {{nowrap|1=''x'' + NaN = NaN + ''x'' = NaN}}, {{nowrap|1=''x'' − NaN = NaN − ''x'' = NaN}}, आदि।
*आईईईई-754 मानक में परिभाषित [[तैरनेवाला स्थल|फ़्लोटिंग पॉइंट]] अंकगणित में विशेष मान होता है जिसे Not-a-Number ( NaN ) कहा जाता है। यह हर ऑपरेशन के लिए अपूर्णतया अवयव है; अर्थात, {{nowrap|1=''x'' + NaN = NaN + ''x'' = NaN}}, {{nowrap|1=''x'' − NaN = NaN − ''x'' = NaN}}, आदि।
* समुच्चय एक्स पर बाइनरी संबंधों का समुच्चय, संबंधों की संरचना के साथ शून्य के साथ [[मोनोइड]] बनाता है, जहां शून्य तत्व [[खाली संबंध]] ([[खाली सेट|खाली समुच्चय]]) होता है।
* समुच्चय एक्स पर बाइनरी संबंधों का समुच्चय, संबंधों की संरचना के साथ शून्य के साथ [[मोनोइड]] बनाता है, जहां शून्य तत्व [[खाली संबंध]] ([[खाली सेट|खाली समुच्चय]]) होता है।
* बंद अंतराल {{nowrap|1=''H'' = [0, 1]}} साथ {{nowrap|1=''x'' • ''y'' = min(''x'', ''y'')}} भी शून्य के साथ मोनोइड है, और शून्य तत्व 0 है।
* बंद अंतराल {{nowrap|1=''H'' = [0, 1]}} साथ {{nowrap|1=''x'' • ''y'' = min(''x'', ''y'')}} भी शून्य के साथ मोनोइड है, और शून्य तत्व 0 है।
* और अधिक उदाहरण के लिये:
* अधिक उदाहरण के लिये:
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
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! Domain
! अनुक्षेत्र
! colspan=2 | Operation
! colspan=2 | कार्यवाही
! colspan=2 | Absorber
! colspan=2 | अवशोषका
|-
|-
| [[Real number]]s
| [[Real number|वास्तविक संख्या]]
| ⋅ || Multiplication
| ⋅ || गुणन
| [[0 (number)|0]] ||
| [[0 (number)|0]] ||
|-
|-
| [[Integer]]s
| [[Integer|पूर्णांकों]]
|  || [[Greatest common divisor]]
|  || [[Greatest common divisor|महत्तम सामान्य भाजक]]
| 1 ||
| 1 ||
|-
|-
| ''n''-by-''n'' square [[matrix (mathematics)|matrices]]
| एन-से-एन वर्ग [[matrix (mathematics)|आव्यूह]]
| || [[Matrix multiplication]]
| || [[Matrix multiplication|आव्यूह गुणन]]
| || [[zero matrix|Matrix of all zeroes]]
| || [[zero matrix|सभी शून्यों का मैट्रिक्स]]
|-
|-
| rowspan=2 | [[Extended real number line|Extended real number]]s
| rowspan=2 | [[Extended real number line|विस्तारित वास्तविक संख्या]]
|    || Minimum/infimum
|    || न्यूनतम/अनंत
| −∞ ||
| −∞ ||
|-
|-
|    || Maximum/supremum
|    || अधिकतम/सर्वोच्च
| +∞ ||
| +∞ ||
|-
|-
| [[Set (mathematics)|Set]]s
| [[Set (mathematics)|समुच्चयों]]
| ∩ || Intersection
| ∩ || प्रतिच्छेदन
| ∅ || [[Empty set]]
| ∅ || [[Empty set|खाली सेट]]
|-
|-
| Subsets of a set ''M''
| एक समुच्चय एम के उपसमुच्चय
| ∪    || Union
| ∪    || यूनियन
| ''M'' ||
| ''M'' ||
|-
|-
| rowspan=2 | [[Boolean algebra|Boolean logic]]
| rowspan=2 | [[Boolean algebra|बूलियन तर्क]]
| ∧ || [[Logical conjunction|Logical and]]
| ∧ || [[Logical conjunction|तार्किक और]]
| ⊥ || Falsity
| ⊥ || असत्यता
|-
|-
| ∨ || [[Logical disjunction|Logical or]]
| ∨ || [[Logical disjunction|तार्किक या]]
| ⊤ || Truth
| ⊤ || सत्य
|}
|}




== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
*[[Idempotent (अंगूठी सिद्धांत)]]{{snd}} रिंग का एक तत्व x ऐसा है कि x<sup>2</सुप> = एक्स
*[[Idempotent (अंगूठी सिद्धांत)|Idempotent (वलय सिद्धांत)]]{{snd}} वलय का एक तत्व x ऐसा है कि x<sup>2</sup> = x
* [[पहचान तत्व]]
* [[पहचान तत्व]]
* [[अशक्त अर्धसमूह]]
* [[अशक्त अर्धसमूह]]
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==बाहरी संबंध==
==बाहरी संबंध==
* [http://planetmath.org/absorbingelement Absorbing element] at PlanetMath
* [http://planetmath.org/absorbingelement Absorbing element] at PlanetMath
[[Category: अर्धसमूह सिद्धांत]] [[Category: बाइनरी ऑपरेशंस | * अवशोषक तत्व]] [[Category: तत्वों के बीजगणितीय गुण]]


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[[Category:Created On 01/03/2023]]
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[[Category:तत्वों के बीजगणितीय गुण]]
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Latest revision as of 17:22, 3 March 2023

गणित में, एक पूर्णतया अवयव (या नष्ट करने वाला तत्व) उस समुच्चय पर बाइनरी ऑपरेशन के संबंध में एक समुच्चय (गणित) का एक विशेष प्रकार का तत्व है। समुच्चय के किसी भी तत्व के साथ अपूर्णतया अवयव के संयोजन का परिणाम अवशोषी तत्व ही है। अर्धसमूह सिद्धांत में, अपूर्णतया अवयव को शून्य तत्व कहा जाता है[1][2] क्योंकि उल्लेखनीय अपवाद के साथ, शून्य तत्व के साथ भ्रम का कोई खतरा नहीं है: योगात्मक संकेतन के अनुसार शून्य स्वाभाविक रूप से, एक मोनोइड के तटस्थ तत्व को निरूपित कर सकता है। इस लेख में शून्य तत्व और पूर्णतया अवयव पर्यायवाची हैं।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, मान लो (S, •) एक समुच्चय S है जिसमें एक बंद बाइनरी ऑपरेशन • (मैग्मा (बीजगणित) के रूप में जाना जाता है) हैं। 'शून्य तत्व' एक ऐसा तत्व z है, जो S, z • s = s • z = z में सभी s के लिए है। इस धारणा को बाएँ शून्य की धारणाओं में परिष्कृत किया जा सकता है, जहाँ किसी को केवल z • s = z, और दाएँ शून्य उसकी आवश्यकता होती है, जहाँ s • z = z है।[2]

शोषक करने वाले तत्व विशेष रूप से उपसमूह, विशेष रूप से अर्धवलय के गुणक उपसमूह के लिए रोचक होते हैं। 0 के साथ अर्धवलय के स्थिति में, अपूर्णतया अवयव की परिभाषा कभी-कभी निश्चित होती है जिससे 0 को शोषक करने की आवश्यकता न हो; अन्यथा, 0 ही एकमात्र अपूर्णतया अवयव होगा।[3]


गुण

  • यदि किसी मैग्मा में बायाँ शून्य z और दायाँ शून्य z′ हैं, तो z = z • z′ = z′ के बाद से इसका शून्य होगा।
  • मैग्मा में अधिकतम एक शून्य तत्व हो सकता है।

उदाहरण

  • अपूर्णतया अवयव का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण प्राथमिक बीजगणित से आता है, जहां किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर शून्य के बराबर होता है। शून्य इस प्रकार एक अपूर्णतया अवयव है।
  • किसी भी वलय (गणित) का शून्य भी अपूर्णतया अवयव होता है। वलय R के एक तत्व r के लिए, r0=r(0+0)=r0+r0, इसलिए 0=r0, क्योंकि शून्य अद्वितीय तत्व a है जिसके लिए r-r=a वलय R में किसी भी r के लिए है। यह गुण धारण करता है rng (गणित) में भी सत्य है क्योंकि गुणात्मक पहचान की आवश्यकता नहीं है।
  • आईईईई-754 मानक में परिभाषित फ़्लोटिंग पॉइंट अंकगणित में विशेष मान होता है जिसे Not-a-Number ( NaN ) कहा जाता है। यह हर ऑपरेशन के लिए अपूर्णतया अवयव है; अर्थात, x + NaN = NaN + x = NaN, x − NaN = NaN − x = NaN, आदि।
  • समुच्चय एक्स पर बाइनरी संबंधों का समुच्चय, संबंधों की संरचना के साथ शून्य के साथ मोनोइड बनाता है, जहां शून्य तत्व खाली संबंध (खाली समुच्चय) होता है।
  • बंद अंतराल H = [0, 1] साथ x • y = min(x, y) भी शून्य के साथ मोनोइड है, और शून्य तत्व 0 है।
  • अधिक उदाहरण के लिये:
अनुक्षेत्र कार्यवाही अवशोषका
वास्तविक संख्या ⋅ गुणन 0
पूर्णांकों महत्तम सामान्य भाजक 1
एन-से-एन वर्ग आव्यूह आव्यूह गुणन सभी शून्यों का मैट्रिक्स
विस्तारित वास्तविक संख्या न्यूनतम/अनंत −∞
अधिकतम/सर्वोच्च +∞
समुच्चयों ∩ प्रतिच्छेदन ∅ खाली सेट
एक समुच्चय एम के उपसमुच्चय ∪ यूनियन M
बूलियन तर्क ∧ तार्किक और ⊥ असत्यता
∨ तार्किक या ⊤ सत्य


यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. ↑ J.M. Howie, pp. 2–3
  2. ↑ 2.0 2.1 M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev pp. 14–15
  3. ↑ J.S. Golan p. 67


संदर्भ

  • Howie, John M. (1995). Fundamentals of Semigroup Theory. Clarendon Press. ISBN 0-19-851194-9.
  • M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7.
  • Golan, Jonathan S. (1999). Semirings and Their Applications. Springer. ISBN 0-7923-5786-8.


बाहरी संबंध

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